r. akad. 2005/ 2006 Jan Królikowski Fizyka IBC

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "r. akad. 2005/ 2006 Jan Królikowski Fizyka IBC"

Transkrypt

1 VIII.1 Pojęcia mikrostanu i makrostanu układu N punktów materialnych. Prawdopodobieństwo termodynamiczne. Entropia. VIII. Rozkład Boltzmanna VIII.3 Twierdzenie o wiriale Jan Królikowski Fizyka IBC 1

2 Uwagi wstępne W przyrodzie mamy często do czynienia z układami składającymi się z bardzo dużych liczb cząstek (które przybliżamy przez punkty materialne). Np. gaz w tej sali ma ok cząstek/cm 3 (10 cz./litr). Nawet gdyby mechanika klasyczna wystarczała do opisu takiego gazu, rozwiązanie zagadnienia początkowego sprzężonych równań ruchu jest poza naszym zasięgiem analitycznie i/lub numerycznie. Na szczęście, rzadko kiedy interesuje nas los pojedyńczych cząsteczek, bardziej interesujące fizycznie są makroskopowe parametry stanu układu jako całości takie jak temperatura, ciśnienie, objętość i gęstość; takie parametry mierzymy eksperymentalnie i takie parametry udaje się wyznaczać metodami statystycznymi. Jan Królikowski Fizyka IBC

3 cd. Parametry makroskopowe układu wielu cząstek są wyznaczane przez średnie zachowanie się cząsteczek. Przykładowo N identycznych nieoddziałujących ale zderzających się ze sobą i ściankami cząstek o masie m w naczyniu o objętości V powoduje wywieranie ciśnienia na ścianki naczynia. Ciśnienie p dane jest jest związane ze średnią wartością kwadratu prędkości cząstek <v > lub z ich średnią energią kinetyczną <E k > wzorem: 1 N N p m v E 3 V 3 V = < >= < k > Podczas gdy prędkości cząstek nieustannie ulegają zmianie, ich średnia energia kinetyczna w warunkach równowagi jest stała. Jan Królikowski Fizyka IBC 3

4 cd. Obliczanie średnich wartości parametrów mikroskopowych w układach bardzo wielu cząstek jest przedmiotem fizyki statystycznej. Zazwyczaj takie obliczenia wymagają przyjęcia pewnych założeń dotyczących mikroskopowych własności oddziaływań między cząstkami. Związek tak obliczonych średnich z mierzalnymi parametrami makroskopowymi jest także przedmiotem fizyki statystycznej. Jan Królikowski Fizyka IBC 4

5 cd. W dalszych rozważaniach będziemy zajmowali się układami bardzo wielu punktów materialnych, które nie oddziałują ze sobą na odległość, oddziałują sprężystymi siłami kontaktowymi w wyniku zderzeń. Taki układ jest np. modelem gazu jednoatomowego (gaz doskonały). Liczba stopni swobody układu N takich cząstek wynosi 6N; Dla każdej cząstki mamy 3 składowe położenia i 3 składowe pędu (prędkości). Jan Królikowski Fizyka IBC 5

6 Rozkład Boltzmanna Najbardziej prawdopodobny rozkład liczb cząstek o danych energiach dla układu N cząstek w temperaturze T: N E N(E) de = e kt g(e) de Z gdzie normalizacja dana jest przez: E Z = g(e)e kt de i N= N(E)dE Funkcja g(e) jest gęstości ą stanów o danej energii E. Jan Królikowski Fizyka IBC 6

7 Mikro- i makrostany Rozważmy układ złożony z bardzo dużej N liczby identycznych (ale ponumerowanych) cząstek w objętości V. Na ile sposobów można te cząstki podzielić między K komórek przestrzeni fazowej (np. dzieląc V na małe komórki lub dzieląc dostępny obszar energii E na E i, i=1,...k komórek poziomów)? Kombinatoryka dostarcza odpowiedzi: K 1 N N N N N 1 i N! P(N,...N ) = i= K = N N N N! i K i = 1,..K Ten wzór określa prawdopodobieństwo termodynamiczne. Jan Królikowski Fizyka IBC 7

8 Mikrostan: stan zawierający określone cząstki w komórkach przestrzeni fazowej. Makrostan: stan zawierający określoną liczbę cząstek w komórkach przestrzeni fazowej. Przykład: Podział 4 cząstek między komórki przestrzeni fazowej. Mamy 5 makrostanów: {4,0}, {3,1}, {,}, {1,3}, {0,4} i 16 mikrostanów: na {4,0} i {0,4} przypadają po 1 mikrostanie, na {3,1} i {1,3} przypada po 4 mikrostany, na {,} przypada 6 mikrostanów. Boltzmann: prawdopodobieństwa wystąpienia mikrostanów o tych samych energiach są takie same. Jan Królikowski Fizyka IBC 8

9 Prawdopodobieństwo i entropia Boltzmann powiązał prawdopodobieństwo termodynamiczne z entropią termodynamiczną funkcją stanu układu: czyli S= k ln P(N 1,...,N K ) S=k ( ln N! ln N 1!... ln N K!) Jan Królikowski Fizyka IBC 9

10 Wyprowadzenie rozkładu Bolzmanna Najbardziej prawdopodobny rozkład energii to taki dla którego entropia osiąga maksimum. Znalezienie maksimum S sprowadza się do znalezienia maksimum lnp. K lnp= ln N! - N! ÑlnN N ( N lnn) + N = i i i i i=1 =N ln N- N lnn i i 0 i i ekstremum: dlnp= d(nlnn) d( N lnn) = Jan Królikowski Fizyka IBC 10

11 cd. Ponadto mamy dwa równania więzów: U = N E = const czyli du= d( N E ) = E dn = 0 i i i i i i N = N czyli dn = d( N ) = dn = 0 i i i Posłużymy się metod ą mnozników Lagrange'a, żeby znalezć ekstremum związane lnp: i i i 0 i i dlnp = ( dn lnn + α dn + Eβ dn ) = Jan Królikowski Fizyka IBC 11

12 cd... czyli dla kazdego i musi zachodzi ć znikanie współ czynnikó w przy niezaleznych dn : ln N +α+β E = 0 czyli całkuj ąc N =g exp(- βe )exp( -α) Znajdujemy mnożnik Lagrange'a z α równan więzów: N= i i i α N = e g exp( β E i i i Mnożnik Lagrange'a β: dla dwóch układów w równowadze β= β (T) = 1/ kt i i N N ) czyli exp(- α )= = gexp( βe) Z i i i Jan Królikowski Fizyka IBC 1

