Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 2. O tym, co można rozwiazać analitycznie. P. F. Góra

Transkrypt

1 Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 2. O tym, co można rozwiazać analitycznie P. F. Góra

2 Jeszcze o równaniach liniowych Rozważmy skalarne, jednorodne równanie liniowe a n (x) dn y n + a n 1(x) dn 1 y n a 1(x) + a 0(x)y = 0, (1) gdzie a n (x) 0 dla 0 < x < X. Zauważmy, że operator L(x) = a n (x) dn n + a n 1(x) dn 1 n a 1(x) d + a 0(x) (2) jest operatorem liniowym w pewnej przestrzeni funkcyjnej (takiej, aby wszystkie różniczkowania były dobrze określone). Copyright c P. F. Góra 2 2

3 Równanie (1) możemy zapisać jako L(x) y = 0. (3) Widzimy, że wszystkie liniowo niezależne rozwiazania (1) rozpinaja jadro (ang. kernel) operatora (2). Istniea meto znajwania analitycznych rozwiazań pewnych typów równań różniczkowych liniowych o nie-stałych współczynnikach. Copyright c P. F. Góra 2 3

4 Układ równań liniowych Rozważmy problem Cauchy ego zawierajacy układ równań liniowych pierwszego rzędu: = A(x)y + q(x) (4) y(0) = y 0 gdzie y, y 0 R n, A R n n niekoniecznie jest macierza stała. Z układem tym zwiazany jest następujacy jednorodny problem macierzowy dy = A(x)Y Y(0) = I Y R n n zwane jest rozwiazaniem fundamentalnym równnia (4). (5) Copyright c P. F. Góra 2 4

5 Jeżeli macierz Y(x) jest odwracalna w pasie 0 < x < X, rozwiazanie niejednorodnego równania (4) dane jest w tym pasie przez x = Y(x) y 0 + x 0 Y 1 (x )q(x ) (6) Copyright c P. F. Góra 2 5

6 Punkty stacjonarne i stabilność Rozważmy autonomiczne równanie różniczkowe = f(y). (7) dt Punktem stacjonarnym równania (7) nazywam takie y, że f(y ) = 0. Punkt stacjonarny jest rozwiazaniem równania (7). Czy jest to rozwiazanie stabilne? Przyjmijmy y(t) = y + ε(t), ε 1. Wówczas z równania (7) otrzymujemy y dε dt = Jε, (8) gdzie J = f y=y. Rozwiazanie y = y jest stabilne, jeśli wszystkie wartości własne macierzy J maja mniejsze od zera części rzeczywiste. To znaczy takie, w którym prawa strona nie zalezy jawnie od zmiennej niezależnej. Copyright c P. F. Góra 2 6

7 Klasyfikacja punktów stacjonarnych w R 2 (1) (2) (3) (4) (1) Re λ 1 < 0, Re λ 2 < 0 (ognisko przyciagaj ace) (2) Re λ 1 > 0, Re λ 2 > 0 (ognisko odpychajace) (3) Re λ 1 > 0, Re λ 2 < 0 (siodło) (4) Re λ 1 = Re λ 2 = 0 gdzie λ 1,2 oznaczaja wartości własne jakobianu J y. Copyright c P. F. Góra 2 7

8 Lokalna teoria bifurkacji Rozważamy układ równań różniczkowych = f(y, r) (9) gdzie r jest pewnym parametrem. Niech y będzie punktem stacjonarnym tego równania, który może zależeć od r. Jeżeli przy pewnej wartości parametru r, jedna (lub więcej) wartość własna jakobianu w punkcie stacjonarnym ma zerowa część rzeczywista, zmienia się stabilność rozwiazań. Mówimy, że w takim punkcie dochodzi do bifurkacji. Najłatwiej prześledzić to na przykładach jednowymiarowych. Copyright c P. F. Góra 2 8

9 Bifurkacja punktu siodłowego, bifurkacja styczna Rozważamy równanie = r + y2 (10) Jeżeli r < 0, sa dwa punkty stacjonarne: stabilny y = r i niestabilny y = r. Jeżeli r = 0, jest tylko jeden punkt stacjonarny y = 0, zwany punktem siodłowym. Jeżeli r > 0, nie ma punktów stabilnych. Copyright c P. F. Góra 2 9

