Rachunek Prawdopodobieństwa 3

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Rachunek Prawdopodobieństwa 3"

Transkrypt

1 Rachunek Prawdopodobieństwa 3 Rafał Latała 3 marca 205 Poniższe notatki powstały na podstawie wykładu monograficznego z Rachunku Prawdopodobieństwa 3, prowadzonego w semestrze zimowym 204/5. Celem wykładu było przedstawienie faktów dotyczących sum niezależnych zmiennych losowych, które znajdują się w szeroko pojętym kanonie współczesnej probabilistyki, a dla których zabrakło miejsca w kursowych wykładach z rachunku prawdopodobieństwa. Główny nacisk starano się położyć na przypadek jednowymiarowy, ale pewna część wyników dotyczy sum wektorów losowych. Oczywiście w semestralnym wykładzie nie sposób zmieścić za wielu tematów. Ich wybór był po części kwestią gustu i zainteresowań badawczych prowadzącego, po części chęcią niepowielania materiału wykładów prowadzonych na Wydziale MIM UW w ostatnim czasie. Dlatego zabrakło tu tak ważnych pojęć jak rozkłady stabilne i nieskończenie podzielne, twierdzenia graniczne i obszary przyciągania, zasada niezmienniczości Donskera. Czytelników zainteresowanych tymi zagadnieniami oraz pogłębieniem wiedzy w tych tu zawartych pozostaje odesłać do monografii [3, 8]. Ze swej strony pragnę gorąco polecić znakomitą książkę Kallenberga [5]. Wyniki dotyczące sum wektorów losowych o wartościach w przestrzeni Banacha można znaleźć w monografii Ledoux i Talagranda [7], a wyczerpujące wprowadzenie w tematykę wielkich odchyleń w książce Dembo i Zeitouniego [2]. U słuchaczy wykładu zakładano dobrą znajomość dwusemestralnego, kursowego wykładu z rachunku prawdopodobieństwa. Wszystkie potrzebne fakty można znaleźć w doskonałych podręcznikach Jakubowskiego i Sztencla [4] oraz Billingsleya []. Pani Marcie Strzeleckiej i panu Krzysztofowi Ciosmakowi dziękuję za wychwycenie licznych usterek we wcześniejszych wersjach skryptu. Przepraszam za wszystkie nieścisłości i omyłki mogące nadal pojawiać się w tekście i jednocześnie zwracam się z prośbą do Czytelników, którzy zauważyli błędy lub mają jakieś inne uwagi na temat notatek o kontakt mailowy na adres rlatala@mimuw.edu.pl z podaniem wersji notatek daty do której chcą się ustosunkować.

2 Spis treści Wielkie Odchylenia 3. Podstawowe definicje. Nierówność Chernoffa Oszacowania z dołu Twierdzenie Cramera na R Twierdzenie Cramera na R d Nierówności Wykładnicze Nierówności dla ograniczonych przyrostów Nierówności typu Bernsteina Nierówność Bennetta Nierówności maksymalne Nierówności Levy ego i Levy ego-ottavianiego Nierówności dla sum zmiennych o jednakowym rozkładzie Mocne prawa wielkich liczb Prawo Wielkich Liczb Kołmogorowa Prawo Wielkich Liczb Marcinkiewicza-Zygmunda Przypadek niejednakowych rozkładów Prawo Iterowanego Logarytmu Przypadek jednowymiarowy Zbiór graniczny Przypadek wektorowy Błądzenia losowe Twierdzenie Hewitta-Savage a. Mocna własność Markowa Błądzenia chwilowe i powracające Punkty drabinowe. Faktoryzacja Wienera-Hopfa Elementy teorii odnowienia Stacjonarne procesy odnowienia Twierdzenie odnowienia Równanie odnowienia. Asymptotyka rozwiązania Rozkłady arytmetyczne

3 Wielkie Odchylenia W tej części, jeśli nie napiszemy inaczej będziemy zakładać, że X, X, X 2,... jest ciągiem niezależnych zmiennych losowym o jednakowym rozkładzie. Definiujemy S n := X + X X n, Sn := S n n. Ze słabego prawa wielkich liczb wiemy, że P S n EX > ε 0 przy n. Możemy zapytać jak szybka jest zbieżność. Z nierówności Czebyszewa dostajemy P S n EX > ε VarX nε 2. Jednak oszacowanie to jest dalekie od optymalnego dla porządnych zmiennych X. Przykładowo, gdy X N 0,, to S n N 0, /n X/ n, zatem wykorzystując oszacowanie z poniżej sformułowanego Faktu., Fakt.. Dla dowolnego t > 0, P S n ε = 2PX ε n t t 3 e t2 /2 t 2 2πnε exp nε 2 /2. e s2 /2 ds t e t2 /2. Dowód. Mamy s exp s 2 /2 = +s 2 exp s 2 /2 oraz s s 3 exp s 2 /2 = 3s 4 exp s 2 /2, stąd t t 3 e t2 /2 = t 3s 4 e s2 /2 ds t t e s2 /2 ds + s 2 e s2 /2 ds = t e t2 /2. Nasuwają się zatem następujące pytania: Czy oszacowanie P S n EX > ε rzędu exp nfε zachodzi dla szerszej klasy zmiennych losowych? 2 Czy istnieje granica lim n log P S n A dla ogólnej klasy zmiennych X i zbiorów A? Na te pytania poszukamy odpowiedzi w kolejnych sekcjach. 3

4 . Podstawowe definicje. Nierówność Chernoffa Definicja.2. Funkcję tworzącą momenty transformatę Laplace a zmiennej X definiujemy wzorem M X t := Ee tx, t R. Przykłady. a Dla X N a, σ 2, M X t = expat + σ 2 t 2 /2. b Dla X = g 3, gdzie g N 0,, M X t = dla t 0 i M X 0 =. Zachodzi oczywisty fakt. Fakt.3. Jeśli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, to M X+Y szczególności, M Sn = M X n. Łatwe szacowanie z nierówności Czebyszewa daje dla s > 0, P S n s = PtS n stn e snt Ee tsn = e snt M X t n = exp nst log M X t. = M X M Y. W Biorąc infimum prawej strony po wszystkich t > 0 dostajemy P S n s exp n supst log M X t. t 0 Motywuje to następującą definicję Definicja.4. Dla zmiennej losowej X określamy oraz Λ X t := log M X t, D ΛX := {t R: Λ X t < } Λ Xs := sup{st Λ X t: t R}. Przykłady a Dla X N a, σ 2, Λ X t = at + σ 2 t 2 /2, D ΛX = R oraz Λ X t = t a2 /2σ 2. b Dla X = g 3, g N 0,, D ΛX = {0} oraz Λ X 0. c Dla X Binn, p, D ΛX = R, Λ X t = n logpe t + p oraz Λ Xt = t log t n t np + n t log n p n log p dla t = n, dla t 0, n, n log p dla t = 0, dla t / [0, n]. d Dla X Poissλ, D ΛX = R, Λ X t = λe t oraz t logt/λ t + λ dla t > 0, Λ Xt = λ dla t = 0, dla t < 0. 4

5 e Dla X Expλ, D ΛX =, λ, Λ X t = logλ/λ t dla t < λ oraz { Λ λt logλt dla t > 0, Xt = dla t 0. Λ X t = λt logλt. Lemat.5. Funkcje Λ X : R, ] oraz Λ X : R [0, ] są wypukłe. Dowód. Wypukłość funkcji Λ X wynika z nierówności Höldera. Funkcja Λ X jest wypukła jako supremum funkcji wypukłych liniowych. Ponadto Λ X t 0t Λ X0 = 0. Przed sformułowaniem kolejnego lematu przypomnijmy konwencję, że wartość oczekiwana X da się określić za pomocą wzoru EX := EX + EX, jeśli tylko EX + < lub EX <. Lemat.6. i Jeśli D ΛX = {0}, to Λ X 0. Jeśli Λ Xt < dla pewnego t > 0, to EX + <, a jeśli Λ X t < dla pewnego t < 0, to EX <. ii Jeśli EX + < lub EX <, to st Λ X t 0 dla s EX, t 0 lub s EX, t 0. W szczególności, Λ Xs = sup{st Λ X t: t 0} dla s EX 2 oraz Λ Xs = sup{st Λ X t: t 0} dla s EX. iii Jeśli E X <, to Λ X EX = 0. Ponadto, dla dowolnego X, inf t Λ X t = 0. Dowód. i Dla t > 0 mamy e tx tx +, więc skończoność Ee tx implikuje EX + <. Podobnie dla t < 0, e tx > tx, a zatem EX <, jeśli Ee tx <. ii Z nierówności Jensena, Λ X t = log Ee tx E log e tx = tex, zatem st Λ X t s EXt 0 dla s EX, t 0 lub s EX, t 0. iii Jeśli E X <, to z udowodnionego wyżej oszacowania Λ X t tex i 0 Λ XEX suptex tex = 0. t Przypadek E X = podzielimy na trzy podprzypadki: a EX + = EX =. Wówczas D ΛX = {0} i Λ X 0. b EX + < = EX, tzn. EX =. Dla s R dostajemy ostatnia równość wynika z 2 log PX s inf log E exptx s = inf Λ Xt ts = Λ Xs, t 0 t 0 czyli 0 Λ X s log PX s 0 przy s. c EX + = > EX. Jak w b dowodzimy, że Λ X s 0 przy s. 5

6 Twierdzenie.7 Nierówność Chernoffa. Jeśli EX + < lub EX <, to P S n s exp nλ Xs dla s EX oraz P S n s exp nλ Xs dla s EX. Dowód. Pierwsza nierówność wynika z i Lematu.6 ii. Drugą nierówność dowodzimy analogicznie. Przykłady. a Dla X N a, σ 2 nierówność Chernoffa daje P S n t exp nt a2 2σ 2 dla t a oraz P S n t exp nt a2 2σ 2 dla t a. W rzeczywistości mamy S n N a, σ 2 /n a + σg/ n, gdzie g N 0,, zatem np dla t > a P S n σ nt a2 n t = P g t a exp σ 2πnt a 2σ 2. b Dla X = g 3, g N 0,, nierówność Chernoffa daje tylko trywialne oszacowanie P S n t. c Jeśli PX = = p = PX = 0, to S n Binn, p i Twierdzenie.7 implikuje klasyczne oszacowanie Chernoffa dla ogonów rozkładu dwumianowego:.2 Oszacowania z dołu p nt p n t PBinn, p nt dla t p. t t Widzieliśmy, że bez dodatkowych założeń nie możemy liczyć na odwrócenie nierówności Chernoffa. Daje się to jednak w pewnym stopniu zrobić przy założeniach o skończoności funkcji tworzącej momenty. Dlatego w tej części będziemy zazwyczaj dodatkowo zakładać, że Ee tx < dla wszystkich t R. 3 Lemat.8. Przy założeniu 3 funkcja M X przedłuża się do funkcji analitycznej na całej płaszczyźnie zespolonej. Ponadto M n X t = EXn e tx dla n =, 2,.... 6

7 Dowód. Funkcja fz := E expzx jest dobrze określona dla z C, bo E expzx = E exprezx <. Oczywiście f jest przedłużeniem M X, nietrudno też wykazać korzystając z twierdzenia Lebesgue a o zbiezności zmajoryzowanej, że f jest różniczkowalna i f z = EX expzx. Podobnie indukcyjnie dowodzimy, że f n z = EX n expzx. Definicja.9. Dla t R definiujemy miarę probabilistyczną µ t na R wzorem dµ t x = M X t e tx dµ X x, tzn. µ t A = M X t EetX {X A}. Uwaga.0. Dla dowolnej funkcji f całkowalnej względem µ t mamy E µt f := fx dµ t x = M X t EfXetX. Lemat.. Miara probabilistyczna µ t spełnia warunki E µt x = xdµ t x = Λ Xt, Var µt x = R R R x 2 dµ t x R 2 xdµ t x = Λ Xt. Dowód. Zauważmy, że z Lematu.8, M n X t = M XtE µt x n, więc oraz Λ Xt = M X t M Xt = E µt x Λ Xt = M X t M Xt M X t 2 M Xt 2 = E µt x 2 E µt x 2 = Var µt x. Określmy α := essinfx = inf{t: PX < t > 0}, β := esssupx = sup{t: PX > t > 0}. Oczywiście PX [α, β] =. Lemat.2. Dla dowolnej zmiennej losowej X, Λ Xt = dla t / [α, β], PX = α = exp Λ Xα, jeśli α >, PX = β = exp Λ Xβ, jeśli β <. 7

