Wyk lady z funkcji zespolonych

Transkrypt

1 Wyk lady z funkcji zespolonych III semestr 2009/0 oprac. Janina Kotus

2 Spis treści. Poj ecia podstawowe str. 5. Rzut stereograficzny str. 5.2 Metryki w C i C str Funkcje zespolone str Granica i ciag lość str Pochodna str Pochodne formalne str Pochodna kierunkowa funkcji str Funkcje holomorficzne str Funkcje elementarne str Funkcja wyk ladnicza str Funkcje trygonometryczne str Funkcje hiperboliczne str Funkcja logarytmiczna str Funkcja pot egowa str Powierzchnie Riemanna funkcji wielowartościowych str Szeregi funkcyjne str Szeregi liczbowe str Rodzaje zbieżności szeregów funkcyjnych str Szeregi pot egowe str Funkcje analityczne str Odwzorowania konforemne str Interpretacja geometryczna pochodnej zespolonej str Interpretacja geometryczna równań Cauchy ego-riemanna str Odwzorowania konforemne str. 35 2

3 6. Ca lka z funkcji zespolonej str Ca lka z funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej str Ca lka z funkcji zespolonej zmiennej zespolonej str Twierdzenia i wzory ca lkowe Cauchy ego str Funkcje holomorficzne w C str Zera funkcji holomorficznej str Szeregi Laurenta str. 6. Punkty osobliwe str. 65. Punkty osobliwe izolowane str Zachowanie si e funkcji holomorficznej w punkcie str Klasyfikacja funkcji holomorficznych ze wzgl edu na ich punkty osobliwe str Obliczanie ca lek za pomoca residuów str Geometryczna teoria funkcji str Przed lużenia analityczne str Rodziny normalne funkcji str Funkcje harmoniczne str. 97 3

4 . 4

5 Poj ecia podstawowe Zbiór liczb zespolonych C = {z = x + iy : x, y R} można utożsamiać z p laszczyzna dwuwymiarowa, która bedziemy oznaczać symbolem C i nazywać p laszczyzna zespolona otwarta. Aby zdefiniować jej domkni ecie podamy najpierw definicj e przekszta lcenia zwanego rzutem stereograficznym.. Rzut stereograficzny W przestrzeni R 3 definiujemy sfere x 2 + y 2 + ( z 2) 2 = o środku w punkcie (x 4 0, y 0, z 0 ) = (0, 0, ) i promieniu r =, styczn a 2 2 do p laszczyzny uk ladu OXY w poczatku uk ladu wspó lrzednych. Punkt N = (0, 0, ) S 2 nazywać bedziemy biegunem pó lnocnym sfery. Konstrukcja rzutu stereograficznego Każdemu punktowi z = x + iy C przyporzadkujemy punkt Z(ξ, η, ζ) S 2 {N} bed acy punktem przeciecia odcinka l acz acego punkt z C z punktem N. Definicja. Odwzorowanie gdzie ξ = P : C nazywamy rzutem stereograficznym. z = Z S 2 {N}, z = x + iy = Z = (ξ, η, ζ), x + z 2, η = y z 2, ζ = + z 2 + z 2, Uwaga. Rzut stereograficzny posiada przekszta lcenie odwrotne P : S 2 {N} = C, Z = (ξ, η, ζ) = z = x + iy, zdefiniowane wzorem x = ξ η, y =. ζ ζ Zatem rzut stereograficzny jest bijekcja miedzy p laszczyzna otwarta C i sfera bez bieguna pó lnocnego, któremu nie odpowiada żaden punkt na p laszczyźnie. 5

6 Uwaga.2 Umówimy si e, że punktowi N odpowiada punkt w nieskończoności (ozn. ). Definicja.2 P laszczyzna domnkiet a, która oznaczamy symbolem C nazywamy sume C { } i utożsamiamy ja z dwywymiarowa sfera zwana sfera Riemanna..2 Metryki w C i C W p laszczyźnie otwartej C wprowadzamy metryke euklidesowa d(z, z 2 ) := (Rez Rez 2 ) 2 + (Imz Imz 2 ) 2 = z z 2. W p laszczyźnie domknietej C wprowadzamy metryke sferyczna, w której odleg lość miedzy punktami z, z 2 rozumiemy odleg lość euklidesowa miedzy ich obrazami przy rzucie stereograficznym na sferze tzn. ρ(z, z 2 ) := d(p (z ), P (z 2 )) = ρ(z, ) := z z 2 + z 2 + z 2 2 z = z 2 C,, z =. + z 2 Uwaga.3 Aby otrzymać drugi wzór z pierwszego należy za z mianownik przez z 2. podstawić z i podzielić licznik oraz ρ(z, z 2 ) = z z 2 + z 2 + z 2 2 = Uwaga.4 z, z 2 C, 0 ρ(z, z 2 ). z z 2 + z 2 + z 2 2 z z 2 jesli z 2. Uwaga.5 P laszczyzna domknieta C z metryka sferyczna jest przestrzenia metryczna zwarta. Uwaga.6 Na zbiorach ograniczonych, zawartych w C obie metryki euklidesowa i sferyczna sa równoważne tzn. jeśli A {z : z R}, (R < ), to z z 2 + R 2 ρ(z, z 2 ) z z 2 z, z 2 A. 6

7 Definicja.3 Zbiór U(z 0, ε) = {z C : d(z, z 0 ) = z z 0 < ε} nazywamy ε-otoczeniem punktu z 0 C w p laszczyźnie C (otwartej). Definicja.4 Zbiór U(z 0, ε) = {z C : ρ(z, z 0 ) < ε} nazywamy ε-otoczeniem punktu z 0 C w p laszczyźnie C (domkni etej). Zatem: U(, ε) = {z C : ρ(z, ) < ε} = {z C : {z C : z > ε 2 }, + z 2 < ε} = ε ma le. Otoczeniem punktu w w p laszczyźnie C jest dope lnienie domkni etego ko la o środku w zerze. Definicja.5 - Otoczeniem nak lutym punktu z 0 C w p laszczyźnie C nazywamy zbiór U(z 0, ε) {z 0 } = {z C : 0 < z z 0 < ε}. - Otoczeniem nak lutym punktu z 0 C w p laszczyźnie C nazywamy zbiór U(z 0, ε) {z 0 } = {z C : 0 < ρ(z, z 0 ) < ε}. Definicja.6 Obszarem D nazywamy zbiór punktów p laszczyzny C spe lniajacy warunki: - (otwartość) a D U(a, ε)-otoczenie takie, że U(a, ε) D, - ( lukowa spójność) a, b D istnieje droga o końcach a,b zawarta w D. Droga o końcach a, b nazywamy funkcje ciag l a γ : [t 0, t ] C taka, że γ(t 0 ) = a, γ(t ) = b. Stwierdzenie. Dla zbiorów otwartych zawartych w C (odpow. w C) lukowa spójność pokrywa sie ze spojnościa zbiorów. Definicja.7* Obszar D C (odpow. D C) nazywamy jednospójnym, jeśli jego brzeg jest zbiorem spójnym. W przeciwnym przypadku obszar nazywamy wielospójnym. (*) Później podamy inna definicje jednospójności. 7

8 2 Funkcje zespolone Definicja 2. Odwzorowanie f : D C, z w = f(z) nazywamy funkcje zespolona zmiennej zespolonej. D C Argument z funkcji f i jej wartość w = f(z) rozk ladamy na cześć rzeczywista i urojona tzn. z = x + iy, w = u + iv. Otrzymujemy w ten sposób rozk lad funkcji w = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) na cześć rzeczywista Ref(z) := u(x, y) i cześć urojona Imf(z) := v(x, y). Cześć rzeczywista i urojona funkcji zespolonej f jest funkcja rzeczywista dwóch zmiennych x, y. Przyk lad 2. Znaleźć cześć rzeczywista i urojona funkcji f(z) = iz 2. Zatem f(z) = iz 2 = i(x + iy) 2 = i(x 2 + 2ixy y 2 ) = ix 2 2xy iy 2 = 2xy + i(x 2 y 2 ). Ref(z) = u(x, y) = 2xy, Imf(z) = v(x, y) = x 2 y 2. Przyk lad 2.2 Dane sa cześć rzeczywista u(x, y) = x y i urojona v(x, y) = 4xy funkcji zespolonej f. Przedstawić funkcje f jako funkcje zmiennej zespolonej z. z = x + iy, z = x iy x = z + z 2 z z, y =. 2i Podstawiamy ( ) ( ) ( ) ( ) z + z z z z + z z z f(z) = u(x, y) + iv(x, y) = (x y) + i4xy = + i4 2 2i 2 2i ( = z 2 ) ( + z 2i 2 + ) ( ) ( ) (z 2 z 2 ) = z 2i 2 + i + z 2 2 i + z 2 z

