PORÓWNANIE JAKOŚCI PRACY REGULATORÓW STANU I PID W UKŁADZIE KASKADOWYM DWÓCH ZBIORNIKÓW

Transkrypt

1 Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechiki i Automatyki Politechiki Gdańskiej Nr XX Semiarium ZASOSOWANE KOMPUERÓW W NAUCE ECHNCE Oddział Gdański PEiS Referat r PORÓWNANE JAKOŚC PRACY REGULAORÓW SANU PD W UKŁADZE KASKADOWYM DWÓCH ZBORNKÓW Mirosław OMERA, Mateusz ALAŚKA. Akademia Morska w Gdyi, Wydział Elektryczy, ul. Morska 8, 8-5 Gdyia tel: fax: tomera@am.gdyia.pl. Zakłady Farmaceutycze Polpharma S.A., ul. Pelplińska 9, 8- Starogard Gdański tel: fax: mateusz.talaska@polpharma.com Streszczeie: W referacie przedstawioa została aaliza porówawcza dokoaa pomiędzy dwoma regulatorami stau i regulatorem PD, opierająca się a oceie odpowiedzi czasowej sterowaia poziomem wody w układzie kaskadowym dwóch iorików. Obiekt sterowaia jest układem ieliiowym i składa się z pompy, dwóch iorików połączoych kaskadowo oraz czujików do pomiaru poziomów wody w iorikach. Szczegółowo przedstawioe zostały metody projektowaia aalizowaych regulatorów. Pierwszy regulator stau jest regulatorem optymalym LQR dla którego aalityczie wyprowadzoe zostały wzory a obliczaie optymalych wartości wzmocień, drugi atomiast zaprojektoway został metodami: Ackermaa i lokowaia bieguów. Parametry regulatora PD rówież dobrae zostały metodą lokowaia bieguów. Badaia wstępe przeprowadzoe zostały w środowisku obliczeiowym MALAB/Simulik z użyciem modeli symulacyjych. Badaia docelowe wykoae zostały w układzie rzeczywistym, gdzie algorytmy sterowaia wyzaczoe metodą emulacji, zaprogramowae zostały w mikrokotrolerze sygałowym MSF85, wykorzystaym do automatyczego sterowaia poziomem wody w dolym ioriku. Słowa kluczowe: sterowaie całkujące, regulator optymaly LQR, regulator PD. WPROWADZENE Przedstawioy, schematyczie a rysuku, układ kaskadowy dwóch iorików staowi zakomity obiekt wykorzystyway w dydaktyce, pozwalający a auczaie metod projektowaia różych rodzajów algorytmów sterowaia stosowaych w praktyce [4]. Dwa ioriki zawieszoe kaskadowo pozwalają a użycie dowolych algorytmów sterowaia do regulacji poziomem wody w iorikach: dolym lub w górym. Zaprojektowae algorytmy sterowaia implemetowae są w systemie mikroprocesorowym udowaym w oparciu o mikrokotroler sygałowy MSF85 []. W pracy przedstawioe zostały algorytmy zastosowae do sterowaia poziomem wody w dolym ioriku, projektowae zarówo w przestrzei staów jak i z użyciem trasmitacji. Wykorzystaa została metoda emulacji, która polega a tym, że ajpierw sterowaie opracowywae jest w dziedziie czasu ciągłego, a astępie wyzaczoy Rys.. Schemat sterowaego procesu zaimplemetowaia go w urządzeiu cyfrowym. Projektowaie sterowaia w przestrzei staów, zazwyczaj odbywa się metodą lokowaia bieguów lub metodą Ackermaa. Obydwie te metody opierają się a charakterystykach pożądaych bieguów układu zamkiętego, które zazwyczaj są bardzo trude do zdefiiowaia, szczególie dla układów o dużych rozmiarach. Dodatkowo, metody te ie biorą pod uwagę możliwości realizacji zadaia sterowaia przez wykorzystywae urządzeie wykoawcze. W procesach sterowaia przemysłowego stosowae są regulatory PD, które zawierają w sobie elemety działaia proporcjoalego, całkującego i