LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURA

Transkrypt

1 NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURA DLA KLAS TRZECICH POZIOM PODSTAWOWY GRUPA I 1 STYCZNIA 011 CZAS PRACY: 170 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Liczba jest równa A) 0 B) 8 11 C) 6 11 D) Odpowiedź: C ZADANIE (1 PKT.) Liczba jest równa A) 1000 B) 60 C) 6 0 D) ( ) 10 ( ) Odpowiedź: B ZADANIE (1 PKT.) Rozwiazaniem równania (x ) x jest liczba A) B) C) D) +6 7 Materiał pobrany z serwisu 1

2 NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI (x ) x ( )x / : ( ) x x ( +) ( )( +) Odpowiedź: D ZADANIE (1 PKT.) Suma wyrażeń x, x, x, x jest równa A) x 1 B) x 60 C) 77x 60 D) 60 x x + x + x + x 0x x x x 60 77x 60. Odpowiedź: C ZADANIE (1 PKT.) Pierwiastkami równania x x 6x 0 sa liczby A) 0,, B), C) 0,, D), 0 x x 6x x(x x 6). Zatem jednym z pierwiastków jest x 0. Aby znaleźć pozostałe szukamy pierwiastków trójmianu w nawiasie. x x x 1 x 1+. Zatem pierwiastkami sa 0,,. Odpowiedź: A Materiał pobrany z serwisu

3 NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 6 (1 PKT.) Jeżeli suma katów wewnętrznych wielokata foremnego jest równa 160 to wielokat ten ma wierzchołków: A) 8 B) 10 C) 7 D) 9 Przypomnijmy, że suma katów w wielokacie wypukłym o n wierzchołkach jest równa Wyznaczamy n 180 (n ) (n ) 7 n n 9. Odpowiedź: D ZADANIE 7 (1 PKT.) Jeżeli tg α to to stosunek sin α : cos α jest równy: A) : B) : C) 1:1 D) : Z definicji tangensa tg α sin α cos α. Odpowiedź: B ZADANIE 8 (1 PKT.) W trójkacie równoramiennym o bokach długości:,, kat przy podstawie ma miarę: A) B) 60 C) 0 D) 90 Zaczynamy od rysunku. Zatem α. Odpowiedź: A cos α AD AC. Materiał pobrany z serwisu

4 NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 9 (1 PKT.) Punkt przecięcia środkowych w trójkacie ABC, gdzie A (1, ), B (, 8), C ( 6, ) ma współrzędne: A) (, ) ( ) B) ( 1, ) C), 1 D) (, 6) Korzystamy ze wzoru ( xa + x S B + x C, y ) A+ y B + y C na współrzędne środka ciężkości trójkata o wierzchołkach A (x A, y A ), B (x B, y B ), C (x C, y C ). W naszej sytuacji mamy ( 1+ 6 S, +8+ ) ( 1, ). Odpowiedź: B ZADANIE 10 (1 PKT.) Liczby 1, 8, (x ) sa trzema poczatkowymi wyrazami ciagu geometrycznego. Wówczas trzeci wyraz tego ciagu jest równy: A) 19 B) 16 C) 60 D) Iloraz danego ciagu jest równy Zatem q a a a a q Odpowiedź: A ZADANIE 11 (1 PKT.) Przekatna kwadratu K ma długość, a obwód kwadratu M ma długość 16. Skala podobieństwa kwadratu K do kwadratu M jest równa: A) B) C) D) Materiał pobrany z serwisu

5 NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Bok kwadratu M ma długość a jego przekatna ma długość Zatem skala podobieństwa jest równa 16,. 1. Odpowiedź: A ZADANIE 1 (1 PKT.) Przekrój osiowy walca jest kwadratem o boku długości 8. Pole powierzchni bocznej tego walca jest równe: A) 18π B) 6π C) 96π D) π Zaczynamy od obrazka Z obrazka widać, że promień podstawy walca jest równy połowie boku kwadratu, czyli r. Zatem pole powierzchni bocznej jest równe P b πr H 8π 8 6π. Odpowiedź: B ZADANIE 1 (1 PKT.) Funkcja f przyporzadkowuje każdej liczbie naturalnej liczbę jej dzielników będacych liczbami naturalnymi. Wobec tego f(10) jest równe: A) 11 B) 1 C) 1 D) 10 Materiał pobrany z serwisu

