Wstęp do metod numerycznych 14. Kilka wstępnych uwag na temat numerycznego rozwiazywania równań różniczkowych zwyczajnych

Transkrypt

1 Wstęp do metod numerycznych 14. Kilka wstępnych uwag na temat numerycznego rozwiazywania równań różniczkowych zwyczajnych P. F. Góra /13

2 Równania różniczkowe zwyczajne Najogólniejsza postacia równania różniczkowego zwyczajnego (ODE, Ordinary Differential Equation) rzędu n jest wyrażenie postaci F ( x, y, dy dx,..., dn y dx n ) = 0, (1) gdzie y : R R lub, niekiedy, y : C C. Copyright c P. F. Góra 14 2

3 Jeśli pochodna F po ostatnim argumencie nie znika (przynajmniej lokalnie), (1) zapisujemy jako d n y dx n = F ( x, y, dy dx,..., dn 1 y dx n 1 ). (2) Trzeba jednak pamiętać, iż transformacja od (1) do (2) może wymagać dookreślenia (w tym sensie równanie (1) może nie być jednoznaczne). Copyright c P. F. Góra 14 3

4 Przykład: Równanie ( ) dy 2 + y 2 = 1 (3a) dx można zinterpretować na jeden z dwu sposobów: dy dx = 1 y 2, (3b) dy dx = 1 y 2. (3c) Copyright c P. F. Góra 14 4

5 Przykład Rozważmy równanie (1 y) d2 ( ) y dy 2 dx 2 + y = 0. (4) dx Poza punktem y = 1 nie ma problemu. Co zrobić dla y = 1? Możliwe sa dwa scenariusze: Który wybrać? dy dx = y=1 1 1 lub (5) Pozornie! Copyright c P. F. Góra 14 5

6 Układy równań pierwszego rzędu Równanie w postaci (2) na ogół przedstawia się w postaci układu n równań pierwszego rzędu. Najprostsza co nie oznacza, iż w każdym wypadku najlepsza transformacja od równania rzędu n do układu n równań pierwszego rzędu ma postać: y 1 y, dy dx dy 1 dx = y 2, d2 y dx 2 dy 2 dx = y 3,..., dn 1 y dx n 1 dy n 1 = y n, (6) dx d n y dx n dy n dx = F (x, y 1, y 2,..., y n ). Dlatego od tej pory będziemy się zajmować głównie układami równań rzędu pierwszego. Układy te nie musza mieć postaci sugerowanej przez transformację (6), ale widać, że takie zainteresowanie nie ogranicza ogólności rozważań. Copyright c P. F. Góra 14 6

7 Rozwiazania ogólne i szczególne Rozwiazaniem ogólnym równania różniczkowego zwyczajnego rzędu n nazywam najbardziej ogólna postać funkcji y : R R, klasy co najmniej C n, spełniajac a równanie (2). Rozwiazanie to zależy od n parametrów. Przykład: Rozwiazaniem ogólnym równania oscylatora harmonicznego jest funkcja d 2 y dt 2 = ω2 y (7) y(t) = A sin(ωt + ϕ). (8) Copyright c P. F. Góra 14 7

8 Rozwiazaniem szczególnym równania różniczkowego zwyczajnego rzędu n jest pewien przypadek szczególny rozwiazania ogólnego taki, w którym wartości wszystkich stałych dowolnych zostały ustalone, najczęściej poprzez podanie warunków, jakie ma spełniać rozwiazanie równania. Przykład: Rozwiazaniem szczególnym równania oscylatora harmonicznego (7) może być funkcja y(t) = cos ωt. (9a) Innym rozwiazaniem szczególnym tego równania może być funkcja y(t) = 3 ( 4 sin ωt + 9π ). (9b) 17 Obserwacja: Rozwiazaniem szczególnym układu n równań różniczkowych zwyczajnych rzędu pierwszego jest krzywa y : R R n. Copyright c P. F. Góra 14 8

9 Numerycznie można poszukiwać tylko szczególnych (nie ogólnych) rozwiazań równań różniczkowych. Rozwiazanie równania rzędu n lub też, co równoważne, układu n równań rzędu pierwszego, zależy od n stałych wyznaczanych z warunków, jakie spełniać ma poszukiwana funkcja. Jeśli wszystkie te warunki zadane sa w jednym punkcie, czyli dla jednej wartości zmiennej niezależnej, mówimy, iż dany jest problem poczatkowy, zwany inaczej problemem Cauchy ego. Copyright c P. F. Góra 14 9

