Modele kp wprowadzenie

Transkrypt

1 Modele kp wprowadzenie Komórka elementarna i komórka sieci odwrotnej Funkcje falowe elektronu w krysztale Struktura pasmowa Przybliżenie masy efektywnej Naprężenia: potencjał deformacyjny, prawo Hooka Rachunek zaburzeń zależny i niezależny od czasu Model 4 pasmowy i numeryczne rozwiązanie problemu

2 Co to jest studnia kwantowa? Studnia kwantowa

3 Struktura pasmowa Si i GaAs diament skośna przerwa blenda cynkowa prosta przerwa 3

4 Struktura krystalograficzna krzemu i GaAs Komórki elementarne najbardziej znanych półprzewodników Diament Jeden rodzaj atomów blenda cynkowa Dwa rodzaje atomów 4

5 Sieć odwrotna Przestrzeń wektora k Wektory sieci Odwrotnej: 5

6 Kwantowanie elektronów (dziur ) w studni kwantowej Równanie Schrödingera Niezależne od czasu, Hamiltonian postaci: Najprostszy model jednociałowy. Pojęcie masy efektywnej Po wstawieniu operatora pędu: We współrzędnych sferycznych: Harmoniki sferyczne obrazują orbitale elektronowe w atomie. 6

7 Funkcje falowe Harmoniki sferyczne Wzory Pasmo przewodnictwa: orbitale s Pasmo walencyjne: orbitale p 7

8 Rachunek zaburzeń niezależny od czasu kp- zaburzenie Rozwinięcie w szereg potęgowy Poszukiwanie rozwiązań własnych Wartości własne niezaburzonego hamiltonianu Rozwinięcie w szereg: 8

9 Modele kp Rozwinięcie części kinetycznej Hamiltonianu: Zapis równania Schrödingera będący podstawą metody kp 9

10 Oddziaływanie spin-orbita Operator spinowy: Hamiltonian odpowiedzialny za oddziaływania spin orbita Relacje komutacji: Operatory Pauliego: 10

11 Rachunek zaburzeń zależny od czasu Rozwinięcie w szereg potęgowy: Rozwiązania równania zaburzonego i niezaburzonego: Szukamy rozwiązań postaci: Rozwinięcie funkcji falowej w szereg: 11

12 Model paraboliczny Zależność energii od wektora falowego: Przybliżenie masy efektywnej Równanie Schrödingera: Pełna postać funkcji falowej: Funkcja obwiedni 12

13 Efekt po naprężeniach Przesunięcia pasm związane z naprężeniami: Oznaczenia: 13

14 Naprężenia Zmiana współrzędnych po naprężeniach Nowe osie współrzędnych: Tensor naprężeń 14

15 Rodzaje naprężeń Naprężenia jednoosiowe: Naprężenia dwuosiowe Ciśnienie hydrostatyczne 15

16 Prawo Hooka Materiały krystalizujące w strukturze kubicznej: 16

17 17 Naprężenia w strukturze kubicznej

18 Potencjał Deformacyjny Warunek symetrii w strukturze blendy cynkowej Końcowy wynik: 18

19 Pasmo walencyjne Naprężenia w paśmie walencyjnym: Pasmo walencyjne: funkcje o symetrii p: px, py, pz Współczynniki a,b,d potencjał deformacyjny 19

20 Naprężenia w paśmie walencyjnym W rezultacie otrzymujemy wzory na naprężenia dla dwóch najwyższych pasm: HH LH Hamiltonian opisujący naprężenia dla pasm HH i LH: 20

21 4 pasmowy model Luttingera-Kohna Hamiltonian: Oznaczenia: 21

22 Model 4 pasmowy po uwzględnieniu naprężeń Przesunięcia pasm związane z naprężeniami: Hamiltonian postaci: Naprężenia: Pasmo walencyjne: 22

23 Diagonalizacja macierzy-struktura pasmowa Zagadnienie własne: Zapis przy pomocy macierzy: Hamiltonian można sprowadzić do postaci blokowej, co pozwala na znalezienie rozwiązań analitycznych Funkcje falowe to nie funkcje obwiedni!!! Do funkcji obwiedni można przejść przez odpowiednią transformatę 23

24 Postać blokowa Hamiltonianu Dzięki transformacji do postaci blokowej rozwiązania zagadnienia własnego separują się do dwóch osobnych układów. Podwójna degeneracja!! 24

25 25 Dspev() funkcja do znajdowania wartości własnych rzeczywistej symetrycznej macierzy

26 Przykładowe rozwiązanie w c++ Model 4 pasmowy bez naprężeń, kierunek 100 Aby skorzystać z funkcji z Lapacka konieczne jest jego dołączenie do programu lub odpowiednia opcja kompilacji. W c++ konieczne jest włożenie W main() nagłówków funkcji i definicji Przy rozwiązaniu na kierunku [100] można użyć funkcji do wyznaczania wartości własnych dla macierzy rzeczywistej dlatego w programie użyto funkcji dspev() 26

27 Model 4 pasmowy rozwiązanie c.d. Nowe definicje typów z dołączonych bibliotek 27

28 Model 4 pasmowy c.d. Stałe dla nienaprężonego GaAs 28

29 Model 4 pasmowy c.d. Pakowanie Hamiltonianu do wektora zgodnie z metodą z Lapacka. Uwaga oryginalnie w Fortranie tablice są indeksowane od 0 dlatego zmiana we wzorze z dspev() 29