8 Dowód. Dla t 0 mamy PtX αt =, stąd Λ X t αt i dla s < α, Λ Xs sup{st αt: t 0} =. Podobnie, dla t 0, PtX βt =, zatem Λ X t βt i dla s > β, Λ Xs sup{st βt: t 0} =. Dla dowolnego t R, Λ X t loge tβ PX = β, czyli PX = β inf t exp tβ + Λ X t = exp suptβ Λ X t = exp Λ Xβ. t Z drugiej strony, na mocy twierdzenia Lebesgue a o zbieżności zmajoryzowanej, exp Λ Xβ expλ X t tβ = E exptx β PX = β dla t. Zatem PX = β = exp Λ X β. Tożsamość PX = α = exp Λ X α dowodzimy analogicznie. Lemat.3. Załóżmy, że zachodzi warunek 3 oraz α < β. Wówczas Λ X jest funkcją ściśle rosnącą z R na α, β. Przekształcenie Θ := Λ X : α, β R spełnia Λ Xs = sθs Λ X Θs dla s α, β. Dowód. Miara µ X jest niezdegenerowana, tzn. µ X {x} dla x R, więc miary µ t też są niezdegenerowane. Zatem Var µt x > 0 i z Lematu., Λ X t > 0 czyli Λ X jest ściśle rosnąca i funkcja Θ = Λ X jest dobrze określona na Λ X R. Oczywiście dla dowolnego t, β Λ α Xt = xetx dµ X x β α, β, α etx dµ X x więc Λ X R α, β. Wykażemy, że zachodzi też odwrotna inkluzja. Ustalmy t [EX, β oraz u t, β. Dla dowolnego s 0, zatem Λ X s loge su PX u = su + log PX u, st Λ X s st u log PX u < 0 dla s > log PX u. u t Z Lematu.6 ii, st Λ X s 0 dla s 0, zatem supremum funkcji fs = st Λ X s jest osiągane w pewnym punkcie s 0 [0, u t log PX u]. W szczególności f s 0 = 0 czyli t = Λ X s 0. Wykazaliśmy więc, że Λ R [EX, β oraz Λ X t = tθt Λ XΘt dla t [EX, β. Przypadek t α, EX] rozważamy analogicznie. 8

9 Twierdzenie.4. Załóżmy, że zachodzi 3. Wówczas dla a α, β oraz ε > 0, gdzie Θ := Λ X. P S n a < ε Λ X Θa nε 2 exp nλ Xa + ε Θa, Dowód. Zdefiniujmy t := Θa, wówczas z Lematu.3, Λ X a = at Λ Xt. Niech Y, Y,..., Y n będą niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie zadanym przez miarę probabilistyczną µ t. Na mocy Lematu., EY = Λ X t = a i VarY = Λ X t. Zauważmy, że dla dowolnej nieujemnej funkcji mierzalnej f na R n, ] EfY,..., Y n = M X t n E [fx,..., X n e tsn. Zatem n P Y i a n < ε = M X t n Ee tsn { Sn a <ε} M X t n e nta+ t ε P S n a < ε. Z nierówności Czebyszewa n P Y i a n ε zatem VarY nε 2 = Λ X t nε 2, P S n n a < ε P Y i a n < ε exp nta Λ X t + t ε Λ X t nε 2 exp nλ Xa + t ε..3 Twierdzenie Cramera na R Jesteśmy wreszcie gotowi do sformułowania twierdzenia o wielkich odchyleniach w przypadku jednowymiarowym. W odróżnieniu od poprzedniego paragrafu nie stawiamy żadnych wstępnych założeń o rozkładzie X. Twierdzenie.5 Prawo Wielkich Odchyleń Cramera. i Dla dowolnego zbioru domkniętego F R, lim sup n log P S n F inf x F Λ Xx. 9

10 ii Dla dowolnego zbioru otwartego G R, lim inf iii Dla dowolnego zbioru Γ BR, n log P S n G inf x G Λ Xx. inf x intγ Λ Xx lim inf n log P S n Γ lim sup n log P S n Γ inf x clγ Λ Xx. Dowód. i Niech I F := inf x F Λ X x. Jeśli I F = 0, to teza jest oczywista, możemy zatem zakładać, że I F > 0. Wtedy D ΛX {0}, czyli EX + < lub EX <. Rozważymy trzy przypadki. a E X <. Ponieważ Λ X EX = 0 więc EX / F. Niech a, b będzie składową R \ F zawierającą EX. Jeśli a >, to a F, Λ X a I F, podobnie jeśli b <, to b F, Λ X b I F. Mamy zatem z nierówności Chernoffa, P S n F P S n a + P S n b e nλ X a + e nλ X b 2e ni F, skąd n log P S n F I F + n log 2 I F przy n. b EX =, wówczas Λ X na mocy 2 jest niemalejąca, ponadto Λ X x 0 przy x. Zatem warunek I F > 0 implikuje b = inf F >. Z domkniętości b F, czyli Λ X b I F oraz P S n F P S n b e nλ X b e ni F. c EX =. Rozumujemy analogicznie jak w b. ii Musimy wykazać, że warunek x G implikuje lim inf n log P S n G Λ X x. Zmienna Y = X x spełnia Λ Y t = Λ X t xt, Λ Y s = Λ X s + x. Zatem rozpatrując X x i G x zamiast X i G widzimy, że możemy zakładać, iż x = 0. Z otwartości G, mamy δ, δ G dla pewnego δ > 0. Wystarczy zatem wykazać lim inf n log P S n δ, δ Λ X0 = inf t R Λ Xt. 4 Dowód 4 rozbijemy na kilka przypadków. Przypadek I. X 0 p.n. Mamy wówczas z twierdzenia Lebesgue a o zbieżności zmajoryzowanej, inf t Λ X t lim Λ Xt = log lim t t EetX = log E lim t etx = log PX = 0. Ponadto P S n δ, δ P S n = 0 = PX = 0 n i natychmiast dostajemy 4. Przypadek II. X 0 p.n. Dowodzimy w taki sam sposób jak w przypadku I. 0

11 Przypadek III. essinfx < 0 < esssupx oraz D ΛX = R. Z Twierdzenia.4 z a = 0 dostajemy dla 0 < ε < δ, lim inf n log P S n δ, δ lim inf n log P S n ε Λ X0 ε Θ0. Biorąc ε 0+ dostajemy 4. Przypadek IV. essinfx < 0 < esssupx i X dowolne. Wybierzmy M > 0 na tyle duże by PX [ M, 0, PX 0, M] > 0. Niech Y będzie miało taki rozkład jak zmienna X pod warunkiem X M, tzn. PY A = PX A, X M/P X M, zaś Y, Y 2,... będą niezależnymi kopiami Y oraz T n = Y Y n /n. Zauważmy, że dla dowolnej funkcji mierzalnej f : R n [0, mamy W szczególności, EfX,..., X n EfX,..., X n { X M,..., X n M} = P X M n EfY,..., Y n. P S n δ, δ P X M n P T n δ, δ. Zmienna Y jest ograniczona, więc na mocy przypadku III, lim inf n log P S n δ, δ log P X M + lim inf log P X M + inf t n log P T n δ, δ Λ Y t = inf t Λ M t, gdzie Λ M t := log Ee tx { X M}. Zauważmy, że funkcja Λ M rośnie po M, więc inf t Λ M t zbiega przy M do pewnego a. Wykazaliśmy, że lim inf n log P S n δ, δ a, więc wystarczy wykazać, że a inf t Λ X t. Rozpatrzmy zbiory K M := {t: Λ M t a}. Funkcja Λ M t zbiega do nieskończoności przy t, więc zbiory K M tworzą zstępującą rodzinę zbiorów zwartych, ponadto są one niepuste, bo a inf Λ M = Λ M t M dla pewnego t M. Istnieje więc punkt t 0 należący do przecięcia wszystkich K M, ale wtedy Λ M t 0 a dla wszystkich M czyli, z twierdzenia Lebesgue a o zbieżności monotonicznej, Λ X t 0 = lim M Λ M t 0 a. Punkt iii wynika z i i ii.

12 Uwaga.6. Analiza pierwszej części dowodu pokazuje, że wykazaliśmy P S n Γ 2 exp n inf x clγ Λ Xx.4 Twierdzenie Cramera na R d dla dowolnego Γ BR. W tej części będziemy zakładać, że X, X,... są niezależnymi d-wymiarowymi wektorami losowymi o jednakowym rozkładzie. Definicja.7. Dla d-wymiarowego wektora losowego X określamy dla t R d, M X t := Ee t,x, Λ X t := log M X t oraz dla s R d, Λ Xs := sup{ s, t Λ X t: t R d }. S j n Współrzędne wektorów X odp. X i będziemy oznaczać X j odp. X j i i definiujemy := n n X j i. Będziemy zakładać, że Lemat.8. Przy założeniu warunku 5, i Funkcja Λ X : R d R jest wypukła, klasy C oraz M X t < dla wszystkich t R d. 5 t i M X t = EX i e t,x. ii Funkcja Λ X : Rd [0, ] jest wypukła. iii Jeśli s = Λ X t dla pewnych s, t R d, to Λ X s = t, s Λt. Dowód. i Wypukłość Λ X wynika z nierówności Höldera jak w przypadku jednowymiarowym. By udowodnić gładkość, indukcyjnie po α = α α d, dowodzimy, że dla α Z d +, α t α α d t α M d X t = EX α X d α d e t,x. d ii Funkcja Λ X jest wypukła jako supremum funkcji liniowych. Nieujemność Λ X wynika z szacowania Λ X t 0, t Λ X0 = 0. iii Ustalmy u R d i określmy gh := h u t, s Λ X t + hu t + t, s, h R. 2

13 Wypukłość Λ X implikuje wklęsłość g, zatem gh g0 g g0 lim = u t, s u t, Λ X t = 0. h 0+ h Dostaliśmy więc g g0, czyli u, s Λ X u t, s Λ X t, co po wzięciu supremum po u R d daje tezę. Twierdzenie.9. Załóżmy, że M X t < dla wszystkich t R d. Wówczas i Dla dowolnego zbioru domkniętego F R d, lim sup ii Dla dowolnego zbioru otwartego G R d, lim inf iii Dla dowolnego zbioru Γ BR d, n log P S n F inf x F Λ Xx. n log P S n G inf x G Λ Xx. inf x intγ Λ Xx lim inf n log P S n Γ lim sup n log P S n Γ inf x clγ Λ Xx. Dowód. i Zauważmy, że 2δ inf s F Λ X s M inf s F Λ X s przy δ 0+, M, więc wystarczy iż wykażemy lim sup n log P S n F 2δ inf s F Λ Xs M dla δ > 0, M <. 6 Ustalmy δ > 0 i M <, dowód 6 podzielimy na dwa kroki. Krok I. F R d zwarty. Dla s F niech t s R d będzie takie, że s, t s Λ X t s Λ Xs M δ oraz r s > 0 takie, że r s t s δ. Przez Bs, r będziemy oznaczać kulę otwartą o środku w s i promieniu r. Zauważmy, że dla dowolnego zbioru Γ BR d, P S n Γ = E { Sn Γ} t, E exp S n inf t, x. x Γ Ponadto inf t s, x = t s, s + inf t s, x s = t s, s r s t s t s, s δ. x Bs,r s x Bs,r s 3

