Zadania na dowodzenie z geometrii. P a

Transkrypt

1 Henrk ąrowski Zdni n dowodzenie z geometrii Jednm z wmgń ogólnch nowej podstw progrmowej z mtemtki n czwrtm etpie ksztłceni, le również i n wcześniejszch etpch, jest umiejętność prowdzeni rozumowni mtemtcznego cz rgumentcji ltego też w kżdm rkuszu z egzminu mturlnego z mtemtki od roku 010 znjdują się zdni sprwdzjące te umiejętności Zzwczj znjdują się w rkuszu co njmniej dw zdni n dowodzenie, wśród nich jest zdnie z geometrii Zdni te sprwiją zdjącm trudności Mją one jednk duże wlor ddktczne, dją zdjącm możliwość wkzni się pomsłowością, często do ich rozwiązni wstrczją im w zupełności umiejętności wniesione z gimnzjum rzedstwię kilk przkłdów zdń n dowodzenie wrz z różnmi sposomi rozwiązń niektórch z nich Zdnie 1 n jest kąt o mierze 60 orz punkt leżąc wewnątrz tego kąt Odległości punktu od rmion tego kąt są równe i Udowodnij, że odległość punktu od wierzchołk kąt jest równ + + I sposó rozwiązni Niech ędzie punktem przecięci prostej i rmieni kąt Wówczs trójkąt to połow trójkąt równoocznego, więc = Ztem = + + Trójkąt tkże jest połową trójkąt równoocznego, więc = = Z twierdzeni itgors dl trójkąt otrzmujm = + = + = + = + + To kończ dowód II sposó rozwiązni rzez punkt poprowdźm odcinek MN tk, że trójkąt MN ł równooczn Mterił współfinnsown ze środków Unii uropejskiej w rmch uropejskiego Funduszu połecznego

2 N β M Wówczs trójkąt M i N to połow trójkątów równoocznch, więc M = =, N = =, N = =, N = = Wnik stąd, że długość oku trójkąt MN jest równ + MN = M + N = + =, ntomist długość odcink jest równ + + = M M = = Z twierdzeni itgors dl trójkąt otrzmujem = + = + = + = + + To kończ dowód III sposó rozwiązni oczątkow część rozwiązni, więc pomsł dorsowni odcink MN, w efekcie zoczenie trójkąt równoocznego otwier zupełnie nowe możliwości Jedną z nich jest zstosownie twierdzenie tewrt rzpomnijm njpierw to twierdzenie, którego dowód możem, jko nietrudne zdnie podć uczniom prz okzji omwini twierdzeni cosinusów Twierdzenie tewrt Jeżeli punkt leż n oku trójkąt i dzieli ten ok n odcinki o długościch = i = orz =, =, = c i = d, c d To d = + c W nszm trójkącie MN mm więc MN = M N + N M MN M N Mterił współfinnsown ze środków Unii uropejskiej w rmch uropejskiego Funduszu połecznego

3 Trójkąt jest równooczn, więc oie stron tej równości możem podzielić przez MN = M = N Wted otrzmujem = M N + N M M N, czli + + = + = 4 (( + ) + ( + ) ) =, 4 (( ) 4 = + ) = ( + + ), skąd = + +, co nleżło wkzć IV sposó rozwiązni oprowdźm odcinek i przjmijm oznczeni, jk n rsunku Trójkąt i są prostokątne, więc = orz = Kąt i tch trójkątów sumują 60, więc kąt i sumując się do = 10 Z twierdzeni cosinusów w trójkącie otrzmujm = + cos10 = + cos10 = + = 1 = + +, z twierdzeni cosinusów w trójkącie otrzmujm = + cos 60 = + = 1 = rzrównując prwe stron otrzmnch równości dostjem = + +, = + + o dosć uciążliwch rchunkch otrzmujm tezę V sposó rozwiązni Tk jk w IV sposoie oliczm = + + Zuwżm terz, że skoro trójkąt i są prostokątne i ich wspólną przeciwprostokątną jest odcinek, to okrąg o średnic jest opisn n kżdm z tch trójkątów, tkże n trójkącie Mterił współfinnsown ze środków Unii uropejskiej w rmch uropejskiego Funduszu połecznego

4 Z twierdzeni sinusów wnik, że sin =, czli = + +, co kończ ten dowód + + =, skąd Zuwżenie, że n czworokącie możn opisć okrąg równie otwier przez nmi nowe możliwości rozwiązni zdni okżem jedną z nich VI sposó rozwiązni Tk jk w poprzednim sposoie rozwiązni wkzujem, że n czworokącie możn opisć okrąg Wkorzstm terz twierdzenie tolemeusz Twierdzenie tolemeusz Jeżeli n czworokącie możn opisć okrąg, to iloczn długości jego przekątnch równ jest sumie ilocznów długości przeciwległch oków tego czworokąt = + o oliczeniu długości przekątnej (np tk, jk w III sposoie rozwiązni) orz długości oków = i z którego wznczm =, otrzmujem z twierdzeni tolemeusz równnie + + = +, Znjomość twierdzeni tolemeusz, podonie jk prztoczonego wcześniej twierdzeni tewrt, wkrcz poz oczekiwn od mturzst zkres nrzędzi i środków, więc te nrzędzi mogą wkorzstć jednie i zdjąc, którz przgotowwli się do konkursów lu olimpid mtemtcznej Mterił współfinnsown ze środków Unii uropejskiej w rmch uropejskiego Funduszu połecznego

