KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT).
|
|
- Klaudia Kubiak
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT). Przez klasyczne zagadnienie transportowe rozumiemy problem znajdowania najtańszego programu przewozowego jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania (m liczba nadawców) i punktami odbioru (n liczba odbiorców). Zmienne decyzyjne: x ij, i=1,,m j=1,,n - ilość towaru dostarczana przez i-tego dostawcę j-temu odbiorcy. Oznaczenia: a=[a i ], i=1,,m wektor podaży, b=[b j ], j=1,,n wektor popytu,
2 C=[c ij ], macierz jednostkowych kosztów transportu, r ij przepustowość trasy (i,j); 0 tylko dla tras, dla których rzeczywiście przepustowość jest ograniczona. Ogólnie, w klasycznym zadaniu transportowym 0 =1,, ; =1,,, tzn. przepustowości tras są nieograniczone. Zamiast minimalizacji jedynie całkowitych kosztów transportu można w funkcji kryterium uwzględnić łącznie koszty produkcji i transportu, odległości lub całkowity czas transportu.
3 Łączna podaż dostawców powinna być nie mniejsza niż łączny popyt odbiorców. m i= 1 n a i b j = 1 j Jeżeli powyższy warunek spełniony jest jako równość, mamy do czynienia z zamkniętym zagadnieniem transportowym, jeżeli jako nierówność ostra otwartym zagadnieniem transportowym. Każde otwarte ZT można przekształcić w zamknięte poprzez rozszerzenie listy punktów odbioru o dodatkowy n+1 punkt, którego zapotrzebowanie jest równe różnicy pomiędzy sumą podaży a sumą popytu. Dalej będziemy rozważać wyłącznie zamknięte ZT.
4 D1 Punkty Nadania- PODAŻ a 1 = Punkty Odbioru- POPYT b 1 =1000 O1 O2 D2 a 2 = b 2 = O3 D3 35 a 3 = b 3 =750 O4 b 4 =750
5 Przykład: Firma dostarcza farmaceutyk produkowany w trzech fabrykach do czterech centrów dystrybucyjnych. Celem jest opracowanie planu przewozów, który charakteryzowałby się możliwie najmniejszym całkowitym kosztem transportu. Założenia: Jednostkowe koszty transportu są znane i stałe, przewozy odbywają się w tym samym czasie, rozważane są tylko trasy z fabryk do centrów dystrybucyjnych, łączny popyt jest równy łącznej podaży towaru Zmienne decyzyjne: x ij ilość towaru przewieziona z fabryki i do centrum j; i=1,2,3 j=1,2,3,4. Mamy do rozwiązania zamknięte zadanie transportowe: łączny popyt jest równy łącznej podaży produktów.
6 Min K(x)= 35X X X X X X X X X X X X 34 Ograniczenia podażowe: X 11 + X 12 + X 13 + X 14 = 1200 X 21 + X 22 + X 23 + X 24 = 1000 X 31 + X 32 + X 33 + X 34 = 800 Ograniczenia popytowe: X 11 + X 21 + X 31 = 1000 X 12 + X 22 + X 32 = 500 X 13 + X 23 + X 33 = 750 X 14 + X 24 + X 34 = 750 Xij >= 0 i=1,,3 j=1,,4
7 KLASYCZNE ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (KZT) min Model decyzyjny: K (x) = c x 1 1 ij (1) i (2) (3) (4) n m n = j = x ij = ai i = 12,,..., m j= 1 m x ij = bj j = 12,,..., n i= 1 x ij 0 i = 12,,..., m j = 12,,..., n (WARUNKI BRZEGOWE) ij (łączny koszt transportu) (WARUNKI DLA DOSTAWCÓW) (WARUNKI DLA ODBIORCÓW) Model KZT jest liniowym modelem decyzyjnym. Może być rozwiązywany metodami rozwiązywania zadań PL. Użycie metody simpleks jest poprawne, ale nieefektywne.
8 Twierdzenie 1 Jeżeli a i (i=1,2,...,m) oraz b j (j=1,2,...,n) są liczbami nieujemnymi to zagadnienie transportowe (1)-(4) ma zawsze rozwiązanie. Twierdzenie 2 Jeżeli a i (i=1,2,...,m) oraz b j (j=1,2,...,n) są liczbami całkowitymi, to każde dopuszczalne rozwiązanie bazowe zagadnienia transportowego przyjmuje również wartości całkowite. Twierdzenie 3 W układzie równań (2)-(3) zawsze jedno równanie, dowolnie wybrane spośród m+n równań, jest liniową kombinacją pozostałych m+n-1 równań. Wniosek 1: Wymiar bazy w zagadnieniu transportowym wynosi m+n-1. Wniosek 2: W rozwiązaniu dualnym, sprzężonym z dowolnym dopuszczalnym rozwiązaniem bazowym zadania PL (1)-(4), przynajmniej jedna ze składowych jest zawsze równa zero. Wniosek 3: niezdegenerowane rozwiązanie bazowe zagadnienia (1)-(4) posiada m+n-1 niezerowych składowych. Wniosek 4: jednoznaczny optymalny program przewozowy wykorzysta nie więcej niż m+n-1 spośród ogólnej liczby m*n tras przewozowych.
9 STORM moduł TRANSPORTATION
10 STORM WPROWADZANIE DANYCH
11 Algorytm: Rozwiązanie wstępne metodą kąta północno-zachodniego (North-West Corner)
12 Powyższy ekran przedstawia macierz przewozów X o wymiarach 3x4 (trzech dostawców row 1 do row 3 oraz 4 odbiorców column 1 do column 3), wektor podaży (kolumna supply) oraz wektor popytu (wiersz demand). Liczby na czarnym polu w macierzy X to wielkości przewozów proponowane przez rozwiązanie wstępne uzyskane metodą kąta pn.-zach. Metoda ta rozpoczyna alokację towarów na trasy rozpoczynając od trasy (1,1), przydzielając zawsze maksymalną dopuszczalną ilość towaru. Następnie dokonuje się wyboru trasy w kierunku południowym bądź wschodnim, w zależności od ilości towarów pozostałych w odpowiadającym punkcie dostaw bądź ilości niezaspokojonego popytu w odpowiadającym punkcie odbioru. Czasem, w przypadku wyczerpania zarówno podaży jak i popytu, wybierana jest trasa w kierunku pd.-wsch. mamy wówczas do czynienia z tzw. degeneracją rozwiązania. Degeneracja rozwiązania oznacza, ze liczba tras, na których pojawią się przewozy towarów będzie mniejsza niż m+n-1. W przypadku degeneracji należy przyjąć, że na wybranej trasie, na wschód albo na południe, pojawi się przewóz, ale będzie on, oczywiście, równy zero.
