BADANIE WPŁYWU REDUKCJI POZIOMU SZUMU LOSOWEGO NA IDENTYFIKACJĘ CHAOSU DETERMINISTYCZNEGO W EKONOMICZNYCH SZEREGACH CZASOWYCH

Transkrypt

1 Katazyna Zeug-Żebo Uniwesytet Śląski w Katowicach BADANIE WPŁYWU REDUKCJI POZIOMU SZUMU LOSOWEGO NA IDENTYFIKACJĘ CHAOSU DETERMINISTYCZNEGO W EKONOMICZNYCH SZEREGACH CZASOWYCH Wpowazenie Wieloletnie baania związane z ientyfikacją ynamiki chaotycznej wykazały, że w wielu pzypakach stanaowe metoy analizy szeegów czasowych, tj. funkcja autokoelacji i analiza spektalna, nie są w stanie oóżnić szeegów eteministycznych o losowych. Z tego powou pojęto pace baawcze, któych celem było stwozenie meto na tyle czułych, by wychwycić te subtelne óżnice. Najczęściej w celu oóżnienia szeegów eteministycznych o losowych wykozystuje się największy wykłanik Lapunowa i wymia koelacyjny. Jenak w baaniach można zastosować ównież inne metoy, np. test BDS. Celem atykułu bęzie baanie wpływu eukcji poziomu szumu na ientyfikację chaosu w wybanych finansowych szeegach czasowych. Nazęziami służącym o oóżniania szeegów chaotycznych o losowych bęzie statystyka BDS oaz wymia koelacyjny. W baaniach wykozystano szeegi utwozone z cen zamknięcia WIG i WIG0, wóch spółek notowanych na Giełzie Papieów Watościowych w Waszawie: INGBSK i Vistula oaz wóch kusów walut: funta bytyjskiego i olaa ameykańskiego. Dane obejmują okes o.0.99 o Obliczenia pzepowazono pzy użyciu pogamów napisanych pzez autokę w języku pogamowania Delphi, pakietu Micosoft Excel, EViews.0 oaz TISEAN.

2 BADANIE WPŁYWU REDUKCJI POZIOMU SZUMU LOSOWEGO. Reukcja poziomu szumu metoą najbliższych sąsiaów Zaaniem metoy najbliższych sąsiaów [Kantz, Scheibe, 997] jest poział szeegu czasowego x t na część eteministyczną x t i część stochastyczną ξ t : x t = x t + ξt, () gzie: ξ t ma szybko malejącą funkcję autokoelacji i jest nieskoelowana z x t. l v v vk W celu wyznaczenia x l, la ustalonego l, tzeba ozważyć wekto opóźnień [Takens, 98] ( histoię): x i = x i,x i+τ,x i+τ,,x i+(-)τ T, w pzypaku, gy opóźnienie czasowe τ pzyjmuje watość jeen ( jest wymiaem zanuzenia). Wtey jeną ze śokowych współzęnych tego wektoa jest filtowana obsewacja x l, np. xˆ l la pazystej watości wymiau zanuzenia, xˆ + l la niepazystej watości. Następnie należy ustalić k najbliższych sąsiaów wektoa xˆ : xˆ, xˆ,..., xˆ. Na postawie wyznaczonych najbliższych sąsiaów, watość eteministyczną x l należy wyliczyć ze wzou: x l = k k i= x vi. () Jenym z paametów miezących efektywność filtacji szeegu jest współczynnik poziomu eukcji szumu NRL [Ozeszko, 00]: NRL T ( ) = T mi T i= T i= M i, () gzie: m i i M i oznaczają oległości o i-tego stanu (wektoa opóźnień) o jego najbliższego i najalszego sąsiaa. Współczynnik ten baa zależność pomięzy siłą szumu oawanego o ukłau a stuktuą geometyczną jego ataktoa [Zawazki, 996]. Kozystając z powyższej miay, należy wybać spośó otzymanych szeegów taki, la któego współczynnik NRL pzyjmuje najmniejszą watość.. Statystyka BDS Statystyka BDS została wpowazona w 987. pzez W. Bocka, W. Decheta i J. Scheinkmana [987]. Bazuje ona na pojęciu całki koelacyjnej i jest jenym z niepaametycznych testów weyfikujących hipotezę H 0, że zbió anych jest i.i.., czyli zbioem niezależnych zmiennych losowych o jenakowym ozkłazie.