różiczkującego. Regulatory te posiadają prostą strukturę i pozwalają uzyskać dobrą jakość sterowaia w różych układach regulacji. Jedakże, przy zmiaach parametrów obiektu jak rówież przy zmiaach poziomu zakłóceń oddziałujących a obiek regulatory PD ie są odpowiedie. W celu uikięcia problemów występujących przy stosowaiu regulatora PD i podobych metod sterowaia, może zostać zastosoway optymaly regulator stau LQR (Liear Quadratic Regulator). Regulator te daje ajlepszą jakość sterowaia w odiesieiu do pewego wskaźika algorytm sterowaia poddaway jest dyskretyzacji w celu jakości, który jest fukcją kwadratową zawierającą wektor Recezet: Dr hab. iż. Kazimierz Duzikiewicz Wydział Elektrotechiki i Automatyki Politechika Gdańska

2 Rys.. Struktura projektowaego układu sterowaia z regulatorami stau wykorzystującymi sprzężeie całkujące Rys.. Struktura projektowaego układu sterowaia z regulatorem PD stau i wektor wejścia. Regulator te posiada własą metodę projektowaia przedstawioą w iiejszej pracy. Zaprojektoway został rówież ieoptymaly regulator stau ze sterowaiem całkującym, metodami: lokowaia bieguów i Ackermaa. Dodatkowo, w celu porówaia uzyskaej jakości sterowaia zaprojektoway został regulator PD, rówież metodą lokowaia bieguów. Regulatory stau pracowały w układzie pokazaym a rysuku, atomiast regulator PD w układzie przedstawioym a rysuku. Poprzez porówaie uzyskaych wyików sterowaia, dokoaa została ocea jakości sterowaia i zalezieie ajlepszego typu regulatora w układzie sterowaia poziomem wody w dolym ioriku.. MODEL MAEMAYCZNY UKŁADU KASKADOWEGO DWÓCH ZBORNKÓW Projektowae układy regulacji opierają się a liiowym modelu matematyczym obiektu. Układ kaskadowy dwóch iorików wraz z pompą jest układem ieliiowym i model matematyczy wymagał liearyzacji. Szczegóły dotyczące wyprowadzeia zastosowaego tutaj liiowego modelu matematyczego moża zaleźć w pracy [5]. utaj zawarte zostały ajważiejsze rówaia opisujące wyprowadzoy model matematyczy, składający się z astępującego rówaia stau d dt x ( x ( ) t x ( k u( x ( gdzie: x (= h (, x ( = h ( - zmiee stau, u( sygał sterujący pompą, wyjście w regulatora, = [s], = [s] stałe czasowe, k =.679 wzmocieie. i rówaie wyjścia () x( y ( h ( () x (. MEODY SEROWANA Wszystkie przedstawioe regulatory projektowae były metodą emulacji W podrozdziale tym szczegółowo przedstawioe zostały wszystkie zapropoowae metody projektowaia. Dobór parametrów projektowaych regulatorów związay był ze spełieiem astępujących wymagań projektowych: ) Maksymale przeregulowaie, miejsze od 5%; ) Czas arastaia, miejszy iż s; ) Czas regulacji, miejszy iż 6 s; 4) Uchyb w staie ustaloym < %. Regulatory stau projektowae są w układzie pokazaym a rysuku, w którym zastosowao regulator stau ze sterowaiem całkującym uchyb. Zakłada się, że wektor zmieych stau jest mierzaly. Zliearyzoway model matematyczy obiektu zapisay w postaci rówań dyamiczym opisyway jest astępującą postacią ogólą x ( A x ( B u( () y( C ( (4) x Poprzez sprzężeie zwrote, a wejście regulatora wprowadzaa jest całka z uchybu regulacji e( = y( r(. W związku z tym, wektor stau obiektu x, powiększay jest o dodatkowy sta x, który daje astępujące dodatkowe rówaie różiczkowe wprowadzae do zestawu rówań stau wobec tego x ( C x ( r( e( (5) t x ( e( ) d (6) Uzyskay wektor stau zapisay w postaci macierzowej przyjmuje astępującą postać 4 Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechiki i Automatyki PG, SSN , Nr /

