Metody numeryczne. Wykład nr 9. Dr Piotr Fronczak

HTML
DOWNLOAD

Wielkość: px

Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Metody numeryczne. Wykład nr 9. Dr Piotr Fronczak"

Henryk Pawłowski
6 lat temu
Przeglądów:

1 Metod nmerczne Wkłd nr 9 Dr Potr Fronczk

2 Równn róŝnczkowe zwczne - prolem rzegowe BVP Dotcczs omwlśm prolem początkowe równ róŝnczkowe w którc dne ł wrtośc zmennc zleŝnc l c pocodne dl pewne szczególne wrtośc zmenne nezleŝne. erz nszm zdnem ędze wznczene spośród fnkc spełnącc dne równne róŝnczkowe zwczne zdefnownc w rozwŝnm oszrze tc które spełną dodtkowe wrnk n rzeg tego oszr. Wrnk tke nzwne są wrnkm rzegowm są nłoŝone n wrtośc fnkc e pocodnc w węce nŝ ednm pnkce tego oszr.

3 BVP są zwkle szczególnm przpdkem równń róŝnczkowc cząstkowc którc rozwąznem są fnkce czs połoŝen np. pole elektrczne rozkłd tempertr prędkość przepłw tp. t równne dfz t równne flowe Jeśl ne zleŝ od czs stn stlone równowg to otrzmem ogólną postć BVP drgego rzęd: Dne est równne w dzedzne d d f d d orz określone są w pewen sposó wrnk rzegowe.

4 powe form wrnków rzegowc Wrnk rzegowe Drclet Dwe wrtośc są dne edn dl drg dl. Y orz Y Wrnk rzegowe Nemnn Dwe wrtośc d/d są dne edn dl drg dl. d d D orz d d D Meszne wrnk rzegowe Ron d c c C c orz d c c C d d c c c - stłe

5 Metod strzłów F k d d ; Rozptrzm ogólne równne W cel ego zdskretzown przmm N / gdze N est lczą pnktów n które dzelm przedzł []. Dskretząc drgą pocodną '' O F k otrzmem równne

6 F k Ccem scłkowć to równne od do N węc przedstwm e w postc F k F k Czl dl Mm dne le est neznne. Znomość est równoznczn ze znomoścą dl : '

7 RozwŜm równne strn zczepone n o końcc. Jedną słą dzłącą n element strn est sł npręŝeń. Je wrtość w kernk ponowm F sn θ sn θ sn θ θ sn θ Zkłdąc Ŝe kąt θ są młe sn θ tg θ orz Ŝe przśpeszene element strn est proporconlne do wclen dostem m ω ρ ω ρω Dl '' ρω ' ' λ Zkłdąc Ŝe d dt otrzmlśm ρω λ λ t

8 ' ' λ L Gd λ > to stnee rozwązne postc z wrtoścm włsnm Acos α Bsn α n π λn n... L Uwzględnąc wrnk rzegowe otrzmem neskończene wele rozwązń Gd λ n nπ sn n... L A B Uwzględnąc wrnk rzegowe otrzmem rozwązne trwlne. PonewŜ prolem fzczn ne m emnc wrtośc włsnc ne msm nlzowć przpdk λ <.

9 Ztem mm rozwązne równn nπ n sn n... L n π ' L L ' Werzm n L. Pocodn wnos π ' π cos π sn A kolene krok rozwązn π cosπ k F π 6 π Orz dlsze krok zgodne ze wzorem ze sld nr 6 k F

10 Podzelm oszr rozwązń [] n równc częśc. teor nm teor nm Podzelm oszr rozwązń [] n równc częśc.5 teor nm teor nm

11 Zwkle ne znm wrtośc wektorów włsnc kłd. rze e zgdnąć. Przeksztłćm ogóln prolem rzegow drgego rzęd d d f d d w kłd dwóc równń perwszego rzęd: d d dl z Y w z wr. pocz. Y Y dw d f w BEZ WARUNKU POCZĄKOWEGO Msm znleźć wrnek początkow w d d α Y Innm słow msm znleźć nclene α OK krzwe w pnkce. Y α < α OK < α

12 Wróćm do nszego przkłd dl n L '' 6π L Przepszm to równne w postc kłd dwóc równń perwszego rzęd: α - prmetr kłd. ' w w' 6π w α Prolem początkow! Msm znleźć mesce zerowe fnkc łęd E α Zwkle powŝsz kłd równń ędzem rozwązwć edną z metod podnc n poprzednm wkłdze np. Rngego-Ktt le n rze korzstąc z metod nltcznc zwŝm Ŝe. C snπ π α.5 A ztem ne zndzem stłe C z wrnk

13 Werzm ztem n potrze ddktk nn wrnek rzegow: Metod sekc α α α śr α α E α E α < α α śr α śr α α 5 E α E α > α α śr śr śr α śr. prwdźm: sn π.7' π cosπ

14 Metod secznc. E α E E α α α E E - E α α α α E E E E α - α α α Przpomnene: α E 5.9 α E sn π.7' π cosπ.7.7 Wnosek: szk zeŝność Ŝ po perwsze terc.

15 Metod róŝnc skończonc W metodze te pocodne w równn róŝnczkowm zstępem róŝncm skończonm. Dzedznę rozwązń [] dzelm n N przedzłów o dłgośc - / N. - N Mm N pnktów. Dl kŝdego z nc zpsem równne róŝncowe czl równne lgerczne. Mm ztem kłd równń lgercznc któr rozwązem edną z metod omówonc n wkłdze nr.

