STATECZNOŚĆ PRĘTÓW PROSTYCH W ŚWIETLE OBLICZONYCH PRZYKŁADÓW

Transkrypt

1 MECHNIK 7/05 XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania ojektowania, Wytwazania i Eksploatacji of. d hab. inż. Jan B. OBRĘBSKI DOI: 0.784/mechanik Emeytowany pofeso zwyczajny olitechniki Waszawskiej STTECZNOŚĆ RĘTÓW ROSTYCH W ŚWIETLE OBLICZONYCH RZYKŁDÓW Steszczenie: aca bazuje na teoii opacowanej pzez autoa. odano w niej liczne wnioski wynikające z badziej istotnych pzykładów znanych z liteatuy oaz z obliczeń własnych, popzednich i nowych, poszezających wiedzę w tym zakesie. zebadano osiemnaście pętów o sześciu óżnych, lecz nieco podobnych co do wielkości pzekojach i mających po tzy długości. okazano okeślone dla nich zamknięte linie kzywe nazwane pzez Własowa izostabami. Te ostatnie są zbioami punktów, gdzie siła podłużna o danej watości ustawiona mimośodowo powoduje utatę stateczności. Rodzina takich linii twozy obaz pewnych nowych izopowiezchni kytycznych. Wyniki uzupełniają wykesy izostab Własowa okeślonych dla sił o nieskończonych wielkościach i ich wpływ na wykesy obciążeń kytycznych pęta pzy mimośodowym działaniu. Nawiązano też do pzedstawianych popzednio ganicznych powiezchni kytycznych pęta. Całość tych badań poszeza wiedzę na temat wielopaametowego chaakteu utaty stateczności pętów postych. INSTBILITY OF STRIGHT BRS IN THE LIGHT OF CLCULTED EXMLES bstact: The pape is based on own theoy. It gives numeous conclusions following fom moe impotant examples known fom liteatue and fom own calculations, pevious and new, extending the knowledge in this domain. Thee wee investigated eighteen bas with six a little simila with egad to magnitude coss-sections, having fo each thee lengths. Thee, wee shown closed cuves called by Vlasov as izostaba. The lasts ae the set of points of eccentic foce positions with given value, inducing ba instability. Family of such lines is foming pictue of cetain new citical izo-suaces. esented esults ae completed by diagams of Vlasov s izostabs detemined fo foces with infinite value and its influence on gaphs of citical eccentic foces. Thee, ae given compaisons to ultimate citical sufaces fo the same bas, pesented peviously. ll these investigations extend knowledge about multi-paametical chaacte of instability of staight bas with any coss-sections. Słowa kluczowe: dowolne pęty poste, powiezchne kytyczne, izostaby Keywods: any staight bas, citical loadings and sufaces, izostaba lines. WROWDZENIE Zjawisko utaty stateczności óżnego odzaju konstukcji jest od wielu lat pzedmiotem badań. Dotyczy to skomplikowanych pzestzennych stuktu pętowych, płyt, powłok, a nawet pojedynczych pętów. Najczęściej są to obiekty jednoodne, wykonane z jednego mateiału. W ostatnich latach auto, wykozystując możliwości swojej teoii, wykonał szeeg pzykładów 587

