Wykaz oznaczeń stosowanych w pracy a długość elementu łukowego, c kosinus kąta rozwarcia elementu, c 0 kosinus połowy kąta rozwarcia elementu, d współczynnik ścinania, e współczynnik membranowy, g ij, g ~ element konsystentnej macierzy geometrycznej, ij h wysokość przekroju pręta, i promień bezwładności przekroju pręta, k ij, k ~ ij element macierzy sztywności, l naturalna współrzędna wzdłuż osi łuku, n obciążenie równomiernie rozłożone w kierunku obwodowym, m moment zginający przypadający na długość elementu, m ij, m ~ element konsystentnej macierzy mas, ij p kr krytyczny mnożnik obciążenia, q uogólnione obciążenie równomiernie rozłożone, g globalny wektor przemieszczeń węzłowych, ij r współrzędna dyskretna, s sinus kąta rozwarcia elementu, s 0 sinus połowy kąta rozwarcia elementu, t obciążenie równomiernie rozłożone w kierunku promieniowym u przemieszczenie w kierunku obwodowym, v przemieszczenie w kierunku promieniowym, x współrzędna kątowa, A pole powierzchni przekroju pręta, Â wektor amplitud drgań węzłów, C i współczynniki w dokładnych funkcjach kształtu, C ~ i współczynniki w wielomianowych funkcjach kształtu, D macierz podatności, E moduł Younga, n E ~ operator przesunięcia Boole'a, Fˆ globalny wektor sił węzłowych wywołanych obciążeniem przęsłowym dla układu, 0 Fˆ globalny wektor sił węzłowych układu, G moduł Kirchhoffa, G, G ~ konsystentna macierz geometryczna elementu, Ĝ globalna macierz geometryczna układu, I moment bezwładności przekroju, I zmodyfikowany moment bezwładności przekroju, 4
J zastępczy moment bezwładności przekroju, K, K ~ macierz sztywności elementu, Kˆ globalna macierz sztywności układu, M moment zginający, M, M ~ konsystentna macierz mas elementu, Mˆ globalna macierz mas układu, N siła normalna, N δ i funkcja kształtu opisująca przemieszczenie δ wywołane i-tym jednostkowym przemieszczeniem węzłowym, P uogólniona siła, R promień krzywizny łuku, T macierz transformacji, U energia sprężysta, V objętość, α kąt rozwarcia elementu, α 0 połowa kąta rozwarcia elementu, δ uogólnione przemieszczenie, ε uogólnione odkształcenie liniowe, ϕ całkowity kąt obrotu przekroju, φ zmodyfikowany całkowity kąt obrotu przekroju, γ kąt odkształcenia postaciowego, η względny przyrost kąta obrotu przekroju, ι bezwładność obrotowa pręta przypadająca na jednostkę długości, κ zmiana krzywizny, κ współczynnik korekcyjny ścinania λ względne wydłużenie osi środkowej pręta, µ masa pręta przypadająca na jednostkę długości, ν współczynnik Poissona, ρ gęstość materiału, σ uogólnione naprężenie normalne, τ czas, ω częstość kołowa drgań własnych, ξ współrzędna bezwymiarowa, n operator różnicowy n-tego rzędu. 5
1. WSTĘP 1.1 Temat pracy Praca dotyczy podstawowych problemów metody elementów skończonych. Związana jest z bardzo istotnym zagadnieniem, jakim jest właściwe modelowanie matematyczne elementów skończonych stosowanych w obliczeniach inżynierskich. Metoda elementów skończonych (MES) jest z pewnością jedną z najczęściej stosowanych metod analizy komputerowej konstrukcji. Bibliografia jest olbrzymia i nie sposób jej w całości wymienić. Z prac monograficznych za ważną uznaje się [58]. Ponadto można wymienić dostępne w języku polskim [16, 25, 32, 33, 48, 52, 53]. Jedną z najnowszych jest natomiast [4]. Zastosowanie MES w istotny sposób wpłynęło na rozwój wielu dziedzin nauki, nie tylko mechaniki konstrukcji. W miarę żywiołowego rozwoju i aplikacji tej metody obliczeń pojawiły się