Temat: Zagadnienie transportowe i zagadnienie przydziału Zadanie 1 Trzy piekarnie zlokalizowane na terenie miasta są zaopatrywane w mąkę z trzech magazynów znajdujących się na peryferiach. Zasoby mąki w magazynach wynoszą: w magazynie I 5 ton, w magazynie II 15 ton, w magazynie III 6 ton. Zapotrzebowanie piekarni wynosi odpowiednio 9, 1 i 4 tony. Jednostkowe koszty dostawy mąki do piekarń podano w tablicy: P 1 P 2 P M 1 17 10 12 M 2 10 4 5 M 6 Wyznacz plan przewozów, który minimalizuje łączny koszt transportu mąki. Zadanie 2 Załóż, że podaż pierwszego magazynu z zadania 1 zwiększyła się z 5 do 9 ton. Podaj plan przewozu i magazynowania nadwyżki mąki ponad zapotrzebowanie piekarń, minimalizujący łączne koszty transportu i magazynowania. Załóż dodatkowo, że koszty magazynowania w poszczególnych magazynach wynoszą odpowiednio 8, 2 i 2 jednostki. Zadanie Dostawcami mąki do piekarń są jej bezpośredni producenci młyny M 1, M 2 i M. Parametry A i są potencjalnymi zdolnościami produkcyjnymi młynów. Obok kosztów transportu w tablicy podano również koszty produkcji 1 tony mąki w poszczególnych młynach (p i): Wyznacz optymalny plan produkcji i transportu mąki tak, P 1 P 2 P A i p i aby zminimalizować łączne koszty produkcji i transportu M 1 17 10 12 9 50 mąki z młynów do piekarń. Załóż, że zdolności produkcyjne M 2 M 10 4 6 5 15 6 60 70 młynów będą w pełni wykorzystane, a nadwyżka produkcji ponad zapotrzebowanie piekarń będzie magazynowana B j 9 1 4 u producentów, przy jednostkowych kosztach magazynowania równych odpowiednio 8, 2 i 2 jednostki. Zadanie 4 Pewien dystrybutor jest odpowiedzialny za rozwiezienie butelek z napojami chłodzącymi od trzech dostawców do czterech odbiorców. Dystrybutor wie, ile jednostek towaru mają do dyspozycji dostawcy (odpowiednio 1000, 1500 i 2000 butelek) i wie, ile jednostek towaru potrzebują odbiorcy (odpowiednio 1250, 650, 1850, 750). Aby zaspokoić popyt odbiorców, dostawcy dysponować muszą ilością towaru co najmniej równą popytowi. Zadaniem dystrybutora jest ustalić taki plan przewozów, który spełniałby wymagania odbiorców, i jednocześnie brał pod uwagę możliwości dostawców. Kryterium oceny rozwiązań jest koszt całkowity transportu. Koszty jednostkowe transportu zapisane są w macierzy: 12 10 9 7 6 8 11 14. 12 15 17 11 1
Zadanie 5 Czterech dostawców może łącznie dostarczyć ładunek o masie 800 kg, przy czym pierwszy z nich jest w stanie nadać 150 kg, drugi 250 kg, trzeci 200 kg i czwarty 200 kg. Ładunek ma zostać przewieziony do trzech odbiorców, przy czym pierwszy z nich wyraża zapotrzebowanie na 100 kg, drugi na 00 kg, a trzeci na 400 kg. Macierz kosztów jednostkowych (w jednostkach pieniężnych) transportu ładunku pomiędzy poszczególnymi dostawcami i odbiorcami przedstawia się następująco: c ij I II III I 4 2 1 II 5 2 III 4 4 IV 2 2 1 Ustal taki plan przewozu ładunku, który zapewni minimalny całkowity koszt transportu i zarazem zaspokoi oczekiwania dostawców i odbiorców. Zadanie 6 Trzech dostawców może łącznie dostarczyć ładunek o masie 900 kg, przy czym pierwszy z nich jest w stanie