Logarytmy (1) Oblicz wartość wyrażenia 27 log 1

Transkrypt

1 Logrtm Oblicz wrtość wrżeni () Ab to obliczć, nie musim wcle znć się n rtmch! Wstrcz zjrzeć do Ściągwki Mturlnej (pod Logrtm, oczwiście) i znleźć w niej wzór w którm jest coś podobnego. Wzór to nic innego jk wzór postępowni podobnie jk instrukcj obsługi, recept n sporządzenie leku, obowiązując procedur itp. W mtemtce inczej niż w żciu wzor nleż stosowć idelnie dokłdnie (nwet drobne odstępstwo może bć ktstroflne).

2 Po przejrzeniu wzorów spostrzegm że prw stron wzoru... m identczn ksztłt z nszm wrżeniem 7 ( zmist jest. zmist jest 7, zmist jest ) Po wkonniu podstwień: 7 wzór przbier postć Ztem (po zminie stron) 7 7 Zdnie sprowdziło się więc do obliczeni 7 Może to będzie jkś łtw liczb? (po prwej jest dokłdnie nsze wrzenie). To co mm obliczć zzwczj ozncz się jkąś literą, n przkłd Ztem nsz problem przbier postć równni 7...

3 Zjrzjm ponownie do Ściągwki i poszukjm czegoś podobnego... Oto jest: c b b c Nic nie szkodzi że to nie jest równnie, bo to też jest wzór. Minowicie jest to wzór iczn oznczjąc że równnie po jego lewej stronie jest równowżne ( ) równniu po prwej czli że jedno z nich możn zstąpić drugim. Krócej mówiąc jest to równnie iczne. Jk je wkorzstć? Zestwm obok siebie: b 7 c b c c 7 b 7 Podstwm w równniu icznm: przbierze ono postć 7 Ztem: zmist zstnwić się ile wnosi w równniu 7 możem zstnowić się ile wnosi w równniu 7 A to jest brdzo łtwe n oko widć i łtwo sprwdzić że

4 Dzięki równniu icznemu udło nm się problem z rtmmi sprowdzić do problemu ze zncznie prostszmi potęgmi. To jest ogóln drektw postępowni UPRASZCZANIE: Strj się przerobić problem tk żeb bł prostsz lbo b pojwiło się w nim to co już znsz i potrfisz. Oblicz wrtość wrżeni () Wgląd to n błędn tekst zdni, bowiem w pierwszm rtmie nie podno żdnej liczb po smbolu tej zmniejszonej i obniżonej. Nzwn jest on podstwą rtmu Jednk jest dobrze! Umówiono się bowiem (w mtemtce podstwowej) że jeśli tej liczb nie npisno, to wnosi on 0 (celem tej umow jest zoszczędzenie pisni). Nleż to zpmiętć, bo w Ściągwce jest mło widoczne. Ztem nsze wrżenie to tk nprwdę... 4

5 Ze wzoru nie d się skorzstć, bo rtm w nim wstępujące mją tę smą podstwę podczs gd w nszm wrżeniu postw są różne. Spróbujm ztem policzć ob rtm osobno... 5

6 0 00 orz 8 Oznczm i przeksztłćm je (jk w poprzednim zdniu) według wzoru icznego Otrzmm... c b b c skąd już z łtwością wkombinujem że: czli cłe wrżenie m wrtość. A jeśli tkże potęgi sprwiją nm trudności, to spróbujm powolutku: Oczwiście nie błob tk łtwo ( nwet brdzo trudno), gdb bło np: le n szczęście tego nm oszczędzono. 6

7 Oblicz wrtość wrżeni () We wzorch n rtm nie znjdujem nic co b psowło do cłego wrżeni. Wobec tego szukm czegoś co psuje do jego części - i znjdujem że frgment... 7

8 r 0 psuje do prwej stron wzoru r 5 Wmienim wobec tego ten frgment i nsze wrżenie zmieni się n Postąpiliśm zgodnie z Drektwą Porcjowni: Jeśłi nie wiesz co zrobić z cłością, skup się n jkiejś jej porcji. Może ją ud ci się jkoś przerobić mniejsze jest prostsze! Szukm kolejnego dopsowni we wzorch i znjdujem że nsze wrżenie psuje terz do prwej stron wzoru co ozncz że jest równe wrżeniu czli 5 5 Ab to obliczć tworzm (jk wcześniej) równnie

