PODSTAWY MODELOWANIA SYSTEMÓW

Transkrypt

1 PODSTAWY MODELOWANIA SYSTEMÓW (otatki do wykładu) Wrocław, wrzesień 05

2

3 Sis Treści WSTĘP MODELOWANIE SYSTEMÓW Wrowadzeie Rówoważość modeli Podstawowy układ mechaiczy Układ mechaiczy wirujący Zadaia MODELE PROCESÓW FIZYCZNYCH Wrowadzeie Zjawisko tarcia Tarcie suche Tarcie lekie Przeływ łyu Przeływ cieła Zadaia MODELOWANIE NIELINIOWYCH SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH Wrowadzeie Modele dyamiczych systemów ieliiowych Rówaie Va der Pola Rówaie różiczkowe Duffiga Systemy chaotycze Rówaia Loreza Nieliiowy model Duffiga Obwód Chua Modelowaie ieliiowych układów dyskretych Idetyfikacja systemów chaotyczych Chaos w układach elektroeergetyczych Prosty układ ze sztywą siecią Stabilość aięciowa Chaos w układzie aędowym Ferrorezoas Zadaia MODELE PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Wrowadzeie Elemety rachuku rawdoodobieństwa Geerowaie liczb losowych Metoda Mote Carlo Zadaia MODELE ZALEŻNE OD ZDARZEŃ Wrowadzeie Klasyfikacja systemów kolejkowych... 6

4 4 Sis treści 5.3. Przykłady systemów kolejkowych System M/M/ System M/M/s System M/M//b Zadaia MODELE DETERMINISTYCZNE CZY STOCHASTYCZNE? Wrowadzeie Zadaia... 9 DODATEK Model układu mechaiczego wirującego Rówaie Duffiga Model Loreza Rówaia Rösslera Program lyauov Model kolejki M/M/ LITERATURA SKOROWIDZ... 49

5 WSTĘP Niiejszy skryt zawiera ois główych zagadień rezetowaych a wykładzie Podstawy modelowaia systemów, który jest rzezaczoy dla studetów II stoia a kieruku Automatyka i Robotyka a Wydziale Elektryczym Politechiki Wrocławskiej. Modelowaie w auce i techice stało się w ostatich czasach bardzo ważym zagadieiem, jako arzędzie do formułowaia i weryfikacji owych kocecji, jak rówież wygodym środkiem do badaia owych kostrukcji i ich srawdzaia w różych warukach. Główym celem iiejszego oracowaia jest rezetacja odstawowych metod i środków rzede wszystkich komuterowych - stosowaych w aalizie wybraych rocesów fizyczych, systemów dyamiczych oraz badań oeracyjych.

6 6

7 . MODELOWANIE SYSTEMÓW.. Wrowadzeie Modelowaie, jako rzejaw itelektualej aktywości człowieka jest zae od zaraia ludzkości. Nietrudo dostrzec, że a co dzień osługujemy się modelami awet tego ie zauważając. Na rzykład, gdy używamy ojęcia most, to zazwyczaj mamy a myśli kostrukcję, która łączy dwa brzegi (rzeki, strumieia), za omocą której moża rzejść lub rzejechać a drugą stroę. Jeśli używamy tego ojęcia do wyjaśieia komuś sosobu dojścia do określoego miejsca leżącego za mostem, to wydobywamy z iego tylko ajistotiejsze cechy służące do jego idetyfikacji, a omijamy wiele iych rzymiotów tego akurat obiektu, aby ie zaciemiać ytającemu obrazu drogi. Pomimo trywialości tego rzykładu, odobą fukcję ełią także modele w auce i techice. Czym zatem jest model? Jest wiele odowiedzi a to ytaie, które zależą od kotekstu jego użycia. Najczęściej mówi się, że model jest uroszczoą rerezetacją rzeczywistego obiektu (układu) utworzoą w celu zrozumieia (wydobycia, aświetleia) określoych jego cech. Tworzeie modelu jest modelowaiem. W rzedstawioej defiicji ujęta jest oczywista iformacja, że modelowaie ma a celu utworzeie takiego modelu, a odstawie którego moża ajleiej odowiedzieć a ytaie dotyczące rzeczywistego obiektu (orygiału). Poieważ te sam rzeczywisty obiekt może być rzedmiotem różego zaiteresowaia (róże jego cechy mogą być badae), więc także róże modele mogą go rerezetować. Modelowaie rowadzi, zatem do wyostrzeia tych cech rzeczywistego obiektu/układu, które są istote dla modelującego lub osługującego się modelem. Pomija się jedocześie te właściwości/cechy obiektu, które są w daym oglądzie ieistote. Widać stąd, że może być wiele modeli tego samego obiektu rzeczywistego, które mogą służyć do demostracji różych jego cech. Bardzo ważą rolę odgrywają modele w auce. Moża zaryzykować tezę, że auka zaczęła swój wielki rozwój od mometu, gdy w sosób świadomy zaczęto w iej stosować modele, które w sosób jedozaczy i ścisły oisują zachowaie się badaego obiektu. Takie modele azywają się modelami matematyczymi. W tym kotekście model jest matematyczą rerezetacją systemu fizyczego, biologiczego, iformatyczego, ekoomiczego i iego. Model matematyczy ozwala zaisać w formie aalityczej sosób działaia systemu. W bardziej użytkowej formie moża owiedzieć, że model matematyczy ozwala stworzyć algorytm działaia modelu. Właściwie cała fizyka, a za ią techika, jest oarta a modelowaiu matematyczym. Zbiór modeli matematyczych odoszących się do jakiejś dziedziy fizyki tworzy jej teorię. Przez system rozumie się zbiór elemetów z określoymi relacjami między imi.

8 8 W staie tworzeia, modele owstają a zasadzie budowy kocecji, które są ie do końca zweryfikowaymi modelami badaego zjawiska/systemu. Weryfikacja (walidacja ) jest dokoywaa a zasadzie odwołaia się do rzeczywistego obiektu. Weryfikacja zamkiętego zbioru modeli odoszących się do badaego zjawiska/systemu rowadzi do owstaia obowiązującej teorii. Procedurę tę moża rzedstawić za omocą zaego schematu: Teoria (kocecja) ekserymet (weryfikacja) W owyższym schemacie model (matematyczy) jest elemetem tworzącej się teorii. Z chwilą ojawieia się arzędzi umożliwiających symulację, a więc ożywieie modeli, ojawiła się sosobość do obserwacji zachowaia się modelu w zdefiiowaych warukach. Symulacja olega, więc a odtworzeiu a iby - za omocą modelu - waruków, jakie wystęują w rzeczywistym systemie. Odbywa się to zgodie z ograiczeiami arzucoymi rzez model. Rozwój techiki komuterowej dorowadził do owstaia bardzo wygodych i elastyczych arzędzi służących do symulacji fukcjoowaia modeli. W tym kotekście używa się ojęcia modelu komuterowego, rzez co ależy rozumieć odowiedi algorytm fukcjoowaia modelu. Na odstawie tego algorytmu tworzoe są komuterowe rogramy do wirtualej realizacji modelu (w środowisku komuterowym). Symulacja komuterowa umożliwia tworzeie wirtualego świata rocesów i systemów, które w rzeczywistości ie mogą być dostęe aszym zmysłom w tak lastyczy sosób. Dotyczy to zwłaszcza rocesów, których obserwacja jest iemożliwa ze względu a iedostęość omiarową, aujące waruki fizycze, odległość lub koszt (rocesy zachodzące w odległych galaktykach, wewątrz struktur materiałowych, wewątrz urządzeń). Symulacja komuterowa jest wykorzystywaa ie tylko w techice, do badaia właściwości owych kostrukcji, ale stała się ważym arzędziem w rozumieiu rzeczywistości. W tym sesie mówi się o włączeiu modelowaia i symulacji w krąg rocedury tworzeia teorii rzeczywistości. Ilustruje to zay schemat okazay a rys.. 3. Blok związay z modelowaiem i symulacją odgrywa w tym schemacie istotą fukcję: tworzy o doełieie rzeczywistego systemu. Jest to jakby rozjaśieie tej części rzeczywistości, która jest rzedmiotem selektywej aalizy. Rerezetacja rzeczywistości w tym bloku jest udoskoalaa w rekurecyjej rocedurze orawiaia modelu/teorii. ag. validate zatwierdzać, otwierdzać ważość. 3 KLEIBER M., Modelowaie i Symulacja Komuterowa. Moda czy Naturaly Tred Rozwoju Nauki. Nauka 4 (999) 9 4.