nowe problemy, często nieoczekiwane, których aktualność rozciąga się po dzień dzisiejszy. Do najistotniejszych z całą pewnością należy otwarte pytanie dotyczące optymalnego, ze względu na czas i dokładność obliczeń, modelowania fizycznego konstrukcji oraz modelowania matematycznego na poziomie elementu. W końcu lat sześćdziesiątych rozpoznane zostało zjawisko występowania znacznych błędów w obliczeniach numerycznych. Pojawiły się one nieoczekiwanie w fizycznie poprawnie sformułowanych dyskretyzacjach układów ciągłych i dla określonych aproksymacji funkcji kształtu stosowanych elementów skończonych. Stwierdzono, że pewne aproksymacje wielomianowe, wielokrotnie sprawdzone w zaawansowanych obliczeniach inżynierskich, prowadzą do występowania zjawisk blokady ścinania (shear locking) w układach zginanych oraz dodatkowo blokady membranowej (membrane locking) w układach uwzględniających efekty tarczowe. Zjawiska te polegają na tym, że uwzględnienie wpływu sił poprzecznych i normalnych w funkcjonale wyrażającym energię sprężystą prowadzi do ogromnych błędów w przypadku, gdy wymiar grubości elementu jest mały (obliczeniowe przemieszczenie maleje w stosunku do poprawnego). Efekty te są już dobrze znane, ich analizie poświęcono wiele prac (Rozdział 1.2). Zaproponowano wiele sposobów przeciwdziałania tym zjawiskom. Ponieważ większość opracowanych metod bazuje na sztucznych, nie uzasadnionych fizycznie zabiegach, w pracy niniejszej proponuje się inną koncepcję elementu skończonego, który nie będzie wykazywał zjawisk blokady. 1.2 Przegląd literatury Zagadnieniom dotyczącym opracowania efektywnych elementów skończonych bazujących na wielomianowych funkcjach kształtu niskiego stopnia poświęcono bardzo dużo prac. Na problem związany z występowaniem zjawiska numerycznego blokady natknięto się już pod koniec lat sześćdziesiątych. Stwierdzono wtedy, że aproksymacje wykorzystujące liniowe funkcje kształtu stosowane do analizy układów zakrzywionych (łuki, powłoki) dają wyniki obarczone poważnymi błędami [1]. Paradoksalne było późniejsze odkrycie, że zastosowanie elementów belkowych tego 6
samego rzędu prowadzi do rezultatów znacznie lepszych [14, 15]. Z dzisiejszego poziomu wiedzy można odpowiedzieć, że przyczyną takiego zachowania się tych modeli obliczeniowych było zjawisko blokady membranowej. Praca [57] jest jedną z pionierskich, w których zaproponowano i skutecznie zastosowano pewne techniki usunięcia skutków zjawisk blokady. Autorzy stwierdzili, że zredukowanie liczby punktów Gaussa przy całkowaniu niektórych składników energii sprężystej daje pożądany efekt. Technikę tę zastosowano do modyfikacji opracowanych wcześniej [2] elementów płytowych, gdzie udało się wyeliminować skutki blokady ścinania, oraz powłokowych, w których występowała blokada membranowa. Technika zaproponowana przez autorów jest właściwie stosowana do dziś, jest najpopularniejsza i powszechnie wiadomo, że jest skuteczna. Natomiast do dziś nie ma jej racjonalnego uzasadnienia. W pracy [54] wyprowadzono dokładną macierz sztywności elementu łukowego o małej krzywiźnie. Wykazano jej identyczność z odwrotnością dokładnej macierzy podatności. Następnie przeprowadzono porównania odwrotności macierzy sztywności dla różnych elementów krzywoliniowych wskazując na możliwość pojawienia się błędów spowodowanych występowaniem zjawisk blokady w tych aproksymacjach. Praca [39] przedstawia porównanie efektywności różnych elementów