Wyznaczanie immitancji i ocena odkształcającego charakteru dwójników pasywnych o okresowo zmiennych parametrach
|
|
- Juliusz Kozak
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Radosław KŁOSŃSK Uiwersytet Zieloogórski, stytut Metrologii Elektryczej Wyzaczaie immitacji i ocea odkształcającego charakteru dwójików pasywych o okresowo zmieych parametrach Streszczeie. Przedmiotem pracy jest ocea ziekształcającego charakteru dwójika o okresowo zmieych parametrach a podstawie wyzaczoego operatora immitacji widmowej. W dziedziie czasu dyskretego związek miedzy okresową odpowiedzią a okresowe wymuszeie układu parametryczego opisay jest za pomocą operatora cykloparametryczego. W wyiku przetrasformowaia tego operatora do dziedziy częstotliwościowej otrzymuje się immitację widmową. a jej podstawie moża wyzaczyć współczyik THD sygału odpowiedzi a siusoidale wymuszeie. Przedyskutowao możliwość zastosowaia opisaej metody do określaia ziekształcającego charakteru dwójików ieliiowych. Oprócz rozważań teoretyczych zaprezetowao rówież wyiki symulacji komputerowych. Abstract. This paper describes a method of distortio properties assessmet based o the circular parametrical operator idetificatio. A THD factor (total harmoic distortio) of curret sigal i case of siusoidal supply may be calculated o the basis of the parametrical freuecy operator. The problems of the idetificatio of the oliear two-termials usig the preseted method are discussed. Apart from theoretical cosideratios, some examples of umerical experimet have bee preseted. Słowa kluczowe: dwójiki odkształcające, operator cykloparametryczy, immitacja, współczyik THD; Keywords: distortig two-termials, circular parametrical operator, two-termial fuctio, THD factor; Wstęp Pojawiaie się wyższych harmoiczych apięć i prądów w obwodach elektroeergetyczych spowodowae jest zazwyczaj obecością odbiorików iestacjoarych lub ieliiowych. Określeie immitacji takich odbiorików, o ile mogą osiągąć okresowy sta ustaloy, jest bardziej skomplikowae iż opis stosoway dla układów SLS. Dwójiki klasy SLS (skupioe, liiowe, stacjoare) mogą przekształcać okresowy sygał wymuszający a okresowy sygał odpowiedzi bez mieszaia harmoiczych. Każda harmoicza sygału odpowiedzi powstaje tylko i wyłączie z tej samej harmoiczej wymuszeia. Fukcję przetwarzaia takich dwójików w dziedziie częstotliwości określa zespoloa immitacja widmowa H(ω). Harmoicze, których ie ma w wymuszeiu ie mogą pojawić się w sygale odpowiedzi. a sytuacja ma miejsce w przypadku dwójików iestacjoarych SL o okresowo zmieych parametrach. Aby dwójik iestacjoary mógł osiągąć okresowy sta ustaloy, musi istieć wspóly okres zmia parametrów i sygału wymuszającego. Przetwarzaie okresowego sygału wymuszającego a okresową odpowiedź odbywa się z mieszaiem harmoiczych. Każda harmoicza odpowiedzi układu może zależeć od kilku lub wszystkich harmoiczych obecych w wymuszeiu. Tak więc w sygale odpowiedzi mogą pojawić się harmoicze, których wymuszeie ie zawiera. W tym przypadku uogólioa immitacja widmowa dwójików parametryczych dla sygałów okresowych o dyskretym widmie ma postać ieskończoej macierzy o zespoloych elemetach. Przedmiotem pracy jest metoda wyzaczaia immitacji widmowej i a jej podstawie ocea odkształcającego charakteru dwójika. Zazwyczaj obwody elektrycze zasilae są ze źródeł apięciowych, a odpowiedzią jest prąd, w takim przypadku bardziej przydaty jest operator admitacji. Przy wymuszeiu prądowym wykorzystuje się operator impedacji. Z puktu widzeia propoowaej metody wybór rodzaju immitacji ie ma zaczeia. Stąd w pracy zazwyczaj używaymi określeiami są immitacja, wymuszeie i odpowiedź dwójika. W dziedziie czasu dyskretego związek między apięciem i prądem dwójika SL w okresowym staie ustaloym opisay jest za pomocą operatora cykloparametryczego w postaci macierzy. Operator taki może być wyzaczoy a podstawie próbek par sygałów zaciskowych z wykorzystaiem orygialego algorytmu idetyfikacji. Poprzez trasformację operatora cykloparametryczego do dziedziy częstotliwościowej otrzymuje się widmową immitację H ( ω ). a jej podstawie moża oceić odkształcający charakter dwójika a przykład wyzaczając współczyik THD odpowiedzi a siusoidale wymuszeie. Opis układu SL Związek między sygałami wejściowym i wyjściowym układu klasy SL (skupioe, liiowe, iestacjoare) opisay jest, w ogólym przypadku, za pomocą rówaia różiczkowego o zmieych współczyikach postaci: i i () ai() t y t = bi t x t i= i= () () () () () gdzie: x( t ) - sygał wymuszeia, yt () - sygał odpowiedzi, () i (), () i x t y () t - i-te pochode sygałów. Współczyiki ai ( t) oraz i ( ) b t występujące w rówaiu () zależą od czasu, poieważ parametry układu zmieiają się w czasie. Rozwiązaie rówaia () dae jest w postaci: () () () (, ) ( ) y t = Hx t = h t τ x τ dτ gdzie: htτ (, ) - odpowiedź impulsowa układu. Dla układów iestacjoarych kształt odpowiedzi impulsowej zależy od mometu podaia impulsu. W miarę upływu czasu parametry układu zmieiają się, więc zmieia się sposób jego działaia. W odróżieiu od układów stacjoarych, dla których odpowiedź impulsowa ze względu a iezmieość kształtu może być traktowaa jak ht τ dla układów fukcja jedej zmieej ( ) iestacjoarych SL odpowiedź impulsowa htτ (, ) jest fukcją dwóch zmieych: t - czasu bieżącego oraz τ - mometu podaia impulsu.
