Co to jest model Isinga?
|
|
- Gabriel Wilk
- 4 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Co to jest model Isinga? Fakty eksperymentalne W pewnych metalach (np. Fe, Ni) następuje spontaniczne ustawianie się spinów wzdłuż pewnego kierunku, powodując powstanie makroskopowego pola magnetycznego. Makroskopowe pole magnetyczne obserwowane jest dla T < T c (temperatura Curie) Dla T = T c występuje ciągłe przejście fazowe Co byłoby gdybyśmy z poziomu makro przeszli na mikro, tzn. zajrzeli wgłąb układu? Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 / 35
2 Co to jest model Isinga? Model - idea Lenza z 920 roku Kryształ złożony z N jonów o spinie s = /2 i wewnętrznym momencie magnetycznym µ 0. Jony są zlokalizowane w węzłach sieci krystalicznej i działa na nie zewnętrzne pole magnetyczne h. Moment magnetyczny każdego atomu może być skierowany albo do góry (tzn. równolegle do kierunku pola zewnętrznego) lub w dół (antyrównolegle do pola). Oddziaływania między cząstkami zadane są następującym hamiltonianem: H = J σ i σ j h σ i, () <i,j> i gdzie < i, j > oznacza sumowanie po parach najbliższych sąsiadów. Jak widać łatwo w przypadku bez pola h = 0 dla J > 0 hamiltonian opisuje ferromagnetyk, a w przypadku J < 0 antyferromagnetyk Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
3 Co to jest model Isinga? Schemat postępowania Zaczynamy od znalezienia sumy stanów Z. Korzystając ze związku pomiędzy fizyką statystyczną a termodynamiką wyznaczamy energię swobodną: F = k B T log Z (2) Mając F wyznaczamy pozostałe wielkości termodynamiczne, np. magnetyzację, ciepło właściwe, podatność magnetyczną Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
4 Model Isinga bez pola Suma stanów - Model Isinga bez pola H = J N i= Suma stanów w rozkładzie kanonicznym ma postać: Z = {σ i ±} σ i σ i+ (3) e βh (4) gdzie {σ i ± } {σ = ±,..., σ N = ±}. Wprowadźmy oznaczenie: Z N = σ =± σ 2 =±... σ N =± exp { βj N i= σ i σ i+ } (5) dla sumy statystycznej układu N cząstek. Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
5 Model Isinga bez pola Można pokazać, że: Z N = 2 cosh βjz N. (6) i ostatecznie: Z N = (2 cosh βj) N 2 Z 2, (7) Ostatecznie otrzymujemy: Z 2 = 4 cosh(βj). (8) Z N = 2(2 cosh βj) N. (9) Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
6 Model Isinga bez pola Wobec tego energia swobodna: F = k B T ln Z N = k B T [ln 2 + (N ) ln(2 cosh βj)]. (0) Jeżeli chcielibyśmy otrzymać wielkość niezależną od rozmiaru układu wówczas wprowadzamy energię swobodną na cząstkę: f = F N = k BT N W granicy termodynamicznej: [ln 2 + (N ) ln(2 cosh βj)]. () lim f = k BT ln(2 cosh βj). (2) N Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
7 Model Isinga z Polem Teraz mamy do czynienia z następującym hamiltonianem: H = J σ i σ j h σ i. (3) <i,j> i Wobec tego suma stanów: Z = ( ) N N exp Jβ σ i σ i+ + hβ σ i. (4) {σ i ±} i= i= Oczywiście w przypadku cyklicznych warunków brzegowych: N σ i = N (σ i + σ i+ ). (5) 2 i= i= Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
8 Model Isinga z Polem Wobec tego możemy zapisać naszą sumę stanów jako: Z = ( N exp Jβ σ i σ i+ + N ) 2 hβ (σ i + σ i+ ) {σ i ±} i= i= = N ( exp Jβσ i σ i+ + ) 2 hβ(σ i + σ i+ ). (6) {σ i ±} i= Zdefiniujmy teraz następującą macierz (korzystamy z notacji Diraca, ze względu na wygodę): ( < σ i T σ i+ >= exp Jβσ i σ i+ + ) 2 hβ(σ i + σ i+ ). (7) Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
9 Model Isinga z Polem ( < σ i T σ i+ >= exp Jβσ i σ i+ + ) 2 hβ(σ i + σ i+ ). (8) Macierz ta, zwana macierzą przejścia, ma w tym przypadku jawną postać: ( ) (, ) (, ) T = (9) (, ) (, ). czyli: ( exp(jβ + hβ) exp( Jβ) ) T = exp( Jβ) exp( Jβ hβ). (20) Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
10 Model Isinga z Polem Suma stanów może być natomiast zapisana przy pomocy macierzy przejścia jako: Z = N < σ i T σ i+ > {σ i ±} i= =... < σ T σ 2 >< σ i T σ 2 >... < σ N T σ N > {σ ±} = {σ ±}... {σ N ±} {σ N 2 ±} < σ N 3 T σ N 2 > = {σ ±} < σ T σ 2 >< σ i T σ 2 >... {σ N ±} < σ N 2 T σ N >< σ N T σ > < σ T N σ >= TrT N = λ N + + λ N (2) Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
11 Model Isinga z Polem Wartości własne mogą być łatwo obliczone z równania charakterystycznego: det(t λi) = 0 (22) czyli: exp(jβ + hβ) λ exp( Jβ) exp( Jβ) exp( Jβ hβ) λ. = 0 (23) Znajdź wartości własne (ćwiczenia). Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada 208 / 35