3 x ( ( x C A x ( u( r( ( (7) x B Wyprowadzeie zależości opisujących algorytmy regulatorów stau prowadzoe są przy założeiu, że r( =. Po uwzględieiu tego waruku rówaie (7) zostaie zapisae w astępującej postaci ogólej x ( Ax( Bu( f( u) (8) Prawo sterowaia obejmujące poszukiwae parametry wektora K jest astępujące x ( u( K x( K k k x ( (9) x ( Zalezieie wzmocień K jest możliwe w przypadku gdy obiekt jest sterowaly. rasmitacja wzorcowa rzędu, której odpowiedź skokowa spełia wymagaia projektowe zapisae we wstępie do tego podrozdziału opisaa jest wzorem ( s) s s s s gdzie =.7, ( s s ( ) s )( s s )( s s =.4, =.7. ( ) s ) () W celu zaimplemetowaia projektowaych regulatorów stau (Rys. ) w cyfrowym procesorze sygałowym wymagaa jest dyskretyzacja całkowaia uchybu (6), co dokoae zostało w oparciu o astępujący wzór x ( k) x ( k ) e( k) () gdzie: okres próbkowaia, x (k), x (k) wartości: bieżąca i poprzedia całki uchybu regulacji, e(k) wartość uchybu regulacji w chwili próbkowaia... Regulator optymaly LQR Syteza regulatora optymalego LQR polega a takim doborze wektora wzmocień sprzężeia stau K (9), układu liiowego opisaego rówaiem stau (8), dla którego miimalizowaa jest astępująca fukcja celu mi J ( x Qx uru) dt F( u) dt () gdzie: Q i R zawierają współczyiki wagowe i odpowiadają za koszty związae ze sterowaiem oraz za szybkość działaia układu regulacji. Do dalszych obliczeń przyjęto astępujące wartości macierzy wagowych []... Q.. R = () W miimalizowaym wskaźiku jakości () ie jest zaday czas końcowy czyli rozpatryway układ ma ieskończoy horyzot sterowaia i jest układem ciągłym w czasie. Zdefiioway problem sterowaia optymalego rozwiązay zostaie poprzez wykorzystaie teorii sterowaia optymalego. Dla problemu opisaego rówaiami (8) i () defiiowaa jest astępująca fukcja Hamiltoa [] H( u, λ) F( u) λ x x Qx uru λ Qx λ gdzie jest tzw. zmieą dualą. f ( u) Ax λ ( Ax Bu) Bu uru (4) Waruki koiecze i wystarczające istieia rozwiązaia optymalego są astępujące H( u, λ) u Ru B λ (5) u H x λ λ (, u, ) Qx A λ (6) x Z rówaia (5) uzyskuje się wzór a sterowaie optymale u R B λ (7) Po podstawieiu uzyskaej zależości a sterowaie optymale u (7) do rówaia stau układu (8) otrzymuje się astępującą zależość x Ax Bu Ax BR B λ (8) Rówaia (8) oraz (6) w zapisie macierzowym przedstawiają się astępująco: x A λ Q BR A B x λ (9) Macierz (9) moża uprościć przez zastosowaie astępujących zależości: λˆ ( λ( λ( ˆ( λ () Dzięki temu rówaie (9) może zostać uproszczoe do postaci: x A λ ˆ Q BR A B x λ ˆ () Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechiki i Automatyki PG, SSN , Nr / 4