14 Zatem P S n Bs, r s E expn t s, S n exp inf n t s, x x Bs,r s expnλ X t s t s, s + δ expn2δ Λ Xs M. Zbiór F jest zwarty więc istnieje skończony podzbiór S F taki, że F s S Bs, r s i wówczas P S n F P S n Bs, r s expn2δ Λ Xs M, s S s S zatem lim sup n log P S n F 2δ min s S Λ Xs M 2δ inf s F Λ Xs M. Krok II. F dowolny domknięty. Dla ρ > 0 niech K ρ := [ ρ, ρ] d. Jeśli ρ > max j E X j, to z nierówności Chernoffa, P S d d j n / K ρ P S n > ρ exp nλ X ρ + exp nλ j X ρ. j j= j= Ponieważ Λ s przy s, więc dla odpowiednio dużego ρ, P S X j n exp nm, czyli / K ρ P S n F P S n F K ρ + P S n / K ρ P S n F K ρ + exp nm. Zbiór F K ρ jest zwarty, więc na mocy Kroku I, lim sup n log P S n F K ρ 2δ inf Λ s F K ρ Xs M, a ponieważ 2δ inf s F Kρ Λ X s M > M, więc lim sup n log P S n F 2δ inf Λ s F K ρ Xs M 2δ inf s F Λ Xs M. ii Wystarczy iż wykażemy, że lim inf n log P S n G Λ X s dla dowolnego s G. Ponieważ Bs, δ G dla pewnego δ > 0, więc musimy jedynie wykazać, że lim inf Dowód przeprowadzimy w dwóch krokach. n log P S n Bs, δ Λ Xs dla δ > 0. 4

15 Krok I. s = Λ X t dla pewnego t R d. Na mocy Lematu.8 mamy wówczas Λ X s = t, s Λ Xt. Określmy miarę probabilistyczną µ t na R d wzorem dµ t x := M X t e x,t dµ X x, czyli dµ X x = exp x, t + Λ X tdµ t x. Niech Y, Y, Y 2,... będą niezależnymi wektorami losowymi o rozkładzie µ t, T n := Y Y n oraz T n := T n /n. Dla dowolnej nieujemnej funkcji mierzalnej f na R d mamy zatem EfX,..., X n = expnλ X tefy,..., Y n exp t, T n, Mamy jednak P S n Bs, δ = expnλ X te exp t, T n { Tn Bs,δ} EY = czyli ze słabego prawa wielkich liczb, lim inf = exp n t, s Λ X te exp n t, T n s { Tn s <δ} exp nλ Xs nδ t P T n s < δ. M X t EXe t,x = M Xt = Λ X t = s, M X t n log P S n Bs, δ Λ Xs δ t + lim inf n log P T n s < δ = Λ Xs δ t. Z monotoniczności δ P S n Bs, δ otrzymujemy lim inf n log P S n Bs, δ lim lim inf δ 0+ n log P S n Bs, δ Λ Xs. Krok II. X dowolna zmienna spełniająca 5. Niech G, G, G 2,... oznaczają niezależne kanoniczne d-wymiarowe wektory gaussowskie tzn. współrzędne G i są niezależnymi zmiennymi N 0,, niezależne od X, X, X 2,.... Ustalmy M > 0 i zdefinujmy Y := X + M G, Y i := X i + M G i, R n := G +... G n n M Wówczas M Y t = M X tm G t/ M = M X t exp t 2 /2M, czyli Λ Y t = Λ X t + t 2 /2M Λ X t oraz Λ Y s Λ X s dla wszystkich s. Z nierówności Jensena, Λ Xt = log E exp t, X E t, X, czyli Λ Y t t 2 /2M + t, EX oraz s, t Λ Y t t 2 /2M + t, s EX przy t, 5

16 a więc funkcja t s, t Λ Y t osiąga swoje supremum. Zatem istnieje t takie, że s = Λ Y t. Mamy Y +... Y n = n S n + R n, na mocy przypadku I otrzymujemy lim inf n log P S n + R n Bs, δ/2 Λ Y s Λ Xs. Zmienna R n ma ten sam rozkład, co G/ nm, więc P R n δ = P G nm δ 2 2 d j= P G j nm δ 2d exp nmδ2 2d 8d 2, gdzie ostatnie szacowanie wynika stąd, że G j N 0, dla j d. Jeśli przyjmiemy M := 8δ 2 d 2 Λ X s +, to dostaniemy P R n δ 2d exp nλ Xs P S n + R n B s, δ 2 dla dostatecznie dużych n. Zatem dla dużych n, czyli lim inf P S n Bs, δ P S n + R n B 2 P S n + R n B s, δ 2 s, δ 2 P, R n δ 2 n log P S n Bs, δ lim inf n log P S n + R n Bs, δ/2 Λ Xs. iii jest oczywiście natychmiastową konsekwencją i i ii. Uwaga.20. Twierdzenie.9 zachodzi przy słabszym założeniu, że M X jest skończone w pewnym otoczeniu zera. W przeciwieństwie do przypadku jednowymiarowego, nie jest ono jednak prawdziwe dla dowolnych zmiennych X, bez dodatkowych założeń o skończoności M X. 6

17 2 Nierówności Wykładnicze. Nierówność Chernoffa pokazuje, że jeśli S = n X i oraz zmienne X i są niezależne o jednakowym rozkładzie, to PS s exp nλ X s/n. Jednak stosowanie tej nierówności w praktyce natrafia na pewne ograniczenia: i Nie zawsze da się dokładnie obliczyć Λ X, a co za tym idzie Λ X ; ii Założenie o jednakowym rozkładzie X i bywa często niewygodne. By te trudności obejść zauważmy, że dowód nierówności Chernoffa pokazuje, że PS s exp sup t>0 st Λ S t dla s > 0. Ponadto, jeśli będziemy umieli oszacować dla wszystkich i, Λ Xi z góry, to da nam to górne ograniczenie dla Λ S = n Λ Xi i za pośrednictwem powyższej nierówności ograniczymy też PS s. Metodę tę bedziemy stosować w kolejnych paragrafach. Szacowania PS s z dołu są z reguły dużo trudniejsze, co już wcześniej widzieliśmy przy próbie odwrócenia nierówności Chernoffa. 2. Nierówności dla ograniczonych przyrostów W tym paragrafie pokażemy jakie szacowania można wyprowadzić, jeśli potrafimy oszacować poszczególne zmienne z góry. Lemat 2.. Załóżmy, że X jest ograniczoną zmienną losową o średniej zero oraz X d <. Wówczas M X t exp 2 d2 t 2 dla wszystkich t. Dowód. Ponieważ Λ X t = Λ X/d dt możemy zakładać, że d =. Dla x mamy x +x 2 t + 2 t = tx, więc z wypukłości expx, e tx x 2 Zatem, jeśli X, to e t + + x e t = cosht + x sinht dla x. 2 E exptx cosht + sinhtex = cosht expt 2 /2. Twierdzenie 2.2. Załóżmy, że X i są ograniczonymi, niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej zero oraz X i d i <. Wówczas n t 2 n E exp t X i exp d 2 i 2 7 dla t R

18 oraz n s 2 P X i s exp 2 n d 2 i dla s 0. Dowód. Pierwsza nierówność wynika natychmiast z Lematu 2.. By uzyskać drugą szacujemy dla S = n X i, PS s exp supst Λ S t exp sup st t2 n d 2 i t>0 t>0 2 = exp s 2 2 n d 2 i. Wniosek 2.3. Załóżmy, że ε i jest ciągiem Bernouliego, tzn. ciągiem niezależnych zmiennych losowych takim, że Pε i = ± = /2. Wówczas dla dowolnego ciągu a i spełniającego i a2 i < zachodzi P a i ε i s exp s2 2. i a2 i i Dowód. Prosty argument graniczny pokazuje, że wystarczy rozważać przypadek skończony, który jest natychmiastowym wnioskiem z Twierdzenia 2.2. Uwaga 2.4. Można udowodnić znacznie ogólniejsze twierdzenie nierówność Azumy. Dla dowolnego martyngału M k, F k n k= takiego, że M k M k d k < zachodzi PM n M 0 s exp 2.2 Nierówności typu Bernsteina s 2 2 n d 2 i dla s 0. Nierówności z poprzedniego paragrafu są mało precyzyjne działają dobrze tylko, gdy wariancja zmiennych jest zbliżona do kwadratu ich normy supremum. Jest to związane z tym, że w założeniach występowała tylko norma L. W tym paragrafie pokażemy jak można jednocześnie wykorzystywać znajomość wariancji i normy supremum. Lemat 2.5. Załóżmy, że X jest zmienną losową o średniej zero taką, że istnieją σ 2, M < spełniające warunek E X k k! 2 σ2 M k 2 dla k = 2, 3,.... Wówczas σ 2 t 2 Λ X t dla M t <. 2 M t 8

19 Dowód. Liczymy M X t = k=0 = + t k k! EXk + σ 2 t 2 exp 2 M t t k 2 σ2 M k 2 = + t2 σ 2 t M k 2 2 k=2 k=2 σ 2 t 2. 2 M t Twierdzenie 2.6 Nierówność Bernsteina. Załóżmy, że X i są niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej zero, zaś σi 2, M < są takie, że Wówczas oraz dla s > 0, E X i k k! 2 σ2 i M k 2 dla i, k 2. 7 n t 2 n E exp t X i exp σ 2 i 2 M t dla M t < n s 2 P X i s exp 2 n σi 2 + 2Ms, n s 2 P X i s 2 exp 2 n σi 2 + 2Ms. Dowód. Niech S := n X i, σ 2 := n σi 2, wówczas Λ S = i Λ X i i pierwsze oszacowanie wynika z Lematu 2.5. Dalej szacujemy t 2 σ 2 PS s exp supst Λ S t exp sup st t>0 0<t<M 2 Mt exp s 2 2σ 2 + 2Ms, gdzie ostatnią nierówność dostajemy przyjmując t = sσ 2 +Ms. Ponieważ zmienne X i spełniają te same założenia co X i, więc dostajemy dla s < 0, PS s = P S s exp s 2 2σ 2 + 2Ms i z tożsamości P S s = PS s + PS s wynika ostatnia część tezy. 9

20 Uwaga 2.7. Na mocy centralnego twierdzenia granicznego oraz Faktu. nie możemy się spodziewać lepszego oszacowania niż exp s 2 /2σ 2. Ponadto zmienne X i o rozkładzie symetrycznym wykładniczym z parametrem tzn. zmienne z gęstością exp x /2 spełniają E X i k = k!, czyli dla takich zmiennych zachodzą założenia Twierdzenia 2.6 z σ 2 i = 2, M =. Pokazuje to, że nie możemy uzyskać szacowania lepszego niż exp s/m przy s. Wniosek 2.8. Załóżmy, że X i są ograniczonymi, niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej zero, wówczas dla s > 0, n s 2 P X i s exp 2σ 2, + 2as/3 gdzie σ 2 = Var n X i = n EX 2 i oraz a = max i X i. Dowód. Mamy dla k 2, E X i k a k 2 EX 2 i k! 2 a 3 k 2 EX 2 i, zatem warunek 7 jest spełniony z M = a/3 oraz σ i = EX 2 i. Uwaga 2.9. Nierówność Bernsteina pokazuje, iż jeśli s max i X i 3ε i EX2 i, to n s 2 P X i s exp 2 + εσ 2. Kolejny wynik pokazuje jak odwrócić szacowanie z powyższej uwagi. Twierdzenie 2.0 Odwrotna nierówność wykładnicza Kołmogorowa. Dla ε > 0 istnieją stałe Kε i δε takie, że dla ograniczonych, niezależnych zmiennych losowych X i o średniej zero, s > 0 oraz σ 2 := Var n X i zachodzi oszacowanie o ile n P X i s exp + ε s2 2σ 2, s max X i δεσ 2 oraz s Kεσ. i Dowód. Ustalmy ε > 0 i niech u = uε będzie taką liczbą dodatnią dla której Φu 2 exp + εu 2 /2. Wybranie u jest możliwe na podstawie np. oszacowań Faktu.. 20