10 Problem Cauchy ego: dy dx = f(x, y) (10) y(x 0 ) = y 0 gdzie y, y 0 R n, f : R R n R n (czasami zamiast R bierze się C). Copyright c P. F. Góra 14 10

11 Twierdzenie Picarda Twierdzenie 1. Jeżeli funkcja f jest ciagła w pasie x 0 x X oraz spełnia warunek Lipschitza ze względu na druga zmienna: L > 0 x : x 0 x X, y 1, y 2 : f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) L y 1 y 2 to problem Cauchy ego (10) ma w tym pasie rozwiazanie i jest ono jednoznaczne. Metody numeryczne w zasadzie ograniczaja się do przypadków spełniajacych założenia twierdzenia Picarda. Copyright c P. F. Góra 14 11

12 Problem Cauchy ego to przepis na to jak uzyskać rozwiazanie po infinitezymalnie małym kroku. Metody numeryczne zamiana problemu ciagłego na dyskretny x 0, x 1 = x 0 + h, x 2 = x 1 + h,..., x n = x n 1 + h,... y 0 = y(x 0 ), y 1 = y(x 1 ), y 2 = y(x 2 ),..., y n = y(x n ),... h krok (niekiedy może się zmieniać) Copyright c P. F. Góra 14 12

13 Metody jawne (explicit) Metoda jawna to przepis rachunkowy pozwalajacy wyliczyć wartość poszukiwanej funkcji y(x) w punkcie x n+1 na podstawie znajomości wartości funkcji (a także prawej strony równania) w punktach x n, x n 1, x n 2,.... Przykład: Metoda ( 3 y n+1 = y n + h 2 f n 1 ) 2 f n 1, (11) gdzie f k f(x k, y k ) (f oznacza prawa stronę równania różniczkowego w problemie (10)), jest jawna. Uwaga! Jeżeli w jakiejś metodzie, jawnej lub niejawnej (patrz niżej), zachodzi konieczność użycia prawej strony równania obliczanej we wcześniejszych punktach (f n 1, f n 2,... ), na ogół nie należy ich za każdym razem obliczać na nowo numerycznie szybciej jest je zapamiętać. Copyright c P. F. Góra 14 13

14 Metody niejawne (implicit) Metoda niejawna to równanie algebraiczne (w ogólności wielowymiarowe równanie algebraiczne), jakie musi spełniać poszukiwana wartość y n+1. Wyliczenie tej wartości polega na numerycznym rozwiazaniu odpowiedniego równania algebraicznego. Przykład: Metoda ( 1 y n+1 = y n + h 2 f n f n, (12) jest niejawna, gdyż poszukiwana wielkość y n+1 jest potrzebna do obliczenia f n+1. ) Copyright c P. F. Góra 14 14

15 Przykładu ciag dalszy Dane jest (skalarne) równanie różniczkowe dy dx = y x y 2 + x. (13) Zastosowanie metody niejawnej (12) do równania (13) prowadzi do następujacego równania algebraicznego na nieznana wielkość y n+1 : y n+1 = y n h y n+1 x n+1 yn x + y n x n n+1 yn 2. (14) + x n Copyright c P. F. Góra 14 15

16 Zgodność Od każdej metody numerycznego całkowania równań różniczkowych wymaga się, aby była zgodna z wyjściowym równaniem, to jest aby odtwarzała je w granicy nieskończenie małych kroków. Przykład: Przekształcajac wyrażenie (11) otrzymujemy y(x n + h) y(x n ) h y n+1 = y n + h y n+1 y n h ( 3 2 f n 1 ) 2 f n 1 (15a) = 3 2 f n 1 2 f n 1 (15b) = 3 2 f(x n + h, y(x n + h)) 1 2 f(x n, y(x n )) (15c) W granicy h 0 lewa strona (15c) daży do pochodnej x=xn, natomiast oba argumenty po prawej stronie daż dy dx a do (x n, y(x n )). Ostatecznie Copyright c P. F. Góra 14 16

17 otrzymujemy co jest zgodne z równaniem (10). dy = f(x n, y(x n )), dx x=xn (15d) Analogicznie można wykazać zgodność metody (12). Natomiast metoda ( 3 y n+1 = y n + h 2 f n 1 ) 3 f n 1, nie jest zgodna z równaniem (10). Copyright c P. F. Góra 14 17