13 Przykład rozkładu Boltzmanna: gaz nieodziałujących twardych cząstek Jest to rozkład Maxwella Boltzmanna. Obliczymy explicite funkcję podziału Z w tym przypadku. Niech U jest całkowitą energią kinetyczną cząstek gazu: N U= E = ki, i= 1 i= 1 p i m Obliczmy całkowitą liczbę mikrostanów o E<U G(U) posługując się rozkładem Boltzmana. Jeżeli g(e) jest gęstością stanów a na jeden stan przypada objętość d w 6 wymiarowej przestrzeni fazowej możemy napisać: 1 V 4π GU dv dp mu ( ) ( ) 3/ = 3 = d d 3 V U= const Jan Królikowski Fizyka IBC 13

14 Gęstość stanów g(e)=dg(e)/de: ( ) 3/ 1/ ge ( ) = π m E V/ d cd. Możemy więc obliczyć funkcję podziału Z oznaczając przez β=1/kt: 3/ ( ) ( m) π V βe Z= g( E) de= Ee de= d 0 0 3/ E π m V ( ) ε=β 1 ε = = ε ε= 3/ ε=β β e d d de d 3/ 3/ π m V 1 V πm = Γ ( 3/) 3/ = d Γ(3/)= π 1/ / jest funkcją gamma Eulera. β 0 d β Jan Królikowski Fizyka IBC 14

15 Uzupełnienie: własności funkcji Γ Eulera r. akad. 005/ 006 Funkcja Γ jest uogólnieniem silni na dowolne liczby rzeczywiste. Definicja: x 1 t x t e dt 0 ( ) Γ = ; x>0 x lim nn! Γ ( x) = n x x+ x+ n ( 1... ) ( ) Własności: ( ) ( ) ( ) Γ x+ 1 = xγ x ; Γ n+1 = n! π Γ( x) Γ( x 1 ) = (x 0, ± 1, ±...) sin πx t ( ) e dt ( ) Γ 1/ = = π; Γ 3/ = π/ 0 ( n) n ( ) n ( n) n! π 1! π Γ ( n+ 1/ ) = ; Γ( n+ 1/ ) = (n=0,1,,...) n n!! Jan Królikowski Fizyka IBC 15

16 Gęstość prawdopodobieństwa ( ) ( ) 3/ 1/ βe fe E e cd.. N NEdE ( ) NfEdE ( ) gee ( ) de Z fe βe = = = ( m) 3/ 1 π V E βe = e = 3/ V πm d d β = β π Jan Królikowski Fizyka IBC 16

17 cd... Zastosujmy otrzymany rozkład do obliczenia średniej energii energii kinetycznej gazu twardych kulek: 1 Ef ( E) de Γ( 5/) 0 β 31 3 E = E k = = 3/ = = kt 1 β fede ( ) Γ( 3/) 0 β 5/ Jan Królikowski Fizyka IBC 17

18 Rozkład prędkości cząsteczek Znając f(e) możemy obliczyć rozkład prędkości cząsteczek zamieniając zmienne: ( ) = ( ) ; dn( E) = ( ) dn v dv Nf v dv de Nf E de dn dn de dn = = mv dv de dv de m πkt 3/ ( ) = ( 4πv ) f v mv kt e Rozkłady składowych prędkości są rozkładami normalnymi, tym szerszymi im wyższa jest temperatura. Jan Królikowski Fizyka IBC 18

19 cd. Kształt rozkładu Maxwella Jan Królikowski Fizyka IBC 19

20 cd.. Prędkość najbardziej prawdopodobnaodpowiada maksimum rozkładu Maxwella: v pr = kt m ( ) Prędkość średnia (pr. średnia kwadratowa): 0 0 3/ 3/ mv 3 4 m v = = π vf v dv kt = π v e dv kt m kt kt = π = πkt m mπ 3kT v = v f( v) dv = E = m m v kw = v > v > v kw v = pr 3kT m Jan Królikowski Fizyka IBC 0

21 cd... Prędkości średnie: Jan Królikowski Fizyka IBC 1

22 Twierdzenie o wiriale Jest to związek między średnią energią kinetyczną i średnią wartością iloczynu skalarnego. Wyprowadzenie: R. ruchu cząstki: Uśredniamy po długim okresie czasu Jan Królikowski Fizyka IBC

23 cd. Dla N jednakowych cząstek możemy dodać wzory dostając: = NEk Fi ri Uwzględniając to, że na i tą czastkę działają siły zewnętrze i siły wewnętrzne dostajemy: 1 1 NEk = F r F r zi i ij ij Jan Królikowski Fizyka IBC 3

24 cd. Jeżeli cząstka porusza się w ograniczonym obszarze przestrzeni i z ograniczoną prędkością co narzuca ograniczenia na lewą stronę tego równania: τ d 1 d m τ m ( r v) = m ( ) = [ ] 0 τ r v dt r v dt dt τ 0 o Dostajemy więc twierdzenie o wiriale (R. Clausius, 1870): F r = E k Jan Królikowski Fizyka IBC 4

25 Zastosowania tw. o wiriale 1. Związek miedzy średnią energią kinetyczną i średnią energią potencjalną dla cząstki oddziałującej siłą centralną k/ rn z pewnym centrum siły. Ponieważ w tym przypadku dep dostajemy F r = natychmiast: E E k k = n E n = n p E r dr. Ciśnienie gazu Rozważmy gaz doskonały w sześciennym naczyniu o krawędzi a. Na cząstki gazu i działają newtonowskie siły zewnętrzne F zi, a więc cząsteczki działaja na ścianki F zi, co jest przyczyną ciśnienia gazu na ścianki naczynia. Jan Królikowski Fizyka IBC 5

26 cd. Siłę możemy rozłożyć na składowe prostopadłe i równoległe do ścianek: F = F + F zi z z Średniując po czasie sumę po wszystkich cząstkach otrzymujemy: F r = F r z z Dla 3 ścianek sześcianu, które stykają się w początku układu wiriał jest równy zeru, dla trzech pozostałych ścianek zachodzi: F r a F af pa pv 3 z = z = = = Jan Królikowski Fizyka IBC 6

27 cd.. Gdzie przez F oznaczyliśmy całkowitą średnią wartość siły wywieranej przez ścianki na gaz, a p=f/a jest ciśnieniem. Ponieważ mamy N cząstek gazu i trzy ścianki dające wkład do wiriału sił zewnętrznych dostajemy ostatecznie: 3 1 = NEk pv Fij r ij Dla gazu doskonałego wiriał sił wewnętrznych znika i dostajemy znane równanie gazu doskonałego: 3 N E k = pv lub 1 N 3 N m v kt kt 3 V V p= ; E k = ; p= Jan Królikowski Fizyka IBC 7

28 3. Ruchy Browna cd... Bezładny ruch cząsteczek pyłku kwiatowego zawieszonych w cieczy został odkryty przez botanika R. Browna w 187. Był to pierwszy doświadczalny dowód realności kinetycznego, cząsteczkowego obrazu materii. Teorię ruchów Browna podali niezależnie A. Einstein i M.Smoluchowski w Poniżej podamy przybliżone wyprowadzenie wzoru Einsteina Smoluchowskiego metodą Langevina z Będziemy badali ruch pojedyńczej cząsteczki zawiesiny. Przyjmijmy, że na cząsteczkę działają dwa rodzaje sił: 1. Bezładne siły zderzeniowe pochodzące od wszystkich cząstek cieczy, mające wypadkowy wektor F c =(X, Y,Z), dr F = πη r = Kv dt. Siła oporu (lepkości) cieczy L 6 0 Jan Królikowski Fizyka IBC 8

