KATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI. Laboratorium. Mechaniki Technicznej

Transkrypt

1 KATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI Laboratoriu Mechaiki Techiczej Ćwiczeie 5 Badaie drgań liiowych o jedy stopiu swobody

2 Cel ćwiczeia Cele ćwiczeia jest pozaie podstawowych pojęć związaych z układe drgający o jedy stopiu swobody oraz abycie uiejętości teoretyczego i eksperyetalego wyzaczaia jego paraetrów (częstości drgań swobodych oraz współczyika tłuieia) i charakterystyki aplitudowej. 1 Drgaia liiowe o jedy stopiu swobody 1.1 Drgaia swobode bez tłuieia Na rysuku 1 przedstawioo odel fizyczy liiowego układu drgającego jedy stopiu swobody bez oporów ruchu i bez wyuszeia. Składa się o z puktu aterialego o asie połączoego z ieruchoą ostoją liiowy eleete sprężysty o współczyiku sprężystości k [N/]. Rysuek 1. Swobody układ drgający bez tłuieia. Rówaie dyaicze ruchu układu z rysuku 1 wyika z II prawa Newtoa i a astępującą postać: lub gdzie x kx (1), () x x k. Poszukiway rozwiązaie rówaia różiczkowego (1) lub () jest fukcja x(t), czyli rówaie ruchu drgającego puktu. Rozwiązaie to a postać: lub 1 cos x t C t C si t (3) si x t A t (4) gdzie stałe C1, C (w przypadku postaci (3)), A i β (w przypadku postaci (4)) wyzacza się z waruków początkowych x() x i x () x. Rozwiązaie to posiada astępujące paraetry: częstość drgań własych k -1 [s ], okres drgań własych T [s].

3 1. Drgaia swobode z tłuieie Na rysuku przedstawioo odel fizyczy liiowego układu drgającego jedy stopiu swobody z tłuieie i bez wyuszeia. Składa się o z puktu aterialego o asie połączoego z ieruchoą ostoją liiowy eleete sprężysty o współczyiku sprężystości k [N/] oraz tłuikie liiowy o współczyiku c [N s/]. lub Rysuek. Swobody układ drgający z tłuieie. Rówaie dyaicze ruchu układu z rysuku przedstawia się astępująco: c gdzie h, x cx kx (5) x hx x, (6) k. W dalszej części rozważay przypadek tłuieia słabego (podkrytyczego), gdy spełioy jest astępujący waruek Wtedy rozwiązaie rówaia różiczkowego (6) a postać lub c c k lub h. (7) kr ht cos si x t e C t C t (8) 1 ht x t A e si t (9) gdzie stałe C1, C (w przypadku postaci (8)), A i β (w przypadku postaci (9)) wyzacza się z waruków początkowych x() x i x () x. Rozwiązaie to posiada astępujące paraetry i własości: częstość drgań własych tłuioych h -1 [s ], okres drgań własych tłuioych T d [s], uową aplitudę drgań własych tłuioych A( t) Ae ht [], i jest przedstawioe a rysuku 3. 3

4 Ae ht Rysuek 3. Drgaia swobode tłuioe układu o jedy stopiu swobody. Zauważy, że logaryt uowej aplitudy drgań tłuioych jest liiową fukcją czasu przedstawioą a rysuku 4. l l A t A ht (1) Rysuek 4. Zależość logarytu aplitudy drgań tłuioych od czasu. Cechą charakterystyczą drgań swobodych tłuioych jest osiągaie kolejych aksiów (iiów) A i A+1 oddaloych od siebie o tzw. okres drgań tłuioych Td (zob. rysuek 3) i pozostających w stałej proporcji co do wartości. W związku z ty oża wprowadzić pojęcie dekreetu tłuieia lub logaryticzego dekreetu tłuieia A x t A x t T t e ht d (11) l htd. (1) Logaryticzy dekreet tłuieia oża więc zidetyfikować ierząc dwie koleje aksyale (iiale) wartości wychyleia i przedział czasu poiędzy chwilai ich występowaia. Następie oża go użyć go do wyzaczeia z rówaia (1) współczyika tłuieia h lub współczyika tłuieia wiskotyczego c = h.