21 Krok I. Istnieje stała γ = γε taka, że jeśli ograniczone niezależne zmienne losowe X i o sredniej zero spełniają k /2 max X i γε EXi 2, i k to k k /2 P X i u EXi 2 2 Φu exp + ε u2. 2 Oczywiście wystarczy rozpatrywać przypadek k EXi 2 =. Załóżmy, że takie γ nie istnieje. Wówczas dla każdego n istnieją niezależne zmienne losowe X n,, X n,2,..., X n,kn o średniej zero takie, że X n,i n, k n EXn,i 2 = oraz P k n X n,i u < Φu. 2 Łatwo sprawdzić, że układ trójkątny X n,i n,i spełnia warunek Lindeberga, więc na mocy centralnego twierdzenia granicznego, lim P k n X n,i u = Φu, co daje sprzeczność z poprzednią nierównością. Zatem teza Kroku I została wykazana. Krok II. Dowód twierdzenia. Bez straty ogólności możemy zakładać, że n EXi 2 =. Zdefiniujmy n 0 = 0 oraz indukcyjnie { m n j := inf m: EXi 2 u 2 } s 2. + ε i=n j + Konstrukcję przerywamy na takim n k dla którego n i=n k + EX 2 i < wtedy oczywiście k u 2 s 2 + ε. Określmy u 2 s 2 + ε, oraz S j := n j i=n j + S k := X i dla j =,..., k n i=n k + X i. 2

22 Wówczas S S k = n X i oraz VarS j u 2 /s 2 + ε dla j k. Ponadto max X i s δε γvars j /2, i jeśli δε uγ + ε /4. Zatem na mocy kroku I, oraz P S j u 2 s 4 P S j uvars j /2 exp + ε u 2 P S k s 4 + ε k j= P S j exp + εs 2 /2. Oszacujmy k z dołu. Mamy dla j =,..., k, co daje czyli n j i=n j + EX 2 i n k n j n = EXi 2 = EXi 2 + j= i=n j + i=n k + u 2 s 4 exp + ε + ε u2. 2 k + ε u2 2 u 2 s 2 + ε + EX2 n j u 2 s 2 + δ 2 ε, + ε EXi 2 k u 2 s 2 + δ 2 ε + + ε k s2 + ε u 2 u 2 + s2 + εδ 2 4 ε u 2 + ε, o ile δε jest odpowiednio małe, a Kε odpowiednio duże. I wtedy u 2 PS s P S k s 4 exp + ε s2. + ε 2 u 2 s 2 + ε, Uwaga 2.. Nierówność z powyższego twierdzenia można też równoważnie sformułować jako istnienie stałych δ ε > 0 i K ε < takich, że o ile n P X i s K ε exp + ε s2 2σ 2, maxs, σ max X δ εσ 2. i 22

23 2.3 Nierówność Bennetta Szacowanie podane we Wniosku 2.8 jest, z uwagi na centralne twierdzenie graniczne, bliskie optymalnego dla s małych. Jednak dla s dużych można je poprawić o czynnik logarytmiczy. Lemat 2.2. Załóżmy, że X jest zmienną losową o średniej zero, wariancji σ 2 X i a. Wówczas Dowód. Liczymy Λ X t σ2 a 2 eta ta dla t 0. Ee tx t k EX k = + tex + + σ 2 t k a k 2 k! k! k=2 k=2 i teza wynika natychmiast z nierówności ln + x x. = + σ2 a 2 eta ta oraz Twierdzenie 2.3 nierówność Bennetta. Załóżmy, że X i są ograniczonymi niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej zero, σ 2 = Var n X i = n EXi 2 oraz a max i X i. Wówczas dla t > 0, n σ 2 E exp t X i exp a 2 eta ta oraz dla s > 0, n P X i s exp gdzie σ2 sa a 2 h σ 2 exp s 2a ln hx := + x ln + x x. + sa Dowód. Pierwsza część wynika natychmiast z Lematu 2.2. By pokazać drugą zauważamy, że dla S = n X i, PS s exp sup st Λ S t exp sup st σ2 t>0 t>0 a 2 eta ta. Prosty rachunek pokazuje, że powyższe supremum jest osiągane w punkcie t = a ln + as σ 2 i wynosi σ 2 [ a 2 + sa σ 2 ln + sa σ 2 sa ] σ 2 = σ2 sa a 2 h σ 2 gdzie ostatnie oszacowanie wynika z poniższego lematu. 23 σ 2, s 2a ln + sa σ 2,

24 Lemat 2.4. Dla dowolnego x 0, + x ln + x x x ln + x. 2 Dowód. Niech fx = + x ln + x x x/2 ln + x = + x/2 ln + x x. Liczymy f x = ln + x x + x /2, f x = x + x 2, zatem f0 = f 0 = 0 oraz f x 0 dla x 0. Uwaga 2.5. Jeśli PY n,i = = PY n,i = 0 = /n oraz Y n,i są niezależne, to rozkład n Y i,n zbiega do rozkładu Poissona z parametrem. Biorąc X n,i = Y n,i /n mamy n EX 2 i,n oraz max i X i,n. To pokazuje, że przy założeniach Twierdzenia 2.3 nie można uzyskać przy s oszacowania lepszego rzędu niż s ln s. Uwaga 2.6. Nierówność Bennetta ma swoją wersję martyngałową. Mianowicie, dla martyngału M k, F k n k=0 spełniającego warunki i zachodzi nierówność max M k M k a k n EM k M k 2 F k σ 2, k= PM n M 0 s exp 3 Nierówności maksymalne σ2 sa a 2 h σ 2 exp s 2a ln + sa Przy dowodzeniu twierdzeń granicznych przydają się nierówności pozwalające szacować ogon maksimum sum zmiennych losowych przez ogony pojedynczych sum. Nierówności takie omówimy w bieżącym rozdziale. Będziemy zakładać, że F, jest ośrodkową przestrzenią Banacha, a X i są wektorami losowymi o wartościach w F. Tradycyjnie definiujemy n S n := X i. Uwaga 3.. Założenie ośrodkowości przestrzeni Banacha F ma charakter techniczny implikuje, że suma funkcji mierzalnych o wartościach w F jest mierzalna. Jeśli interesuje nas tylko zachowanie normy zmiennych losowych, to możemy zakładać słabszy warunek mianowicie, że norma w F da się przedstawić jako supremum przeliczalnej liczby funkcjonałów, wtedy norma sumy funkcji mierzalnych jest mierzalna. σ 2. 24

25 3. Nierówności Levy ego i Levy ego-ottavianiego Twierdzenie 3.2 Nierówność Levy ego. Załóżmy, że X i są niezależnymi symetrycznymi wektorami losowymi w F. Wówczas dla t 0, P max S k t 2P S n t. k n Dowód. Niech A k := { S < t,..., S k < t, S k t}, k n. Zauważmy, że dla dowolnych x, y F, zatem max{ x + y, x y } 2 x + y + x y x, 2 A k A k { S k + S n S k t} A k { S k S n S k t}. Łączny rozkład zmiennych S, S 2,..., S k, S n S k jest taki sam jak łączny rozkład zmiennych S, S 2,..., S k, S n S k, więc oba zbiory po prawej stronie powyższej inkluzji mają jednakowe prawdopodobieństwo, zatem PA k 2PA k { S n t}, czyli P max S k t = k n n PA k 2 k= n PA k { S n t} 2P S n t. k= Wniosek 3.3. Załóżmy, że zmienne X i są niezależne i symetryczne oraz a i. Wówczas n P a i X i t 2P S n t. Dowód. Możemy zakładać, że a a 2... a n 0, wówczas n n a i X i = a n S n + a k a k+ S k, stąd łatwo wynika, że n a i X i max k n S k i teza wniosku wynika z nierówności Levy ego. k= 25

26 Uwaga 3.4. Jeśli założenia Wniosku 3.3 są spełnione, to dla dowolnej funkcji wypukłej f : F R +, n n Ef a i X i Ef X i, w szczególności dla p, n p n p E a i X i E X i. Nie jest jednak prawdą, że nierówność z Wniosku 3.3 zachodzi ze stałą. Przejdźmy teraz do przypadku niesymetrycznego. Lemat 3.5. Dla dowolnych niezależnych zmiennych losowych X i oraz t, u 0, P max S P S n t k t + u k n max k n P S n S k u, 8 o ile P S n S k u < dla k n. Dowód. Zdefiniujmy A k := { S < t + u,..., S k < t + u, S k t + u}, k n. Zbiory A k są parami rozłączne oraz n { } A := A k = max S k t + u. k n k= Zauważmy, że S n S k S n S k, zatem wykorzystując założenie o niezależności, P S n S k < upa k = PA k { S n S k < u} PA k { S n t}. Otrzymujemy min P S n S k < upa k n n P S n S k < upa k k= n k= PA k { S n t} P S n t, co po podzieleniu stronami przez min k n P S n S k < u = max k n P S n S k u daje tezę lematu. Twierdzenie 3.6 Nierówność Levy ego-ottavianiego. Załóżmy, że X i są niezależnymi wektorami losowymi w F. Wówczas dla t 0, P max S k 3t 3 max P S k t. 9 k n k n 26

27 Dowód. Szacujemy zatem P S n S k 2t P S n t + P S k t 2 max k n P S k t, max P S n S k 2t 2 max P S k t. k n k n Oczywiście, by udowodnić 9 możemy założyć, że max k n P S k t < /3. Kładąc u = 2t w 8 dostajemy P max S k 3t k n P S n t max k n P S n S k 2t P S n t 2 max k n P S k t 3P S n t. Uwaga 3.7. Nierówność 9 można nieco polepszyć. Zbigniew Szewczak wykazał niedawno, że P max S k 3t 2 max P S k t. k n k n Dowód. Ustalmy t, u 0 i określmy dla k n, B k := { S n S n j < t + u dla j k, S n S n k t + u}. Wówczas zbiory B k są rozłączne oraz n { } { } B k = max S n S n k t + u = max S n S k t + u. k n 0 k<n k= Nierówność trójkąta implikuje, że { S n < t, S n S n k t + u} { S n k u}, ponadto zdarzenie B k jest niezależne od zmiennej S n k, stąd P max S n S k t + u, S n < t 0 k<n = n PB k { S n < t} k= n PB k { S n k u} = k= max k<n P S n k u n k= n PB k P S n k u k= PB k max k<n P S n k u. Powyższa nierówność oraz zawieranie { } { } max S k 2t + u { S n t} max S n S k t + u, S n < t k n 0 k<n 27

28 implikują P max S k 2t + u P S n t + max P S n k u. k n k<n Biorąc u = t dostajemy tezę. 3.2 Nierówności dla sum zmiennych o jednakowym rozkładzie W tym paragrafie będziemy dodatkowo zakładać, że Niezależne zmienne X i o wartościach w F mają jednakowy rozkład. 0 Dla wektora losowego X o wartościach w F i s > 0 określmy Lemat 3.8. Jeśli X i Y są niezależne, to Dowód. Dla dowolego x F dostajemy AX, t = inf P X x t. x F AX + Y, t AX, t dla t 0. P X + Y x t = E Y P X X x Y t E Y AX, t = AX, t. Lemat 3.9. Załóżmy, że zachodzi 0 oraz P S n t < /4. Wówczas max P S k 5t P S n t. k n Dowód. Ustalmy liczbę α taką, że /4 > α > P S n t. Wówczas oczywiście AS n, t < α, czyli na mocy Lematu 3.8, AS k, t < α dla k =,..., n. Możemy zatem wybrać x,..., x n F dla których P S k x k t < α, k =,..., n. Wybierzmy i n takie, że x i = max j n x j. Wiemy, że P S i x i t < α oraz P S n t < α, stąd P S n i + x i 2t = P S n S i x i 2t P S i x i t + P S n t < 2α. Rozpatrzymy trzy przypadki. Przypadek I. i = n i. Mamy P{ S i x i t} { S n i + x i 2t} < α + 2α <, 28