9 2. Granica i ciag lość Definicja 2.2 lim f(z) = g ε > 0 δ > 0 z D 0 < d(z, z 0 ) < δ d(f(z), g) < ε. z z 0 Stwierdzenie 2. lim f(z) = g lim u(x, y) = Reg i lim v(x, y) = Img. z z 0 (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) Definicja 2.3 Funkcja f jest ciag la w z 0 lim z z0 f(z) = f(z 0 ). Twierdzenie 2. Funkcja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) jest ciag la w z 0 funkcje u i v sa ciag le w (x 0, y 0 ). Definicja 2.4 Funkcja f jest ciag la w, jeśli funkcja f( ) jest ci ag la z w zerze. 2.2 Pochodna Definicja 2.5 Granice w laściwa ilorazu różnicowego f(z + Δz) f(z) lim Δz 0 Δz nazywamy pochodna funkcji f w punkcie z i oznaczamy f (z). f (z) := lim Δz 0 f(z + Δz) f(z), Δz f (z 0 ) := lim z z0 f(z) f(z 0 ) z z 0. Jeżeli funkcje f i g maja pochodna w punkcie z, to. (f ± g) (z) = f (z) ± g (z). 2. (fg) (z) = f (z)g(z) + f(z)g (z). ( ) f 3. g (z) = f (z)g(z) f(z)g (z) dla z / g (0). [g(z)] 2 9

10 Jeżeli funkcja f ma pochodna w punkcie g(z) i g ma pochodna w punkcie z, to (f g) (z) = f (g(z))g (z). Twierdzenie 2.2 (warunek konieczny istnienia pochodnej) Jeżeli funkcja f(z) = u(x, y)+iv(x, y) ma w punkcie z 0 = x 0 +iy 0 pochodna f (z 0 ), to istnieja w punkcie (x 0, y 0 ) pochodne czastkowe u, u, v, v i spe lniaj a x y x y w punkcie (x 0, y 0 ) warunki: u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ), u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ), zwane warunkami Cauchy ego-riemanna. Dowód. Zak ladamy, że istnieje Niech Δz = Δx + iδy f (z 0 ) = lim Δz 0 f(z 0 + Δz) f(z 0 ). Δz () Δy = 0 Δz = Δx f u(x 0 + Δx, y 0 ) + iv(x 0 + Δx, y 0 ) u(x 0, y 0 ) iv(x 0, y 0 ) (z 0 ) = lim Δx 0 [ Δx u(x0 + Δx, y 0 ) u(x 0, y 0 ) = lim + i v(x ] 0 + Δx, y 0 ) v(x 0, y 0 ) Δx 0 Δx Δx = u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ). (2) Δx = 0 Δz = iδy f u(x 0, y 0 + Δy) + iv(x 0, y 0 + Δy) u(x 0, y 0 ) iv(x 0, y 0 ) (z 0 ) = lim Δy 0 iδy [ u(x0, y 0 + Δy) u(x 0, y 0 ) = lim + v(x ] 0, y 0 + Δy) v(x 0, y 0 ) Δy 0 iδy Δy = i u y (x 0, y 0 ) + v y (x 0, y 0 ). Zatem u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ) = i u y (x 0, y 0 ) + v y (x 0, y 0 ). 0

11 Stad u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) oraz u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ). Wniosek 2. Jeżeli istnieje pochodna funkcji f w punkcie z 0, to: f (z 0 ) = u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) i u y (x 0, y 0 ) = u x (x 0, y 0 ) i u y (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ). Wniosek 2.2 Pochodne czastkowe funkcji f wyrażaja sie wzorami f x f y (x, y) = u x (x, y) = u y (x, y) + i v (x, y) x (x, y) + i v (x, y). y Stad i z wniosku 2. otrzymamy nastepuj ace wzory na pochodna funkcji f w punkcie z 0. f (z 0 ) = f x (x 0, y 0 ) = i f y (x 0, y 0 ). Twierdzenie 2.3 (warunek dostateczny istnienia pochodnej) Jeżeli funkcje u(x, y) i v(x, y) sa rózniczkowalne w punkcie (x 0, y 0 ) i spe lniaja w tym punkcie warunki Cauchy ego Riemanna, to funkcja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ma pochodna f (z 0 ). Dowód. Funkcje u i v sa różniczkowalne w punkcie (x 0, y 0 ), wiec () Δu(x 0, y 0 ) = u(x, y) u(x 0, y 0 ) = u x (x 0, y 0 )Δx + u y (x 0, y 0 )Δy + o ( Δz ), gdzie Δz = (Δx) 2 + (Δy) 2, o jest wielkościa ma lego rzedu tzn. Analogicznie lim Δz 0 o ( Δz ) Δz = 0. (2) Δv(x 0, y 0 ) = v(x, y) v(x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 )Δx + v y (x 0, y 0 )Δy + o 2 ( Δz ), o o 2 jest wielkościa ma lego rzedu tzn. lim 2 ( Δz ) Δz 0 = 0. Δz Δf(z 0 ) = f(z) f(z 0 ).

12 (3) Δf(z 0 ) = f(z) f(z 0 ) = Δu(x 0, y 0 ) + iδv(x 0, y 0 ). Podstawiajac () i (2) do (3) otrzymamy: Δf Δz (z 0) = Δu Δz (x 0, y 0 ) + i Δv Δz (x 0, y 0 ) = ( u x (x 0, y 0 ) Δx Δz + u y (x 0, y 0 ) Δy ) + o ( Δz ) Δz Δz ( u x (x 0, y 0 ) + i v ) Δx x (x 0, y 0 ) Δz + ( v + i ( u y (x 0, y 0 ) + i v y (x 0, y 0 ) x (x 0, y 0 ) Δx Δz + v y (x 0, y 0 ) Δy ) Δz ) Δy Δz + o ( Δz ) Δz + i o 2( Δz ) Δz + i o 2( Δz ). Δz = Korzystajac z za lożenia, że funkcje u(x, y) i v(x, y) spe lniaja warunki Cauchy ego-riemanna otrzymamy, że Zatem Δf Δz (z 0) = u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) i u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ) ( u x (x 0, y 0 ) + i v ) ( ) Δx + iδy x (x 0, y 0 ) Δz + o ( Δz ) Δz ( Δf u lim Δz 0 Δz (z 0) = lim Δz 0 x (x 0, y 0 ) + i v ) x (x 0, y 0 ) + o ( Δz ) Δz + i o 2( Δz ). Δz + i o 2( Δz ). Δz Stad wynika, że istnieje granica w laściwa ilorazu różnicowego w punkcie z 0, czyli istnieje pochodna f (z 0 ). Przyk lad 2.3 Dla jakich punktów z C funkcja f(z) = z z = z 2 = x 2 + y 2 ma pochodna? Ref(z) = u(x, y) = x 2 + y 2, Imf(z) = v(x, y) 0. Funkcje u i v sa różniczkowalne dla (x, y) R 2. Sprawdzamy warunki C-R. Stad u x = 2x, u y = 2y, v x = v y = 0. u x = v y x = 0, u y = v x y = 0. Zatem warunki Cauche go Riemanna sa spe lnione tylko w punkcie z 0 = 0. Z Twierdzenia 2.2 wynika, że tylko w tym punkcie spe lniony jest warunek konieczny istnienia pochodnej. Z twierdzenia 2.3 zaś wynika, że w punkcie z 0 = 0 spe lnione sa również warunki dostateczne istnienia pochodnej funkcji f. Pochodna funkcji policzymy z definicji. f (0) = lim z 0 f(z) f(0) z 0 2 z z = lim z 0 z = lim z = 0. z 0

13 2.3 Pochodne formalne Niech f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Za lóżmy, że funkcje u(x, y) i v(x, y) sa różniczkowalne w punkcie z 0 = (x 0, y 0 ). Wyprowadzimy wzory na pochodne formalne f(z). Ponieważ dz = dx + idy i d z = dx idy, to df = du + idv =(u xdx + u ydy) + i(v xdx + v ydy) =(u xdx + iv xdx) + (u ydy + iv ydy) = f f dx + x y dy. (2.) Wstawiajac (2.2) do (2.) otrzymamy dx = 2 (dz + d z), dy = (dz d z). (2.2) 2i df = f f (dz + d z) + x 2 y 2i = ( ) f 2 x i f dz + y 2 = f f dz + z z d z. (dz d z) ( f x + i f y ) d z Definicja 2.6. Pochodne formalne funkcji f(z) definiujemy nastepuj aco: f z := ( ) f 2 x i f f, y z := ( ) f 2 x + i f. y (2.3) Twierdzenie 2.4 (warunek różniczkowalności funkcji w postaci zespolonej) Niech f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Zak ladamy, że funkcje u(x, y) i v(x, y) sa różniczkowalne w punkcie z 0 = (x 0, y 0 ). Wtedy funkcja f(z) ma pochodna w punkcie z 0 = x 0 + iy 0 wtedy i tylko wtedy gdy f (z z 0) = 0. Dowód Korzystajac z definicji pochodnej formalnej mamy, że f z = ( ) f 2 x + i f = ( u y 2 x + iv x + i(u y + iv y) ) = ( u 2 x v y + i(u x + iv y) ). Zauważmy, że warunek f (z z 0) = 0 zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy u x(x 0, y 0 ) = v y(x 0, y 0 ) i u y(x 0, y 0 ) = v x(x 0, y 0 ), czyli gdy spe lnione sa warunki Cauchy ego-riemanna w punkcie z 0. 3