6 NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Zauważmy, że pobrano z Każdy dodatni dzielnik tej liczby jest postaci k a b c, gdzie a, b {0, 1} i c {0, 1, }. Na mocy zasady mnożenia liczby a, b, c możemy wybrać na sposobów. Odpowiedź: B 1 ZADANIE 1 (1 PKT.) Dana jest funkcja kwadratowa f(x) x + 8x+. Zbiorem rozwiazań nierówności f(x) < jest A) (, ) (0,+ ) B) (0,+ ) C) (0, ) D) (, 0). x + 8x+ < x + 8x < 0 / : x + x < 0 x(x+) < 0 x (, 0). Odpowiedź: D ZADANIE 1 (1 PKT.) Liczba a stanowi 80% liczby b. O ile procent liczba b jest większa od liczby a? A) % B) 80% C) 0% D) 10% Wiemy, że a 0, 8b Zatem czyli liczba b jest większa od a o %. Odpowiedź: A b a 0, 8 1, a, Materiał pobrany z serwisu 6

7 NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 16 (1 PKT.) Liczba log 8 log 16 jest równa A) B) -1 C) 1 D) log 8 log 16 log log 1. Jeżeli ktoś nie rozumie tego rachunku to niech zajrzy do poradnika o logarytmach. Odpowiedź: B ZADANIE 17 (1 PKT.) Osia symetrii wykresu funkcji f(x) x + 8 jest prosta o równaniu A) x 8 B) y 0 C) x 8 D) x 0 Osia symetrii paraboli będacej wykresem funkcji kwadratowej jest pionowa prosta przechodzaca przez jej wierzchołek. Sposób I Pierwsza współrzędna wierzchołka łatwo wyznaczyć: Zatem osia symetrii jest prosta x 0. x w b a 0. Sposób II Parabola y x + 8 powstaje z paraboli y x przez przesunięcie o 8 jednostek do góry, zatem jej oś symetrii jest taka sama jak oś symetrii paraboli y x, czyli prosta x 0. Odpowiedź: D ZADANIE 18 (1 PKT.) Pewnego dnia w klasie liczacej 11 dziewczat i 1 chłopców nieobecny był jeden chłopiec i jedna dziewczynka. Nauczyciel wybrał do odpowiedzi jednego ucznia. Prawdopodobieństwo, że będzie to dziewczynka jest równe: A) 10 1 B) C) 1 D) 1 Materiał pobrany z serwisu 7

8 NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Tego dnia w klasie były Ω osoby i 10 z nich to dziewczynki. Zatem prawdopodobieństwo wybrania dziewczynki jest równe Odpowiedź: C ZADANIE 19 (1 PKT.) Miejscem zerowym funkcji f(x) x + jest A) B) C), D) - x + / (x ) +(x ) 0 +x 1 0 x 10 x,. Odpowiedź: C ZADANIE 0 (1 PKT.) Wartość wyrażenia x x+1 dla x (, 1) jest równa A) x 7 B) x+7 C) x 7 D) x 7 Zauważmy, że dla x (, 1) mamy x < 0 x+1 < 0. Zatem x x+1 ( x+)+(x+1) x+7. Odpowiedź: B Materiał pobrany z serwisu 8