2 W dziedziie czasu dyskretego związek między próbkami sygałów wejścia i wyjścia układu SL opisay jest za pomocą rówaia różicowego: (3) Ai( ) y( i) = Bi( ) x( i) i= i= gdzie: x( ), y( ) - próbki sygałów wymuszeia i odpowiedzi zebrae z odstępem τ p. Rozwiązaie rówaia różicowego (3) dae jest w postaci sumy: (4) y( ) = Hx( ) = h(, m) x( m) gdzie: h(, m ) - odpowiedź impulsowa a impuls Kroecker a δ ( m). Współczyiki Ai ( ), i ( ) B w rówaiu różicowym (3) dla układów iestacjoarych zależą od czasu dyskretego. Podobie jak w dziedziie czasu ciągłego kształt dyskretej odpowiedzi impulsowej układu iestacjoarego zależy od przesuięcia w czasie i odpowiedź impulsowa ie może być traktowaa jak fukcja jedej zmieej: Jak wykazao w pracach [,,3], układy iestacjoare o okresowo zmieych parametrach mogą osiągąć okresowy sta ustaloy pod warukiem istieia wspólego okresu zmia parametrów i sygału wymuszającego. -okresową odpowiedź układu o -okresowo zmieych parametrach a -okresowe wymuszeie w staie ustaloym moża wyzaczyć posługując się operatorem cykloparametryczym daym w postaci macierzy: y( ) h, h,... h, x( ) y() h, h,... h, x() (5) = y( ) h ( ), h,... h x, lub krócej: (6) y = Hx gdzie: H - operator cykloparametryczy układu, x, y wektory próbek sygałów wymuszeia i odpowiedzi, h m, = h (, m) - -ta próbka cykliczej odpowiedzi impulsowej [4]: (7) h(, m) = h(, m p) p= Jeżeli wymuszeiem jest apięcie a zaciskach dwójika, a odpowiedzią jest prąd, to operator cykloparametryczy H ma charakter admitacji. Operator te określoy w dziedziie czasu dyskretego w postaci macierzy cykloparametryczej może reprezetować związki admitacyje dwójika dla wszystkich harmoiczych, które moża zakodować w próbkach przypadających a okres zmia sygałów i parametrów, a więc dla harmoiczych o umerach ieprzekraczających /. Działaie operatora odzwierciedla ziekształcający charakter dwójika parametryczego, czyli możliwość mieszaia i geerowaia harmoiczych. Zjawiska te moża lepiej iterpretować a podstawie operatora widmowego H ( ω ), który uzyskuje się po przetrasformowaiu rówaia (5) do dziedziy częstotliwościowej. Widmowy opis układów o okresowo zmieych parametrach Próbki sygału okresowego mogą być wyrażoe za pomocą szeregu zespoloych amplitud składowych harmoiczych [5,6]: (8) ( ) ( τ p) x = x = Xmw m= =,,,..., gdzie: τ p - okres próbkowaia, - liczba próbek a okres sygału, τ p = T, X m - dla < m - amplituda zespoloa m-tej harmoiczej, - dla < m - m X m X = - sprzężoa amplituda zespoloa (-m)-tej harmoiczej, - dla m= - X podwója wartość składowej stałej, π j w e =, Wartości amplitud zespoloych moża wyzaczyć a postawie próbek sygałów z zależości: m = X = x w (9) m ( τ p) Przekształceie widmowe (8), (9) to dyskrete przekształceie Fouriera (DPF). Ciąg X uzyskay ze wzoru (9) jest -okresowy, podobie jak sygał x( ). Wzór (9) daje dokłade wyiki pod warukiem, że widmo sygału x( ) jest ograiczoe oraz () m> X m = tz. są spełioe założeia twierdzeia o próbkowaiu. W przeciwym razie pojawia się błąd akładaia widma (aliasig). Wzory (8) i (9) moża zapisać w postaci macierzowej: () () x= FX X = F x lub X= m m F x gdzie: x wektor próbek sygału, X wektor zespoloych amplitud oraz zespoloych amplitud sprzężoych, F tzw. m F = w, F - odwrota macierz macierz Fouriera, [ ] m Fouriera o właściwości F F ( - zak sprzężeia). = Aby zaleźć widmowy odpowiedik operatora cykloparametryczego H ależy obie stroy rówaia (6) pomożyć lewostroie przez F oraz podstawić
3 rówaie (). Uwzględiając rówaie () w odiesieiu do sygału y otrzymuje się: (3) = = ( ω ) skąd ostateczie: Y F HFX H X H ω = F HF = F HF (4) ( ) W ogólym przypadku operator H ( ω ) dla układu o okresowo zmieych parametrach jest macierzą liczb zespoloych. Poieważ wektory X i Y są wypełioe amplitudami zespoloymi, a od połowy ich sprzężeiami, oraz macierz cyklopatametrycza H ma wszystkie elemety rzeczywiste, macierz H ( ω ) ma budowę pseudo symetryczą. Każdy elemet macierzy ma swój odpowiedik w postaci elemetu sprzężoego zajdujący się po przeciwej stroie względem środka macierzy [7]. Elemety zajdujące się a główych przekątych określają związek między amplitudami zespoloymi wymuszeia i odpowiedzi dla określoej harmoiczej. Pozostałe elemety macierzy wiążą ze sobą amplitudy harmoiczych o różych częstotliwościach. W te sposób określoy jest mechaizm przetwarzaia harmoiczych wymuszeia w harmoicze odpowiedzi o iych częstotliwościach, a więc zjawiska mieszaia i geerowaia harmoiczych oraz zależość od przesuięcia w czasie. Elemety zajdujące się w dwóch skojarzoych kolumach o umerach k oraz -k określają mechaizm geerowaia składików zespoloych amplitud harmoiczych odpowiedzi pochodzących od k-tej harmoiczej wymuszeia. atomiast elemety zajdujące się w dwóch skojarzoych wierszach o umerach m oraz -m określają mechaizm geerowaia określoej harmoiczej odpowiedzi ze wszystkich harmoiczych wymuszeia. Dla układu stacjoarego macierz H jest cyklicza i po przekształceiu zgodie z (4) do dziedziy widmowej macierz H ( ω ) przyjmuje postać macierzy diagoalej. W tym przypadku widać rozdzieleie harmoiczych, tz. amplituda określoej harmoiczej sygału wyjściowego zależy tylko od amplitudy tej harmoiczej sygału wejściowego. Układ opisay diagoalą macierzą H ( ω ), a więc układ typu SLS ie może geerować harmoiczych ieobecych w wymuszeiu. Wyzaczaie immitacji o okresowo zmieych parametrach Peły pomiar immitacji dwójika o okresowo zmieych parametrach to wyzaczeie wszystkich elemetów macierzy cykloparametryczej H lub operatora immitacji widmowej H ( ω ). Trzymając się defiicji macierzy cykloparametryczej (5) z uwzględieiem metody wyzaczaia operatora cykloparametryczego, (7) aby określić H ależałoby dokoać pomiaru (zebrać próbki) przesuiętych o okres próbkowaia τ p cykliczych odpowiedzi impulsowych (a cyklicze impulsy wymuszeia), a astępie wpisać je w odpowiedi sposób do macierzy. a metoda to podaie a wejście układu iezależych liiowo sygałów wymuszeia i zebraie odpowiedzi a te sygały, a astępie wyzaczeie operatora H a zasadzie rozwiązaia układu rówań liiowych -tego stopia [4]. Próba bezpośrediego wyzaczeia operatora immitacji widmowej H ( ω ) to seria pomiarów próbek odpowiedzi przy mooharmoiczych wymuszeiach o różych częstotliwościach (po dwa wymuszeia o różych fazach początkowych dla każdej częstotliwości), a astępie rozkład uzyskaych sygałów odpowiedzi a składowe harmoicze. Jeżeli peła zajomość operatora immitacji widmowej H ( ω ) ie jest potrzeba, w celu wyzaczeia tylko dwóch kolum (skojarzoych ze sobą) moża ograiczyć się do pomiaru przy dwóch różych (ajlepiej ortogoalych) wymuszeiach mooharmoiczych o określoej częstotliwości. Wielu problemów