Optyka Fourierowska. Wykład 11 Apodyzacja, superrozdzielczość i odtwarzanie utraconych informacji

Transkrypt

1 Optyka Fourierowska Wykład 11 Apodyzacja, superrozdzielczość i odtwarzanie utraconych informacji

2 Dyfrakcja a obrazowanie W obrazowaniu optycznym dyfrakcja jest głównym zjawiskiem ograniczającym moc rozdzielczą układu Obrazem natężeniowym punktu (np. odległej gwiazdy) jest zawsze kwadrat transformaty Fouriera apertury układu optycznego zawierające poza głównym maksimum, maksima i minima drugiego rzędu Zmniejsza to rozdzielczość układu (np. obraz drugiej gwiazda znajdująca się w pobliżu zostanie przykryty)

3 Apodyzacja i superrozdzielczość Techniki apodyzacji i superrozdzielczości mają za zadanie ograniczyć wpływ skończonej apertury. Superrozdzielczość jest blisko związana z zagadnieniem odtwarzania utraconej informacji Algorytmy te opierają się na sygnałach dyskretnych, lecz łatwo mogą zostać uogólnione na reprezentacje analogowe Upraszaczając rozważmy je w wersji jednowymiarowej

4 Apodyzacja Apodyzacja oznacza tyle co okienkowanie (windowing) w analizie sygnałów. Oznacza to obcięcie sygnału wejściowego (pola optycznego) W widmie sygnału po takim obcięciu ujawnia się efekt Gibbsa, tj. oscylacje blisko punktów nieciągłości. Podobnie dzieje się z sygnałem przestrzennym/czasowym po obcięciu widma

5 Symulacja zachowania obciętego pola Niech u[n] będzie obciętą z powodu źrenicy wyjściowej sekwencją próbek i U(f) będzie (dyskretną) transformatą fouriera u[n] Załóżmy także, że odstęp próbkowania u[n] będzie równy T s. Obcięcie będzie równoznaczne z pomnożeniem u[n] przez prostokątną sekwencję ω[n] określą przez: n 1 0 n N w pozostalych przypadkach

6 Transformata Fouriera (DTFT) Transformatą Fouriera ω[n] będzie: W f N e nn s 2ifnT sin ft 2 s sin ft N 1 s Widzimy szerokie maksimum główne o wysokości N i znaczne maksima boczne W miarę wzrostu N zmniejsza się powierzchnia pod maksimami

7 Spróbkowany obcięty sygnał u' U n un ' f U f W f Optymalne W(f) powinno mieć minimalne maksima boczne i bardzo wąskie maksimum główne aby U (f) było możliwie najbliższe U(f). Oczywiście optymalne W(f) będzie deltą Diraca co oznacza brak okienkowania Kompromis polega na usunięciu maksimów bocznych kosztem poszerzenia maksimum głównego lub odwrotnie. Poszerzenie maksimum bocznego jest jednoznaczne z filtracją dolnoprzepustową, która wygładza szybkie zmiany U(f)

8 Okna dyskretne czasowo Trójkątne Okno Barleta n n N n N 0 n N N n 0 w pozostalych przypadkach

9 Okna dyskretne czasowo Uogólnione okno kosinusowe n n a bcos N 0 c cos 2n N N n N w pozostalych przypadkach Hanning: a=0,5; b=0,5; c=0 Hamming: a=0,54; b=0,46; c=0 Blackman: a=0,42; b=0,5; c=0,08

10 Okna dyskretne czasowo Okno gaussowskie n exp n N

11 Okna dyskretne czasowo Okno Dolpha-Czebyszewa Minimalizacja szerokości maksimum głównego dla danego poziomu maksimów bocznych W f W f 1 1 cosh cosh N 1 n 10 1 f cosn cos cos N 1 cosh N cosh Okno czasowe jest znormalizowaną transformatą Fouriera tego wyrażenia Parametr α jest logarytmem stosunku wysokości maksimum głównego do bocznych. dla 0 n N 1

12 Okna dyskretne czasowo Okno Kaisera Jesli α=0 jest to tożsame z oknem prostokątnym ! m m m x x I przypadkach w pozostalych N n N I N n I n

13 Rozdzielczość dwupunktowa Jeśli apertura kołowa o promieniu R zostanie oświetlona falą płaską w obszarze Fraunhofera otrzymamy plamkę o szerokości głównego maksimum równej 0,61 R gdzie d 0 jest odległością od apertury δ jest nazywana odległością Rayleigha i mierzy limit rozdzielczości dwupunktowej d 0

14 Odtwarzanie sygnałów Skończona apertura oznacza utraconą informację ponieważ pole optyczne zostało obcięte. Pole optyczne można traktować jak sygnał, zaś aperturę jak operator zaburzenia (dystorsji) lub transformacji D. Po takiej zamianie można użyć metod z zakresu odzyskiwania sygnałów (signal recovery).