29 więc istnieje zdarzenie elementarne ω dla którego S i ω x i < t oraz S i ω + x i = S n i ω + x i < 2t. Na mocy nierówności trójkąta dostajemy 2x i 3t. Przypadek II. i > n i. Mamy Zatem P S 2i n 2x i 3t = P S i x i S i S 2i n + x i 3t P S i x i t + P S i S 2i n + x i 2t < α + P S n i + x i 2t < 3α. P{ S 2i n 2x i 3t} { S 2i n x 2i n t} < 4α <, czyli istnieje ω takie, że S 2i n ω 2x i < 3t oraz S 2i n ω x 2i n < t. Zatem x 2i n 2x i < 4t. Stąd x i x 2i n 2 x i 4t, czyli w tym przypadku x i 4t. Przypadek III. i < n i. Dostajemy P S n 2i + 2x i 3t = P S n i + x i S n i S n 2i x i 3t P S n i + x i 2t + P S n i S n 2i x i t < 2α + P S i x i t < 3α. Tak samo jak w poprzednim przypadku pokazujemy, że x n 2i + 2x i 4t oraz x i 4t. Udowodniliśmy zatem, że max j n x j 4t, stąd max P S k 5t max P S k x k t < α, k n k n co, z dowolności α P S n t, /4, dowodzi tezy. Twierdzenie 3.0 Montgomery-Smith. Przy założeniu 0, P max S k 6t 4P S n t dla t 0. k n Dowód. Oczywiście możemy zakładać, że P S n t < /4. Wówczas na mocy Lematu 3.9, max k n P S k 5t P S n t < /4. Z nierówności 8 z u = 5t, P max S P S n t k 6t k n max k n P S n S k 5t P S n t = max k n P S n k 5t 4 3 P S n t. Wniosek 3.. Załóżmy, że zachodzi 0 oraz 0 a i. Wówczas n P a i X i 6t 4P S n t dla t 0. Dowód. Możemy zakładać, że a a 2... a n i wtedy, tak jak we Wniosku 3.3, dostajemy n a i X i max k n S k i teza łatwo wynika z Twierdzenia

30 4 Mocne prawa wielkich liczb W trakcie tego wykładu, jeśli nie powiemy inaczej, będziemy zakładali, że X, X, X 2,... są niezależnymi zmiennymi losowymi o wartościach w ośrodkowej przestrzeni Banacha F,. Tradycyjnie też S n = X X n. 4. Prawo Wielkich Liczb Kołmogorowa Okazuje się, że przeniesienie tradycyjnego sformułowania mocnego prawa wielkich na przypadek przestrzeni Banacha jest łatwe. Dzieje się tak dzięki następującemu lematowi. Lemat 4.. Załóżmy, że X jest zmienną losową o wartościach w ośrodkowej przestrzeni Banacha F taką, że E X <. Wówczas dla dowolnego ε > 0 istnieje funkcja ϕ: F F, przyjmująca tylko skończenie wiele wartości, taka, że E X ϕx ε. Dowód pozostawiamy jako proste ćwiczenie. Twierdzenie 4.2. Jeśli E X <, to lim S n n = EX p.n.. Dowód. Na mocy klasycznego Prawa Wielkich Liczb twierdzenie zachodzi dla F = R, a więc również dla F = R k. Stąd łatwo pokazujemy tezę dla zmiennych przyjmujących wartości w pewnej skończenie wymiarowej podprzestrzeni F. Przejdźmy do dowodu twierdzenia w ogólnym przypadku. Oczywiście możemy zakładać, że EX = 0. Niech ε > 0 wówczas, na mocy Lematu 4., istnieją niezależne zmienne losowe o jednakowym rozkładzie Y i = ϕx i, przyjmujące tylko skończenie wiele wartości, spełniające E X i Y i ε. Niech T n := Y Y n, wówczas lim sup S n n n X i Y i + lim sup n T n lim sup n EX + 2E X Y 2ε. Z dowolności ε > 0 dostajemy tezę. 4.2 Prawo Wielkich Liczb Marcinkiewicza-Zygmunda = EY + E X Y Okazuje się, że dla regularnych przestrzeni Banacha tradycyjne prawo wielkich liczb da się uogólnić. Zacznijmy od dwóch prostych lematów. Lemat 4.3. Jeśli E X p =, to lim sup S n n /p Dowód. Niech A := { ω : lim sup S n ω n /p = p.n.. } <. 30

31 Dla ω A, dostajemy X n ω S n ω + S n ω Cωn /p dla n i pewnego Cω <. Zatem A k= A k, gdzie A k := { X n kn /p dla n =, 2,...}. Jeśli PA k > 0, to Plim sup{ X n > kn /p } <, czyli na mocy Lematu Borela- Cantelliego, X > P X n > kn /p p = P k n= n= p Zatem PA k = 0 dla wszystkich k, czyli PA = 0. > n E X p k p. Lemat 4.4. Załóżmy, że ciąg normujący liczb dodatnich γ n n spełnia warunek Wówczas, jeśli to lim S n γ n = 0 p.n.. γ 2l Cγ k dla l < k 2l. P S 2 n εγ 2 n < dla wszystkich ε > 0, n= Dowód. Szacujemy dla ε > 0, S m P sup ε P sup S m ε m>2 k γ m n=k 2 n <m 2 n C γ 2 n 4P S 2 n ε 6C γ 2 n 0 przy k, n=k gdzie ostatnia nierówność wynika z Twierdzenia 3.0. Twierdzenie 4.5 Prawo wielkich liczb Marcinkiewicza-Zygmunda. Załóżmy, że F jest ośrodkową przestrzenią Hilberta oraz 0 < p < 2. Wówczas następujące warunki są równoważne. S i lim n = 0 p.n. n /p ii E X p < oraz jeśli p, to EX = 0. Dowód. ii i. Wpierw udowodnimy, że warunek ii implikuje [ ] lim n /p E X { X n /p } = 0. 3

32 Dla p, wobec EX = 0 szacujemy ] n /p E [X [ { X n /p } = n /p E X { X >n }] [ /p ] E X n /p p { X >n /p } [ ] E X p { X >n /p } 0 przy n, na mocy skończoności E X p. Dla 0 < p < dostajemy dla dowolnego m, [ ] ] [ ] n /p E X { X n /p } n /p E [ X { X m} + E X n /p p {m< X n /p } ] ] n /p E [ X { X m} + E [ X p { X >m} =: I + II. Składnik II można zrobić dowolnie małym dobierając odpowiednio duże m, zaś przy ustalonym m, składnik I dąży do zera przy n dążacym do nieskończoności. Czyli zostało wykazane. Na mocy Lematu 4.4, by wykazać i wystarczy, iż udowodnimy P S 2 n 2ε2 n/p < dla ε > 0. n Z wynika, że 2 n E[X { X 2 n/p } ] ε2n/p dla dużych n, więc wystarczy, iż udowodnimy, że [ S2 P n 2 n E X { X 2 }] ε2 n/p n/p <. Określmy wówczas P S2 n 2 n E Mamy oraz n S 2 n := 2 n X i { Xi 2 n/p }, [ X { X <2 n/p }] ε2 n/p P S 2 n S 2 n + P S 2 n E S 2 n ε2 n/p 2 n P X > 2 n/p + ε 2 2 2n/p E S 2 n E S 2 n 2. 2 n P X > 2 n/p = 2 n P X p > 2 n 2E X p < n= n= 2 2n/p E S 2 n E S [ ] 2 n 2 2 n 2/p E X 2 { X 2 n/p } n= n= [ ] = E X 2 n= 2 n 2/p { X p 2 n } C p E[ X 2 X p 2/p ] = C p E X p <. 32

33 i ii. Z Lematu 4.3, dostajemy E X p <. W szczególności, gdy p, to E X < i na mocy zwykłego Mocnego Prawa Wielkich Liczb albo udowodnionej już implikacji ii i z p = zastosowanej do S n nex, Sn n EX. Stąd EX = 0. Uwaga 4.6. Dla p 2 jeśli PX 0 > 0, to lim sup = p.n.. Istotnie, tak n /p jest na mocy Lematu 4.3, jeśli EX 2 =. W przypadku zaś, gdy EX 2 <, to implikacja łatwo wynika z centralnego twierdzenia granicznego. Uwaga 4.7. Dokładna analiza dowodu Twierdzenia 4.5 pokazuje, że implikacja i ii zachodzi dla dowolnych ośrodkowych przestrzeni Banacha F. Jedyną własnością F, którą potrzebujemy do dowodu implikacji ii i, jest nierówność n 2 n E Z i C E Z i 2 dla niezależnych, ograniczonych zmiennych losowych Z i o wartościach w F i średniej 0. Przestrzenie z taką własnością nazywamy przestrzeniami typu 2 należą do nich np. przestrzenie L p, 2 p <. 4.3 Przypadek niejednakowych rozkładów. W poprzednich twierdzeniach zakładaliśmy wspólny rozkład zmiennych X i. Jest wiele sformułowań mocnego prawa wielkich liczb, które nie zakładają tego warunku udowodnimy jedno z nich, sformułowane dla p = 2 przez Kołmogorowa, a dla p 2 przez Brunka. Twierdzenie 4.8 Mocne Prawo Wielkich Liczb Brunka. Załóżmy, że p 2 oraz X i są niezależnymi zmiennymi losowymi o średniej zero takimi, że E X i p <. ip/2+ Wówczas zachodzi mocne prawo wielkich liczb, tzn. S n /n 0 p.n.. Dowód. Niech X i będzie niezależną kopią ciągu X i oraz Y i = X i X i. Ponadto przez ε i oznaczmy niezależny od Y i ciąg Bernoulliego, tzn. ciąg niezależnych zmiennych losowych taki, że Pε i = ± = /2. Mamy n p n n p E X i E X i X i n p n p = E Y i = E Y E ε ε i Y i n p/2 n E Y C p Y i 2 C p E n p/2 Y i p 2 p C p n p/2 n E X i p, S n 33

34 gdzie kolejne nierówności wynikają z nierówności Jensena, nierówności Chinczyna, nierówności Höldera oraz oszacowania Y i p X i p + X i p = 2 X i p. Stąd, na mocy Twierdzenia 3.6, P max S k t k n gdzie C p = 2 p 3 p+ C p. Zatem S k P max k 2 l k ε j=l 3 max k n P S k t/3 3 max k n t/3 p E S k p C pt p n p/2 P n E X i p, S k max 2 j <k 2 j k ε j=l 2 j C p2 j ε p 2 j p/2 E X i p j=l = C p2/ε p E X i p j l : 2 j i 2 j p/2+ P max S k 2 j ε k 2 j C p ε p E X i p max{i, 2 l 0 przy l. } p/2+ Uwaga 4.9. Twierdzenie Brunka z tym samym dowodem zachodzi też dla przestrzeni Hilberta oraz ogólniej dla przestrzeni Banacha typu 2. 5 Prawo Iterowanego Logarytmu Podczas tego wykładu będziemy najczęściej zakładać, że X, X, X 2,... są niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie o średniej zero i skończonej, niezerowej wariancji σ 2. Na mocy Centralnego Twierdzenia Granicznego n /2 S n zbiega wówczas według rozkładu do zmiennej gaussowskiej N 0, σ 2. Jednak, jak widzieliśmy w czasie poprzedniego wykładu, z prawdopodobieństwem jeden lim sup n /2 S n =. Można więc zapytać jak duże musi być a n by lim sup S n /a n < p.n.. 5. Przypadek jednowymiarowy Twierdzenie 5. Prawo Iterowanego Logarytmu Hartmana i Wintnera. Dla niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie ze średnią zero i wariancją σ 2 zachodzi lim sup S n 2n ln ln n = lim inf S n 2n ln ln n = σ p.n.. 34