14 Uwaga 2. f (z 0 ) = f z (z 0) Dowód ( ) Z wniosku 2. wynika, że f (z 0 ) = u(x x 0, y 0 ) + i v (x x 0, y 0 ). Natomiast f = f f i = z 2 x y ( 2 u x + iv x i(u y + iv y) ) ( = 2 (u x + v y) + i(v x u y) ). Korzystajac z faktu, że jeśli istnieje f (z 0 ) to f spe lnia w punkcie z 0 warunki Cauchy ego-riemanna otrzymamy, że f z (z 0) = [ u 2 x (x 0, y 0 ) + v y(x 0, y 0 ) + i(v x(x 0, y 0 ) u y(x 0, y 0 )) ] = 2 [2u x(x 0, y 0 ) + i2v x(x 0, y 0 )] = f (z 0 ) 2.4 Pochodna kierunkowa funkcji Niech D C, f : D C, z 0 D. Wtedy Δf = f(z) f(z 0 ), Δz = z z 0, Δ z = z z 0. Zatem Δf = f z f Δz + Δ z + o(δz), z o(δz) gdzie o(δz) oznacza ma l a wyższego rzedu wzgledem Δ tzn. lim Δz 0 Δz Δz = Δz e iθ, wtedy Δ z = Δz e iθ. = 0. Zapiszemy gdzie η(δz) = o(δz) Δz dla Δz 0. Δf Δz = f z + f z e 2iθ + η(δz), Do istnienia granicy ilorazu Δf dla Δz 0 potrzeba i wystarcza, aby przy d ażeniu Δz Δz 0 kat θ = arg(δz) daży l do pewnej granicy φ. Granica ilorazu Δf gdy arg(δz) d aży Δz do kata φ nazywamy pochodna funkcji f w kierunku kata φ w punkcie z 0 i oznaczamy symbolem f f = f z φ z + f z e 2iφ. Uwaga 2.2 Jeżeli f (z z 0) = 0, to pochodne kierunkowe w tym punkcie zależa od od kierunku. z φ. 4

15 Uwaga 2.3 Funkcja ma pochodna w punkcie z 0 f (z z 0) = 0 gdy pochodna funkcji f nie zależy od od kierunku φ w punkcie z Funkcje holomorficzne Definicja 2.7 Funkcje f(z) nazywamy holomorficzna (różniczkowalna w sensie zespolonym) w obszarze D jeśli w każdym punkcie z D istnieje pochodna f (z). Ozn. f H(D). Definicja 2.8 Funkcje f(z) nazywamy holomorficzna (różniczkowalna w sensie zespolonym) w punkcie z 0 D jeśli jest holomorficzna w pewnym otoczeniu tego punktu. Przyk lad 2.4 Zbadać holomorficzność funkcji f(z) = z 2 = z z. Wiadomomo, że f (z 0 ) istnieje wtedy i tylko wtedy gdy f (z z 0) = 0. Policzymy f (z) = z. z Stad f (z) = 0 z = 0. Zatem f ma pochodn a z tylko w z 0 = 0. Policzymy ja z definicji f (z 0 ) = lim z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 z z 0 = lim z 0 z 0 = lim z = 0. z 0 - f ma pochodna tylko w zerze, zatem nie jest holomorficzna ani w punkcie z 0 = 0, ani w ca lej p laszczyźnie C. Przyk lad 2.5 Zbadać holomorficzność funkcji f(z) = z 2 z. Policzymy f (z) = z z2. St Policzymy ja z definicji ad f (z) = 0 z = 0. Zatem f ma pochodn a z tylko w z 0 = 0. f (z 0 ) = lim z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 = lim z 0 z 2 z 0 z 0 = lim z 0 z z = 0 - f ma pochodna tylko w zerze, zatem nie jest holomorficzna ani w punkcie z 0 = 0, ani w ca lej p laszczyźnie C. Jest to kolejny przyk lad funkcji, która ma pochodna w punkcie ale nie jest w nim holomorficzna. 5

16 W lasności funkcji holomorficznych:. Jeśli f, g H(D), to (f ± g) H(D) oraz fg H(D). 2. Jeśli f, g H(D), to f g H(D (g (0)). 3. Jeśli g H(D), f H(f(D)), to (f g) H(D). 3 Funkcje elementarne 3. Funkcja wyk ladnicza Funkcje wyk ladnicza w dziedzinie zespolonej zdefiniujemy tak samo jak w analizie rzeczywistej tzn. exp(z) := lim ( + z ) n. n n Wykażemy istnienie tej granicy dla każdego z C.. Najpierw pokażemy zbieżność modu lów tzn. ( lim + n) z n = e x. (3.) n Skorzystamy z w lasności, że z n = z n. Zatem ( + z ) n [ ( = + x ] 2 y + n n) 2 n/2 = [ + 2xn ] n + x2 + y 2 n/2. 2 n 2 Przechodzac do granicy otrzymamy, że ( lim + n) z n = e x, czyli zachodzi (3.). n 2. Niech Argz oznacza argument g lówny liczby z. Pokażemy, że lim ( Arg + z ) n = y. (3.2) n n Zauważmy najpierw, że Ponieważ Arg(z n ) = narg(z), to ( Arg + z ) n y n = arctg + x. n ( Arg + n) z ( n y = narctg n + x n 6 ).

17 Przechodzac do granicy otrzymamy, że czyli zachodzi (3.2). lim n ( narctg ( y n + x n )) = y, Z jednoznaczności zapisu liczby ( zespolonej w postaci trygonometrycznej otrzymamy, że modu l liczby e z czyli e z = lim n + z n n) = e x, zaś Arg(e z ) = lim n Arg ( + n) z n = y. St ad exp(z) = e z = e x+iy = e x (cosy + isiny). (3.3) Podstawiajac za z = 0 + iy otrzymamy wzór Eulera tzn. y IR e iy = cosy + isiny (3.4) Wracajac do definicji funkcji wyk ladniczej e z (znowu korzystajac z jednoznaczności zapisu liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej) otrzymamy, że W lasności e z = e x+iy = e x e iy = e x (cosy + isiny). a) Cześć rzeczywista i urojona funkcji f(z) = e z wynosza odpowiednio u(x, y) = e x cosy, v(x, y) = e x siny. b) e z = e x. c) funkcja e z jest holomorficzna w C oraz (e z ) = e z. Jest oczywiste, że cześć rzeczywista i urojona funkcji sa klasy C (R 2 ). Pokażemy, że spe lniaja równania Cauchy ego-riemanna: u x(x, y) = e x cosy, u y(x, y) = e x siny, v x(x, y) = e x siny, v y(x, y) = e x cosy, u x(x, y) = v y(x, y), u y(x, y) = v x(x, y). f (z) = f z = u x + iv x = e x cosy + ie x siny = e x (cosy + isiny) = e z. d) z, z 2 C, e z +z 2 = e z e z 2. e z e z 2 = e x (cosy + isiny )e x 2 (cosy 2 + isiny 2 ) = e x +x 2 (cos(y + y 2 ) + isin(y + y 2 )). = e (x +x 2 )+i(y +y 2 ) = e z +z 2. 7

18 e) z C, e z = 0. Przypuśćmy, że e z = 0 e x (cosy + isiny) = 0 e x cosy = 0 e x siny = 0. Ponieważ e x = 0 to cosy = 0 i siny = 0. Pierwsza równość zachodzi dla y = π + kπ, 2 druga zaś dla y = kπ, gdzie k Z. Ponieważ obie równości nie moga zachodzić jednocześnie, otrzymana sprzeczność dowodzi, że e z = 0 dla każdego z C. f) funkcja e z jest okresowa o okresie podstawowym T = 2πi. Dla k Z korzystajac z okresowości funkcji trygonometrycznych sinx i cosx mamy e z+2kπi = e z e 2kπi = e z (cos(2kπ) + isin(2kπ)) = e z ( + i0) = e z. g) funkcja e z jest rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji wyk ladniczej e x. Niech z = x + i0 R. Wtedy e z = e x (cos0 + isin0) = e x ( + i0) = e x. Uwaga 3. Zostanie później udowodnione, że funkcja wyk ladnicza e z rozwinie sie w szereg Maclaurina tzn. e z z k = dla każdego z C. k! k= 3.2 Funkcje trygonometryczne Funkcje cosz i sinz w dziedzinie zespolonej definiujemy nastepuj aco: W lasności tgz = sinz cosz = cosz := eiz + e iz, sinz := eiz e iz, 2 2i eiz e iz i(e iz + e iz ), cosz ctgz = sinz = i(eiz + e iz ) (e iz e iz ). a) Sa to funkcje holomorficzne w swojej dziedzinie tzn. sinz i cosz dla z C, tgz dla z {z C : z = kπ + π, k Z}, ctgz dla z {z C : z = kπ, k Z}. 2 8