9 9 Zmiaa algorytmu Parametry modelu Proozycja modelu/teorii Rówaia, algorytmy Rys... Ilustracja zależości: Teoria Ekserymet - Symulacja Główy odział modeli rzebiega w zależości od sosobu ich iicjacji (obudzaia) i atury zachodzących rocesów: - modele rocesów zachodzących względem czasu (ciągłego lub dyskretego); - modele rocesów rozatrywaych względem iicjujących ich zdarzeń. Procesy oisywae względem czasu są zazwyczaj dobrze uorządkowae i rzewidywale. Koleje ich stay zazwyczaj łączą się ze staami orzedimi. Ich ois aalityczy może bazować a odejściu determiistyczym (matematyczy model determiistyczy) lub robabilistyczym, gdy zakłada się losowy charakter oisujących je fukcji lub ich arametrów. Procesy iicjowae zdarzeiami są z atury losowe (jeśli omiąć rzyadek, gdy zdarzeia zachodzą w sosób uorządkoway względem czasu). Zarówo liczba zdarzeń wejściowych w określoej jedostce czasu, jak i długość okresu uływającego omiędzy kolejymi zdarzeiami są wielkościami losowymi. W rzyadku rocesów oisywaych względem czasu, mamy do czyieia ze zjawiskami dyamiczymi, które oisują relacje wejście-wyjście elemetów systemu w czasie, okazując także związae z imi rzebiegi. System dyamiczy charakteryzuje się tym, że jego odowiedź a dae wymuszeie ma charakter zmiey w czasie. Poadto, odowiedź jest fukcją zarówo bieżącego, wymuszeia, jak rówież historii rocesu. Model aalityczy (matematyczy) jest określoy za omocą odowiedich rówań lub iych adekwatych relacji, jak wykresy, czy tabele, które oisują system z ewym rzyjętym rzybliżeiem. Jeśli

10 0 relacje te są zaisae w formie rogramów komuterowych, to mówimy o komuterowym modelu systemu. Model matematyczy systemu jest bardzo często zaisay w formie fukcji, w których zmieą iezależą jest czas ciągły, co ozacza, że może o rzejmować dowole wartości w określoym rzedziale zmieości. Jest to, zatem model ciągły względem czasu. Zais tych zależości w formie adającej się do obliczeń (realizacji, symulacji) ajczęściej wymaga zaisu tych rówań w formie fukcji względem czasu dyskretego. Mówimy wówczas o dyskretym modelu systemu. Imlemetacja takiego modelu w komuterze o określoej dokładości rerezetacji wielkości rzeczywistych (co zazwyczaj jest związae z arytmetyką komutera ) wiąże się także z dyskretyzacją arametrów i zmieych rocesu względem amlitudy. Tak zredukoway model jest azyway modelem cyfrowym systemu. Widać stąd, że dyamiczy model komuterowy jest zawsze modelem cyfrowym: z dyskretym czasem i określoą dokładością rerezetacji zmieych rocesu i jego arametrów. System dyamiczy może rerezetować różego tyu rocesy, ie tylko techicze. Na rzykład, zaym rzykładem systemu dyamiczego, którego model matematyczy został sformułoway rzez Izaaka Newtoa jest system laetary. Moża także odać rzykłady systemów socjalych, chemiczych, biologiczych i iych. Wsólym wyróżikiem takich systemów jest obecość w ich jakiejś formy eergii, która od wływem wymuszeia zmieia się w ią jej ostać. Przykłady układu elektryczego i mechaiczego są okazae a rys... a) i(t) L R b) u(t) C tłumik B srężya K x(t) f(t) masa M Rys... Przykład układu elektryczego (a) i mechaiczego (b) W odiesieiu do elemetów układu elektryczego wystęują astęujące zależości (modele): u R ( t) Ri( t) sadek aięcie a ooriku, d i( t) u L ( t) L sadek aięcie a cewce, dt d uc ( t) i( t) C rąd rzeływający rzez kodesator. dt

11 Na odstawie rawa Kirchhoffa otrzymamy, zatem, astęujący model matematyczy tego obwodu: di( t) u( t) ur( t) ul ( t) uc ( t) Ri( t) L i( t) dt (.) dt C Rówaie to moża także zaisać w astęującej formie: d i( t) di( t) L R i( t) 0 (.) dt dt C W rzyadku układu mechaiczego (rys.b), moża sformułować astęujące zależości: f D ( t) Bv( t) siła działająca a tłumik o wsółczyiku tłumieia B, d v( t) f M ( t) M dt siła działająca a masę M, d f K ( t) v( t) K dt rędkość rzesuwaia się końca srężyy o stałej K. Sumując trzy siły działające a układ otrzymamy: dv( t) f ( t) Bv( t) M K v( t) dt, (.3) dt co także (o obustroym zróżiczkowaiu) moża rzedstawić w ostaci: d v( t) dv( t) M B Kv( t) 0 (.4) dt dt Widać, że w obu rzyadkach mamy do czyieia z układami drugiego rzędu. W tej ersektywie, modelowaie komuterowe jest ową, bardzo młodą dziedzią wiedzy, której błyskawiczy rozwój właśie zachodzi a aszych oczach. Dzięki zaczemu rozszerzeiu możliwości arzędzi związaych z modelowaiem komuterowym w zakresie: szybkości rzetwarzaia daych, elastyczości i lastyczości rezetacji wyików oraz możliwości odtwarzaia dowolych asektów rozważaych zagadień, dziedzia ta weszła do odstawowego zbioru wsółczesej filozofii auki. Tradycyjy łańcuch astęstw rowadzący do zrozumieia otaczającej as rzeczywistości: idea ekserymet idea... został iemal całkowicie zastąioy rzez łańcuch: idea model ekserymet idea.. Ważą gruą systemów i związaych z imi modeli, która zaczęła się rzebijać do świadomości badaczy w ostatich dziesięcioleciach są zjawiska obejmowae ogólą azwą chaosu. Szczególie itrygujące i, z ersektywy uorządkowaego świata, zaskakujące, są zjawiska chaotycze wystęujące w warukach determiistyczych.

12 Te rocesy, związae z aalizą dyamiczych systemów ieliiowych, zostały zaledwie zasygalizowae w rozdziale końcowym. Na zakończeie tych rozważań moża się okusić o oceę ajbliższych ersektyw rozwoju omawiaych tu zagadień. Przede wszystkim łatwo moża zauważyć, że roblematyka ta daleka jest od wyczeraia zarówo w zakresie metodologii modelowaia, jak i raktyczych realizacji odowiedich symulatorów. Rozwojowi tej dziedziy srzyja w dalszym ciągu burzliwy rozwój techiki komuterowej: zarówo w zakresie srzętu, jak orogramowaia. Z drugiej stroy, oszerza się także ryek wykorzystaia techik symulacyjych w rojektowaiu urządzeń omiarowych i kotrolych w elektrotechice. Proces rojektowaia owych urządzeń w elektroeergetyce, rzemyśle chemiczym, samochodowym i w iych dziedziach, staje się coraz bardziej racochłoy ze względu a rosące wymagaia w zakresie ich iezawodości i szybkości działaia. Koszty te moża obiżyć rzez rzeiesieie części badań z rzeczywistych obiektów a odowiedie symulatory. Dotyczy to zresztą także iych dziedzi techiki. W odowiedzi rosą także wymagaia, co do głębokości odtwarzaia rocesów dyamiczych w aalizowaych obiektach. Odosi się to zwłaszcza do: Koieczości ełiejszego uwzględiaia zjawisk w aalizowaych obiektach. Pomoce tu może być łączeie metod odowiedich dla aalizy obwodów elektryczych z techikami obliczaia zjawisk rzestrzeych w materiałach, jak a rzykład Metoda Elemetów Skończoych (MES) (ag. Fiite Elemet Method FEM). Jest to szczególie waże w rzyadku aalizy maszy elektryczych wirujących i trasformatorów, układów izolacyjych lub, ogólie, badań materiałowych. Poszerzeia zakresu wykorzystaia wyików symulacji. Łączy się to z koieczością rozbudowy srzętowej i rogramowej omawiaych symulatorów w kieruku łatwej geeracji zbiorów z wyikami symulacji a zasadzie zmiay określoych arametrów badaego modelu. Elastyczości w zakresie rzygotowaia daych do symulacji oraz tworzeia struktury modelu. Podobe wymagaia dotyczą także ułatwieia wykorzystaia wyików symulacji... Rówoważość modeli Aaliza układów z rys.. otwierdza zaą obserwację, że często systemy o bardzo różej aturze mogą być oisae za omocą tych samych lub bardzo zbliżoych modeli matematyczych. Ta cecha układów dyamiczych jest szeroko stosowaa w teorii systemów i różych ochodych dziedziach, jak teoria sterowaia. W odiesieiu do modelowaia, ta właściwość ozwala iekiedy a lesze rozezaie zachodzących relacji oraz ich zrozumieie. Waża jest także możliwość stosowaia tych samych arzędzi srzętowych lub rogramowych do symulacji różych systemów.