18 Rzad metody Podczas numerycznego rozwiazywania równań różniczkowych popełnia się dwa rodzaje nieuniknionych błędów numerycznych: bład metody, wynikajacy z zastapienia ścisłego problemu ciagłego problemem dyskretnym oraz bład zaokraglenia, wynikajacy z faktu, iż obliczenia prowadzone sa ze skończona dokładnościa. Copyright c P. F. Góra 14 18

19 Uzyskane rozwiazanie numeryczne jest tylko przybliżeniem rozwiazania dokładnego. Niech y n y(x n ) będzie uzyskanym rozwiazaniem przybliżonym, natomiast ỹ(x n ) niech będzie (nieznanym, ale istniejacym) rozwia- zaniem dokładnym. Zgodność metody oznacza, że w granicy lim y n = h 0 ỹ(x n ), a wobec tego spodziewamy się, że dla małych h zachodzi y n ỹ(x n ) O(h p+1 ) (16) Liczbę p nazywamy rzędem metody. Ogólna postać metody rzędu p zapisuje się najczęściej jako y n+1 = G(h; y n+1, y n, y n 1,... ) + O(h p+1 ) (17) Copyright c P. F. Góra 14 19

20 Stabilność Na skutek popełnianych błędów, warunek poczatkowy w problemie Cauchy ego ulega w każdym kroku rozmyciu : dy dx = f(x, y) y(x 0 ) = y 0 dy dx = f(x, y) y(x 1 ) = y 1 +ε 1 dy dx = f(x, y) y(x 2 ) = y 2 +ε 2 (18) Gdyby ten bład rozmycia mógł propagować się z kroku na krok, rozwia- zanie numeryczne szybko mogłoby przestać mieć cokolwiek wspólnego z rozwiazaniem wyjściowego problemu Cauchy ego: aby metoda była stabilna, błędy popełniane w kolejnych krokach nie moga narastać z kroku na krok. Copyright c P. F. Góra 14 20

21 Zakładamy, że błędy sa niewielkie, ε n 1, możemy się więc ograniczyć do przybliżenia liniowego. W tym przybliżeniu ε n+1 = Gε n. (19) Błędy nie będa narastać z kroku na krok, jeśli wszystkie wartości własne macierzy G będa spełniać γ < 1. Macierz G nazywamy macierza wzmocnienia. Copyright c P. F. Góra 14 21

22 Przykład: Dla jednokrokowej metody jawnej y n+1 + ε n+1 = F(h; x n, y n + ε n ) F(h; x n, y n ) + F y y=yn ε n. (20) W powyższym wyrażeniu F/ y oznacza różniczkowanie wszystkich składowych F po wszystkich składowych y, czyli obliczanie jakobianu: Dla jednokrokowej metody jawnej G = F y (h; x n, y n ). (21) Jeżeli jakaś metoda w ogóle może być stabilna dla danego równania, wymóg stabilności oznacza na ogół wzięcie odpowiednio małego kroku h. Zgodnie z wyrażeniem (21), krok czasowy, który w pewnym punkcie zapewnia stabilność, może go nie zapewniać w innym. Copyright c P. F. Góra 14 22

23 Jawna metoda Eulera Problem Cauchy ego (10) to przepis na to jak uzyskać rozwiazanie po infinitezymalnie małym kroku. Spróbujmy zastosować ten przepis dla kroków małych, ale o skończonej długości. W tym celu dokonajmy rozwinięcia Taylora: y n+1 = y(x n+1 ) = y(x n + h) y(x n ) + dy h + O(h 2 ), dx x=xn,y=y n (22) a zatem y n+1 = y n + h f(x n, y n ) + O(h 2 ). (23) Metoda ta, zwana jawna metoda Eulera, jest najpopularniejsza (i jedna z najgorszych) metoda używanych do numerycznego całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. Copyright c P. F. Góra 14 23

24 Inne wyprowadzenie metody Eulera: (pozornie inne) y n + y(x n + h) = y n + x n +h x n +h x n dy dx dx = y n + x n +h x n f(x, y(x))dx x n (f(x n, y n ) + O(h)) dx = y n + h f(x n, y n ) + O(h 2 ). (24) Copyright c P. F. Góra 14 24

25 Interpretacja geometryczna jawnej metody Eulera (przypadek jednowymiarowy) y 0 y 1 x 0 x 1 Copyright c P. F. Góra 14 25