nadać 200 kg, drugi 400 kg, trzeci 00 kg. Ładunek ma zostać przewieziony do czterech odbiorców, przy czym pierwszy z nich wyraża zapotrzebowanie na 150 kg, drugi 00 kg, trzeci 250 kg, a czwarty 200 kg. Macierz kosztów jednostkowych (w jednostkach pieniężnych) transportu ładunku pomiędzy poszczególnymi dostawcami i odbiorcami przedstawia się następująco: c ij I II III IV I 6 5 8 5 II 5 6 6 9 III 7 8 7 8 Ustal optymalny plan przewozu ładunku, który zapewni minimalny całkowity koszt transportu i zarazem zaspokoi oczekiwania dostawców i odbiorców. Zadanie 7 W pewnym dużym przedsiębiorstwie sześć sekretarek należy przydzielić do prowadzenia sześciu różnych prac biurowych. Z ostatnich zapisów znany jest czas (w min), jaki zajmuje tym sekretarkom wykonywanie poszczególnych prac, który podano w tablicy. Sekretarka Czas niezbędny przy wykonywaniu pracy 1 2 4 5 6 1 420 480 240 60 20 00 2 20 420 00 60 280 280 420 540 00 420 00 80 4 60 480 60 480 420 480 5 400 460 280 60 20 400 6 520 20 220 40 60 420 Zakładając specjalizację sekretarek, tzn. że każda z nich będzie wykonywać tylko jedną pracę, określić optymalny przydział z punktu widzenia minimalizacji łącznego czasu wykonywania prac. 2
Zadanie 8 Punkt napraw sprzętu gospodarstwa domowego zatrudnia czterech techników: Anię, Bartka, Cezarego i Dorotę. Należy przydzielić tych techników do wykonywania napraw trzech różnych uszkodzeń telewizorów. Ze względu na różną specjalizację pracowników i doświadczenie przy wykonywaniu napraw zróżnicowane są również czasy niezbędne każdemu z nich do naprawy poszczególnych uszkodzeń. Podano je w tablicy. Technik Czas niezbędny przy wykonywaniu pracy (min) 1 2 A 180 160 240 B 160 150 250 Przydziel techników do wykonywania napraw tak, aby zminimalizować łączny czas wykonywania tych napraw. Sformułuj model matematyczny problemu przydziału i podaj rozwiązanie optymalne. C 190 170 20 D 170 200 210 Zadanie 9 Pewna firma handlowa zamierza zatrudnić maszynistki do korespondencji w trzech językach: angielskim, niemieckim i włoskim. W konkursie na te stanowiska wzięły udział cztery kandydatki. W tablicy poniżej podano liczbę uderzeń na minutę i-tej maszynistki w j-tym języku. Znak X oznacza, że maszynistka nie zna danego języka. Język Maszynistka angielski niemiecki włoski 1 80 105 79 2 109 X 90 Przydziel maszynistki do korespondencji w poszczególnych językach tak, aby zmaksymalizować łączne efekty ich pracy. 100 97 X 4 95 80 85
Zadanie 10 Do produkcji swych wyrobów przedsiębiorstwo zużywa m.in. pięć elementów. Elementy te muszą być wytwarzane na maszynach, których przedsiębiorstwo nie posiada, dlatego korzystano z dostaw kooperanta. Dostawca postanowił zmienić profil swej produkcji i wycofał się ze współpracy. Zobowiązał się jedynie do wydzierżawienia trzech maszyn, na których elementy mogą być produkowane, jednak nie dłużej niż na 180 godz. w ciągu miesiąca każdą. Każdy podzespół może być produkowany na dowolnej maszynie. Maszyny różnią się wydajnością przy produkcji poszczególnych elementów, co ilustruje tablica. Maszyna Wydajność maszyny (w