13 3... Podstawowy układ mechaiczy Przykład z rys.. ozwala sformułować zasady rówoważości odstawowego układu mechaiczego o ruchu osuwistym z układem elektryczym. Ekwiwalety odowiedich wielkości i zachodzących między imi relacji są zebrae w Tabeli.. Tabela.. Rówoważość układu mechaiczego osuwistego z układem elektryczym Układ mechaiczy siła F (N) rędkość v (m/s) rzesuięcie x (m) masa M (kg) wsółczyik srężystości K (N/m) wsółczyik tłumieia B (Ns/m) Podstawowe relacje: dv d masa: F M, F, Mv dt dt df dx srężya: v, v, F Kx K dt dt tłumik: F Bv Układ elektryczy aięcie u (V) rąd i (A) ładuek elektryczy Q (C = V F) idukcyjość L (H) odwrotość ojemości /C (/F) rezystacja R () Podstawowe relacje: di d cewka: u L, u, Li dt dt du dq kodesator: i C, i, u Q dt dt C oorik: u Ri Należy zauważyć, że wyszczególioe w Tabeli. relacje są związae z oddzielymi elemetami. Na rzykład: w odiesieiu do cewki, rąd i ozacza ią wielkość iż tak samo ozaczoy rąd łyący rzez kodesator. Niekiedy istieje ewa swoboda w wyborze sosobu rerezetowaia odowiedich zależości, co jest związae z tym, że eergia może być gromadzoa w róży sosób. Na rzykład, eergia mechaicza srężyy: E Kx F (.5) K Eergia elektrycza zgromadzoa w kodesatorze lub w cewce: E Li, E Cu Q (.6) C Symetria owyższych zależości ozwala tworzyć wzajemie wymiee modele systemów elektryczych i mechaiczych, co ilustruje astęujący rzykład. Przykład.. Day jest układ mechaiczy, jak a rys..3. Określić jego model dyamiczy w ostaci rówań stau. Przerowadzić symulację dyamiki układu o wymuszeiu w ostaci skoku jedostkowego rerezetującego siłę F. Oracować i zbadać ekwiwalety obwód elektryczy.

14 4 W układzie zajdują się cztery elemety gromadzące eergię (dwie srężyy oraz dwie masy, wobec czego moża założyć, że do oisaia jego dyamiki ależy sformułować cztery rówaia stau. Rys..3. Aalizoway układ mechaiczy Wystęują tu cztery elemety gromadzące eergię, dla których aiszemy astęujące rówaia różiczkowe: dv F m M dt, dx v (w odiesieiu do M, B oraz K ), dt dvm Fm M dt, d( x x v ) (w odiesieiu do B oraz K ), dt gdzie: F m, F m siły związae z ruchem mas M oraz M, v rędkość rzemieszczaia x, v rędkość ruchu B, K, atomiast v m rędkości związaa z ruchem masy M. Poadto: F s Kx, F s K( x x ), F Fm Fb Fs, F b Bv, F b Bv, Fb Fs Fm Fb Fs, gdzie: F s, F s, F b, F b siły działające a oszczególe elemety z rys..3; zakłada się, że elemety rozmieszczoe rówolegle do siebie, rzesuwają się a tę samą odległość. Prowadzi to do astęującego układu rówań: dx v m dt dvm K( x x ) B ( vm v) F dt M M M dx v dt dv K dt M B K x v x v x v M M M M M B K B

15 5 Po uorządkowaiu otrzymujemy astęujące rówaia stau: v m t x d d, F M v M B x M K v M B x M K t v m m d d, v t x d d, v M B B x M K K v M B x M K t v m d d, co moża zaisać w ostaci macierzowej: bu Ax x dt d, gdzie: T m v x v x ] [ x, / ) ( ) / ( / / / / / / M B B M K K M B M K M B M K M B M K A T M ] 0 0 / 0 [ b, F u. Rówaie stau w owyższym zaisie może być rozwiązywae umeryczie za omocą całkowaia według metody rostokątów: T k k x x x d ) ( ) (, gdzie dx ozacza wektor ochodych zmieych stau, atomiast T jest krokiem całkowaia. Do rozoczęcia obliczeń ależy określić waruki oczątkowe w ostaci wektora x(0). Do obliczeń rzyjmujemy astęujące arametry układu: M = 3 kg, M = kg, K = 8 N/m, K = 5 N/m, B = 8 Ns/m, B = Ns/m. Przy zerowych warukach oczątkowych oraz wymuszeiu F = 5 N, dla T = 0,0s otrzymujemy rzebieg oszczególych zmieych stau, jak a rys..4. Rys..4. Wyiki symulacji układu mechaiczego

16 6 Widać, że rędkości rzemieszczaia się mas M oraz M maleją z czasem do zera, odczas gdy rzesuięcia x i x dążą do odowiedich wartości ustaloych. Zważywszy a to, że srężya K rozciąga się a długość ok. m, mamy w tym wyadku do czyieia ze srężyami miękkimi. Elektryczy ekwiwalet układu z rys..3 jest okazay a rys..5. Uzasadieie dla takiej ostaci schematu moża także uzyskać rzez orówaie go z układami z rys... Pojedyczemu układowi z rys..a odowiada szeregowe ołączeie elemetów RLC a schemacie elektryczym. W tym rzyadku mamy dwa takie człoy mechaicze, którym a schemacie elektryczym odowiadają dwa obwody RLC, ołączoe, jak a rys..5, gdyż mechaiczemu układowi srężya tłumik odowiada szeregowe ołączeie RC. Rys..5. Model elektryczy Zauważmy, że w staie ustaloym, rzy stałej wartości wymuszeia w ostaci aięcia u (= siła F), wszystkie rądy rzyjmują zerowe wartości (odobie, jak rędkości v w układzie mechaiczym). Dla obwodu z rys..5 moża aisać astęujące rówaia:,, i i i t u C i t u C i u R i t i L u i R u i R t i L u C C C C C d d d d d d d d W charakterze zmieych stau moża rzyjąć: u C, i, u C, i. Po uorządkowaiu owyższych rówań, otrzymamy: i C i C t u C d d, u L u L i L R i L R t i C d d, i C t u C d d,