związaych z pomiarem immitacji o okresowo zmieych parametrach moża uikąć stosując odpowiedi aparat matematyczy. Dobrym rozwiązaiem wydaje się wykorzystaie orygialego algorytmu idetyfikacji operatora cykloparametryczego, którego wyprowadzeie przedstawioo w [,]. detyfikacja operatora cykloparametryczego to wyzaczaie elemetów macierzy H a podstawie zestawu K sygałów wymuszających X i powiązaych z imi K sygałów odpowiedzi układu Y. Korzysta się tutaj z astępującej zależości wyikającej z rówaia (6): (5) HX = Y gdzie: X - macierz K sygałów wymuszających, każda koluma to wektor próbek jedego sygału wymuszającego, Y - macierz K sygałów odpowiedzi układu, każda koluma to wektor próbek jedego sygału odpowiedzi. W przypadku, gdy =K zadaie wyzaczeia macierzy H ma jedozacze rozwiązaie i sprowadza się do odwróceia macierzy X: (6) H = YX Warukiem uzyskaia rozwiązaia jest: (7) det X co moża uzyskać odpowiedio dobierając sygały wymuszające [4]. W przypadku, gdy <K rówaie macierzowe (5) może mieć ieskończeie wiele rozwiązań. Spośród tych rozwiązań ależy wybrać jedo ajbardziej optymale. iech kryterium optymalizacyjym będzie jak ajmiejsza zmieość parametrów układu, przy jedoczesym spełiaiu rówaia (5). Zadaie optymalizacji warukowej może być postawioe w astępujący sposób: T T (8) ( h ) h mi (9) X h = y gdzie: h - wektor zawierający elemety -tego wiersza macierzy H, y - wektor -tych próbek wszystkich K sygałów odpowiedzi układu (elemety -tego wiersza macierzy Y), h - wektor przyrostów elemetów macierzy H, dla -tego wiersza tej macierzy, defiiowaych astępująco:
4 () h m, = h m, h ( ), m( ) ( ) - zak odejmowaia modulo ; Kryterium optymalizacyje (8) ozacza miimalizację przyrostów elemetów macierzy H wzdłuż przekątej główej i podprzekątych do iej rówoległych. Taki wybór kryterium optymalizacyjego pochodzi od faktu, że w przypadku układu liiowego o stałych parametrach związek między sygałami odpowiedzi i wymuszeia w okresowym staie ustaloym określoy jest za pomocą macierzy cykliczej. Wtedy przyrosty elemetów zdefiiowae za pomocą wyrażeia () są rówe zero. Wybór kryterium (8) ozacza poszukiwaie operatora cykloparametryczego opisującego układ spełiający rówaie (9) o możliwie jak ajłagodiejszej zmieości parametrów. Jeżeli okaże się, że zmieość parametrów ie jest iezbęda, w wyiku optymalizacji (8) (9) uzyskaa zostaie macierz cyklicza (o zerowych przyrostach ()) opisująca układ klasy SLS. Waruki określoe rówaiem (9) wyikają bezpośredio z zależości (6). Zastosowaie metody Lagrage a prowadzi do iteracyjego rozwiązaia postawioego zadaia: T () T T = ( ) + ( ) gdzie: h X X X X Ph X X X y = - macierz jedostkowa, P = macierz cykliczego opóźieia jedostkowego. teracje moża realizować pod warukiem: () ( X T X ) det ozaczającym liiową iezależość sygałów wymuszających. Ocea odkształcającego charakteru dwójika o okresowo zmieych parametrach Posługując się widmowym operatorem immitacji dwójika o okresowo zmieych parametrach moża określić jego odkształcający charakter. Możliwe jest a przykład, a podstawie widmowego operatora admitacji Y, wyzaczeie współczyika zawartości wyższych ( ω ) harmoiczych: prądu dwójika przy zasilaiu apięciem siusoidalym (o podstawowej częstotliwości) o wartości skuteczej zespoloej U. Widmo prądu odkształcoego opisaego za pomocą próbek a okres jest ograiczoe, a więc: = = = (4) H = = = = () () 3 gdzie: () = 4 - wektor wartości skuteczych... zespoloych wyższych harmoiczych prądu płyącego przez dwójik przy zasilaiu tylko pierwszą harmoiczą apięcia U, () = wektor uzyskay z () przez traspoowaie i sprzężeie zespoloe elemetów. (5) Uwzględiając związek (3) moża zapisać: () () ( ω) ( ) ( ω) H Y U Y U = UY ( ω) Y ( ω) U = = = gdzie U wektor wartości skuteczych zespoloych harmoiczych apięcia w tym przypadku zawierający tylko dwa iezerowe elemety: U i U. Przy zakładaym zasilaiu wektor U ma tylko dwa iezerowe elemety, to zaczy U oraz U = U. W takim razie tylko dwie kolumy operatora Y ( ω ) o umerach oraz - mają zaczeie. Rezygując ze zbędych kolum operatora Y ( ω ) i z zerowych elemetów wektora U oraz redukując zapisać w postaci: (6) wyrażeie (5) moża U = U U = y H [ y y ] y U U A B = U U = B A U ( UAU UB U UBU UAU ) Re{ BU } = = = AU + = ( cos( )) = A+ B B+ U U (3) THD H = = = Y, Y 3, gdzie: y = - wektor zawierający elemety... Y, pierwszej kolumy operatora Y ( ω ) bez Y,, Y,, Y,,
5 Y, Y 3, y = - wektor zawierający elemety -... Y, kolumy operatora Y ( ω ) bez Y,, Y,, Y,. Rys.. Dwójik RLC o okresowo zmieych parametrach Liczby: rzeczywista A oraz zespoloa B występujące w wyrażeiu (6) zdefiiowae są astępująco: (7) (8),,,,, = = A= Y Y = Y Y = Y,,,, = = B = Y Y = Y Y W aalogiczy sposób do (6) moża wyzaczyć kwadrat modułu pierwszej harmoiczej prądu: (9) = ( + cos( + )) gdzie: a b b U U (3),, a = Y + Y (3) b= Y,Y, Wartość współczyika zawartości wyższych harmoiczych prądu przy zasilaiu dwójika o okresowo zmieych parametrach siusoidalym apięciem o wartości skuteczej zespoloej U moża wyzaczyć a podstawie zajomości kolumy umer operatora Y ( ω ) zgodie z wyrażeiem: Rys.. Zależość współczyika THD od fazy początkowej U dla różych wariatów zmieości pojemości Rysuek. przedstawia wyiki testu polegającego a wyzaczaiu zależości współczyika THD od fazy początkowej apięcia zasilającego (góry wykres) dla różych wariatów zmieości pojemości dwójika (doly wykres). Współczyik THD jest wyzaczay a podstawie admitacyjego operatora cykloparametryczego dwójika. (3) THD ( ) ( ) H A+ B cos B+ U = = a+ b cos b+ U gdzie: A, B, a, b - liczby określoe za pomocą wzorów (7), (8), (3) i (3). Postać wyrażeia (3) jest zgoda z właściwościami układów klasy SL. iezależość współczyika THD od amplitudy apięcia U potwierdza liiowy charakter. atomiast zależość od fazy początkowej apięcia, a więc od przesuięcia w czasie, jest typowa dla układów parametryczych. Test działaia algorytmu Poiżej zaprezetowao wybrae wyiki testów działaia algorytmu idetyfikacji i wyzaczaia współczyika zawartości wyższych harmoiczych THD. Badaia przeprowadzoo a przykładzie dwójika RLC o okresowo zmieych parametrach pokazaego a rysuku. a podstawie zadawaych ciągów próbek c zmieych w czasie parametrów r( ), l( ), ( ) geeroway jest metodą opisaą w [8,9] admitacyjy operator cykloparametryczy dwójika Y, a a jego podstawie wyzacza się operator widmowy Y ( ω ) umożliwiający obliczeie współczyika THD. Rys.3. detyfikacja admitacyjego operatora cykloparametryczego sygałami impulsowymi oraz współczyik THD w fukcji fazy początkowej U uzyskay a kolejych etapach idetyfikacji