3 6 Katazyna Zeug-Żebo Całka koelacyjna okeśla pawopoobieństwo znalezienia pay wektoów, któych oległość o siebie w zekonstuowanej -wymiaowej pzestzeni nie jest większa o : C (, N, ) = ( ) n n i= j= i+ n n I ( ), > 0 I(x) jest funkcją wskaźnikową (funkcja Heavisie a) postaci: ij, () 0 la a < 0 I ( a) =, () la a 0 n = N ( )τ jest liczbą wektoów w wymiaowej pzestzeni, τ jest watością opóźnienia czasowego, N jest liczbą anych oaz: ij = l= 0 ( x x ) i+ l j+ l. (6) W pacy pokazano, że la każego > oaz > 0 watość całki koelacyjnej C(,N,) szeegu i.i.. jest zbieżna o C (,N,) pzy n. W pacy Bocka [Bock, Hsieh, 99] można znaleźć twiezenie opisujące asymptotyczny ozkła óżnicy C(,N,) C (,N,). Twiezenie Jeżeli szeeg jest ealizacją pocesu i.i.., to la każego > i > 0 statystyka: gzie: σ BDS ( N, ) n [ C(, N, ) C (, N, ) ] (, N, ), =, (7) σ = i= i i (, N, ) K + K C (, N, ) + ( ) C (, N, ) KC (, N, )] n 6 ( n )( n ) i= n n j= i+ k = j+ ( i, j, k), (8) K = h n, (9)

4 BADANIE WPŁYWU REDUKCJI POZIOMU SZUMU LOSOWEGO 7 h ( i, j, k) = [ I( ij ) I( jk ) + I( ik ) I ( kj ) + I( ) I( )] jest zbieżna o ozkłau nomalnego N(0,) pzy n. ji ik, (0) W celu ientyfikacji chaosu testem BDS należy baane szeegi wcześniej pzefiltować opowienim moelem AR(p). Bock i Sayes [988, za: Ozeszko, 00, s. 60] pokazali, że waz ze wzostem zęu autoegesji zastosowanego moelu, maleje skuteczność testu. Powinno się zatem stosować kyteium, któe opowazi o wyznaczenia jak najmniejszej watości p. Należy pamiętać, że ozucenie pzez test BDS H 0 nie oznacza, że analizowany szeeg jest chaotyczny. W zjawiskach ekonomicznych bazo często źółem nieliniowości może być poces typu ARCH. W takich pzypakach można oatkowo zastosować test o stanayzowanych eszt opasowanego moelu ARCH lub GARCH. Wówczas ozucenie hipotezy zeowej wskazuje na istnienie nieliniowości innej natuy. Wato jenak zauważyć, że filtacja anych opasowanym moelem typu ARCH zmienia asymptotyczny ozkła stanayzowanych eszt, czego ezultatem jest zbyt zakie ozucenie H 0. W takiej sytuacji należy skozystać z tablic watości kytycznych, wyznaczonych empiycznie [Bock, Hsieh, LeBaon, 99; za: Ozeszko, 00, s. 60]. Dużym waloem tego testu jest możliwość ientyfikacji nieliniowości bazo óżnej natuy. Jest skuteczny także la szeegów, któe nie są niezależne nawet, jeśli są nieskoelowane. W związku z tym, że test BDS bazo obze wykywa ten, zaówno śeniej, jak i waiancji, może być stosowany w celu ientyfikacji stacjonaności. Kolejną zaletą tego testu jest fakt, że możliwości jego stosowania nie są oganiczone użą liczbą założeń.. Wymia koelacyjny ataktoa Pojęcie wymiau koelacyjnego po az piewszy zostało zefiniowane pzez Gassbegea i Pocaccia [98a; 98b] w 98. Dostacza on wstępnych infomacji na temat złożoności ukłau ynamicznego, tzn. wskazuje minimalną liczbę zmiennych opisujących ukła ynamiczny. Poobnie jak test BDS bazuje na pojęciu całki koelacyjnej. Wymia koelacyjny ataktoa systemu ynamicznego jest zefiniowany jako ganica:

5 8 Katazyna Zeug-Żebo D C (, ) ln C = lim, () 0 ln gzie: C(, ) jest całką koelacyjną. Istnieje wiele sposobów wyznaczania wymiau koelacyjnego. Najczęściej stosuje się egesję liniową o pzybliżania linią postą wykesu zależności logaytmu sumy koelacyjnej ln C(,) o logaytmu wielkości otoczenia ln. Daje nam to ównanie postaci: ln C(,) = D c ln + b. () W pzypaku, gy ukła jest eteministyczny, wymia koelacyjny D c jest niezależny o wymiau zanuzenia, natomiast, gy system jest stochastyczny, występuje ówność pomięzy tymi wymiaami.. Pzemiot i pzebieg baania Baaniu poano szeegi finansowe * utwozone z cen zamknięcia WIG, WIG0, wóch spółek notowanych na GPW w Waszawie, tj. INGBSK, Vistula oaz ziennych kusów funta bytyjskiego i olaa ameykańskiego. Dane obejmują okes o.0.99 o Długość analizowanych szeegów pozwala na otzymanie wiaygonych ezultatów (powyżej 600 obsewacji). Pzeanalizowano obsewacje, któe były ziennymi logaytmicznymi stopami zwotu: gzie: P t jest ceną zamknięcia. Pt R t = ln, () P W celu zastosowania statystyki BDS, ozważane szeegi pzefiltowano opasowanymi moelami ARMA oaz GARCH [Osińska, 006]. Pzy wyboze paametów tych moeli kieowano się kyteium Schwaza **. W tabeli pzestawiono otzymane szeegi oaz oszacowane moele ARMA i GARCH. t * Dane pochozą z achiwum plików pogamu Omega, ostępnych na stonie intenetowej ** Pzy wyboze paametów moelu ARMA i GARCH posłużono się pogamem GRETL, ostępnym na stonie intenetowej

6 BADANIE WPŁYWU REDUKCJI POZIOMU SZUMU LOSOWEGO 9 Opis baanych szeegów czasowych oaz oszacowane moele ARMA i GARCH Tabela Szeeg Pzeział czasowy Liczba obsewacji Moel ARMA Moel GARCH INGBSK AR() GARCH(, ) Vistula AR() GARCH(, ) WIG ARMA(, ) GARCH(, ) WIG AR() GARCH(, ) GBP AR() GARCH(, ) USD AR() GARCH(, ) Analiza wymienionych wyżej szeegów czasowych bęzie pzebiegała w czteech etapach:. Reukcja poziomu szumu metoą najbliższych sąsiaów.. Obliczenie współczynnika poziomu eukcji szumu NRL.. Ientyfikacja chaosu: statystyka BDS, wymia koelacyjny. W piewszym koku baań zastosowano eukcję poziomu szumu metoą najbliższych sąsiaów *. Chcąc okonać filtacji ustalono watość czasu opóźnienia, τ = oaz watości wóch paametów: wymia zanuzenia =,,, 0; pomień otoczenia ρ = 0,00; 0,0; 0,. W celu oceny eukcji poziomu szumu metoą najbliższych sąsiaów wykozystano miaę NRL(i) ** la i =,,, 0. Poniższa tabela zawiea najniższą watość współczynnika NRL obliczoną la wybanych szeegów finansowych oaz opowiaające jej watości wymiau zanuzenia i pomienia otoczenia. Tabela Watości miay NRL la szeegów pzefiltowanych oaz oszacowane moele ARMA i GARCH Szeeg Paamety filtacji ρ Miaa NRL Moel ARMA Moel GARCH INGBSK_e 6 0, 0,0008 AR() GARCH(, ) Vistula_e 0, 0,0090 AR(9) ARCH() WIG_e 0, 0,0000 AR() GARCH(, ) WIG0_e 0, 0,0007 AR(7) GARCH(, ) GBP_e 0, 0,000 AR() GARCH(, ) USD_e 0, 0,0007 AR() ARCH() * Reukcję szumu pzepowazono pzy wykozystaniu amowego pogamu TISEAN autostwa H. Kantza i T. Scheibea. ** W celu obliczenia współczynnika NRL posłużono się pogamem autoa napisanym w języku pogamowania Delphi.

