Fizyka statystyczna I. Model Isinga II. Synchronizacja. P. F. Góra

Fizyka statystyczna I. Model Isinga II. Synchronizacja P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015

I. Model Isinga Model Isinga jest jednym z najważniejszych i najczęściej rozważanych modeli w fizyce statystycznej. Jego znaczenie wynika stad, że (i) dwuwymiarowy model Isinga można rozwiazać ściśle oraz (ii) rozwiazanie to przewiduje istnienie przejścia fazowego. Jest to jeden z bardzo niewielu ściśle rozwiazywalnych modeli o tej właściwości. Formalnie model Isinga jest modelem ferromagnetyka na jakiejś sieci. Z doświadczenia (i z fenomenologicznego równania stanu) wiadomo, że ferromagnetyk poniżej temperatury Curie wykazuje spontaniczna (czyli pod nieobecność zewnętrznego pola) magnetyzację; magnetyzacja ta znika powyżej temperatury Curie. Substancja staje się wówczas paramagnetykiem. Copyright c 2015 P. F. Góra 12 2

Hamiltonian Isinga Dana jest pewna sieć d-wymiarowa. W każdym węźle sieci rezyduje klasyczny moment magnetyczny ( spin ) s j, gdzie j jest numerem węzła. Spin może przybierać tylko wartości ±1. Zbiór wszystkich wartości {s j } jednoznacznie wyznacza (mikro)stan układu. Przyjmujemy, że każdy spin oddziałuje tylko ze swoimi najbliższymi sasiadami. Hamiltonian układu wynosi wobec tego E{s i } = ij ε ij s i s j B N i=1 s i. (1) Pierwsza suma rozciaga się po wszystkich sasiednich, rozróżnialnych parach spinów. Ile jest tych par zależy od wymiarowości i topologii sieci. Druga suma rozciaga się po wszystkich spinach na sieci; N jest liczba spinów na sieci, B jest zewnętrznym polem magnetycznym. Stałe ε ij określaja sprzężenie pomiędzy i-tym a j-tym węzłem. Copyright c 2015 P. F. Góra 12 3

Rozważmy najprostszy przypadek, w którym wszystkie stałe sprzężenia sa równe i, j : ε ij = ε > 0 (ε < 0 odpowiadałoby antyferromagnetyzmowi, którego w tej chwili nie rozważamy). Zachowanie układu determinowane jest przez dwie przeciwstawne tendencje: (1) dażenie do minimalizacji energii wewnętrznej, czyli do uporzadkowania spinów oraz (2) da- żenie do maksymalizacji nieuporzadkowania. Ostatecznie wynika z tego dażenie do minimalizacji energii swobodnej Helmholtza F = U T S, ale jak to się manifestuje, wynika ze struktury sieci, a przede wszystkim z jej wymiarowości. Copyright c 2015 P. F. Góra 12 4

Termodynamika Przy powyższym założeniu hamiltonian redukuje się do E{s i } = ε ij s i s j B N i=1 s i. (2) Jako sumę statystyczna otrzymujemy Z(B, T ) = s 1 s 2 s N e βe{s i}, (3) Copyright c 2015 P. F. Góra 12 5

skad możemy odtworzyć termodynamikę za pomoca zwykłych wzorów: F (B, T ) = k B T ln Z(B, T ) U(B, T ) = k B T 2 T C(B, T ) = U T M(B, T ) = ( ) F B k B T Ostatnie wyrażenie określa magnetyzację. spontaniczna. ( F = k B T ) N s i i=1 (4a) (4b) (4c) (4d) M(0, T ) jest magnetyzacja Copyright c 2015 P. F. Góra 12 6