13 Trasy, na których pojawiają się przewozy to tzw. trasy bazowe. Wielkości przewozów na trasach bazowych to wartości zmiennych bazowych. Ilość zmiennych bazowych MUSI być równa m+n-1. Następny etap algorytmu polega na sprawdzeniu, czy uzyskane rozwiązanie jest optymalne, tzw. odpowiada mu minimalna możliwa wartość łącznych kosztów transportu. Sprawdzenie polega na: wyznaczeniu wartości elementów dwóch ciągów liczbowych: {u i } i=1,,m, {v j } j=1,,n. Wartości te znajdujemy jako rozwiązanie układu równań: dla tras bazowych (których jest m+n-1) spełnione są warunki = +. Ponieważ liczba nieznanych wartości wynosi m+n, a mamy m+n-1 równań odpowiadających zmiennym bazowym układ nie ma jednoznacznego rozwiązania. Możemy uzyskać rozwiązanie warunkowe przyjmuje się (umowa), że =0 i przy tym warunku znajduje się pozostałe wartości elementów obu ciągów.
14 Dla tras niebazowych wyznacza się wartości wskaźników optymalności według wzoru: = +. Program STORM podaje wartości elementów ciągu {u i } i=1,,m w ostatniej kolumnie tablicy ponad wartościami podaży w punktach dostaw oraz wartości elementów ciągu {v j } j=1,,n w ostatnim wierszu tablicy ponad wartościami popytu w punktach odbioru. Dla tras niebazowych, w komórkach tablicy pokazane są: w lewym górnym rogu wartość kosztu jednostkowego, w prawym dolnym rogu - wartość wskaźnika optymalności. Rozwiązanie jest optymalne, jeżeli wszystkie wskaźniki optymalności są 0. Dla tras bazowych, z definicji, są one równe zero. Jeżeli dla wszystkich tras niebazowych wartości wskaźników są > 0 oznacza to, że wskazane rozwiązanie jest OPTYMALNE i JEDNOZNACZNE. Jeżeli dla wszystkich tras niebazowych wartości wskaźników są 0 oraz dla trasy niebazowej pojawi się zerowa wartość wskaźnika optymalności, oznacza to, że uzyskane rozwiązanie jest OPTYMALNE i NIEJEDNOZNACZNE (istnieje inne rozwiązanie bazowe, któremu odpowiada ta sama wartość funkcji kryterium minimalnych kosztów transportu).
15 Jeżeli przynajmniej jeden ze wskaźników optymalności jest UJEMNY, oznacza to, że rozwiązanie nie jest optymalne można znaleźć rozwiązanie bazowe, któremu odpowiadają mniejsze koszty transportu. Wartość ujemnego wskaźnika optymalności pokazuje, jak zmieni się funkcja kosztów, jeżeli dokonamy takiej zmiany alokacji towarów na trasach, że na wybranej trasie niebazowej pojawi się jednostka towaru. Na przykład, wartość wskaźnika optymalności dla trasy (2,4) wynosi -35. Oznacza to, że gdyby tak zmienić rozwiązanie (zachowując spełnione warunki podażowe i popytowe), że na trasie (2,4) pojawi się jednostka towaru (trasa stanie się bazowa i wartość nowej zmiennej bazowej x 2,4 będzie równa 1, to łączne koszty związane z nowym rozwiązaniem będą niższe o 35 zł. Analizując wartości UJEMNYCH wskaźników optymalności, dokonujemy wyboru trasy NIEBAZOWEJ, na którą najbardziej opłaca się dokonać alokacji (odpowiada jej największy co do modułu ujemny wskaźnik optymalności). Trasę tę program STORM oznacza znakiem +.
16 W następnym kroku projektujemy odpowiednie zmiany na trasach bazowych, tak aby nie zakłócić bilansu podaży i popytu. Wybrane trasy bazowe zaznaczone są w tablicy znakami - i +. Dokonujemy przesunięcia towarów wzdłuż wskazanej ścieżki zgodnie z projektem. Największa ilość towarów, które możemy przesunąć wzdłuż ścieżki (dająca największy możliwy spadek wartości funkcji kryterium), jest równa minimum z ilości występujących na trasach oznaczonych znakiem - (aby nie uzyskać niedopuszczalnej ujemnej wartości). Zmianę wartości funkcji kryterium można przewidzieć mnożąc wartość wskaźnika optymalności przez wyznaczoną ilość przesuwanych towarów. Po uzyskaniu nowego rozwiązania bazowego należy sprawdzić jego optymalność, wyznaczając nowe wartośći elementów ciągów {u i } i=1,,m, {v j } j=1,,n oraz wskaźników optymalności i, ewentualnie, dokonać dalszych poprawek rozwiązania. Rozwiązanie bazowe, uzyskane w pierwszej iteracji algorytmu transportowego (bazowa stała się trasa (2,4) natomiast usunięta została trasa (2,3); wzdłuż zaznaczonej ścieżki przesunięto 700 jednostek towaru), pokazuje następna tablica programu STORM.