10 2 y * r Bifurkacja styczna. Diagram bifurkacyjny dla równania (10), pokazujacy stabilne i niestabilne punkty stacjonarne w zależności od parametru kontrolnego, r. Strzałki pokazuja asymptotyczne zachowanie rozwiazań w poszczególnych obszarach. Copyright c P. F. Góra 2 10

11 Przykład Układ równań du = α u2 (11) dv = v (12) wykazuje bifurkację punktu siodłowego przy przejściu parametru α przez zero. Copyright c P. F. Góra 2 11

12 Bifurkacja transkrytyczna Rozważmy równanie = ry y2 (13) Równanie to ma dwa punkty stacjonarne, y = 0 oraz y = r. Jeżeli r < 0, pierwszy z nich jest stabilny, drugi niestabilny. Jeżeli r > 0, pierwszy z nich jest niestabilny, drugi stabilny. Punkty stacjonarne zamieniaja się stabilnościa przy przejściu parametru r przez zero. Copyright c P. F. Góra 2 12

13 2.0 y * r Bifurkacja transkrytyczna. Diagram bifurkacyjny dla równania (13), pokazujacy stabilne i niestabilne punkty stacjonarne w zależności od parametru kontrolnego, r. Strzałki pokazuja asymptotyczne zachowanie rozwiazań w poszczególnych obszarach. Copyright c P. F. Góra 2 13

14 Bifurkacja rozszczepienia ( widelcowa, pitchfork) A. Przypadek nadkrytyczny (ang. supercritical): = ry y3 (14) Dla r < 0 istnieje tylko jeden punkt stacjonarny y = 0, który jest stabilny. Dla r > 0 ten punkt rozszczepia się na dwa stabilne punkty stacjonarne y = ± r. Punkt y = 0 nadal jest stacjonarny, ale staje się niestabilny. B. Przypadek podkrytyczny (ang. subcritical): = ry + y3 (15) Dla r < 0 istnieja trzy punkty stacjonarne: dwa niestabilne y = ± r oraz stabilny y = 0. Dla r > 0 istnieje tylko jeden punkt stacjonarny y = 0, niestabilny. Copyright c P. F. Góra 2 14

15 Asymptotyczne zachowanie rozwiazań Rozważmy problem Cauchy ego odpowiadajacy bifurkacji nadkrytycznej: = ry y3 (16) y(0) = y 0 Jeżeli r < 0, to wszystkie trajektorie daż a do y = 0. Jeżeli r > 0, to trajektorie startujace z y 0 > 0 daż a do y = + r, trajektorie startujace z y 0 < 0 daż a do y = r. Trajektorie startujace z y 0 = 0 (punkt stacjonarny!) pozostaja w tym punkcie, ale uciekaja z niego przy dowolnie małym zaburzeniu. Copyright c P. F. Góra 2 15

16 2.0 y * r Bifurkacja nadkrytyczna. Diagram bifurkacyjny dla równania (14), pokazujacy stabilne i niestabilne punkty stacjonarne w zależności od parametru kontrolnego, r. Strzałki pokazuja asymptotyczne zachowanie rozwiazań w poszczególnych obszarach. Copyright c P. F. Góra 2 16

17 Ciekawszy jest problem Cauchy ego odpowiadajacy bifurkacji podkrytycznej: = ry + y3 (17) y(0) = y 0 Dla r < 0, trajektorie startujace z y 0 takiego, że y 0 < r, daż a do y = 0. Trajektorie z y 0 > r uciekaja do ±, w zależności o znaku warunku poczatkowego. Dla r > 0, trajektorie startujace z y 0 0 uciekaja do ±, w zależności od znaku warunku poczatkowego. We wszystkich przypadkach trajektorie startujace z niestabilnych punktów stacjonarnych, pozostaja na nich. Copyright c P. F. Góra 2 17

18 2.0 y * r Bifurkacja podkrytyczna. Diagram bifurkacyjny dla równania (15), pokazujacy stabilne i niestabilne punkty stacjonarne w zależności od parametru kontrolnego, r. Strzałki pokazuja asymptotyczne zachowanie rozwiazań w poszczególnych obszarach. Copyright c P. F. Góra 2 18