29 cd... Będziemy rozważali ruch cząsteczki zawiesiny wzdłuż dowolnie wybranej osi (np. OX). Składowa siły: F = X Kx Skorzystamy z tw. o wiriale, mnożąc przez x i uśredniając po długim czasie: mv = Fr = Xx+ Kxx = Kxx x x Skoro cząstka porusza się bezładnie to i lewa strona równości wynosi: Zaś stronę prawą możemy napisać jako: x v x = v y = v z = mv Kxx x = kt K d = dt x v 3 Jan Królikowski Fizyka IBC 9

30 cd... Dostajemy równanie Einsteina Smoluchowskiego: K d kt = dt 0 x t t K dx K kt dt = ktt = = dt x dt kt RT = = 3πηr 3πηr N x t t A Wynik nie zależy od masy cząsteczki zawiesiny! Mierząc <x (t)> możemy więc wyznaczyć liczbę Avogadro. Jan Królikowski Fizyka IBC 30

S ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany

S ścianki naczynia w jednostce czasu przekazywany FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym

Bardziej szczegółowo

FIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w

FIZYKA STATYSTYCZNA. d dp. jest sumaryczną zmianą pędu cząsteczek zachodzącą na powierzchni S w FIZYKA STATYSTYCZNA W ramach fizyki statystycznej przyjmuje się, że każde ciało składa się z dużej liczby bardzo małych cząstek, nazywanych cząsteczkami. Cząsteczki te znajdują się w ciągłym chaotycznym

Bardziej szczegółowo

17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek

17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdział 17 KLASYCZNA DYNAMIKA MOLEKULARNA 17.1 Podstawy metod symulacji komputerowych dla klasycznych układów wielu cząstek Rozważamy układ N punktowych cząstek

Bardziej szczegółowo

Teoria kinetyczna gazów

Teoria kinetyczna gazów Teoria kinetyczna gazów Mikroskopowy model ciśnienia gazu wzór na ciśnienie gazu Mikroskopowa interpretacja temperatury Średnia energia cząsteczki gazu zasada ekwipartycji energii Czy ciepło właściwe przy

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 15. Termodynamika statystyczna. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 15. Termodynamika statystyczna.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 15. Termodynamika statystyczna Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html TERMODYNAMIKA KLASYCZNA I TEORIA

Bardziej szczegółowo

Wykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały

Wykład 1 i 2. Termodynamika klasyczna, gaz doskonały Wykład 1 i 2 Termodynamika klasyczna, gaz doskonały dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki

Bardziej szczegółowo

= = Budowa materii. Stany skupienia materii. Ilość materii (substancji) n - ilość moli, N liczba molekuł (atomów, cząstek), N A

= = Budowa materii. Stany skupienia materii. Ilość materii (substancji) n - ilość moli, N liczba molekuł (atomów, cząstek), N A Budowa materii Stany skupienia materii Ciało stałe Ciecz Ciała lotne (gazy i pary) Ilość materii (substancji) n N = = N A m M N A = 6,023 10 mol 23 1 n - ilość moli, N liczba molekuł (atomów, cząstek),

Bardziej szczegółowo

Ciśnienie i temperatura model mikroskopowy

Ciśnienie i temperatura model mikroskopowy Ciśnienie i temperatura model mikroskopowy Mikroskopowy model ciśnienia gazu wzór na ciśnienie gazu Mikroskopowa interpretacja temperatury Średnia energia cząsteczki gazu zasada ekwipartycji energii Czy

Bardziej szczegółowo

Termodynamika. Część 11. Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ

Termodynamika. Część 11. Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Termodynamika Część 11 Układ wielki kanoniczny Statystyki kwantowe Gaz fotonowy Ruchy Browna Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Układ otwarty rozkład wielki kanoniczny Rozważamy układ w równowadze termicznej

Bardziej szczegółowo

Kinetyczna teoria gazów Termodynamika. dr Mikołaj Szopa Wykład

Kinetyczna teoria gazów Termodynamika. dr Mikołaj Szopa Wykład Kinetyczna teoria gazów Termodynamika dr Mikołaj Szopa Wykład 7.11.015 Kinetyczna teoria gazów Kinetyczna teoria gazów. Termodynamika Termodynamika klasyczna opisuje tylko wielkości makroskopowe takie

Bardziej szczegółowo

Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki

Układy statystyczne. Jacek Jurkowski, Fizyka Statystyczna. Instytut Fizyki Instytut Fizyki 2015 Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym Stany mikroskopowe i makroskopowe w układzie wielopoziomowym N rozróżnialnych cząstek, z których każda może mieć energię

Bardziej szczegółowo

FIZYKA STATYSTYCZNA. Liczne eksperymenty dowodzą, że ciała składają się z wielkiej liczby podstawowych

FIZYKA STATYSTYCZNA. Liczne eksperymenty dowodzą, że ciała składają się z wielkiej liczby podstawowych FIZYKA STATYSTYCZA Liczne eksperymenty dowodzą, że ciała składają się z wielkiej liczby podstawowych elementów takich jak atomy czy cząsteczki. Badanie ruchów pojedynczych cząstek byłoby bardzo trudnym

Bardziej szczegółowo

Podstawowe prawa opisujące właściwości gazów zostały wyprowadzone dla gazu modelowego, nazywanego gazem doskonałym (idealnym).

Podstawowe prawa opisujące właściwości gazów zostały wyprowadzone dla gazu modelowego, nazywanego gazem doskonałym (idealnym). Spis treści 1 Stan gazowy 2 Gaz doskonały 21 Definicja mikroskopowa 22 Definicja makroskopowa (termodynamiczna) 3 Prawa gazowe 31 Prawo Boyle a-mariotte a 32 Prawo Gay-Lussaca 33 Prawo Charlesa 34 Prawo

Bardziej szczegółowo

Elementy fizyki statystycznej

Elementy fizyki statystycznej 5-- lementy fizyki statystycznej ermodynamika Gęstości stanów Funkcje rozkładu Gaz elektronów ermodynamika [K] 9 wszechświat tuż po powstaniu ermodynamika to dział fizyki zajmujący się energią termiczną

Bardziej szczegółowo

Temperatura, ciepło, oraz elementy kinetycznej teorii gazów

Temperatura, ciepło, oraz elementy kinetycznej teorii gazów Temperatura, ciepło, oraz elementy kinetycznej teorii gazów opis makroskopowy równowaga termodynamiczna temperatura opis mikroskopowy średnia energia kinetyczna molekuł Równowaga termodynamiczna A B A