4 Uzyskaa w rówaiu () macierz osi azwę macierzy Hamiltoa H A H Q Dla λˆ moża zapisać: BR A B () ˆ ˆ λ( t ) P( x( P λ x () gdzie macierz P jest macierzą dodatio określoą. Kolejym krokiem jest wyzaczeie elemetów macierzy P, poprzez podstawieie zależości () do pierwszego rówaia zajdującego się w opisie macierzowym () ˆ x Ax BR B λ Ax BR B Px (4) Z rówaia (4) wyika zatem, że x [ A B B P] x (5) R Podstawieie zależości () dokoywae jest rówież do drugiego rówaia zajdującego się w opisie macierzowym () λ ˆ Qx A λˆ QxA Px [ Q A P] x Różiczkując obustroie zależość () uzyskuje się (6) λ ˆ Px Px (7) Po podstawieiu zależości (6) i (5) do wzoru (7) otrzymuje się R [ Q A P] x Px P[ A B B P] x (8) Po podzieleiu wyrażeia (8) obustroie przez x oraz uporządkowaiu przedstawia się oo astępująco P PA A P PBR B P Q (9) W te sposób zostało wyprowadzoe różiczkowe rówaie Riccatiego (9). W miimalizowaym wskaźiku jakości () układ ma ieskończoy horyzot sterowaia, wobec tego rówaie (9) może zostać zapisae jako [] P PA A P PBR B P Q () W rówaiu Riccatiego () macierz Q musi być symetrycza co łatwo uzyskać stosując poiższe przekształceie Q Q Q () Po podstawieiu zależości () do rówaia (7) uzyskuje się zależość u( R B λ R B Px( Kx( z której wyzaczae są wzmocieia optymale K. Widać, () stąd, że do wyzaczeia wzmocień optymalych dla regulatora optymalego LQR potrzeba jest macierz P będącą rozwiązaiem rówaia Riccatiego (). W rozważaej pracy macierz P wyzaczoa została w sposób umeryczy a podstawie macierzy Hamiltoa H opisaej wzorem (). Sposób te polega a tym, że ajpierw a podstawie macierzy Hamiltoa H wyzacza się jej wartości oraz wektory włase. Niech macierz V zawiera wektory włase, atomiast macierz E wartości włase macierzy H. W aalizowaym przypadku obydwie te macierze są o rozmiarze 6x6. Aby jedak projektoway układ był stabily i sterowaly to wszystkie uzyskae wartości włase muszą zajdować się w lewej półpłaszczyźie. Następie z macierzy wektorów własych V wybiera się tylko te kolumy, którym odpowiadają wartości włase macierzy E mające ujeme części rzeczywiste. W te sposób powstaje owa macierz wektorów własych W o rozmiarze 6 którą astępie dzieli się a dwie rówe macierze o rozmiarze x i otrzymuje się dwie owe macierze. Z górych trzech wierszy uzyskuje się macierz W, atomiast z dolych trzech wierszy macierz W. Następie w celu wyzaczeia wartości macierzy P dokouje się podzieleia macierzy W przez macierz W. / W W ( W ) P W () Po przeprowadzeiu tej operacji otrzymuje się macierz P o rozmiarze będącą rozwiązaiem algebraiczego rówaia Riccatiego () P (4) Mając obliczoą macierz P moża teraz obliczyć wartości wzmocień dla regulatora optymalego LQR, korzystając z zależości () i otrzymuje się wówczas macierz wyikową K w postaci: K R B P (5).. Regulator stau projektoway metodą Ackermaa Metoda Ackermaa służąca do wyzaczaia wzmocień ieoptymalego regulatora stau (9), w układzie pokazaym a rysuku, opiera się a astępującym wzorze K [ ] S α ( A) Macierz sterowalości S wyzaczaa jest astępująco c (6) S B AB A B (7) gdzie macierze A i B macierzami zawartymi w rówaiu stau opisaym wzorem (8). Macierz α c (A) ze wzoru (6) wyzaczaa jest z zależości αc( c c c A) A A A (8) gdzie ci, i =,,, są współczyikami wzorcowego rówaia charakterystyczego, jest macierzą jedostkową. 4 Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechiki i Automatyki PG, SSN , Nr /