Makrostan Isinga Niech dla zadanej konfiguracji sieci N + oznacza liczbę spinów skierowanych do góry, N liczbę spinów skierowanych w dół, N + + N = N. Każda para najbliższych sasiadów należy do jednego z trzech typów: (+, +), (+, ), (, ). Niech liczba odpowiednich par będzie N ++, N +, N. Niech γ będzie liczba najbliższych sasiadów (zakładamy, że jest taka sama dla każdego węzła). Wybierzmy pewien węzeł ze spinem skierowanym do góry i połaczmy go z wszystkimi najbliżsymi sasiadami. Powtórzmy to dla każdego węzła ze spinem do góry. Uzyskamy łacznie γn + linii. Każda parę (+, +) łacz a dwie linie, parę (+, ) jedna, pary (, ) nie łacz a żadne linie. Zatem γn + = 2N ++ + N +. Procedrę powtarzamy dla Copyright c 2015 P. F. Góra 12 7

spinów w dół i dostajemy analogiczny zwiazek, z wszystkimi + zamienionymi na i vice versa. Mamy zatem γn + = 2N ++ + N + (5a) γn = 2N + N + (5b) N = N + + N (5c) Zwiazki (5) pozwalaja wyeliminować trzy z pięciu zmiennych N +, N, N ++,N, N + : energię układu określaja tylko dwie zmienne. Pozostawmy N +, N ++. Sumę statystyczna możemy zapisać jako e βf = e Nβ( 1 2 γε B) N N + =0 e 2β(γε B)N + g(n +, N ++ )e 4βεN ++ (6) N++ gdzie g(n +, N ++ ) oznacza liczbę konfiguracji odpowiadajacych zadanym wartościom N +, N ++, a druga suma rozciaga się na wszystkie stany, dla których N + spisów skierowanych jest do góry. Copyright c 2015 P. F. Góra 12 8

Gaz sieciowy Rozważmy pewna sieć. Niektóre z węzłów sa puste, niektóre obsadzone atomami; niech stała sieci wynosi a. Atomy oddziałuja pomiędzy soba za pomoca potencjału dwuciałowego (r oznacza odległość pomiędzy atomami): v(r) = r = 0 ε 0 r = a 0 poza tym Innymi słowy, dwa atomy nie moga zajmować tego samego węzła, najbliżsi obsadzeni sasiedzi oddziałuja ze soba ze stała energia, dalsi sasiedzi nie oddziałuja. Po utożsamieniu węzłów obsadzonych ze spinami skierowanymi do góry, a węzłów pustych ze spinami skierowanymi w dół, model (7) Copyright c 2015 P. F. Góra 12 9

ten staje się równoważny modelowi Isinga. (Trzeba jeszcze zapewnić poprawne zliczanie boltzmannowskie.) Model ten nosi nazwę gazu sieciowego. Największa różnica bierze się stad, że gaz sieciowy na ogół rozpatruje się w wielkim zespole kanonicznym. Copyright c 2015 P. F. Góra 12 10

Stop binarny Pewna sieć moga obsadzać atomy dwu rodzajów. Istnieja trzy typy najbliżej sasiaduj acych par: (11), (22), (12). Tylko najbliżsi sasiedzi oddziałuja, przy czym energia zależy od tego, jakiego rodzaju jest to para. Atomy moga zmieniać swoje położenie na sieci, ale ich energię pomijamy. Ten model też jest rónoważny modelowi Isinga. Copyright c 2015 P. F. Góra 12 11

Jednowymiarowy model Isinga Rozpatrujemy łańcuch N spinów, z których każdy oddziałuej tylko z najbliższymi sasiadami (jest ich dwóch) i z zewnętrznym polem magnetycznym. Na układ nakładamy periodyczne warunki brzegowe s N+1 s 1 mówimy zatem o N spinach na okręgu. Energia ma postać E = ε N k=1 s k s k+1 B N k=1 s k = ε N k=1 s k s k+1 1 2 B N k=1 (s k +s k+1 ) (8) gdzie druga równość wynika z periodycznych warunków brzegowych, natomiast suma statystyczna Z = exp β s 1 s 2 s N N k=1 (εs k s k+1 + 1 2 B(s k + s k+1 )) (9) Copyright c 2015 P. F. Góra 12 12

Niech P będzie macierza, której elementy wynosza s P s = e β(εss + 1 2 B(s+s )) (10) gdzie s, s przybieraja wartości ±1. Zatem [ e β(ε+b) e P = βε e βε Sumę statystyczna (9) zapisujemy jako Z = s 1 s 2 e β(ε B) s N s 1 P s 2 s 2 P s 3... s N P s 1 ] (11) = s 1 s 1 P N s 1 = Tr P N = λ N + + λn (12) gdzie λ +, λ sa wartościami własnymi macierzy (11) λ ± = e [cosh(βb) βε ± cosh 2 (βb) 2e 2βε sinh(2βε) ]. (13) Copyright c 2015 P. F. Góra 12 13