zakrzywionych w obliczeniach drgań własnych łuków kołowych. Wzięto pod uwagę dwa elementy wykorzystujące trygonometryczne funkcje kształtu zaproponowany przez Cantina i Clougha oraz jego modyfikację, a także elementy z funkcjami trzeciego stopnia typowy i zredukowany. Najlepszym w badanych zagadnieniach okazał się zmodyfikowany element trygonometryczny. Już te pierwsze porównanie wskazuje, że do poprawnego opisu zachowania się konstrukcji łukowej niezbędne jest użycie funkcji trygonometrycznych. Autorzy w swej pracy wskazali również uwagę na to, że do sformułowania efektywnego elementu nie wystarczy zapewnienie poprawnego modelowania przemieszczeń bezodkształceniowych. Konieczne jest przede wszystkim wprowadzenie zgodnych pól odkształceń do modelu. Podobny wniosek został sformułowany w pracy [7]. W pracy [44] autorzy analizowali zjawisko blokady membranowej w łukach. Wykazali, że w łuku płaskim, w którym pola przemieszczeń są aproksymowane wielomianami niskiego stopnia sztywność elementu jest nadmiernie powiększona przez wpływ jego sztywności osiowej. Zjawisko to nasila się dla łuków mało wyniosłych. Autorzy wskazali, że właśnie to jest istotą blokady membranowej. W celu wyeliminowania tego efektu zastosowano całkowanie zredukowane dla tej części energii sprężystej, która dotyczy ściśliwości elementu. W wyniku tego zabiegu otrzymano element zakrzywiony, w którym nie ma już tego nie pożądanego zjawiska, zachowane natomiast zostało sprzężenie pomiędzy zginaniem a ściśliwością. Autorzy stwierdzili także, że technikę całkowania zredukowanego można zastąpić stosując sformułowanie mieszane. Zauważyli jednak, że w pracy poświęconej takiemu podejściu [27] wiele wyników liczbowych odbiega od rozwiązań dokładnych z powodu zastosowania dokładnego całkowania. Zasugerowali więc, że w niektórych przypadkach konieczne jest połączenie obu metod. W kolejnej pracy [45] ci sami autorzy kontynuowali podjęte wcześniej rozważania. Badali sformułowania przemieszczeniowe, naprężeniowe oraz mieszane z elementami klasy C 0 pod kątem 7
występowania i eliminowania zjawisk blokady ścinania i membranowej. Stwierdzili, że oba te zjawiska są ze sobą powiązane. W elementach klasy C 0 całkowanie zredukowane zastosowane do wyrażeń związanych ze ściśliwością i ścinaniem usuwa problem. Jednak według autorów zredukowanie całkowania przy energii ścinania prowadzi do eliminacji sprzężenia zginanieściśliwość, co powinno być cechą charakterystyczną poprawnej aproksymacji krzywoliniowej. W efekcie otrzymuje się element zachowujący się niemal jak element belkowy. Dalej wykazano, potwierdzając wstępne wnioski z pracy poprzedniej, że sformułowanie mieszane wykorzystujące wielomianowe pola uogólnionych naprężeń w elemencie jest narażone na blokadę. Stwierdzono także, że izoparametryczny element sześcienny nie wykazuje tego nie pożądanego efektu. Efekt ten natomiast pojawia się w sformułowaniu elementu kwadratowego. Autorzy zwrócili uwagę na paradoks, że często zalecane w problemach plastyczności zwiększenie liczby punktów całkowania dla uzyskania większej dokładności w badanym zagadnieniu daje rezultat przeciwny do zamierzonego. Ciekawą koncepcję wyjaśniającą przyczynę występowania zjawiska blokady ścinania w elementach belkowych podano w [31]. Autorzy wprowadzili pojęcie zbędnych więzów wewnętrznych. Po wstawieniu do formuły wyrażającej energię sprężystą przyjętej postaci aproksymacji pól przemieszczeń i wykonaniu