5 Wzorcowe rówaie charakterystycze wyzaczae jest w oparciu o położeia bieguów wzorcowych s, s, s wyzaczoych z miaowika trasmitacji wzorcowej () c( c c c α s) ( s s )( s s )( s s ) s α s α s α (9) W wyiku przeprowadzoych obliczeń metodą Ackermaa uzyskae zostały astępujące wartości wzmocień ieoptymalego regulatora stau K (4).. Regulator stau projektoway metodą lokowaia bieguów Metoda lokowaia bieguów służąca do wyzaczaia wzmocień ieoptymalego regulatora stau (9), w układzie pokazaym a rysuku, polega a takim doborze wzmocień sterowaia K, które ulokują bieguy układu skorygowaego w położeiach wzorcowych s, s, s (). Wówczas odpowiadające im pożądae rówaie charakterystycze sterowaia przyjmie postać opisaą wzorem (9). Podstawiając prawo sterowaia (9) do rówaia stau obiektu (8), otrzymuje się rówaie stau układu skorygowaego [] x ( Ax( Bu( [ A BK] x( (4) Rówaie charakterystycze uzyskiwae z rówaia stau (4) opisywae jest wzorem det[ s ( A BK)] (4) Pożądae elemety wektora K uzyskiwae są poprzez porówaie współczyików rówaia (9) oraz (4). Prowadzi to do tego, że uzyskay wielomia charakterystyczy będzie idetycze z pożądaym i bieguy układu zamkiętego będą umieszczoe w pożądaych położeiach. W wyiku przeprowadzoych obliczeń, metodą lokowaia bieguów uzyskae zostały astępujące wartości wzmocień ieoptymalego regulatora stau K (4).4. Syteza regulatora PD Na rysuku przedstawioy został schemat blokowy układu regulacji zastosoway do sterowaia poziomem wody w dolym ioriku z użyciem regulatora PD. Uproszczoy model matematyczy układu sterowaia zastosoway do wyzaczeia wartości parametrów regulatora PD przedstawioy został a rysuku 4. Rys. 4. Schemat blokowy uproszczoego modelu matematyczego układu sterowaia poziomem wody w dolym ioriku z regulatorem PD rasmitacja wypadkowa obiektu pokazaego a rysuku 4 jest astępująca kck kcka Go ( s) kcg ( s) (44) ( s )( s ) ( s a)( s b) gdzie k c =.47 jest wzmocieiem czujika pomiarowego w pukcie pracy, zamotowaego w dolym ioriku. Do sterowaia poziomem w dolym ioriku zastosoway został regulator PD o trasmitacji G PD ( s) K P sd (45) s rasmitacja wypadkowa układu pokazaego a rysuku 4 kckak P s D s ( s) (46) s a s a s a gdzie współczyiki miaowika trasmitacji wypadkowej opisaej wzorem (46) a a b akc kk (47) a P D ab ak c kk P (48) ak kk P (49) c a Z porówaia współczyików miaowików trasmitacji opisaej wzorem () i trasmitacji wypadkowej projektowaego układu (46), uzyskuje się astępujące zależości, pozwalające a wyzaczeie wartości parametrów regulatora PD (45) K P c ab = (5) ak k ckk P ak ab = [s] (5) D a ab b = 8.68 [s] (5) Zaprojektoway regulator PD (45) jest regulatorem ciągłym. W celu zaimplemetowaia go w cyfrowym procesorze sygałowym, dokoao jego dyskretyzacji poprzez przejście z opisem z płaszczyzy s a płaszczyzę z. Aproksymację części całkującej i różiczkującej zrealizowao przy użyciu astępujących zależości s z z p (5) z s (54) z p Wyikiem powyższych operacji było uzyskaie trasmitacji regulatora PD zapisaej w postaci dyskretej. Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechiki i Automatyki PG, SSN , Nr / 4