Ponieważ w granicy N (λ + /λ ) N 0, w tej granicy otrzymujemy F = Nε Nk B T ln M = [ cosh(βb) ± ] cosh 2 (βb) 2e 2βε sinh(2βε), N sinh(βb) cosh 2 (βb) 2e 2βε sinh(2βε) (14a) (14b) Jednowymiarowy model Isinga nie wykazuje spontanicznej magnetyzacji. Dażenie do uporzadkowania spinów jest zbyt słabe jest za mało sasia- dów i przeważa tendencja do wzrostu entropii. Copyright c 2015 P. F. Góra 12 14

Model Isinga w przybliżeniu Bragga-Williamsa N + /N jest miara dalekiego uporzadkowania, natomiast N ++ /( 1 2γN jest miara uporzadkowania bliskiego: liczba ta wyznacza ułamek sasiednich spinów, które sa skierowane do góry jako ułamek wszystkich spinów. Oznaczmy N + N = 1 2 (L + 1), N ++ 1 2 γn = 1 (σ + 1) (15) 2 W tych oznaczeniach 1 N E = 1 γε(2σ 2L + 1) BL (16) 2 Przyjmijmy, że uporzadkowanie bliskie jest wyznaczone przez uporzadko- wanie dalekie ( ) N ++ N+ 2 1 2 γn czyli σ 1 N 2 (L + 1)2 1. (17) Copyright c 2015 P. F. Góra 12 15

Sens tego przybliżenia jest taki: Jeżeli ułamek wszystkich spinów do góry jest N + /N i sa one równomiernie rozłożone po całej sieci, ułamek par spinów do góry będzie się zachowywał jak kwadrat tej liczby, gdyż aby utworzyć parę, musimy z powodzeniem wykonać dwa niezależne losowania. (To nie ma sensu dla modelu jedowymiarowego.) Jest to przybliżenie średniego pola: lokalny spin oddziałuje z uśredniona, równomiernie rozłożona na sieci wartościa sasiedniego spinu. W przybliżeniu (17) suma statystyczna ma postać Z = {s i } e βn(1 2 γεl+bl) (18) W (18) sumujemy po konfiguracjach {s i }, ale wyrażenie pod suma zależy tylko od L. Ile zatem jest konfiguracji, które odpowiadaja ustalonemu L? Copyright c 2015 P. F. Góra 12 16

Tyle, na ile sposobów można wybrać N + z N. Zatem Z = N! L [ 1 2 N(1 + L)]![1 2 N(1 2 γεl+bl) (19) L)]!eβN(1 W granicy N logarytm prawej strony (19) jest równy logarytmowi największego wyrazu sumy; niech wyraz ten odpowiada L = L. Jest on pierwiastkiem równania ln 1 + L 1 L = 2βB + 2βγε L (20) Interesuje nas magnetyzacja spontaniczna, czyli przypadek B = 0. Wówczas z (20) otrzymujemy ( ) γε L L = tgh (21) k B T Widać, że w modelu występuje temperatura krytyczna T kr = γε/k B : Powyżej temperatury krytycznej, jedynym rozwiazaniem (21) jest L = 0. Copyright c 2015 P. F. Góra 12 17

Poniżej temperatury krytycznej, gdy nachylenie prawej strony (21) w zerze staje się większe od 1, rozwiazanie L = 0 traci stabilność, pojawiaja się za to dwa nowe rozwiazania L = ±L 0 0 (w układzie występuje bifurkacja superkrytyczna). W przybliżeniu Bragga-Williamsa w modelu Isinga poniżej temperatury krytycznej istnieje magnetyzacja spontaniczna. W temperaturze krytycznej dwuwymiarowy model Isinga wykazuje przejście fazowe drugiego rodzaju (ciagłe). Copyright c 2015 P. F. Góra 12 18