19 Korzystamy z faktu, że funkcja wyk ladnicza e z jest funkcja holomorficzna oraz z w lasności dzia lań na tych funkcjach. Stad można wyprowadzić wzory na pochodna: (cosz) = 2 (ieiz ie iz ) = i 2 (eiz e iz ) = 2i (eiz e iz ) = sinz. (sinz) = 2i (ieiz + ie iz ) = i 2i (eiz + e iz ) = 2 (eiz + e iz ) = cosz. b) cos 2 z + sin 2 z =. (tgz) = cos 2 z (ctgz) = sin 2 z. ( ) e cos 2 z + sin 2 iz + e iz 2 ( ) e iz e iz 2 z = + 2 2i = ( e 2iz + 2e iz e iz + e 2iz) ( e 2iz 2e iz e iz + e 2iz) 4 4 = 4eiz e 2iz 4 =. c) Cześci rzeczywiste i urojone funkcji trygonometrycznych wynosza odpowiednio: Dowód podamy dla funkcji sinz sinz = sinxchy + icosxshy cosz = cosxchy isinxshy sin2x tgz = cos2x + ch2y + i sh2y cos2x + ch2y sinz = eiz e iz 2i = ei(x+iy) e i(x+iy) 2i = e y (cosx + isinx) e y (cosx isinx) ( ) 2i ( ) e y e y e y + e y = cosx + isinx 2i 2i = sinxchy + icosxshy. = e y+ix e y ix 2i d) Funkcje trygonometryczne sinz, cosz, tgz sa rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji sinx, cosx, tgx. 9

20 Niech z = x + i0 IR. Wtedy sinz = sinxch0 + icos0sh0 = sinx + i0 = sinx. cosz = cosxch0 icosxsh0 = cosx i0 = cosx. sin2x tgz = cos2x + ch0 + i sh0 cos2x + ch0 = 2sinxcosx + (2cos 2 x ) = tgx. e) Funkcje trygonometryczne sa okresowe tzn. sinz i cosz o okresie podstawowym T = 2π. tgz i ctgz o okresie podstawowym T = π. sin(z + 2π) =sin(x + iy + 2π) = sin(x + 2π)chy + icos(x + 2π)shy Dowód dla cosz jest analogiczny. =sin(x)chy + icos(x)shy = sinz. sin2(x + π) tg(z + π) = cos2(x + π) + ch2y + i sh2y cos2(x + π) + ch2y sin2x = cos2x + ch2y + i sh2y cos2x + ch2y = tgz. f) sinz = sin 2 x + sh 2 y oraz cosz = cos 2 x + sh 2 y. Ponieważ funkcja hiperboliczna shy jest nieograniczona, wynika sta, że w przeciwieństwie do funkcji rzeczywistych funkcje sinz i cosz sa nieograniczone. g) sinz, tgz, ctz to funkcje nieparzyste, natomiast cosz jest funkcja parzysta tzn. sin( z) = sinz, coz( z) = cosz. h) sin( z) = sinz, cos( z) = cosz tg( z) = tgz ctg( z) = ctgz. i) sin(z ± z 2 ) = sinz cosz 2 ± cosz sinz 2. cos(z + z 2 ) = cosz cosz 2 sinz sinz 2. cos(z z 2 ) = cosz cosz 2 + sinz sinz 2. j) Funkcje sinz oraz cosz przyjmuja wszystkie wartości z p laszczyzny otwartej C. Funkcje tgz i ctgz omijaja dwie wartości i, i, natomiast przyjmuja wartość, tgz w punktach z k = π + kπ, ctgz w punktach z 2 k = kπ, k Z. 20

21 3.3 Funkcje hiperboliczne Funkcje chz i shz w dziedzinie zespolonej definiujemy tak samo jak w dziedzinie rzeczywistej tzn. chz := ez + e z, shz := ez e z, 2 2 W lasności thz := shz chz = ez e z e z + e z, chz cthz := shz = ez + e z e z e. z a) Sa to funkcje holomorficzne w swojej dziedzinie tzn. shz i chz dla z C, thz dla z {z C : z = i(kπ + π ), k Z}, cthz dla z {z C : z = ikπ, k Z}. 2 (chz) = shz, (shz) = chz, (thz) = ch 2 z, (cthz) = sh 2 z. b) ch 2 z sh 2 z = dla z C. c) Cześci rzeczywiste i urojone funkcji hiperbolicznych wynosza odpowiednio: shz = shxcosy + ichxsiny, chz = chxcosy + ishxsiny, sh2x thz = ch2x + cos2y + i sin2y ch2x + cos2y. d) Funkcje hiperboliczne shz, chz, thz, cthz sa rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji shx, chx, thx, cthx. e) Funkcje hiperboliczne sa okresowe tzn. shz i chz o okresie podstawowym T = 2πi. thz i cthz o okresie podstawowym T = πi. f) shz = sh 2 x + sin 2 y oraz chz = sh 2 x + cos 2 y. g) cosiz = chz, siniz = ish(z). 2

22 3.4 Funkcja logarytmiczna Niech z C {0}. Każda liczbe zespolona w spe lniajac a równanie e w = z nazywamy logarytmem liczby z i oznaczamy lnz. Niech z = x + iy = e w = e u+iv = e u (cosv + isinv). (3.5) Zatem z = e u czyli u = ln z = ln x 2 + y 2. Z (3.5) wynika, że v = Argz +2kπ dla pewnego k Z, gdzie Argz oznacza argument g lówny liczby z. Każda liczba zespolona z C {0} ma nieskończenie wiele logarytmów wyrażonych wzorem Funkcja zdefiniowa wzorem w = u + iv = ln z + i(argz + 2kπ), k Z. lnz = ln z + iargz (3.6) dla z = 0 nazywamy funkcja logarytmiczna. Funkcja lnz jest nieskończenie wielowartościowa. Funkcje Lnz = ln z + iargz, π < Argz π (3.7) nazywamy ga lezia g lówna logarytmu. Z (3.6) i (3.7) wynika, że lnz = Lnz + i2kπ, k Z. W każdym obszarze jednospójnym nie zawierajacym 0 i istnieje jednoznaczna ga l aź logarytmu. Takim obszarem jest np. p laszczyzna rozcieta wzd luż osi ujemnej tzn. 3.5 Funkcja pot egowa E = C {x R : x 0}. Niech μ bedzie dowolna liczba zespolona, E obszarem spójnym w którym istnieje jednoznaczna ga l aź logarytmu zmiennej z. Funkcje potegowa o wyk ladniku μ nazywamy funkcje zdefiniowana wzorem z μ = e μlnz. (3.8) Jest to także fukcja wielowartościowa. Ga l ezi a g lówna tej funkcji nazywamy ga l aź zdefiniowana za pomoca ga l ezi g lównej logarytmu tzn. e μlnz. Szczególnym przyk ladem funkcji potegowej jest funkcja n z = e (/n)lnz zwana pierwiastkiem n-stopnia z liczby z C {0}. W każdym obszarze jednospójnym nie zawierajacym zera i istnieje dok ladnie n ga l ezi różniacych sie czynnikiem e 2kπi/n, k = 0,,... n. 22

23 3.6 Powierzchnie Riemanna funkcji wielowartościowych Funkcja lnz zdefiniowana dla z C {0} jest nieskończenie wielowartościowa. Na p laszczyźnie rozcietej wzd luż pó losi rzeczywistej ujemnej istnieje nieskończenie wiele ga l ezi jednoznacznych logarytmu Lnz + 2kπi, k Z. Utwórzmy nieskończony ciag tak rozcietych p laszczyzn i ponumerujmy je liczbami k Z. Z każdej p laszczyzny usuwamy punkt 0. L aczymy górny brzeg rozciecia każdej z nich z dolnym brzegiem rozciecia nastepnej tak aby punkty brzegowe o tych samych wspó lrzednych tworzy ly jeden punkt. Otrzymamy nieskończenie wielolistna powierzchnie z lożona z plaszczyzn zwanych liściami. Taka powierzchnia przedstawia powierzchnie Riemanna pe lnej funkcji lnz. Punktom p laszczyzny oznaczonej liczba 0 przyporzadkujemy wartości ga l ezi g lownej Lnz. Ogólnie, punktowi z n-p laszczyzny przyporzadkowujemy wartości Lnz + i2nπ. W ten sposób każdej wartości funkcji lnz zostaje przyporzadkowany dok ladnie jeden punkt powierzchni i na odwrót. Na tej powierzchni lnz jest funkcja jednoznaczna. Startujac z pewnego punktu z i okrażaj ac punkt 0 dojdziemy po jednym okrażeniu do punktu z ± 2πi zależnie od tego czy okrażamy punkt 0 w dodatniej czy ujemnej orientacji. Funkcja n z ma n ga l ezi jednoznacznych na ca lej p lasczyźnie rozcietej wzd luż pó losi rzeczywistej ujemnej. Gdy okrażamy raz punkt 0 wzd luż pewnej krzywej zamknietej w kierunku dodatnim na p laszczyźnie nierozcietej, wówczas każda ga l aź przechodzi w nastepn a. Wartość funkcji zostaje pomnożona przez e 2πi/n. Po n-krotnym okrażeniu punktu 0 wartość funkcji wraca do swej poczatkowej wartości bo zmieni sie o czynnik e 2πi/n =. n Aby skonstruować powierzchnie Riemanna funkcji z umieszczamy n rozcietych p laszczyzn wzdluż osi rzeczywistej ujemnej i l aczymy górny brzeg rozciecia każdej p laszczyzny z dolnym brzegiem rozciecia nastepnej. Tak samo po l aczymy górny brzeg ostatniej p laszczyzny z dolnym brzegiem pierwszej. Zawsze l aczymy punkty o tych samych wspó lrzednych. Otrzymana n w ten sposób n-listna powierzchnia przedstawia powierzchnie Riemanna pe lnej funkcji z. Na jednym liściu tej powierzchni rozmieśćmy wartości jednoznacznej ga l ezi naszej funkcji, a na każdym nastepnym liściu wartości tej ga l ezi pomnożonej przez e 2πi/n. W ten sposób n każdej wartości funkcji z zostaje przyporzadkowany dok ladnie jeden punkt powierzchni i n na odwrót. Na tej powierzchni z jest funkcja jednoznaczna. 4 Szeregi funkcyjne 4. Szeregi liczbowe Definicja 4. Szereg a 0 + a + a = a n o dowolnych wyrazach zespolonych nazywamy zbieżnym do sumy s, gdy ciag sum czastkowych s n = n k=0 a n, n N, jest zbieżny do granicy s. 23