12 Model Isinga z Polem Energię swobodną na cząstkę liczymy w granicy termodynamicznej, tzn. dla N, V, V /N = const: f = F = kt lim ln Z (24) N N N = kt lim N N ln(λn + + λ N ) (25) ( ( ) ) N = kt lim N N ln λ λ + + (26) λ + = kt N ln λn + = kt ln λ + (27) Mając energię swobodną możemy obliczyć namagnesowanie: m = f h = sinh(βh) sinh 2 (βh) + exp( 4βJ) (28) Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
13 Model Isinga z Polem Mając namagnesowanie możemy również wyznaczyć podatność magnetyczną: χ = m h. (29) Możemy również wyznaczyć ciepło właściwe: c h=0 = 2 f β 2. (30) Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
14 Model Isinga z Polem W dwóch wymiarach model Isinga bez pola dla T < T c : m(t ) = [ ( tanh2 K) 4 6 tanh 4 K gdzie K = βj Dla T > T c, m(t ) = 0 ] /8, (3) Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
15 Stanisław Ulam wspomina "(...) Pomysł ten, nazwany później metodą Monte Carlo, wpadł mi do głowy, kiedy podczas choroby stawiałem pasjanse. Zauważyłem, że znacznie praktyczniejszym sposobem oceniania prawdopodobieństwa ułożenia pasjansa (takiego jak Canfield, gdzie umiejętności gracza nie mają większego znaczenia) jest wykładanie kart, czyli eksperymentowanie z procesem i po prostu zapisywanie procentu wygranych, niż próba obliczenia wszystkich możliwości kombinatorycznych, których liczba rośnie wykładniczo i jest tak wielka, że pomijając najprostsze przypadki, jej oszacowanie jest niemożliwe. (...)". Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
16 Metoda Monte Carlo jest metodą obliczania wielkości dających się przedstawić w postaci wartości oczekiwanej pewnych rozkładów probabilistycznych. Niech a oznacza poszukiwaną wielkość, może to być na przykład magnetyzacja układu spinów Isinga, i jest wartością oczekiwaną a = EX pewnej zmiennej losowej X. Jeżeli jesteśmy w stanie generować niezależne wartości S, S 2,... z rozkładu zmiennej X, to z mocnego prawa wielkich liczb wynika, że: lim n n (S S n ) = a. (32) Metoda Monte Carlo polega więc na szacowaniu wielkości a przez średnią z pewnej odpowiednio dobranej n elementowej próby. Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
17 W jaki sposób należy dobrać próbę w przypadku modeli fizyki statycznej? Każdy układ przy niezmiennych warunkach zewnętrznych znajduje się w stanie równowagi termodynamicznej, a jeżeli przy takich warunkach nie jest w stanie równowagi to w końcu do stanu równowagi termodynamicznej przechodzi. Temperatura jest parametrem określającym równowagę termodynamiczną. Niech E α będzie energią mikrostanu oznaczonego indeksem α. Jeżeli układ jest w równowadze termicznej z termostatem o temperaturze T to prawdopodobieństwo p α, że układ znajduje się w mikrostanie α jest proporcjonalne do exp( βe α ), gdzie β = /k B T, k B = J K jest stałą Boltzmanna. Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
18 Prawdopodobieństwo jest równe: P eq (α) p α = Z exp( βe α). (33) Rozkład prawdopodobieństwa zdefiniowany wzorem (33) nosi nazwę rozkładu Gibbsa i przy jego pomocy można oczywiście wyznaczyć średnią termodynamiczną < X > dowolnej wielkości X (np. energii, magnetyzacji itd.): < X >= p α X α = P eq (α)x α (34) α α Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
19 X - pewna zmienną losową, która może przyjmować jedną z dopuszczalnych wartości X α zgodnie z rozkładem prawdopodobieństwa Gibbsa p α. Rozkład prawdopodobieństwa naszej zmiennej losowej może zmieniać się w czasie. Niech naszą zmienną losową będzie magnetyzacja: m = N N S i (35) i= P m (0) = δ m,m0 = δ m, (T 0) Niech T >> 0 rozkład P m będzie ewoluował. Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
20 Ewolucja zmiennej losowej W teorii prawdopodobieństwa jest to tak zwany proces stochastyczny. Procesem stochastycznym nazwiemy funkcję, która każdej chwili t przypisuje pewną zmienną losową X t. Z punktu widzenia fizyki statystycznej proces stochastyczny - zespół realizacji procesu (tzw. trajektorii). Zmienną losowa była magnetyzacja (poziom makro) Zmienna losowa - onfiguracja σ opisująca mikrostan układu (fizyka statystyczna) Założenie - proces stochastyczny jest markowski. Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