5 Należy zwrócić uwagę, że wartości ekstreale (iia lub aksia) są co do wartości bezwzględej ieco iejsze od aktualej chwilowej uowej aplitudy drgań A( t) Ae ht, ale pozostają oe cały czas w stałej proporcji do A( t ). Jeśli by przeprowadzić przez wartości ekstreale krzywą ekspoecjalą (aalogiczą do uowej aplitudy drgań), to iałaby oa postać A ( t) A e ht l A t l A ht, czyli liiową. Po z logarytowaiu otrzya się fukcję czasu o taki say współczyiku kierukowy ( ht ) jak w rówaiu (1), ale przebiegającą ieco iżej iż prosta a rysuku 4 ( l A t l A t ). Moża tę własość drgań tłuioych wykorzystać do bardziej precyzyjego wyzaczeia współczyika tłuieia h, zajdując współczyiki fukcji liiowej opisującej logaryt zierzoej eksperyetalie serii aplitud (wartości ekstrealych) wychyleia Ai w chwilach czasowych ti. Metoda ta zostaie wykorzystaa podczas ćwiczeia laboratoryjego. 1.3 Drgaia wyuszoe z tłuieie Na rysuku 5 przedstawioo odel fizyczy liiowego układu drgającego jedy stopiu swobody z tłuieie, wyuszoego siła haroiczą. Składa się o z puktu aterialego o asie połączoego z ieruchoą ostoją liiowy eleete sprężysty o współczyiku sprężystości k [N/] oraz tłuikie liiowy o współczyiku c [N s/] i poddaego działaiu haroiczej siły wyuszającej P( t) P si t. lub Rysuek 5. Układ drgający z tłuieie wyuszoy siła zewętrzą. Rówaie dyaicze ruchu układu z rysuku 3 przedstawia się astępująco c gdzie h, x cx kx P si t (13) x hx x qsi t, (14) k P, q. Rozwiązaie rówaia różiczkowego (13) składa się z dwóch części x t x t x t, (15) 1 gdzie x1(t) jest rozwiązaie ogóly rówaia jedorodego (bez siły wyuszającej), atoiast x(t) jest rozwiązaie szczególy rówaia pełego. Rozwiązaie x1(t) reprezetuje drgaia swobode i zależy od waruków początkowych. Gdy w układzie występuje tłuieie, drgaia te z czase zaikają; proces zaikaia drgań azyway procese przejściowy. Po pewy czasie pozostają jedyie drgaia związae ze składikie x(t) są to ustaloe drgaia wyuszoe ające postać i posiadające astępujące paraetry x t asi t, (16) 5

6 aplitudę a q 4h [], h kąt przesuięcia fazowego arcta. Zauważy, że w przypadku braku tłuieia (h=) i częstości ω siły wyuszającej rówej częstości α drgań własych układu, wyrażeie a aplitudę a drgań wyuszoych traci ses (pojawia się dzieleie przez zero). Wówczas rozwiązaie przyjuje ią postać i aplituda rośie ieograiczeie w czasie. Sta te azywa się rezoase i zachodzi dla, gdzie jest częstością rezoasową siły wyuszającej. W rzeczywistych układach zawsze r występuje jakiś rodzaj ieliiowości oraz dyssypacji eergii, które ograiczają aplitudę. W szczególości tłuieie h ograicza aksyalą wartość aplitudy a, która występuje dla częstości siły wyuszającej iejszej iż częstość. Zależość aplitudy drgań od częstości siły wyuszającej osi azwę charakterystyki aplitudowej lub wykresu rezoasowego. Na rysuku 6 przedstawioo przykładowe przebiegi względej aplitudy st a x st (gdzie x q P k jest wychyleie statyczy) w fukcji względej częstości siły wyuszającej, dla różych wartości względego tłuieia h. r Rysuek 6. Charakterystyka aplitudowa wyuszaego haroiczie oscylatora liiowego z tłuieie. Staowisko laboratoryje i odel ateatyczy badaego układu Podczas ćwiczeia laboratoryjego wykorzystywae jest staowisko przedstawioe a rysuku 7. Może oo służyć do badaia drgań o wielu stopiach swobody, jedak po zablokowaiu odpowiedich wózków staowi układ drgający o jedy stopiu swobody. Wózki są wyuszae bezwładościowo za poocą sterowaych silików krokowych wyposażoych w tarcze z asai uieszczoyi w pewej odległości od osi obrotu. Poiar położeia wózków odbywa się przy użyciu czujików Halla. Sterowaie silikai i obserwacja położeia wózków odbywa się w systeie wykorzystujący sprzęt Natioal Istruets i oprograowaie LabView. 6