6 Rysuek 3. pokazuje wyiki testu polegającego a porówaiu współczyika THD obliczoego w kolejych etapach idetyfikacji admitacyjego operatora cykloparametryczego a podstawie wymuszeń w postaci impulsów i odpowiedzi a ie. Pary sygałów do idetyfikacji uzyskuje się podając określoe wymuszeie a zaday operator Y, który rówież jest wykorzystyway do geerowaia orygialej odpowiedzi a sygał wymuszeia oraz zadaej wartości współczyika THD. Współczyik THD obliczoy w wyiku idetyfikacji jedym impulsem ma zerową wartość, poieważ uzyskao operator stacjoary. Trzecia koluma wykresów to porówaia efektów działaia a apięcie testujące (ut) operatora admitacji zadaego (prąd ioryg) i operatora uzyskaego w wyiku idetyfikacji (prąd it). Rys.4. Efekty idetyfikacji operatora sygałami siusoidalymi (pierwszą harmoiczą) a rysuku 4. pokazao idetyfikację operatora a podstawie siusoidalych wymuszeń. Taka idetyfikacja, wbrew pozorom, ie jest peła, a odosi się tylko do zachowaia dwójika przy siusoidalych wymuszeiach określoej częstotliwości. Wystarcza to do dokładego wyzaczeia współczyika THD propoowaą metodą, poieważ uzyskuję się pełą idetyfikację potrzebej tutaj kolumy umer. operatora widmowego. Prąd ozaczoy it, staowiący wyik działaia operatora zidetyfikowaego a apięcie testujące ut pokrywa się z prądem ioryg uzyskaym w wyiku działaia operatora orygialego (zadaego). Zastosowaie metody do dwójików ieliiowych Dwójiki ieliiowe w okresowym staie ustaloym (o ile taki mogą osiągąć) zachowują się podobie jak dwójiki liiowe o okresowo zmieych parametrach, to zaczy ich parametry zmieiają się okresowo. Moża z powodzeiem modelować zachowaie układu ieliiowego w okresowym staie ustaloym za pomocą układu liiowego o okresowo zmieych parametrach, dla którego zmieość parametrów zostaie uzależioa od aktualych sygałów zaciskowych [8,9]. Te fakt skłaia do podjęcia próby zastosowaia podobych metod idetyfikacji i ocey ziekształcającego charakteru do układów ieliiowych w okresowym staie pracy. Aby taka próba się powiodła trzeba wziąć pod uwagę podstawowe różice między układami ieliiowymi i parametryczymi. Działaie układu parametryczego zależy od przesuięcia w czasie, a ieliiowego ie. Zachowaie układu ieliiowego zależy ie tylko od kształtu, ale rówież od wartości (amplitudy) wymuszeia. Dla układów liiowych parametryczych zaczeie ma tylko kształt wymuszeia. Wymieioe różice powodują, że idetyfikacja immitacji dwójika ieliiowego propoowaą metodą jest bardzo truda do realizacji. a podstawie jedej pary sygałów zaciskowych wymuszeia i odpowiedzi ie moża wyzaczyć choćby części elemetów operatora cykloparametryczego w wersji czasowej, czy widmowej. atomiast zmiaa wymuszeia to zmiaa stau pracy elemetu ieliiowego, a więc idetyfikoway jest już iy obiekt. Testowaie układu ieliiowego różymi sygałami a potrzeby idetyfikacji wyklucza utrzymaie stałych parametrów idetyfikowaego obiektu. Rozwiązaiem może być akładaie a wymuszeie iewielkich sygałów testujących o zikomym wpływie a sta pracy układu ieliiowego. Jeżeli sygały testujące ie zakłócają stau pracy to moża uzać, że parametry układu ie zależą od wymuszeia, a więc względem sygałów testujących, układ zachowuje się jak liiowy o okresowo zmieych parametrach i zapropoowaa metoda idetyfikacji może być wykorzystywaa. Podsumowaie a podstawie zajomości immitacyjego operatora cykloparametryczego dwójika o okresowo zmieych parametrach moża oceić jego odkształcający charakter a przykład wyzaczając współczyik THD odpowiedzi a siusoidale wymuszeie. Do pełej idetyfikacji operatora potrzeby jest zbiór iezależych liiowo sygałów wymuszających wraz z odpowiedziami. Moża częściowo wyzaczyć operator cykloparametryczy (a przykład tylko dla części widma) wykorzystując algorytm idetyfikacji, jedak aby uzyskać pozytywe rezultaty ależy odpowiedio dobierać sygały wymuszające staowiące podstawę idetyfikacji. LTERATURA [] K ł osiński R., Algorytm idetyfikacji operatora cykloparametryczego, XXV C-SPETO iedzica (3), [] K ł osiński R., Algorytm idetyfikacji dwójików impedacyjych o okresowo zmieych parametrach operatorem cykloparametryczym, ZKwE Pozań/Kiekrz (), 3-34 [3] K ł osiński R., Kocepcja pomiaru impedacji iestacjoarych, cz..: Czasowo dyskrety opis układów o okresowo zmieych parametrach oraz reprezetacja częstotliwościowa, Zeszyty aukowe Politechiki Rzeszowskiej, Elektrotechika 5 (3), 5-34 [4] S i wc z yń s ki M., Metody optymalizacyje w teorii mocy obwodów elektryczych, Seria iżyieria elektrycza, Politechika Krakowska (995), moografia 83 [5] Papoulis A., Obwody i układy, WKŁ Warszawa (988) [6] S i wc z yń s ki M., Teoria obwodów i sygałów, cz.. Obwody elektrycze liiowe, Uiwersytet Zieloogórski () [7] S i wc z yń ska Z., Syteza cyfrowych liiowych filtrów parametryczych w dziedziie częstotliwości, XX SPETO, Ustroń (997) [8] S i wc z yń ski M., Kł osiński R., Komputerowa symulacja zjawisk elektroeergetyczych w układach zasilających w obecości odkształceń, ZKwE 96 Pozań/Kiekrz (996), 57-6 [9] S i wc z yń ski M., Kł osiń ski R., Komputerowa aaliza ustaloych przebiegów okresowych w obwodach ieliiowych, ZKwE 97 Pozań/Kiekrz (997), 7-3 Autor: dr iż. Radosław Kłosiński, Uiwersytet Zieloogórski, stytut Metrologii Elektryczej, ul. Podgóra 5, Zieloa Góra, R.klosiski@ime.uz.zgora.pl;
Opis i wyznaczanie impedancji dwójników niestacjonarnych
Opis i wyzaczaie ipedacji dwójików iestacjoarych Poiary Autoatyka Robotyka 7-8/2004 Radosław Kłosiński * W dziedziie czasu dyskretego związek iędzy sygałai zaciskowyi dwójika o okresowo zieych paraetrach
Bardziej szczegółowoUKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH
Ekoeergetyka Matematyka. Wykład 4. UKŁADY RÓWNAŃ LINOWYCH Defiicja (Układ rówań liiowych, rozwiązaie układu rówań) Układem m rówań liiowych z iewiadomymi,,,, gdzie m, azywamy układ rówań postaci: a a a
Bardziej szczegółowo3. Regresja liniowa Założenia dotyczące modelu regresji liniowej
3. Regresja liiowa 3.. Założeia dotyczące modelu regresji liiowej Aby moża było wykorzystać model regresji liiowej, muszą być spełioe astępujące założeia:. Relacja pomiędzy zmieą objaśiaą a zmieymi objaśiającymi
Bardziej szczegółowoZnajdowanie pozostałych pierwiastków liczby zespolonej, gdy znany jest jeden pierwiastek
Zajdowaie pozostałych pierwiastków liczby zespoloej, gdy zay jest jede pierwiastek 1 Wprowadzeie Okazuje się, że gdy zamy jede z pierwiastków stopia z liczby zespoloej z, to pozostałe pierwiastki możemy
Bardziej szczegółowoElementy rach. macierzowego Materiały pomocnicze do MES Strona 1 z 7. Elementy rachunku macierzowego
Elemety rach macierzowego Materiały pomocicze do MES Stroa z 7 Elemety rachuku macierzowego Przedstawioe poiżej iformacje staowią krótkie przypomieie elemetów rachuku macierzowego iezbęde dla zrozumieia