17 Rozwiązanie uzyskane w pierwszej iteracji nie jest optymalne. W drugiej iteracji do bazy wprowadzona zostanie trasa (3,2). I tak dalej az do uzyskania rozwiązania optymalnego. Rozwiązanie optymalne jest jednoznaczne dla tras niebazowych wszystkie wskaźniki optymalności są większe od zera. Interpretacja wartości wskaźnika optymalności dla trasy niebazowej, np. wskaźnika dla trasy (3,4) równego 30, jest następująca: gdyby zastosować w praktyce rozwiązanie bazowe nieoptymalne, w którym na trasie (3,4) pojawiłaby się jednostka towaru, to koszty takiego rozwiązania będą wyższe o 30 zł w porównaniu z rozwiązaniem optymalnym
18 Rozwiązanie poprawione
19 Rozwiązanie optymalne
20 KLASYCZNY ALGORYTM TRANSPORTOWY (KAT) Krok [1] - ustal początkowy program przewozowy. Rozwiązaniem początkowym może być dowolny DOPUSZCZALNY BAZOWY program przewozowy. Popularnymi metodami generowania takich rozwiązań są: metoda kąta północno-zachodniego (NW corner) oraz metoda minimalnego kosztu w macierzy C. Krok [2] - sprawdź czy aktualny program przewozowy jest optymalny Kryterium optymalności. Aktualne rozwiązanie uznamy za optymalne, jeżeli dla wszystkich tras NIEBAZOWYCH spełniony będzie warunek: = + 0. Krok [3] - wyznacz trasę dającą największą obniżkę kosztów Kryterium wejścia. Spośród tras niebazowych, dla których wskaźnik optymalności jest ujemny wybieramy trasę dającą największą jednostkową obniżkę kosztów. Niech będzie to trasa {k, l} taka, że:
21 = min #$ %& { } =1,, =1,, Krok [4] - zbuduj cykl korygujący przewozy Cykl korygujący przewozy budujemy w tabeli (macierzy) rozwiązań. Budowa cyklu korygującego składa się z trzech działań. 1. Postaw znak "+" na polu {k, l} wytypowanym w kroku [3] i traktuj dalej to pole jako pole bazowe 2. Wykreślaj sekwencyjnie wiersze i kolumny, które zawierają po jednym nieskreślonym polu bazowym. Po skończonej ilości skreśleń pozostaną zawsze co najmniej dwa nieskreślone wiersze i dwie nieskreślone kolumny. 3. Przypisz znak "+" lub "-" wszystkim polom bazowym leżącym w nieskreślonych wierszach i kolumnach. Przypisywanie znaków musi być prowadzone tak, aby w każdym wierszu i kolumnie gdzie się pojawił się znak "+" lub "-" istniał znak przeciwny do niego. Wygodnie jest zacząć zawsze od pola {k, l}, gdzie wcześniej postawiono już znak +. Krok [5] - ustal maksymalny przewóz δ na trasie ustalonej w [3]. Kryterium wyjścia. Ustalamy przewóz na trasie {k, l} wytypowanej w kroku [3] oraz trasę, którą usuniemy z listy tras bazowych.
22 Oznaczmy: G + - zbiór tras bazowych oznaczonych w cyklu znakiem "+ G _ - zbiór tras bazowych oznaczonych w cyklu znakiem "-" Bazę (ściślej: listę zmiennych bazowych) opuści zmienna bazowa należąca do zbioru G _, która ma najmniejszą wartość. Niech będzie to zmienna związana z trasą {r, s}: )= *+ = min, #$. / { } Krok [6] - skoryguj program przewozowy wzdłuż cyklu. Przejście do sąsiedniego rozwiązania bazowego: Nowy (poprawiony) program przewozowy X wyznacza się następująco: Idź do kroku [2]. =1 ) dla 5,6 G_ +) dla 5,6 G 9 dla 5,6 5G 9 G < 6
23 Obliczenia KAT wygodnie jest prowadzić w tabelkach: Przewozy O1 O2 O3 O4 PODAŻ D D D3 800 POPYT Ocena rozwiązania bazowego: Przewozy O1 O2 O3 O4 u i D1 0 D2 D3 v j
24 Otwarte zagadnienie transportowe (podaż przewyższa popyt) sprowadza się do zamkniętego zagadnienia poprzez dodanie dodatkowego punktu odbioru, którego popyt określony jest jako nadwyżka łącznej podaży nad łącznym popytem. Specjalne problemy: Blokowanie tras, Ograniczona przepustowość tras, Zagadnienie transportowe z punktami przeładunkowymi, Minimalizacja pustych przebiegów i inne.
25 ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU 1. m pracowników zostaje przydzielonych do m zadań. 2. Koszt jednostkowy c ij oznacza koszt wykonania zadania j przez i-tego pracownika 3. Zmienne takiego zadania są zmiennymi zero-jedynkowymi.
26 ALGORYTM WĘGIERSKI Dénes König Jenö (lub Eugene) Egervary (1931) On combinatorial properties of matrices (w jęz. węgierskim) Harold W. Kuhn (1955) The Hungarian Method for the Assignment Problem
27 Dane: Macierz kosztów C = [cij]. Krok 1. Przekształcenie macierzy kosztów C = [c ij ] tak, aby w każdym jej wierszu i w każdej kolumnie występowało przynajmniej jedno zero. W tym celu od każdego wiersza macierzy odejmuje się jego najmniejszy element i następnie (jeżeli trzeba) od każdej kolumny odejmuje się jej najmniejszy element. Krok 2. Skreślenie w przekształconej macierzy wierszy i kolumn zawierających zera możliwie najmniejszą liczbą linii (poziomych i pionowych). Jeżeli najmniejsza liczba linii niezbędnych do pokrycia wszystkich zer jest równa wymiarowi macierzy, czyli N, to można przejść do kroku 3. i wyznaczyć rozwiązanie optymalne. W przeciwnym przypadku należy przejść do kroku 4.
28 Krok 3. Ustalenie rozwiązania optymalnego, polegające na takiej konstrukcji macierzy X=[x ij ], aby jedynki znalazły się tylko na tych miejscach, na których w przekształconej macierzy kosztów występują zera (w każdym wierszu i każdej kolumnie może występować tylko jedna jedynka). Krok 4. Jeżeli liczba skreśleń jest mniejsza od rozmiaru macierzy N, w bieżącej macierzy kosztów należy znaleźć najmniejszy nieskreślony element i ten element: odjąć od elementów nieskreślonych, dodać do elementów podwójnie skreślonych. Elementy skreślone jedną linią zostawiamy bez zmian. Wrócić do kroku 2.