7 a) b) Rysuek 7. Staowisko badawcze drgań: widok ogóly (a) i zbliżeie a wózek użyty podczas badaia drgań o jedy stopiu swobody (b). Rysuek 8. Model fizyczy badaego układu. Model fizyczy badaego układu przedstawioo a rysuku 8, a jego różiczkowe rówaie ruchu a postać (prawo ruchu środka asy) x cx kx, (17) C gdzie x jest położeie wózka, xc - położeie środka asy C całego zestawu drgającego o asie. Położeie środka asy oża przedstawić jako x x x, (18) C gdzie x Cw jest położeie środka asy zestawu drgającego w układzie lokaly wózka. Po uwzględieiu (18) w (17) otrzyuje się 7 Cw x cx kx x Cw. (19) Położeie względe środka asy zestawu drgającego oża wyrazić astępująco x c c x e Cwe Cw, () gdzie jest asą ciężarka uieszczoego a tarczy silika powodującego jej iewyważeie, c jest położeie w układzie lokaly wózka środka asy części wyważoej zestawu drgającego o asie, atoiast ce xcwe jest odpowiedi położeie w układzie lokaly środka asy ciężarka. Składiki c i ce są pewyi stałyi, atoiast x esi t. (1) Uwzględiając (1) w rówaiu () i różiczkując je dwukrotie otrzyuje się Cwe

8 x Cw e si t, () gdzie przyjęto, że prędkość kątowa silika jest stała. Po podstawieiu rówaia () do (19), rówaie różiczkowe ruchu układu drgającego (odel ateatyczy) przyjuje astępującą postać Ozaczając P x cx kx e si t. (3) e, rówaie to przyjuje postać idetyczą z rówaie (13). Aplituda siły wyuszającej P oże być iterpretowaa jako siła bezwładości asy iewyważeia, związaa z jej ruche względe wózka po okręgu o proieiu e. 3 Wyagaia wstępe Przed przystąpieie do ćwiczeia wyagaa jest zajoość zagadień przedstawioych w rozdziałach 1 i oraz teatu drgań puktu aterialego występującego a wykładzie przediotu Mechaika techicza II. 4 Przebieg ćwiczeia i sprawozdaie Zadaie studetów jest doświadczale wyzaczeie współczyika tłuieia i charakterystyki aplitudowej rzeczywistego układu drgającego przedstawioego w rozdziale. Stosując się do wskazówek prowadzącego i wykorzystując arkusz sprawozdaia, ależy wykoać koleje zadaia: 1. Uzupełić cel ćwiczeia.. Obliczyć częstość własą drgań układu dla podaych paraetrów. 3. Wytrącić układ z położeia rówowagi i zarejestrować przebieg drgań swobodych tłuioych. Odczytać z wykresu i zapisać koleje wartości ekstreale wychyleia i odpowiedie pukty przejścia wychyleia przez wartość zerową oraz odpowiadające i chwile czasowe. Dokoać stosowych obliczeń i wyzaczyć okres oraz częstość drgań swobodych tłuioych oraz współczyik tłuieia (w ty ostati przypadku stosując etodę ajiejszych kwadratów). 4. Przeprowadzić badaie eksperyetale, ierząc aplitudę drgań wyuszoych dla różych częstości wyuszeia. Dokoać stosowych obliczeń oraz wykoać odpowiedie wykresy aplitudowe. 5. Przeaalizować wyiki i zapisać odpowiedie wioski. Literatura 1. J. Awrejcewicz: Mechaika. WNT, Warszawa 7.. Z. Towarek: Mechaika ogóla. Zagadieia wybrae. Wydawictwo PŁ, Łódź 4. 8

9 POLITECHNIKA ŁÓDZKA Katedra Autoatyki, Bioechaiki i Mechatroiki Łódź, dia Nr Iię i azwisko Nr albuu Nr grupy LABORATORIUM MECHANIKI TECHNICZNEJ II Teat: Badaie drgań liiowych o jedy stopiu swobody 5 Podpis prowadzącego