7 0 Katazyna Zeug-Żebo Statystyka BDS jest nazęziem służącym o baania zależności autokoelacyjnych oaz stopnia losowości szeegów czasowych. Testuje ona hipotezę: H 0 : ane są geneowane pzez poces typu i.i.., H : ane nie są typu i.i.., czyli istnieją pewne nieliniowe zależności skłaników szeegu. W związku z tym, że celem poniższego baania było wykycie nieliniowości, analizowane szeegi zostały pzefiltowane moelami ARMA oaz moelami GARCH. Baanie pzepowazono la óżnych wymiaów zanuzenia ( =,,,) oaz óżnych watości paametu ocięcia bęącego wielokotnością ochylenia stanaowego (σ) ozpatywanego szeegu. Pzestawione poniżej tabele zawieają wyniki testu, tzn. watości statystyki BDS oaz watości p value obliczone la ozkłau nomalnego N(0,) * liczba zapisana w nawiasie, w olnej części komóki. W tabelach -8 zapezentowano wyniki testu BDS la ozważanych szeegów wejściowych oaz po eukcji poziomu szumu. Watości statystyki BDS la pzefiltowanego szeegu WIG BDS WIG_AR WIG_GARCH 0,σ σ,σ σ 0,σ σ,σ σ,696 8,6,90 6,087 7,0876 0,08,09 6, ,0796,00,887 7,967,06,76 6,007 8,,99 7,0709 0,7096,7 8,806,60, 7,69,989,89 6,796 9,06 BDS WIG_e_AR WIG_e_GARCH 0,777 0,088 8,69 7,98,87,70 0,866 9,887,7,7 0,6 8,0 6,976 6,708,7,66,8866 6,0,760, 7, ,869 6,68,00,7 0,869 9, 7, Tabela, 6,96 8,689 0,9,8 8,7,667,9 * Obliczenia watości statystyki BDS pzepowazono pzy użyciu pogamu autoa, napisanym w języku pogamowania Delphi, natomiast watości wyznaczone la ozkłau nomalnego otzymano pzy wykozystaniu pogamu EViews.0.

8 BADANIE WPŁYWU REDUKCJI POZIOMU SZUMU LOSOWEGO Watości statystyki BDS la pzefiltowanego szeegu WIG0 BDS WIG0_ARMA WIG0_GARCH 0,σ σ,σ σ 0,σ σ,σ σ,860,878 9,98,08, 8,66,999, 8,070,9,9 6,6088 9,88,9,88 7,776,699,67 9,00,8999, ,89,888,98 8,7,78,9888 6,970 BDS WIG0_e_ARMA WIG0_e_GARCH,9 6,989 6,9,86 7,790 6,897,00,9,6,988,69 0,9887 9,877 0,7099 9,70 8,0760,07 8,68 9,987 0,60, 6,076 6,78 6,0,98,7,0, Watości statystyki BDS la pzefiltowanego szeegu INGBSK Tabela 0,787,769 6, 8,008 7,798 8,086 6,89 6,869 BDS INGBSK_ARMA INGBSK_GARCH 0,σ σ,σ σ 0,σ σ,σ σ,67 9,88 7,76 7,998,7 8,,80 6,0,687 6,86 8,9 0,070,68 6,6 7,08 7,986,9 9,069 7,088 7,7,076 8,009,76,6008,0678 6,0 8,076 9,96976 BDS INGBSK_e_ARMA INGBSK_e_GARCH 8,67,,68,7,798 8,76 8,0 7,8,70 6,8,99,007,98 6,690 6,676,8997 7,99 7,9 6,908 6,7,987,9897,6,6,87,987,0,8 Tabela,807 6,06 7,07 8,08,88,78,88,0908