2 MECHNIK 7/05 XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania ojektowania, Wytwazania i Eksploatacji poównawczych dla pętów kompozytowych, a więc zawieających więcej niż z jeden mateiał [5-9,, -8, 0,, 5-9]. Ma to na celu lepsze poznanie ich zachowania w zakesie mechaniki i wytzymałości. Część z tych pac dotyczyła utaty stateczności. Istotną olę odgywa tu skęcanie, nagminnie pomijane w pocesie pojektowania. uto kok po koku wykazał [- 4], że analiza mechaniczna i wytzymałościowa pętów o dowolnych pzekojach pełnych i cienkościennych oaz kompozytowych powinna pzebiegać w identyczny sposób. Równania ównowagi każdego odzaju pęta są identyczne dla obanego odzaju analizy (statyka, dynamika itd.). Natomiast obliczanie potzebnych tam chaakteystyk geometycznych także związanych z deplanacją pzekojów spowodowaną skęcaniem, masowych i dla inteakcji z otaczającym ośodkiem (np. oddziaływanie guntu) może być mniej lub badziej skomplikowane. W konsekwencji dla każdego odzaju pzekoju pęta można dość pecyzyjnie obliczyć położenia śodka ścinania, momenty skęcające oaz związane z nimi siły pzekojowe. W efekcie wyznaczymy odpowiednie napężenia wycinkowe zaówno nomalne, jak i styczne, osiągające badzo duże watości [7]. Szczególnie ciekawe ezultaty osiąga się tu w zakesie utaty stateczności pętów postych. W obecnej pacy wykonano obliczenia poównawcze dla seii osiemnastu pętów mających sześć óżnych pzekojów popzecznych dla każdego z nich po tzy długości. zekoje są podobne do siebie jedynie co do wielkości. Tzy z nich są cienkościenne otwate lub zamknięte, pełne i kompozytowe, o większym momencie bezwładności względem osi poziomej lub pionowej ys.. Dla wszystkich tych pętów wykozystano te same wzoy, obliczając tadycyjne giętne siły kytyczne Eulea i skętne Wagnea oaz siły kytyczne uwzględniające wyboczenie giętno-skętne, gdy mimośodowe obciążenie podłużne zmienia swoją pozycję na pionowej osi symetii pzekoju. Rys.. nalizowane pzekoje W ten sposób otzymano także izostaby dla szeegu watości sił ściskających, co w efekcie dało obazy nowego odzaju izopowiezchnie kytyczne, któe poównano z izostabami Własowa [0], otzymanymi dla sił o nieskończonych watościach. Całość ozważań odniesiono do wykesów ganicznych powiezchni kytycznych otzymanych dla pętów poddanych działaniu siły podłużnej i momentów zginających pezentowanych w popzednich pacach autoa w oku ubiegłym, w tym częściowo podczas XVIII Szkoły w Szczyku [8, 9]. Jak wynika z powyższych infomacji, utatę stateczności pęta można zilustować na kilka sposobów. Każdy z nich pzedstawia to dość enigmatyczne zjawisko w innym świetle. 588

3 MECHNIK 7/05 XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania ojektowania, Wytwazania i Eksploatacji Omówione powyżej obliczenia pzepowadzono za pomocą pogamu MS Excel. zy okazji zwócono uwagę na dokładność obliczeń.. OIS NLIZOWNYCH BELEK zekoje analizowanych belek wzięto z popzednich pac autoa [5, 0, 5-9] i pokazano je na ys.. Watości ich chaakteystyk geometycznych obliczone we wspomnianych pacach podano w tablicy : dla dwuteownika [5, ] pzedstawiono je w dwóch wesjach obliczone dokładnie metodami wytzymałości mateiałów (typ ) i obliczone za pomocą całek Moha (CM) (a), pzekój skzynkowy [5, ] (typ ), tójobwodowy [5] (typ ), jednoodny pzekój postokątny i kompozytowy [5-9] typu (5 i 6) oaz postokątny pzekój jednoodny z książki Własowa [0] (typ 4). Wszystkie pzekoje są bisymetyczne, co znacznie upościło obliczenia. Dla pęta o danym pzekoju pzyjęto tzy długości: l = 00, 400 i 600 cm. We wszystkich pzypadkach pzyjęto, że tzy funkcje pzemieszczeń osi pęta są swobodnie oganiczone na końcach (swobodne podpacie). Typ pzekoju Tablica. Ważniejsze dane dotyczące analizowanych belek Opis pzekoju I I I ˆ E E K s cm cm 4 cm 4 cm 6 cm kn/cm kn cm Dwuteownik dokładnie ,9 4,9 57, a Dwuteownik CM ,66, , Skzynkowy 0 58, 666,66 777,77 0,5 57, Tójobwodowy 70 47,70 96,66 608,50 0,5 57, ostokąt Własowa ,66 5 ostokąt jednoodny 0 x , ostokąt kompozytowy 0 x ,85 594,5 84, zekoje typu do 5 są jednoodne i wykonane ze stali (z modułem Younga E = 05 Ga). Natomiast pzekój typu 6 zawiea stal (z modułem Younga E = 05 Ga) i dewno (E = 0 Ga). zekoje dobano tak, aby były możliwe łatwe poównania wyników. Do obliczenia chaakteystyk geometycznych dla pzekoju pełnego typu 5 i kompozytowego typu 6 zbudowanego z dwóch mateiałów zastosowano modelowanie pęta jako zespołu pyzmatycznych u cienkościennych, umieszczonych szczelnie jedna w dugiej. Tablica zawiea spowadzone chaakteystyki geometyczne pzekojów odniesione do spowadzonego modułu Younga E (patz [5,, 5-9]).. JEDNOLITE KRYTERIUM UTRTY STTECZNOŚCI I GEOMETRYCZNEJ ZMIENNOŚCI KONSTRUKCJI uto doszedł do wniosku, że łącznie dla zagadnień utaty stateczności oaz dla oceny geometycznej niezmienności dowolnych konstukcji, w tym pojedynczych pętów, płyt, powłok i układów konstukcyjnych zbudowanych z wielu takich i innych elementów, można stosować to samo jednolite kyteium o postaci [0, 6, 9, ]: W,, v, a, M, m, d, t 0 f (,, v, a, M, m, d, t) det, () 589