całkowania wzdłuż elementu oraz obliczeniu granicy przy wysokości przekroju dążącej do zera otrzymuje się zależności pomiędzy przemieszczeniami węzłowymi. Jeśli tak wyznaczone więzy nie mają uzasadnienia fizycznego to badana aproksymacja musi wykazywać blokadę. Usunięcie zbędnych więzów prowadzi do modyfikacji aproksymacji, która jest już pozbawiona wad. Autorzy wyjaśnili również problemy występujące przy zastosowaniu parametru kary. Koncepcja ta polega na wprowadzeniu do aproksymacji z niezależnymi interpolacjami kąta odkształcenia postaciowego oraz przemieszczenia poprzecznego pewnego parametru, dzięki któremu można sztucznie sterować wielkością odkształcenia postaciowego [49]. Parametr ten jest tak zdefiniowany, by jego wartość zmniejszała sztucznie rosnącą sztywność na ścinanie w przyjętej aproksymacji, gdy wysokość przekroju maleje. Według autorów taka koncepcja jest nieskuteczna bez usunięcia zbędnych więzów. Ponadto ograniczeniem stosowalności tej metody jest dokładność obliczeniowa komputera, może tu dojść do zjawiska blokady wywołanego przez komputer (machine induced locking). W pracy [3] zaproponowano ideę zgodności pól aproksymujących odkształcenia wywołane zginaniem, ścinaniem oraz ściskaniem. Opracowano element klasy C 0 eliminując z aproksymacji te wyrażenia, które powodowały niezgodności. W efekcie otrzymano element identyczny z tym, który jest wynikiem zastosowania całkowania zredukowanego. W pracy [42] przedstawiono sformułowanie hybrydowe wykorzystujące zakrzywiony element klasy C 0. Na poziomie elementu pola odkształceń i naprężeń były aproksymowane niezależnie. Następnie parametry naprężeniowe wyeliminowano przy użyciu warunku stacjonarności Hellingera-Reissnera otrzymując standardowe równania równowagi. Takie podejście zapewniło poprawność otrzymanego elementu skończonego. W pracy zwrócono dużą uwagę na właściwy dobór funkcji naprężeń. Zaproponowano dwa kryteria, których spełnienie powoduje, że otrzymywany element nie wykazuje zjawisk blokady. Są to: kryterium unikania kinematycznych 8
postaci deformacji oraz kryterium wskaźnika więzów. Na ich podstawie autorzy zbudowali dwa elementy zakrzywione bazujące na funkcjach liniowych i kwadratowych. W pracy [38] wykazano, że selektywne całkowanie zredukowane zastosowane do standardowego problemu dyskretnego prowadzi do powstania elementu skończonego równoważnego temu, który otrzymuje się ze sformułowania hybrydowego. Tą samą prawidłowość udowodniono w [56]. W [28] zastosowano dwie metody usuwania zjawiska blokady membranowej w elemencie skończonym z funkcjami kształtu trzeciego stopnia. Przyjęto całkowanie zredukowane oraz koncepcję zgodności pól dla odkształceń membranowych z wykorzystaniem metody najmniejszych kwadratów. Wykazano, że wprowadzenie całkowania zredukowanego o jeden punkt Gaussa prowadzi do wyników identycznych z otrzymywanymi po wprowadzeniu zgodności pól dla odkształceń membranowych. Jednak zastosowanie redukcji o dwa punkty daje lepsze efekty. W pracy [25] podjęto badania podobne do przedstawionych w niniejszej rozprawie. Wyprowadzono dokładną macierz sztywności dla elementu parabolicznego. Tak opracowany element do analizy statyki jest oczywiście wolny od zjawisk blokady, które są charakterystyczne tylko dla aproksymacji z funkcjami kształtu nie spełniającymi podstawowych zależności pomiędzy przybliżanymi polami przemieszczeń. Kolejnym sposobem zapobiegania zjawiskom blokady jest koncepcja