Bardziej szczegółowo

Wielki rozkład kanoniczny

Wielki rozkład kanoniczny , granica termodynamiczna i przejścia fazowe Instytut Fizyki 2015 Podukład otwarty Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R Podukład otwarty S opisywany układ + rezerwuar R układ S + R jest izolowany

Bardziej szczegółowo

Teoria kinetyczno cząsteczkowa

Teoria kinetyczno cząsteczkowa Teoria kinetyczno cząsteczkowa Założenie Gaz składa się z wielkiej liczby cząstek znajdujących się w ciągłym, chaotycznym ruchu i doznających zderzeń (dwucząstkowych) Cel: Wyprowadzić obserwowane (makroskopowe)

Bardziej szczegółowo

Wstęp do fizyki statystycznej: krytyczność i przejścia fazowe. Katarzyna Sznajd-Weron

Wstęp do fizyki statystycznej: krytyczność i przejścia fazowe. Katarzyna Sznajd-Weron Wstęp do fizyki statystycznej: krytyczność i przejścia fazowe Katarzyna Sznajd-Weron Co to jest fizyka statystyczna? Termodynamika poziom makroskopowy Fizyka statystyczna poziom mikroskopowy Marcin Weron

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne

Wykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne Wykład 3 Zjawiska transportu Dyfuzja w gazie, przewodnictwo cieplne, lepkość gazu, przewodnictwo elektryczne W3. Zjawiska transportu Zjawiska transportu zachodzą gdy układ dąży do stanu równowagi. W zjawiskach

Bardziej szczegółowo

Występują fluktuacje w stanie równowagi Proces przejścia do stanu równowagi jest nieodwracalny proces powrotny jest bardzo mało prawdopodobny.

Występują fluktuacje w stanie równowagi Proces przejścia do stanu równowagi jest nieodwracalny proces powrotny jest bardzo mało prawdopodobny. Wykład 14: Fizyka statystyczna Zajmuje sie układami makroskopowymi (typowy układ makroskopowy składa się z ok. 10 25 atomów), czyli ok 10 25 równań Newtona? Musimy dopasować inne pojęcia do opisu takich

Bardziej szczegółowo

Zespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] }

Zespół kanoniczny N,V, T. acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } Zespół kanoniczny Zespół kanoniczny N,V, T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } Zespół izobaryczno-izotermiczny Zespół izobaryczno-izotermiczny N P T acc o n =min {1, exp [ U n U o ] } acc o n =min {1, exp[

Bardziej szczegółowo

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA

IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX. MECHANIKA (FIZYKA) KWANTOWA IX.1. OPERACJE OBSERWACJI. a) klasycznie nie ważna kolejność, w jakiej wykonujemy pomiary. AB = BA A pomiar wielkości A B pomiar wielkości B b) kwantowo wartość obserwacji

Bardziej szczegółowo

Podstawowe pojęcia Masa atomowa (cząsteczkowa) - to stosunek masy atomu danego pierwiastka chemicznego (cząsteczki związku chemicznego) do masy 1/12

Podstawowe pojęcia Masa atomowa (cząsteczkowa) - to stosunek masy atomu danego pierwiastka chemicznego (cząsteczki związku chemicznego) do masy 1/12 Podstawowe pojęcia Masa atomowa (cząsteczkowa) - to stosunek masy atomu danego pierwiastka chemicznego (cząsteczki związku chemicznego) do masy 1/12 atomu węgla 12 C. Mol - jest taką ilością danej substancji,

Bardziej szczegółowo

Jednostki podstawowe. Tuż po Wielkim Wybuchu temperatura K Teraz ok. 3K. Długość metr m

Jednostki podstawowe. Tuż po Wielkim Wybuchu temperatura K Teraz ok. 3K. Długość metr m TERMODYNAMIKA Jednostki podstawowe Wielkość Nazwa Symbol Długość metr m Masa kilogramkg Czas sekunda s Natężenieprąduelektrycznego amper A Temperaturatermodynamicznakelwin K Ilość materii mol mol Światłość

Bardziej szczegółowo

Klasyczna mechanika statystyczna Gibbsa I

Klasyczna mechanika statystyczna Gibbsa I Wykład III Mechanika statystyczna Klasyczna mechanika statystyczna Gibbsa I Wstępne uwagi Materia nas otaczająca, w szczególności gazy będące centralnym obiektem naszego zainteresowania, zbudowane są z

Bardziej szczegółowo

V.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c

V.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c r. akad. 005/ 006 V.6 Pęd i energia przy prędkościach bliskich c 1. Relatywistyczny pęd. Relatywistyczne równanie ruchu. Relatywistyczna energia kinetyczna 3. Relatywistyczna energia całkowita i energia

Bardziej szczegółowo

Stany skupienia materii

Stany skupienia materii Stany skupienia materii Ciała stałe Ciecze Płyny Gazy Plazma 1 Stany skupienia materii Ciała stałe - ustalony kształt i objętość - uporządkowanie dalekiego zasięgu - oddziaływania harmoniczne Ciecze -

Bardziej szczegółowo

Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Teoria kinetyczna INZYNIERIAMATERIALOWAPL. Kierunek Wyróżniony przez PKA

Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Teoria kinetyczna INZYNIERIAMATERIALOWAPL. Kierunek Wyróżniony przez PKA Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich Teoria kinetyczna Kierunek Wyróżniony rzez PKA 1 Termodynamika klasyczna Pierwsza zasada termodynamiki to rosta zasada zachowania energii, czyli ogólna reguła

Bardziej szczegółowo

Termodynamika Część 3

Termodynamika Część 3 Termodynamika Część 3 Formy różniczkowe w termodynamice Praca i ciepło Pierwsza zasada termodynamiki Pojemność cieplna i ciepło właściwe Ciepło właściwe gazów doskonałych Ciepło właściwe ciała stałego

Bardziej szczegółowo

Rozkłady statyczne Maxwella Boltzmana. Konrad Jachyra I IM gr V lab

Rozkłady statyczne Maxwella Boltzmana. Konrad Jachyra I IM gr V lab Rozkłady statyczne Maxwella Boltzmana Konrad Jachyra I IM gr V lab MODEL STATYCZNY Model statystyczny hipoteza lub układ hipotez, sformułowanych w sposób matematyczny (odpowiednio w postaci równania lub

Bardziej szczegółowo

Wykład Praca (1.1) c Całka liniowa definiuje pracę wykonaną w kierunku działania siły. Reinhard Kulessa 1

Wykład Praca (1.1) c Całka liniowa definiuje pracę wykonaną w kierunku działania siły. Reinhard Kulessa 1 1.6 Praca Wykład 2 Praca zdefiniowana jest jako ilość energii dostarczanej przez siłę działającą na pewnej drodze i matematycznie jest zapisana jako: W = c r F r ds (1.1) ds F θ c Całka liniowa definiuje