4 MECHNIK 7/05 XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania ojektowania, Wytwazania i Eksploatacji gdzie W jest głównym wyznacznikiem układu ównań opisujących stan ównowagi konstukcji. Natomiast pozostałe symbole oznaczają uogólniony system obciążeń zewnętznych, częstość dgań własnych, pędkość i pzyśpieszenie obciążenia, pouszającą się po obiekcie masę, tłumienie i czas. Wyznacznik mogą twozyć ównania óżniczkowe (Eule), óżnicowe, macieze sztywności ułożone Metodą Różnic Skończonych lub Metodą Elementów Skończonych, zaówno dla statyki, jak i dynamiki, w tym dla teoii piewszego i dugiego zędu, ewentualnie inne. Zeowanie się watości takiego wyznacznika oznacza geometyczną zmienność układu konstukcyjnego lub jego utatę stateczności. Tak skonstuowane kyteium może zależeć od wielu następnych paametów: kształtu pzekoju, waunków bzegowych, stosowanych mateiałów, symetii lub bisymetii pzekoju i zapewne wielu innych. Dla potzeb pzebadania utaty stateczności pętów postych o długości l ozpatywanych w tej pacy jednolite kyteium (waunek ()) jest zapisane jak niżej [5, ]: ( ) 0 d f ( ) det [ W ( )] det 0 ( ) d 0, () d d ( ˆ ) gdzie zakładając mimośodowe pzyłożenie siły podłużnej, napiszemy: d M M M ( ) oaz d M E I E I l l E Iˆ n Ks M M ˆ B, (4), () EI n, E I n lub B oaz E I ˆ ˆ n K s. (5) W powyższych wzoach oznaczono: n l oaz dla piewszych (najmniejszych) siły kytycznych pzyjęto n, n / E spowadzony moduł Younga pzyjęty dla całego pzekoju (tu dla stali), współczynniki definiujące waunki bzegowe pęta (w naszych zadaniach i i dla i =,, ), I, I spowadzone momenty bezwładności pzekoju liczone względem głównych spowadzonych osi śodkowych pzekoju i, I ˆ spowadzony wycinkowy moment bezwładności pzekoju, M, M, B siły pzekojowe: momenty zginające liczone względem osi i oaz bimoment liczone względem początkowej nieodkształconej konfiguacji pęta, N podłużna siła ozciągająca pzyłożona na końcach całego pęta (zobacz [], s., ównanie (9.9)),, współzędne bieguna głównego pzekoju (w teoii piewszego zędu identycznego ze śodkiem ścinania),, współzędne punktu pzyłożenia siły podłużnej. onadto, w ogólnym pzypadku, wykozystując układ główny [5], cztey wielkości występujące w powyższym waunku () i w (4) oblicza się ze wzoów: 590

5 MECHNIK 7/05 XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania ojektowania, Wytwazania i Eksploatacji d d d (6) I I d d d (7) I I ˆ ˆ ˆ ˆ, d d d (8) I I I I ˆ. (9) Oznaczono tu ˆ, gdzie jest długością pomienia wodzącego położenia elementanej spowadzonej powiezchni d. Z tego powodu jest to wielkość zawsze dodatnia. Dla pzekojów bisymetycznych, gdzie biegun główny pokywa się z początkiem głównych spowadzonych osi bezwładności pzekoju, 0 i powyższe wielkości badzo się upaszczają: I I, ˆ 0. (0) Tak postawione zadanie auto analizował na wiele sposobów, z któych wymienione są tu tylko następujące: Dla siły ustawionej osiowo (zadanie Eulea). oszukiwanie obciążenia kytycznego pzy wytzymałości złożonej (siła podłużna i dwa momenty zginające w dowolnej popocji), co powadzi do wyznaczenia ganicznej powiezchni kytycznej. Zadanie to ozpatzono na popzedniej konfeencji [9]. Bezpieczne konfiguacje wymienionych obciążeń znajdują się wewnątz takiej powiezchni. Wsponik obciążony kytycznym obciążeniem ciągłym (na zlecenie pzemysłu) [, 4]. Obciążenie kytyczne mimośodową siłą działającą na osi symetii pzekoju (patz ozdział 8). oszukiwanie izostab dla pęta o danej długości i waunkach bzegowych oaz pzy mimośodowo działającej sile podłużnej o konketnej watości. Zespół takich izostab daje izopowiezchnię kytyczną (patz ozdział 7). Stany kytyczne występują tylko na takiej powiezchni. 4. SIŁY KRYTYCZNE WEDŁUG EULE I WGNER zy osiowym ustawieniu podłużnej siły ściskającej waunek () spełniają tzy tadycyjne siły () do (5), (ponieważ wtedy d d 0). Dwie z nich, i, są kytycznymi siłami giętnymi Eulea, a tzecia powoduje wyboczenie skętne Wagnea. Najmniejsza z nich jest obciążeniem kytycznym: dla ozpatywanych belek o pzyjętych pzekojach obliczone watości tych sił zestawiono w tablicy. W tej tablicy pogubionym dukiem wyóżniono najmniejsze z tych tzech sił, a więc obciążenie kytyczne pzy osiowym ustawieniu siły podłużnej. 59