16 Przkłd: d d Rozwązne nltczne: B otrzmć rozwązne nmerczne nperw dskretzem równne dl pnktów [ N ] gdze N. Werzm. N 5. Drgą pocodną moŝn przlŝć z pomocą trópnktowc róŝnc centrlnc zwkle coć nekoneczne. Mm ztem dl Zwróćm wgę Ŝe są to równn tlko dl pnktów wewnętrznc. Ukłd nsz m newdome równn:

17 Mcerz powŝsz est przkłdem mcerz tródgonlne. Coć powŝsz kłd moŝn rozwązć edną z metod omówonc n wkłdze np. metodą Gss to szczególn postć te mcerz pozwl zredkowć lczę olczeń z n do n

19 Algortm oms dl kłdów z mcerzą tródgonlną Dn est kłd równń: c Y dl... n l w postc mcerzowe c n... c c c n c n n Y Y.... n Yn Algortm skłd sę z dwóc fz: Fz elmnc wprzód wkonąc dl równń od do n elmncę newdomc zskem osttne równne n z edną tlko newdomą którą moŝem wznczć. Fz elmnc wstecz korzstąc z wznczone w równn newdome wznczm z równn newdomą Ŝ do otrzmn wrtośc.

20 A ztem szkm scemt postc: γ Podstwąc ten scemt do równn otrzmem: Y c γ Wzncząc Y c γ γ Porównąc z otrzmem Y c γ γ γ Otrzmlśm równne rekrencne n poszkwne współcznnk γ. Współcznnk początkowe γ ne mą znczen o mnoŝone są przez. Msm eszcze znć n móc rozpocząć tercne olczne newdomc.

21 Podstwąc perwsze równne scemt n γ n n n do równn otrzmem: n γ n n n n n Yn Czl Wrto zwŝć Ŝe skoro n Yn nn γ n n n Y γ to wstrcz prząć n móc ezpośredno skorzstć ze wzor.

22 Podsmowąc: - n.. n for ; Y c..n for przkłd //n ; γ γ γ γ γ Algortm oms est nezwodn gd mcerz est dgonlne domnąc n c...

23 Przkłd: rdtor prętow A L B Równne opsące rozkłd tempertr wzdłŝ dłgośc pręt: d d C P ka C L c W/m/K P.6 m k W/m/K c współcznnk wnkn cepł P owód pręt k współcznnk przewodzen cepł A c pole poprzecznego przekro pręt A L.m 7K L 9K c.6 9K 5 m

24 d d Podzelm domenę rozwązń n 5 częśc L / 5 cm czl czl

25 6 5 Mm ztem kłd równń z czterem newdomm Rozwąząc ten kłd z pomocą lgortm oms otrzmem:

26 Metod róŝnc skończonc dl nelnowc równń róŝnczkowc Ncekwsze prolem współczesne fzk są nelnowe. Nelnowe prolem rzegowe dskretzem w podon sposó. Wnkem est ednk kłd nelnowc równń lgercznc. Metod rozwązwn tkc równń nelnowc omówlśm n wkłdze nr. Nrdze wdne olczenowo są w tm przpdk metod tercne. Istnee ednk potencln prolem zwązn ze zeŝnoścą scemt tercnego. Metod pnkt stłego Ukłd równń nelnowc moŝn zpsć w postc [ ][ ] [ Φ] [ ] [] mcerz współcznnków [Φ] wektor nelnowc wrzów ędącc fnkcą newdomc [] - wektor znnc welkośc stłc

27 [ ][ ] [ Φ] [ ] pośród wel sposoów konstrown procedr tercne werzm nprostsz [ k k ][ ] [ ] [ Φ] olczone n podstwe wcześneszego krok k Jeśl lcz pnktów est mł moŝem mcerz [] odwrócć. Jeśl ne moŝem skorzstć z metod elmnc Gss lo oms dl mcerz tródgonlne [ k [ ] [ Φ k ] [ ] ]

28 Przkłd: rdtor prętow Gd względnm wrz odpowedzln n wpromenowwne cepł równne opsące rozkłd tempertr wzdłŝ dłgośc pręt zsk postć: L ka P ka P d d C C C εσ ε - względn zdolność emsn σ - stł tefn-boltzmnn B A Równne zdskretzowne: B A B A

29 5 5 B B B B A A A A 6 B A B A B A B A k k ] [ ] [ ] [ ] [ Φ erz stosem procedrę tercną:

30 krok 7 9 krok krok krok krok krok krok krok [K] [m]

31 Zkłdm [stk kwdrtow] - - [ ] ' ' Dwwmrowe zgdnene rzegowe Równne Lplce [ ] ' ' { } { } [ ] [ ] '' ''

32 { } mąc wrz wznczm : Przkłd: stk Przmem początkowe przlŝene Korzstm z metod tercne Jcoego l Gss-edl szsz zeŝność m m m m m m m m m m m m

33 Korzstąc z metod dokłdnc np. dekompozc LU msm łoŝć mcerz o rozmrze lnowm n n. Wnosek: Msm wprowdzć ndeksowne równń odpowdącc pnktom dwwmrowe stk n n: k n przkłd werszm P P k n P... n Przkłd: równne Posson ϕ ρ ε gęstość łdnk f potencł [ ] f [ P Pn P P P n ] f P

34 Przkłd: Powerzcn potencł prz losowo rozmeszczone gęstośc łdnk

Podobne dokumenty

METODY KOMPUTEROWE 11

METODY KOMPUTEROWE 11 METOY KOMPUTEROWE METOA WAŻONYCH REZIUÓW Mchł PŁOTKOWIAK Adm ŁOYGOWSKI Konsultcje nukowe dr nż. Wtold Kąkol Poznń / METOY KOMPUTEROWE METOA WAŻONYCH REZIUÓW Metod wżonych rezduów jest slnym nrzędzem znjdown