Ścisłe rozwiazanie dla dwuwymiarowego modelu Isinga na siatce kwadratowej w zerowym polu podał Lars Onsager w 1944. Ścisłe rozwiazanie dla dwuwymiarowego modelu Isinga na siatce kwadratowej w niezerowym polu podano dopiero trzy lata temu. Nie ma ścisłych rozwiazań dla wielowymiarowego modelu Isinga. Uogólnieniem modelu Isigna jest model Pottsa, gdzie s i moga przybierać więcej niż dwie (±1) wartości. Copyright c 2015 P. F. Góra 12 19

II. Synchronizacja Synchronizacja jest jednym z najbardziej spektakularnych (i najważniejszych) zachowań w dynamice nieliniowej. Po raz pierwszy opisał ja Huygens w XVII wieku. Winfree, badajac zachowanie amerykańskich świetlików (robaczków świętojańskich), w 1967 zaproponował, by, po pierwsze, każdy indywidualny organizm opisywać jako oscylator na cyklu granicznym, po drugie, że każdy organizm (jakoś) reaguje na wspólny, globalny rytm generowany przez cała populację. θ i = ω i + N i=1 Γ ij (θ i θ j ), i = 1, 2,..., N (22) θ i jest faza i-tego oscylatora, ω i jego naturalna częstościa. Kropka oznacza pochodna po czasie. Copyright c 2015 P. F. Góra 12 20

Christiaan Huygens, 1629-1695 Copyright c 2015 P. F. Góra 12 21

Model Kuramoto Rozważmy kolekcję N czastek (oscylatorów fazowych) wykonujacych ruchy jednostajne po okręgu. Jeśli czastki nie oddziałuja ze soba, ruch każdej z nich jest opisany równaniem θ i = ω i (23) Zakładamy, że częstości czastek zostały wylosowane z rozkładu g(ω), unimodalnego, symetrycznego (g( ω) = g(ω)), posiadajacego skończony drugi moment. Załóżmy teraz, że oscylatory widza się, to znaczy jakoś ze soba oddziałuja. Specyfikujac sprzężenie z równania (22), Kuramoto zaproponował Y. Kuramoto, Lecture Notes in Physics 39, Springer 1975, p. 420 Copyright c 2015 P. F. Góra 12 22

następujacy model: θ i = ω i K N N i=1 sin(θ i θ j ) (24) K jest stała sprzężenia. Suma rozciaga się po wszystkich oscylatorach, jest to więc oddziaływanie każdy z każdym. Jeśli θ i > θ j, sprzężenie pomiędzy i-tym a j-tym spowalnia i-ty oscylator. Jeżeli θ i < θ j, sprzężenie przyspiesza ten oscylator. Jak zobaczymy, układ równań (24) zadaje pewien model typu średniego pola. Copyright c 2015 P. F. Góra 12 23

Yoshiki Kuramoto, 1940 - Copyright c 2015 P. F. Góra 12 24

Parametr porzadku Aby opisać zachowanie całej kolekcji sprzężonych oscylatorów, Kuramoto wprowadził parametr porzadku 1 N N j=1 e iθ j = re iψ (25) Gdyby wszystkie oscylatory miały identyczne fazy (pełna synchronizacja fazowa), r w równaniu (25) byłoby równe 1. W ogólności 0 r 1. Możemy natomiast tak dobrać układ współrzędnych, aby globalna faza ψ = 0. Wówczas r jest parametrem porzadku. Copyright c 2015 P. F. Góra 12 25

Wyniki eksperymentalne Za pomoca symulacji łatwo sprawdzić, że w układzie występuje pewna krytyczna stała sprzężenia K C : Jeżeli K < K C, parametr porzadku spada z czasem i wykonuje nieregularne fluktuacje powyżej zera. Jeżeli K > K C, parametr porzadku po pewnym czasie stabilizuje się w okolicach jakieś wartości, wokół której wykonuje fluktuacje o amplitudzie O(N 1 ). Jeżeli K > K C, to analizujac wartości r (średnie wartości, jakie parametr porzadku osiaga po bardzo długim czasie), widzimy, że powyżej K C rosna one wraz z K. Copyright c 2015 P. F. Góra 12 26

