III.4 Gaz Fermiego. Struktura pasmowa ciał stałych

Transkrypt

1 III.4 Gaz Fermiego. Struktura pasmowa ciał stałych Jan Królikowski Fizyka IVBC 1

2 Gaz Fermiego Gaz Fermiego to gaz swobodnych, nie oddziałujących, identycznych fermionów w objętości V=a 3. Poszukujemy N(E)dE funkcji rozkładu liczby elektronów (fermionów) o energiach w przedziale <E, E+dE>. Metoda: podobna jak dla fotonów CDCz- obliczymy liczbę fal stojących w objętości V=a 3. Tym razem fale stojące będą falami prawdopodobieństwa; będziemy żądać, żeby funkcje falowe elektronów (fermionów) znikały na krawędziach pudła. Podobnie jak dla pola elektrycznego fotonów prowadzi to do warunku periodyczności: ( + ) Ê a ˆ n n n czyli k Ê π π = ˆ + + = = Ê ˆ n + n n Ë X Y Z X Y λ Ë λ Ë a Z Skwantowana energia kinetyczna związana jest z liczbą falową wzorem k π E = = ( n + n + n ) X Y Z m ma Jan Królikowski Fizyka IVBC

3 Przypomnienie CDCz:: Obliczenie N(ν) i n(ν) = N(ν) /V (Rayleigh-Jeans) Będziemy badali e-m fale stojące we wnęce CDCz. Przyjmiemy dla prostoty rachunków, że 3 wnęka jest sześcianem o krawędzi a i objętości V=a. Na sciankach wnęki fale e-m mają węzły, co narzuca warunki periodycznosci tj. całkowit ą liczbę λ/ na odległości a. Dla fali o wektorze falowym k (k= πλ / ) możemy napisa ć: Warunki periodyczności: Wynika stąd, że: k x = kcos α λ / = λ / cos α k = kcos β i λ / = λ/ cosβ k yx z = kcosγ a a a = n, = n, = n, λ λ λ x y z x y z a ( ) (cos α + cos β + cos γ ) = nx + ny + n z λ Ponieważ cosinusy kierunkowe dodaj ą się w kwadratach do jedynki dostajemy ostatecznie: x z y λ / = λ/ cos γ a = λ n x + n + n z y Jan Królikowski Fizyka IVBC 3

4 Całkowanie w przestrzeni węzłów r a = ν = c n + n + n x y z r dr a = ν dν c Jan Królikowski Fizyka IVBC 4

5 Ile fal o częstościach pomiędzy ν a ν+d ν i różnych kierunkach wektorów falowych znajduje się we wnęce CDCz? Należy policzyć liczbę węzłów w 1/8 warstwy kulistej o promieniu r= i grubości dr w przestrzeni węzłów n a i. c ν ' Wprowadźmy gęsto ść węzłów N (r) 4πrN'(r)dr πrn'(r)dr Liczbawęzłów : = 8 3 a Zamieniamy zmienne : r dr = ν dν c Wobec tego liczba fal stojących o jednej polaryzacji w przedziale częśtości [ ν, ν+ d ν] wynosi: 3 a 8 a N( ) d N'(r)dV 3 π d, za ś uwzględniając obie polaryzacje: N( )d = π ν ν = = ν ν ν ν ν dν c 3 c Ostatecznie gęsto ść fal stojących: N( ν)dν 8π n( ν)d ν= = ν dν 3 V c Jan Królikowski Fizyka IVBC 5

6 Gaz Fermiego cd. Dalsze obliczenia będą bardzo podobne jak dla fotonów CDCz. N(E)dE = N(r)dr gdzie r = n + n + n X Y Z 1 N(r)dr = ( 4 πr ) dr = 8 π de = ma E= π ma rdr r oraz N(E)dE = m a 3/ 3 π 3 EdE Jan Królikowski Fizyka IVBC 6