26 Przykład zastosowania jawnej metody Eulera dy/dx = -y + x y(0) = 1 2e -x + x -1 h=1/16 h=1/ y x Copyright c P. F. Góra 14 26

27 Stabilność jawnej metody Eulera y n+1 + ε n+1 = y n + ε n + h f(x n, y n + ε n ) y n + ε n + h f(x n, y n ) + h J(x n, y n )ε n (25) a zatem macierz wzmocnienia ma postać G = I + h J(x n, y n ), (26) gdzie J(x n, y n ) = f/ y x=xn,y=y n jest jakobianem prawej strony równania po drugiej zmiennej. I jest macierza jednostkowa. Copyright c P. F. Góra 14 27

28 Obserwacja: Dla równania liniowego dy dx = Ay, (27) gdzie A R n n, macierza wzmocnienia w jawnej metodzie Eulera jest G = I + ha. (28) Macierz A może, w ogólności, zależeć od zmiennej niezależnej, A = A(x). Copyright c P. F. Góra 14 28

29 Przykład zastosowania niejawnej metody Eulera dy/dx = -y + x y(0) = 1 niejawna h=1/8 niejawna h=1/16 2e -x + x - 1 jawna h=1/ y x Copyright c P. F. Góra 14 29

30 Przykład: Rozpatrzmy następujacy problem Cauchy ego: [ ] [ d u = dx v u(0) = 1, v(0) = 0. Analityczne rozwiazanie tego problemu ma postać ] [ u v ], (29) u(x) = e x e 1000x, (30a) v(x) = e x e 1000x. (30b) Copyright c P. F. Góra 14 30

31 Rozwiazanie (30) ma dwie charakterystyczne skale czasowe: T 1 = 1 i T 2 = 1/1000 T 1. Ta druga skala czasowa nie gra, poza poczatko- wym okresem, żadnej istotnej roli w rozwiazaniu, spodziewamy się więc, że można na nia nie zwracać uwagi w rozwiazaniu numerycznym. Nic bardziej błędnego! Spróbujmy rozwiazać problem (29) przy pomocy jawnej metody Eulera z krokiem h = 1/256. Wyniki przedstawia tabela x u(x) jawna met. Eulera, h = / / / / / / / / Copyright c P. F. Góra 14 31

32 oraz wykres jawna metoda Eulera, h=1/256 rozwiazanie dokladne 10 0 u(x) /128 2/128 3/128 4/128 Skad bierze się taki wynik? x dx Zauważmy, że du = 1009, a zatem x=0 Copyright c P. F. Góra 14 32

33 dla małych wartości argumentu szukana funkcja narasta bardzo szybko, jednak, jak się okazuje, wybrany krok czasowy jest większy niż charakterystyczna skala tego narastania przybliżenie numeryczne przestrzeliwuje, w następnym kroku stara się ten bład skompensować i w rezultacie rozwiazanie rozbiega się oscylacyjnie. Rozwiazanie jawna metoda Eulera z krokiem dwa razy mniejszym, h = 1/512, także wykazuje silne oscylacje dla małych wartości argumentu, ale oscylacje te sa tłumione. Jednocześnie jawna metoda Eulera z krokiem h = 1/2048 oraz niejawna metoda Eulera z krokiem h = 1/256 nie oscyluja i mimo poczatkowych odchyleń od rozwiazania dokładnego, zbiegaja się do niego bardzo szybko. Copyright c P. F. Góra 14 33

34 2.0 u(x) jawna, h=1/512 rozwiazanie dokladne 0 1/32 2/32 3/32 4/32 5/32 6/32 7/32 8/32 0 1/128 2/128 3/128 4/128 x jawna, h=1/2048 rozwiazanie dokladne niejawna, h=1/256 Copyright c P. F. Góra 14 34

35 Zjawiska te można wyjaśnić w oparciu o teorię stabilności. Wartości własne macierzy z problemu (29) wynosza λ 1 = 1, λ 2 = Wobec tego wartości własne macierzy wzmocnienia (28) wynosza γ 1 = 1 h, γ 2 = h. Z warunku γ 1,2 < 1 wynika, iż dla zapewnienia stabilności rozwiazania problemu (29) w jawnej metodzie Eulera musi zachodzić 0 < h < Układ typu (29), w którym występuje kilka wyraźnie różnych skal czasowych i jawna metoda numeryczna w celu zapewnienia stabilności musi się dostosować do najszybszej z nich, mimo iż jest ona praktycznie nieobecna w rozwiazaniu, nazywa się problemem sztywnym. Copyright c P. F. Góra 14 35