Model Kuramoto jako model średniego pola Przekształćmy (24) N θ i = ω i K sin(θ i θ j ) = ω i K N i=1 N i=1 = ω i K sin θ i 1 N cos θ j + k cos θ i 1 N N i=1 N = ω i Kr sin θ i cos ψ + Kr cos θ i sin ψ ( sin θi cos θ j cos θ i sin θ j ) N i=1 sin θ j = ω i Kr sin(θ i ψ) (26) gdzie do wykonania sum w nawiasach użyliśmy definicji (25). Widzimy, że i-ty oscylator sprzęga się ze średnia wartościa fazy, przy czym parametr porzadku modyfikuje stała sprzężenia. Copyright c 2015 P. F. Góra 12 27

Jeśli przyjmiemy, że ψ = 0, ostatecznie otrzymamy θ i = ω i Kr sin θ i, i = 1, 2,..., N (27) Każdy oscylator zachowuje się tak, jakby nie był sprzężony z pozostałymi. Oczywiście tak nie jest, gdyż sprzężenie wpływa na wartość parametru porzadku r, modyfikujacego wartość stałej sprzężenia w (27). Copyright c 2015 P. F. Góra 12 28

Rozwiazania zsynchronizowane i dryfujace Czy możliwe jest, aby (27) przewidywało istnienie rozwiazań zsynchronizowanych, θ i = Ωt, gdzie Ω jest pewna wspólna częstościa? Tak: oscylatory spełniajace ω i < Kr daż a do stabilnego punktu stałego, zdefiniowanego niejawnie przez ω i = Kr sin θ i (28) przy założeniu, że θ i π 2. To s a oscylatory pochodzace ze środka rozkładu g(ω). Jeśli K nie jest bardzo duże, oscylatory z ogonów rozkładu nie zsynchronizuja się, tylko dryfuja. Aby jednak założenia o stałości r i ψ miały sens, ich rozkład musi być stacjonarny, z odwrotna proporcjonalnościa do prędkości przy danym θ. Przyjmujemy, że rozkład oscylatorów dryfujacych ma postać C ϱ(θ, ω) = ω Kr sin θ, C = 1 ω 2 (Kr) 2 (29) 2π Copyright c 2015 P. F. Góra 12 29

e iθ = e iθ synchr + e iθ dryf (30) ψ = 0, więc e iθ = r. Dla N z symetrii g(ω) wynika, że sin θ = 0. Zatem Z kolei e iθ Kr synchr = cos θ synchr = e iθ π dryf = π ω >Kr Kr cos θ(ω) g(ω) dω (31) e iθ ϱ(θ, ω)g(ω) dω dθ = 0 (32) co wynika z symetrii g(ω) = g( ω) oraz ϱ(θ + π, ω) = ϱ(θ, ω). Zmie- Copyright c 2015 P. F. Góra 12 30

niajac zmienne w całce (31) (ω = Kr sin θ), ostatecznie otrzymujemy r = Kr π 2 π 2 cos 2 θ g(kr sin θ) dθ (33) Równanie (33) ma zawsze rozwiazanie trywialne r = 0. Czy możliwe sa rozwiazania z r > 0? Innymi słowy, czy równanie 1 = K może mieć rozwiazanie? π 2 π 2 cos 2 θ g(kr sin θ) dθ (34) Copyright c 2015 P. F. Góra 12 31

Tak: Przechodzac w (34) do granicy r 0 +, otrzymujemy, że drugie rozwiazanie pojawia się dla K = K C równego K C = 2 π g(0) (35) Dla K > K C pojawiaja się rozwiazania z r > 0. Jeżeli g (0) < 0, co jest przypadkiem generycznym, odpowiadajacym przyjętym założeniom, model Kuramoto doświadcza bifurkacji superkrytycznej przy przejściu stałej sprzężenia przez K C. Rozwijajac funkcję podcałkowa w (34) w szereg w r otrzymujemy r 16 πkc 3g (0) K KC K C (36) Model Kuramoto wykazuje przejście fazowe drugiego rodzaju w K = K C. Copyright c 2015 P. F. Góra 12 32