17 7 d d i R R R i i uc u C t L L L L co moża zaisać w ostaci macierzowej: d x Ax bu dt gdzie: T T [ u C i uc i ] [ x x x3 x4] x, 0 / L A 0 / L / C 0 R / L R / L T / L, / C R / L / C ( R R ) / L b [ 0 / L 0 0], u u. Do obliczeń rzyjmujemy arametry obwodu, odowiadające wielkościom mechaiczym (Tabela.): L = m = 3 H, L = m = H, C = /k = 0,5 F, C = /k = 0, F, R = b = 8, R = b =, u = F = 5 V. W takim rzyadku, rzy zerowych warukach oczątkowych oraz wymuszeia u = F = 5 V, dla T = 0,0s owiiśmy otrzymać rzebiegi aalogicze, jak a rys..4. Tak jest istotie w rzyadku zmieych i, i, które odwzorowują w układzie mechaiczym rędkości v m, v rzemieszczaia się mas M, M (rys..4b). Natomiast, rzesuięcia są rerezetowae w obwodzie elektryczym rzez ładuki zgromadzoe a kodesatorach C oraz C. Obliczeie tych ładuków wymaga omożeia aięć u C, u C rzez ojemości kodesatorów, odowiedio C oraz C : Q CuC, Q Cu C. Zachodzą tu astęujące zależości w odiesieiu do rzesuięć: x Q, atomiast x Q = Q + Q. Ostateczie, wyiki z symulacji owyższego obwodu elektryczego, mogą być rzeliczoe a odowiadające im wielkości w układzie mechaiczym, a odstawie astęującego rówaia wyjść: y Cx, gdzie: C 0 C 0 Q C, i y. 0 0 C 0 Q i Wyiki rzerowadzoych obliczeń są okazae a rys..6. Naięcia u C, u C (rys..6a) są wsółrzędymi wektora stau x, atomiast ładuki Q, Q (rys..6b) są elemetami wektora y. Łatwo zauważyć, że rzebiegi tych ostatich odowiadają rzesuięciom z rys..4a.

18 8 Rys..6. Wyiki symulacji układu elektryczego Aalizując rówaia obu układów: mechaiczego i elektryczego z rzykładu. widać, że rowadzą oe do takich samych modeli matematyczych. Ich wsólą cechą, oza rówoważymi zaisami dyamiki oszczególych elemetów, jest także rówoważość raw sieciowych (związaych z odowiedimi grafami sieci). Na schemacie elektryczym bez trudu zajdziemy oczka, dla których muszą być sełioe rówaia rówowagi aięć i odobie węzły, w których musi zachodzić rówowaga rądów. Podobe zależości obowiązują w odiesieiu do układów mechaiczych. Zasady te widać wyraźie, jeśli zauważymy, że zgodie z Tabelą., zachodzą astęujące rówoważości: aięcie siła, rąd szybkość rzemieszczeia. Zgodie z tym, rówoległemu ołączeiu srężyy z tłumikiem, a schemacie elektryczym odowiada szeregowe ołączeie oorika z kodesatorem. Z kolei, siła F rzekazywaa do masy M ełi tę samą fukcję, co siła F działająca a masę M.... Układ mechaiczy wirujący Podobe relacje odobieństwa moża wyrowadzić także omiędzy układem mechaiczym obrotowym i obwodem elektryczym [8]. Podstawowe rówaie rówowagi mechaiczej obracającego się wirika jest astęujące: d J D T e T m, (.7) dt gdzie: J momet bezwładości obracającego się układu (kg m ), D wsółczyik tłumieia obrotów (N m s/rad), rędkość kątowa (rad/s), T e momet aędowy (N m), T m momet obciążeia (N m). W aędach elektryczych, momet aędowy T e ochodzi od silika elektryczego i moża go określić za omocą wielkości elektryczych (momet elektromagetyczy), atomiast momet obciążeia T m jest związay z obciążeiem mechaiczym

19 9 aędzaego układu. Połączeie dwóch obracających się układów za omocą srzęgła elastyczego z tłumieiem, rzez które jest rzekazyway momet T w, jest okazae a rys..7. Rówaie odwzorowujące dyamikę srzęgła ma astęującą ostać: D w d( r m) K dt w r m Tw, (.8) gdzie: K w wsółczyik srężystości skrętu (N m/rad), D w wsółczyik tłumieia skrętu (N m s/rad). Rys..7. Schemat układu obrotowego ze srzęgłem elastyczym z tłumieiem Na odstawie odobych rówań dyamiki ruchu obrotowego i ich odwzorowaia w układzie elektryczym, moża utworzyć zbiór rówoważych relacji, które są zebrae w Tabeli.. Tabela.. Rówoważość układu obrotowego z układem elektryczym Układ mechaiczy obrotowy momet iercji J (kg m ) momet obrotowy T (N m) rędkość kątowa (rad/s) rzesuięcie kątowe (rad) wsółczyik srężystości K (N m/rad) wsółczyik tłumieia skrętu D (N m s/rad) Podstawowe relacje: d d d momet iercji: T J J dt, dt dt srężya skręta tłumik: T K d T D D dt Układ elektryczy ojemość C (F) rąd i (A) aięcie u (V) strumień magetyczy (Vs) odwrotość idukcyjości /L (/H) rzewodość /R (S = /) Podstawowe relacje: kodesator: du d i C C, u dt dt cewka: i L d rzewodość i u R R dt d dt Zakładając, że zae są momety T e, T m oraz ozostałe arametry układu z rys.7, jego dyamika może być oisaa za omocą astęujących rówań:

20 0,, m w m m m m w e r r r r T T t D t J T T t D t J d d d d d d d d (.9) gdzie T w jak w (.8). Pierwsze rówaie odzwierciedla rówowagę mometów: aędowego (T e ) z mometami: iercji, oorów ruchu, a także mometem rzekazywaym do obciążeia orzez srzęgło elastycze (T w ). W drugim rówaiu zaisaa jest rówowaga mometów iercji i oorów ruchu aędzaego układu (lewa stroa rówaia) z mometem rzekazywaym rzez srzęgło (T w ) i mometem obciążeia (T m ). Rówaia (.9), o uorządkowaiu i uwzględieiu iektórych zależości z Tabeli., moża zaisać w ostaci rówań stau, co srowadza się do ich rzedstawieia w ostaci układu rówań ierwszego rzędu w astęującej formie: m m m m r w m r w m m m m r r e m r w m r w r r r r t T K D D t J t T K D D t J d d d d d d d d (.0) co moża zaisać w ostaci macierzowej: u Ax x dt d, (.) gdzie: T m m r r ] [ x, m w m w m m w m w r w r w r w r w r J K J D D J K J D J K J D J K J D D A T m m r e J T J T ] 0 / 0 / [ u.

21 Istotą cechą modelu (.9) jest, w ogólym rzyadku, ieliiowa zależość jego arametrów od zmieych rocesu (stau). W uroszczoym odejściu zakłada się tylko ieliiowe zależości dla mometu silika T e oraz mometu obciążeia T m : T T e m Te ( r, r, r ), T (,, m m m m ), (.) gdzie: r, m zmiee zewętrze, związae z układem sterowaia całym aędem. Wsomiae ieliiowości rodzą dodatkowe roblemy związae z umeryczym rozwiązywaiem rówań (.9), jak rówież ze stabilością całego modelu. Szczegółowa aaliza tych zagadień jest rzedmiotem zaiteresowaia teorii układów aędowych [3, 3]. W celu ilustracji owyższych zależości, rozważmy astęujący rzykład obliczeiowy. Przykład.. k k Przerowadzić aalizę układu aędowego, jak a rys..7 z astęującymi arametrami: stała iercji silika H r = 0,84 s, momet bezwładości obciążeia J m = 8 kg m, moc zamioowa silika P = 40 KM rzy zamioowej rędkości obrotowej = 465 obr/mi oraz cos = 0,86, wsółczyiki tłumieia: D r = 0,05 N m s/rad, D m = 0,045 N m s/rad, wsółczyik srężystości srzęgła: K w = 500 N m/rad, wsółczyiki tłumieia srzęgła rzy skręcaiu: D w = 500 N m s/rad. Przyjąć zerowe waruki oczątkowe. Założyć, że momet aędowy silika może być rzybliżoy za omocą wzoru Klossa [3]: MTe Te, gdzie: T e momet zamioowy, s - o- s / s s / s ślizg, s k oślizg rzy ajwiększej wartości mometu T e = T ek : s k s M M, s oślizg rzy zamioowym obciążeiu, M rzeciążalość mometem: T / T, 4. Założyć, że momet obciążeia jest określoy za omocą astęującej zależości: Tm Tm0 ( km / ), T m0 = 600,0 N m s/rad, k M =,564. W celu stosowaia wzoru Klossa, ależy wyzaczyć odstawowe arametry silika. Zauważmy, że zarówo moc silika, jak i jego bezwładość została odaa w jedostkach różych od tych, stosowaych w Tabeli. (jedostki SI). Jedostki te są bardzo często stosowae w odiesieiu do aędów elektryczych. Należy je zatem rzeliczyć do jedostek SI. W odiesieiu do mocy silika, zachodzi astęująca relacja [8]: KM = 0, kw (dla g = 9,80665 m/s ). Na tej odstawie możemy obliczyć zamioowy momet aędowy: P 703,4P ( KM) 9549,3P ( kw) 703,4 40 Te 03,5 N m s/rad, 465 r zamioowa rędkość obrotowa (obr/mi). M ek e