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1, zima 2016/17
Egzami, 18.02.2017, godz. 9:00-11:30 Zadaie 1. (22 pukty) W każdym z zadań 1.1-1.10 podaj w postaci uproszczoej kresy zbioru oraz apisz, czy kresy ależą do zbioru (apisz TAK albo NIE, ewetualie T albo
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 5. TEMATYKA: Regresja liniowa dla prostej i płaszczyzny
TEMATYKA: Regresja liiowa dla prostej i płaszczyzy Ćwiczeia r 5 DEFINICJE: Regresja: metoda statystycza pozwalająca a badaie związku pomiędzy wielkościami daych i przewidywaie a tej podstawie iezaych wartości
Bardziej szczegółowoPierwiastki z liczby zespolonej. Autorzy: Agnieszka Kowalik
Pierwiastki z liczby zespoloej Autorzy: Agieszka Kowalik 09 Pierwiastki z liczby zespoloej Autor: Agieszka Kowalik DEFINICJA Defiicja : Pierwiastek z liczby zespoloej Niech będzie liczbą aturalą. Pierwiastkiem
Bardziej szczegółowoMATURA 2014 z WSiP. Zasady oceniania zadań
MATURA 0 z WSiP Matematyka Poziom rozszerzoy Zasady oceiaia zadań Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp z oo, Warszawa 0 Matematyka Poziom rozszerzoy Kartoteka testu Numer zadaia Sprawdzaa umiejętość
Bardziej szczegółowoPOMIAR WSPÓŁCZYNNIKÓW CHARAKTERYZUJĄCYCH KSZTAŁT SYGNAŁÓW ELEKTRYCZNYCH
ĆWICZENIE NR POMIAR WSPÓŁCZYNNIKÓW CHARAKTERYZUJĄCYCH KSZTAŁT SYGNAŁÓW ELEKTRYCZNYCH.. Cel ćwiczeia Celem ćwiczeia jest pozaie metod pomiaru współczyików charakteryzujących kształt sygałów apięciowych
Bardziej szczegółowoParametryzacja rozwiązań układu równań
Parametryzacja rozwiązań układu rówań Przykład: ozwiąż układy rówań: / 2 2 6 2 5 2 6 2 5 //( / / 2 2 9 2 2 4 4 2 ) / 4 2 2 5 2 4 2 2 Korzystając z postaci schodkowej (środkowa macierz) i stosując podstawiaie
Bardziej szczegółowoMACIERZE STOCHASTYCZNE
MACIERZE STOCHASTYCZNE p ij - prawdopodobieństwo przejścia od stau i do stau j w jedym (dowolym) kroku, [p ij ]- macierz prawdopodobieństw przejść (w jedym kroku), Własości macierzy prawdopodobieństw przejść:
Bardziej szczegółowoElementy nieliniowe w modelach obwodowych oznaczamy przy pomocy symboli graficznych i opisu parametru nieliniowego. C N
OBWODY SYGNAŁY 1 5. OBWODY NELNOWE 5.1. WOWADZENE Defiicja 1. Obwodem elektryczym ieliiowym azywamy taki obwód, w którym występuje co ajmiej jede elemet ieliiowy bądź więcej elemetów ieliiowych wzajemie
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji ( ) : m f x = Ax ( A) { Ax x } = Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy
Bardziej szczegółowoPodprzestrzenie macierzowe
Podprzestrzeie macierzowe Defiicja: Zakresem macierzy AŒ mâ azywamy podprzestrzeń R(A) przestrzei m geerowaą przez zakres fukcji : m f x = Ax RAAx x Defiicja: Zakresem macierzy A Œ âm azywamy podprzestrzeń
Bardziej szczegółowoALGEBRA LINIOWA Informatyka 2015/2016 Kazimierz Jezuita. ZADANIA - Seria 1. Znaleźć wzór na ogólny wyraz ciągu opisanego relacją rekurencyjną: x
Iformatyka 05/06 Kazimierz Jezuita ZADANIA - Seria. Relacja rekurecyja kowecja sumacyja suma ciągu geometryczego. Zaleźć wzór a ogóly wyraz ciągu opisaego relacją rekurecyją: x sprowadzając problem do
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI. Ćwiczenie 3 MODELOWANIE SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH METODY OPISU MODELI UKŁADÓW
Wydział Elektryczy Zespół Automatyki (ZTMAiPC) ZERiA LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI Ćwiczeie 3 MODELOWANIE SYSTEMÓW DYNAMICZNYCH METODY OPISU MODELI UKŁADÓW I. Cel ćwiczeia Celem ćwiczeia jest zapozaie
Bardziej szczegółowoZadania z algebry liniowej - sem. I Liczby zespolone
Zadaia z algebry liiowej - sem. I Liczby zespoloe Defiicja 1. Parę uporządkowaą liczb rzeczywistych x, y azywamy liczbą zespoloą i ozaczamy z = x, y. Zbiór wszystkich liczb zespoloych ozaczamy przez C
Bardziej szczegółowoElementy nieliniowe występujące w układach elektronicznych można podzielić na następujące grupy:
ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: AUTOMATYKA z. 18 1971 Nr kol. 303 WŁODZIMIERZ SZMELCER Katedra Elektroiki NUMERYCZNE WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKÓW SZEREGU FOURIERA FUNKCJI OKREŚLONEJ PRZEZ WARTOŚCI
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Cayleya-Hamiltona
Twierdzeie Cayleya-Hamiltoa Twierdzeie (Cayleya-Hamiltoa): Każda macierz kwadratowa spełia swoje włase rówaie charakterystycze. D: Chcemy pokazać, że jeśli wielomiaem charakterystyczym macierzy A jest
Bardziej szczegółowoKADD Metoda najmniejszych kwadratów
Metoda ajmiejszych kwadratów Pomiary bezpośredie o rówej dokładości o różej dokładości średia ważoa Pomiary pośredie Zapis macierzowy Dopasowaie prostej Dopasowaie wielomiau dowolego stopia Dopasowaie
Bardziej szczegółowoTrzeba pokazać, że dla każdego c 0 c Mc 0. ) = oraz det( ) det( ) det( ) jest macierzą idempotentną? Proszę odpowiedzieć w
Zad Dae są astępujące macierze: A =, B, C, D, E 0. 0 = = = = 0 Wykoaj astępujące działaia: a) AB, BA, C+E, DE b) tr(a), tr(ed), tr(b) c) det(a), det(c), det(e) d) A -, C Jeśli działaia są iewykoale, to
Bardziej szczegółowoDefinicja interpolacji
INTERPOLACJA Defiicja iterpolacji Defiicja iterpolacji 3 Daa jest fukcja y = f (x), x[x 0, x ]. Zamy tablice wartości tej fukcji, czyli: f ( x ) y 0 0 f ( x ) y 1 1 Defiicja iterpolacji Wyzaczamy fukcję
Bardziej szczegółowoOBWODY LINIOWE PRĄDU STAŁEGO
Politechika Gdańska Wydział Elektrotechiki i Automatyki 1. Wstęp st. stacjoare I st. iżyierskie, Eergetyka Laboratorium Podstaw Elektrotechiki i Elektroiki Ćwiczeie r 1 OBWODY LINIOWE PRĄDU STAŁEGO Obwód
Bardziej szczegółowoPrzykładowe pytania na egzamin dyplomowy dla kierunku Automatyka i Robotyka
Przykładowe pytaia a egzami dyplomowy dla kieruku Automatyka i obotyka Aktualizacja: 13.12.2016 r. Przedmiot: Matematyka 1 (Algebra liiowa) 1. Wiemy że struktura (Gh) jest grupą z elemetem eutralym e.
Bardziej szczegółowoRysunek 1: Fale stojące dla struny zamocowanej na obu końcach; węzły są zaznaczone liniami kropkowanymi, a strzałki przerywanymi
Aaliza fal złożoych Autorzy: Zbigiew Kąkol, Bartek Wiedlocha Przyjrzyjmy się drgaiu poprzeczemu struy. Jeżeli strua zamocowaa a obu końcach zostaie ajpierw wygięta, a astępie puszczoa, to wzdłuż struy
Bardziej szczegółowoĆWICZENIE nr 4. Pomiary podstawowych parametrów sygnałów
Politechika Łódzka Katedra Przyrządów Półprzewodikowych i Optoelektroiczych WWW.DSOD.PL LABORATORIUM METROLOGII ELEKTROICZEJ ĆWICZEIE r 4 Pomiary podstawowych parametrów sygałów Łódź 00 CEL ĆWICZEIA: Ćwiczeie
Bardziej szczegółowoArkusz ćwiczeniowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. W zadaniach od 1. do 21. wybierz i zaznacz poprawną odpowiedź. 1 C. 3 D.