21 Procesy Markowa to procesy stochastyczne polegające na tym, że warunkowe rozkłady prawdopodobieństwa przyszłych stanów procesu są zdeterminowane wyłącznie przez jego bieżący stan, bez względu na przeszłość. Zdefiniujmy proces stochastyczny z czasem dyskretnym t < t 2 <... < t n, dla układu ze skończoną liczbą możliwych stanów σ, σ 2, σ 3,..., σ N. Zmienna losowa X t opisuje stan układu w chwili t. Warunkowe prawdopodobieństwo na to, że X tn = σ in można zapisać: P(X tn = σ in X tn = σ in, X tn 2 = σ in 2,..., X t = σ i ), (36) Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
22 Dla procesu Markowa, w którym prawdopodobieństwo warunkowe jest zależne tylko od poprzedniego stanu: P(X tn = σ in X tn = σ in,..., X t = σ i ) = P(X tn = σ in X tn = σ in ). (37) Powyższe prawdopodobieństwo warunkowe może być interpretowane jako prawdopodobieństwo przejścia ze stanu i do stanu j Spełnia ono warunki: W ij = W (σ i σ j ) = P(X tn = σ j X tn = σ i ). (38) W ij 0, W ij =, (39) j Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
23 W przypadku łańcucha Markowa, zapisać prawdopodobieństwo P(X tn = σ j ) tego, że w czasie t n układ znajdzie się w stanie σ j jako: P(X tn = σ j ) = P(X tn = σ j X tn = σ i )P(X tn = σ i ) (40) Równanie master opisuje dynamikę takiego układu, czyli zmianę prawdopodobieństwa P w czasie t (przy założeniu, że interwały czasowe są nieskończenie małe możemy przejść do postaci ciągłej P(X tn = σ j ) = P(σ j, t)): dp(σ j, t) dt = i W ji P(σ j, t) + i W ij P(σ i, t). (4) Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
24 Żądamy aby po pewnym czasie P(σ j, t) osiągnęło rozkład równowagowy Gibbsa: P eq (σ j ) = Z e E(σ j)/t. (42) warunek równowagi szczegółowej (inaczej warunek mikroodwracalności): W ji P eq (σ j ) = W ij P eq (σ i ). (43) W ogólności układ może nie osiągać stanu równowagowego, lecz jedynie stan stacjonarny, tzn. dp(σ j, t) = 0. (44) dt W takim przypadku, z równanie fundamentalnego: W ji P stady state (σ j ) = i i W ij P stady state (σ i ). (45) Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
25 Przykład: Model stochastyczny Glaubera Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
26 Rozważmy układ N cząstek o spinie /2 Każda cząstka w chwili t znajduje się w stanie σ j (t) = ± W każdej chwili czasu mamy jeden z 2 N możliwych stanów p(σ,..., σ N, t) - prawdopodobieństwo, że w chwili t układ jest w stanie σ,..., σ N w i (σ i ) - prawdopodobieństwo na jednostkę czasu zmiany σ i σ i, podczas gdy inne j i (j =,.., N) pozostają bez zmian Można teraz zapisać równanie fundamentalne, ale jak wybrać w i (σ i )? Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
27 w(σ i ) = α 2 [ ] 2 γσ i(σ i + σ i+ ), (46) σ i σ i σ i+ w(σ i ) 2α( γ) 2α( γ) 2 2 α( + γ) α( γ) α 2 α 2 α 2 α 2 (47) Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
28 Jaki jest związek z modelem Isinga H = J i σ iσ i+? Jeżeli układ osiągnie równowagę w temperaturze T to wówczas spełniony ma być warunek równowagi szczegółowej: p j ( σ i ) p j (σ i ) = w i(σ i ) w i ( σ i ) (48) Z drugiej strony w stanie równowagi: p j (σ i ) exp[jβσ i (σ i + σ i+ )] (49) To daje warunek: γ = tanh (2J/k B T ) Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
29 γ = tanh (2J/k B T ) γ T [2J/k=] Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
30 lim T w(σ i ) =?, γ = 0 w(σ i ) = α 2 lim T 0 w(σ i ) =?, γ = w(σ i ) = α 2 [ ] 2 σ i(σ i + σ i+ ), (50) σ i σ i σ i+ w(σ i ) 2α( γ) = 0 2α( γ) = α( + γ) = α α( γ) = α α 2 α 2 α 2 α 2 (5) Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
31 Warunek równowagi szczegółowej spełnia również funkcja Metropolisa W ij = min(, exp( β H)). (52) Algorytm Metropolisa: Wybierz stan początkowy (np. σ i = dla i =, 2,..., N) 2 Wybierz (losowo) węzeł i. 3 Oblicz zmianę energii E gdy σ i zmienia wartość na przeciwną tzn. σ i σ i 4 Wygeneruj liczbę losową r z rozkładu jednostajnego na przedziale (0, ). 5 Jeżeli r < exp( E/k B T ) to zmianę akceptuj. 6 Wróć do 2 Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
32 Rysunek: Zależność magnetyzacji od temperatury w dwuwymiarowym modelu Isinga bez pola. Wyniki uzyskane droga symulacji Monte Carlo przez pana Macieja Tabiszewskiego (październik 2009). Rozmiar siatki 00 00, czas termalizacji 00MCS, liczba uśrednień 00. Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
33 Rysunek: Podatność magnetyczna ξ = m h Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
34 Rysunek: Ciepło właściwe c h=0 = 2 f β 2. Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