10 Cel ćwiczeia: 1. Układ drgający k k c P( t) P si t x Rysuek. 1 Model fizyczy badaego układu drgającego. Rówaie ruchu układu przedstawioego a rysuku 1: T gdzie: = 8.98 kg asa całkowita ciała drgającego, k/ = 34 N/ stała jedej z dwóch spręży, c stała tłuieia [N s/], x przeieszczeie asy (x= odpowiada położeiu rówowagi) [], P(t) zewętrza siła wyuszająca [N], ω częstość siły wyuszającej [rad/s], P= e ω² [ N ] aplituda siły wyuszającej [N], e =,1975 kg, - asa iewyważeia, e- proień iewyważeia. k [ ] Częstość własa układu

11 . Badaie drgań swobodych (P(t)=) Stosując się do wskazówek prowadzącego, wytrącić układ z położeia rówowagi i zarejestrować przebieg w czasie drgań swobodych w specjaly prograie stworzoy środowisku LabView. Następie aszkicować scheatyczy wykres i zazaczyć pukty kolejych wartości ekstrealych Ai bezwzględej wartości wychyleia występujących w chwilach czasowych ti (i=1,.., ) oraz pukty Pi (i=1,.., p), odpowiadające przecięcio wartości zerowej przez wychyleie w chwilach czasowych tpi (i=1,.., p) tak jak to pokazao a rysuku. Początkowe pukty A1 i P1 oraz wartości całkowite i p ustalić z prowadzący. Odczytać z wykresu wartości odpowiedich aplitud Ai i odpowiadających i chwil czasowych ti (i=1,.., ) oraz wartości tp1 i tpp. Wyiki zapisać w tabelach i wykoać wskazae obliczeia. Rysuek. Sposób wyzaczeia kolejych puktów Ai i Pi. Szkic przebiegu drgań swobodych: x [ ] ,5 1 1,5,5 3 3,5 4 4,5 5 t [ s ] 3

12 i t i [s] A i [ ] l A i t i t l A i i tp1[s] tpp[s] p I. Okres Td i częstość λ drgań swobodych tłuioych - a podstawie poiarów tpp tp 1 Td [s] p 1 [rad/s] T d II. Współczyik tłuieia h S S S 1 t i i 1 l Ai 11 i 1 ti i 1 S1 ti l Ai i 1 D S S 11 1 Współczyiki zależości l A l A ht S11S S1S1 l A D S1S S1 h [1/s] D Stała tłuieia c i tłuieie krytycze c h [N/s] c kr h [N/s], kr gdzie hkr 4

13 Zależość l A t otrzyaa eksperyetalie i wg rówaia l A l A ht l A' 4,5 4 3,5 3,5 1,5 1,5 -,5,5 1 1,5,5 3 3,5 4 4,5 5 t [s] 3. Badaie drgań wyuszoych Stosując się do wskazówek prowadzącego zarejestrować eksperyetalą aplitudę ae drgań wyuszoych dla różych częstości siły wyuszającej (wyrażoej jako częstotliwość f ipulsów z geeratora sterującego silikie krokowy). Ilość puktów poiarowych i ich rozłożeie ustalić z prowadzący. Zwrócić uwagę, aby jede pukt poiarowy odpowiadał wartości ekstrealej aplitudy. Wyiki zapisać w tabeli, wykoać odpowiedie obliczeia i sporządzić wykresy. 5

14 Wzory do obliczeń: 1. Prędkość obrotowa silika f z, gdzie z = 18 - paraetr silika krokowego.. Częstość kołowa silika (wyuszeia). 3. Aplituda siły wyuszającej P e, gdzie: e,1975 kg 4. Współczyik wyuszeia q P 5. Teoretycza aplituda drgań wyuszoych (przy założeiu braku tłuieia) a q 6. Ugięcie statycze xst q P k f [Hz] a e [] [Hz ] ω[rad/s] ω/α ω² xst P [ N ] q [/s²] a [] [rad/s²] [] ae x st a x st 6

15 a e [] a [] ,5 1 1,5,5 3 ω/α 7

16 a e /x st a/x st ,5 1 1,5,5 3 ω/α 8

17 4. Wioski 9