6 MECHNIK 7/05 XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania ojektowania, Wytwazania i Eksploatacji 5. UTRT STTECZNOŚCI RĘT RZY WYTRZYMŁOŚCI ZŁOŻONEJ Zagadnienie to ozpatywano m.in. w pacy autoa pzedstawionej podczas obad popzedniej XVIII Szkoły w Szczyku [9]. odano tam obszene wypowadzenia dla pęta obciążonego siłą podłużną i momentami zginającymi działającymi w płaszczyznach głównych jego pzekoju, ys.. Statyczną analizę utaty stateczności pzepowadzono dla belki o długości l = 400 cm, ys.. Miała ona waiantowo siedem óżnych pzekojów postokątnych, o wysokości cm, oaz ósmy był dwuteownikiem (ys., typ ). Z uwagi na założone już w tytule pacy analizy poównawcze, waiantowano następujące paamety zadania: stosowano dwa schematy pęta swobodne podpacie i wsponik, belki obciążano jednocześnie siłami podłużnymi działającymi osiowo lub z mimośodem i momentami zginającymi, obciążeniom zewnętznym siłom skupionym i momentom zginającym nadawano óżne watości (popocje), stosowano osiem óżnego typu pzekojów popzecznych belek, pięć pzekojów modelowano na dwa sposoby, aby okeślić: położenie śodka ścinania, współzędne wycinkowe (funkcji deplanacji pzekoju), wycinkowy moment bezwładności oaz sztywności na skęcanie pzekojów. Rys.. Schemat pęta obciążonego siłą podłużną i momentami zginającymi Wszystkie obliczenia pzepowadzono na podstawie dokładnych wzoów wypowadzonych analitycznie, pzy wspaciu pogamu MS Excel (patz ozdz. 0 i ). W efekcie wyznaczono ganiczne powiezchnie kytyczne, pokazane tu dla pzekojów typu, 5 i 6, na ys.. Rys.. Ganiczne powiezchnie kytyczne dla pętów o długości 400 cm i o pzekojach, 5, 6. Obsza bezpieczny znajduje się wewnątz tej powiezchni 59

7 MECHNIK 7/05 XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania ojektowania, Wytwazania i Eksploatacji 59 Inne zadanie, wykonane na zamówienie, dotyczyło spawdzenia możliwości utaty stateczności pzez słupy wspocze ekanów akustycznych autostadowej obwodnicy Wocławia [4]. Tam otzymane obciążenia kytyczne obliczone teoetycznie, z dużą dokładnością potwiedzono doświadczalnie []. 6. RÓWNNI IZOSTBY DL RĘTÓW OBCIĄŻONYCH MIMOŚRODOWO Izostaba zgodnie z definicją podaną pzez Własowa jest linią okeślającą zbió punktów ustawienia mimośodowego siły podłużnej o danej watości, powodującej utatę stateczności pęta. Zadanie takie definiuje ys. 4a. W tym pzypadku główny wyznacznik tzech ównań óżniczkowych pęta () po pzyjęciu ) ( d oaz d () oaz bez zmian () i (4), pzyównany do zea, daje następujące ównanie: 0 ) ( ) ( ) ( ) ( * ˆ W () a) b) Rys. 4. Schemat pęta obciążonego mimośodowo siłą podłużną a) i szczególny pzypadek, gdy siła ta działa na osi symetii pzekoju b) Jeśli pomnożymy ównanie () pzez, to otzymamy: 0 * ˆ. () Oznaczając dla skócenia zapisu współzędne pzyłożenia siły pzez:,, otzymamy następujące ównanie izostaby: 0 * ˆ. (4) Jeśli pzekój jest bisymetyczny, to wtedy jest pawdziwe: 0 oaz 0 ˆ. W konsekwencji wzó (4) pzyjmuje znacznie kótszą postać:

8 MECHNIK 7/05 XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania ojektowania, Wytwazania i Eksploatacji (5) o podzieleniu powyższego ównania pzez otzymamy:. (6) Tak więc w ogólnym pzypadku izostaba dla pzekoju bisymetycznego i konketnej watości jest elipsą o ównaniu: b a, (7) któej długości półosi zależą od sił kytycznych Eulea i Wagnea oaz od waunków bzegowych pzyjętych dla tzech funkcji pzemieszczeń [5] i wynoszą: a oaz b. (8) Jeśli siła pzyjmuje watości + lub - [0, 4, 5], to ównanie (4) spowadza się do postaci (zniknęło!): 0 * ˆ. (9) Jednocześnie długości półosi elipsy ówność (7) zapisujemy badzo posto: a oaz b. (0) Tak więc i nawet w tym pzypadku izostaba dla pzekoju bisymetycznego jest elipsą. Natomiast dopieo jeśli waunki bzegowe dla tzech funkcji pzemieszczeń są identyczne (u nas oganiczone swobodnie) dla dwu ugięć i obotu osi, a więc gdy [5, ], to dopieo wtedy izostaba staje się kołem o pomieniu i mamy (patz tablica ): oaz b a. () Jest to więc kolejna nieścisłość podana pzez Własowa [0]. 7. IZOSTBY I IZOOWIERZCHNIE KRYTYCZNE DL OMWINYCH BELEK Kolejne izostaby wyznaczano z wyjątkiem pzykładu Własowa dla sił o watościach 0, kn, kn, 00 kn i dalej co 00 kn. Otzymane wyniki dla dwóch piewszych watości sił pzedstawiono w tablicy i dla pozostałych watości siły pokazano je na ysunkach 5-.

9 Lp. a MECHNIK 7/05 XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania ojektowania, Wytwazania i Eksploatacji Tablica. ółosie elips-izostab dla sił podłużnych o małych watościach = kn = 0 kn Typ L zekoju a b M = a/b a b M = a/b cm cm cm cm cm cm Dwuteownik , ,,85 56, 866,97,85 Chaakt. obl. 0, ,08 597,6, ,67 50,,8547 Dokładnie ,65 4,67, ,7 40,0,859 Dwuteownik Chaakt. obl. całkami Mohy 9,999 Skzynkowy 8,660 Tójobwodowy 4, ostokąt Własowa (a,b) x 0, ostokąt jednoodny 0 x cm ostokąt kompozytowy 0 x cm,90 4,509 5, ,6 867,56, ,57 85,7, ,74 565,59,87 478, 57,, ,49 409,6,876 6,7 400,57, , 4560,7 0, ,8 49,7 0, , 5769,5 0,59 94,4 5685,85 0, , 04740,75 0,590 6,70 047,8 0, , ,6 0, 8,7 06,77 0, , , 0,0 6795, ,7 0, ,0 8669,79 0,0 5,45 845,7 0, ,0,9 0,6 48,5 9,68, ,08 594,4 0, ,09 7,7 44, ,4 990,8, , ,96,000 80,98 657,79, ,4 665,99,00 588, 9,8, , ,9,00 055, ,74, ,5 595,75, ,07 57,9, ,5 7696,7,648 89, ,, ,5 547,98, , ,96,69 Rysunek 5 podaje obaz izostab dla dwuteownika widzianych w zucie na płaszczyznę 0 bez wskazania odpowiadających im watości siły. Te same izostaby naysowano w pewnej aksonometii na piewszym ysunku 6, pokazując jednocześnie skalę działających sił. Rys. 5. Zestaw izostab dla óżnych watości mimośodowej siły podłużnej (poównaj ys. 6) wyznaczone dla dodatnich sił ściskających 595

10 MECHNIK 7/05 XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania ojektowania, Wytwazania i Eksploatacji Rys. 6. Izopowiezchnie kytyczne dla tzech długości pętów o pzekoju dwuteowym wyznaczone dla dodatnich sił ściskających Rys. 7. Izopowiezchnie kytyczne dla tzech długości pętów o pzekoju skzynkowym wyznaczone dla dodatnich sił ściskających 596

11 MECHNIK 7/05 XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania ojektowania, Wytwazania i Eksploatacji Rys. 8. Izopowiezchnie kytyczne dla tzech długości pętów o pzekoju postokątnym jednoodnym wyznaczone dla dodatnich sił ściskających Rysunki 8 i 9 pozwalają poównać możliwość utaty stateczności dwóch pętów o pzekojach 0 x cm: pełnym stalowym (ys. 8) i kompozytowym zawieającym dzeń dewniany (ys. 9). iewszy z nich jest znacznie odponiejszy na wyboczenie. odobnie jak na popzednich ysunkach, skłonność do wyboczenia wzasta waz z długością pęta, co wiadome jest od dawna. Rys. 9. Izopowiezchnie kytyczne dla tzech długości pętów o pzekoju postokątnym zbudowanym z dwóch mateiałów wyznaczone dla dodatnich sił ściskających 597