5 VII sposó rozwiązni Tm rzem poprowdźm odcinki M i N równoległe do rmion kąt, tk jk n rsunku ługości tch odcinków oznczm litermi m i n W ten sposó otrzmliśm równoległook MN o kącie ostrm 60, okch długości m i n, którego przekątn m długość Zuwżm, że i to wsokości tego równoległooku Zpiszm jego pole n trz sposo MN = n = m = m n sin 60, czli Z równości n = m = m n n = m n orz m = m n wznczm m = orz n = Kąt M równoległooku jest równ 10, więc z twierdzeni cosinusów w trójkącie M otrzmujem = + cos10 = + = = + + = ( + + ) tąd = + +, co nleżło udowodnić VIII sposó rozwiązni rzjmijm oznczeni jk n rsunku N 60 n M m Wówczs β sin =, sin β = orz + β = 60 Mterił współfinnsown ze środków Unii uropejskiej w rmch uropejskiego Funduszu połecznego

6 Oliczm cosinus kąt + β Kąt i β są ostre, więc cos = 1 sin = 1 tąd i z poprzedniej równości dostjem 1 cos ( + β ) = cos cos β sin sin β = orz cos β = 1 sin β = =, = + 4 ozostje tlko stąd oliczć odnosząc oie stron do kwdrtu dostjem kolejno: To kończ dowód = + +, = +, =, 4 4 = ( + + ), = + + IX sposó rozwiązni Umieśćm kąt w ukłdzie współrzędnch tk, jk n rsunku Wted = ( 0,0), ( ) =,, gdzie 0 > i (,0) = Rmię jest zwrte w prostej nchlonej do osi O pod kątem 60, więc współcznnik kierunkow tej prostej jest równ tg60 = Ztem jej równnie m postć =, czli = 0 Odległość punktu od prostej jest równ Mterił współfinnsown ze środków Unii uropejskiej w rmch uropejskiego Funduszu połecznego

7 1 1 = = ( ) + ( 1) gdż punkt leż poniżej prostej 1 Ztem ( ) =, skąd Ze wzoru n długość odcink otrzmujem + =, czli ( ) + =,0, = + = = = + + To kończ dowód Zdnie N oku kwdrtu leż punkt wusieczn kąt przecin ok tego kwdrtu w punkcie F (zocz rsunek) F Udowodnij, że = F + Tm rzem prezentowne rozwiązni ędą podne w kolejności od rozwiązni siłowego do rozwiązni elegnckiego I sposó rozwiązni oprowdźm odcinek G prostopdł do oku Niech =, = z, F =, = orz F = F = okżem więc, że + = z z F G Z trójkąt G otrzmujem tg G =, czli tg = G G Mterił współfinnsown ze środków Unii uropejskiej w rmch uropejskiego Funduszu połecznego

8 F Z trójkąt F otrzmujem ntomist tg F =, czli tg = Ze wzoru n tngens podwojonego kąt i otrzmnch równości mm tg 1 tg =, =, 1 ( ) =, = Z twierdzeni itgors dl trójkąt otrzmujem tąd + = z, co nleżło udowodnić = z, + + = z, ( ) + = z = z, więc II sposó rozwiązni rzedłużm odcinek F do przecięci z prostą i punkt tego przecięci oznczm literą G ozostłe oznczeni przjmijm tkie, jk w poprzednim sposoie rozwiązni ( =, = z, F =, =, F = F = ) G z F roste i są równoległe, więc kąt F i GF są równe, czli GF = F = To ozncz, że trójkąt G jest równormienn Ztem G = = z tąd wnik, że G = + G = + z Trójkąt F i G są podone (o są prostokątne i GF = F = ), więc G = F, czli + z = tąd otrzmujem ( z) = + Z twierdzeni itgors dl trójkąt wnik ntomist, że = z, więc ( ) z z = +, Mterił współfinnsown ze środków Unii uropejskiej w rmch uropejskiego Funduszu połecznego