35 Dowód twierdzenia podzielimy na szereg prostszych lematów. Dla uproszczenia notacji przyjmiemy γx := 2x ln lnx 0. Lemat 5.2. Dla dowolnego t > 0, P max S k t + σ 2n 2P S n t. k n Dowód. Z Lematu 3.5 dostajemy P max S k t + σ 2n k n Na mocy nierówności Czebyszewa, P S n S k σ 2n VarS n S k 2nσ 2 P S n t max k n P S n S k σ 2n. = n kσ2 2nσ 2 2. Lemat 5.3. Załóżmy, że dla β >, a > 0 zachodzi warunek P S β n aγβ n <. n= Wówczas lim sup S n 2n ln ln n aβ /2 p.n.. Dowód. Ustalmy c > aβ /2 i oszacujmy, S n S P sup n > c P max > c n>β m 2n ln ln n β k=m k <n β k 2n ln ln n P max S n > cγβ k. n β k=m k Zauważmy, że dla dostatecznie dużych k, cγβ k aγβ k + σ2β k /2, czyli na mocy Lematu 5.2, P max S n > cγβ k P max S n > aγβ k + σ 2β k n β k n β k Stąd, lim P m 2P S β k aγβ k. S n sup > c n>β m 2n ln ln n dla dowolnego c > aβ /2 i łatwo otrzymujemy tezę. 35 = 0

36 Lemat 5.4. Mamy lim sup S n 2n ln ln n 4 2σ p.n.. Dowód. Załóżmy najpierw, że zmienne X i są symetryczne i niech ε i będzie ciągiem Bernoulliego niezależnym od X i. Wówczas ciąg X i ma ten sam rozkład co ε i X i, zatem n P S n t = P ε i X i t. Z Wniosku 2.3 otrzymujemy dla t, α > 0, n P S n t P Xi 2 α + 2 exp t2. 2α Niech T n = n Xi 2. Na mocy Mocnego Prawa Wielkich Liczb T n/n σ 2 p.n., czyli również 2 n T 2 n+ T 2 n σ 2 p.n.. Zatem na mocy Lematu Borela-Cantelliego, 2 n > P2 n T 2 n+ T 2 n 2σ 2 = P Xi 2 2 n+ σ 2. Szacujemy, n= P S 2 n aγ2 n σ P P 2 n 2 n n= X 2 i 2 n+ σ exp X 2 i 2 n+ σ 2 + 2n ln 2 a2 /2. a2 σ 2 2 n+ ln ln 2 n 2 n+2 σ 2 Stąd dla symetrycznych zmiennych losowych, P S 2 n 2γ2 n σ <. 2 n W przypadku gdy X i są dowolne oznaczmy przez X i niezależną kopię X i oraz niech S n := n X i. Na mocy nierówności Czebyszewa, P S n > 2nσ /2, więc z niezależności, P S n t 2P S n t, S n 2nσ 2P S n S n t 2nσ. Zatem dla dużych n, P S n 4γnσ 2P S n S n 2 2γnσ. Zauważmy, że S n S n = n Y i, gdzie Y i = X i X i są niezależnymi, symetrycznymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie z wariancją 2σ 2, czyli na mocy 2, P S 2 n 4γ2 n σ 2 P S 2 n S 2 n 2γ2n σ Y <. n>n 0 n>n 0 Możemy więc stosować Lemat 5.3 z a = 4σ i β = 2. 36

37 Lemat 5.5. Jeśli zmienne X i są ograniczone, to lim sup S n 2n ln ln n σ p.n.. Dowód. Załóżmy, że X a, wówczas na mocy nierówności Bernsteina Wniosek 2.8, P S n t 2 exp t 2 2nσ 2 + 2at/3 Zatem dla β > i ε > 0 oraz dostatecznie duzych n, P S β n + εσγβ n + ε 2 σ 2 2β n ln ln β n 2 exp 2 β n σ 2 + 2a + εσ 2β n ln ln β n /3 2 exp + ε ln ln β n = 2n ln β +ε. Możemy więc stosować Lemat 5.3 z a = + εσ i dostajemy lim sup Z dowolności β > i ε > 0 wynika teza. S n 2n ln ln n + ε βσ p.n.. Wniosek 5.6. Dla dowolnych zmiennych o średniej 0 i wariancji σ 2,. lim sup S n 2n ln ln n σ p.n.. Dowód. Ustalmy M > 0 i rozłóżmy X i = Y i + Z i, gdzie Y i := X i { Xi M} EX i { Xi M}, Z i := X i { Xi >M} EX i { Xi >M}. Określmy T n := Y Y n, R n := Z Z n. Na mocy Lematów 5.4 i 5.5, lim sup S n 2n ln ln n lim sup T n 2n ln ln n + lim sup R n 2n ln ln n σ Y + 4 2σ Z p.n.. Mamy jednak σ 2 Y EX2 { X M} EX 2 = σ 2 oraz σ 2 Z EX2 { X >M} 0 przy M. Lemat 5.7. Załóżmy, że dla liczby naturalnej C > oraz a > 0 zachodzi Wówczas lim sup PS C n C n aγcn C n =. n S n 2n ln ln n a C /2 σc /2 p.n. 37

38 Dowód. Zdarzenia {S C n S C n aγc n C n }, n =, 2,... są niezależne, zatem na mocy Lematu Borela-Cantelliego, = Plim sup{s C n S C n aγc n C n S C n S } P lim sup C n γc n C n a. Stąd na podstawie Wniosku 5.6, lim sup S C n γc n lim sup lim sup S C n S C n γc n C n lim γc n C n γc n S C n γc n lim γc n γc n a C /2 σc /2 p.n.. Lemat 5.8. Jeśli zmienne X i są ograniczone, to lim sup S n 2n ln ln n σ p.n.. Dowód. Oszacujemy PS n +ε /2 γnσ stosując odwrotną nierówność wykładniczą Kołmogorowa Twierdzenie 2.0 z s = + ε /2 γnσ i nσ 2 zamiast σ 2. Zauważmy, że dla dużych n nε jego założenia są spełnione, bo oraz Zatem dla n nε, Zatem n s max X i X γnσ δεnσ 2 i s = + ε /2 γnσ Kε nσ. P S n + ε /2 γnσ exp + ε + ε γ 2 nσ 2 2nσ 2 = ln n. P S C n C n + ε /2 σγc n C n Czyli, na mocy Lematu 5.7, n nε lnc C n =. lim sup S n 2n ln ln n + ε /2 σ C /2 σc /2 p.n.. Biorąc C oraz ε 0+ dostajemy tezę. 38

39 Wniosek 5.9. Dla dowolnych zmiennych o średniej 0 i wariancji σ 2, lim sup S n 2n ln ln n σ p.n.. Dowód. Jak w dowodzie Wniosku 5.6 dla M > 0 rozkładamy X i = Y i +Z i oraz S n = R n +T n i szacujemy używając Lematu 5.8 w Wniosku 5.6, lim sup S n 2n ln ln n lim sup T n 2n ln ln n lim sup R n 2n ln ln n σ Y σ Z p.n.. By zakończyć dowód wystarczy zauważyć, że σ Y σ oraz σ Z 0 przy M. Dowód Twierdzenia 5... Wnioski 5.6 i 5.9 implikują lim sup S n 2n ln ln n = σ p.n.. Ponieważ S n = n X i, więc lim inf S n 2n ln ln n = lim sup S n 2n ln ln n = σ X = σ p.n.. Okazuje się, że jeśli spełnione jest prawo iterowanego logarytmu, to zmienna musi mieć średnią zero i skończoną wariancję. Twierdzenie 5.0. Załóżmy, że wówczas EX = 0 oraz EX 2 <. S n P lim sup < > 0, 2n ln ln n Dowód. Na mocy założeń istnieje M < takie, że S n P lim sup M > 0, 2n ln ln n ale na mocy prawa 0-, powyższe prawdopodobieństwo wynosi 0 lub. Stąd lim sup S n 2n ln ln n M p.n.. Załóżmy najpierw dodatkowo, że zmienne X i są symetryczne. Dla t > 0 zdefinujmy X t n := X n { Xn t} X n { Xn >t} 39

40 oraz S t n := n X t i. Zmienne Xt n mają ten sam rozkład co zmienne X n, zatem lim sup S t n 2n ln ln n M p.n., czyli lim sup S n + S t n 2n ln ln n 2M Ale S n + Sn t = n 2X i { Xi t}. Zmienne X i { Xi t} mają średnią zero i skończoną wariancję, więc na mocy Twierdzenia 5., p.n.. lim sup S n + S t n 2n ln ln n = Var2X { X t} /2 = 2EX 2 { X t} /2 p.n. Stąd EX 2 I { X t} 2M 2 i z dowolności t > 0 dostajemy EX 2 <. W przypadku, gdy rozkład X i nie jest symetryczny, niech X n będzie niezależną kopią X n, S n = n X i. Wówczas lim sup S n S n 2n ln ln n 2M p.n.. Mamy jednak S n S n = n X i X i, stąd na mocy rozważanego wcześniej przypadku, EX X 2 <, a więc również EX 2 <. By zakończyć dowód zauważmy, że na mocy mocnego prawa wielkich liczb S n EX = lim n = lim sup S n 2n ln ln n lim 2n ln ln n n = Zbiór graniczny S Okazuje się, że nie tylko jesteśmy w stanie podać granicę górną i dolną ciągu 2n n ln ln n, ale również określić zbiór wszystkich możliwych granic jego podciągów. Wprowadźmy najpierw definicję. Definicja 5.. Dla ciągu liczbowego lub ogólniej ciągu o wartościach w przestrzeni metrycznej a n przez Ca n oznaczamy zbiór wszystkich punktów skupienia ciągu a n, czyli x Ca n nk a nk x. Twierdzenie 5.2. Załóżmy, że EX = 0 oraz EX 2 = σ 2 <. Wówczas S i dist 2n n ln ln n, [ σ, σ] 0 p.n., S n ii C 2n ln ln n = [ σ, σ] p.n.. 40

41 Dowód opiera się na następującym prostym lemacie. Lemat 5.3. Załóżmy, że a n jest ciągiem liczbowym takim, że b = lim inf a n >, c = lim sup a n < oraz lim a n+ a n = 0. Wówczas i dista n, [b, c] 0, ii Ca n = [b, c]. Dowód. i Z definicji granicy dolnej i górnej wynika, że dla ε > 0 dla dostatecznie dużych n, b ε x n c + ε, co pociąga dista n, [b, c] < ε. ii Oczywiście {b, c} Ca n, ustalmy d b, c. Możemy skonstruować podciąg n k taki, że a n2k < d < a n2k. Zdefiniujmy m k := sup{n n 2k : a n d}, wówczas a mk d < a mk +, zatem d a mk a mk + a mk 0, czyli d Ca n. Dowód Twierdzenia Na mocy Lematu 5.3 oraz Twierdzenia 5. wystarczy wykazać, że Sn lim γn S n = 0 p.n., γn gdzie γn := 2n ln ln n. Zauważmy, że γn γn lim sup S n γn = σ < p.n., więc wystarczy udowodnić, że = oγn oraz Szacujemy, lim X n γn = 0 p.n.. P X n εγn = E { X εγn} E n n n E n { X ε 2n} {2n X 2 ε 2 } E X 2 2ε 2 <, zatem na podstawie Lematu Borela-Cantelliego, lim sup Xn γn ε p.n Przypadek wektorowy W tej części będziemy rozważać Prawo Iterowanego Logarytmu dla wektorów losowych. Dla x R d przez x będziemy oznaczać euklidesową długość wektora x. Twierdzenie 5.4. Załóżmy, że X, X,... są niezależnymi wektorami losowymi o jednakowym rozkładzie o wartościach w R d. Jeśli EX = 0 oraz E X 2 <, to lim sup S n = supe X, t 2 /2 = sup Ct, t /2 2n ln ln n t t gdzie C oznacza macierz kowariancji X. 4 p.n.,

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Funkcją tworzącą momenty (transformatą Laplace a) zmiennej losowej X nazywamy funkcję M X (t) := Ee tx, t R. 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ. Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa III - 1 1. Oblicz funkcję tworzącą momenty zmiennych o następujących rozkładach: a) symetryczny dwupunktowy; b) dwumianowy z parametrami n, p; c) Poissona z parametrem

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ.