9 Katazyna Zeug-Żebo Tabela 6 Watości statystyki BDS la pzefiltowanego szeegu Żywiec BDS Vistula_ARMA Vistula _GARCH 0,σ σ,σ σ 0,σ σ,σ σ 8,786,66,678 0,0 9,88,77, 6,88 8,606,8,090,00 7,8 9,986 0,6,0007 7,7668,7,709 8,676 9,00,009,8,776 8,77 0,796,76,66 BDS Vistula _e_arma Vistula _e_garch 6,7 8,009 8,68 8,778,688,6 0,7099 0,899 7,968 6,69 6,0689,6,096,89,766,678 9,0967 0,98 0,6 0,977 9,66 9,89 9,907 9,686 7, 7, 7,0 7,8 6,800 9,0898 9,976 0,786 6,88 6,866,9688,68 Watości statystyki BDS la pzefiltowanego szeegu GBP BDS GBP_ARMA GBP _GARCH 0,σ σ,σ σ 0,σ σ,σ σ,97 0,660 6,676,70766,96 8,6668,887,97,97 9,7,766,968 7,7 0,867,00,087,97 0,07 6,66,0798,96 9,8,6988,876 6,96 0,0676,079,98 BDS GBP _e_arma GBP e_garch,6 7,79,86 9,099 68,768 6,9,009 0,97 68,77 6,9,009 0,976 68,8 6,9,0070 0,69, ,769,977 0,08,607 0,88 6,67,89 68,79 6,980,96 0,0796 Tabela 7 7,7 0,80,6,077 68,8 6,980,96 0,0798

10 BADANIE WPŁYWU REDUKCJI POZIOMU SZUMU LOSOWEGO Tabela 8 Watości statystyki BDS la pzefiltowanego szeegu USD BDS USD_ARMA USD _GARCH 0,σ σ,σ σ 0,σ σ,σ σ 9,99 8,7 8,07 8,789 9,7 8,6 8,68 9,6886 7,786,69,878,9 8,798,68,,68 7, ,7,9788,976 7,879 9,786 6,069,999 0,769,688 8,77 6,886 0,8696,66 8,6 7,087 BDS USD _e_arma USD _e_garch,8 7,08-0,06-0,099-7,686 -,667 -,8 -,,96,9880 0, 0,7-7,707 -, -,88 -,68,0,967,680,988 -,666-9,69-9,89-9,97,8,96,687,09 -,8-6,698-6,8-6,89 Na postawie otzymanych ezultatów ozucono hipotezę zeową. Wynika z tego, że w baanych szeegach występują zależności o chaakteze nieliniowym. We wszystkich pzypakach nieliniowość ta okazywała się jenak być obze moelowana pzez pocesy typu GARCH, tzn. że pzepowazona eukcja poziomu szumu w tych szeegach nie ujawniła nieliniowości innego typu. W kolejnym koku baań obliczono wymia koelacyjny * (oszacowany la kolejnych poziomów wymiau zanuzenia) szeegów wejściowych oaz pzefiltowanych metoą najbliższych sąsiaów. W tabeli 9 zestawiono otzymane ezultaty. * W celu oszacowania wymiau koelacyjnego posłużono się pogamem autoa napisanym w języku pogamowania Delphi.