35 Rysunek: Zależność temperatury krytycznej od rozmiaru układu - finite size scalling. Katarzyna Sznajd-Weron (Katedra Fizyki Teoretycznej, PWR)Model Isinga 9 listopada / 35
Model Isinga. Katarzyna Sznajd-Weron
Model Isinga Katarzyna Sznajd-Weron Temperatura Curie ciągłe przejście fazowe magnes ferromagnetyk Przejście fazowe Katarzyna Sznajd-Weron Ferromagnetyk T T c Paramagnetyk T > T c Jak to zrozumieć? Model
Bardziej szczegółowo16 Jednowymiarowy model Isinga
16 Jednowymiarowy model Isinga Jest to liniowy łańcuch N spinów mogących przyjmować wartości ± 1. Mikrostanem układu jest zbiór zmiennych σ i = ±1, gdzie i = 1,,..., N (16.1) Określają one czy i-ty spin
Bardziej szczegółowoWstęp do fizyki statystycznej: krytyczność i przejścia fazowe. Katarzyna Sznajd-Weron
Wstęp do fizyki statystycznej: krytyczność i przejścia fazowe Katarzyna Sznajd-Weron Co to jest fizyka statystyczna? Termodynamika poziom makroskopowy Fizyka statystyczna poziom mikroskopowy Marcin Weron
Bardziej szczegółowoRównowaga w układach termodynamicznych. Katarzyna Sznajd-Weron
Równowaga w układach termodynamicznych. Katarzyna Sznajd-Weron Zagadka na początek wykładu Diagram fazowy wody w powiększeniu, problem metastabilności aktualny (Nature, 2011) Niższa temperatura topnienia
Bardziej szczegółowoWykład 8 i 9. Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna
Wykład 8 i 9 Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW)
Bardziej szczegółowoKrytyczność, przejścia fazowe i symulacje Monte Carlo. Katarzyna Sznajd-Weron Physics of Complex System
Krytyczność, przejścia fazowe i symulacje Monte Carlo Katarzyna Sznajd-Weron Physics of Complex System Przejścia fazowe wokół nas woda faza ciekła PUNKT KRYTYCZNY Lód faza stała para faza gazowa ciągłe
Bardziej szczegółowoUkłady statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki
Instytut Fizyki 2015 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię
Bardziej szczegółowoElementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych. Katarzyna Sznajd-Weron
Elementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych Katarzyna Sznajd-Weron Wielkości makroskopowe - termodynamika Termodynamika - metoda fenomenologiczna Fenomenologia w fizyce: widzimy jak
Bardziej szczegółowoWielki rozkład kanoniczny
, granica termodynamiczna i przejścia fazowe Instytut Fizyki 2015 Podukład otwarty Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R układ S + R jest izolowany
Bardziej szczegółowoElementy termodynamiki
Elementy termodynamiki Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej Politechnika Wrocławska 5 stycznia 2019 Katarzyna Sznajd-Weron (K4) Wstęp do Fizyki Statystycznej 5 stycznia 2019 1 / 27 Wielkości
Bardziej szczegółowo1 Rachunek prawdopodobieństwa
1 Rachunek prawdopodobieństwa 1. Obliczyć średnią i wariancję rozkładu Bernouliego 2. Wykonać przejście graniczne p 0, N w rozkładzie Bernouliego przy zachowaniu stałej wartości średniej: λ = N p = const
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna i termodynamika Wykład 1: Wstęp. Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej
Fizyka statystyczna i termodynamika Wykład 1: Wstęp Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej http://www.if.pwr.wroc.pl/~katarzynaweron/ Mój plan zajęć Strona kursu Kim jestem? Prof. dr hab. Katarzyna
Bardziej szczegółowoPrognozowanie i Symulacje. Wykład I. Matematyczne metody prognozowania
Prognozowanie i Symulacje. Wykład I. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis treści Szeregi czasowe 1 Szeregi czasowe 2 3 Szeregi czasowe Definicja 1 Szereg czasowy jest to proces stochastyczny z czasem dyskretnym
Bardziej szczegółowoe E Z = P = 1 Z e E Kanoniczna suma stanów Prawdopodobieństwo wystąpienia mikrostanu U E = =Z 1 Wartość średnia energii
Metoda Metropolisa Z = e E P = 1 Z e E Kanoniczna suma stanów Prawdopodobieństwo wystąpienia mikrostanu U E = P E =Z 1 E e E Wartość średnia energii Średnia wartość A = d r N A r N exp[ U r N ] d r N exp[
Bardziej szczegółowoSpacery losowe generowanie realizacji procesu losowego
Spacery losowe generowanie realizacji procesu losowego Michał Krzemiński Streszczenie Omówimy metodę generowania trajektorii spacerów losowych (błądzenia losowego), tj. szczególnych procesów Markowa z
Bardziej szczegółowoWykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały
Wykład 1 i 2 Termodynamika klasyczna, gaz doskonały dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki
Bardziej szczegółowoDynamiki rynków oligopolistycznych oczami fizyka
KNF Migacz, Instytut Fizyki Teoretycznej, Uniwersytet Wrocławski 7-10 listopada 2008 1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 Wprowadzenie reklamy 1 2 3 4 Wprowadzenie reklamy 5 1 2 3 4 Wprowadzenie reklamy 5 6 1 2 3 4 Wprowadzenie
Bardziej szczegółowoObliczenia inspirowane Naturą
Obliczenia inspirowane Naturą Wykład 03 (uzupełnienie Wykładu 02) Jarosław Miszczak IITiS PAN Gliwice 31/03/2016 1 / 17 1 2 / 17 Dynamika populacji Równania Lotki-Voltery opisują model drapieżnik-ofiara.
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. 2 Łańcuchem Markowa nazywamy proces będący ciągiem zmiennych
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo. Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 20 KWANTOWE METODY MONTE CARLO 20.1 Kwantowa wariacyjna metoda Monte Carlo Problem własny dla stanu podstawowego układu N cząstek (H E 0 )ψ 0 (r)
Bardziej szczegółowoElementy termodynamiki
Elementy termodynamiki Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej Politechnika Wrocławska 11 marca 2019 Katarzyna Sznajd-Weron (K4) Wstęp do Fizyki Statystycznej 11 marca 2019 1 / 37 Dwa poziomy
Bardziej szczegółowoWykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova)
Wykład 2 Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) 1. Procesy Markova: definicja 2. Równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego 3. Przykład dyfuzji w kapilarze
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna Teoria Ginzburga-Landaua w średnim polu. P. F. Góra
Fizyka statystyczna Teoria Ginzburga-Landaua w średnim polu P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2015 Parametr porzadku W niskich temperaturach układy występuja w fazach, które łamia symetrię
Bardziej szczegółowoKrytyczność i przejścia fazowe. Katarzyna Sznajd-Weron
Krytyczność i przejścia fazowe Katarzyna Sznajd-Weron Temperatura Curie Temperatura Curie ciągłe przejście fazowe magnes ferromagnetyk Przejście fazowe Katarzyna Sznajd-Weron Ferromagnetyk T T c Paramagnetyk
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze
Bardziej szczegółowoRównoległe symulacje Monte Carlo na współdzielonej sieci
Równoległe symulacje Monte Carlo na współdzielonej sieci Szymon Murawski, Grzegorz Musiał, Grzegorz Pawłowski Wydział Fizyki, Uniwersytet im. Adama Mickiewicza 12 maja 2015 S. Murawski, G. Musiał, G. Pawłowski
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoZadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =
Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 12 Łańcuchy Markowa M. Czoków, J. Piersa 2012-01-10 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego 3 1 Łańcucha Markowa 2 Istnienie Szukanie stanu stacjonarnego
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych
Weryfikacja hipotez statystycznych Hipoteza Test statystyczny Poziom istotności Testy jednostronne i dwustronne Testowanie równości wariancji test F-Fishera Testowanie równości wartości średnich test t-studenta
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 9 Sieci rekurencyjne. Autoasocjator Hopfielda
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 9. M. Czoków, J. Piersa 2010-12-07 1 Sieci skierowane 2 Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci 3 Sieci skierowane Sieci skierowane Sieci skierowane graf połączeń synaptycznych
Bardziej szczegółowoWykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe
Wykład 12 Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 11 Łańcuchy Markova M. Czoków, J. Piersa 2010-12-21 1 Definicja Własności Losowanie z rozkładu dyskretnego 2 3 Łańcuch Markova Definicja Własności Losowanie z rozkładu
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoProgram MC. Obliczyć radialną funkcję korelacji. Zrobić jej wykres. Odczytać z wykresu wartość radialnej funkcji korelacji w punkcie r=
Program MC Napisać program symulujący twarde kule w zespole kanonicznym. Dla N > 100 twardych kul. Gęstość liczbowa 0.1 < N/V < 0.4. Zrobić obliczenia dla 2,3 różnych wartości gęstości. Obliczyć radialną
Bardziej szczegółowoWykład 4, 5 i 6. Elementy rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki w fizyce statystycznej
Wykład 4, 5 i 6 Elementy rachunku prawdopodobieństwa i kombinatoryki w fizyce statystycznej dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak
Bardziej szczegółowoKwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.
Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1
Agata Boratyńska Statystyka aktuarialna... 1 ZADANIA NA ĆWICZENIA Z TEORII WIAROGODNOŚCI Zad. 1. Niech X 1, X 2,..., X n będą niezależnymi zmiennymi losowymi z rozkładu wykładniczego o wartości oczekiwanej
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane
Bardziej szczegółowoZespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] }
Zespół kanoniczny Zespół kanoniczny N,V, T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } Zespół izobaryczno-izotermiczny Zespół izobaryczno-izotermiczny N P T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } acc o n =min {1, exp[
Bardziej szczegółowodla t ściślejsze ograniczenie na prawdopodobieństwo otrzymujemy przyjmując k = 1, zaś dla t > t ściślejsze ograniczenie otrzymujemy przyjmując k = 2.
Zadanie. Dla dowolnej zmiennej losowej X o wartości oczekiwanej μ, wariancji momencie centralnym μ k rzędu k zachodzą nierówności (typu Czebyszewa): ( X μ k Pr > μ + t σ ) 0. k k t σ *
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne
Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoAlgorytmy MCMC (Markowowskie Monte Carlo) dla skokowych procesów Markowa
Algorytmy MCMC (Markowowskie Monte Carlo) dla skokowych procesów Markowa Wojciech Niemiro 1 Uniwersytet Warszawski i UMK Toruń XXX lat IMSM, Warszawa, kwiecień 2017 1 Wspólne prace z Błażejem Miasojedowem,
Bardziej szczegółowoOptymalizacja. Symulowane wyżarzanie
dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Maciej Hapke Wyżarzanie wzrost temperatury gorącej kąpieli do takiej wartości, w której ciało stałe topnieje powolne
Bardziej szczegółowoTestowanie hipotez statystycznych.
Bioinformatyka Wykład 9 Wrocław, 5 grudnia 2011 Temat. Test zgodności χ 2 Pearsona. Statystyka χ 2 Pearsona Rozpatrzmy ciąg niezależnych zmiennych losowych X 1,..., X n o jednakowym dyskretnym rozkładzie
Bardziej szczegółowoWykład 3. Entropia i potencjały termodynamiczne
Wykład 3 Entropia i potencjały termodynamiczne dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej
Bardziej szczegółowoProcesy stochastyczne WYKŁAD 2-3. Łańcuchy Markowa. Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 2-3 Łańcuchy Markowa Łańcuchy Markowa to procesy "bez pamięci" w których czas i stany są zbiorami dyskretnymi. Przykład Symetryczne błądzenie przypadkowe na prostej. 1 2 Łańcuchem
Bardziej szczegółowoRozdział 2: Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów
Rozdział : Metoda największej wiarygodności i nieliniowa metoda najmniejszych kwadratów W tym rozdziale omówione zostaną dwie najpopularniejsze metody estymacji parametrów w ekonometrycznych modelach nieliniowych,
Bardziej szczegółowoN ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 100 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach:
Zadanie. O niezależnych zmiennych losowych N, M M, M 2, 3 wiemy, że: N ma rozkład Poissona z wartością oczekiwaną równą 00 M, M M mają ten sam rozkład dwupunktowy o prawdopodobieństwach: 2, 3 Pr( M = )
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Metody specjalne Monte Carlo 24 listopada 2014 Transformacje specjalne Przykład - symulacja rozkładu geometrycznego Niech X Ex(λ). Rozważmy zmienną losową [X ], która przyjmuje wartości naturalne.