24 Definicja 4.2 Szereg a n nazywamy: i) bezwzgl ednie zbieżnym jeśli a n jest zbieżny, ii) warunkowo zbieżnym jeśli jest zbieżny ale nie jest bezwgl ednie zbieżny. Twierdzenie 4. i) Jeżeli szereg a n jest zbieżny, to lim n a n = 0. ii) Szereg bezwzglednie zbieżny jest zbieżny przy dowolnym uporzadkowaniu wyrazów i jego suma nie zależy od porzadku wyrazów. iii) Szereg a n, gdzie a n = α n +iβ n, jest zbieżny do sumy s = α+β wtedy i tylko wtedy, gdy szeregi α n i β n sa zbieżne tzn. α n = α i β n = β. Twierdzenie 4.2 (Kryterium porównawcze) Jeżeli dla prawie wszystkich wyrazów szeregu a n zachodzi nierówność a n A n i szereg A n jest zbieżny, to szereg a n jest zbieżny bezwzglednie. Twierdzenie 4.3 (Kryterium d Alamberta) Szereg a a n jest bezwzglednie zbieżny, gdy lim n+ n a n < oraz rozbieżny, gdy lim n a n+ a n >. Twierdzenie 4.4 (Kryterium Cauchy ego) Szereg a n jest bezwzglednie zbieżny, gdy lim sup n n a n < oraz rozbieżny, gdy lim sup n n a n >. Twierdzenie 4.5 (Kryterium Dirichleta) Szereg a nb n jest zbieżny, jeśli wyrazy a n sa rzeczywiste, dodatnie i ze wzrostem n maleja do zera, a ciag sum czastkowych szeregu b n jest ograniczony. Przyk lad 4. Szereg z n n= jest zbieżny dla z =, z =, bo przyjmuj ac n a n =, b n n = z n, z = i z > η otrzymamy s n = z + z z n = z( z n ) z < 2 η, a wiec za lożenia kryterium Dirichleta sa spe lnione. Zauważmy, że ten szereg nie jest zbieżny bezwglednie dla z takich, że z =, ponieważ z n n= n = n= =. n 24

25 4.2 Rodzaje zbieżności szeregów funkcyjnych Definicja 4.3 Niech D C zbiór (czesto otwarty lub obszar), f n : D C ciag funkcji. Powiemy, że szereg funkcyjny n= f n(z) jest zbieżny w D jeżeli ciag {s n (z) = n k= f k(z)} jest zbieżny w D tzn. jeśli granica lim n s n (z) = s(z) jest funkcja dobrze określona w zbiorze D. Taki rodzaj zbieżności nazywamy zbieżnościa punktowa. Zbieżność w D nazywamy jednostajna, jeśli ε N(ε) n > N(ε) z D s n (z) s(z) < ε. Warunek jednostajnej zbieżności szeregu n= f n(z) można także sformu lować nastepuj aco: ε N(ε) n > N(ε) z D n=n+ f n (z) < ε. Funkcje graniczna s(z) = lim n s n (z) nazywamy suma danego szeregu. Uwaga 4. Niech D C zbiór otwarty (lub obszar), f n : D C ciag funkcji ciag lych. Jeżeli ciag funkcyjny (szereg funkcyjny n= f n(z)) jest zbieżny jednostajnie w D, to granica ciagu (suma szeregu) jest funkcja ciag l a w D. Twierdzenie 4.6 (Weierstrassa) Szereg n= f n(z) jest zbieżny jednostajnie w zbiorze D C, jeśli istnieje ciag liczbowy {a n } n= taki, że n N, f n (z) a n i szereg n= a n jest zbieżny. Definicja 4.4 Niech D C, f n : D C ciag funkcji. Szereg funkcyjny n= f n(z) nazywamy zbieżnym niemal jednostajnie w zbiorze D, jeśli jest on zbieżny jednostajnie na każdym zwartym podzbiorze zbioru D. Uwaga 4.2 Zbieżność jednostajna można czesto zastapić zbieżnościa niemal jednostajna. Granica zbieżnego niemal jednostajnie ciagu (szeregu) funkcji ciag lych jest funkcja ciag l a. 25

26 4.3 Szeregi pot egowe Definicja 4.5 Szeregiem pot egowym o środku w punkcie z 0 nazywamy szereg postaci gdzie a n C. a n (z z 0 ) n, (4.) Definicja 4.6 Promieniem zbieżności szeregu potegowego (4.) nazywamy kres górny zbioru tych liczb r, że dany szereg jest zbieżny w kole {z : z z 0 < r}. Wzór Cauchy ego-hadamarda Niech dany b edzie szereg pot egowy (4.) i lim sup n n an = R, (4.2) gdzie 0 R (przyjmujemy, że =, = 0). Wówczas szereg (4.) jest zbieżny w 0 każdym punkcie z, dla którego z z 0 < R, i jest rozbieżny w każdym punkcie z, dla którego z z 0 > R. Dowód Niech 0 < R <. Wtedy dla każdego ε > 0 istnieje N N takie, że dla n N mamy n an < /R + ε. Stad [( ) n a n (z z 0 ) n < R + ε z z 0 ]. (4.3) Jeśli z z 0 < R, to ε można dobrać tak ma le, że spe lniona bedzie nierówność ( ) R + ε z z 0 = q <. Wówczas z (4.3) widać, że wyrazy szeregu (4.) dla n N sa majoryzowane przez wyrazy szeregu geometrycznego qn i w konsekwencji szereg (4.) jest zbieżny, gdy z z 0 < R. Z definicji granicy górnej wynika, że dla dowolnej liczby ε > 0 istnieje taki podciag n k, że n k a nk > /R ε. 26

27 Zatem a nk (z z 0 ) n k > [( ) nk R ε z z 0 ]. (4.4) Jeśli z z 0 > R, to liczbe ε można dobrać tak ma l a aby (/R ε) z z 0 >. Wówczas z (4.4) wynika, że a nk (z z 0 ) n k >, a w konsekwencji nie zachodzi warunek konieczny zbieżności szeregu (4.), wiec szereg ten jest rozbieżny dla z z 0 > R. Wniosek 4. Obszarem zbieżności szeregu potegowego (4.) jest ko lo {z : z z 0 < R}, gdzie R jest liczba wyznaczona ze wzoru Cauchy ego-hadamarda. Przyk lad 4.2. Szereg zn jest zbieżny w kole K(0, ) = {z : z < }, ponieważ lim sup n n an = R =. Jeśli z =, to szereg n= zn nie jest zbieżny, bo nie zachodzi warunek konieczny zbieżności - wyraz z n = e inφ ma modu l równy, czyli nie daży do zera. 2. Szereg z n n= n 2 oraz n N z n n 2 n 2. ( jest zbieżny w kole K(0, ) = {z : z }, ponieważ lim sup n n 2 n = R = n 2 <.) Zatem szereg jest zbieżny w kole i na brzegu. 3. Dla szeregu nn z n promień zbieżności R = 0, ponieważ lim sup n Szereg jest zbieżny tylko dla z = 0. n nn = lim sup n n = = R. Twierdzenie 4.7 (Abela) Jeżeli szereg potegowy a nz n jest zbieżny w punkcie z = 0, to jest on bezwglednie zbieżny w kole K(0, z ) = {z : z < z } oraz jest zbieżny jednostajnie w każdym kole K(0, ρ), gdzie ρ < z. 27