Bardziej szczegółowo

n p 2 i = R 2 (8.1) i=1

n p 2 i = R 2 (8.1) i=1 8.9 Rozkład Maxwella Jest to rozkład prędkości cząstek w gazie doskonałym. Wielkość f (p) jest gęstością prawdopodobieństwa znalezienia cząstki o pędzie p. Różnica pomiędzy rozkładem Maxwella i rozkładem

Bardziej szczegółowo

IV.3 Ruch swobodny i nieswobodny. Więzy. Reakcje więzów

IV.3 Ruch swobodny i nieswobodny. Więzy. Reakcje więzów IV.3 Ruch swobodny i nieswobodny. Więzy. Reakcje więzów Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Ruch swobodny i nieswobodny. Stany równowagi Rozważamy ciało w pewnym układzie inercjalnym (UI). Gdy: prędkość tego

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej

Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Rozwiązania zadań z podstaw fizyki kwantowej Jacek Izdebski 5 stycznia roku Zadanie 1 Funkcja falowa Ψ(x) = A n sin( πn x) jest zdefiniowana jedynie w obszarze

Bardziej szczegółowo

Termodynamika cz. 2. Gaz doskonały. Gaz doskonały... Gaz doskonały... Notes. Notes. Notes. Notes. dr inż. Ireneusz Owczarek

Termodynamika cz. 2. Gaz doskonały. Gaz doskonały... Gaz doskonały... Notes. Notes. Notes. Notes. dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2 dr inż. Ireneusz Owczarek CNMiF PŁ ireneusz.owczarek@p.lodz.pl http://cmf.p.lodz.pl/iowczarek 1 dr inż. Ireneusz Owczarek Termodynamika cz. 2 Gaz doskonały Definicja makroskopowa (termodynamiczna)

Bardziej szczegółowo

Wykład 8 i 9. Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna

Wykład 8 i 9. Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna Wykład 8 i 9 Hipoteza ergodyczna, rozkład mikrokanoniczny, wzór Boltzmanna dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW)

Bardziej szczegółowo

Równowaga w układach termodynamicznych. Katarzyna Sznajd-Weron

Równowaga w układach termodynamicznych. Katarzyna Sznajd-Weron Równowaga w układach termodynamicznych. Katarzyna Sznajd-Weron Zagadka na początek wykładu Diagram fazowy wody w powiększeniu, problem metastabilności aktualny (Nature, 2011) Niższa temperatura topnienia

Bardziej szczegółowo

Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny

Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny Rozkłady: Kanoniczny, Wielki Kanoniczny, Izobaryczno-Izotermiczny 1 Rozkład Mikrokanoniczny (przypomnienie) S= k B ln( (E,V,{x i },{N j }) ) Z fenomenologii: Niestety, rachunki przy użyciu rozkładu mikrokanonicznego

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 X. Elementy termodynamiki

Podstawy fizyki sezon 1 X. Elementy termodynamiki Podstawy fizyki sezon 1 X. Elementy termodynamiki Agnieszka Obłąkowska-Mucha AGH, WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha Temodynamika

Bardziej szczegółowo

Wykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe

Wykład 12. Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe Wykład 12 Rozkład wielki kanoniczny i statystyki kwantowe dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy

Bardziej szczegółowo

dn dt C= d ( pv ) = d dt dt (nrt )= kt Przepływ gazu Pompowanie przez przewód o przewodności G zbiornik przewód pompa C A , p 1 , S , p 2 , S E C B

dn dt C= d ( pv ) = d dt dt (nrt )= kt Przepływ gazu Pompowanie przez przewód o przewodności G zbiornik przewód pompa C A , p 1 , S , p 2 , S E C B Pompowanie przez przewód o przewodności G zbiornik przewód pompa C A, p 2, S E C B, p 1, S C [W] wydajność pompowania C= d ( pv ) = d dt dt (nrt )= kt dn dt dn / dt - ilość cząstek przepływających w ciągu

Bardziej szczegółowo

Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Praca, moc, energia INZYNIERIAMATERIALOWAPL. Kierunek Wyróżniony przez PKA

Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich. Praca, moc, energia INZYNIERIAMATERIALOWAPL. Kierunek Wyróżniony przez PKA Podstawy Procesów i Konstrukcji Inżynierskich Praca, moc, energia Energia Energia jest to wielkość skalarna, charakteryzująca stan, w jakim znajduje się jedno lub wiele ciał. Energia jest miarą różnych

Bardziej szczegółowo

Statyka Cieczy i Gazów. Temat : Podstawy teorii kinetyczno-molekularnej budowy ciał

Statyka Cieczy i Gazów. Temat : Podstawy teorii kinetyczno-molekularnej budowy ciał Statyka Cieczy i Gazów Temat : Podstawy teorii kinetyczno-molekularnej budowy ciał 1. Podstawowe założenia teorii kinetyczno-molekularnej budowy ciał: Ciała zbudowane są z cząsteczek. Pomiędzy cząsteczkami

Bardziej szczegółowo

WŁASNOŚCI CIAŁ STAŁYCH I CIECZY

WŁASNOŚCI CIAŁ STAŁYCH I CIECZY WŁASNOŚCI CIAŁ STAŁYCH I CIECZY Polimery Sieć krystaliczna Napięcie powierzchniowe Dyfuzja 2 BUDOWA CIAŁ STAŁYCH Ciała krystaliczne (kryształy): monokryształy, polikryształy Ciała amorficzne (bezpostaciowe)

Bardziej szczegółowo

Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Mechanika cieczy i gazów

Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Mechanika cieczy i gazów Fizyka dla Informatyków Wykład 8 Katedra Informatyki Stosowanej PJWSTK 2008 Spis treści Spis treści 1 Podstawowe równania hydrodynamiki 2 3 Równanie Bernoulliego 4 Spis treści Spis treści 1 Podstawowe

Bardziej szczegółowo

Fizyka 11. Janusz Andrzejewski

Fizyka 11. Janusz Andrzejewski Fizyka 11 Ruch okresowy Każdy ruch powtarzający się w regularnych odstępach czasu nazywa się ruchem okresowym lub drganiami. Drgania tłumione ruch stopniowo zanika, a na skutek tarcia energia mechaniczna

Bardziej szczegółowo

Termodynamika program wykładu

Termodynamika program wykładu Termodynamika program wykładu Wiadomości wstępne: fizyka statystyczna a termodynamika masa i rozmiary cząstek stan układu, przemiany energia wewnętrzna pierwsza zasada termodynamiki praca wykonana przez

Bardziej szczegółowo

MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki

MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki MiBM sem. III Zakres materiału wykładu z fizyki 1. Dynamika układów punktów materialnych 2. Elementy mechaniki relatywistycznej 3. Podstawowe prawa elektrodynamiki i magnetyzmu 4. Zasady optyki geometrycznej

Bardziej szczegółowo

CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA. Szczególna teoria względności. Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 2013)

CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA. Szczególna teoria względności. Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 2013) CZAS I PRZESTRZEŃ EINSTEINA Szczególna teoria względności Spotkanie II ( marzec/kwiecień, 013) u Masa w szczególnej teorii względności u Określenie relatywistycznego pędu u Wyprowadzenie wzoru Einsteina

Bardziej szczegółowo

PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ

PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ De Broglie, na podstawie analogii optycznych, w roku 194 wysunął hipotezę, że cząstki materialne także charakteryzują się dualizmem korpuskularno-falowym. Hipoteza de Broglie

Bardziej szczegółowo

Statystyki kwantowe. P. F. Góra

Statystyki kwantowe. P. F. Góra Statystyki kwantowe P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Statystyki kwantowe Rozpatrujemy gaz doskonały o Hamiltonianie H = N i=1 p i 2 2m. (1) Zamykamy czastki w bardzo dużym pudle o idealnie

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 5. Energia, praca, moc. http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 5. Energia, praca, moc Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html ENERGIA, PRACA, MOC Siła to wielkość

Bardziej szczegółowo

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU

RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU X. RÓWNANIE SCHRÖDINGERA NIEZALEŻNE OD CZASU Równanie Schrődingera niezależne od czasu to równanie postaci: ħ 2 2m d 2 x dx 2 V xx = E x (X.1) Warunki regularności na x i a) skończone b) ciągłe c) jednoznaczne

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna i termodynamika Wykład 1: Wstęp. Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej

Fizyka statystyczna i termodynamika Wykład 1: Wstęp. Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej Fizyka statystyczna i termodynamika Wykład 1: Wstęp Katarzyna Sznajd-Weron Katedra Fizyki Teoretycznej http://www.if.pwr.wroc.pl/~katarzynaweron/ Mój plan zajęć Strona kursu Kim jestem? Prof. dr hab. Katarzyna

Bardziej szczegółowo

Termodynamika. Część 12. Procesy transportu. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ

Termodynamika. Część 12. Procesy transportu. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Termodynamika Część 12 Procesy transportu Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Zjawiska transportu Zjawiska transportu są typowymi procesami nieodwracalnymi zachodzącymi w przyrodzie. Zjawiska te polegają

Bardziej szczegółowo

Wykład 3. Entropia i potencjały termodynamiczne

Wykład 3. Entropia i potencjały termodynamiczne Wykład 3 Entropia i potencjały termodynamiczne dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 1 stycznia 2017 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA PŁYNÓW Płyn

MECHANIKA PŁYNÓW Płyn MECHANIKA PŁYNÓW Płyn - Każda substancja, która może płynąć, tj. pod wpływem znikomo małych sił dowolnie zmieniać swój kształt w zależności od naczynia, w którym się znajduje, oraz może swobodnie się przemieszczać

Bardziej szczegółowo

O procesie Wienera. O procesie Wienera. Procesy stochastyczne Wykład XV, 15 czerwca 2015 r. Proces Wienera. Ruch Browna. Ułamkowe ruchy Browna

O procesie Wienera. O procesie Wienera. Procesy stochastyczne Wykład XV, 15 czerwca 2015 r. Proces Wienera. Ruch Browna. Ułamkowe ruchy Browna Procesy stochastyczne Wykład XV, 15 czerwca 2015 r. Ruch 1 {X t } jest martyngałem dokładnie wtedy, gdy E(X t F s ) = X s, s, t T, s t. Jeżeli EX 2 (t) < +, to E(X t F s ) jest rzutem ortogonalnym zmiennej

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego

MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego MECHANIKA II. Praca i energia punktu materialnego Daniel Lewandowski Politechnika Wrocławska, Wydział Mechaniczny, Katedra Mechaniki i Inżynierii Materiałowej http://kmim.wm.pwr.edu.pl/lewandowski/ daniel.lewandowski@pwr.edu.pl

Bardziej szczegółowo

ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ

ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ Przedmiot badań fizyki statystycznej układy składające się z olbrzymiej ilości cząstek (ujawniają się specyficzne prawa statystyczne). 15.1. Termodynamiczny opis układu Opis

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova)

Wykład 2. Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) Wykład 2 Przykład zastosowania teorii prawdopodobieństwa: procesy stochastyczne (Markova) 1. Procesy Markova: definicja 2. Równanie Chapmana-Kołmogorowa-Smoluchowskiego 3. Przykład dyfuzji w kapilarze

Bardziej szczegółowo

Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego

Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Statystyka nieoddziaływujących gazów Bosego i Fermiego Bozony: fotony (kwanty pola elektromagnetycznego, których liczba nie jest zachowana mogą być pojedynczo pochłaniane lub tworzone. W konsekwencji,

Bardziej szczegółowo

Prawa ruchu: dynamika

Prawa ruchu: dynamika Prawa ruchu: dynamika Fizyka I (B+C) Wykład X: Równania ruchu Więzy Rozwiazywanie równań ruchu oscylator harminiczny, wahadło ruch w jednorodnym polu elektrycznym i magnetycznym spektroskop III zasada

Bardziej szczegółowo

Termodynamika. Część 4. Procesy izoparametryczne Entropia Druga zasada termodynamiki. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ

Termodynamika. Część 4. Procesy izoparametryczne Entropia Druga zasada termodynamiki. Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Termodynamika Część 4 Procesy izoparametryczne Entropia Druga zasada termodynamiki Janusz Brzychczyk, Instytut Fizyki UJ Pierwsza zasada termodynamiki procesy kwazistatyczne Zgodnie z pierwszą zasadą termodynamiki,

Bardziej szczegółowo

mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej

mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej mechanika analityczna 1 nierelatywistyczna L.D.Landau, E.M.Lifszyc Krótki kurs fizyki teoretycznej ver-28.06.07 współrzędne uogólnione punkt materialny... wektor wodzący: prędkość: przyspieszenie: liczba

Bardziej szczegółowo

Podstawy fizyki sezon 1 III. Praca i energia

Podstawy fizyki sezon 1 III. Praca i energia Podstawy fizyki sezon 1 III. Praca i energia Agnieszka Obłąkowska-Mucha WFIiS, Katedra Oddziaływań i Detekcji Cząstek, D11, pok. 111 amucha@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~amucha F.Żarnecki Praca Rozważamy

Bardziej szczegółowo

GAZ DOSKONAŁY. Brak oddziaływań między cząsteczkami z wyjątkiem zderzeń idealnie sprężystych.