11 Katazyna Zeug-Żebo Wyniki szacowania wymiau koelacyjnego Tabela 9 Szeeg INGBSK 0,6,607,89,87,8969,8,8,79,7,97 INGBSK_e 0,86 0,06 0,776 0,666 0,807,06,,06,97,79 Vistula 0,688,766,06,708,6,879,78,,98 6,9 Vistula_e 0,008 0,86 0,668 0,909,7,0,7,08,,6608 WIG 0,809,966,999,8,97,66,996,86 6,89 7,86 WIG_e 0,06 0,0966 0, 0,9 0,809 0, 0, 0,06 0,8 0,667 WIG0 0,70,00,7,9,007,9,70,979 6,96 7,99 WIG0_e 0,07 0,8 0, 0, 0, 0,6 0,6776 0,796 0,969,0 GBP 0,77,9,69,08,7,76,8,9,696,99 GBP_e 0,0009 0,00 0,00 0,009 0,00 0,006 0,009 0,00 0,006 0,009 USD 0,709,,68,870,9,76,807,,78,96 USD_e 0,00 0,006 0,0078 0,0096 0,07 0,07 0,0 0,07 0,089 0,00 Oszacowane watości wymiau koelacyjnego la szeegów otzymanych w wyniku eukcji szumu są zecyowanie niższe niż watości tego wymiau la oyginalnych szeegów. Zatem filtacja metoą najbliższych sąsiaów pzebiegła pomyślnie i poziom szumu w baanych finansowych szeegach czasowych został zeukowany. Niestety żaen z analizowanych szeegów nie wykazuje zachowania typowego la eteminizmu, tzn. watość wymiau koelacyjnego nie ustabilizowała się. Posumowanie Pzepowazone baania związane z ientyfikacją chaosu na postawie testu BDS wykazały, że w baanych szeegach czasowych występują zależności o chaakteze nieliniowym, jenak nie można stwiezić jenoznacznie, że są one typu chaotycznego. Z kolei szacowanie wymiau koelacyjnego la szeegów, w któych została pzepowazona eukcja poziomu szumu, nie potwieziło ównież istnienia zachowania chaakteystycznego la szeegów eteministycznych, tzn. waz ze wzostem wymiau zanuzenia nie zaobsewowano stabilizacji wymiau koelacyjnego. Jenak w pzypaku niektóych szeegów onotowano pojawienie się ganicznej watości, tzn. począwszy o tej watości wymiau zanuzenia, tempo wzostu wymiau koelacyjnego jest wyaźnie wolniejsze. Świaczy to o tym, że jakaś eteministyczna stuktua w tych anych istnieje i nie są one czysto losowe. Posumowując, należy stwiezić, że otzymane wyniki są zastanawiające, latego ientyfikacji chaosu w zeczywistych szeegach czasowych wato poawać ównież szeegi, w któych zastosowano eukcję poziomu szumu.

12 BADANIE WPŁYWU REDUKCJI POZIOMU SZUMU LOSOWEGO Liteatua Bock W.A., Dechet W.D., Scheinkman J.A. (987): A Test fo Inepenence Base on Coelation Dimension. SSRI Woking Pape, No. 870, Depatment of Economics, Univesity of Winsconsin, Maison, WI. Bock W.A., Sayes C. (988): Is the Business Cycle Chaacteize by Deteministic Chaos? Jounal Of Monetay Economics, Vol., s Bock W.A., Hsieh D.A., LeBaon B. (99): Nonlinea Dynamics, Chaos, an Instability: Statistical Theoy an Economic Evience. MIT Pess, Cambige, MA. Gassbege P., Pocaccia I. (98a): Chaacteization of Stange Attactos. Phys. Rev. Lett., 0, s Gassbege P., Pocaccia I. (98b): Measuing the Stangeness of Stange Attactos. Physica D 9, s Kantz H., Scheibe T. (977): Nonlinea Time Seies Analysis. Cambige Univesity Pess, Cambige. Osińska M. (006): Ekonometia finansowa. PWE, Waszawa. Ozeszko W. (00): Ientyfikacja i pognozowanie chaosu eteministycznego w ekonomicznych szeegach czasowych. Polskie Towazystwo Ekonomiczne, Waszawa. Takens F. (98): Detecting Stange Attactos in Tubulence. In: Lectue Notes in Mathematics. E. D.A. Ran an L.S. Young. Spinge, Belin, s Zawazki H. (996): Chaotyczne systemy ynamiczne. Wyawnictwo Akaemii Ekonomicznej, Katowice. Zeug-Żebo K. (008): Uwagi o statystyce BDS i wykłaniku Husta w oniesieniu o anych giełowych. Stuia Ekonomiczne, n 0, Wyawnictwo Akaemii Ekonomicznej, Katowice, s THE STUDY OF THE EFFECT OF RANDOM NOISE REDUCTION ON THE IDENTIFICATION OF CHAOTIC DYNAMICS IN THE ECONOMIC TIME SERIES Summay The aim of the papes is to stuy the effect of noise euction, caie out using the neaest neighbo metho, on the ientification of chaotic ynamics in the selecte time seies. The tools use to istinguish chaotic time seies fom anom ones will be the BDS statistic an the coelation imension The test will be conucte base on the economic time seies which consist of closing shae pices of companies liste on the Wasaw Stock Exchange an the aily exchange ates.