szt./godz.) przy produkcji podzespołu 1 2 4 5 I 0,80 1,00 0,40 2,00 0,625 II 0,75 0,60 0,50 1,875 0,60 III 1,25 1,20 0,75 1,50 0,50 Wiedząc, że 1 godz. pracy maszyny I kosztuje 0 zł, 1 godz. pracy maszyny II 42 zł i 1 godz. pracy maszyny III 6 zł, należy rozdzielić miesięczną produkcję elementów pomiędzy maszyny tak, aby wyprodukować co najmniej po 90 szt. elementów 1, 2 i oraz co najmniej po 75 szt. elementów 4 i 5 przy możliwie najniższych kosztach dzierżawy (pracy) maszyn. Zadanie 11 Do produkcji pięciu elementów (A, B, C, D i E) przedsiębiorstwo musi wydzierżawić trzy maszyny. Każdy podzespół może być produkowany na każdej maszynie, maszyny różnią się jednak nakładem czasu pracy niezbędnego dla wyprodukowania poszczególnych elementów, co ilustruje tablica. Maszyna Zużycie czasu pracy maszyny na produkcję podzespołu (w min) A B C D E I 75 60 150 0 96 II 80 100 120 2 100 III 48 50 160 40 120 Rozdzielić miesięczną produkcję elementów pomiędzy maszyny tak, aby wyprodukować co najmniej po 90 szt. elementów A, B i C oraz co najmniej po 75 szt. elementów D i E przy możliwie najniższych kosztach dzierżawy (pracy) maszyn. Wiadomo, że każdą z maszyn można wydzierżawić na co najwyżej 180 godz. (10 800 min) w ciągu miesiąca i że 1 godz. pracy maszyny I kosztuje 0 zł, 1 godz. pracy maszyny II 42 zł i 1 godz. pracy maszyny III 6 zł. 4
Zadanie 12 Trzy rodzaje koparek mogą wykonywać cztery rodzaje prac ziemnych. W poniższej tablicy podano wydajności koparek przy wykonywaniu poszczególnych prac (w m /dzień), liczby koparek, jakimi przedsiębiorstwo dysponuje dziennie, oraz minimalne zadania planowe w zakresie poszczególnych prac. Koparki typu Wydajność (w m/dzień) przy wykonywaniu wykopu I II III IV Liczba koparek do dyspozycji A 25 15 16 20 10 B 0 10 24 25 8 C 24 18 25 27,5 15 Minimalne dzienne zadania planowe (w m ) 220 90 146 220 Dokonaj przydziału koparek do wykonywania poszczególnych prac ziemnych, tak aby dzienne koszty ich eksploatacji były możliwie najniższe, wiedząc, że dzienne koszty eksploatacji 1 koparki typu A wynoszą 190 zł, 1 koparki typu B 10 zł, 1 koparki typu C 280 zł. Który typ koparek nie będzie w pełni wykorzystany? (Pamiętaj o sformułowaniu odpowiedniego modelu matematycznego). Zadanie 1 Wydział obróbki skrawaniem ma do dyspozycji trzy obrabiarki: O 1, O 2 i O, na których mogą być wykonywane cztery rodzaje elementów: E 1, E 2, E i E 4. Czas pracy obrabiarek przy produkcji poszczególnych elementów podano w poniższej tablicy. Obrabiarki Zużycie czasu pracy (w min) na produkcję 1 elementu E 1 E 2 E E 4 O 1 5 2 10 12 O 2 10 8 2 5 O 15 1 5 5 Dopuszczalne czasy pracy obrabiarek wynoszą odpowiednio: O 1 2500 min, O 2 10000 min, O 2400 min. Zadania planowe w zakresie poszczególnych elementów wynoszą: E 1 200 szt., E 2 800 szt., E 200 szt., E 4 600 szt. Rozdziel produkcję elementów pomiędzy obrabiarki tak, aby nie przekraczając limitów czasu pracy maszyn, zrealizować zadania planowe przyjmując za kryterium minimalizację łącznego czasu pracy obrabiarek. (Pamiętaj o sformułowaniu odpowiedniego modelu matematycznego). 5