6 Przedstawia się oa astępująco G PD gdzie ( z) K q z D z p z p z P q z q z z (55) p D q K P p (56) p D q K P p (57) miały przede wszystkim za zadaie przygotowaie kodów źródłowych programów zapisaych w języku programowaia C, opisujących zaprojektowae algorytmy sterowaia, które astępie były implemetowae w procesorze sygałowym. Dyskretyzacja zaprojektowaych algorytmów ciągłych a postać dyskretą przeprowadzoa została z okresem próbkowaia wyoszącym =.5 [s]. Sygały pomierzoe przez czujiki poziomu wymagały filtracji w celu wyelimiowaia z ich szumów pomiarowych. W każdym torze pomiarowym zastosoway został filtr doloprzepustowy opisay trasmitacją G f ( s) (59) s s który został zapisay w postaci zestawu rówań dyamiczych q K (58) P D p x x f f ( ( x x f f ( u ( f ( (6) Algorytm sterowaia dyskretego PD zapisay został w postaci rekurecyjej oraz zaimplemetoway w cyfrowym procesorze sygałowym. u k) u( k ) q e( k) q e( k ) q e( k ) (59) ( 4. WYNK BADAŃ ZAPROJEKOWANYCH UKŁADÓW SEROWANA W celu dokoaia porówaia jakości pracy zaprojektowaych regulatorów stau i regulatora PD, przeprowadzoe zostały badaia symulacyje w środowisku obliczeiowym MALAB/Simulik, które astępie zostały zweryfikowae a obiekcie rzeczywistym w układzie kaskadowych dwóch iorików. Badaia symulacyje x f ( y f ( (6) x f ( Filtr te całkoway był w procesorze sygałowym metodą Rugego-Kutty V rzędu z krokiem całkowaia =. [s]. Parametry ieoptymalego regulatora stau K wyzaczoe metodami: Ackermaa (4) i lokowaia bieguów (4) mają idetycze wartości i regulator z tymi wartościami azway tutaj regulatorem stau. Dla każdego z rozważaych układów regulacji przeprowadzoa została próba składająca się z trzech odcików stabilizacji poziomu wody w dolym ioriku, każdy o czasie trwaia 4 s. W chwili załączeia układów regulacji, obydwa ioriki były puste. Na odciku pierwszym zaday poziom wody wyosił 7 cm, a drugim Rys. 5. Wyiki sterowaia poziomem wody w dolym ioriku z użyciem optymalego regulatora stau LQR 44 Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechiki i Automatyki PG, SSN , Nr /

7 cm i a ostatim, trzecim odciku poowie 7 cm. Ocea jakości pracy rozważaych układów regulacji polegała a oceie wskaźików jakości defiiowaych a podstawie odpowiedzi skokowej i były to: maksymale przeregulowaie M p, czas regulacji t R mierzoy przy strefie dokładości = 5%. Dodatkowo a każdym odciku stabilizacji poziomu, a podstawie pomierzoych wartości poziomu i sygału sterującego wyzaczay był fukcjoał J N k e ( k) u ( k) (6) gdzie: e(k)=h zad (k)h (k) uchyb regulacji, u(k) sygał sterujący pompą, wyjście w regulatora Pomiar odbywał się z okresem próbkowaia wyoszącym,5 s co dawało N = 6 pomierzoych próbek w każdym Rys. 6. Wyiki sterowaia poziomem wody w dolym ioriku z użyciem ieoptymalego regulatora stau Rys. 7. Wyiki sterowaia poziomem wody w dolym ioriku z użyciem regulatora PD Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechiki i Automatyki PG, SSN , Nr / 45

8 abela. Wskaźiki ocey jakości sterowaia uzyskae z wykresów czasowych pokazaych a rysukach 5 7 yp regulatora Odciek ( s 4 s) Odciek (4 s 8 s) Odciek (8 s s) M p t R J M p t R J M p t R J J c [%] [s] [-] [%] [s] [-] [%] [s] [-] [-] LQR,48 7,5 896,6,7,5 66,7,6 85, 59, 699,4 Stau,48 6, 44,4 5,9, 445,7,9,5 579,6 669,6 PD 4,,5 99,4 46,6-86,5 4,9 45, 594,7 694,6 odciku stabilizacji. Dodatkowo, dla każdej próby wyzaczay został fukcjoał całkowity J c. Próba sterowaia, pomierzoa a staowisku badawczym w układzie z regulatorem optymalym LQR pokazaa została a rysuku 5, z ieoptymalym regulatorem stau a rysuku 6, atomiast próba z regulatorem PD a rysuku 7. Wskaźiki jakości, wyzaczoe a podstawie tych prób zajdują się w tabeli. 