22 Wartość oślizgu zamioowego wyika z rędkości zamioowej: s =0, Poślizg odowiadający maksymalemu (krytyczemu) mometowi wyosi: s k s M M 0,094. Korzystając z odaych wzorów, moża określić charakterystyki mometów silika i obciążeia (rys..8). Pukt rzecięcia obu charakterystyk określa rówowagę tego układu aędowego (a wykresie ie uwzględioo tłumieia w obracających się elemetach układu). Wystęująca w daych stała iercji H jest często stosowaa w aędach elektryczych (zwłaszcza w rzyadku dużych geeratorów elektroeergetyczych). Jest oa związaa z czasem rozruchu (wybiegu) m maszyy od zera do rędkości zamioowej rzy zamioowej mocy jedostki: m H, a więc stała H jest ołową czasu rozruchu w warukach zamioowych. Stała iercji (bezwładości) H łączy się, więc z wielkościami określoymi w jedostkach układu SI za omocą astęującej relacji: E MW s 5,483J r 9 MW s 6 H r 0, gdzie: E J r r 0 (MW s) jest Sr MVA Sr MVA eergią otecjalą zgromadzoą w wirującej masie o momecie bezwładości J r i rędkości P ( km) 3 kątowej r, S,35960 (MVA) jest zamioową mocą ozorą silika (S = S r ). cos Wyika stąd astęująca zależość:,47966 H r P ( km) 5, , J r 0 = 0 47,7 kg m. cos 460 0,86 Momet T (N m s/rad) Rys..8. Przebiegi mometów: silika T e oraz obciążeia T m.

23 3 Pozostałe wielkości są zae, więc moża rzystąić do symulacji układu a odstawie rówaia (.). Tym razem mamy do czyieia z układem rówań różiczkowych ze zmieym wymuszeiem, więc ależy zastosować bardziej dokładą rocedurę, w miejsce tej, stosowaej w rzykładzie.. Skorzystamy z rocedury ode45 w akiecie Matlab (rogram Przykład.m). Macierz A w (.9) ma stałe arametry, atomiast zmiee są elemety wektora u, które zależą od wartości mometów: silika T e oraz obciążeia T m. Prawa stroa rówaia różiczkowego (ochode) jest obliczaa w fukcji f(t,x), umieszczoej wewątrz główej rocedury. Wywołaie główej rocedury rozwiązywaia macierzowego rówaia różiczkowego zajduje się w wierszu: [t x] = ode45(@f,tsa,x0,otios); % rozwiazaie rówaia Wyiki symulacji są umieszczoe w zmieej macierzowej x. W zamieszczoym rogramie symuloway jest roces rozruchu układu silik obciążeie (w czasie 0 80 s) oraz wybieg, o wyzerowaiu mometu aędowego silika w czasie t w = 80 s. Przebieg zmiay rędkości obrotowej obu ołączoych wirików jest okazay a rys..9. Oba związae srzęgłem elemety wirują z iemal idetyczą rędkością rówież w staie dyamiczym, a iewielkie różice ie są widocze a okazaym rzebiegu. Prędkość obrotowa, obr/mi Rys..9. Przebiegi rozruchu i wybiegu układu Zachowaie się srzęgła łączącego oba wirujące elemety może być ilustrowae za omocą rzebiegu kąta rozchyłu: r m Przebieg zmia tego kąta dla rozważaych arametrów jest okazay a rys..0. Widać, że skręt srzęgła osiąga wartość bliską 90 stoi. Srzęgło wraca do wyjściowej ozycji o zatrzymaiu się aędu.

24 4 Kąt rozchyłu srzęgła, ( ) Rys..0. Przebiegi zmia kąta rozchyłu srzęgła Ilustrowaa a rys..0 dyamika srzęgła zależy od obu arametrów jego modelu (rys..7): wsółczyika sztywości srężyy obrotowej K w oraz wsółczyika strat D w. Należy zwrócić uwagę a istotą różicę w wartości wsółczyików, odzwierciedlających oory ruchu silika i obciążeia (tarcie, oory wetylacyje) oraz właśie oorów ruchu elemetów srzęgła. Odtwarzają oe odmiee zjawiska w aalizowaym obiekcie. Należy zauważyć, że w rzeczywistym układzie z aędem w ostaci silika elektryczego, rozruch odosi się także do stau rzejściowego w sieci zasilającej wraz z silikiem. W celu odtworzeia takich zjawisk, ależy osługiwać się modelem symulacyjym z bardziej dokładymi modelami oszczególych elemetów układu, łączie z siecią zasilającą. Zgodie z zasadą rówoważości, układ z rys..7 może być rzedstawioy w ostaci obwodu elektryczego, jak a rys... Łatwo dostrzec elektrycze odowiediki elemetów układu mechaiczego. Wartości oszczególych elemetów ależy określić zgodie z Tabelą.. Rys... Obwód elektryczy ekwiwalety układowi z rys..7

25 5 Źródła rądowe rerezetują momety związae z silikiem i obciążeiem. Należy je rzedstawić w ostaci źródeł sterowaych zgodie z fukcjami, jak w rzykładzie.. W sumie mamy do czyieia z rostym modelem obwodu rądu stałego ze sterowaymi źródłami rądowymi, które zależą odowiedio od aięć r oraz m, które rerezetują rędkości kątowe silika i obciążeia. Taka rerezetacja układu mechaiczego jest łatwa do zastosowaia w modelach układów elektryczych, w których rozatruje się układy aędowe [3]. Kolejy rzykład ilustruje zastosowaie do tego celu arzędzia Sim- PowerSystems w rogramie Matlab/Simulik. Przykład.3. Na odstawie daych z rzykładu. oracować model układu aędowego, korzystając z arzędzi SimPowerSystems w rogramie Matlab/Simulik. Przyjąć te same dae, jak w rzykładzie.. Schemat modelu jest okazay a rys... Sterowaie źródłami rądowymi, które odwzorowują momety: silika oraz obciążeia odbywa się za ośredictwem bloków Te oraz Tm. Odbywa się to zgodie z zależościami określoymi w rzykładzie. a odstawie zmierzoych wartości rędkości kątowej wirików silika ( r ) oraz obciążeia ( m ). Wielkości te są w modelu odzwierciedloe za omocą aięć o obu stroach modelu srzęgła łączącego oba elemety. Schematy tych bloków są okazae a rys..3. s s Rys... Schemat modelu układu aędowego w rogramie SimPowerSystems Niezbędym elemetem modelu oracowaego w ramach SimPowerSystems jest blok owergui, w którym określae są waruki oczątkowe.

26 6 Rys..3. Schematy bloków sterowaia źródłami rądowymi do odwzorowaia: a) - mometu silika, b) - mometu obciążeia Obliczeia wykoao ze zwiększoą dokładością: Relative tolerace =.0e-6 (odobie, jak w rzykładzie.). Uzyskae rzebiegi okrywają się z rezultatami, otrzymaymi w rzykładzie...3. Zadaia.. Co ozacza termi: rówoważość modeli. Podać rzykłady modeli rówoważych... Bezwładość maszy elektryczych jest często określaa za omocą stałej iercji H. Wyjaśić fizycze zaczeie tej wielkości i jej odiesieie do mometu bezwładości (rzykład.)..3. Modele układów dyamiczych są rzedstawiae w ostaci rówań różiczkowych. Wyjaśić fizycze rozróżieie rocesów rzedstawiaych rówaiami różiczkowymi zwyczajymi i cząstkowymi..4. Przedstawić model obwodu elektryczego w ostaci szeregowego ołączeia elemetów RLC w ostaci zmieych stau..5. Prosty drgający układ mechaiczy jest rzedstawioy rówaiem: dv( t) f ( t) Dv( t) M K v( t) dt dt Podać odowiadający mu układ rówań stau.