Bardziej szczegółowoZałóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb
Współzależność Załóżmy, że obserwujemy nie jedną lecz dwie cechy, które oznaczymy symbolami X i Y. Wyniki obserwacji obu cech w i-tym obiekcie oznaczymy parą liczb (x i, y i ). Geometrycznie taką parę
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoZmienne losowe, statystyki próbkowe. Wrocław, 2 marca 2015
Zmienne losowe, statystyki próbkowe Wrocław, 2 marca 2015 Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20 punktów) aktywność Zasady zaliczenia 2 kolokwia (każde po 20 punktów) projekt (20
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 9 Sieci rekurencyjne. Autoasocjator Hopfielda
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 9. Maja Czoków, Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2018-12-10 Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 10 Sieci rekurencyjne. Autoasocjator Hopfielda
Wstęp do sieci neuronowych, wykład 10. Maja Czoków, Jarosław Piersa Wydział Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Mikołaja Kopernika 2011-12-13 1 Modele sieci rekurencyjnej Energia sieci 2 3 Modele sieci
Bardziej szczegółowoRysunek 1: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha. Rysunek 2: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha w różnych rzutach przestrzennych.
VII. SPIN 1 Rysunek 1: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha. Rysunek 2: Schemat doświadczenia Sterna-Gerlacha w różnych rzutach przestrzennych. 1 Wstęp Spin jest wielkością fizyczną charakteryzującą cząstki
Bardziej szczegółowomodel isinga 2d ab 10 grudnia 2016
model isinga 2d ab 10 grudnia 2016 tematyka Model spinów Isinga Hamiltonian i suma statystyczna modelu Metoda Monte-Carlo. Algorytm Metropolisa. Obserwable Modelowanie: Model Isinga 1 hamiltonian I Hamiltonian,
Bardziej szczegółowoProcesy Markowa zawdzięczają swoją nazwę ich twórcy Andriejowi Markowowi, który po raz pierwszy opisał problem w 1906 roku.
Procesy Markowa zawdzięczają swoją nazwę ich twórcy Andriejowi Markowowi, który po raz pierwszy opisał problem w 1906 roku. Uogólnienie na przeliczalnie nieskończone przestrzenie stanów zostało opracowane
Bardziej szczegółowoĆwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista 1 kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II
Ćwiczenia: Ukryte procesy Markowa lista kierunek: matematyka, specjalność: analiza danych i modelowanie, studia II dr Jarosław Kotowicz Zadanie. Dany jest łańcuch Markowa, który może przyjmować wartości,,...,
Bardziej szczegółowoEstymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich. Wrocław, 5 grudnia 2014
Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średnich Wrocław, 5 grudnia 2014 Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja Przedziałem ufności dla paramertu
Bardziej szczegółowoProces Poissona. Proces {N(t), t 0} nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t.
Procesy stochastyczne WYKŁAD 5 Proces Poissona. Proces {N(t), t } nazywamy procesem zliczającym jeśli N(t) oznacza całkowitą liczbę badanych zdarzeń zaobserwowanych do chwili t. Proces zliczający musi
Bardziej szczegółowoFizyka statystyczna, elementy termodynamiki nierównowagowej Cele, zakres zagadnień
Fizyka statystyczna, elementy termodynamiki nierównowagowej Cele, zakres zagadnień Narzędzia przypomnienie podstawowych definicji i twierdzeń z rachunku prawdopodobienstwa; podstawowe rozkłady statystyczne
Bardziej szczegółowo17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 17 KLASYCZNA DYNAMIKA MOLEKULARNA 17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Rozważamy układ N punktowych cząstek
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 6 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, bud. CIW, p. 221 e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoPrzejścia fazowe w 1D modelu Isinga
Przejścia fazowe w 1D modelu Isinga z zero-temperaturową dynamiką Glaubera Rafał Topolnicki rafal.topolnicki@gmail.com Wydział Fizyki i Astronomii Uniwersytet Wrocławski Wydział Podstawowych Problemów
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia c.d.
Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoWykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średn
Wykład 10 Estymacja przedziałowa - przedziały ufności dla średniej Wrocław, 21 grudnia 2016r Przedział ufności Niech będzie dana próba X 1, X 2,..., X n z rozkładu P θ, θ Θ. Definicja 10.1 Przedziałem
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoOPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki
OPTYKA KWANTOWA Wykład dla 5. roku Fizyki c Adam Bechler 2006 Instytut Fizyki Uniwersytetu Szczecińskiego Rezonansowe oddziaływanie układu atomowego z promieniowaniem "! "!! # $%&'()*+,-./-(01+'2'34'*5%.25%&+)*-(6
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoWYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE.
1 WYKŁAD NR 3 OPIS DRGAŃ NORMALNYCH UJĘCIE KLASYCZNE I KWANTOWE. Współrzędne wewnętrzne 2 F=-fq q ξ i F i =-f ij x j U = 1 2 fq2 U = 1 2 ij f ij ξ i ξ j 3 Najczęściej stosowaną metodą obliczania drgań
Bardziej szczegółowoF t+ := s>t. F s = F t.
M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoMatematyka ubezpieczeń majątkowych r.