9 NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 1 (1 PKT.) Kat α jest ostry i cos α. Wówczas A) sin α B) sin α 1 C) sin α < (z jedynki trygonometrycznej). sin α+cos α 1 sin α 1 cos α 1 D) sin α Odpowiedź: B ZADANIE (1 PKT.) Prosta k ma równanie y x 1. Wskaż równanie prostej prostopadłej do k. A) y x 1 B) y x+1 C) y 1 x D) y 1 x Proste y ax + b i y cx + d sa prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy ac 1, zatem współczynnik kierunkowy szukanej prostej musi być równy 1. Odpowiedź: D ZADANIE (1 PKT.) Trójkat równoboczny o boku długości cm obrócono wokół prostej zawierajacej wysokość trójkata. Objętość powstałej bryły jest równa: A) 1, cm B) cm C) 8 π cm D) 8 π cm Szkicujemy obrazek. Z obrazka widać, że otrzymamy stożek o promieniu podstawy równym połowie boku trójkata, czyli r. Wysokość stożka jest równa wysokości trójkata równobocznego, czyli wynosi h a. Materiał pobrany z serwisu 9

10 NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Zatem objętość jest równa V 1 πr h 1 π 8 π. Odpowiedź: C ZADANIE (1 PKT.) Zbiór R\{, 0, } jest dziedzina wyrażenia: A) x +x+1 x +x 6 B) x x x +x +6x C) x+ x(x )(x ) D) x+1 x(x )(x+) Podana dziedzina oznacza, że mianownik interesujacego nas wyrażenia musi się zerować dla x 0, x i x. Tę własność ma mianownik wyrażenia x+1 x(x )(x+). Odpowiedź: D ZADANIE (1 PKT.) Ile jest liczb całkowitych wśród rozwiazań nierówności x 17? A) B) C) 6 D) 7 Przekształćmy dana nierówność Sposób I x x 17 x,. Rozwiazaniem nierówności sa więc liczby, które sa odległe od to więc przedział 17 17, o nie więcej niż,. Jest Materiał pobrany z serwisu 10

11 NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Ponieważ 17 0, 17+, 6. nierówność spełnia liczb całkowitych: 0,1,,,. x 17 Sposób II x 17 i x 17 x 17+ i x x i x. Zatem zbiorem rozwiazań nierówności jest przedział ,. Jak w I sposobie stwierdzamy, że w przedziale tym jest liczb całkowitych. Odpowiedź: A Zadania otwarte ZADANIE 6 ( PKT.) Rozwiaż równanie (x 1) (x+). (x 1) (x+) x x+1 (x + 6x+9) 0 x + 1x (8 ) x x Odpowiedź: x 7 lub x 7+ Materiał pobrany z serwisu 11

12 NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE 7 ( PKT.) Rozwiaż równanie x + x + x+ (x+). x + x + x+ (x+) x + x + x+ x + x+ x + x x 0 x(x + x ) 0. Zatem jednym pierwiastkiem jest x 0. Aby znaleźć pozostałe rozkładamy trójmian w nawiasie. x + x ( ) x 1 x Odpowiedź: x { 1, 0, 1+ } ZADANIE 8 ( PKT.) Podaj współrzędne punktu { przecięcia się wykresu funkcji f z osia Oy, gdy funkcja f określona jest wzorem f(x) x+ dla x (, x dla x (,+ ). Punkt wspólny wykresu funkcji f z osia Oy to punkt o współrzędnych (0, f(0)) (0, ). Odpowiedź: (0, ) ZADANIE 9 ( PKT.) Uzasadnij, że nie istnieja dwie liczby, których suma jest równa, a iloczyn jest równy. Materiał pobrany z serwisu 1

13 NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Jeżeli x i y sa takimi liczbami to spełniaja układ równań { x+y xy. Podstawiamy x y z pierwszego równania do drugiego. ( y)y y y 0 y y < 0. Ponieważ < 0 równanie to nie ma rozwiazań, co oznacza, że wyjściowy układ równań też nie ma rozwiazań. ZADANIE 0 ( PKT.) Sprawdź, czy odległość środka okręgu(x ) +(y+) od prostej y x+ 0 jest równa promieniowi okręgu. Dany okrag ma środek S (, ) i promień r. Obliczmy odległość punktu S od danej prostej y x+ 0. Korzystamy ze wzoru na odległość punktu P (x 0, y 0 ) od prostej Ax+By+C 0: Ax 0 + By 0 + C. A + B W naszej sytuacji mamy Widać, że liczba ta nie jest równa. Odpowiedź: Nie, nie jest , 8. ZADANIE 1 ( PKT.) W trójkacie prostokatnym suma cosinusów katów ostrych jest równa. Wykaż, że iloczyn sinusów tych katów jest równy 1 6. Materiał pobrany z serwisu 1