28 Dowód. Ponieważ szereg a nz n jest zbieżny, to zachodzi warunek konieczny zbieżności, czyli lim n a n z n 0. Zatem Stad wynika, że M > 0 N > 0 n N a n z n < M. M > 0 N > 0 n N z z < z a n z n < M. ( ) Pokażemy, że szereg a nz n jest zbieżny w K(0, z ) = {z : z < z }. Mamy a n z n = a nz n z n = a nz n z n M z n = Mqn, z n gdzie q := z z <. Ponieważ q <, szereg geometyczny n= Mqn jest zbieżny. Korzystajac z kryterium porównawczego otrzymamy, że szereg n= a nz n jest zbieżny bezwzglednie w kole K(0, z ) = {z : z < z }. Niech ρ < z. Weźmy z takie, że z ρ. Wtedy istnieje ρ takie, że ρ < ρ < z. a n z n = a nρ n z n ρ n = a nρ n z n ρ n Mpn, gdzie p := z ρ <, gdzie an ρ n < M z (*). Zatem z kryterium Weierstrassa szereg n= a nz n jest zbieżny bezwgl ednie jednostajnie w kole K(0, ρ) = {z : z ρ}. Zatem w kole K(0, z ) = {z : z < z } szereg pot egowy jest zbieżny niemal jednostajnie. Twierdzenie 4.8 (o holomorficzności sumy szeregu potegowego) Jeżeli promień R zbieżności szeregu potegowego a nz n jest dodatni, to f-suma tego szeregu jest funkcja holomorficzna w kole K(0, R) = {z : z < R} i dla każdego z K(0, R) f (z) = na n z n. (Szereg potegowy wewnatrz ko la zbieżności można różniczkować wyraz po wyrazie). Dowód Napiszemy szereg pochodnych formalnych n= z n na n z n. n= 28 z n

29 Promień zbieżności tego szeregu jest taki sam jak szeregu n= a nz n, ponieważ n n lim sup n an = lim sup an. n n Z Twierdzenia Abela wynika, że szereg n= a nz n jest zbieżny jednostajnie, w każdym kole K(0, ρ), gdzie ρ < R. Weźmy z 0 K(0, R), gdzie z 0 < ρ < R. Rozpatrzmy iloraz różnicowy f(z) f(z 0 ) z z 0 = a n z n z n 0 z z 0 = ( ) a n z n + z n 2 z zz0 n 2 + z0 n, gdzie z K(0, R). Wykażemy, że otrzymany szereg jest bezwglednie jednostajnie zbieżny (skorzystamy z tw. Weierstrassa). ( ) an z n + z n 2 z zz0 n 2 + z0 n an n ρ n jeśli z ρ. Weźmy ρ takie, że ρ < ρ < R. Wtedy szereg a n ρ n jest zbieżny, zatem lim n a n ρ n = 0. Stad istnieje M > 0 takie, że dla każdego n N, a n ρ n M. Niech q := ρ ρ < oraz ( ) n ρ a n nρ n a n nρ n ρ M ρ nqn. Szereg M q <. Szereg szereg ρ ρ nqn n M jest zbieżny bo z kryterium Cauchy ego wynika, że lim sup n ρ nqn = M ρ nqn potraktujemy jako majorante w twierdzeniu Weierstrassa. Stad ( ) a n z n + z n 2 z zz0 n 2 + z0 n jest bezwgl ednie jednostajnie zbieżny w otoczeniu z 0, a dok ladniej dla z ρ. Wtedy istnieje granica tego szeregu dla z z 0. Zatem f (z 0 ) = lim z z0 f(z) f(z 0 ) z z 0 = lim z z0 Czyli f jest holomorficzna K(0, R). ( a n z n + z n 2 z zz0 n 2 + z0 n ) = na n z n 0. 29

30 Wniosek 4.2 Szereg potegowy ma pochodna dowolnego rzedu: k N f (k) (z) = n(n )... (n k + )a n z n k. n=k Otrzymane wnioski można uogólnić na przypadek szeregów postaci a n(z z 0 ) n. Twierdzenie 4.9 Jeżeli funkcje f można przedstawić w kole K(z 0, r) = {z : z z 0 < r} w postaci sumy szeregu potegowego f(z) = (z z 0 ) n, to wspó lczynniki tego szeregu sa wyznaczone jednoznaczne i określaja je wzory a n = f (n) (z 0 ), n = 0,, 2,... n! Dowód Wstawiajac do wzoru na szereg za z punkt z 0 otrzymamy f(z 0 ) = a 0. Różniczkujac wyraz po wyrazie dostaniemy f (z) = a + 2a 2 (z z 0 ) + 3a 3 (z z 0 ) Podstawiajac za z = z 0 otrzymamy, że f (z 0 ) = a. Po n-krotnym zróżniczkowaniu dostaniemy, że f (n) (z) = n!a n + a (z z 0 ) + a 2 (z z 0 ) Dla z = z 0 dostaniemy, że f (n) (z 0 ) = n!a n. Stad a n = f (n) (z 0 ). n! Uwaga 4.3 (Inne brzmienie powyższego twierdzenia) Każdy zbieżny szereg pot egowy jest szeregiem Taylora swojej sumy. 4.4 Funkcje analityczne Definicja 4.7 Niech D C obszar, funkcje f : D C nazywamy analityczna w D gdy dla każdego z 0 D istnieje szereg potegowy postaci a n(z z 0 ) n zbieżny w kole K(z 0, r) D taki, że f(z) = (z z 0) n dla z K(z 0, r). 30

31 Ozn. A(D) oznacza zbiór wszystkich funkcji analitycznych w D. Z twierdzenia 4.8 wynikaja nastepuj ace wnioski. Wniosek 4.3 Zachodzi inkluzja A(D) H(D). Wniosek 4.4 Jeżeli f A(D), to f posiada pochodne dowolnego rz edu. (Porównać z wnioskiem 4.2). Wniosek 4.5 Suma szeregu potegowego jest funkcja analityczna w kole zbieżnosci tego szeregu. (Porównać z twierdzeniem 4.9). Definicja 4.8 Iloczynem szeregów potegowych a n(z z 0 ) n i b n(z z 0 ) n nazywamy szereg potegowy postaci (a 0 b n + a b n a n b 0 )(z z 0 ) n. Twierdzenie 4.0 (Cauchy ego) Jeżeli szeregi a n(z z 0 ) n i b n(z z 0 ) n sa zbieżne odpowiednio w ko lach K(z 0, r ) i K(z 0, r 2 ), to ich iloczyn (a 0 b n + a b n a n b 0 )(z z 0 ) n jest zbieżny w kole K(z 0, r), gdzie r = min{r, r 2 }. Bez dowodu. Twierdzenie 4. Jeżeli f, g A(D), to f ± g A(D), fg A(D). Bez dowodu. Przyk lad 4.3 Rozwinać f(z) = z w szereg wokó l 3

32 (a) punktu z 0 = 2, z = (z ) = zbieżny w kole {z : z 2 < 2 }. 2(z 2 ) = 2 ( 2 n z ) n 2 (b) z 0 = 2 zbieżny w kole K( 2, 3 2 ). z = 2 3 2(z + ) = n (z + 2 )n Uwaga 4.4 Promień zbieżności szeregu jest wyznaczony przez odleg lość punktu z 0 - środka szeregu od najbliższego punktu nieholomorficzności. 3 n 5 Odwzorowania konforemne 5. Interpretacja geometryczna pochodnej zespolonej Niech I :=< α, β > R. Funkcj e < α, β > t z(t) = x(t) + iy(t) C nazywamy funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej. Definicja 5. Funkcja z(t) jest ciag la w t 0 jeśli lim t t0 z(t) = z(t 0 ). Definicja 5.2 Pochodna funkcji z(t) w punkcie t 0 I definiujemy jako granice ilorazu różnicowego tzn. ( z z(t) z(t 0 ) x(t) x(t0 ) (t 0 ) = lim = lim + i y(t) y(t ) 0). t t0 t t 0 t t0 t t 0 t t 0 Zatem z (t 0 ) = x (t 0 ) + iy (t 0 ). Definicja 5.3 Równanie postaci z = z 0 + at, t R, a, z C, a = 0, określa prosta przechodzac a przez punkt z 0. Kat nachylenia prostej do osi OX jest określony przez argument g lówny liczby a. 32