12 MECHNIK 7/05 XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania ojektowania, Wytwazania i Eksploatacji Na ysunku pokazano fakt, któy dotyczy ównież wszystkich pozostałych ysunków 6 do 0, że izopowiezchnie kytyczne mają tu dwie czasze. Dolną (ys. dla pęta o długości 00 cm) o szczycie ównym watości siły kytycznej giętnej Eulea pzy osiowym jej ustawieniu dotyczącą faktycznych sił kytycznych, oaz góną zwóconą wiezchołkiem w dół (siła kytyczna Wagnea), a otwatą góną kawędzią zdążającą do cylinda kołowego izostaby Własowa. Na ysunkach 6 do 0 naniesiono tylko dolne czasze izopowiezchni kytycznych. Rys. 0. Izopowiezchnie kytyczne dla tzech długości pętów o pzekoju tójobwodowym wyznaczone dla dodatnich sił ściskających 598

13 MECHNIK 7/05 XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania ojektowania, Wytwazania i Eksploatacji 8. MIMOŚRODOW SIŁ KRYTYCZN DL BELEK SYMETRYCZNYCH Jeśli pzekój jest symetyczny i mimośodowa siła podłużna jest ustawiona na osi symetii η, ys. 4b, to wtedy z ównania () pzekształconego do postaci () lub () można otzymać waunek utaty stateczności pęta zapisany następująco: gdzie: C C C 0, () C C,, * ˆ * C ˆ. Z uwagi na bisymetię ozpatywanych pzekojów mamy 0 i ˆ 0, stąd powyższe wyażenia upaszczają się wtedy do postaci: C, C C., () Rys.. Izopowiezchnie kytyczne dla tzech długości pętów o pzekoju postokątnym (Własowa) wyznaczone dla dodatnich sił ściskających 599

14 MECHNIK 7/05 XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania ojektowania, Wytwazania i Eksploatacji Rozwiązanie ównania () daje tzy piewiastki. iewszy k ówny jest sile kytycznej Eulea (). Natomiast dwa pozostałe k i k wyznaczamy z ównania (0). Wykesy tych ostatnich sił pokazano na ysunkach do 7. Najmniejszy z tych piewiastków jest siłą kytyczną. Na pzecięciu się osi układu pokazano koła izostab Własowa dla sił o nieskończonej watości. Rys.. Wykesy sił k i k, gdzie k jest znacznie większa od siły kytycznej k k o obu ich stonach pokazano pionowe asymptoty, do któych zmiezają wykesy siły k i k. Czym pęt jest dłuższy, tym siła kytyczna k jest mniejsza. Należy zwócić uwagę, że na podanych wykesach poszczególne siły k i k mają inne skale jednostek: kn, MN, 0 MN, 00 MN. Rozciągające siły kytyczne są możliwe jedynie na zewnątz izostab Własowa. Rys.. Wykesy sił k i k, gdzie k k jest siłą kytyczną jako najmniejsza Rys. 4. Wykesy sił k i k, gdzie k k jest siłą kytyczną jako najmniejsza 600

15 MECHNIK 7/05 XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania ojektowania, Wytwazania i Eksploatacji Rys. 5. Wykesy sił k i k, gdzie k jest znacznie większa od siły kytycznej k k Wszystkie gałęzie wykesów sił k w pobliżu asymptoty wzastają do nieskończoności. Natomiast k dopieo w odległości.0e-5 cm od izostaby Własowa wykazują osobliwość, co symbolicznie w skażonej skali pokazano na ysunkach. Rys. 6. Wykesy sił k i k, gdzie k jest znacznie większa od siły kytycznej k k Rys. 7. Wykesy sił k i k, gdzie k jest znacznie większa od siły kytycznej k k Tablica. Siły kytyczne ki (dla siły osiowej) oaz siły Eulea i oaz Wagnea Typ l = 00 cm l = 400 cm l = 600 cm pzeko- k k k k k k k k k ju kn kn kn kn kn kn kn kn kn kn kn kn kn kn kn ) a) ) , ) ) 68 4, 4 4, 68 68,05 05, ,46 46,8 0, ) )