27 . MODELE PROCESÓW FIZYCZNYCH.. Wrowadzeie Zakomita większość rocesów fizyczych jest rerezetowaa za omocą modeli zależych od czasu. Są to, więc rocesy dyamicze. Ich aaliza ma a celu wyjawieie zależości oszczególych zmieych rocesu w czasie. Łatwo zauważyć, że zarówo stoień skomlikowaia takich modeli w sesie dokładości odwzorowaia wzajemie owiązaych zjawisk, jak i rozdzielczość czasowa rocesu jest iemal ieograiczoa. Ważym czyikiem racjoalizującym symulacyją aalizę zjawisk fizyczych jest uzasadioe ograiczeie tych wskaźików. W rozdziale okazae są rzykłady tworzeia modeli wybraych zjawisk fizyczych z ilustracją ich komuterowej symulacji z zastosowaiem odstawowych metod umeryczych. Metody tworzeia modeli matematyczych: - metoda Lagrage a; - metoda Hamiltoa. układy zachowawcze?.. Zjawisko tarcia Siła tarcia T jest rozumiaa, jako siła ooru owstająca rzy wzajemym rzesuwaiu się dwóch ciał. Siła T leży w łaszczyźie styczej do owierzchi obu ciał, orowadzoej w ukcie styku. Ma oa kieruek i zwrot rzeciwy do rędkości względej uktu styku. Jeśli ciało jest ieruchome, to zwrot siły jest rzeciwy do kieruku siły wymuszającej. Pomimo owszechości zjawiska tarcia, jego model matematyczy ie jest jedozaczy i istieje wiele szczegółowych oisów tarcia. Mają oe a celu badaie samego zjawiska tarcia w różych szczegółowych staach dyamiczych rzemieszczających się względem siebie ciał oraz jego komesacji z myślą o stabilizacji ruchu.

28 8 W celu usystematyzowaia oisu zjawiska tarcia, owstało wiele modeli uroszczoych, które są stosowae w ściśle określoych warukach. Do ajważiejszych z ich moża zaliczyć 4 : tarcie statycze, które rerezetuje siłę (momet) iezbędą do rzesuięcia względm siebie dwóch ieruchomych ciał (siła, która rzeciwstawia się rzesuięciu rzy zerowej rędkości); tarcie suche, które odowiada sile rzeciwstawiającej się oorowi ruchu względego dwóch ciał, iezależie od ich względej rędkości ruchu (oór tarcia zależy od siły docisku rzemieszczających się ciał - model Coulomba); tarcie lekie (wiskotycze), rzy którym zakłada się, że rzestrzeń omiędzy rzesuwającymi się ciałami jest wyełioa określoą cieczą (smarem); róże rzyadki ośredie, gdy. waruki tarcia zmieiają się w zależości od: kieruku ruchu (tarcie asymetrycze), ozycji lub kąta obrotu, rędkości ruchu i iych arametrów. W dalszej części tego rozdziału rzerowadzoo aalizę tylko odstawowych zagadień związaych z tym zjawiskiem.... Tarcie suche W rzyadku tarcia suchego zakłada się, że omiędzy rzesuwającymi się owierzchiami ie ma materiału ośrediczącego, w szczególości, brak jest warstwy smarej. Do aalityczego oisu tarcia wrowadza się zazwyczaj astęujące założeia: - siła tarcia jest roorcjoala do siły N ormalej do owierzchi tarcia (rys..): T k N, (.) gdzie k kietyczy wsółczyik tarcia; - siła tarcia jest iezależa od owierzchi styku; - siła tarcia jest iezależa od rędkości rzemieszczaia się ciał; - do rzesuięcia ieruchomego ciała iezbęda jest siła T gr, która jest określaa odobie, jak w (.), rzy czym: s k wsółczyik tarcia statyczego (który także ie zależy od wielkości owierzchi styku). Rys... Siły wystęujące rzy tarciu 4 BRODNY J., Modelowaie tarcia w układach mechaiczych. Górictwo i Geologia, t. 5, 00, Zeszyt, s. 7 7.

29 9 Jeśli uwzględić kieruek ruchu rzesuwaego elemetu, to zależość (.) rzybiera astęującą ostać: T N sg( v) N sg( x ) (.) k Zależość omiędzy siłą działającą a układ i siłą tarcia jest okazaa a rys... Zazwyczaj o uruchomieiu układu, oór tarcia ieco maleje, co wyika z relacji: s k, co ozacza, że oór tarcia kietyczego T k jest miejszy od tarcia graiczego T gr. k Rys... Charakterystyka sił wystęujących w modelu tarcia suchego W raktyce, model tarcia jest zazwyczaj elemetem bardziej złożoego układu, w którym wystęują róże siły owodujące rzesuwaie i oór. Jede z takich rzyadków ilustruje astęy rzykład. Przykład.. Przeaalizować dyamikę układu z rys..3 [46]. Stała srężyy wyosi K, atomiast rzesuway elemet ma masę M. Założyć, że układ może się zajdować w jedym z dwóch staów: a) rzy braku oślizgu: v x 0 oraz b) w ruchu: v x 0. Zewętrze siły działające a układ są astęujące (siła P oraz rzeciwie skierowaa siła srężyy rys..3): P Kx P zew Gdy układ zajduje się w ruchu (rzyadek b), który charakteryzuje się obecością rędkości rzesuwaia: v x 0 ), moża zaisać astęującą rówowagę sił: M a M x T gr P zew, a rzysieszeie masy M. Uwzględiając (.), otrzymamy: Mx P N sg( x ) P T zew k zew gr sg( x ) skąd, dla v x 0 : Pzew Tk sg( x ) x, Tk k N, N M g, g rzyśieszeie ziemskie. M Fukcja sg() służy do uogólieia zaisu dla obu kieruków działaia sił (rzesuięcia).

30 30 T P x M N K Rys..3. Schemat aalizowaego układu Dla ogólości, zaiszmy w odoby sosób sta układu rzy braku oślizgu (rzyadek a)), rzy czym, w miejsce fukcji sg(x ) wrowadzimy dodatkową fukcję, która wykrywa kieruek działaia, zmierzającego do rzesuięcia masy m z udziałem siły P zew : dla rz ( ) sg( ) iaczej Pzew gdzie jest względą wartością siły działającej a masę M w staie soczyku. T gr Prowadzi to do astęującej modyfikacji rówaia dyamiki układu w staie soczykowym ( v x 0 ): Pzew Pzew Tgr rz T gr x, Tgr s N. M Jak widać, w zależości od stwierdzeia ruchu elemetu o masie M, jego dyamika jest określoa rzez jedo z owyższych rówań różiczkowych drugiego rzędu. Moża je srowadzić do ary rówań różiczkowych ierwszego rzędu, co wraz z odowiedim warukiem, wykrywającym ruch, rowadzi do astęującego algorytmu: x x Pzew Tgr sg( x ) x - jeśli 0 M x Pzew Pzew Tgr rz T gr x - iaczej M Na odstawie owyższych rówań został oracoway rogram tarcie_.m w języku Matlab (atrz Dodatek). Na kolejych rysukach rezetowae są iektóre wyiki symulacji rzy zmiaie odowiedich arametrów. Założoo, że T k = 0,95T gr.. Pozostałe arametry są odae a rysukach.