7 Gaz Fermiego cd. Dla fermionów obowiązuje zakaz Pauliego: nie więcej niż dwa elektrony w stanie o tej samej energii. E F FERMIONY Dla N elektronów w T=0 wszystkie stany od E=0 do E=E F (energii Fermiego) są wypełnione. Dla bozonów w T=0 wszystkie cząstki znajdują się w stanie o zerowej energii. 0 Jan Królikowski Fizyka IVBC 7

8 Gaz Fermiego cd. Energia Fermiego i liczba elektronów w T=0: F F N N(E)dE Ed skąd: E 3 E / 3 3 m V E ( ) m / V = Ú = E = (E ) 0 3 F π Ú0 3 3π F = ( 3) π / 3 4/ 3 ÊNˆ mëv / 3 N(E) 0<T 1 <T 3/ Średnia energia fermionów: E = 3 E 5 F E F E Jan Królikowski Fizyka IVBC 8

9 Zależność od temperatury: N(E,T)dE gdzie Gaz Fermiego cd. 1 F(E, T) = ( E - E )/ kt 0 e + 1 oraz E (T) = E = E gdy kt E 0 = N(E) F(E, T)dE 0 Dla fotonów rozkład Plancka jest szczególnym przykładem rozkładu Bosego- Einsteina; zamiast funkcji F wstawiamy funkcję B: B(E, T) = 1 (E E )/ kt e F F Jan Królikowski Fizyka IVBC 9

10 Gaz Fermiego cd. Konsekwencje praktyczne: niemal swobodne elektrony przewodnictwa w metalu tworzą gaz Fermiego. Gęstość elektronów przewodnictwa w metalu np. miedzi: Ê N ˆ N ρ Av Cu 9 ª ª ~ ª ~ elektronów / cm Ë V A 64 Energia E F Ferm iego: Ś rednia energia elektronów : E ª 7 F Cu ev = 0. 6E = 4 ev Energia termiczna dla T = 300K : 3 3 Wszystkie 3 / kt = stany 3 / poniżej 0. 05E ev F są zapełnione. E Nieliczne elektrony są powyżej. E E F ~3/kT Jan Królikowski Fizyka IVBC 10

11 Gaz Fermiego cd. Struktura pasmowa ciał stałych r. akad. 004/005 Dalsze rozważania dotyczą przede wszystkim kryształów, które ze względu na symetrie dużo lepiej poddają się opisowi teoretycznemu niż ciała bezpostaciowe. W ciałach stałych (kryształach, szkłach) odległości międzyatomowe (stałe sieci w kryształach) są rzędu 0.1 nm czyli rzędu rozmiarów atomów. Funkcje falowe elektronów zewnętrznych (walencyjnych) z różnych atomów nachodzą na siebie. Elektrony zewnętrzne ulegają więc częściowemu uwspólnieniu. Badania rentgenowskie pokazują, że poziomy elektronów wewnętrznych z rdzenia są bardzo mało wrażliwe na sąsiedztwo innych atomów. Jan Królikowski Fizyka IVBC 11

12 Gaz Fermiego cd. Struktura pasmowa kryształów Izolowane atomy- elektrony walencyjne E Zasada Pauliego wymaga, żeby poziomy elektronów walencyjnych atomów bliskich siebie przesunęły się tak, żeby żadne dwa elektrony o tych samych liczbach kwantowych nie miały tej samej energii. W ten sposób w ciałach stałych powstają pasma wspólnych elektronów. Atomy w krysztale Jan Królikowski Fizyka IVBC 1

13 Gaz Fermiego cd. Struktura pasmowa ciał stałych Zależnie od stanu obsadzenia pasm i wielkości przerw energetycznych między nimi ciała stałe są metalami (przewodnikami), półprzewodnikami lub izolatorami. r. akad. 004/005 METAL IZOLATOR PÓŁPRZEWODNIK Stany puste Stany wypełnione Jan Królikowski Fizyka IVBC 13