19 Nie ma ogólnych metod rozwiazywania nieliniowych równań różniczkowych. Copyright c P. F. Góra 2 19

20 Równania o zmiennych rozdzielonych Równanie postaci (y, p, q R, zakładamy, że spełnione sa założenia twierdzenia Picarda) rozwiazujemy jako p(y) = = p(y)q(x) (18) q(x) + C (19) gdzie C jest stała całkowania. Wartość C wyznaczamy z warunków poczatkowych. Copyright c P. F. Góra 2 20

21 Uwaga: Nie zwracamy uwagi, czy zależność y(x) można wyznaczyć z równania (19) w posób jawny. Wszystkie przypadki: = = 2yx = y(x) = y 0e x2 (20a) = 1 2y e y = y2 + e y = x + C (20b) sin y = sin y = x + C (20c) uznajemy za całkowalne w kwadraturach, mimo że y(x) jest w (20b) dana w sposób niejawny, a całka w (20c) jest nieelementarna. Copyright c P. F. Góra 2 21

22 Przykład: Równanie logistyczne Rozpatrzmy problem Cauchy ego: = ry(y y) (r = const > 0, Y = const > 0) dt y(0) = y 0 > 0 (21) Copyright c P. F. Góra 2 22

23 Jest to równanie o zmiennych rozdzielonych. y(y y) = r dt 1 Y y + 1 Y Y y = rt + C 1 Y ln y 1 ln(y y) = rt + C Y y ln Y y = Y rt + Y C y Y y = C e Y rt y = Y C e Y rt 1 + C e = Y Y rt 1 + C e Y rt Stała C wyznaczam z warunku poczatkowego: y 0 = y(0) = Y 1 + C = C = Y y 0 y 0 Copyright c P. F. Góra 2 23

24 Ostatecznie y(t) = Y 1 + Y y 0 y e Y rt Krzywa logistyczna y(t) t Copyright c P. F. Góra 2 24

25 Całkowanie metoda podstawiania Niekie równanie postaci = f(x, y) (22) daje się sprowadzić do rozwiazywalnej postaci metoda podstawiania. Przykład Rozpatruję równanie = f(ax + by + c) (23) Przyjmuję z = ax + by + c = dz = a + b. Wstawiaj ac to do (23) dostaję równanie o zmiennych rozdzielonych: dz = a + b f(z). (24) Copyright c P. F. Góra 2 25

26 Przykład Równanie = 1 + x + sin y cos y (25) daje się sprowadzić do prostej postaci po podstawieniu u = x+sin y = du = cos y + 1. Ostatecznie du = u. (26) Copyright c P. F. Góra 2 26

27 Równania jednorodne Równania postaci ( y ) = f (27) x całkuje się przez podstawienie y = xz. Wówczas = z + x dz. Podstawiaj ac do (27) dostaję równanie o zmiennych rozdzielonych dz = f(z) z x. (28) Także równania postaci = f ( ) a1 x + b 1 y + c 1 a 2 x + b 2 y + c 2 daje się sprowadzić do równania o zmiennych rozdzielonych. (29) Nie mylić z liniowymi równaniami jednorodnymi! Copyright c P. F. Góra 2 27

28 Równanie Bernoulliego + f(x)y = g(x)yn (30) Jeżeli n = 0 lub n = 1, równanie (30) jest liniowe. W przeciwnym wypadku używam podstawienia y 1 n = z (1 n)y n = dz = Równanie (30) przechodzi w równanie liniowe yn 1 n dz (31) dz + (1 n)f(x)z = (1 n)g(x)z. (32) Copyright c P. F. Góra 2 28

29 Równanie Riccatiego = a(x)y2 + b(x)y + c(x) (33) Twierdzenie 1. Jeżeli y 1 (x) jest rozwiazaniem szczególnym równania Ricatiego, to podstawienie y = y 1 (x) + 1 z sprowadza równanie (33) do równania liniowego (34) dz + (2a(x)y 1(x) + b(x))z = a(x). (35) Dowód jest prosty i polega na wykonaniu odpowiedniego podstawienia. Jeżeli Cγ(x) + δ(x) jest całka ogólna równania (35) (C jest stała dowolna), całka ogólna równania (33) jest 1 y(x) = y 1 (x) + Cγ(x) + δ(x). (36) Copyright c P. F. Góra 2 29