7. WNOSK KOŃCOWE W iiejszej pracy zaprojektowae i przebadae zostały dwa regulatory stau: optymaly LQR i ieoptymaly, które wymagały pomiaru poziomu w obydwu iorikach oraz regulator PD korzystający z pomiaru poziomu jedyie w dolym ioriku. Dokoaa ocea jakości pozwala stwierdzić, że ajsłabsze wyiki uzyskae zostały przy zastosowaiu regulatora PD, gdzie występują ajwiększe przeregulowaia i ajdłuższe czasy regulacji a każdym rozważaym odciku stabilizacji poziomu zadaego. Zdecydowaie miejsze wartości maksymalego przeregulowaia uzyskae zostały w układach sterowaia w których zastosowae zostały regulatory stau: optymaly LQR i ieoptymaly. Regulator optymaly LQR w porówaiu z ieoptymalym, astrojoy został a osiągaie dużej jakości sterowaia, charakteryzującej się małymi wartościami maksymalego przeregulowaia i czasu regulacji, co odbyło się kosztem dużych zmia sygału sterującego. Sygał sterujący wyzaczay przez ieoptymaly regulator stau charakteryzował się ajmiejszą zawartością szumów pomiarowych. Podsumowując, w układzie kaskadowym dwóch iorików lepszą jakość sterowaia uzyskuje się wykorzystując regulatory posiadające iformacje o poziomach wody w obydwu iorikach. 8. BBLOGRAFA. Frakli G. F., Powell J. D., Emami-Naeii A.: Fedback cotrol of dyamic systems, 5 th ed., Pearso Pretice Hall, 6, SBN Kęska J.: Sterowaie obiektem rzeczywistym przy użyciu cyfrowego procesora sygałowego, Praca iżyierska, Akademia Morska, Gdyia.. alaśka M.: Sterowaie optymale w układzie kaskadowym dwóch iorików, Praca magisterska, Akademia Morska, Gdyia. 4. omera M., Kaczmarczyk M.: Komputerowy układ sterowaia poziomem wody w kaskadzie dwóch iorików, Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechiki i Automatyki Politechiki Gdańskiej, Nr 8, s. 5-8,, SSN omera M., Kęska J., Kasprowicz A.: Sterowaie poziomem wody w kaskadzie dwóch iorików przy użyciu mikrokotrolera MSF85, Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechiki i Automatyki Politechiki Gdańskiej, Nr, s. -,, SSN COMPARSON PERFORMANCE BEWEEN SAE CONROLLERS AND PD N A DOUBLE ANK CASCADE SYSEM Key-words: itegral cotrol, optimal cotrol LQR, PD cotrol he paper presets the comparative aalysis made betwee the two state regulators ad PD cotroller, based o a assessmet of respose time water level cotrol i a cascade of two taks. Object cotrol system is oliear ad cosists of a pump, the two taks coected i cascade, ad sesors for measurig the water level i the taks. Details of which have bee aalyzed cotroller desig method. he first cotroller is the state of optimal LQR cotroller for which aalytical formulas are derived to calculate the optimal values of gais, while the ext is desiged by Ackerma ad pole placemet method. he PD cotroller was desiged also by pole placemet method. Simulatio study was carried out usig the computatioal eviromet MALAB/Simulik. arget tests were performed i a real time system, where the cotrol algorithms set by the emulatio method was programmed i digital sigal processor MSF85 deployed to automatically cotrol the water level i the bottom tak. 46 Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechiki i Automatyki PG, SSN , Nr /