Zadania z Maximy. Polecenia programu wxmaxima (z zajęć z Chemii Kwantowej A)

Transkrypt

1 Zadania z Maximy Polecenia programu wxmaxima (z zajęć z Chemii Kwantowej A) Analiza przebiegu funkcji Utwórz nowy plik Maximy Zdefiniuj funkcję f(x) = ( x 3 + x 2 + x 0,5) sin x Narysuj tę funkcję na wykresie w przedziale [ 1,2] Zapisz otrzymany obrazek na pulpicie Znajdź dowolne, różne od 0 miejsca zerowe tej funkcji w tym przedziale Wyznacz pochodną tej funkcji Wyznacz dowolny punkt krytyczny tej funkcji w przedziale [ 1,2] (miejsce zerowe pierwszej pochodnej) Policz drugą pochodną funkcji Policz wartości drugiej pochodnej w wybranym punkcie krytycznym Zapisz otrzymany plik Maximy na pulpicie Rysowanie wykresów Narysuj na jednym wykresie funkcje: cos x, cos 2x, cos 2 x, sin x cos x w przedziale [ π, π]. Dodatkowo: nazwij wykres Wykresy funkcji trygonometrycznych podpisz oś y wartości nazwij wykresy cos, cos2x, kwadrat, iloczyn Upraszczanie i przekształcanie wyrażeń Uprość wyrażenie Podaj pełną postać wyrażenia x x x x + 24 x 4 + 6x 3 + 7x 2 6x 8 Podaj przybliżenie dziesiętne liczby φ = Dysocjacja słabego kwasu I Słaby kwas HA dysocjuje według równania: (x + 1) 2 (x 3)(x + 2) HA H + + A

2 Oznaczając stężenie reagenta X jako [X] oraz początkowe stężenie kwasu jako c 0, możemy napisać równanie na stałą równowagi reakcji: K = [H+ ] 2 c 0 [H + ] Policz ph kwasu o stężeniu c 0 = 0,1 M i stałej dysocjacji pka = 4,2. W tym celu: zapisz powyższe równanie jako wyrażenie w wxmaxima, oznaczając stężenie [H + ] dowolną literą, np. H; rozwiąż równanie, wyznaczając stężenie [H + ]; oblicz ph roztworu Dysocjacja słabego kwasu II [dr Jeziorska] Narysować wykres zależności ułamków molowych różnych form kwasu fosforowego od ph. W tym celu: a) nadać etykiecie K a1 wartość 10 2,2 b) nadać etykiecie K a2 wartość 10 7,2 c) nadać etykiecie K a3 wartość 10 12,3 d) przyporządkować etykiecie H wyrażenie 10 ph e) przyporządkować etykiecie cc wyrażenie f) przyporządkować etykiecie xpo4 wyrażenie g) przyporządkować etykiecie xhpo4 wyrażenie h) przyporządkować etykiecie xh2po4 wyrażenie i) przyporządkować etykiecie xh3po4 wyrażenie j) narysować na jednym rysunku wykresy xpo4, xhpo4, xh2po4, xh3po4 dla 0 ph 14 oznaczając oś argumentów jako ph, oś wartości funkcji jako x i dodając legendę - opcja Całkowanie Policz następujące całki nieoznaczone I następujące całki oznaczone (5x 2 6x x + 5 x2) dx x2 a 3 + x 3 dx x ln x dx e x2 dx

3 1 5 xdx x xy(x y) dydx 0 0 Praca w polu grawitacyjnym [dr Gront] Obliczy pracę, jaką należy wykonać, aby wynieść małego satelitę o masie m = 2 kg z powierzchni Ziemi na orbitę h = 250 km. Siła grawitacji zadana jest wzorem: F(h) = G mm (R + h) 2 11 m3 Gdzie G to stała grawitacyjna (6,67 10 ), M to masa Ziemi (6 kg s 1024 kg), R to jej (uśredniony) promień (R = 6, km). zdefiniuj stałe G, m, M, R i h (pamiętaj o jednostkach) oblicz wartość wykonanej pracy - całki oznaczonej: Normalizacja Rozkład Gaussa opisywany jest równaniem: h W(h) = G mm (R + x) 2 dx 0 p(x) = N e x2 2σ 2 Ile wynosi stała N? (Warunkiem jest normalizacja prawdopodobieństwa całka z p(x) po całej osi rzeczywistej ma dać wartość 1). Metoda najmniejszych kwadratów [dr Jeziorska] W poniższej tabeli podano wartości stężenia c bromku t-butylu, zmierzone dla różnych wartości czasu t, podczas reakcji przemiany bromku t-butylu w alkohol t-butylowy: (CH 3 ) 3 Br + H 2 O (CH 3 ) 3 OH + HBr w rozpuszczalniku zawierającym 90% acetonu i 10% wody. t [h] c [M] 0 0,1089 4,1 0,0859 8,2 0, ,1 0, ,5 0,027 Sprawdzić, czy reakcja ta jest reakcją, pierwszego rzędu względem bromku t-butylu (CH 3 ) 3 Br. W tym celu należy:

4 a) Utworzyć macierz M o wierszach postaci [0, ln (0.1089)], [4.1, ln (0.0859)] itd., czyli zawierających wartości czasu i odpowiadające im wartości stężeń. b) Metodą najmniejszych kwadratów dopasować do danych zawartych w macierzy M funkcję y(t) = kt + B, wyznaczając stałe k i B. c) Nadać parametrowi k wartość otrzymaną metodą najmniejszych kwadratów d) Nadać parametrowi B wartość otrzymaną metodą najmniejszych kwadratów e) Zdefiniować funkcję y(t) = kt + B f) Przestawić na jednym wykresie punkty odpowiadające parom liczb (t, ln c) podanych w macierzy M i funkcję y(t), opisując oś odciętych jako t a oś rzędnych jako ln c oraz dodać legendę. Prostopadłość (=ortogonalność) Dwa wektory nazywamy prostopadłymi, gdy ich iloczyn skalarny jest równy 0. Standardowym iloczynem skalarnym wektorów w przestrzeni kartezjańskiej A = [a 1, a 2,, a n ] i B = [b 1, b 2,, b n ] nazywamy wielkość: n a k b k = a 1 b 1 + a 2 b a n b n k=1 Które z poniższych par przedstawiają wektory prostopadłe? [1, 1], [2,3] [1, 2,3], [1,2,1] [1, 2,3], [3,3,1] Jednakże pojęcie prostopadłości możemy wprowadzić również w innych zbiorach, np. w zbiorze funkcji, o ile dobrze zdefiniujemy iloczyn skalarny w takim zbiorze. Powiedzmy, że patrzymy na zbiór wielomianów na całej osi rzeczywistej i niech iloczyn skalarny wielomianów f i g zadany będzie poprzez f g = f(x) g(x) e x2 /2 dx Które pary funkcji przedstawiają zatem wielomiany ortogonalne? Macierze Zdefiniuj macierze: A = [ 3 4 8] i B = [ ] Policz: x 2 + 1; x 2 1 x 5 10x x; x 3 3x x 9 37x x x x; x Wyznaczniki macierzy A i B [funkcja determinant(.)]

5 A B 1 wykorzystaj funkcję invert(.) oraz mnożenie macierzy zapisywane zwykłą kropką np. X.Y (co będzie, gdy napiszesz A*B? Macierz transponowaną do macierzy A [wykorzystaj funkcję transpose(.)] Ślad i wielomian charakterystyczny macierzy A [wykorzystaj funkcje mat_trace(.) i charpoly(.,x)] Uprość otrzymany wielomian korzystając z funkcji expand(.) [wynik x 3 + 7x 2 3] Znajdowanie pierwiastków (inaczej niż miejsc zerowych w wielomianach) Znajdź rozwiązanie równań tg (x) = 2x + 1 w przedziale [ 1.5; 1.5] e x = x + 2 w przedziale [0;2] sin x = x 1 w przedziale [1; 2] Równania różniczkowe Rozwiąż następujące równania różniczkowe dy + 2xy = xe x2 dx x dy + y = x sin x dx dy + y tgx = sin 2x dx 2x dy dx y = 3 2 x2 Obwód LC Rozważ najpierw obwód, w którym prócz źródła prądu znajduje się kondensator o pojemności C oraz cewka o indukcyjności L. Obwód nie ma oporu (na razie). Całkowita energia elektryczna zmagazynowana w obwodzie LC jest sumą energii zmagazynowanej w polu magnetycznym cewki E B oraz w polu elektrycznym kondensatora E E : E = E B + E E = LI2 2 + q2 2C Zakładając stałość energii elektrycznej w czasie otrzymujemy: Ponieważ jednak I = dq dt, otrzymujemy: 0 = de dt di = LI dt + q dq C dt L d2 q dt C q = 0 Przestaw na jednym wykresie zależność energii elektrycznej i energii magnetycznej układu. W tym celu:

6 Zakładając indukcyjność cewki L = 1 H i pojemność kondensatora C = 1 F rozwiąż równanie różniczkowe na zależność ładunku od czasu q(t) i przypisz jej odpowiednią etykietę. Oblicz zależność natężenia prądu od czasu i przypisz mu odpowiednią etykietę. Zdefiniuj (za pomocą etykiet) odpowiednie energie magnetyczną i elektryczną Przedstaw obie zależności na wykresie Jak zmieni się wykres, jeśli zmienisz wartości L i C? Np. na L = 2 H, C = 0.5 F? Obwód RLC Rozważmy teraz obwód z cewką, kondensatorem, ale też z oporem całkowitym R. W takim przypadku zmiany ładunku w obwodzie dane są przez równanie różniczkowe: L d2 q dq + R dt2 dt + 1 C q = 0 Rozwiąż to równanie dla L = 1H, C = 1F i trzech różnych wartości oporności: a) R = 1Ω b) R = 2Ω c) R = 4Ω Przedstaw wszystkie trzy rozwiązania na jednym wykresie. Rysowanie raz jeszcze Narysuj funkcję z(x, y) = x 2 y 2 w zakresie x, y [ 2,2] W tym celu wykorzystaj funkcję plot3d: plot3d (x^2 - y^2, [x, -2, 2], [y, -2, 2]) A teraz najlepsze obróć wykres. Narysuj też funkcję ln(x 2 y 2 ) Sprawdź wynik następującej formuły (to jest jedna linia) plot3d (sin(2*theta)*cos(phi), [theta, 0, %pi],[phi, 0, 2*%pi], [transform_xy, spherical_to_xyz], [grid,30,60], [legend,false]) Zadania dla znudzonych Zdefiniuj funkcję Heaviside a Policz granicę lim 1 x 0 x Policz sumę szeregu sin x n 2 n=1 I pierwiastek z tej sumy Rozwiń w szereg Taylora wokół 0 funkcję e x Wykonaj zadanie z rysowaniem funkcji trygonometrycznych, ale zmień grubość i kolor każdej z krzywych Narysuj ślimaka Pascala Narysuj zbiór Julii:

7 Promieniowanie ciała doskonale czarnego Wstęp W 1858 r w Kilonii urodził się pewien chłopiec. Był on bardzo zdolnym dzieckiem, grał na fortepianie, organach i wiolonczeli, komponował własne utwory muzyczne. Jednak zamiast kariery muzyka wybrał los fizyka. Praca fizyka naukowca wydawała się ówcześnie wręcz bezsensowna. Nawet monachijski profesor fizyki (a więc doświadczony przez życie) Phillipp von Jolly odradzał młodemu chłopakowi zajmowanie się tą dziedziną wiedzy twierdząc, że w fizyce wszystko już zostało zrobione. Prócz może kilku małych drobnostek, takich jak np. promieniowanie ciała doskonale czarnego. Tym niemieckim chłopakiem był Max Planck, a jego największym osiągnięciem rozwiązanie problemu ciała doskonale czarnego, w którym po raz pierwszy założył, że energia fotonu jest skwantowana. Otworzyło to 25 lat później całą erę kwantów Zadanie Znaleźć rozkład ciała doskonale czarnego (jako funkcję częstości fali ν) zaproponowanego przez Plancka i narysować go na wykresie dla temperatury 100 o C, dla zakresu częstości fal od podczerwieni do nadfioletu. Znaleźć maksimum tego rozkładu, jako funkcję temperatury (zróżniczkować równanie Plancka przed podstawieniem temperatury po częstości fali i przyrównać pochodną do 0). Narysować wykres położenia maksimum w zależności od temperatury. Jaką temperaturę musiałby mieć wolframowy drucik wewnątrz żarówki, aby maksimum emisji przypadało na falę odpowiadającą światłu żółtemu? Uwagi Pamiętajcie o funkcji exp() zamiast pisać e^. Jeśli już, to %e^. Zauważcie, jak szybko musi się nagrzewać drucik wolframowy, jeśli zaraz po włączeniu żarówki mamy światło. Zauważcie, że teraz też się mówi, że fizycy do rozwiązania mają znów jeszcze kilka elementów, typu zagadkę ciemnej materii

8