rozkładu modalnego zaproponowana w [45]. W rozważanym elemencie izoparametrycznym klasy C 0 zapewniona została możliwość powstania odkształceń zgięciowych, którym nie towarzyszy wydłużenie. Przedstawiana koncepcja polega na rozdzieleniu całkowitych deformacji na dwie postacie: czysto zgięciową i pozostałą. Następnie z wyrażenia na energię części zgięciowej usuwa się wszystkie elementy związane ze ściśliwością i ścinaniem. Efektem takiego podejścia jest poprawiony element zachowujący wszystkie pozytywne cechy sformułowania izoparametrycznego. Bardzo ciekawą metodę określania przyczyn i wielkości błędów wywołanych przez zjawiska blokady ścinania w elementach belkowych Timoshenki przedstawiono w [35]. Warunki równowagi belki złożonej z identycznych elementów przedstawiono w postaci równań różnicowych. Porównując takie sformułowania różnicowe dla elementu ścisłego oraz dla badanych aproksymacji liniowych można wyraźnie zaobserwować źródła i wartości błędów. Możliwe jest także wprowadzenie współczynników korekcyjnych, poprawiających wadliwe aproksymacje. Jednak podejście takie jest mało efektywne dla elementów łukowych z uwagi na znacznie bardziej złożone postacie odpowiednich równań różnicowych dla elementu dokładnego. Niemożliwym wydaje się wprowadzenie podobnie prostych współczynników korekcyjnych jak dla belki. Kontynuacją tej pracy były podobne rozważania dla elementów kwadratowych przedstawione w [36]. Testowaniu trójwymiarowych elementów zakrzywionych z funkcjami kształtu trzeciego stopnia, w których zastosowano selektywne całkowanie zredukowane, poświęcono pracę [29]. Zastosowano także metodę hybrydową z uwzględnieniem nieliniowości geometrycznej. Warunki nieliniowości wprowadzono stosując metodę kolokacji. Wykazano, że takie podejście eliminuje zjawiska blokady. Stosowano funkcje interpolujące, które uwzględniały dla łuków zakrzywionych w planie sprzężenie zginania w płaszczyźnie łuku z wydłużeniem oraz zginania z płaszczyzny ze 9
skręcaniem. W rozważaniach uwzględniano belki zakrzywione o małej grubości (bez wpływu ścinania). W pracy [10] badano różne typy elementów zakrzywionych bazujących na trygonometrycznych funkcjach kształtu. Jednak żadna z kilku przyjętych aproksymacji nie zawierała wszystkich składników charakterystycznych dla funkcji dokładnych. Ponadto były to funkcje o stałych współczynnikach, nie zależących od geometrii elementu. Nowy zakrzywiony element skończony określony przez krzywiznę wyprowadzono w pracy [19]. Wszystkie pola odkształceń wyrażono poprzez zmianę krzywizny. Takie podejście zapewniło zgodność pól odkształceń, gdyż interpolowana była tylko jedna zmienna. Autorzy wskazali, że najmniejszym możliwym do przyjęcia stopniem wielomianu jest 2, gdyż odkształcenie osiowe pręta zakrzywionego zależy od drugiej pochodnej krzywizny. Przyjęcie niższego stopnia aproksymacji prowadziłoby do blokady membranowej. Otrzymany element został przetestowany i wykazano, że jest wolny od zjawisk blokady ścinania i membranowej. Podobne podejście zaproponowano dla łuków, w których uwzględniono duże przemieszczenia [40] oraz plastyczność [41]. W obu przypadkach jedyną aproksymowaną wielkością był kąt obrotu przekroju, co automatycznie zapewniło zgodność pól przemieszczeń. W pracy [5] zaproponowano dwa trójwymiarowe elementy krzywoliniowe wykorzystujące niezależne pola odkształceń: dwuwęzłowy i trzywęzłowy wykorzystujące odpowiednio aproksymację stałą oraz liniową. Takie