9 i zmienim je (stosując równnie iczne n równnie równowżne 5 5 czli z którego wnik że 5 5 b c b c ) Oblicz wrtość wrżeni () Psującego wzoru niestet nie widć. Może ud się obliczć sm rtm osobno... 9

10 Piszm 8 6 i zmienim to n 8 6 Niestet, łdnego nie m (widć że jest ułmkow, gdzieś międz ) Zjrzjm jeszcze rz do wzorów może znjdzie się coś co jest prznjmniej częściowo podobne?... 0

11 Fktcznie nsze wrżenie jest częściowo podobne ( Porcjownie ) do prwej stron wzoru ( ) Różnic poleg n tm, że zmist drugiego rtmu jest u ns liczb Cz możn to jkoś usunąć tę różnicę? Nsuw się pomsł b liczbę przerobić n rtm, czli b bło 8 gdzie jest jkąś n rzie nieznną liczbą. Ab obliczć ten zmienim równość (według stosownego już wcześniej wzoru icznego Ztem 8 8 Szukm dlej we wzorch... 8 n 8 skąd 8 b c b c ) czli nsze wrżenie przbier postć

12 i zuwżm że jest podobne do prwej stron wzoru ( ) Stosujem więc ten wzór i otrzmujem że 6 8 (6 8) Cz możn to wliczć? tzn zrobić tk b nie bło rtmu... Trzeb spróbowć cz (6 8) prostszej postci np bez rtmu (bo rtm są trudne)... 8 ud się się sprowdzić do jkiejś

13 Podobnie jk robiliśm to wcześniej, piszem równnie 8 (6 8) 8 6 i zstępujem je równniem równowżnm le prostszm 8 Skoro po lewej stronie mm potęgę, to spróbujm uzskć ją i po prwej ( Upodbninie przerbij tk b bło podobnie bądź identcznie): stąd Mm więc 8 czli po obu stronch są potęgi, lecz niestet ich podstw są różne. Możem jednk 8 zstąpić przez uzskując: 7 ( ) czli Ztem odpowiedź brzmi 7 skąd czli 7 7

14 Dne są liczb: 04-4() b 64 c 7 Oblicz b c 7 4 Zmieńm równości z rtmmi n równości z potęgmi (te są łtwiejsze)... 4

15 b b ( 4) b b 4 4 b 4 4 b b c c ( ) c c c c c I rzeczwiście nieml utomtcznie udło się obliczć b i c, terz: 9 bc ( ) ( ) 7 7 Dl jkich jest określone wrżenie 4 ( ) 0-8() Zglądm do Ściągwki b zorientowć się o co chodzi ( Szuknie ). Znjdujem że w wrżeniu c musi bć: c 0 0 Ztem... 5

16 musi bć 0 czli czli Możn to zpisć brdziej nukowo, tzn w postci przedziłu (, ) Wznczliśm tzw dziedzinę funkcji 4 ( ) lbo mówiąc po ludzku: zbiór wszstkich dl którch funkcj 4 ( ) d się obliczć, lbo (jk w zdniu) obliczliśm dl jkich funkcj jest określon. Wkzć że prwdziw jest równość 4 Jest to brdzo zwikłne wszstko jest różne, cłość skomplikown. Spróbujm dobrć się do kżdego rtmu z osobn, nuż

17 Oczwiście Ozncznie i Uprszcznie ): ( ) ( ) z z Mm więc tkie równości; 4 9 z Przptrując się im dostrzegm możliwość upodobnieni tk b podstw potęg bł brdziej jednkowe (Drektw Upodobnini) z Równość drug wrźnie odstje od pozostłch, spróbujm ją przerobić: Terz ( ) 7

18 są już brdziej podobne: z dzięki czemu z pierwszch dwóch możn wwieść że Trzeb jeszcze jkoś wkorzstć trzecią równość: z skąd Gdb bł w niej bez potęgi, możn błob postąpić jk poprzednio. z Ale jest cośtm?...!... Cz możn ją przerobić tk b wglądł 8

19 Możn wstrcz podnieść obie jej stron do potęgi z : z z z ( z ) z z z Terz nsze równości przbierją postć: z co z dwóch osttnich pozwl wwieść że skąd czli z z z z Weźm się w końcu z nszej równość... 9

20 4 4 9 Po pierwsze podstwm 9 przbierze on postć brdziej przejrzstą: Zestwm terz wszstko co wprcowliśm: 4 4 z orz i z 4 z z Pierwsze równnie jest zbt skomplikowne. Po co nm ułmki? Zlikwidujm je mnożąc obie stron przez ( ) 4 z 4 z 0

21 4z i terz możem podstwić w nim: orz z czli 4 4 co dje 4 to jest oczwistą prwdą! ztem pierwotnej równości dowiedliśm. Rozwiązć równnie ( ) ( ) 9 9 Jest ono zbt zwikłne oznczm rtm wewnętrzne litermi: 9 b już wgląd będzie prostsz: 9 b Co z tego że jest prościej, skoro ndl nie widć jk to ugrźć le, le...