16 MECHNIK 7/05 XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania ojektowania, Wytwazania i Eksploatacji W tablicy zestawiono azem tzy piewiastki ki ozwiązania zadania dla siły osiowej, siły Eulea i oaz Wagnea. Siła kytyczna jako najmniejsza z podanych watości została wyóżniona pogubionym dukiem. odobną analizę należy wykonać dla każdego pęta o danej długości, pzekoju, ustawieniu siły, waunkach bzegowych itd. 9. KOMENTRZ DO SOSOBU OBLICZEŃ I UZYSKNE REZULTTY Wyniki obliczeń pzepowadzono z wykozystaniem pogamu MS Excel. Są to badzo poste czynności powielane pzy óżnych długościach pętów i zmieniających się chaakteystykach geometycznych pzekojów. Znacznie więcej zabiegów wymagało spoządzenie pokazanych wyżej wykesów za pomocą pogamu utocd ofessional 00 i takie ich dopacowanie, aby dało się je pzedstawić na stosunkowo niewielkiej powiezchni. by ten cel osiągnąć zezygnowano z pzedstawienia ich np. za pomocą dostępnej w utocd 00 techniki D. Chaakteystyki geometyczne podane w tablicy obliczano ównież z wykozystaniem własnych pogamów. 0. ODSUMOWNIE I WNIOSKI o wykonaniu wielu testów numeycznych, o czym świadczą zacytowane niżej pace (i to nie wszystkie), należy stwiedzić, że zagadnienie utaty stateczności nawet pojedynczego pęta jest nadzwyczaj skomplikowane i zależne od wielu czynników (patz ozdz. i następne). O tym nie ma mowy pzy obecnej paktyce pojektowej.. Najważniejszym wnioskiem z tej pacy jest fakt, że dokładniejsze obliczanie zespołu obciążeń kytycznych jest możliwe zaówno dla pętów cienkościennych, jak i pełnych, jednoodnych i kompozytowych.. Obciążenie kytyczne występuje pzy działaniu sił podłużnych ściskających i ozciągających [0, -4] oaz pzy każdym zestawie zewnętznych obciążeń złożonych, w tym popzecznych ciągłych i skupionych.. Obecna paca pokazuje pewne nieścisłości w ocenie utaty stateczności pęta podanych pzez Własowa. W tamtym okesie obliczenia bez wykozystania komputea nie pozwalały na wykycie osobliwości, jakie pokazano w pacy autoa [5] i obecnie. Inne wnioski, jakie pzytaczał auto w popzednich wspomnianych tu pacach pozostają ważne. LITERTUR [] Bobe W., Taczewski R.: Shaping of T-section steel post fo acoustic sceen, oc. Lightweight Stuct.in Civil Eng. Contemp. pobl. XVI Int. Semin. of ISS olish Chapte, Wasaw, Dec., 00, pp.. Ed. by Mico-ublishe J.B.O., Wyd. Nauk., pp [] Dąbowski R.: aktycznie ważne pzypadki wyboczenia skętnego pętów cienkościennych, IL, 956, -, s [] Dąbowski R.: Skęcanie mostowych i hydotechnicznych konstukcji cienkościennych o pzekoju zamkniętym, Wyd. olitechniki Gdańskiej, 958. [4] Mutemilch J., Kociołek.: Wytzymałość i stateczność pętów cienkościennych o pzekoju otwatym, WW, Waszawa,