36 Problem: Zmiana pochodnej na przestrzeni kroku całkowania Wróćmy do wyjściowego problemu Cauchyego (10). Metody Eulera, jawna i niejawna, ignoruja fakt, iż prawa strona (pochodna poszukiwanej funkcji) zmienia się w trakcie wykonywania kroku całkowania. Spodziewamy się, że pewna średnia pochodna będzie lepiej opisywać zmiany funkcji na całym przedziale o długości równej długości kroku całkowania. Wobec tego jako średnia pochodna przyjmijmy pochodna w środkowym punkcie przedziału. Ale jak znaleźć wartość szukanej funkcji w tym środkowym punkcie? Najprościej jest znaleźć ja korzystajac z jawnej metody Eulera z krokiem połówkowym, następnie zaś obliczona w punkcie środkowym pochodna przenosimy do lewego krańca przedziału i wykonujemy cały krok o długości h. Zatem Copyright c P. F. Góra 14 36

37 Jawna metoda punktu środkowego k 1 = f(x n, y n ), (31a) ( k 2 = f x n + h 2, y n + h ) 2 k 1, (31b) y n+1 = y n + hk 2 + O(h 3 ). (31c) Dlaczego rzad tej metody równa się 2 (odrzucone wyrazy sa rzędu O(h 2+1 )), dowiemy się później. Podobnie później, w szerszym kontekscie, przeanalizujemy stabilność tej metody. Copyright c P. F. Góra 14 37

38 Interpretacja geometryczna jawnej metody punktu środkowego y 0 y 1/2 y 1 y Euler x 0 x 1/2 x 1 Copyright c P. F. Góra 14 38

39 Przykład zastosowania jawnej metody punktu środkowego dy/dx = -y + x y(0) = 1 2e -x + x -1 midpoint h=1/8 Euler h=1/ y x Copyright c P. F. Góra 14 39

40 Metody Rungego-Kutty Jawna metoda punktu środkowego należy do bardzo szerokiej klasy metod, w których dla poprawienia rzędu wartość prawej strony równania oblicza się w pewnych punktach pośrednich. Metody te nazywane sa metodami Rungego-Kutty. Z pewnych względów najpopularniesza z nich jest jawna, czteroetapowa (klasyczna) metoda Rungego-Kutty: k 1 = f (x n, y n ) (32a) ( k 2 = f x n h, y n hk 1 ( k 3 = f x n h, y n hk 2 ) ) (32b) (32c) k 4 = f (x n + h, y n + hk 3 ) (32d) ( 1 y n+1 = y n + h 6 k k k ) 6 k 3 + O(h 5 ) (32e) Copyright c P. F. Góra 14 40

41 Liniowe metody wielokrokowe Często przywoływana wada metod Rungego-Kutty jest konieczność obliczania prawej strony równania w punktach pośrednich, w których rozwiazania nie potrzebujemy. Zamiast tego, do uwzględnienia zmienności prawej strony na przestrzeni kroku całkowania, można wykorzystać informację zgromadzona w poprzednich punktach. Metody takie nosza nazwę liniowych metod wielokrokowych. Copyright c P. F. Góra 14 41

42 Ogólna metoda wielokrokowa ma postać k j=0 α j y n j h k j=0 β j f n j = 0, (33) gdzie f s f(x s, y s ). h jest krokiem całkowania, o którym w tym momencie zakładamy, że jest stały. (33) zawiera kombinacje liniowe poprzednio wyliczonych wartości funkcji i prawych stron równania, co uzasadnia człon liniowe w nazwie. Jeżeli β 0 0, metoda jest niejawna. Copyright c P. F. Góra 14 42

43 Metody Adamsa ogólne sformułowanie Rozważamy problem Cauchy ego dy = f(x, y), dx y(x) = y 0. (34) Rozwiazanie ma postać y(x n+1 ) = y n + x n+1 x n f(x, y(x)) dx. (35) Klasyczne metody Adamsa polegaja na zastapieniu f(x, y(x)) w (35) przez wzór ekstrapolacyjny (Bashforth) lub interpolacyjny (Moulton) z węzłami Copyright c P. F. Góra 14 43