29 PRZYKŁAD Problem polega na podjęciu decyzji, do którego miejsca kontroli jakości i składowania mają być dostarczane produkty (małe urządzenia elektryczne) z 5 linii montażowych. Produkty z każdej z linii montażowych są kontrolowane tylko na jednym stanowisku kontroli. Dane dotyczą czasu dostarczania produktów w minutach. Minimalizowana funkcja kryterium łączny czas.
30 Linia montażowa S 1=1 1 Miejsce kontroli jakości A D 1=1 S 2 =1 2 B D 2 =1 S 3 =1 3 C D 3 =1 S 4=1 4 D D 4=1 S 5 =1 5 E D 5 =1
31 Model programowania liniowego dla zagadnienia przydziału Min 10X X X X 55 S.T. X 11 + X 12 + X 13 + X 14 + X 15 = 1 X 21 + X X 25 = 1 X 51 + X 52 + X 53 + X 54 + X 55 = 1 X 11 + X 21 + X 31 + X 41 + X 51 =1 X 12 + X 22 + X 32 + X 42 + X 52 =1 X 15 + X 25 + X 35 + X 45 + X 55 =1 Wszystkie zmienne są nieujemne, binarne Warunki dla linii montażowych Warunki dla miejsc kontroli jakosci
32
33 Inne problemy przydziału: Przydział produkcji wyrobów do poszczególnych miejsc pracy, aby zminimalizować czas lub koszty bądź zmaksymalizować efekty; zmienne to czas pracy i-tego miejsca przy wykonywaniu j-tego wyrobu; dane: wydajność i-tego miejsca przy wykonywaniu j-tego wyrobu, założona wielkość produkcji każdego z wyrobów, dopuszczalny czas pracy każdego z miejsc pracy, Przydział produkcji wyrobów do poszczególnych miejsc pracy, aby zminimalizować czas lub koszty bądź zmaksymalizować efekty; zmienne to czas pracy i-tego miejsca przy wykonywaniu j-tego wyrobu; dane: czas pracy i-tego miejsca przy wykonywaniu j-tego wyrobu, założona wielkość produkcji każdego z wyrobów, dopuszczalny czas pracy każdego z miejsc pracy.
BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI. Zagadnienie transportowe
BADANIA OPERACYJNE I TEORIE OPTYMALIZACJI Zagadnienie transportowe Klasyczne zagadnienie transportowe Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu jednorodnego dobra pomiędzy punktami nadania
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 1 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Klasyczne zagadnienie transportowe 1 Klasyczne zadanie transportowe problem najtańszego przewozu
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYMALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie przydziału dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Zagadnienie przydziału 1 Można wyodrębnić kilka grup problemów, których zadaniem jest alokacja szeroko
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE ZT jest specyficznym problemem z zakresu zastosowań programowania liniowego. ZT wykorzystuje się najczęściej do: optymalnego planowania transportu towarów, przy minimalizacji kosztów,
Bardziej szczegółowoA. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe1
A. Kasperski, M. Kulej, Badania operacyjne, Wykład 4, Zagadnienie transportowe ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a,a 2,...,a p i qodbiorców, którychpopytwynosi b,b 2,...,b
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT)
A. Kasperski, M. Kulej BO Zagadnienie transportowe 1 ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE(ZT) Danychjest pdostawców,którychpodażwynosi a 1, a 2,...,a p i q odbiorców,którychpopytwynosi b 1, b 2,...,b q.zakładamy,że
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1)
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 1) Zadanie zbilansowane Przykład 1. Zadanie zbilansowane Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe. dr Adam Sojda
BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe dr Adam Sojda adam.sojda@polsl.pl http://dydaktyka.polsl.pl/roz6/asojda/default.aspx Pokój A405 Zagadnienie transportowe Założenia: Pewien jednorodny towar należy
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe
BADANIA OPERACYJNE Zagadnienie transportowe Zadanie zbilansowane Zadanie zbilansowane Przykład 1 Firma posiada zakłady wytwórcze w miastach A, B i C, oraz centra dystrybucyjne w miastach D, E, F i G. Możliwości
Bardziej szczegółowoZadanie transportowe i problem komiwojażera. Tadeusz Trzaskalik
Zadanie transportowe i problem komiwojażera Tadeusz Trzaskalik 3.. Wprowadzenie Słowa kluczowe Zbilansowane zadanie transportowe Rozwiązanie początkowe Metoda minimalnego elementu macierzy kosztów Metoda
Bardziej szczegółowoRozwiązanie Ad 1. Model zadania jest następujący:
Przykład. Hodowca drobiu musi uzupełnić zawartość dwóch składników odżywczych (A i B) w produktach, które kupuje. Rozważa cztery mieszanki: M : M, M i M. Zawartość składników odżywczych w poszczególnych
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie
Zagadnienie transportowe (badania operacyjne) Mgr inż. Aleksandra Radziejowska AGH Akademia Górniczo-Hutnicza w Krakowie OPIS ZAGADNIENIA Zagadnienie transportowe służy głównie do obliczania najkorzystniejszego
Bardziej szczegółowoPlan wykładu. Przykład. Przykład 3/19/2011. Przykład zagadnienia transportowego. Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład 2 DECYZJA?
/9/ Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład --9 Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe
Zagadnienie transportowe Firma X zawarła kontrakt na dostarczenie trawnika do wykończenia terenów wokół trzech zakładów U, V i W. Trawnik ma być dostarczony z trzech farm A, B i C. Zapotrzebowanie zakładów
Bardziej szczegółowoWykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe.