33 Definicja 5.4 Wykres funkcji ciag lej z(t) nazywamy krzywa i oznaczmy symbolem γ. Równanie siecznej do wykresu γ przechodzacej przez punkty z(t 0 ) i z(t ) ma postać z = z(t 0 ) + z(t ) z(t 0 ) t t 0 t, t I. Gdy t t 0, to sieczna daży do stycznej w punkcie z 0 = z(t 0 ). Stad równanie stycznej w tym punkcie ma postać z = z 0 + z (t 0 )t, a argument g lówny φ = Argz (t 0 ) jest katem nachylenia stycznej do osi Ox. Niech D C obszar, f : D C funkcja holomorficzna, z 0 D oraz f (z 0 ) = 0. Niech γ bedzie lukiem g ladkim o równaniu z(t), t I (tzn. funkcja z(t) jest funkcja klasy C ) wychodzacym z punktu z 0 = z(t 0 ). Wtedy funkcja f przekszta lca luk γ na luk Γ = f(γ) o równaniu w = f(z(t)) = w(t) wychodzacy z punktu w 0 = f(z 0 ). Z tożsamości w(t) w(t 0 ) = f(z(t) f(z(t 0) t t 0 z(t) z(t 0 ) z(t) z(t 0 ) t t 0 dla t t 0 otrzymujemy w (t 0 ) = f (z(z 0 ))z (t 0 ), wiec styczna do Γ w punkcie w 0 tworzy z osia rzeczywista kat Φ := Argw (t 0 ) = Arg (f (z 0 )z (t 0 )) = Argf (z 0 ) + φ. (5.) Uwaga 5. Przy odwzorowaniu holomorficznym w otoczeniu punktu z 0 takiego, że f (z 0 ) = 0, nachylenie φ do osi Ox każdego g ladkiego luku γ wychodzacego z punktu z 0 wzrasta o kat równy argumentowi pochodnej f (z 0 ). Gdy z z 0, wówczas stosunek odleg lości w w 0 = f(z) f(z 0 ) do odleg lości z z 0 daży do f (z 0 ). Granice tego stosunku czyli f (z 0 ) nazywamy dylatacja odwzorowania f w punkcie z 0. Uwaga 5.2 Przy odwzorowaniu holomorficznym w otoczeniu punktu z 0 takiego, że f (z 0 ) = 0, każdy luk wychodzacy z punktu z 0 wyd luża sie lub wzglednie skraca sie w pobliżu punktu z 0 w tym samym stosunku równym dylatacji f (z 0 ). 33

34 Uwaga 5.4 Niech D C obszar, f : D C funkcja holomorficzna, z 0 D oraz f (z 0 ) = 0. Niech styczne do krzywych g ladkich γ, γ 2 wychodzacych z punktu z 0 maja katy nachylenia równe odpowiednio φ, φ 2. Definujemy Γ = f(γ ), Γ 2 = f(γ 2 ). Ponieważ f jest funkcja holomorficzna w D, to Γ i Γ 2 sa krzywymi g ladkimi. Kat nachylenia stycznej do krzywych Γ, Γ 2 w w 0 = f(z 0 ) oznaczmy przez Φ, Φ 2. Wtedy Φ 2 Φ = (Argf (z 0 ) + φ 2 ) (Argf (z 0 ) + φ ) = φ 2 φ. (5.2) Definicja 5.4 Katem miedzy krzywymi g ladkimi γ i γ 2 wychodzacymi z punktu z 0 nazywamy kat skierowany miedzy miedzy stycznymi do krzywych γ i γ 2 w punkcie z 0. Wniosek 5. Z Uwagi 5.4 wynika, że jeśli f (z 0 ) = 0, to odzworowanie holomorficzne f zachowuje kat miedzy krzywymi g ladkimi w ma lym otoczeniu tego punktu tzn. kat skierowany miedzy obrazami krzywych jest taki sam jak kat skierowany miedzy krzywymi. 5.2 Interpretacja geometryczna równań Cauchy ego-riemanna Niech f(z) = u(x, y) + iv(x, y) bedzie funkcja holomorficzna w obszarze D C. Rozpatrzmy rodziny krzywych u(x, y) = c, v(x, y) = c, gdzie c, c oznaczaja sta le rzeczywiste. Weźmy punkt z 0 w którym pochodna f (z 0 ) = 0. Styczne do wykresu tych krzywych opisuja sie równaniami u x(x 0, y 0 )(x x 0 ) + u y(x 0, y 0 )(y y 0 ) = 0 v x(x 0, y 0 )(x x 0 ) + v y(x 0, y 0 )(y y 0 ) = 0. (5.3) Na mocy równań Cauchy ego-riemanna mamy, że u x(x 0, y 0 )v x(x 0, y 0 ) + u y(x 0, y 0 )v y(x 0, y 0 ) = 0. (5.4) To oznacza, że styczne sa prostopad le. Aby to zobaczyć spróbujemy rozwik lać równanie u(x, y) = c w otoczeniu (x 0, y 0 ). Ponieważ f (z 0 ) = 0, to u y(x 0, y 0 ) = 0 lub v y(x 0, y 0 ) = 0. Jeśli u y(x 0, y 0 ) = 0, to z twiedzenia o funkcjach uwik lanych równanie u(x, y) = c opisuje fukcje uwik lana y A (x) oraz u x(x 0, y 0 ) + u y(x 0, y 0 )y A (x 0) = 0. Stad y A(x 0 ) = u x(x 0, y 0 ) u y(x 0, y 0 ). (5.5) 34

35 Analogicznie jeśli v y(x 0, y 0 ) = 0, to z twiedzenia o funkcjach uwik lanych równanie v(x, y) = c opisuje fukcje uwik lana y B (x) oraz v x(x 0, y 0 ) + v y(x 0, y 0 )y B (x 0) = 0. Stad Z równań (5.5) i (5.6) wynika, że ( ) ( ) u y A(x 0 )y B(x 0 ) = x (x 0, y 0 ) v x (x 0, y 0 ) = u y(x 0, y 0 ) v y(x 0, y 0 ) y B(x 0 ) = v x(x 0, y 0 ) v y(x 0, y 0 ). (5.6) ( v y (x 0, y 0 ) v x(x 0, y 0 ) ) ( ) v x (x 0, y 0 ) =. v y(x 0, y 0 ) 5.3 Odworowania konforemne Niech D C zbiór otwarty, f H(D). Funkcj e f(z) = u(x, y)+iv(x, y) możemy potraktować jako odzworowanie rzeczywiste (x, y) (u(x, y), v(x, y)). W punkcie z 0 D rozpatrzmy odwzorowanie styczne [Δx, Δy] [Δu, Δv], gdzie Δx = x x 0, Δy = y y 0, u u 0 = Δu = u(x x 0, y 0 )Δx + u(x y 0, y 0 )Δy, Δv = v v 0 = v (x x 0, y 0 )Δx + v (x y 0, y 0 )Δy. Odwzorowanie styczne do f w punkcie z 0 możemy też zapisać w postaci zespolonej w w 0 = f z (z 0)(z z 0 ) + f z (z 0)( z z 0 ), gdzie w 0 = f(z 0 ) = u 0 + iv 0. Jakobian tego przekszta lcenia wyraża sie wzorem (u, v) J = (x, y) = u v x y u 2 2 v y x = f z f z. Definicja 5.5 Odwzorowanie holomorficzne f nazywamy konforemnym w punkcie z 0, jeśli zachowuje kat skierowany miedzy dowolnymi krzywymi wychodzacymi z punktu z 0. Definicja 5.6 Odwzorowanie holomorficzne, które jest różnowartościowe i konforemne w każdym punkcie obszaru D nazywamy konforemnym w D. 35

36 Twierdzenie 5. Odwzorowanie holomorficzne f jest konforemne w punkcie z 0 wtedy i tylko wtedy, gdy f (z 0 ) = 0. Dowód Implikacja zosta la już udowodniona (patrz wniosek 4.).. Przypuśćmy, że f (z 0 ) = 0. Rozpatrzmy dwa wektory Δz = z z 0 = oraz Δz 2 = z z 0 = i. Wektory te sa prostopad le (Δz 2 = iδz ). Odworowanie styczne Δz Δw w punkcie z 0 przyjmuje wartość Δw = f (z z 0) + f (z z 0) = 0 jeśli Δz = oraz Δw 2 = f (z z 0)i + f (z z 0)i = 0. dla Δz = i. Ponieważ wektory Δz = i Δz 2 = i sa prostopad le, a f zachowuje katy w z = z 0, zatem wektor Δw = jet prostopad ly do wektora Δw 2. Tymczasem wektory Δw 2 i Δw sa zerowe, zatem nie można zdefiniować kata miedzy nimi, co przeczy za lożeniu, że f jest konforemne. Uwaga 5.5 Za lożenie, że f (z 0 ) = 0 jest istotne. Dowód Rozpatrzmy funkcje f(z) = z 2 oraz krzywa γ = {z : x = t, y = 0, t R + } {0} i γ 2 = {z = re i π 4, r R + } {0}. Kat w z 0 miedzy γ i γ 2 wynosi π. Obrazem γ 4 jest γ, zaś f(γ 2 ) = {z = re 2i π 4 = re i π 2, r R + }. Zatem kat miedzy obrazami krzywych γ i γ 2 w punkcie w 0 = f(z 0 ) = 0 wynosi π, czyli f nie zachowuje k atów 2 w z 0 = 0. Wniosek 5.2 Jeżeli funkcja f jest różnowartościowa i holomorficzna w obszarze D oraz dla każdego z D, f (z 0 ) = 0, to f jest konforemne w D. Definicja 5.7 Odwzorowanie postaci f(z) = az+b, ad bc = 0, a, b, c, d C nazywamy homografi a. cz+d f( d ) =. Odzworowanie odwrotne do f(z) jest także homo- c Przyjmujemy, że f( ) = a c grafia tzn. f (w) = dw b a cw. Twierdzenie 5.2 (o konforemności homografii) Homografia jest konforemnym przekszta lceniem C na C. Dowód 36