Zadanie. W pewnej populacji kierowców każdego jej członka charakteryzują trzy zmienne: K liczba przejeżdżanych kilometrów (w tysiącach rocznie) NP liczba szkód w ciągu roku, w których kierowca jest stroną
Bardziej szczegółowoWariacyjna teoria grupy renormalizacji w opisie uczenia głębokiego czyli Deep
Wariacyjna teoria grupy renormalizacji w opisie uczenia głębokiego czyli Deep Learning oczami fizyka statystycznego Zakład Algebry i Kombinatoryki Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych 18 kwietnia 2018
Bardziej szczegółowoVII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa.
VII. Elementy teorii stabilności. Funkcja Lapunowa. 1. Stabilność w sensie Lapunowa. W rozdziale tym zajmiemy się dokładniej badaniem stabilności rozwiązań równania różniczkowego. Pojęcie stabilności w
Bardziej szczegółowoWykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe.
Rachunek prawdopodobieństwa MAP3040 WPPT FT, rok akad. 2010/11, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 7: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Warunkowa wartość oczekiwana.
Bardziej szczegółowo1 Gaussowskie zmienne losowe
Gaussowskie zmienne losowe W tej serii rozwiążemy zadania dotyczące zmiennych o rozkładzie normalny. Wymagana jest wiedza na temat własności rozkładu normalnego, CTG oraz warunkowych wartości oczekiwanych..
Bardziej szczegółowoHISTOGRAM. Dr Adam Michczyński - METODY ANALIZY DANYCH POMIAROWYCH Liczba pomiarów - n. Liczba pomiarów - n k 0.5 N = N =
HISTOGRAM W pewnych przypadkach interesuje nas nie tylko określenie prawdziwej wartości mierzonej wielkości, ale także zbadanie całego rozkład prawdopodobieństwa wyników pomiarów. W takim przypadku wyniki
Bardziej szczegółowoFunkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji 1-go i 2-go rodzaju
Funkcje charakterystyczne zmiennych losowych, linie regresji -go i 2-go rodzaju Dr Joanna Banaś Zakład Badań Systemowych Instytut Sztucznej Inteligencji i Metod Matematycznych Wydział Informatyki Politechniki
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoWykład 3 Momenty zmiennych losowych.
Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną
Bardziej szczegółowoMODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH
MODELE MATEMATYCZNE W UBEZPIECZENIACH WYKŁAD 3: WYZNACZANIE ROZKŁADU CZASU PRZYSZŁEGO ŻYCIA 1 Hipoteza jednorodnej populacji Rozważmy pewną populację osób w różnym wieku i załóżmy, że każda z tych osób
Bardziej szczegółowo1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych. , u x1 x 2
Temat 1 Pojęcia podstawowe 1.1 Przegląd wybranych równań i modeli fizycznych Równaniem różniczkowym cząstkowym rzędu drugiego o n zmiennych niezależnych nazywamy równanie postaci gdzie u = u (x 1, x,...,
Bardziej szczegółowoWykład 9: Markov Chain Monte Carlo
RAP 412 17.12.2008 Wykład 9: Markov Chain Monte Carlo Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Ewelina Rychlińska i Wojciech Wawrzyniak Wstęp W tej części wykładu zajmiemy się zastosowaniami łańcuchów Markowa
Bardziej szczegółowo1 Relacje i odwzorowania
Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X
Bardziej szczegółowoUkłady stochastyczne
Instytut Informatyki Uniwersytetu Śląskiego 21 stycznia 2009 Definicja Definicja Proces stochastyczny to funkcja losowa, czyli funkcja matematyczna, której wartości leżą w przestrzeni zdarzeń losowych.
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura
Bardziej szczegółowoWeryfikacja hipotez statystycznych. KG (CC) Statystyka 26 V / 1
Weryfikacja hipotez statystycznych KG (CC) Statystyka 26 V 2009 1 / 1 Sformułowanie problemu Weryfikacja hipotez statystycznych jest drugą (po estymacji) metodą uogólniania wyników uzyskanych w próbie
Bardziej szczegółowoDefi f nicja n aprę r żeń
Wytrzymałość materiałów Stany naprężeń i odkształceń 1 Definicja naprężeń Mamy bryłę materialną obciążoną układem sił (siły zewnętrzne, reakcje), będących w równowadze. Rozetniemy myślowo tę bryłę na dwie
Bardziej szczegółowo2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.
Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.
Bardziej szczegółowoWstęp do sieci neuronowych, wykład 14 Maszyna Boltzmanna
do sieci neuronowych, wykład 14 Maszyna Boltzmanna M. Czoków, J. Piersa Faculty of Mathematics and Computer Science, Nicolaus Copernicus University, Toruń, Poland 2014-01-21 Problemy z siecią Hopfilda
Bardziej szczegółowoPojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład 1
Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład dr Mariusz Grządziel 5 lutego 04 Paradoks Zenona z Elei wersja uwspółcześniona Zenek goni Andrzeja; prędkość Andrzeja:
Bardziej szczegółowo