2. Wykaż, że moment pierwszego skoku w procesie Poissona. S 1 := inf{t : N t > 0} jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z parametrem λ. Zadania z Procesów Stochastycznych 1 1. Udowodnij, że z prawdopodobieństwem 1 trajektorie procesu Poissona są niemalejące, przyjmują wartości z Z +, mają wszystkie skoki równe 1 oraz dążą do nieskończoności.

Bardziej szczegółowo

F t+ := s>t. F s = F t.

F t+ := s>t. F s = F t. M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 1 1 1 Wiadomości wstępne 1.1 Przestrzeń probabilistyczna z filtracją Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną i niech F = {F t } t 0 będzie rodziną

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga

Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga RAP 412 21.01.2009 Wykład 11: Martyngały: Twierdzenie o zbieżności i Hoeffdinga Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz: Łukasz Waszak 1 Wstęp Na ostatnim wykładzie przedstawiliśmy twierdzenie o zbieżności

Bardziej szczegółowo

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski,

Ośrodkowość procesów, proces Wienera. Ośrodkowość procesów, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, wykład, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1136 27 luty, 2012 Ośrodkowość procesów Dalej zakładamy, że (Ω, Σ, P) jest zupełną przestrzenią miarową. Definicja.

Bardziej szczegółowo

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami.

A i. i=1. i=1. i=1. i=1. W dalszej części skryptu będziemy mieli najczęściej do czynienia z miarami określonymi na rodzinach, które są σ - algebrami. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 3 25 3 Miara 3.1 Definicja miary i jej podstawowe własności Niech X będzie niepustym zbiorem, a A 2 X niepustą rodziną podzbiorów. Wtedy dowolne odwzorowanie : A

Bardziej szczegółowo

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów

8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów M. Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 8 148 8 Całka stochastyczna względem semimartyngałów 8.1 Całka stochastyczna w M 2 Oznaczmy przez Ξ zbiór procesów postaci X t (ω) = ξ (ω)i {} (t) + n ξ i (ω)i (ti,

Bardziej szczegółowo

7 Twierdzenie Fubiniego

7 Twierdzenie Fubiniego M. Beśka, Wstęp do teorii miary, wykład 7 19 7 Twierdzenie Fubiniego 7.1 Miary produktowe Niech i będą niepustymi zbiorami. Przez oznaczmy produkt kartezjański i tj. zbiór = { (x, y : x y }. Niech E oraz

Bardziej szczegółowo

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi

Korzystając z własności metryki łatwo wykazać, że dla dowolnych x, y, z X zachodzi M. Beśka, Wstęp do teorii miary, Dodatek 158 10 Dodatek 10.1 Przestrzenie metryczne Niech X będzie niepustym zbiorem. Funkcję d : X X [0, ) spełniającą dla x, y, z X warunki (i) d(x, y) = 0 x = y, (ii)

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 21 lutego 2017 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane

Bardziej szczegółowo

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)

jest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R) Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)

Bardziej szczegółowo

Procesy stochastyczne

Procesy stochastyczne Wykład I: Istnienie procesów stochastycznych 2 marca 2015 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin ustny z teorii 3 Do wykładu przygotowane są

Bardziej szczegółowo

Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności

Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności RAP 412 14.01.2009 Wykład 11: Martyngały: definicja, twierdzenia o zbieżności Wykładowca: Andrzej Ruciński Pisarz:Mirosława Jańczak 1 Wstęp Do tej pory zajmowaliśmy się ciągami zmiennych losowych (X n

Bardziej szczegółowo

Zadania z Procesów Stochastycznych 1

Zadania z Procesów Stochastycznych 1 Zadania z Procesów Stochastycznych 1 Definicja Procesem Poissona z parametrem (intensywnością) λ > 0 nazywamy proces stochastyczny N = (N t ) t 0 taki, że N 0 = 0; (P0) N ma przyrosty niezależne; (P1)

Bardziej szczegółowo

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki.

Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. 3. Funkcje borelowskie. Rodzinę F złożoną z podzbiorów zbioru X będziemy nazywali ciałem zbiorów, gdy spełnione są dwa następujące warunki. (1): Jeśli zbiór Y należy do rodziny F, to jego dopełnienie X

Bardziej szczegółowo

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11 2 Rodziny zbiorów 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów Niech X będzie niepustym zbiorem. Rodzinę indeksowaną zbiorów {A i } i I 2 X nazywamy rozbiciem zbioru X

Bardziej szczegółowo

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone Rozdział 4 Ciągi nieskończone W rozdziale tym wprowadzimy pojęcie granicy ciągu. Dalej rozszerzymy to pojęcie na przypadek dowolnych funkcji. Jak zauważyliśmy we wstępie jest to najważniejsze pojęcie analizy

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 2 Jacek M. Jędrzejewski Definicja 3.1. Niech (a n ) n=1 będzie ciągiem liczbowym. Dla każdej liczby naturalnej dodatniej n utwórzmy S n nazywamy n-tą sumą częściową. ROZDZIAŁ

Bardziej szczegółowo

1 Relacje i odwzorowania

1 Relacje i odwzorowania Relacje i odwzorowania Relacje Jacek Kłopotowski Zadania z analizy matematycznej I Wykazać, że jeśli relacja ρ X X jest przeciwzwrotna i przechodnia, to jest przeciwsymetryczna Zbadać czy relacja ρ X X

Bardziej szczegółowo

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji

Rozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz

Bardziej szczegółowo

5 Przegląd najważniejszych rozkładów

5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5 Przegląd najważniejszych rozkładów 5. Rozkład Bernoulliego W niezmieniających się warunkach wykonujemy n razy pewne doświadczenie. W wyniku każdego doświadczenia może nastąpić zdarzenie A lub A. Zakładamy,

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Statystyka i eksploracja

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? a) X = R, d(x, y) = arctg x y ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów

Bardziej szczegółowo

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy

zbiorów domkniętych i tak otrzymane zbiory domknięte ustawiamy w ciąg. Oznaczamy 5. Funkcje 1 klasy Baire a. Pod koniec XIX i początkiem XX wieku kilku matematyków zajmowało się problemami dotyczącymi klasyfikacji funkcji borelowskich: między innymi R. Baire, E. Borel, H. Lebesgue

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa 1B; zadania egzaminacyjne.

Rachunek prawdopodobieństwa 1B; zadania egzaminacyjne. Rachunek prawdopodobieństwa B; zadania egzaminacyjne.. Niech µ będzie rozkładem probabilistycznym na (0, ) (0, ): µ(b) = l({x (0,) : (x, x) B}), dla B B((0, ) (0, ))), gdzie l jest miarą Lebesgue a na

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podaj przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ, Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podaj przykład

Bardziej szczegółowo

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój.

Wykład 10. Stwierdzenie 1. X spełnia warunek Borela wtedy i tylko wtedy, gdy każda scentrowana rodzina zbiorów domkniętych ma niepusty przekrój. Wykład 10 Twierdzenie 1 (Borel-Lebesgue) Niech X będzie przestrzenią zwartą Z każdego pokrycia X zbiorami otwartymi można wybrać podpokrycie skończone Dowód Lemat 1 Dla każdego pokrycia U przestrzeni ośrodkowej

Bardziej szczegółowo

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski

Notatki z Analizy Matematycznej 3. Jacek M. Jędrzejewski Notatki z Analizy Matematycznej 3 Jacek M. Jędrzejewski ROZDZIAŁ 6 Różniczkowanie funkcji rzeczywistej 1. Pocodna funkcji W tym rozdziale rozważać będziemy funkcje rzeczywiste określone w pewnym przedziale

Bardziej szczegółowo

3. Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,

3. Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ, Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II - Mówimy, że i) ciąg miar probabilistycznych µ n zbiega słabo do miary probabilistycznej µ (ozn. µ n µ), jeśli fdµ n fdµ dla dowolnej funkcji ciągłej ograniczonej

Bardziej szczegółowo

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?

Zadania z Analizy Funkcjonalnej I Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi? Zadania z Analizy Funkcjonalnej I - 1 1. Które z poniższych przestrzeni metrycznych są przestrzeniami unormowanymi?. a) X = R, x = arctg x ; b) X = R n, d(x, y) = x 1 y 1 + x 2 y 2 + max i 3 x i y i ;

Bardziej szczegółowo

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera

1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera 1 Nierówność Minkowskiego i Hoeldera Na państwa użytek załączam precyzyjne sformułowania i dowody nierówności Hoeldera i Minkowskiego: Twierdzenie 1.1 Nierówność Hoeldera). Niech p, q będą takimi liczbami

Bardziej szczegółowo

Teoria miary i całki

Teoria miary i całki Teoria miary i całki Spis treści 1 Wstęp 3 2 lgebra zbiorów 5 3 Pierścienie, ciała, σ ciała zbiorów. 7 3.1 Definicja pierścienia ciała i σ ciała............... 7 3.2 Pierścień, ciało i σ ciało generowane

Bardziej szczegółowo

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = :

n=0 Dla zbioru Cantora prawdziwe są wersje lematu 3.6 oraz lematu 3.8 przy założeniu α = : 4. Zbiory borelowskie. Zbiór wszystkich podzbiorów liczb naturalnych będziemy oznaczali przez ω. Najmniejszą topologię na zbiorze ω, w której zbiory {A ω : x A ω \ y}, gdzie x oraz y są zbiorami skończonymi,

Bardziej szczegółowo

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista.

1. Struktury zbiorów 2. Miara 3. Miara zewnętrzna 4. Miara Lebesgue a 5. Funkcje mierzalne 6. Całka Lebesgue a. Analiza Rzeczywista. Literatura P. Billingsley, Miara i prawdopodobieństwo, PWN, Warszawa 1997, P. R. Halmos, Measure theory, Springer-Verlag, 1994, W, Kołodziej, naliza matematyczna, PWN, Warszawa 1978, S. Łojasiewicz, Wstęp

Bardziej szczegółowo

Wykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej

Wykład 21 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej Wykład 2 Funkcje mierzalne. Kostrukcja i własności całki wzglȩdem miary przeliczalnie addytywnej czȩść II (opracował: Piotr Nayar) Definicja 2.. Niech (E, E) bȩdzie przestrzenia mierzalna i niech λ : E

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ,

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II Podać przykład rozkładów prawdopodobieństwa µ n, µ, takich, że µ n µ, Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa II -. Udowodnij, że dla dowolnych liczb x n, x, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x.. Wykaż, że n n k= δ k/n λ, gdzie λ jest miarą Lebesgue a na [, ].. Podać przykład

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy

Bardziej szczegółowo

PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω)

PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) PROCESY STOCHASTYCZNE. PEWNE KLASY PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH Definicja. Procesem stochastycznym nazywamy rodzinę zmiennych losowych X(t) = X(t, ω) określonych na tej samej przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf

Wykłady... b i a i. i=1. m(d k ) inf Wykłady... CŁKOWNIE FUNKCJI WIELU ZMIENNYCH Zaczniemy od konstrukcji całki na przedziale domkniętym. Konstrukcja ta jest, w gruncie rzeczy, powtórzeniem definicji całki na odcinku domkniętym w R 1. Przedziałem

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

1 Gaussowskie zmienne losowe

1 Gaussowskie zmienne losowe Gaussowskie zmienne losowe W tej serii rozwiążemy zadania dotyczące zmiennych o rozkładzie normalny. Wymagana jest wiedza na temat własności rozkładu normalnego, CTG oraz warunkowych wartości oczekiwanych..

