Zapomniane twierdzenie Nyquista

Transkrypt

1 Zapomniane wierdzenie Nyquisa Bogdan Cichocki, IFT UW KMMF

2 A A Flukuacje od łac. flucuaio drgania, falowanie, nazwa wprowadzona przez Mariana Smoluchowskiego

3 Harry Nyquis ( ) inżynier elekryk, w laach pracownik laboraorium ATT (od 1934 r. lab. Bella)

4 T R W 196 r. J.B. Johnson odkrywa zjawisko szumów ermicznych na oporniku i formułuje empiryczne prawo doyczące zależności inensywności ych szumów od emperaury. O wyjaśnienie eoreyczne zjawiska prosi swojego kolegę z laboraorium ATT H. Nyquisa, kóry wywiązuje się z posawionego zadania znakomicie. Praca Nyquisa poprzedzona pracą Johnsona ukazuje się w Phys.Rev. 3 (198).

5 Druga zasada ermodynamiki ermosa T Q W niemożliwość zbudowania perpeuum mobile II rodzaju

6 H. Nyquis, Phys.Rev. 3,(198), T R 1 R E ( ) 1 E ( ) siła elekromooryczna

7 H. Nyquis, Phys.Rev. 3,(198), T R 1 R E ( ) 1 E ( ) siła elekromooryczna Z analizy równowagi globalnej niewiele można wydedukować, ale równowaga musi zachodzić w każdym przedziale częsości!! τ 1 i x = dx ( ) e, τ + τ o

8 T R 1 R E 1,, I 1, E 1, ( R 1 R ) = +,,,, ( 1 ) E I = E R + R 1 R 1 1 R E, d = E 1, d π ( R + R ) π ( R + R ) 1 1 moc wydzielona na oporniku (1) od flukuacji siły elekromoorycznej na i vice versa oporniku () w przedziale (, +d)

9 T R E R = f (, T ) R R uniwersalna funkcja i T niezależna od oporu R średnia energia jednego modu (fali sojącej) k B T, zasada ekwiparycji energii f (, T ) = k B T

10 praca elemenarna: F X siła uogólniona, przesunięcie uogólnione moc: F J, J = X srumień, prąd prawo makroskopowe: (liniowe) J ( ) = J e, F ( ) = Fe i i J = Y ( ) F admiancja

11 Przypadek ogólny T J = Y ( ) F Y ( ) 1 Z ( ) = Y ( ) = R + ix, F = k BT Re Z ( ) = J kt Y B Re ( )

12 Twierdzenie Nyquisa: + i d J (0) J ( ) e = k BT Y ( ) wersja klasyczna 0 średnia energia oscylaora o częsoliwości ħ ħ E β ( ħ ) = + exp( ħβ ) 1 wersja kwanowa

13 poziom opisu makroskopowy wierdzenie Nyquisa mezoskopowy wierdzenie o flukuacjach i dyssypacji - Callen, Welon (1951) ( )!! mikroskopowy

14 Druga zasada ermodynamiki ermosa T Q W niemożliwość zbudowania perpeuum mobile II rodzaju niezmienniczość dynamiki mikroskopowej ze względu na zmianę -

15 Równanie Langevina bez pamięci du m = γu ( ) + F ( ) d siła sochasyczna współczynnik oporu F ( ) = 0, F ( ) F ( ) =Γ δ ( ) 1 1 biały szum u ( + ) = k BT m, ekwiparycja energii Γ= γk BT,

16 Równanie Langevina bez pamięci cd. du m = γu ( ) + F ( ) d jeżeli F() nie jes białym szumem o perpeuum mobile II rodzaju goowe!! 1 u = Y ( ) F, Y ( ) = Z( )= im + γ im + γ z w. Nyquisa F = k BT γ F ( 1 ) F ( ) = k BT γδ ( 1 ) biały szum

17 Równanie Langevina bez pamięci kryerium sosowalności du ( ) m = γu ( ) + F ( ), d m aom M błąd!!! 1 τ τ B v = = ρa η ρ ca η czas relaksacji prędkości cząski Browna o gęsości ρ czas relaksacji procesów w płynie o gęsości ρ c τ ρ v 1 c 1 ruchy Browna w gazach!!! τ ρ B Lorenz (1911)

18 Sokes (1851) problem siły oporu dla oscylującej kuli F oporu ( ) = γ ( ) u ( ) d + i ˆ( γ ) = γ () e d, 0 1 i ρ c ˆ( γ ) = 6πη a 1 + α a + ( α a ), α = 9 η 1/

19 Równanie Langevina z pamięcią (wersja poprawna) du ( ) m = γ ( ) u ( ) d + F ( ), d ( ) 0 F = Jes o związek pomiędzy u() i F() i nic więcej!! Wyznaczenie ich własności wymaga odwołania się do w. Nyquisa (F-D) + 1 i Y ( ) =, uu ( ) (0) e d = k BT Y ( ) im + ˆ( γ ) 0 d m uu ( ) (0) = ( ) u ( ) u (0) d, u (0) = k BT m d 0 γ

20 Rewolucja la 60-ych XX wieku + 0 i 1 uu ( ) (0) e d = k BT Y ( ), Y ( ) = im + ˆ( γ ) przybliżenie ˆ( γ ) = γ uu ( ) (0) e γ m bez przybliżenia uu ( ) (0) 3/

21 Równanie Langevina z pamięcią (wersja naciągana) du ( ) m = γ ( ) u ( ) d + F ( ) d 0 Kubo F ( ) u (0) = 0 powołanie się na przyczynowość d m uu ( ) (0) = γ ( ) u ( ) u (0) d d w. F-D!! 0 Felderhof (1978): F ( + τ ) u ( ) = γ ( + τ ) u ( ) u (0) d, τ - 0 dowolne

22 Podsumowanie 1. Wysępowanie flukuacji nie może prowadzić do łamania II zasady ermodynamiki rozwinięcie ej konsaacji prowadzi do wierdzenia Nyquisa.. W ramach eorii liniowej odpowiedzi wierdzenie o nosi nazwę wierdzenia F-D i wyprowadzane jes po wykonaniu szeregu żmudnych przekszałceń z wykorzysaniem niezmienniczości dynamiki mikroskopowej ze względu na odbicie na. W związku z ym częso wierdzenie F-D rakowane jes jako niezby głęboki wynik manipulacji maemaycznych. 3. Tymczasem wierdzenie Nyquisa (F-D) ma charaker podsawowy i wszelkie próby jego ignorowania, ominięcia lub modyfikacji kończą się ak samo boleśnie konsrukcją perpeuum mobile II rodzaju.