GAZ DOSKONAŁY. Brak oddziaływań między cząsteczkami z wyjątkiem zderzeń idealnie sprężystych. TERMODYNAMIKA GAZ DOSKONAŁY Gaz doskonały to abstrakcyjny, matematyczny model gazu, chociaż wiele gazów (azot, tlen) w warunkach normalnych zachowuje się w przybliżeniu jak gaz doskonały. Model ten zakłada:

Bardziej szczegółowo

J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu

J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu J. Szantyr - Wykład 3 Równowaga płynu Siły wewnętrzne wzajemne oddziaływania elementów mas wydzielonego obszaru płynu, siły o charakterze powierzchniowym, znoszące się parami. Siły zewnętrzne wynik oddziaływania

Bardziej szczegółowo

Elementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych. Katarzyna Sznajd-Weron

Elementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych. Katarzyna Sznajd-Weron Elementy termodynamiki i wprowadzenie do zespołów statystycznych Katarzyna Sznajd-Weron Wielkości makroskopowe - termodynamika Termodynamika - metoda fenomenologiczna Fenomenologia w fizyce: widzimy jak

Bardziej szczegółowo

Termodynamiczny opis układu

Termodynamiczny opis układu ELEMENTY FIZYKI STATYSTYCZNEJ Przedmiot badań fizyki statystycznej układy składające się z olbrzymiej ilości cząstek (ujawniają się specyficzne prawa statystyczne). Termodynamiczny opis układu Opis termodynamiczny

Bardziej szczegółowo

VII.1 Pojęcia podstawowe.

VII.1 Pojęcia podstawowe. II.1 Pojęcia podstawowe. Jan Królikowski Fizyka IBC 1 Model matematyczny ciała sztywnego Zbiór punktów materialnych takich, że r r = const; i, j= 1,... N i j Ciało sztywne nie ulega odkształceniom w wyniku

Bardziej szczegółowo

Wykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego

Wykład 14. Termodynamika gazu fotnonowego Wykład 14 Termodynamika gazu fotnonowego dr hab. Agata Fronczak, prof. PW Wydział Fizyki, Politechnika Warszawska 16 stycznia 217 dr hab. A. Fronczak (Wydział Fizyki PW) Wykład: Elementy fizyki statystycznej

Bardziej szczegółowo

Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra

Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego. P. F. Góra Fizyka statystyczna Zwyrodniały gaz Fermiego P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ 2016 Fermiony w niskich temperaturach Wychodzimy ze znanego już wtrażenia na wielka sumę statystyczna: Ξ = i=0

Bardziej szczegółowo

Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y)

Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. u = 0, (6.1) jest operatorem Laplace a. (x,y) Wykład 6 Funkcje harmoniczne Ważną rolę odgrywają tzw. funkcje harmoniczne. Przyjmujemy następującą definicję. e f i n i c j a Funkcję u (x 1, x 2,..., x n ) nazywamy harmoniczną w obszarze R n wtedy i

Bardziej szczegółowo

Stany materii. Masa i rozmiary cząstek. Masa i rozmiary cząstek. m n mol. n = Gaz doskonały. N A = 6.022x10 23

Stany materii. Masa i rozmiary cząstek. Masa i rozmiary cząstek. m n mol. n = Gaz doskonały. N A = 6.022x10 23 Stany materii Masa i rozmiary cząstek Masą atomową ierwiastka chemicznego nazywamy stosunek masy atomu tego ierwiastka do masy / atomu węgla C ( C - izoto węgla o liczbie masowej ). Masą cząsteczkową nazywamy

Bardziej szczegółowo

Wykład FIZYKA I. 14. Termodynamika fenomenologiczna cz.ii. Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak

Wykład FIZYKA I. 14. Termodynamika fenomenologiczna cz.ii.  Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Wykład FIZYKA I 14. Termodynamika fenomenologiczna cz.ii Dr hab. inż. Władysław Artur Woźniak Instytut Fizyki Politechniki Wrocławskiej http://www.if.pwr.wroc.pl/~wozniak/fizyka1.html GAZY DOSKONAŁE Przez

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek prawdopodobieństwa

1 Rachunek prawdopodobieństwa 1 Rachunek prawdopodobieństwa 1. Obliczyć średnią i wariancję rozkładu Bernouliego 2. Wykonać przejście graniczne p 0, N w rozkładzie Bernouliego przy zachowaniu stałej wartości średniej: λ = N p = const

Bardziej szczegółowo

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Inżynier mechanik zawód z przyszłością współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Zajęcia wyrównawcze z fizyki -Zestaw 4 -eoria ermodynamika Równanie stanu gazu doskonałego Izoprzemiany gazowe Energia wewnętrzna gazu doskonałego Praca i ciepło w przemianach gazowych Silniki cieplne

Bardziej szczegółowo

Zasady zachowania, równanie Naviera-Stokesa. Mariusz Adamski

Zasady zachowania, równanie Naviera-Stokesa. Mariusz Adamski Zasady zachowania, równanie Naviera-Stokesa Mariusz Adamski 1. Zasady zachowania. Znaczna część fizyki, a w szczególności fizyki klasycznej, opiera się na sformułowaniach wypływających z zasad zachowania.

Bardziej szczegółowo

WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE

WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE 1 W S E i Z W WARSZAWIE WYDZIAŁ LABORATORIUM FIZYCZNE Ćwiczenie Nr 3 Temat: WYZNACZNIE WSPÓŁCZYNNIKA LEPKOŚCI METODĄ STOKESA Warszawa 2009 2 1. Podstawy fizyczne Zarówno przy przepływach płynów (ciecze

Bardziej szczegółowo

Zasady oceniania karta pracy

Zasady oceniania karta pracy Zadanie 1.1. 5) stosuje zasadę zachowania energii oraz zasadę zachowania pędu do opisu zderzeń sprężystych i niesprężystych. Zderzenie, podczas którego wózki łączą się ze sobą, jest zderzeniem niesprężystym.

Bardziej szczegółowo

Opis ruchu obrotowego

Opis ruchu obrotowego Opis ruchu obrotowego Oprócz ruchu translacyjnego ciała obserwujemy w przyrodzie inną jego odmianę: ruch obrotowy Ruch obrotowy jest zawsze względem osi obrotu W ruchu obrotowym wszystkie punkty zakreślają

Bardziej szczegółowo

WYBRANE ZAGADNIENIA Z TERMODYNAMIKI TECHNICZNEJ

WYBRANE ZAGADNIENIA Z TERMODYNAMIKI TECHNICZNEJ Podstawowe pojęcia w termodynamice technicznej 1/1 WYBRANE ZAGADNIENIA Z TERMODYNAMIKI TECHNICZNEJ 1. WIADOMOŚCI WSTĘPNE 1.1. Przedmiot i zakres termodynamiki technicznej Termodynamika jest działem fizyki,

Bardziej szczegółowo

Dynamika Newtonowska trzy zasady dynamiki

Dynamika Newtonowska trzy zasady dynamiki Dynamika Newtonowska trzy zasady dynamiki I. Zasada bezwładności Gdy działające siły równoważą się ciało fizyczne pozostaje w spoczynku lubporusza się ruchem prostoliniowym ze stałą prędkością. II. Zasada

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Anna Ptaszek. 5 października Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Chemia fizyczna - wykład 1. Anna Ptaszek 1 / 36