22 nie wkorzstliśm wprowdzonch oznczeń, są w nich podobieństw : to smo orz pokrewne 9 i ( 9 ). Ztem przeksztłćm obie równości: 9 9 b b Stąd wnik że: b 9 b ( b b ) Terz równnie 9 b 9() stło się jeszcze przjemniejsze: Niestet, podstw rtmów są różne. Co robić? to proste zjrzm do Ściągwki! ( Szuknie ) może jest w niej wzór n zminę podstw rtmu...

23 Fktcznie, jest tki wzór: wg ktorego możn zmienić podstwę 9 n : b c c b () () 9() 9 i kied podstwim to do równni, przbierze ono postć: () () () z czego wnik że: ( ) 0 czli: 0 lub 0 bć nie może, bo w równniu jest ( widomo że liczb rtmown musi bć 0 ), ztem Terz przpominm sobie że oznczliśm 9 skąd wnik że Uff, to bło nprwdę trudne.

24 Udowodnij że () () r05-() Brdzo to splątne spróbujm uprościć (wg wzorów n rtm): ( )( ) ( )( Oczwiście, więc podstwm (będzie jeszcze prościej): ( )( ) ( )( i po porządkującch rchunkch otrzmm: ) Drektw Uprszczni zdziłł już prościej bć nie może. Co dlej?... co nm przeszkdz?... ) 4

25 Niechbnie to że w tch rtmch są różne podstw, bo przecież zwsze jest prościej i lepiej kied są identczne. Cz możn to osiągnąć? Jsne wstrcz zjrzeć do Ściągwki, okże się że jest w niej Wzór n zminę podstw rtmu. Stosujem go (strnnie) do rtm, djm n to, pierwszego: i po podstwieniu wniku do równni nszego przbier ono postć: czli to jest niewątpliwą prwdą! 5

26 Niech 7 4 Wzncz 49 w zleżności od r06-() Jk zzwczj, oznczm to co mm wliczć jko : 49 Po co nm trudn rtm? potęg jest łtwiejsz! Ndjm więc obu równniom postć potęgową, stosując do zmin znną ze b Ściągwki tożsmość c b c : 7 4 ( ) 49 Jest już prościej, le są w tm i pierwistek i potęgi po co nm t dwoistość? Pierwistki są mniej cztelne jk je zmienić n potęgi?... 6

27 Zglądm do Ściągwki i znjdujem wzór: U ns nie m wprwdzie żdnej liczb w miejscu n le trzeb wiedzieć że jest zwczj b nic nie pisć kied pisze się ). m n n (podobnie zmist 0 Ztem to to wg powższego wzoru jest Podstwim więc to do równości ( ) 49 co z kolei możn uprościć wg wzoru ( r n m otrzmując ( ) 49 ), s rs do równości Zestwm ponownie obie równości: 4 Uprościliśm już mmlnie, więc może czs n Upodobninie.... 7

28 Pewne podobieństw dostrzegm: No to je zstosujm (bo cóż innego pozostje?): Co terz? pomślm o jkiejś innej drektwie, np o Podstwiniu. Gdb w którmś równniu bło po jednej stronie smotn lub 7, to możn b ją podstwić do drugiego. Jk to zrobić? chb njłtwiej wliczć z pierwszego. Możn to zrobić prz pomoc pierwistk ( zchowć jednolitość niech będą sme potęgi; podnosim obie stron do potęgi czli ( 7 ) ( ) 7 ), le lepiej i po wmnożeniu potęg uzskujem wzór n : 7 po czm... 8

29 7 7 tk wliczone podstwim do równości drugiej (jk widć, możn podstwić nie tlko liter, lecz tkże liczb!): ( 7 ) Skoro podstw potęg są równe,to równe są też ich wkłdniki czli:

30 Wzncz dziedzinę funkcji f () (9 ) cos r009-6(5) Zpisujem wrunki (ptrz Ściągwk) jkim musi podlegć rtm; () cos 0 () cos () 9 0 Trzeb oczwiście kżdą z tch nierówności rozwiązć i wniki zestwić. Ale od której zcząć, b bło njłtwiej? Oczwiście (i jk zwkle) od njłtwiejszej, n tką wgląd... 0