Arkusz ćwiczeiowy z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE W zadaiach od. do. wybierz i zazacz poprawą odpowiedź. Zadaie. ( pkt) Liczbę moża przedstawić w postaci A. 8. C. 4 8 D. 4 Zadaie. ( pkt)
Bardziej szczegółowoCIĄGI LICZBOWE. Poziom podstawowy
CIĄGI LICZBOWE Poziom podstawowy Zadaie ( pkt) + 0 Day jest ciąg o wyrazie ogólym a =, N+ + jest rówy? Wyzacz a a + Czy istieje wyraz tego ciągu, który Zadaie (6 pkt) Marek chce przekopać swój przydomowy
Bardziej szczegółowoMETODY NUMERYCZNE dr inż. Mirosław Dziewoński
Metody Numerycze METODY NUMERYCZNE dr iż. Mirosław Dziewoński e-mail: miroslaw.dziewoski@polsl.pl Pok. 151 Wykład /1 Metody Numerycze Aproksymacja fukcji jedej zmieej Wykład / Aproksymacja fukcji jedej
Bardziej szczegółowoD. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badania operacyjne (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assignment Problem)
D. Miszczyńska, M.Miszczyński KBO UŁ, Badaia operacyje (wykład 6 _ZP) [1] ZAGADNIENIE PRZYDZIAŁU (ZP) (Assigmet Problem) Bliskim "krewiakiem" ZT (w sesie podobieństwa modelu decyzyjego) jest zagadieie
Bardziej szczegółowoTeoria. a k. Wskaźnik sumowania można oznaczać dowolną literą. Mamy np. a j = a i =
Zastosowaie symboli Σ i Π do zapisu sum i iloczyów Teoria Niech a, a 2,..., a będą dowolymi liczbami. Sumę a + a 2 +... + a zapisuje się zazwyczaj w postaci (czytaj: suma od k do a k ). Zak Σ to duża grecka
Bardziej szczegółowoWYZNACZENIE CHARAKTERYSTYK STATYCZNYCH PRZETWORNIKÓW POMIAROWYCH
Zakład Metrologii i Systemów Pomiarowych P o l i t e c h i k a P o z ańska ul. Jaa Pawła II 4 60-96 POZNAŃ (budyek Cetrum Mechatroiki, Biomechaiki i Naoiżerii) www.zmisp.mt.put.poza.pl tel. +48 6 66 3
Bardziej szczegółowoMetrologia: miary dokładności. dr inż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczecinie
Metrologia: miary dokładości dr iż. Paweł Zalewski Akademia Morska w Szczeciie Miary dokładości: Najczęściej rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej X jest rozkładem Gaussa: Prawdopodobieństwem,
Bardziej szczegółowo( ) WŁASNOŚCI MACIERZY
.Kowalski własości macierzy WŁSNOŚC MCERZY Własości iloczyu i traspozycji a) możeie macierzy jest łącze, tz. (C) ()C, dlatego zapis C jest jedozaczy, b) możeie macierzy jest rozdziele względem dodawaia,
Bardziej szczegółowoI. Podzielność liczb całkowitych
I Podzielość liczb całkowitych Liczba a = 57 przy dzieleiu przez pewą liczbę dodatią całkowitą b daje iloraz k = 3 i resztę r Zaleźć dzieik b oraz resztę r a = 57 = 3 b + r, 0 r b Stąd 5 r b 8, 3 więc
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturalny wraz ze schematem oceniania dla klasy II Liceum
MATEMATYKA (poziom podstawowy) przykładowy arkusz maturaly wraz ze schematem oceiaia dla klasy II Liceum Propozycja zadań maturalych sprawdzających opaowaie wiadomości i umiejętości matematyczych z zakresu
Bardziej szczegółowoMetody Obliczeniowe w Nauce i Technice laboratorium
Marci Rociek Iformatyka, II rok Metody Obliczeiowe w Nauce i Techice laboratorium zestaw 1: iterpolacja Zadaie 1: Zaleźć wzór iterpolacyjy Lagrage a mając tablicę wartości: 3 5 6 y 1 3 5 6 Do rozwiązaia
Bardziej szczegółowox 1 2 3 t 1 (x) 2 3 1 o 1 : x 1 2 3 s 3 (x) 2 1 3. Tym samym S(3) = {id 3,o 1,o 2,s 1,s 2,s 3 }. W zbiorze S(n) definiujemy działanie wzorem
9.1. Izomorfizmy algebr.. Wykład Przykłady: 13) Działaia w grupach często wygodie jest zapisywać w tabelkach Cayleya. Na przykład tabelka działań w grupie Z 5, 5) wygląda astępująco: 5 1 3 1 1 3 1 3 3
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne Laboratorium 5 Info
Metody umerycze Laboratorium 5 Ifo Aproksymacja - proces określaia rozwiązań przybliżoych a podstawie rozwiązań zaych, które są bliskie rozwiązaiom dokładym w ściśle sprecyzowaym sesie. Metoda ajmiejszych
Bardziej szczegółowoLaboratorium Sensorów i Pomiarów Wielkości Nieelektrycznych. Ćwiczenie nr 1
1. Cel ćwiczeia: Laboratorium Sesorów i Pomiarów Wielkości Nieelektryczych Ćwiczeie r 1 Pomiary ciśieia Celem ćwiczeia jest zapozaie się z kostrukcją i działaiem czujików ciśieia. W trakcie zajęć laboratoryjych
Bardziej szczegółowoO pewnych zastosowaniach rachunku różniczkowego funkcji dwóch zmiennych w ekonomii
O pewych zastosowaiach rachuku różiczkowego fukcji dwóch zmieych w ekoomii 1 Wielkość wytwarzaego dochodu arodowego D zależa jest od wielkości produkcyjego majątku trwałego M i akładów pracy żywej Z Fukcję
Bardziej szczegółowoWprowadzenie. metody elementów skończonych
Metody komputerowe Wprowadzeie Podstawy fizycze i matematycze metody elemetów skończoych Literatura O.C.Ziekiewicz: Metoda elemetów skończoych. Arkady, Warszawa 972. Rakowski G., acprzyk Z.: Metoda elemetów
Bardziej szczegółowoInstrukcja do ćwiczeń laboratoryjnych z przedmiotu: Badania operacyjne. Temat ćwiczenia: Problemy transportowe cd, Problem komiwojażera
Istrukcja do ćwiczeń laboratoryjych z przedmiotu: Badaia operacyje Temat ćwiczeia: Problemy trasportowe cd Problem komiwojażera Zachodiopomorski Uiwersytet Techologiczy Wydział Iżyierii Mechaiczej i Mechatroiki
Bardziej szczegółowoAnaliza wyników symulacji i rzeczywistego pomiaru zmian napięcia ładowanego kondensatora
Aaliza wyików symulacji i rzeczywistego pomiaru zmia apięcia ładowaego kodesatora Adrzej Skowroński Symulacja umożliwia am przeprowadzeie wirtualego eksperymetu. Nie kostruując jeszcze fizyczego urządzeia
Bardziej szczegółowoTRANZYSTORY POLOWE JFET I MOSFET
POLTECHNKA RZEZOWKA Kaedra Podsaw Elekroiki srukcja Nr5 F 00/003 sem. lei TRANZYTORY POLOWE JFET MOFET Cel ćwiczeia: Pomiar podsawowych charakerysyk i wyzaczeie paramerów określających właściwości razysora
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Schemat oceiaia Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 2B, lato 2015/16
Egzami,.9.6, godz. :-5: Zadaie. ( puktów) Wyzaczyć wszystkie rozwiązaia rówaia z 4 = 4 w liczbach zespoloych. Zapisać wszystkie rozwiązaia w postaci kartezjańskiej (bez używaia fukcji trygoometryczych)
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA ŚLĄSKA, WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY, INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI I INFORMATYKI. Wykresy w Excelu TOMASZ ADRIKOWSKI GLIWICE,
POLITECHNIKA ŚLĄSKA, WYDZIAŁ ELEKTRYCZNY, INSTYTUT ELEKTROTECHNIKI I INFORMATYKI Wykresy w Excelu TOMASZ ADRIKOWSKI GLIWICE, -- EXCEL Wykresy. Kolumę A, B wypełić serią daych: miesiąc, średia temperatura.
Bardziej szczegółowoMARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zainteresowanego matematyką licealisty
MARIUSZ KAWECKI zbiór zadań dla zaiteresowaego matematyką licealisty Copyright by M. Kawecki 07 Spis treści Wstęp 3. Logika w praktyce 5. Liczby i działaia 0 3. Rówaia i układy rówań 6 4. Własości fukcji
Bardziej szczegółowoPrzejście światła przez pryzmat i z
I. Z pracowi fizyczej. Przejście światła przez pryzmat - cz. II 1. Przejście światła przez pryzmat. Kąt odchyleia. W paragrafie 8.10 trzeciego tomu e-podręczika opisao bieg światła moochromatyczego w pryzmacie.
Bardziej szczegółowoma rozkład złożony Poissona z oczekiwaną liczbą szkód równą λ i rozkładem wartości pojedynczej szkody takim, że Pr( Y
Zadaie. Łącza wartość szkód z pewego ubezpieczeia W = Y + Y +... + YN ma rozkład złożoy Poissoa z oczekiwaą liczbą szkód rówą λ i rozkładem wartości pojedyczej szkody takim, że ( Y { 0,,,3,... }) =. Niech:
Bardziej szczegółowoPolitechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Politechika dańska Wydział Elektrotechiki i Automatyki Katedra Iżyierii Systemów Sterowaia Podstawy Automatyki Charakterystyki częstotliwościowe Nyquist'a i Bode'a Materiały pomocicze do ćwiczeń termi
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2014/15. n = Rozwiązanie: Stosując wzór na wartość współczynnika dwumianowego otrzymujemy
12. Dowieść, że istieje ieskończeie wiele par liczb aturalych k < spełiających rówaie ( ) ( ) k. k k +1 Stosując wzór a wartość współczyika dwumiaowego otrzymujemy ( ) ( )!! oraz k k! ( k)! k +1 (k +1)!