44 interpolacji odległymi o krok całkowania, h, i scałkowaniu tego wzoru. Celem takiego postępowania, podobnie jak w metodach Rungego-Kutty, jest uwzględnienie zmienności pochodnej w obrębie kroku całkowania. Zauważmy, że wynik całkowania wielomianu interpolacyjnego nie zależy od wartości funkcji wartości f(x l, y l ) wchodza jako ustalone wartości interpolowanej funkcji w węzłach. k-krokowe metody Adamsa: Adams-Bashforth: y n+1 = y n + h Adams-Moulton: y n+1 = y n + h k j=1 k 1 j=0 β j f n+1 j + O(h k+1 ), (36) β j f n+1 j + O(h k+1 ). (37) Copyright c P. F. Góra 14 44

45 Przykład - wyprowadzenie trzykrokowej metody Adamsa-Bashfortha Funkcję podcałkowa w (35) przybliżam poprzez ekstrapolację wielomianowa z trzech ostatnio obliczonych punktów, odległych od siebie o h: + f(x, y(x)) f extr (x) = (x x n 1 )(x x n ) (x n 2 x n 1 )(x n 2 x n ) f n 2 (x x n 2 )(x x n ) (x n 1 x n 2 )(x n 1 x n ) f n 1 + (x x n 2 )(x x n 1 ) (x n x n 2 )(x n x n 1 ) f n = 1 2h 2(x x n + h)(x x n )f n 2 1 h 2(x x n + 2h)(x x n )f n h 2(x x n + 2h)(x x n + h)f n. (38) Copyright c P. F. Góra 14 45

46 Następnie x n+1 x n f(x, y(x)) dx 1 h 2f n 1 h 0 x n+1 x n f extr (x)dx = 1 2h 2f n 2 (z + 2h)z dz + 1 2h 2f n h 0 h 0 (z + h)z dz (z + 2h)(z + h) dz = 1 2h h3 f n 2 1 h h3 f n h h3 f n = h ( ) 23fn 16f 12 n 1 + 5f n 2. (39) Proszę to porównać z wyrażeniem (40c) poniżej. Copyright c P. F. Góra 14 46

47 Idea konstrukcji metod Adamsa: rysunek nie jest wierny, jako że pochodnej w punkcie x n+1 nie oblicza się za pomoca prostej interpolacji/ekstrapolacji metoda niejawna metoda jawna f n+1 impl f n+1 expl f(x n ) = y (x n ) f n f n-2 fn-1 x n-2 x n-1 x n x n+1 x Copyright c P. F. Góra 14 47

48 Metody Adamsa-Bashfortha (jawne) y n+1 = y n + hf n + O(h 2 ) (40a) y n+1 = y n + 2 h ( ) 3fn f n 1 + O(h 3 ) (40b) y n+1 = y n + 12 h ( ) 23fn 16f n 1 + 5f n 2 + O(h 4 ) (40c) y n+1 = y n + h 24 ( 55fn 59f n f n 2 9f n 3 ) + O(h 5 )(40d) y n+1 = y n + h 720 ( 1901fn 2774f n f n f n f n 4 ) + O(h 6 ) (40e) y n+1 = y n + h 1440 ( 4277fn 7923f n f n f n f n 4 475f n 5 ) + O(h 7 ) (40f) Copyright c P. F. Góra 14 48

49 Metody Adamsa-Moultona (niejawne) y n+1 = y n + hf n+1 + O(h 2 ) (41a) y n+1 = y n + 2 h ( ) fn+1 + f n + O(h 3 ) (41b) y n+1 = y n + 12 h ( ) 5fn+1 + 8f n f n 1 + O(h 4 ) (41c) y n+1 = y n + h 24 y n+1 = y n h + O(h 6 ) ( ) 9fn f n 5f n 1 + f n 2 + O(h 5 ) (41d) ( ) 251fn f n 264f n f n 2 19f n 3 y n+1 = y n + h 1440 ( 475fn f n 798f n f n 2 173f n f n 4 ) + O(h 7 ) (41e) (41f) Copyright c P. F. Góra 14 49

50 Podane wyżej metody sa wszystkimi sensownymi metodami wielokrokowymi o stałym kroku, opartymi o interpolację/ekstrapolację wielomianowa. Zgodność metod Adamsa jest oczywista. Copyright c P. F. Góra 14 50