Wykład z modelowania matematycznego. Zagadnienie transportowe. 1 Zagadnienie transportowe zostało sformułowane w 1941 przez F.L.Hitchcocka. Metoda rozwiązania tego zagadnienia zwana algorytmem transportowymópracowana
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA TRANSPORTOWE
ZAGADNIENIA TRANSPORTOWE Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WPROWADZENIE opracowano w 1941 r. (F.L. Hitchcock) Jest to problem opracowania planu przewozu pewnego jednorodnego produktu z kilku różnych
Bardziej szczegółowoZadanie transportowe
Zadanie transportowe Opracowanie planu przewozu jednorodnego produktu z różnych źródeł zaopatrzenia do punktów, które zgłaszają zapotrzebowanie na ten produkt. Wykład ARo Metody optymalizacji w ekonomii
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe
9//9 Zagadnienie transportowe Optymalizacja w procesach biznesowych Wykład Plan wykładu Przykład zagadnienia transportowego Sformułowanie problemu Własności zagadnienia transportowego Metoda potencjałów
Bardziej szczegółowoRozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA 3.2. Ćwiczenia komputerowe
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE pytania kontrolne
DUALNOŚĆ 1. Podać twierdzenie o dualności 2. Jaka jest zależność pomiędzy funkcjami celu w zadaniu pierwotnym i dualnym? 3. Prawe strony ograniczeń zadania pierwotnego, w zadaniu dualnym są 4. Współczynniki
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Model matematyczny Cel, środki, ograniczenia Funkcja celu funkcja kryterium Zmienne decyzyjne Model optymalizacyjny Układ warunków
Bardziej szczegółowoKlasyczne zagadnienie przydziału
Klasyczne zagadnienie przydziału Można wyodrębnić kilka grup problemów, w których zadaniem jest odpowiednie rozmieszczenie posiadanych zasobów. Najprostszy problem tej grupy nazywamy klasycznym zagadnieniem
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Badania operacyjne Problem Model matematyczny Metoda rozwiązania Znaleźć optymalny program produkcji. Zmaksymalizować 1 +3 2 2 3 (1) Przy ograniczeniach 3 1 2 +2 3 7 (2) 2 1 +4 2 12 (3) 4 1 +3 2 +8 3 10
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 1.1 Wykorzystując
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE
ZAGADNENE TRANSPORTOWE Definicja: Program liniowy to model, w którym warunki ograniczające oraz funkcja celu są funkcjami liniowymi. W skład każdego programu liniowego wchodzą: zmienne decyzyjne, ograniczenia
Bardziej szczegółowoRozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 1 PROGRAMOWANIE LINIOWE 1.1 Opis programów Do rozwiązania zadań programowania
Bardziej szczegółowoMETODA SYMPLEKS. Maciej Patan. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Uniwersytet Zielonogórski
METODA SYMPLEKS Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP Algorytm Sympleks najpotężniejsza metoda rozwiązywania programów liniowych Metoda generuje ciąg dopuszczalnych rozwiązań x k w taki sposób,
Bardziej szczegółowoMetoda simpleks. Gliwice
Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Sprowadzenie modelu do postaci bazowej Przykład 4 Model matematyczny z Przykładu 1 sprowadzić do postaci bazowej. FC: ( ) Z x, x = 6x + 5x MAX 1 2 1 2 O: WB: 1 2
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 5 (Materiały)
ZADANIE 1 Zakład produkuje trzy rodzaje papieru: standardowy do kserokopiarek i drukarek laserowych (S), fotograficzny (F) oraz nabłyszczany do drukarek atramentowych (N). Każdy z rodzajów papieru wymaga
Bardziej szczegółowo1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11
Spis treści 1 Problem transportowy... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Metoda górnego-lewego rogu... 3 1.3 Metoda najmniejszego elementu... 11 1.4 Metoda VAM... 18 1.5 Metoda e-perturbacji... 28 1.6 Metoda potencjałów...
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe całkowitoliczbowe. Tadeusz Trzaskalik
Programowanie liniowe całkowitoliczbowe Tadeusz Trzaskalik .. Wprowadzenie Słowa kluczowe Rozwiązanie całkowitoliczbowe Założenie podzielności Warunki całkowitoliczbowości Czyste zadanie programowania
Bardziej szczegółowoKolejny krok iteracji polega na tym, że przechodzimy do następnego wierzchołka, znajdującego się na jednej krawędzi z odnalezionym już punktem, w
Metoda Simpleks Jak wiadomo, problem PL z dowolną liczbą zmiennych można rozwiązać wyznaczając wszystkie wierzchołkowe punkty wielościanu wypukłego, a następnie porównując wartości funkcji celu w tych
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część 2)
ZAGADNIENIE TRANSPORTOWE (część ) Zadanie niezbilansowane Zadanie niezbilansowane Przykład 11. 5 3 8 A 4 6 4 B 9 3 11 C D E F G dostawcy odbiorcy Dostawcy: A :15 B : C :6 Odbiorcy: D :8 E :3 F :4 G :5
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA DYSKRETNA
Temat nr a: odelowanie problemów decyzyjnych, c.d. OPTYALIZACJA DYSKRETA Zagadnienia decyzyjne, w których chociaż jedna zmienna decyzyjna przyjmuje wartości dyskretne (całkowitoliczbowe), nazywamy dyskretnymi
Bardziej szczegółowoZadanie niezbilansowane. Gliwice 1
Zadanie niezbilansowane 1 Zadanie niezbilansowane Przykład 11 5 3 8 2 A 4 6 4 2 B 9 2 3 11 C D E F G dostawcy odbiorcy DOSTAWCY: A: 15 B: 2 C: 6 ODBIORCY: D: 8 E: 3 F: 4 G: 5 2 Zadanie niezbilansowane
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA W LOGISTYCE
OPTYALIZACJA W LOGISTYCE Zagadnienie transportowe 2 dr Zbigniew Karwacki Katedra Badań Operacyjnych UŁ Zagadnienie transportowe z kryterium czasu I rodzaju () Jeżeli w modelu klasycznego zagadnienia transportowego
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3
Wprowadzenie do badań operacyjnych - wykład 2 i 3 Hanna Furmańczyk 14 listopada 2008 Programowanie liniowe (PL) - wszystkie ograniczenia muszą być liniowe - wszystkie zmienne muszą być ciągłe n j=1 c j
Bardziej szczegółowoBadania Operacyjne Ćwiczenia nr 6 (Materiały)
Otwarte zagadnienie transportowe Jeżeli łączna podaż dostawców jest większa niż łączne zapotrzebowanie odbiorców to mamy do czynienia z otwartym zagadnieniem transportowym. Warunki dla dostawców (i-ty
Bardziej szczegółowoNotatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego
Notatki do tematu Metody poszukiwania rozwiązań jednokryterialnych problemów decyzyjnych metody dla zagadnień liniowego programowania matematycznego część III Analiza rozwiązania uzyskanego metodą simpleksową
Bardziej szczegółowoZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO
ZAGADNIENIA PROGRAMOWANIA LINIOWEGO Maciej Patan Uniwersytet Zielonogórski WSTĘP często spotykane w życiu codziennym wybór asortymentu produkcji jakie wyroby i w jakich ilościach powinno produkować przedsiębiorstwo
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2015 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2015 1 / 16 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2010 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 15 Homo oeconomicus=
Bardziej szczegółowocelu przyjmijmy: min x 0 = n t Zadanie transportowe nazywamy zbilansowanym gdy podaż = popyt, czyli n
123456789 wyk lad 9 Zagadnienie transportowe Mamy n punktów wysy lajacych towar i t punktów odbierajacych. Istnieje droga od każdego dostawcy do każdego odbiorcy i znany jest koszt transportu jednostki
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 8 Programowanie nieliniowe Spis treści Programowanie nieliniowe Zadanie programowania nieliniowego Zadanie programowania nieliniowego jest identyczne jak dla
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW
WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIEŃ TRANSPORTOWYCH Z KRYTERIUM KOSZTÓW Zadania transportowe Zadania transportowe są najczęściej rozwiązywanymi problemami w praktyce z zakresu optymalizacji
Bardziej szczegółowoOptymalizacja kosztów transportu w sferze logistyki zaopatrzenia
SZKUTNIK Joanna 1 ZIÓŁKOWSKI Jarosław 2 Optymalizacja kosztów transportu w sferze logistyki zaopatrzenia WSTĘP Zagadnienie transportowe jest szczególnym rodzajem zadania programowania liniowego. Polega
Bardziej szczegółowoUkłady równań i nierówności liniowych
Układy równań i nierówności liniowych Wiesław Krakowiak 1 grudnia 2010 1 Układy równań liniowych DEFINICJA 11 Układem równań m liniowych o n niewiadomych X 1,, X n, nazywamy układ postaci: a 11 X 1 + +
Bardziej szczegółowoMetoda graficzna może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład):
może być stosowana w przypadku gdy model zawiera dwie zmienne decyzyjne. Metoda składa się z dwóch kroków (zobacz pierwszy wykład): 1 Narysuj na płaszczyźnie zbiór dopuszczalnych rozwiazań. 2 Narysuj funkcję
Bardziej szczegółowoTeoretyczne podstawy programowania liniowego
Teoretyczne podstawy programowania liniowego Elementy algebry liniowej Plan Kombinacja liniowa Definicja Kombinacja liniowa wektorów (punktów) x 1, x 2,, x k R n to wektor x R n k taki, że x = i=1 λ i
Bardziej szczegółowoRozwiązanie zadania 1. Krok Tym razem naszym celem jest, nie tak, jak w przypadku typowego zadania transportowego
Zadanie 1 Pośrednik kupuje towar u dwóch dostawców (podaż: 2 i, jednostkowe koszty zakupu 1 i 12), przewozi go i sprzedaje trzem odbiorcom (popyt: 1, 28 i 27, ceny sprzedaży:, 25 i ). Jednostkowe koszty
Bardziej szczegółowoMetoda eliminacji Gaussa
Metoda eliminacji Gaussa Rysunek 3. Rysunek 4. Rozpoczynamy od pierwszego wiersza macierzy opisującej nasz układ równań (patrz Rys.3). Zakładając, że element a 11 jest niezerowy (jeśli jest, to niezbędny
Bardziej szczegółowo3. Macierze i Układy Równań Liniowych
3. Macierze i Układy Równań Liniowych Rozważamy równanie macierzowe z końcówki ostatniego wykładu ( ) 3 1 X = 4 1 ( ) 2 5 Podstawiając X = ( ) x y i wymnażając, otrzymujemy układ 2 równań liniowych 3x
Bardziej szczegółowoRozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 2 PROGRAMOWANIE LINIOWE CAŁKOWITOLICZBOWE 2.2 Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie
Bardziej szczegółowo1 Macierze i wyznaczniki
1 Macierze i wyznaczniki 11 Definicje, twierdzenia, wzory 1 Macierzą rzeczywistą (zespoloną) wymiaru m n, gdzie m N oraz n N, nazywamy prostokątną tablicę złożoną z mn liczb rzeczywistych (zespolonych)
Bardziej szczegółowoWykład 5. Metoda eliminacji Gaussa
1 Wykład 5 Metoda eliminacji Gaussa Rozwiązywanie układów równań liniowych Układ równań liniowych może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania. Metody dokładne
Bardziej szczegółowoMacierze. Rozdział Działania na macierzach
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i, j) (i 1,..., n; j 1,..., m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F R lub F C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania KOMPUTEROWE SYSTEMY STEROWANIA I WSPOMAGANIA DECYZJI Rozproszone programowanie produkcji z wykorzystaniem
Bardziej szczegółowoStandardowe zadanie programowania liniowego. Gliwice 1
Standardowe zadanie programowania liniowego 1 Standardowe zadanie programowania liniowego Rozważamy proces, w którym zmiennymi są x 1, x 2,, x n. Proces poddany jest m ograniczeniom, zapisanymi w postaci
Bardziej szczegółowoO MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ
O MACIERZACH I UKŁADACH RÓWNAŃ Problem Jak rozwiązać podany układ równań? 2x + 5y 8z = 8 4x + 3y z = 2x + 3y 5z = 7 x + 8y 7z = Definicja Równanie postaci a x + a 2 x 2 + + a n x n = b gdzie a, a 2, a
Bardziej szczegółowoBADANIA OPERACYJNE ANALITYKA GOSPODARCZA
BADANIA OPERACYJNE ANALITYKA GOSPODARCZA Egzamin pisemny 8.4.7 piątek, salae-6, godz. 8:-9:3 OBECNOŚĆ OBOWIĄZKOWA!!! Układ egzaminu. TEST z teorii: minut (test wielostronnego wyboru; próg 75%). ZADANIA:
Bardziej szczegółowoWykład 6. Programowanie liniowe
Wykład 6. Programowanie liniowe Zakład może wytwarzać dwa produkty: P 1 i P 2. Ich produkcja jest limitowana dostępnymi zasobami trzech środków: S 1, S 2, S 3. Zasoby tych środków wynoszą odpowiednio,
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego
Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 6 Metoda simpleks Spis treści Wstęp Zadanie programowania liniowego Wstęp Omówimy algorytm simpleksowy, inaczej metodę simpleks(ów). Jest to stosowana w matematyce
Bardziej szczegółowoNarzędzia wspomagania decyzji logistycznych
Narzędzia wspomagania decyzji logistycznych Dr Adam Kucharski Spis treści Optymalizacja liniowa. Programowanie liniowe.................................. Metoda graficzna.....................................