Bardziej szczegółowoRelacje rekurencyjne. będzie następująco zdefiniowanym ciągiem:
Relacje rekurecyje Defiicja: Niech =,,,... będzie astępująco zdefiiowaym ciągiem: () = r, = r,..., k = rk, gdzie r, r,..., r k są skalarami, () dla k, = a + a +... + ak k, gdzie a, a,..., ak są skalarami.
Bardziej szczegółowoPoziom rozszerzony. 5. Ciągi. Uczeń:
PIOTR LUDWIKOWSKI Materiał z wykładu z aalizy dla uczestików koerecji Podstawa programowa z kometarzami Tom 6 Edukacja matematycza i techicza w szkole podstawowej, gimazjum i liceum matematyka, zajęcia
Bardziej szczegółowoSzybka transformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Transform)
Szybka trasformacja Fouriera (FFT Fast Fourier Trasform) Pla wykładu: 1 Trasformacja Fouriera, iloczy skalary 2 DFT - dyskreta trasformacja Fouriera 3 FFT szybka trasformacja Fouriera a) algorytm PFA b)
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 11
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD Szeregi potęgowe Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C jeżeli jest -krotie różiczkowala i jej -ta pochoda jest fukcją ciągłą. Defiicja Fukcja y = f () jest klasy C, jeżeli jest
Bardziej szczegółowoP π n π. Równanie ogólne płaszczyzny w E 3. Dane: n=[a,b,c] Wówczas: P 0 P=[x-x 0,y-y 0,z-z 0 ] Równanie (1) nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny
Rówaie ogóle płaszczyzy w E 3. ae: P π i π o =[A,B,C] P (,y,z ) Wówczas: P P=[-,y-y,z-z ] P π PP PP= o o Rówaie () azywamy rówaiem ogólym płaszczyzy A(- )+B(y-y )+C(z-z )= ( ) A+By+Cz+= Przykład
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania dla poziomu rozszerzonego
Przkładowe zadaia dla poziomu rozszerzoego Zadaie. ( pkt W baku w pierwszm roku oszczędzaia stopa procetowa bła rówa p%, a w drugim roku bła o % iższa. Po dwóch latach, prz roczej kapitalizacji odsetek,
Bardziej szczegółowoROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO
Agieszka Jakubowska ROZDZIAŁ 5 WPŁYW SYSTEMU OPODATKOWANIA DOCHODU NA EFEKTYWNOŚĆ PROCESU DECYZYJNEGO. Wstęp Skąplikowaie współczesego życia gospodarczego powoduje, iż do sterowaia procesem zarządzaia
Bardziej szczegółowoRekursja 2. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rekursja Materiały pomocicze do wykładu wykładowca: dr Magdalea Kacprzak Rozwiązywaie rówań rekurecyjych Jedorode liiowe rówaia rekurecyje Twierdzeie Niech k będzie ustaloą liczbą aturalą dodatią i iech
Bardziej szczegółowoPOMIAR WARTOŚCI SKUTECZNEJ NAPIĘĆ OKRESOWO ZMIENNYCH METODĄ ANALOGOWEGO PRZETWARZANIA SYGNAŁU
POMIAR WARTOŚCI SKTECZNEJ NAPIĘĆ OKRESOWO ZMIENNYCH METODĄ ANALOGOWEGO PRZETWARZANIA SYGNAŁ CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczeia jest zwróceie uwagi a ograiczeie zakresu poprawego pomiaru apięć zmieych wyikające
Bardziej szczegółowoPRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA. Ruch cząstki nieograniczony z klasycznego punktu widzenia. mamy do rozwiązania równanie 0,,
PRZYKŁADY ROZWIAZAŃ STACJONARNEGO RÓWNANIA SCHRӦDINGERA Ruch cząstki ieograiczoy z klasyczego puktu widzeia W tym przypadku V = cost, przejmiemy V ( x ) = 0, cząstka porusza się wzdłuż osi x. Rozwiązujemy
Bardziej szczegółowoMINIMALIZACJA PUSTYCH PRZEBIEGÓW PRZEZ ŚRODKI TRANSPORTU
Przedmiot: Iformatyka w logistyce Forma: Laboratorium Temat: Zadaie 2. Automatyzacja obsługi usług logistyczych z wykorzystaiem zaawasowaych fukcji oprogramowaia Excel. Miimalizacja pustych przebiegów
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki Marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 5 6 7 8 9 0
Bardziej szczegółowoKlucz odpowiedzi do zadań zamkniętych oraz schematy oceniania zadań otwartych. Matematyka. Poziom podstawowy
Klucz odpowiedzi do zadań zamkiętych oraz schematy oceiaia zadań otwartych Matematyka CZERWIEC 0 Klucz puktowaia zadań zamkiętych Nr zad Odp 5 6 8 9 0 5 6 8 9 0 5 6 B C C B C C A A B B C A B A A A B D
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA
UNIWERSYTET TECHNOLOGICZNO-PRZYRODNICZY W BYDGOSZCZY WYDZIAŁ INŻYNIERII MECHANICZNEJ INSTYTUT EKSPLOATACJI MASZYN I TRANSPORTU ZAKŁAD STEROWANIA ELEKTROTECHNIKA I ELEKTRONIKA ĆWICZENIE: E20 BADANIE UKŁADU
Bardziej szczegółowoEgzamin maturalny z matematyki CZERWIEC 2011
Egzami maturaly z matematyki CZERWIEC 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych POZIOM PODSTAWOWY Poziom podstawowy czerwiec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr
Bardziej szczegółowoMETODA OBLICZENIA HARMONICZNYCH NAPIĘCIA WYJŚCIOWEGO FALOWNIKA ZA POMOCĄ FUNKCJI BESSELA
MIOSŁAW LEWANDOWSKI METODA OBLICZENIA HAMONICZNYCH NAPIĘCIA WYJŚCIOWEGO FALOWNIKA ZA POMOCĄ FUNKCJI BESSELA A METHOD OF CALCULATIONS OF HAMONICS IN OUTPUT VOLTAGE OF A INVETE USING BESSEL S FUNCTIONS Streszczeie
Bardziej szczegółowoLABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI. Ćwiczenie 5
Wydział Elektryczy Zespół Automatyki (ZTMAiPC) ZERiA LABORATORIUM MODELOWANIA I SYMULACJI Ćwiczeie 5 ANALIZA WŁASNOŚCI DYNAMICZNYCH WYBRANEGO OBIEKTU FIZYCZNEGO 1. Opis właściwości dyamiczych obiektu Typowym
Bardziej szczegółowoJarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13. Ciągi.
Jarosław Wróblewski Aaliza Matematycza 1A, zima 2012/13 Ciągi. Ćwiczeia 5.11.2012: zad. 140-173 Kolokwium r 5, 6.11.2012: materiał z zad. 1-173 Ćwiczeia 12.11.2012: zad. 174-190 13.11.2012: zajęcia czwartkowe
Bardziej szczegółowoPrawo odbicia i załamania. Autorzy: Zbigniew Kąkol Piotr Morawski
Prawo odbicia i załamaia Autorzy: Zbigiew Kąkol Piotr Morawski 207 Prawo odbicia i załamaia Autorzy: Zbigiew Kąkol, Piotr Morawski Jeżeli światło pada a graicę dwóch ośrodków, to ulega zarówo odbiciu a
Bardziej szczegółowoc 2 + d2 c 2 + d i, 2
3. Wykład 3: Ciało liczb zespoloych. Twierdzeie 3.1. Niech C R. W zbiorze C określamy dodawaie: oraz możeie: a, b) + c, d) a + c, b + d) a, b) c, d) ac bd, ad + bc). Wówczas C, +, ) jest ciałem, w którym
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna 2-2
Ekoomia matematycza - Fukcja produkcji Defiicja Efektywym przekształceiem techologiczym azywamy odwzorowaie (iekiedy wielowartościowe), które kazdemu wektorowi akładów R przyporządkowuje zbiór wektorów
Bardziej szczegółowoAnaliza matematyczna i algebra liniowa
Aaliza matematycza i algebra liiowa Materiały pomocicze dla studetów do wyładów Rachue różiczowy ucji wielu zmieych. Pochode cząstowe i ich iterpretacja eoomicza. Estrema loale. Metoda ajmiejszych wadratów.