31 3 x, x Rys..4. Przebiegi rzesuięcia (x ) oraz rędkości (x ) rzy różych wsółczyikach tarcia; M =, K =,, P = 0, (x (0), x (0)) = (0,5, 0) Moża zauważyć, że rzy małej wartości wsółczyika tarcia, układ ma charakter oscylacyjy; rzy jego wzroście, oscylacyje wymuszeie srężyy daje się zauważyć jedyie odczas ierwszego ółokresu. Przebiegi okazae a rys..5 otwierdzają obserwację, że wstęe arężeie srężyy daje odoby efekt, jak siła rzyłożoa do masy M, rzy czym, charakter rzebiegu zależy od wstęego aięcia srężyy (wartość oczątkowa rzesuięcia).

32 3 0,5 0,4 0,3 0, rzesuięcie x, x 0, 0 0, x (0)= 0, 0, x (0)= 0,5 0,3 rędkość 0, czas t, s Rys..5. Przebiegi rzesuięcia (x ) oraz rędkości (x ) rzy różych oczątkowych wartościach rzesuięcia; M =, K =,, = 0,0 Zauważmy, że dla rzyadku odchyleia oczątkowego x (0) = 0,, ie wystęuje żade ruch, co wyika stąd, że łącza siła działająca a elemet jest miejsza od siły tarcia soczykowego. W aalizowaym rzyadku, waruek wystąieia ruchu jest astęujący: N x (0), K co ie jest sełioe.... Tarcie lekie Tarcie lekie (łye) jest siłą ooru T wystęującego w szczeliie omiędzy dwoma rzemieszczającymi się ciałami, gdy szczelia ta jest wyełioa łyem lub gazem. Przy tworzeiu modelu tego zjawiska zakłada się, że: - T ie zależy od siły docisku omiędzy rzesuwającymi się ciałami; - T zależy atomiast od rędkości rzesuwaia v oraz od ola owierzchi styku S; - tarcie łye w sosób zasadiczy zależy od właściwości materiału wyełiającego szczelię dzielącą owierzchie obu ciał. W ajrostszej ostaci model tarcia lekiego jest zaisyway w ostaci astęującego rówaia (tarcie wiskotycze): gdzie l jest wsółczyikiem tarcia lekiego. Model (.3) jest często uogóliay do ostaci: T x (.3) l

33 33 T ( x ) sg( x ) (.4) l W rzyadku ieściśliwej cieczy wyełiającej szczelię, siła tarcia jest rerezetowaa za omocą astęującej zależości: v T S (.5) h v gdzie: - wsółczyik lekości cieczy, - gradiet rędkości w szczeliie. h Tarcie lekie jest często łączoe z tłumieiem ruchu ciała o masie M. W takim rzyadku, a odobieństwo do rys..3, moża osłużyć się schematem, jak a rys..6, któremu odowiada astęujące rówaie: M x B x Kx 0 (.6) gdzie B w jest wsółczyikiem tłumieia wiskotyczego. Powyższe rówaie w zaisie zmieych stau rzyjmuje astęującą formę: w x x B x Kx x w M (.7) Rys..6. Schemat układu z tłumieiem wiskotyczym Tym razem, w modelu tarcia ie wystęuje ograiczeie ruchu w związku z oorem graiczym T gr, więc w rzebiegu oscylacji tego układu ie wystęuje gwałtowe ich zaikaie. Na rys..7 okazae są wyiki symulacji wykoae zgodie z modelem (.7), rzy odobych założeiach, jak w rzyadku rzebiegów z rys..5 (obliczeia wykoao dla różych waruków oczątkowych), dla wsółczyika tłumieia wiskotyczego B w = 0,58. Widać, że rzebiegi rzedstawiają regulare oscylacje tłumioe. Przy bardziej ogólym odejściu, model (.6) rozszerza się do ostaci 5 : M x Bx Kx T x x, t, P,, (.8), 5 BERGER E.J., Frictio modelig for dyamic system simulatio. Al Mech Rev vol 55, o 6, November 00,

34 34 gdzie T P, co ozacza, że: 0,5 T x, x, t, P, x, x, t, P,. (.9) P 0,4 0,3 0, rzesuięcie rędkość x, x 0, 0 0, x (0)= 0, 0, 0,3 x (0)= 0,5 0, czas t, s Rys..7. Przebiegi rzesuięcia (x ) oraz rędkości (x ) zgodie z modelem (.7), rzy różych oczątkowych wartościach rzesuięcia Takie założeie daje dużą swobodę w kształtowaiu wsółczyika tarcia. Wielokroek w (.8) ozacza, że w raktyce, do odwzorowaia różych waruków rzeczywistych, stosuje się iekiedy bardzo wymyśle modele matematycze 6. W szczególości, siła acisku P może zawierać także zewętrze wymuszeie P f : P P P, (.0) M gdzie: P M = Mg, g rzyśieszeie ziemskie. Schemat modelu do aalizy tarcia zgodie z (.8) jest okazay a rys..8. Względa rędkość v w rzesuwających się owierzchi jest określoa astęująco: v w f v 0 x, (.) skąd moża wyzaczyć charakterystycze rzyadki (v 0 jest rędkością taśmociągu): x 0 vw v0 zdefiioway oślizg x v v 0 rzyklejeie 0 w 6 AWREJCEWICZ J., OLEJNIK P., Aalysis of dyamic systems with various frictio laws. Alied Mechaics Reviews 58(6), 005,

35 35 Rys..8. Schemat układu do aalizy tarcia Na odstawie modelu (.8), (.9), moża rozważać bardzo róże rzyadki szczegółowe. Przeaalizujmy jede z ich, gdy wsółczyik tarcia jest określoy rzez kombiację wartości stałej i rędkości względej v w. Odowiada temu astęująca defiicja tego wsółczyika (rys..9): v w ( vw) r ex c sg( vw), (.) r gdzie: 0 ; 0, c, - arametry modelu. r c wsółczyik tarcia Rys..9. Charakterystyka zmia wsółczyika tarcia a odstawie (.)

36 36 Zgodie z (.8), model tarcia jest określoy rzez astęujące rówaie: v w M x Bx Kx P r ex c sg( vw), (.3) r które moża zaisać w ostaci astęujących rówań stau: x x x B M x K M P v x r ex M r gdzie: v w v 0 x ; x rędkość ruchu ciała. W kolejym rzykładzie aalizoway jest model (.4). Przykład.. w c sg( v w, (.4) ) Przerowadzić aalizę dyamiki układu określoego rzez rówaia (.4) dla astęujących arametrów: M =,5 kg; B = 0, Ns/m; K = 4, N/m; P f = 0; v 0 = 0,60 m/s; 0 = 0,5; c = 0,4; = 0, s/m. Przyjąć astęujące wartości oczątkowe: x(0) = 0,5; y(0) =,0. Charakterystyka wsółczyika tarcia dla odaych arametrów jest rzedstawioa a rys..9. Do symulacji ruchu rozważaego układu oracoway został rogram tarcie_b.m, który owstał w wyiku modyfikacji orzedich rogramów do aalizy zjawiska tarcia, rezetowaych w tym rozdziale. Przebiegi obu zmieych modelu (.4) oraz trajektorii x = f(x ) dla odaych arametrów, są okazae a rys..0. Rys..0. Przebiegi zmieych x (t), x (t) (a) oraz trajektoria x = f(x ) (b)

37 37 Doly rzebieg a rys..0a) okazuje ołożeie bloku M. Zmieia się oo stosowie do oślizgu względem taśmy (a rys..8 ołożeie wyzacza zmiea x). Poziome części tego rzebiegu o wartości x = v 0 = 0,6 odowiadają sytuacji, gdy omiędzy blokiem M oraz taśmociągiem brak jest oślizgu i blok orusza się z rędkością taśmociągu. Moża srawdzić, że wówczas rędkość względa v w = 0. Przyadek taki owtarza się w każdym okresie wyzaczoym rzez dyamikę rocesu. W tym czasie zwiększa się rzesuięcie x, co wzmaga aięcie srężyy K, aż do mometu, gdy zaczya się oślizg bloku M względem taśmociągu. Srawia to, że odległość x zaczya się zmiejszać, atomiast rędkość x osiąga wartości ujeme. Siła ochodząca od srężyy zmiejsza się, co odwraca tę tedecję. Odległość x rzyjmuje ajmiejszą wartość, gdy rędkość x rzechodzi rzez zero w dodatim kieruku. Proces te moża także śledzić a wykresie trajektorii fazowej (rys..0b)). Pozioma część tej trajektorii odowiada rzyadkowi braku oślizgu omiędzy blokiem M i taśmociągiem. W aalizowaym rzyadku wystęuje o także a oczątku symulacji, co jest związae z rzyjętymi wartościami oczątkowymi. Na rys.. okazae są rzebiegi badaych zmieych rocesu (zmieych stau) dla różych wartości wsółczyika, który określa stoień zmiay wsółczyika tarcia (rys..9). x, x, m Rys... Przebiegi zmieych x (t), x (t) dla różych wartości wsółczyika