Bardziej szczegółowoTypowe zadania decyzyjne (zadania transportowe, zadania przydziału)
(zadania transportowe, zadania przydziału) Autor: Paweł Szołtysek O układzie prezentacji Decyzja Bardzo trudna decyzja Typowe zadania decyzyjne Wstęp Co to jest problem decyzyjny? I kwartał I II III IV
Bardziej szczegółowoWłasności wyznacznika
Własności wyznacznika Rozwinięcie Laplace a względem i-tego wiersza: n det(a) = ( 1) i+j a ij M ij (A), j=1 gdzie M ij (A) to minor (i, j)-ty macierzy A, czyli wyznacznik macierzy uzyskanej z macierzy
Bardziej szczegółowoRozwiązanie problemu transportowego metodą VAM. dr inż. Władysław Wornalkiewicz
Rozwiązanie problemu transportowego metodą VAM dr inż. Władysław Wornalkiewicz Występuje wiele metod rozwiązywania optymalizacyjnego zagadnienia transportowego. Jedną z nich jest VAM (Vogel s approximation
Bardziej szczegółowoWieloetapowe zagadnienia transportowe
Przykład 1 Wieloetapowe zagadnienia transportowe Dwóch dostawców o podaży 40 i 45 dostarcza towar do trzech odbiorców o popycie 18, 17 i 26 za pośrednictwem dwóch punktów pośrednich o pojemnościach równych
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne
Wykład 11 Ogólna postać metody iteracyjnej Definicja 11.1. (metoda iteracyjna rozwiązywania układów równań) Metodą iteracyjną rozwiązywania { układów równań liniowych nazywamy ciąg wektorów zdefiniowany
Bardziej szczegółowoElementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 Programowanie nieliniowe i całkowitoliczbowe
Spis treści Elementy Modelowania Matematycznego Wykład 7 i całkowitoliczbowe Romuald Kotowski Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2009 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 2 3 Spis treści Spis treści 1 Wstęp
Bardziej szczegółowoProblem zarządzania produkcją i zapasami
Problem zarządzania produkcją i zapasami Wykorzystamy zasadę optymalności Bellmana do poradzenia sobie z zarządzaniem zapasami i produkcją w określonym czasie z punktu widzenia istniejącego i mogącego
Bardziej szczegółowodoc. dr Beata Pułska-Turyna Zarządzanie B506 mail: mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505.
doc. dr Beata Pułska-Turyna Zakład Badań Operacyjnych Zarządzanie B506 mail: turynab@wz.uw.edu.pl mgr Piotr J. Gadecki Zakład Badań Operacyjnych Zarządzania B 505. Tel.: (22)55 34 144 Mail: student@pgadecki.pl
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2009 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2009 1 / 13
Bardziej szczegółowoUkłady równań liniowych. Ax = b (1)
Układy równań liniowych Dany jest układ m równań z n niewiadomymi. Liczba równań m nie musi być równa liczbie niewiadomych n, tj. mn. a a... a b n n a a... a b n n... a a... a b m m mn n m
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa Macierze
Analiza matematyczna i algebra liniowa Macierze Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: poniedziałek
Bardziej szczegółowoZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 3 ZADANIE TRANSPORTOWE I PROBLEM KOMIWOJAŻERA 3.3. ZADANIA Wykorzystując
Bardziej szczegółowo( 1) ( ) 16 Warunki brzegowe [WB] Funkcja celu [FC] Ograniczenia [O] b i ( 2) ( ) ( ) 14. FC max. Kompletna postać bazowa
Standardowe zadanie PL () Należy zaplanować produkcję zakładu w pewnym tygodniu w taki sposób, aby osiągnięty zysk był maksymalny. akład może wytwarzać dwa wyroby: P i P. Ich produkcja jest limitowana
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne. te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze.
BADANIA OPERACYJNE Badania operacyjne Badania operacyjne są sztuką dawania złych odpowiedzi na te praktyczne pytania, na które inne metody dają odpowiedzi jeszcze gorsze. T. Sayty 2 Standardowe zadanie
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe
Programowanie liniowe Maciej Drwal maciej.drwal@pwr.wroc.pl 1 Problem programowania liniowego min x c T x (1) Ax b, (2) x 0. (3) gdzie A R m n, c R n, b R m. Oznaczmy przez x rozwiązanie optymalne, tzn.
Bardziej szczegółowo1. Który z warunków nie jest właściwy dla powyższego zadania programowania liniowego? 2. Na podstawie poniższej tablicy można odczytać, że
Stwierdzeń będzie. Przy każdym będzie należało ocenić, czy jest to stwierdzenie prawdziwe, czy fałszywe i zaznaczyć x w tabelce odpowiednio przy prawdzie, jeśli jest ono prawdziwe lub przy fałszu, jeśli
Bardziej szczegółowo3. Wykład Układy równań liniowych.