podejście eliminuje zjawiska blokady. Ponadto wykazano, przeprowadzając liczne testy numeryczne, że tak opracowane elementy dają lepsze wyniki, niż zmodyfikowany kwadratowy element izoparametryczny wyprowadzony w [30]. Dwuwęzłowy element zakrzywiony, w którym zastosowano rozdział postaci odkształcenia dla przemieszczeń radialnych oraz koncepcję zgodności pól w odkształceniach obwodowych przedstawiono w [18]. Wprowadzono macierz transformacji pomiędzy odkształceniami związanymi ze ścinaniem a odkształceniami wywołanymi zginaniem. Wykazano, że takie, jednak dość rozbudowane, sformułowanie jest skuteczne i usuwa problemy związane z występowaniem zjawisk blokady. Do aproksymacji krzywizny przyjęto liniowe funkcje kształtu. Wykonując obliczenia numeryczne autorzy wykazali wyższość swojego elementu nad elementami zaproponowanymi w [3]. Wiele innych prac poświęcono także opracowaniu elementów krzywoliniowych do analizy problemów nieliniowych geometrycznie. Poza kilkoma wspomnianymi wcześniej można wymienić ponadto [8, 12, 17, 43, 47]. 1.3. Cel pracy Niniejsza rozprawa stanowi rozszerzenie wcześniejszych badań dotyczących statyki [20, 23, 24, 37], dynamiki i stateczności łuków [21, 22] na przypadki prętów silnie zakrzywionych. Podstawowym celem rozprawy jest opracowanie wielomianowego elementu skończonego, który byłby efektywnym narzędziem analizy łuków o dużej krzywiźnie. Chodzi o zbudowanie takiego elementu, który będzie nie tylko skutecznym narzędziem analizy, ale którego sformułowanie będzie miało uzasadnienie fizyczne. Ogromna większość wysiłków naukowych w tej dziedzinie bazuje 10
bowiem na technikach nie znajdujących takiego uzasadnienia. Całkowanie zredukowane, rozdział postaciowy pól odkształceń, parametry kary, macierze stabilizacyjne, czy idea poprawiania modelu przez wtórne wprowadzanie zgodności pól to wszystko są zabiegi polegające na sztucznej modyfikacji prostego, ale błędnego w samym założeniu, modelu opartego o wymyślone, niepoprawne funkcje kształtu. Podejmowano już próby opracowania elementów bazujących na funkcjach trygonometrycznych. Jednak podstawową zaletą aproksymacji będącej przedmiotem tej rozprawy jest przyjęcie wielomianowych funkcji kształtu, które są przybliżeniem ścisłych funkcji trygonometrycznych. Przy takim podejściu otrzymuje się bardziej rozbudowany element, gdyż proponowane funkcje mają charakter fizyczny. Współczynniki występujące w nich zależą od fizycznych i geometrycznych charakterystyk elementu. Osiąga się jednak ogromny zysk w dokładności obliczeń, a co ważniejsze pewność, że element jest efektywny we wszystkich możliwych przypadkach w ramach przyjętych założeń. Nie można mieć natomiast takiej pewności dla aproksymacji opartych na sztucznych zabiegach. Ich skuteczność potwierdzono jedynie przeprowadzając liczne obliczenia numeryczne, ale to nie stanowi dowodu poprawności. Celem dodatkowym rozprawy jest, po opracowaniu wiarygodnego narzędzia do analizy łuków, określenie wpływu efektów dużej krzywizny na wyniki obliczeń oraz próba zdefiniowania granicy rozdzielającej łuki o małej krzywiźnie od silnie zakrzywionych. Dotyczy to statyki (przemieszczenia), dynamiki (częstości kołowe drgań własnych) oraz stateczności (wartości jednoparametrowych obciążeń krytycznych). Jako oryginalny element pracy można wymienić również wyprowadzenie równań różniczkowych osi odkształconej łuku silnie zakrzywionego z uwzględnieniem sił poprzecznych oraz sił normalnych. Rozważania dotyczące elementów prętowych silnie zakrzywionych ograniczono do materiałów charakteryzujących się liniową sprężystością oraz układów konstrukcyjnych o liniowej geometrii w ramach teorii małych przemieszczeń i małych odkształceń. Jedynie w zagadnieniach stateczności odstąpiono od zasady zesztywnienia. 