Wykład 1. Anna Ptaszek. 5 października Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego. Chemia fizyczna - wykład 1. Anna Ptaszek 1 / 36 Wykład 1 Katedra Inżynierii i Aparatury Przemysłu Spożywczego 5 października 2015 1 / 36 Podstawowe pojęcia Układ termodynamiczny To zbiór niezależnych elementów, które oddziałują ze sobą tworząc integralną

Bardziej szczegółowo

gęstością prawdopodobieństwa

gęstością prawdopodobieństwa Funkcja falowa Zgodnie z hipotezą de Broglie'a, cząstki takie jak elektron czy proton, mają własności falowe. Własności falowe cząstki (lub innego obiektu) w mechanice kwantowej opisuje tzw. funkcja falowa(,t)

Bardziej szczegółowo

Kacper Kulczycki. Dynamika molekularna atomów oddziałujących siłami van der Waalsa

Kacper Kulczycki. Dynamika molekularna atomów oddziałujących siłami van der Waalsa Kacper Kulczycki Dynamika molekularna atomów oddziałujących siłami van der Waalsa Warszawa 2007 Spis treści: Spis treści 1 Wstęp 2 Teoria 2 Algorytm 3 Symulacje 4 Wyniki 24 Wnioski 47 1 Wstęp Ćwiczenie

Bardziej szczegółowo

Co ma piekarz do matematyki?

Co ma piekarz do matematyki? Instytut Matematyki i Informatyki Politechnika Wrocławska Dolnośląski Festiwal Nauki Wrzesień 2009 x x (x 1, x 2 ) x (x 1, x 2 ) (x 1, x 2, x 3 ) x (x 1, x 2 ) (x 1, x 2, x 3 ) (x 1, x 2, x 3, x 4 ). x

Bardziej szczegółowo

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii

Tadeusz Lesiak. Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Mechanika klasyczna Tadeusz Lesiak Wykład nr 4 Dynamika punktu materialnego: Praca i energia; zasada zachowania energii Energia i praca T. Lesiak Mechanika klasyczna 2 Praca Praca (W) wykonana przez stałą

Bardziej szczegółowo

Termodynamika Techniczna dla MWT, wykład 5. AJ Wojtowicz IF UMK

Termodynamika Techniczna dla MWT, wykład 5. AJ Wojtowicz IF UMK Wykład 5 Gaz doskonały w ujęciu teorii kinetycznej Ciśnienie i temperatura gazu doskonałego Prędkość średnia kwadratowa cząsteczek gazu doskonałego Rozkład awella prędkości cząsteczek gazu doskonałego

Bardziej szczegółowo

DYNAMIKA dr Mikolaj Szopa

DYNAMIKA dr Mikolaj Szopa dr Mikolaj Szopa 17.10.2015 Do 1600 r. uważano, że naturalną cechą materii jest pozostawanie w stanie spoczynku. Dopiero Galileusz zauważył, że to stan ruchu nie zmienia się, dopóki nie ingerujemy I prawo

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d.

Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Ważne rozkłady i twierdzenia c.d. Funkcja charakterystyczna rozkładu Wielowymiarowy rozkład normalny Elipsa kowariacji Sploty rozkładów Rozkłady jednostajne Sploty z rozkładem normalnym Pobieranie próby

Bardziej szczegółowo

MECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko

MECHANIKA 2. Zasady pracy i energii. Wykład Nr 12. Prowadzący: dr Krzysztof Polko MECHANIKA 2 Wykład Nr 12 Zasady pracy i energii Prowadzący: dr Krzysztof Polko WEKTOR POLA SIŁ Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: (1) Prawa strona jest gradientem funkcji Φ, czyli (2) POTENCJAŁ

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA OCEN Z FIZYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM

KRYTERIA OCEN Z FIZYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM KRYTERIA OCEN Z FIZYKI DLA KLASY I GIMNAZJUM WŁASNOŚCI MATERII - Uczeń nie opanował wiedzy i umiejętności niezbędnych w dalszej nauce. - Wie, że substancja występuje w trzech stanach skupienia. - Wie,

Bardziej szczegółowo

Karta punktowania egzaminu do kursu Fizyka 1 dla studentów Wydziału Inż. Śr., kier. Inż. Śr. oraz WPPT IB. Zagadnienie 1.

Karta punktowania egzaminu do kursu Fizyka 1 dla studentów Wydziału Inż. Śr., kier. Inż. Śr. oraz WPPT IB. Zagadnienie 1. Karta punktowania egzaminu do kursu Fizyka 1 dla studentów Wydziału Inż. Śr., kier. Inż. Śr. oraz WPPT IB. Zagadnienie 1. 3 PKT. Wzorcowa odpowiedź ad I zasada zaczerpnięta z podręcznika HRW lub równoważna

Bardziej szczegółowo

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa

n=0 (n + r)a n x n+r 1 (n + r)(n + r 1)a n x n+r 2. Wykorzystując te obliczenia otrzymujemy, że lewa strona równania (1) jest równa Równanie Bessela Będziemy rozważać następujące równanie Bessela x y xy x ν )y 0 ) gdzie ν 0 jest pewnym parametrem Rozwiązania równania ) nazywamy funkcjami Bessela rzędu ν Sprawdzamy, że x 0 jest regularnym

Bardziej szczegółowo

Przegląd termodynamiki II

Przegląd termodynamiki II Wykład II Mechanika statystyczna 1 Przegląd termodynamiki II W poprzednim wykładzie po wprowadzeniu podstawowych pojęć i wielkości, omówione zostały pierwsza i druga zasada termodynamiki. Tutaj wykorzystamy

Bardziej szczegółowo

Ogólny schemat postępowania

Ogólny schemat postępowania Ogólny schemat postępowania 1. Należy zdecydować, który rozkład prawdopodobieństwa chcemy badać. Rozkład oznaczamy przez P; zależy od zespołu statystycznego. 2. Narzucamy warunek równowagi szczegółowej,

Bardziej szczegółowo

Zasady termodynamiki

Zasady termodynamiki Zasady termodynamiki Energia wewnętrzna (U) Opis mikroskopowy: Jest to suma średnich energii kinetycznych oraz energii oddziaływań międzycząsteczkowych i wewnątrzcząsteczkowych. Opis makroskopowy: Jest

Bardziej szczegółowo

Temperatura i ciepło E=E K +E P +U. Q=c m T=c m(t K -T P ) Q=c przem m. Fizyka 1 Wróbel Wojciech

Temperatura i ciepło E=E K +E P +U. Q=c m T=c m(t K -T P ) Q=c przem m. Fizyka 1 Wróbel Wojciech emeratura i cieło E=E K +E P +U Energia wewnętrzna [J] - ieło jest energią rzekazywaną między układem a jego otoczeniem na skutek istniejącej między nimi różnicy temeratur na sosób cielny rzez chaotyczne

Bardziej szczegółowo