14 NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Sposób I Jeżeli α jest katem ostrym trójkata prostokatnego, to drugi kat ostry ma miarę 90 α. Mamy więc równanie cos α+cos(90 α) cos α+sin α sin α+cos α. Podnieśmy tę ostatnia równość stronami do kwadratu. sin α+cos α+ sin α cos α 1+ sin α cos α sin α cos α 1 sin α cos α 1 6. Zauważmy teraz, że interesujacy nas iloczyn sinusów jest równy sin α sin(90 α) sin α cos α 1 6. Sposób II Oznaczmy długości przyprostokatnych trójkata przez a i b, a długość przeciwprostokatnej przez c. Mamy zatem cos A+cos B b c + a c a+b. c Materiał pobrany z serwisu 1

15 NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Podnosimy tę równość stronami do kwadratu (żeby skorzystać z twierdzenia Pitagorasa). Teraz pozostało zauważyć, że ZADANIE ( PKT.) a + ab+b c ab 1+ c 1 ab c / : ab c 1 6. c + ab c sin A sin B a c b c ab c 1 6. W kwadrat wpisano drugi kwadrat, którego wierzchołki leża na bokach pierwszego i boki tworza z bokami pierwszego kwadratu katy o miarach 0. Jaka częścia pola dużego kwadratu jest pole małego kwadratu? Rozpoczynamy od rysunku. Sposób I Z trójkata ABC mamy a b tg 0 a Szukany stosunek pól kwadratów jest więc równy b. AB (a+b) a + b b (a+b) + b ( ) b+b ( + ) ( ) ( ) (+ )( ). Materiał pobrany z serwisu 1

16 NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI Sposób II Rachunki będa odrobinę prostsze jeżeli wyznaczmy b w zależności od a. a b tg 0 Szukany stosunek pól jest równy b a b. AB (a+b) a + b (a+b) a + b ( b+b) ( +1) ( ) (+ )( ). Odpowiedź: ZADANIE ( PKT.) Grupa osób chce kupić prezent za 7 zł. Składaja się po równo. Gdyby w grupie było o osoby mniej to składka byłaby wyższa o zł. Ile osób liczy grupa? Powiedzmy, że składa się n osób po x złotych. Mamy zatem układ równań { nx 7 (n )(x+) 7. Podstawiamy x 7 n z pierwszego równania do drugiego. ( ) 7 (n ) n + 7 / n (n )(18+n) 18n 18n+n n 18n n n n 1 Ujemne rozwiazanie odrzucamy i mamy n 9. 6 n Odpowiedź: 9 osób. Materiał pobrany z serwisu 16

17 NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI ZADANIE ( PKT.) Oblicz cosinus kata między ściana boczna i płaszczyzna podstawy ostrosłupa prawidłowego trójkatnego, jeżeli wiadomo, że promień okręgu opisanego na podstawie, wysokość ostrosłupa i krawędź boczna tworza trójkat równoramienny. Rozpoczynamy od rysunku. Z treści zadania wiemy, że trójkat BED jest równoramienny, więc jeżeli oznaczymy DE H to EB DE H. Środek okręgu opisanego na trójkacie równobocznym dzieli odcinek BF w stosunku :1, więc EF 1 EB H. To pozwala obliczyć długość odcinka DF patrzymy na trójkat prostokatny FED. FD EF + DE H + H H H. Mamy zatem cos α EF FD H H 1. Odpowiedź: Materiał pobrany z serwisu 17