31 nierówność trzeci: 9 0 Choćb dltego że prbol będąc jej wkresem jest prostsz od cosinusoid flującej od do, że tk szeroko tu fluje widć stąd iż nie nłożono n częstego w zdnich ogrniczeni 0,) lub tp. Ztem njpierw rozwiązujem nierówność (): (,) Terz nierówność (): cos 0 cos 0 i terz z wkresu cosinusoid w Ściągwce po wzięciu pod uwgę iż przed chwilą wszło iż musi bć (,) odcztujem że (, )

32 Wszło nm dotąd ze musi bć jednocześnie (,) orz (, ) z czego wnik że pierwsze jest zbędne czli pozostje tlko to drugie. i wreszcie nierówność (): cos cos cos, zbdjm kied cos? (tkich jest z pewnością mniej, ztem będzie łtwiej ) Zmist bdć kied (tzn dl jkich ) jest Jk to zbdć?...

33 Z wkresu tego nie odcztm ( jeśli, to zbt niedokłdnie). N szczęście jest w Ściągwce tbelk Niektóre wrtości funkcji trgonometrcznch, w której wcztujem że to cos 60. Trzeb b jeszcze jkoś wrzić ten kąt prz pomoc, bo lepiej b jednostk mir bł tk tk jk w nierówności poprzedniej. Ale to proste: skoro Zglądm do wkresu cosinusoid to 60 6.

34 zznczm sobie n osi OY liczbę i odcztujem dl jkich on wrtością cosinus. Okzuje się że nie tlko dl 4 ów jest, le tkże dl cłego mnóstw innch. N szczęście nie musim się tm przejmowć, lbowiem z poprzedniej nierówności wszło nm że musi bć (, ), co ozncz że interesuje ns tlko (, Podsumowując musi bć tk: ) orz orz smetrczn do niego ztem dziedzinę funkcji możn zgrbniej zpisć jko zbiór: (, ) (, ) (, ) orz.

35 Rozwiąż nierówność: ( ) (5 ) (( )) r007-(5) Njpierw wrunki podstwowe dl poszczególnch rtmów (liczb rtmowne muszą bć dodtnie): A terz nierówność podn... 5 co łącznie sprowdz się do: (,5) 5

36 ( ) (5 ) (( )) ( )(5 ) ( ) ( )(5 ) ( ) Stop! Cz opuszczenie rtmów bło poprwne?... 6

37 Błob dobrze gdb podstw rtmów bł, bo wówczs rtm błb funkcją rosnącą, tj wrtość jej wzrstłb wrz ze wzrostem rgumentu. Jednk w nierówności podstw rtmów jest, wówczs rtm jest funkcją mlejącą, tzn większ jej wrtość ozncz że zmniejszł się rgument. Ztem nleż zmienić zwrot nierówności n przeciwn, czli: ( )(5 ) ( ) Tkie równnie (stopni ) d się rozwiązć, jeśli lewą stronę rozłożm n iloczn tego możn dokonć lbo przez uprte wciągnie przed nwis lbo przez odgdnięcie jednego pierwistk wielominu... 7

38 5 8 (jk widć, nie m czego wciągć przed nwis) Musim trfić jkiś pierwistek. Twierdzenie o Dzielnikch (w Pmiętwce) poucz że nleż go szukć wśród dzielników liczb 8 czli 4 8. Próbujem kolejno i okzuje się, że wielomin zeruje się dl. Według Twierdzeni Bezot (też w Pmiętwce) ozncz to, że wielomin ten dzieli się (bez reszt) przez wielomin. Ztem dzielim: A terz znjdujem pierwistki wielominu będącego wnikiem dzieleni: 6 8 ( 6) Nierówność 0 możn więc zpisć w postci... 8

39 w postci ilocznowej: ( )( )( 4) 0 Funkcj po lewej stronie zeruje się tlko dl trzech ów : 4 czli poz nimi (w czterech przedziłch) jest lbo stle dodtni lbo stle ujemn. Jk jest?... b to ustlić, nleż pobrć z kżdego przedziłu próbkę. Np z przedziłu (,) wziąć 0 wjdzie że wielomin przjmuje wrtość dodtnią, ztem jest dodtni w cłm tm przedzile. Postępując w ten sposób ustlim że wielomin jest 0 dl (,) (4, ) że wcześniej okzło się że musi bć tkże (,5) więc osttecznie: (,) (4,5) 9