Bardziej szczegółowo

4 Kilka klas procesów

4 Kilka klas procesów Marek Beśka, Całka Stochastyczna, wykład 4 48 4 Kilka klas procesów 4.1 Procesy rosnące i przestrzenie V,, loc Jak poprzednio niech (Ω, F, F, P ) będzie zupełną bazą stochastyczną. Definicja 4.1 Proces

Bardziej szczegółowo

Zadania z Koncentracji Miary I

Zadania z Koncentracji Miary I Zadania z Koncentracji Miary I Przez λ n oznaczamy n-wymiarową miarę Lebesgue a, a przez σ n unormowaną miarę powierzchniową na S n. Jeśli µ jest miarą na X, d), to określamy dla dowolnego zbioru A miarę

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012

Statystyka. Wykład 2. Krzysztof Topolski. Wrocław, 11 października 2012 Wykład 2 Wrocław, 11 października 2012 Próba losowa Definicja. Zmienne losowe X 1, X 2,..., X n nazywamy próba losową rozmiaru n z rozkładu o gęstości f (x) (o dystrybuancie F (x)) jeśli X 1, X 2,...,

Bardziej szczegółowo

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28

G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 G. Plebanek, MIARA I CAŁKA Zadania do rozdziału 1 28 1.9 Zadania 1.9.1 Niech R będzie pierścieniem zbiorów. Zauważyć, że jeśli A, B R to A B R i A B R. Sprawdzić, że (R,, ) jest także pierścieniem w sensie

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X

Bardziej szczegółowo

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń

Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Analiza matematyczna 1 - test egzaminacyjny wersja do ćwiczeń Leszek Skrzypczak 1. Niech E = {x [0, 1] : x = k 2 n k = 1, 2,... 2 n, n = 1, 2, 3,...} Wówczas: (a) Dla dowolnych liczb wymiernych p, q [0,

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo

Zadania do Rozdziału X

Zadania do Rozdziału X Zadania do Rozdziału X 1. 2. Znajdź wszystkie σ-ciała podzbiorów X, gdy X = (i) {1, 2}, (ii){1, 2, 3}. (b) Znajdź wszystkie elementy σ-ciała generowanego przez {{1, 2}, {2, 3}} dla X = {1, 2, 3, 4}. Wykaż,

Bardziej szczegółowo

Seria 1. Zbieżność rozkładów

Seria 1. Zbieżność rozkładów Seria Zbieżność rozkładów We wszystkich poniższych zadaniach (E, ρ) jest przestrzenią metryczną Wykazać, że dla dowolnych x, x n, δ xn δ x wtedy i tylko wtedy, gdy x n x Sprawdzić, że n nk= δ k n λ, gdzie

Bardziej szczegółowo

Centralne twierdzenie graniczne

Centralne twierdzenie graniczne Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1

Bardziej szczegółowo

Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego

Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Szkice do zajęć z Przedmiotu Wyrównawczego Matematyka Finansowa sem. letni 2011/2012 Spis treści Zajęcia 1 3 1.1 Przestrzeń probabilistyczna................................. 3 1.2 Prawdopodobieństwo warunkowe..............................

Bardziej szczegółowo

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe

Grzegorz Bobiński. Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Grzegorz Bobiński Wykład monograficzny Programowanie Liniowe i Całkowitoliczbowe Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu 2012 Spis treści Notacja 1 1 Podstawowe pojęcia

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki

WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i )

Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie.. A i B są niezależne, gdy P(A B) = P(A)P(B). P(A B i )P(B i ) Rachunek prawdopodobieństwa - Teoria - Przypomnienie Podstawy Definicja 1. Schemat klasyczny - wszystkie zdarzenia elementarne są równo prawdopodobne, licząc prawdopodobieństwo liczymy stosunek liczby

Bardziej szczegółowo

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5

Dystrybucje. Marcin Orchel. 1 Wstęp Dystrybucje Pochodna dystrybucyjna Przestrzenie... 5 Dystrybucje Marcin Orchel Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Dystrybucje................................... 1 1.2 Pochodna dystrybucyjna............................ 3 1.3 Przestrzenie...................................

Bardziej szczegółowo

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5 Teoria miary WPPT/Matematyka, rok II Wykład 5 Funkcje mierzalne Niech (X, F) będzie przestrzenią mierzalną i niech f : X R. Twierdzenie 1. NWSR 1. {x X : f(x) > a} F dla każdego a R 2. {x X : f(x) a} F

Bardziej szczegółowo

Wokół nierówności Dooba

Wokół nierówności Dooba Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Tomasz Tkocz Nr albumu: 24957 Wokół nierówności Dooba Praca licencjacka na kierunku MATEMATYKA w ramach Międzywydziałowych Indywidualnych

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

O pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych)

O pewnych klasach funkcji prawie okresowych (niekoniecznie ograniczonych) (niekoniecznie ograniczonych) Wydział Matematyki i Informatyki Uniwersytet im. Adama Mickiewicza, Poznań Będlewo, 25-30 maja 2015 Funkcje prawie okresowe w sensie Bohra Definicja Zbiór E R nazywamy względnie

Bardziej szczegółowo

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013

Zdzisław Dzedzej. Politechnika Gdańska. Gdańsk, 2013 Zdzisław Dzedzej Politechnika Gdańska Gdańsk, 2013 1 PODSTAWY 2 3 Definicja. Przestrzeń metryczna (X, d) jest zwarta, jeśli z każdego ciągu {x n } w X można wybrać podciąg zbieżny {x nk } w X. Ogólniej

Bardziej szczegółowo

2. Definicja pochodnej w R n

2. Definicja pochodnej w R n 2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 19 października 2016r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną

Bardziej szczegółowo

Analiza Funkcjonalna - Zadania

Analiza Funkcjonalna - Zadania Analiza Funkcjonalna - Zadania 1 Wprowadzamy następujące oznaczenia. K oznacza ciało liczb rzeczywistych lub zespolonych. Jeżeli T jest dowolnym zbiorem niepustym, to l (T ) = {x : E K : x funkcja ograniczona}.

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych.

Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wykład 3 Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 18 października 2017r Momenty zmiennych losowych Wartość oczekiwana - przypomnienie Definicja 3.1: 1 Niech X będzie daną zmienną losową. Jeżeli X jest zmienną

Bardziej szczegółowo

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P,

Wykłady ostatnie. Rodzinę P podzbiorów przestrzeni X nazywamy σ - algebrą, jeżeli dla A, B P (2) A B P, (3) A \ B P, Wykłady ostatnie CAŁKA LBSGU A Zasadnicza różnica koncepcyjna między całką Riemanna i całką Lebesgue a polega na zamianie ról przestrzeni wartości i przestrzeni argumentów przy konstrukcji sum górnych

Bardziej szczegółowo

Funkcja tworząca momenty (transformata Laplace a)

Funkcja tworząca momenty (transformata Laplace a) Dodatek E Funkcja tworząca momenty transformata Laplace a) E.1. Definicja i przykłady Zamieszczamy tu podstawowe informacje o funkcjach tworzących momenty, które stosuje się w wielu zagadnieniach praktycznych,

Bardziej szczegółowo

Analiza funkcjonalna 1.

Analiza funkcjonalna 1. Analiza funkcjonalna 1. Wioletta Karpińska Semestr letni 2015/2016 0 Bibliografia [1] Banaszczyk W., Analiza matematyczna 3. Wykłady. (http://math.uni.lodz.pl/ wbanasz/am3/) [2] Birkholc A., Analiza matematyczna.

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład XIV: Metody Monte Carlo 19 stycznia 2016 Przybliżone obliczanie całki oznaczonej Rozważmy całkowalną funkcję f : [0, 1] R. Chcemy znaleźć przybliżoną wartość liczbową całki 1 f (x) dx. 0 Jeden ze

Bardziej szczegółowo

28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126

28 maja, Problem Dirichleta, proces Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 Problem Dirichleta, proces Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 14, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 28 maja, 2012 Funkcje harmoniczne Niech będzie operatorem Laplace a w

Bardziej szczegółowo

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych

Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Konstrukcja liczb rzeczywistych przy pomocy ciągów Cauchy ego liczb wymiernych Marcin Michalski 14.11.014 1 Wprowadzenie Jedną z intuicji na temat liczb rzeczywistych jest myślenie o nich jako liczbach,

Bardziej szczegółowo

Twierdzenie spektralne

Twierdzenie spektralne Twierdzenie spektralne Algebrę ograniczonych funkcji borelowskich na K R będziemy oznaczać przez B (K). Spektralnym rozkładem jedności w przestrzeni Hilberta H nazywamy odwzorowanie, które każdemu zbiorowi

Bardziej szczegółowo

21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126

21 maja, Mocna własność Markowa procesu Wienera. Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 Mocna własność Markowa procesu Wienera Procesy Stochastyczne, wykład 13, T. Byczkowski, Procesy Stochastyczne, PPT, Matematyka MAP1126 21 maja, 2012 Mocna własność Markowa W = (W 1,..., W d ) oznaczać

Bardziej szczegółowo

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu E-learning - matematyka - poziom rozszerzony Funkcja wykładnicza Materiały merytoryczne do kursu Definicję i własności funkcji wykładniczej poprzedzimy definicją potęgi o wykładniku rzeczywistym. Poprawna

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k =

Zadanie 1. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k = Matematyka ubezpieczeń majątkowych 0.0.006 r. Zadanie. Liczba szkód N w ciągu roku z pewnego ryzyka ma rozkład geometryczny: k 5 Pr( N = k) =, k = 0,,,... 6 6 Wartości kolejnych szkód Y, Y,, są i.i.d.,

Bardziej szczegółowo

Informacja o przestrzeniach Sobolewa

Informacja o przestrzeniach Sobolewa Wykład 11 Informacja o przestrzeniach Sobolewa 11.1 Definicja przestrzeni Sobolewa Niech R n będzie zbiorem mierzalnym. Rozważmy przestrzeń Hilberta X = L 2 () z iloczynem skalarnym zdefiniowanym równością

Bardziej szczegółowo

1 Ciągłe operatory liniowe

1 Ciągłe operatory liniowe 1 Ciągłe operatory liniowe Załóżmy, że E, F są przestrzeniami unormowanymi. Definicja 1.1. Operator liniowy T : E F nazywamy ograniczonym, jeżeli zbiór T (B) F jest ograniczony dla dowolnego zbioru ograniczonego

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Cz. 2 / William Feller. wyd. 4, dodr. 3. Warszawa, Spis treści

Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Cz. 2 / William Feller. wyd. 4, dodr. 3. Warszawa, Spis treści Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa. Cz. 2 / William Feller. wyd. 4, dodr. 3. Warszawa, 2012 Spis treści Przedmowa 5 Oznaczenia i konwencje 7 Rozdział I Rozkład wykładniczy i rozkład jednostajny 1. Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Równanie przewodnictwa cieplnego (II)

Równanie przewodnictwa cieplnego (II) Wykład 5 Równanie przewodnictwa cieplnego (II) 5.1 Metoda Fouriera dla pręta ograniczonego 5.1.1 Pierwsze zagadnienie brzegowe dla pręta ograniczonego Poszukujemy rozwiązania równania przewodnictwa spełniającego

Bardziej szczegółowo

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny: Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi.

Łatwy dowód poniższej własności pozostawiamy czytelnikowi. Rozdział 3 Logarytm i potęga 3.1 Potęga o wykładniku naturalnym Definicja potęgi o wykładniku naturalnym. Niech x R oraz n N. Potęgą o podstawie x i wykładniku n nazywamy liczbę x n określoną następująco:

Bardziej szczegółowo

Parametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f

Parametr Λ w populacji ubezpieczonych ma rozkład dany na półosi dodatniej gęstością: 3 f Zadanie. W kolejnych latach t =,,,... ubezpieczony charakteryzujący się parametrem ryzyka Λ generuje N t szkód. Dla danego Λ = λ zmienne N, N, N,... są warunkowo niezależne i mają (brzegowe) rozkłady Poissona:

Bardziej szczegółowo