31 Układy równań liniowych 3 Wykład 3 Definicja 31 Niech F będzie ciałem Układem m równań liniowych o niewiadomych x 1,, x n, m, n N, o współczynnikach z ciała F nazywamy układ równań postaci: x 1 + +
Bardziej szczegółowoProgramowanie celowe #1
Programowanie celowe #1 Problem programowania celowego (PC) jest przykładem problemu programowania matematycznego nieliniowego, który można skutecznie zlinearyzować, tzn. zapisać (i rozwiązać) jako problem
Bardziej szczegółowoUniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych. Piotr Kaczyński. Badania Operacyjne
Uniwersytet Kardynała Stefana Wyszyńskiego Wydział Matematyczno-Przyrodniczy Szkoła Nauk Ścisłych Piotr Kaczyński Badania Operacyjne Notatki do ćwiczeń wersja 0. Warszawa, 7 stycznia 007 Spis treści Programowanie
Bardziej szczegółowoRozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE
Wprowadzenie do badań operacyjnych z komputerem Opisy programów, ćwiczenia komputerowe i zadania. T. Trzaskalik (red.) Rozdział 6 PROGRAMOWANIE WYPUKŁE I KWADRATOWE 6. Ćwiczenia komputerowe Ćwiczenie 6.1
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe
Rozdział 5 Programowanie nieliniowe Programowanie liniowe ma zastosowanie w wielu sytuacjach decyzyjnych, jednak często zdarza się, że zależności zachodzących między zmiennymi nie można wyrazić za pomocą
Bardziej szczegółowoZagadnienie transportowe i zagadnienie przydziału
Temat: Zagadnienie transportowe i zagadnienie przydziału Zadanie 1 Trzy piekarnie zlokalizowane na terenie miasta są zaopatrywane w mąkę z trzech magazynów znajdujących się na peryferiach. Zasoby mąki
Bardziej szczegółowoProgramowanie liniowe metoda sympleks
Programowanie liniowe metoda sympleks Mirosław Sobolewski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki UW 13. wykład z algebry liniowej Warszawa, styczeń 2018 Mirosław Sobolewski (UW) Warszawa, 2018 1 /
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel
Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel Podstawowe czynności: aktywować dodatek Solver oraz ustawić w jego opcjach maksymalny czas trwania algorytmów na sensowną wartość (np. 30 sekund).
Bardziej szczegółowoALGORYTM SIMPLEX. B.Gładysz Badania operacyjne 2007
ALGORYTM SIMPLEX 7 Zagadnienie asortymentu produkcji Firma produkuje dwa wyroby P, P. Ograniczeniem dla produkcji są trzy surowce S, S i S.Nakłady jednostkowe surowców są następujące: S S S Zysk jednostkowy
Bardziej szczegółowoAlgorytm simplex i dualność
Algorytm simplex i dualność Łukasz Kowalik Instytut Informatyki, Uniwersytet Warszawski April 15, 2016 Łukasz Kowalik (UW) LP April 15, 2016 1 / 35 Przypomnienie 1 Wierzchołkiem wielościanu P nazywamy
Bardziej szczegółowoObliczenia iteracyjne
Lekcja Strona z Obliczenia iteracyjne Zmienne iteracyjne (wyliczeniowe) Obliczenia iteracyjne wymagają zdefiniowania specjalnej zmiennej nazywanej iteracyjną lub wyliczeniową. Zmienną iteracyjną od zwykłej
Bardziej szczegółowoLokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane
Lokalna odwracalność odwzorowań, odwzorowania uwikłane Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej Szkoła Główna Handlowa 17 maja 2012 Definicja Mówimy, że odwzorowanie F : X R n, gdzie X R n, jest lokalnie
Bardziej szczegółowoZagadnienia programowania liniowego dotyczą modelowania i optymalizacji wielu problemów decyzyjnych, na przykład:
Programowanie liniowe. 1. Aktywacja polecenia Solver. Do narzędzia Solver można uzyskać dostęp za pomocą polecenia Dane/Analiza/Solver, bądź Narzędzia/Solver (dla Ex 2003). Jeżeli nie można go znaleźć,
Bardziej szczegółowoZagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego. Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka
Zagadnienie Dualne Zadania Programowania Liniowego Seminarium Szkoleniowe Edyta Mrówka Ogólne zagadnienie PL Znajdź taki wektor X = (x 1, x 2,..., x n ), który minimalizuje kombinacje liniow a przy ograniczeniach
Bardziej szczegółowoSpis treści. Koszalin 2006 [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]
Spis treści 1 Zastosowanie Matlab a... 2 1.1 Wstęp... 2 1.2 Zagadnienie standardowe... 3 1.3 Zagadnienie transportowe... 5 1 Zastosowanie Matlab a Anna Tomkowska [BADANIA OPERACYJNE PROGRAMOWANIE LINIOWE]
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Macierze. a 11 a a 1m a 21 a a 2m... a n1 a n2... a nm
Rozdział 5 Macierze Funkcję, która każdej parze liczb naturalnych (i,j) (i = 1,,n;j = 1,,m) przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę a ij F, gdzie F = R lub F = C, nazywamy macierzą (rzeczywistą, gdy F
Bardziej szczegółowoTOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu
TOZ -Techniki optymalizacji w zarządzaniu Wykład dla studentów II roku studiów II stopnia na kierunku Zarządzanie Semestr zimowy 2009/2010 Wykładowca: prof. dr hab. inż. Michał Inkielman Wykład 2 Optymalizacja
Bardziej szczegółowoPolitechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania. Optymalizacja
Politechnika Wrocławska, Wydział Informatyki i Zarządzania Optymalizacja Dla podanych niżej problemów decyzyjnych (zad.1 zad.5) należy sformułować zadania optymalizacji, tj.: określić postać zmiennych
Bardziej szczegółowoOPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH
POLITECHNIKA RZESZOWSKA im. I. Łukasiewicza Wydział Zarządzania Katedra Metod Ilościowych OPTYMALIZACJA PROCESÓW LOGISTYCZNYCH Prowadzący: dr Tomasz Pisula e-mail: tpisula@prz.edu.pl Treści kształcenia:
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału
WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału Problem przydziału Przykład Firma KARMA zamierza w okresie letnim przeprowadzić konserwację swoich urządzeń; mieszalników,
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ 1 GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ GRY KONFLIKTOWE GRY 2-OSOBOWE O SUMIE WYPŁAT ZERO Gra w sensie niżej przedstawionym to zasady którymi kierują się decydenci. Zakładamy, że rezultatem gry jest wypłata,
Bardziej szczegółowo