15 Znane widmo analityczne Dla sygnału ograniczonego przestrzennie dokładnie odtworzenie jest teoretycznie możliwe jeśli widmo takiego sygnału jest określone funkcją analityczną. Nawet jeśli funkcja jest znana tylko w małym obszarze cała może być odtworzona przez analityczną ekstrapolację Analogicznie jeśli jedynie mała część widma jest znana możemy odtworzyć całe widmo

16 Pomiar Z powodu szumu pomiarowego dokładna wiedza o widmie jest często niedostępna Mamy dostępne więc niedoskonałe pomiary i wiedzę a priori, taką jak dodatność, skończona rozciągłość itp. Zmierzony sygnał v ze źródłowym sygnałem u wiąże więc zależność: v Du

17 Problem odwrócenia u D 1 u Niestety D jest często skomplikowaną i niejednoznaczną transformacją. Na przykład jeśli D jest filtrem dolnoprzepustowym wiele u odpowiada temu samemu v. Nawet jeśli możemy oszacować D -1 oszacowanie to często silnie zależy od warunków

18 Przestrzeń wektorowa Zdefiniujmy wektorową przestrzeń S 0 jako podprzestrzeń wektorowej n-wymiarowej przestrzeni S z normą: 2 u un n Zdefiniujmy nieekspansywny operator mapowania A: Au Av u v Mapowanie jest ściśle nieekspansywne jeśli nierówność zachodzi zawsze jeśli u v

19 Operatory Operatory liniowe są zwykle reprezentowane przez macierze. Norma spektralna liniowego operatora A może być zdefiniowana jako A A H jest zespolonym sprzężeniem transpozycji A R(B) jest promieniem spektralnym B, tj. wartością bezwzględną największej wartości własnej B Norma macierzy jest spójna z normą wektora jeśli: Au A u Oznacza to, że dla operatora nieekspansywanego A musi zachodzić: A 1 R A H A

20 Punkt stały Każdy wektor u* który spełnia zależność jest nazywany punktem stałym operatora A Au u Jeśli mapowanie A jest ściśle nieekspansywne i są dwa punkty stałe u* i v* wtedy: u* v* Au * Av * u* v* co jest sprzecznością, a więc może istnieć tylko jeden punkt stały ściśle nieekspansywnej kontrakcji

21 Twierdzenie mapowania kontrakcji (Banacha) Jeśli mapowanie A jest ściśle nieekspansywne czyli Au Av u v gdzie 0<α<1 wtedy A ma jeden punkt stały w S 0

22 Iteracyjna metoda kontrakcji w odtwarzaniu sygnałów Załóżmy że mamy zmierzony sygnał v, który jest w jakiś sposób zaburzony Z v chcemy uzyskać bardziej dokładny sygnał za pomoca iteracji. Iterowany sygnał w k-tej iteracji nazwiemy u k W miarę jak rośnie k u k zbliża się do odtworzonego sygnału

23 Metoda k1 Fu k F jest uzyskiwany z operatora zaburzenia D i wiedzy a priori w formie kilku ograniczeń. W ogólności F nie jest jednoznaczne u

24 Operator ograniczenia Wiedza a priori może zostać wyrażona przez operator ograniczenia: Na przykład: Cu u n un n n a u 0 Cun 0 u 0 a u a Cu t u t sin 2f c t t d dla sygnału analogowego o ograniczonym przez układ widmie do częstości poniżej f c

25 Ograniczenie Każde oszacowanie u przez u k powinno być ograniczone przez C. Cu k jest interpretowane jako przybliżenie u k+1 Następnie wynik Cu k jest dalej przetwarzany przez operator zniekształcenia D (jeśli taki mamy) prowadząc do DCu k co stanowi oszacowanie v.

26 Błędy oszacowania Błąd oszacowania zdefiniujemy przez v v DCu k Zaś błąd sygnału między k+1-szą iteracją a k-tą iteracją może być zdefiniowany jako: u u k 1 Cu k Jak zależy Δu od Δv? Najprościej założyć, że są proporcjonalne: u v

27 Wynik Wtedy: Fu Fu k k u k 1 v Cu Gu k k u Cu G I DC gdzie I jest operatorem tożsamości Jako punkt startowy możemy przyjąć u0 v Jeśli F będzie kontrakcyjne, u k będzie zbiegać do punktu stałego u* k v DCu k

28 Procedura Fu k uk 1 u 0 Gu k Zastosować operator ograniczenia C na u k otrzymując u k Zastosować operator zniekształcenia D na u k otrzymując u k Obliczyć u k+1 jako u 0 + λ(u k - u k )

29 Przykład - rozplot Mamy v i h. Rozplot wymaga określenia u jeśli: Zaczynamy iteracje od v hu uk 1 v h Cu gdzie operator ograniczenia jest po prostu tożsamością u0 v k

30 Przykład - rozplot Transformata Fouriera powyższego wyniesie U k1 V U HU V U k1 1 H U k Jest to równanie różniczkowe pierwszego rzędu z rozwiązaniem: gdzie u[k] jest jednowymiarowym jednostkowym korkiem sekwencji U k V H k k k 1 1 H uk

31 Przykład - rozplot Jeśli założymy że otrzymamy k U k V H i jeśli 1 H 1 Uzyskaliśmy filtr odwrócony (dający się wyliczyć analitycznie), lecz iteracje możemy zatrzymać po skończonej liczbie kroków Warunek 1 H 1 można zapisać jako Re H Oznacza to, że H nie może się zerować! 0

32 Rozmycie gausowskie Odpowiedź impulosowa Zaszumiony sygnał Odtworzony sygnał