9 ( z )( z + ) = ( + z) zieląc oie stron tej równości przez + z otrzmujem tezę III sposó rozwiązni rzedłużm odcinek F do przecięci z prostą w punkcie G orz nrsujm odcinek H prostopdł do odcink G tk, że jego koniec H leżł n prostej ozostłe oznczeni przjmijm tkie, jk poprzednio H G z F Jk w poprzednim sposoie rozwiązni zuwżm, że kąt F i GF są równe, o proste i są równoległe, czli GF = F = orz wnioskujem stąd, że trójkąt G jest równormienn Ztem G = = z Trójkąt GH jest prostokątn, G = = z, więc punkt jest środkiem okręgu opisnego n tm trójkącie, odcinek GH jest jego średnicą Ztem H = = G = z ondto kąt ostr prz wierzchołku H tego trójkąt jest równ 90 (o drugi kąt ostr GH to ) To z kolei ozncz, że kąt ostr H w trójkącie prostokątnm H jest równ tąd wnioskujem, że trójkąt H i F są przstjące, o (oprócz równości odpowiednich kątów) ich przprostokątne i są równe Ztem H = F =, więc z = = H + = + To nleżło udowodnić IV sposó rozwiązni rzjmijm te sme oznczeni, jk w poprzednich dwóch sposoch rozwiązni i n prostej wierzm tki punkt G nie leżąc n odcinku, że G = F = oprowdźm też odcinek G G z F Trójkąt F i G są ztem przstjące (o są prostokątne, G = F =, = = ) tąd G = orz G = 90 Mterił współfinnsown ze środków Unii uropejskiej w rmch uropejskiego Funduszu połecznego

10 Zuwżm terz, że ( ) G = G + = + 90 = 90 To z kolei ozncz, że trójkąt G jest równormienn jego rmion to i G Ztem włśnie nleżło udowodnić = G, czli z = +, co Zdnie Wkż, że jeżeli trpez m prostopdłe przekątne, to sum kwdrtów długości tch przekątnch jest równ kwdrtowi sum długości jego podstw I sposó rozwiązni Niech c i d oznczją tm rzem długości przekątnch trpezu orz i, podonie jk poprzednio, długości jego podstw oprowdźm odcinek równoległ do tk, że koniec tego odcink leżł n prostej, jk n rsunku c d d Wówczs czworokąt jest równoległookiem Ztem = d i = oniewż i są prostopdłe, i są równoległe, więc i są prostopdłe To ozncz, że trójkąt jest prostokątn Z twierdzeni itgors otrzmujem ztem co włśnie nleżło udowodnić c + d = +, + =, czli ( ) II sposó rozwiązni rzjmijm oznczeni tkie, jk n rsunku f e c d Wówczs tez m postć ( c e) ( d f ) ( ) = +, po rozwinięciu nwisów c + ce + e + d + df + f = + + Z twierdzeni itgors w trójkątch i otrzmujem = c + d orz równość, jką mm udowodnić możem zpisć w postci równowżnej ( ) ( ) c + d + ce + df + e + f = + +, = e + f, więc Mterił współfinnsown ze środków Unii uropejskiej w rmch uropejskiego Funduszu połecznego

11 ( ) + ce + df + = + +, ce + df = ozostje więc wkzć prwdziwość tej równości Trójkąt i są podone, gdż kąt i są równe, podonie jk kąt i, jko kąt nprzeminległe wznczone przez dwie proste równoległe Ztem c e = orz d = f, skąd c = e orz d = f Woec tego równość ce + df = jest równowżn równości e + f =, ( e f ) + = Wcześniej już zuwżliśm, że prwdą = e + f, więc =, czli =, co jest oczwiście Kżde z omwinch zdń możn, jk widć rozwiązć n kilk sposoów i nie m jednego słusznego sposou o jkich więc sposoów rozwiązń nkłnić uczniów? Odpowiedź wrew pozorom nie jest łtw Jest wpdkową wielu cznników tkich jk, sprwność rchunkow uczni, ilość czsu potrzen n tkie rozwiąznie, cz też jkieś indwidulne upodoni uczni wnikjące z jego wcześniejszch włsnch zmgń z zdnimi Wdje mi się jednk, że wskznm ło prznjmniej od czsu do czsu pokzć uczniowi kilk możliwch rozwiązń zdni i omówić trudności kżdej z metod N egzminie mturlnm nie przznje się zdjącm punktów z wrżenie rtstczne, podczs zjęć z ucznimi możn jednk o rozwiąznich siłowch i tch elegnckich rozmwić N zkończenie proponuję trz zdni, które możn rozwiązć zrówno metodmi siłowmi, jk i nieco rdziej elegncko roponuję coś dorsowć Zdnie 4 rostokąt jest złożon z trzech kwdrtów: F, GHF i GH tk, jk n rsunku F H Uzsdnij, że + G + = 90 G Zdnie 5 wusieczn kąt przecin ok tego trójkąt w punkcie (zocz rsunek) Mterił współfinnsown ze środków Unii uropejskiej w rmch uropejskiego Funduszu połecznego

12 Wkż, że = Jest to twierdzenie o dwusiecznej kąt wewnętrznego trójkąt Zdnie 6 wusieczn kąt przecin ok tego trójkąt w punkcie Oznczm długości odcinków, i odpowiednio,, d (zocz rsunek) d Wkż, że d < + Mterił współfinnsown ze środków Unii uropejskiej w rmch uropejskiego Funduszu połecznego