17 MECHNIK 7/05 XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania ojektowania, Wytwazania i Eksploatacji [5] Obębski J.B.: Cienkościenne spężyste pęty poste, skypt WW, Waszawa, 99, ston 45, dugie wydanie, Oficyna Wydawnicza olitechniki Waszawskiej, Waszawa, 999, st [6] Obębski J.B.: On the stength of composite bas, Int. ISS Symp. Spatial Stuctues: heitage, pesent and futue. Milan, , pp [7] Obębski J.B.: Stability of composite staight bas, Międzyn. Seminaium Wydz. IL W MISI Moskwa, OWW Waszawa 995, pp [8] Obębski J.B.: Some tosion poblems in thin-walled bas mechanics, Międzyn. Konf. Wydz. IL W, LSCE'95, MGT, Waszawa, 995, pp [9] Obębski J.B.: On the stess analysis fo composite staight bas, Miedzyn. Seminaium (Ukainian-olish), Wydz. IL W ydniepovsk State cademy of Civil Engineeing and chitectue, OWW, 996, Waszawa, -4. [0] Obębski J.B.: Unifom citeion fo geometical unchangeability and fo instability of stuctues, oc. of the Inten. Conf. on Stability of Stuct., Zakopane, oland, 997. [] Obębski J.B.: Wytzymałość mateiałów, skypt W, Mico-ublishe J.B. Obębski Wydawnictwo Naukowe, inted by GT, Waszawa 997, ston 8. [] Obębski J.B.: Mechanics and stength of composite space ba stuctues (Geneal lectue 0 min) Inten. ISS Congess on Spatial Stuctues in New Renovation ojects of Buildings and Constuctions, Moscow, Russia, -6 June 998. [] Obębski J.B.: Some ules and obsevations on the composite ba stuctues mechanical analysis, Int. ISS 40th nivesay Congess, Madid, 0-4 Septembe, 999. [4] Obębski J.B.: Mechanical point of view on modeling of space stuctues made of composite bas, Int. ISS Symp. Istanbul, , pp [5] Obębski J.B.: Nonlinea chaacte of the computations of composite ba stuctues. (Keynote lectue) oc. of Fouth Int. Colloq. on Computation of Shell & Spatial Stuct., June 4-7, 000, Chania-Cete, Geece, CD-ROM 0 pages & abstacts vol. pp [6] Obębski J.B.: Designing of composite ba stuctues taking into consideation instability effects, 9th Symposium on Stability of Stuctues, Zakopane, , pp [7] Obębski J.B.: On the mechanics and stength analysis of composite stuctues (Invited pape 0min.) Stuct. Engineeing, Mechanics and Computat., Cape Town, , Ed. by. Zingoni, Elsevie Sc. Ltd, mstedam-london-new Yok-Oxfod-ais- Shannon Tokyo, pp [8] Obębski J.B.: New mechanical poblems in analysis of composite bas space stuctues. Int. Conf. on Lightweight Stuct. in Civil Eng , Wasaw, oland, pp [9] Obębski J.B.: pplications of unifom citeion fo geometical unchengeability, stability and dynamic stability of stuct. (Inv.lectue). Int. Conf. ICSSD, Singapoe, 00, pp [0] Obębski J.B and Tolksdof J.: dvanced examples of stength analysis fo composite staight bas, Miedzyn. Seminaium (Ukainian-olish), Wydz. IL W ydniepovsk State cademy of Civil Engin. and chit., Wasaw, , OWW, pp [] Obębski J.B.: Unifom citeion of stuctues instability in static and dynamical tasks. XI Sympozjum Stateczności Konstukcji, Zakopane, , pp

18 MECHNIK 7/05 XIX Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania ojektowania, Wytwazania i Eksploatacji [] Obębski J.B., Tolksdof J.: Compaative examples of instability analyses fo staight bas in the light of theoy and standads, oc. Lightweight Stuct. in Civil Engineeing Contempoay poblems. XII Inten. Colloquium of ISS olish Chapte, Wasaw, Dec., 006, pp.88. Edited by Mico-ublishe Jan B.Obębski, Wydawn. Naukowe, pp [] Obębski J.B.: Theoy fo thin-walled bas pefomed investigations and tests. LSCE 009. XV LSCE Lightweight Stuctues in Civil Engineeing Contempoay oblems, Intenational Semina of ISS olish Chapte, Wasaw, 4-5 Dec., 009, pp [4] Obębski J.B.: Stability of steel pilla suppoting acoustic sceen, oc. Lightweight Stuct. in Civil Engin. Contempoay pobl. XVI Inten. Semin.of ISS olish Chapte, Wasaw, Dec., 00, pp.. Ed. by Mico-ublishe Jan B. Obębski, Wydawn. Nauk., pp [5] Obębski J.B.: zykłady obliczania napężeń w pętach kompozytowych pzy wytzymałości złożonej, WT 0, XVI Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania ojektowania, Wytwazania i Eksploatacji, Juata, 4-8 maja, 0, st. 6-74, Mechanik, 7, 0 +CD. [6] Obębski J.B.: Some obsevations on mechanical behavio of bas with composite cosssections. XVIII LSCE Lightweight Stuctues in Civil Engineeing Contempoay oblems, Local Semina of ISS olish Chapte, Wasaw, 7 Dec. 0, pp. 0-. [7] Obębski J.B.: Wpływ skęcania na napężenia obliczone dla seii belek kompozytowych, WT 0, XVII Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania ojektowania, Wytwazania i Eksploatacji, Juata, 4-8 maja, 0, s. 6-74, Mechanik, 7, 0 + CD. [8] Obębski J.B.: Compaison of some citical loadings fo simingly simila bas with composite coss-sections. XIX LSCE Lightweight Stuct. in Civil Engin. Contempoay oblems, Local Sem. of ISS olish Chapte, Wasaw, 6 Dec. 0, pp.0-. [9] Obębski J.B.: zykłady wielopaametowej utaty stateczności pętów postych, WT 04. XVIII Międzynaodowa Szkoła Komputeowego Wspomagania ojektowania, Wytwazania i Eksploatacji, Juata, -6 maja, 04, t., s. 5-4, Mechanik, 7, 0 + CD. [0] Własow W.Z.: Tonkostiennyje upugije stieżni, Moskwa, Gosstojizd. 940 i wyd. dugie Gos. Izd. Fiz.-Mat. Lit.,