38 38 Widać, że dla > 0, obraz uzyskaych rzebiegów jest odoby do tych omówioych owyżej. Warto odkreślić, że mamy do czyieia z iegasącymi oscylacjami, których częstotliwość także zależy od wartości wsółczyika. Odmiey obraz uzyskuje się dla rzyadku = 0. Na odstawie (.) widać, że wówczas wsółczyik tarcia jest stały: = c (ie zależy od względej rędkości). Wówczas zależość (.4) staje się liiowa (jeśli założyć, że v w ie zmieia zaku), co rowadzi do zaego regularego rzebiegu związaego z dyamiką układu -go rzędu (rys..). Sta te może być zakłócoy także rzy zerowej wartości wsółczyika, gdy blok M rzestaje się ślizgać względem taśmociągu. Wówczas rędkość względa v w = 0. Te rzyadek moża zaobserwować a rys.. w rzebiegu rędkości x dla = 0, w ierwszym okresie symulacji. Korzystając z obserwacji oczyioej w orzedim rzykładzie w związku ze stałą wartością wsółczyika tarcia = c (dla = 0), moża określić wartości fizyczych arametrów układu (.4), odoszących się do liiowego układu -go rzędu. Stadardowe rówaie układu oscylacyjego jest wówczas astęujące [9]: x ( t) x ( t) x( t) k u( t), (.5) gdzie: wsółczyik tłumieia drgań oscylacyjych; ulsacja drgań ietłumioych, k wzmocieie statycze; u(t) fukcja wymuszająca. Przez aalogię do (.5), model (.4) moża zaisać w astęującej formie: x ( t) x ( t) x( t) P, (.6) B K gdzie: ; ; jak w (.); P jak w (.0). KM M Wrawdzie arametry rówaia (.6) dają orawą oceę fizyczych wielkości oisujących dyamikę tylko liiowych rocesów (dla = 0), to jedak taki zais jest często stosoway także w ogólych rzyadkach, ze względu a owiązaie tych arametrów z charakterystykami rówież układów ieliiowych. Jedą z zalet modelu (.6) jest roste odwzorowaie w im rzyadków z zewętrzym wymuszeiem. Ilustruje to kolejy rzykład. Przykład.3. Przerowadzić aalizę dyamiki układu określoego rzez rówaie (.6) w rzyadku, gdy siła acisku P ma także składową zewętrzą o ostaci: P f = P z cos( z t+ z ). Przyjąć: z =,0 s, z = 0. Pozostałe arametry układu jak w rzykładzie., orócz wsółczyika = 0,0. Zbadać wływ siły zewętrzej P z a odstawowe rzebiegi rocesu. Do symulacji ruchu rozważaego układu oracoway został rogram tarcie_c.m, który owstał a bazie rogramu tarcie_b.m. Do badaia wływu siły zewętrzej P z wybrao trzy wartości amlitudy: 0,5 N,,0 N oraz 4,0 N. Niektóre uzyskae rzebiegi są okazae a rys... Do ich aalizy omoca jest iformacja o własych arametrach dyamiczych układu a odstawie (.6). Na rzykład,

39 39 okres drgań rzeczywistych rozatrywaego układu w warukach liiowych moża określić astęująco: M,5 T 3,755 s, K 4, Rys... Przebiegi rędkości x (t) (lewa stroa rysuku) oraz trajektorii fazowej x = f(x ) (rawa stroa rysuku), dla różych wartości amlitudy siły zewętrzej P z

40 40 T atomiast okres drgań rzeczywistych: 3,755 Tt 3, 756 s, 0,099 B 0, gdzie: 0, 099 K M 4,,5 Okres oscylacji zewętrzej siły jest rówy: Tz 6,83 s. z Widać stąd, że okres wymuszeia jest iemal dwa razy dłuższy od okresu drgań własych układu. Wracając do wyików z rys.. widać, że rzy stosukowo małym udziale wymuszeia zewętrzego, okres uzyskaych oscylacji jest zbliżoy do rzeczywistego okresu drgań własych układu T t (góry rysuek). W miarę wzrostu amlitudy siły P z, okres jej owtarzaia (T z ) zaczya domiować w całym rzebiegu (rysuek doly). Moża także zauważyć, że w miarę wzrostu siły zewętrzej, uwydatiają się w rzebiegach ieliiowości związae z rzyklejaiem się bloku M do taśmociągu, co jest także obserwowae w ortrecie fazowym modelu. Aaliza zjawiska tarcia jest zagadieiem bardzo ważym w techice. Należy zauważyć, że łączy się oo ie tylko z otrzebą okoaia oorów ruchu, ale w wielu rzyadkach zwiększeie oorów ruchu staje się celem takich badań (w rzyadku układów hamujących). Rozatrywae modele są stosowae do aalizy różych systemów techiczych w trasorcie, automatyce, czy mechatroice, ale także w tak zdawałoby się odległych dziedziach, jak badaie obsuwających się górotworów, czy dyamiki związaej ze zjawiskami towarzyszącymi trzęsieiu ziemi..3. Przeływ łyu I statu ascedi.4. Przeływ cieła I statu ascedi

41 4.5. Zadaia.. Podać zasadiczą różicę w modelach tarcia suchego i lekiego. Jak ta różica uwidaczia się w rzebiegach rzesuięcia?..

42

43 3. MODELOWANIE NIELINIOWYCH SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH 3.. Wrowadzeie Aaliza systemów dyamiczych ma odstawowe zaczeie w techice. Ich modelowaie jest być może zasadiczym sosobem ozawaia otaczającej as rzeczywistości i wyciągaia stąd stosowych wiosków, zarówo, co do zachodzących wokół rocesów, jak i ich wykorzystaia. Dyamika systemów jest odtwarzaa za omocą modeli zależych od czasu. W ogólym rzyadku, czas może być rerezetoway w ostaci ciągłej lub dyskretej. W zależości od tego, stosowe modele są formułowae w ostaci rówań różiczkowych (czas ciągły) lub rówań różicowych (czas dyskrety). Historia rozwoju obu tych gałęzi dyamiki jest róża, co jest główie związae z dostęością odowiedich arzędzi aalityczych i obliczeiowych. Modele tworzoe w oarciu o rówaia różiczkowe ojawiły się wraz ze sformułowaiem rzez Newtoa i Leibiza odstaw rachuku różiczkowego i całkowego, odczas, gdy dyamicze modele czasu dyskretego są wytworem zaledwie ostatich dziesięcioleci. W odiesieiu do systemów liiowych stosowae są dobrze ozae, uiwersale arzędzia aalitycze, które ozwalają badać ich stabilość oraz różorode charakterystyki w dziedziie czasu i częstotliwości. W rzeciwieństwie do tego, arzędzia badaia systemów ieliiowych są często ograiczoe do ściśle określoej gruy systemów. Poadto, w ostatim czasie zaczą uwagę zwraca się a dyamicze systemy ieliiowe, których ois wykracza oza tradycyjie stosowae odejście. Do ich zrozumieia często stosuje się róże techiki modelowaia i symulacji. Krótkiemu rzeglądowi tych właśie zagadień oświęcoy jest iiejszy rozdział. 3.. Modele dyamiczych systemów ieliiowych System dyamiczy może być rzedstawioy za omocą astęującego układu rówań (w ogólym rzyadku, rówań ieliiowych): co moża zaisać w ostaci wektorowej: x, x,, x, r, i,, dx i fi dt,, (3.) x f x(t),r, (3.)