37 Latwo sprawdzić, że homografia jest różnowartościowa. Policzymy pochodna homografii. f (z) = a(cz + d) c(az + b) (cz + d) 2 = ad cb (cz + d) 2 = 0 dla z C { d c }. Zatem homografia jest konforemnna w C { d }. Zanim skończymy dowód podamy jeszcze c kilka definicji. Definicja 5.8 Kat w punkcie miedzy krzywymi γ i γ 2 definiujemy jako kat miedzy obrazami krzywych Γ i Γ 2 przy przekszta lceniu z Z = w punkcie Z = 0. z Pokażemy, że homografia jest konforemna w z = d. Wiemy, że f( d) =. Niech γ c c i γ 2 bed a krzywymi przechodzacymi przez d. Wtedy ich obrazy Γ c = f(γ ) i Γ 2 = f(γ 2 ) bed a krzywymi przechodzacymi przez. Kat miedzy Γ i Γ 2 jest równy katowi miedzy krzywymi Γ, Γ 2, które sa obrazami Γ i Γ 2 przy odwzowowaniu W =, gdy W = 0. Zatem w W (z) = = cz+d. St ad f(z) az+b dw dz = c(az + b) a(cz + d) (az + b) 2 = cb ad (az + b) 2. Zatem dla z = d, W ( d ) = 0, czyli homografia jest w tym punkcie konforemna. c c Pozostaje sprawdzić, że homografia jest konforemna w. Wtedy rozpatrujemy ( ) a + bz H(z) = f = z c + dz w punkcie z = 0. Stad dh dz = b(c + dz) d(a + bz) (c + dz) 2 = cb ad (c + dz) 2. Zatem dla H (0) = 0 o ile c = 0. Dla c = 0 mamy przekszta lcenie liniowe f(z) = az +b, a = 0. W tym przypadku rozpatrujemy F (z) = dh. Wtedy = a = 0 dla z = 0. f(/z) dz (a+bz) 2 Twierdzenie 5.3 Zbiór przekszta lceń homograficznych tworzy grupe nieabelowa z dzia laniem sk ladania przekszta lceń. Definicja 5.9 Okregiem na p laszczyźnie domknietej C nazywamy okrag na p laszczyźnie otwartej lub prosta. 37

38 Twierdzenie 5.4 Homografia przekszta lca okr egi na C na okr egi na C. Dowód Przedstawimy homografi e jako superpozycj e trzech przekszta lceń. w = L : z z D - translacja, az + b cz + d = a ad bc c c(cz + d) = A + B z D = L 3 L 2 L L 2 : z z - inwersja (szczególny przypadek homografii), L 3 : z A + Bz - z lożenie translacji i obrotu (ewentualnie jednok ladności gdy B R.) Translacja L przekszta lca okregi na okregi i proste na proste. Z lożenie translacji i obrotu ma też taka w lasność. Zosta lo do pokazania, że inwersja przekszta lca okregi na C na okregi na C. Napiszemy ogólne równanie okregu: γ : α(x 2 + y 2 ) + β x + β 2 y + δ = 0. Wstawimy z + z z z x =, y = 2 2i do równania okregu. Wtedy otrzymamy: γ : α(z z) + θz + θ z + δ = 0, gdzie θ = (β 2 iβ 2 ), θ = (β 2 + iβ 2 ). Przekszta lceniem odwrotnym do inwersji w = jest z też inwersja z =. W miejsce z wstawimy do równania okregu w z =. St ad w ( ) α + θ + θ + δ = 0. w w w w Mnożac stronami przez w w dostaniemy Jest to równanie okr egu. α + θ w + θw + δw w = 0. Definicja 5.0 Dwa punkty p i q sa symetryczne wzgledem okregu {z : z z 0 = r}, jeśli. p = z 0, q = z 0, p, q leża na jednej pó lprostej wychodzacej z z 0 tj. Arg(p z 0 ) = Arg(q z 0 ), 38

39 2. p z 0 q z 0 = r 2. Z tej definicji wynika, że punktem symetrycznym do z 0 jest. Twiedzenie 5.5 Homografia przekszta lca punkty symetryczne wzgl edem okr egów na C na punkty symetryczne wzgl edem ich obrazów. Problem Mamy dane przekszta lcenie f i obszar D. Znaleźć obraz f(d). Problem 2 Dane sa dwa obszary D i D 2. Znaleźć przkszta lcenie konforemne z D na D 2. Przyk lad 5. Wyznaczyć wszystkie homografie, które przekszta lcaja D = {z : Imz > 0} na kolo D(0, ). Wybierzmy punkt a taki, że Ima > 0. Punktem symetrycznym do niego wzgledem brzegu, czyli osi OX jest punkt a. Szukana homografia musi przekszta lcić punkt a na punkt należacy do D(0, ). Możemy przyjać, że f(a) = 0. Wtedy homografia f punkt a musi przekszta lcić na punkt symetryczny wzgledem 0 czyli na. Zatem f(a) = 0, f( a) =. Stad możemy napisać f(z) = k z a Pokażemy, że k = z a eiφ. Ponieważ f przekszta lca oś OX na okrag jednostkowy, to f() =. Korzystajac z tego dostaniemy = f() = k a a. Należy zauważyć, że z a = z a, wiec a = a. Stad a a = i w konsekwencji k =, czyli k = e iφ. Szukane homografie maja nastepuj ac a postać iφ z a f(z) = e, Ima > 0, φ [0, 2π). z a Twierdzenie 5.6 (Riemanna dla odwzorowań konforemnych) Jeżeli:. D i D obszary jednospójne takie, że brzeg każdego z nich zawiera co najmniej 2 punkty, 2. z 0 D, w 0 D dowolne punkty; φ [0, 2π). Wówczas istnieje dok ladnie jedno przekszta lcenie konforemne, które odwzorowuje obszar D na D i takie, że f(z 0 ) = w 0, Argf (z 0 ) = φ. 39

40 6 Ca lka z funkcji zespolonej 6. Ca lka z funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej Definicja 6. Niech < α, β > R. Dana jest funkcja zespolona ograniczona zmiennej rzeczywistej < α, β > t f(t) = u(t) + iv(t) C. Weźmy podzia l normalny odcinka < α, β > tzn. α = t 0 < t < t 2... t n = β, obierzmy w każdym przedziale punkt θ j < t j, t j > i utwórzmy sume ca lkowa S n = n f(θ j )(t j t j ), n =, 2,... j= Jeżeli dla każdego normalnego ciagu podzia lów przedzia lu < α, β > ciag sum cześciowych (S n ) jest zbieżny do tej samej granicy, niezależnej od wyboru punktów θ k, to granice te nazywamy ca lka funkcji zespolonej f po odcinku < α, β > R i oznaczamy Sume ca lkowa S n funkcji f tzn. jako S n = β α f(t)dt. można zapisać jako sumy ca lkowe cz eści rzeczywistej i cz eści urojonej n n u(θ j )(t j t j ) + i v(θ j )(t j t j ), n =, 2,.... j= j= Ponieważ lim n S n istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieja granice ciagu sum cześciowych odpowiadajacych cześci rzeczywistej u(t) i cześci urojonej v(t), zatem Uwaga 6. Funkcja f(t) = u(t) + iv(t) jest ca lkowalna na przedziale < α, β > wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje u(t) i v(t) sa ca lkowalne na przedziale < α, β > oraz W lasności β α f(t)dt = β α β u(t)dt + i v(t)dt. α. Jeżeli funkcja f(t) jest ciag la w przedziale domknietym (lub ogólniej: ograniczona i majaca skończona ilość punktów nieciag lości) to jest ca lkowalna na przedziale < α, β >, ponieważ wtedy funkcje u(t) i v(t) sa ca lkowalne na przedziale < α, β >. 40

41 2. Jeżeli γ (α, β) to β α f(t)dt = γ α f(t)dt + β γ f(t)dt. 3. Jeżeli funkcja f(t) jest ca lkowalna, to jej modu l jest funkcja ca lkowalna oraz β β f(t)dt f(t) dt. α 4. Jeżeli funkcja f(t) jest ciag la w przedziale < α, β >, to funkcja F (t) zdefiniowana wzorem F (t) = t α α f(s)ds, t < α, β > jest funkcja pierwotna funkcji f(t) tzn. F (t) ma pochodna F (t) = f(t) określona w ca lym przedziale < α, β >. 5. Jeżeli funkcja F (t) jest funkcja pierwotna funkcji f(t) w przedziale < α, β >, to β α f(t)dt = F (β) F (α). Przyk lad 6. Funkcja f(t) = (a + it) n ma funkcje pierwotna równa (a+it)n + C, st ad i(n+) 0 [ (a + it) (a + it) n n+ dt = i(n + ) ] 0 = (a + i)n+ i(n + ) an+ i(n + ). Przyk lad 6.2 Funkcja f(t) = e t+it ma funkcje pierwotna równa et+it + C, stad +i 0 [ e e t+it t+it dt = + i ] 0 = e+i + i + i. Przyk lad 6.3 Funkcja f(t) = sin(at + b), a = 0 ma funkcje pierwotna równa cos(at + b) + C. a 4