Bardziej szczegółowoPOLITECHNIKA OPOLSKA
POLITCHIKA OPOLSKA ISTYTUT AUTOMATYKI I IFOMATYKI LABOATOIUM MTOLOII LKTOICZJ 7. KOMPSATOY U P U. KOMPSATOY APIĘCIA STAŁO.. Wstęp... Zasada pomiaru metodą kompesacyją. Metoda kompesacyja pomiaru apięcia
Bardziej szczegółowoAnaliza dokładności pomiaru, względnego rozkładu egzytancji widmowej źródeł światła, dokonanego przy użyciu spektroradiometru kompaktowego
doi:1.15199/48.215.4.38 Eugeiusz CZECH 1, Zbigiew JAROZEWCZ 2,3, Przemysław TABAKA 4, rea FRYC 5 Politechika Białostocka, Wydział Elektryczy, Katedra Elektrotechiki Teoretyczej i Metrologii (1), stytut
Bardziej szczegółowoZADANIA - ZESTAW 2. Zadanie 2.1. Wyznaczyć m (n)
ZADANIA - ZESTAW Zadaie.. Wyzaczyć m (), D ( ) dla procesu symetryczego (p = q =,) błądzeia przypadkowego. Zadaie.. Narysuj graf łańcucha Markowa symetrycze (p = q =,) błądzeie przypadkowe z odbiciem.
Bardziej szczegółowoEGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI MAJ 2012 POZIOM PODSTAWOWY CZĘŚĆ I WYBRANE: Czas pracy: 75 minut. Liczba punktów do uzyskania: 20 WPISUJE ZDAJĄCY
Cetrala Komisja Egzamiacyja Arkusz zawiera iformacje prawie chroioe do mometu rozpoczęcia egzamiu. Układ graficzy CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce a aklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY Z INFORMATYKI
Bardziej szczegółowoWYZNACZANIE PARAMETRÓW ZASTĘPCZYCH LINIOWEGO ODBIORNIKA ENERGII ELEKTRYCZNEJ NA PODSTAWIE ANALIZY WIDMOWEJ
Prace aukowe Istytutu Maszy, apędów i Pomiarów Elektryczych r 56 Politechiki Wrocławskiej r 56 Studia i Materiały r 4 4 Józef KOLASA *, Grzegorz KOSOBUDZKI Układ zastępczy odbiorika, parametry zastępcze,
Bardziej szczegółowoCHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE PODSTAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUTOMATYKI
CHARAKERYSYKI CZĘSOLIWOŚCIOWE PODSAWOWYCH CZŁONÓW LINIOWYCH UKŁADÓW AUOMAYKI Do podstawowych form opisu dyamii elemetów automatyi (oprócz rówań różiczowych zaliczamy trasmitację operatorową s oraz trasmitację
Bardziej szczegółowoElementy modelowania matematycznego
Elemety modelowaia matematyczego Wstęp Jakub Wróblewski jakubw@pjwstk.edu.pl http://zajecia.jakubw.pl/ TEMATYKA PRZEDMIOTU Modelowaie daych (ilościowe): Metody statystycze: estymacja parametrów modelu,
Bardziej szczegółowoOdbicie fali od granicy ośrodków
FOTON 8, Jesień 0 33 Odbicie fali od graicy ośrodków Jerzy Giter Uiwersytet Warszawski Kiedy światło się odbija? Zamy doskoale zjawisko załamaia światła a graicy dwóch ośrodków o różych współczyikach załamaia.
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Szeregi liczbowe
Zadaia z aalizy matematyczej - sem. I Szeregi liczbowe Defiicja szereg ciąg sum częściowyc. Szeregiem azywamy parę uporządkowaą a ) S ) ) ciągów gdzie: ciąg a ) ciąg S ) jest day jest ciągiem sum częściowych
Bardziej szczegółowoANALIZA POPRAWNOŚCI WSKAZAŃ ELEKTRONICZNYCH LICZNIKÓW ENERGII ELEKTRYCZNEJ
PROBLEMS AND PROGRESS IN METROLOGY PPM 8 Coferece Digest Artur SKÓRKOWSKI, Aa PIASKOWY Politechika Śląska Katedra Metrologii, Elektroiki i Automatyki ANALIZA POPRAWNOŚCI WSKAZAŃ ELEKTRONICZNYCH LICZNIKÓW
Bardziej szczegółowo2. Schemat ideowy układu pomiarowego
1. Wiadomości ogóle o prostowikach sterowaych Układy prostowikowe sterowae są przekształtikami sterowaymi fazowo. UmoŜliwiają płya regulację średiej wartości apięcia wyprostowaego, a tym samym średiej
Bardziej szczegółowoWykład 11. a, b G a b = b a,
Wykład 11 Grupy Grupą azywamy strukturę algebraiczą złożoą z iepustego zbioru G i działaia biarego które spełia własości: (i) Działaie jest łącze czyli a b c G a (b c) = (a b) c. (ii) Działaie posiada
Bardziej szczegółowoMetody badania zbieżności/rozbieżności ciągów liczbowych
Metody badaia zbieżości/rozbieżości ciągów liczbowych Ryszard Rębowski 14 grudia 2017 1 Wstęp Kluczowe pytaie odoszące się do zagadieia badaia zachowaia się ciągu liczbowego sprowadza się do sposobu opisu
Bardziej szczegółowoMiary położenia (tendencji centralnej) to tzw. miary przeciętne charakteryzujące średni lub typowy poziom wartości cechy.
MIARY POŁOŻENIA I ROZPROSZENIA WYNIKÓW SERII POMIAROWYCH Miary położeia (tedecji cetralej) to tzw. miary przecięte charakteryzujące średi lub typowy poziom wartości cechy. Średia arytmetycza: X i 1 X i,
Bardziej szczegółowo1 Układy równań liniowych
Katarzya Borkowska, Wykłady dla EIT, UTP Układy rówań liiowych Defiicja.. Układem U m rówań liiowych o iewiadomych azywamy układ postaci: U: a x + a 2 x 2 +... + a x =b, a 2 x + a 22 x 2 +... + a 2 x =b
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka r.
Zadaie. Wykoujemy rzuty symetryczą kością do gry do chwili uzyskaia drugiej szóstki. Niech Y ozacza zmieą losową rówą liczbie rzutów w których uzyskaliśmy ie wyiki iż szóstka a zmieą losową rówą liczbie
Bardziej szczegółowoPOMIAR IMPEDANCJI ELEMENTÓW SIECI ELEKTROENERGE- TYCZNYCH PRZY NAPIĘCIU ODKSZTAŁCONYM
Zeszyty Naukowe Wydziału Elektrotechiki i Automatyki Politechiki Gdańskiej Nr 1 XV Semiarium ZASTOSOWANIE KOMPUTERÓW W NAUCE I TECHNICE 005 Oddział Gdański PTETiS POMIAR IMPEDANCJI ELEMENTÓW SIECI ELEKTROENERGE-
Bardziej szczegółowoChemia Teoretyczna I (6).
Chemia Teoretycza I (6). NajwaŜiejsze rówaia róŝiczkowe drugiego rzędu o stałych współczyikach w chemii i fizyce cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Cząstka w jedowymiarowej studi potecjału Przez
Bardziej szczegółowo1. Wyznaczanie charakterystyk statycznych prądnicy tachometrycznej prądu stałego.
ĆWICZENIE 5 Pomiary prędkości CEL ĆWICZENIA. Celem ćwiczeia jest pozaie możliwości pomiaru prędkości obrotowej. Ćwiczeie obejmuje: wyzaczeie własości statyczych prądic tachometryczych i oceę możliwości
Bardziej szczegółowoMateriał ćwiczeniowy z matematyki marzec 2012
Materiał ćwiczeiowy z matematyki marzec 0 Klucz puktowaia do zadań zamkiętych oraz schemat oceiaia do zadań otwartych dla iewidomych POZIOM PODSTAWOWY Klucz puktowaia do zadań zamkiętych Nr zad 3 4 6 7
Bardziej szczegółowoOptymalizacja sieci powiązań układu nadrzędnego grupy kopalń ze względu na koszty transportu
dr hab. iż. KRYSTIAN KALINOWSKI WSIiZ w Bielsku Białej, Politechika Śląska dr iż. ROMAN KAULA Politechika Śląska Optymalizacja sieci powiązań układu adrzędego grupy kopalń ze względu a koszty trasportu
Bardziej szczegółowo