14 Gaz Fermiego cd. Struktura pasmowa kryształów W kryształach wyróżniamy komórki elementarnenajmniejsze układy atomowe posiadające symetrie danej sieci krystalicznej. Komórka elementarna składa się typowo z kilku atomów, ale są też sieci bardziej skomplikowane o kilkudziesięciu (10 ) lub nawet 10 6 atomów (kryształy białek). Struktura pasmowa kryształu silnie zależy od liczby atomów w komórce elementarnej jak i od rodzaju wiązań międzyatomowych w sieci krystalicznej (kryształy jonowe, atomowe, molekularne i metaliczne). Jan Królikowski Fizyka IVBC 14

15 Gaz Fermiego cd. Struktura pasmowa kryształów Typy wiązań krystalicznych: Jonowe: wiązania między pierwiastkami silnie elektroujemnymi (VI, VII grupa UO) a silnie elektrododatnimi (I, II grupa UO), Atomowe: pierwiastki IV grupy UO, diament, szara cyna, Molekularne: gazy szlachetne, cząsteczki o wiązaniach atomowych takie jak O lub Cl, Metaliczne: jony pierwiastków elektrododatnich tworzą sieć krystaliczną, zaś elektrony walencyjnegaz elektronowy. Jan Królikowski Fizyka IVBC 15

16 Gaz Fermiego cd. Struktura pasmowa kryształów r. akad. 004/005 Zjawisko Halla 1879 Napiecię Halla V H = E h d i E H =V H /d W stanie równowagi F B =evb=f E =ee H czyli v = E H /B Przewodnictwo nev v σ = = ne = neµ E E B Niedomiar elektronów na tylnej ściance w t=0 F E działająca na elektrony Nadmiar Elektronów w t=0 E H F B d I Jan Królikowski Fizyka IVBC 16

17 Gaz Fermiego cd. Struktura pasmowa kryształów Zjawisko Halla pozwala wyznaczyć znak ładunku i koncentrację nośników. Dla wielu metali n/n=1 Dla niektórych metali zachodzi n/n<1, a dla np. berylu, wapnia, wolframu napięcie Halla ma przeciwny znak- ładunki nośników są przeciwne. Dla półprzewodników jest jeszcze zabawniej: - Dla germanu domieszkowanego fosforem nośniki mają ujemne ładunki ale n/n jest znacznie mniejsze od jedności. - Dla germanu domieszkowanego borem nośniki mają znak dodatni. Jan Królikowski Fizyka IVBC 17

18 Gaz Fermiego cd. Struktura pasmowa kryształów Rola domieszek w przewodnictwie półprzewodników Przykład: fosfor (V gr. OU) w krzemie (IV gr. UO) Fosfor ma 5 elektronów walencyjnych, krzem 4. Fosfor jest donorem elektronów. Dodatkowy elektron walencyjny jest słabo związany na domieszce fosforowej; jego energia wiązania wynosi ok.. 45 mev (~300 razy mniej niż w atomie wodoru). Absorbując 45 mev foton uwalnia się, przechodzi do pasma przewodnictwa. Jest to możliwe np. na skutek wzbudzeń termicznych. Si domieszkowane P jest półprzewodnikiem typu n. Domieszkowanie Si pierwiastkami z III gr UO np. Al. Tym razem na domieszce wiąże się dziura z pasma walencyjnego. Jej energia wiązania wynosi dla Al. ok. 57 mev. Al jest akceptorem. Si domieszkowane Al. Jest półprzewodnikiem typu p. Znak nośników jednoznacznie określa zjawisko Halla Jan Królikowski Fizyka IVBC 18

19 Gaz Fermiego cd. Struktura pasmowa kryształów Złącze p-n (L. Sosnowski) W wyniku dyfuzji nośników większościowych w warstwie granicznej ustali się pole elektryczne od n do p. Cały opór elektryczny przypada na cienki obszar warstwy granicznej. Polaryzacja zaporowa: + na n. Polaryzacja przewodnictwa: + na p. P E - + n Warstwa graniczna V Energia potencjalna dziur i elektronów : dziury elektrony x Jan Królikowski Fizyka IVBC 19