30 Równanie Clairauta y x ( f = 0 (37) gdzie f jest funkcja różniczkowalna, różna od stałej. Po zróżniczkowaniu (37) otrzymujemy d 2 y 2 [ x + f ( ) )] = 0 (38) a zatem albo y = 0, albo x+f ( y ) = 0. W pierwszym z tych wypadków jako rozwiazanie otrzymujemy rodzinę prostych y = cx + f(c), (39) drugi, wraz z równaniem rodziny prostych (39), daje obwiednię tej rodziny; to rozwiazanie zwane jest całka osobliwa. Copyright c P. F. Góra 2 30

31 Przykład Rozwiazania równania y xy y 2 = 0 (40) sa proste Całka osobliwa musi spełniać y = cx 1 2 c2. (41) x + f (cx + f(c)) x c = 0 (42) Eliminujac c z (41),(42), otrzymujemy obwiednię Każda prosta (42) jest styczna do tej obwiedni. y = 1 2 x2. (43) Copyright c P. F. Góra 2 31

32 Pewne jedowymiarowe równania stopnia drugiego ważne ze względu na zastosowania w fizyce: d 2 y 2 = f(x) (44a) Daje się rozwiazać poprzez dwa całkowania, y = ( f(x) ) + c 1 x + c 2. d 2 y d 2 y 2 = f(y) (44b) ) 2, co prowadzi do równania o zmiennych rozdzielo- 2 = 1 2 d nych ( = ± 2 f(y) + c 1. Copyright c P. F. Góra 2 32

33 3. 4. = p sprowadza to równanie do równania rzędu pierw- Podsatwienie szego. = q(y), skad otrzymujemy równanie rzędu pierw- Podstawiamy szego d 2 y 2 = f ( x, ) (44c) dp d 2 y 2 = f = f(x, p) ( y, ) (44d) q dq = f(y, q) Copyright c P. F. Góra 2 33

34 Całki pierwsze równania różniczkowego niezmienniki Niech dany będzie problem Cauchy ego = f(x, y) (45) y(0) = y 0 posiadajacy jednoznaczne rozwiazanie w pasie 0 x X; y, y 0, f R n. Całka pierwsza lub niezmiennikiem równania (45) nazywam dowolna funkcję Φ(x, y(x)) (46) która jest stała w pasie 0 x X, przy czym y(x) jest rozwiazaniem problemu (45). Copyright c P. F. Góra 2 34

35 Przykład Dany jest problem Cauchy ego ẋ = u (47a) u = ω 2 x (47b) z warunkami poczatkowymi x(0) = x 0, u(0) = u 0. Wówczas funkcja jest całka ruchu. Istotnie, H(x, u) = 1 2 u ω2 x 2 (48) Ḣ = u u + ω 2 xẋ = u( ω 2 x) + ω 2 xu = 0. (49) Wartość całki ruchu jest zadana przez warunki poczatkowe. Jeśli znamy całkę ruchu i warunki poczatkowe, moglibyśmy wyeliminować jedna zmienna Copyright c P. F. Góra 2 35

36 obniżyć stopień układu o jeden. (Gbyśmy znali dwie całki ruchu, moglibyśmy obniżyć stopień o dwa itd.) Kontynuujac poprzedni przykład, H(x(0), u(0)) = 1 2 u ω2 x 2 0 = E, a ponieważ wartość H(x, u) musi być zachowana, dostajemy u = ± 2E ω 2 x 2, (50) a zatem układ równań (47) sprowadza się do jednego równania ẋ = ± 2E ω 2 x 2. (51) Dowolność wyboru znaku w (51) odpowiada temu, że wyjściowy układ równań ma dwa niezależne rozwiazania. Copyright c P. F. Góra 2 36

37 Całki ruchu (niezmienniki) pozwalaja obniżyć stopień układu równań. W praktyce numerycznej staramy się unikać takiego postępowania. Copyright c P. F. Góra 2 37