1.4. Omówienie treści rozprawy Zasadnicza część pracy rozpoczyna się od przedstawienia w Rozdziale 2 elementów teorii płaskich prętów o dużej krzywiźnie. Skupiono się przede wszystkim na podaniu formuł, które były wykorzystane w dalszych obliczeniach równania pracy wirtualnej do obliczania przemieszczeń oraz wzoru na energię sprężystą wyrażoną przez uogólnione przemieszczenia. Rozdział 3 poświęcono opracowaniu konsystentnego elementu łukowego. Bazuje on na dokładnych (dla statyki) funkcjach kształtu, które mają postać trygonometryczną. Zbudowano macierze elementowe: sztywności, mas i geometryczną. Korzystając z macierzy sztywności przedstawiono warunki równowagi łuku podzielonego na identyczne elementy w postaci równań różnicowych. Następnie poprzez przejście graniczne (długość elementu dąży do zera) otrzymano równania różniczkowe osi odkształconej łuku. Wykazano także identyczność macierzy sztywności 11
wyznaczonej z warunku minimalizacji energii sprężystej z otrzymaną jako komplet reakcji węzłowych spowodowanych jednostkowymi przemieszczeniami węzłów elementu łukowego. Następnie przytoczono liczne przykłady numeryczne, których celem była weryfikacja opracowanego elementu, określenie wpływów dużej krzywizny na wyniki obliczeń, wykazanie, że opracowany element o stałej krzywiźnie może być również wykorzystany do rozwiązywania łuków o zmiennym promieniu krzywizny, a także porównanie wyników z teorii prętowej z wynikami teorii sprężystości w odniesieniu do łuków traktowanych jako tarcze. Rozdział 4 poświęcono zasadniczemu celowi pracy wyprowadzeniu wielomianowego elementu skończonego. Stosując rozwinięcia funkcji trygonometrycznych w szeregi potęgowe znaleziono przybliżone wielomianowe funkcje kształtu. Ich charakterystyczną cechą, odróżniającą je od funkcji powszechnie stosowanych, jest zależność występujących w nich współczynników od geometrycznych i fizycznych parametrów elementu. Dokonano porównania funkcji dokładnych i przybliżonych. Wyprowadzono macierze elementowe: sztywności stosując rozwinięcia funkcji trygonometrycznych do dokładnej macierzy sztywności oraz mas i geometryczną korzystając z wielomianowych funkcji kształtu. Ponadto przedstawiono wyniki obliczeń numerycznych, w których zastosowano element wielomianowy. Celem tych obliczeń było przede wszystkim wykazanie bardzo dużej dokładności opracowanego elementu, a także faktu, że nie wykazuje on pasożytniczych zjawisk blokady ścinania ani blokady membranowej oraz jego wyższości nad innymi elementami wielomianowymi, np. elementami wykorzystującymi koncepcję całkowania zredukowanego i selektywnego. W Rozdziale 5 zawarto podsumowanie pracy i wnioski końcowe. Na końcu pracy przedstawiono zestawienie literatury oraz trzy załączniki. W Załączniku 1 podano postać wielomianowej macierzy mas elementu zakrzywionego Eulera-Bernoulliego, w Załączniku 2 wielomianowej macierzy geometrycznej elementu zakrzywionego Eulera- Bernoulliego, a w Załączniku 3 macierzy sztywności elementów wykorzystujących liniowe funkcje kształtu, w których zastosowano całkowanie analityczne oraz selektywne zredukowane. 12