FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ

Transkrypt

1 FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ MiNI - zbiór zadań (wybór i opracowanie zadań Agnieszka Badeńska)

2 Spis treści I. Liczby zespolone dzia lania i w lasności 3 II. Pochodna funkcji zespolonej, holomorficzność 5 III. Funkcje elementarne 7 IV. Szeregi zespolone 9 V. Odwzorowania konforemne 2 VI. Ca lki funkcji zmiennej zespolonej i wzór ca lkowy Cauchy ego 4 VII. Szereg Laurenta, klasyfikacja punktów osobliwych 6 VIII. Twierdzenie o residuach, lemat Jordana 8 IX. Twierdzenie Rouché, zasada maksimum 2 X. Funkcje harmoniczne 2 Materia l dodatkowy: XI. Funkcje specjalne Eulera 22 XII. Transformata Fouriera 24 XIII. Transformata Laplace a 26 2

3 I. Liczby zespolone dzia lania i w lasności. Wykonać nastepuj dzia lania na liczbach zespolonych: (a) 3 + 2i 5 i ( ) 2 + i (b) (5 2i) + (8 i) (2 + 3i) 3 + i (c) (4 + i) ( i) (3 + 2i) (d) ( + i)3 ( i) 7 (e) ( i)5 ( + i) Poniższe liczby zespolone sprowadzić do postaci trygonometrycznej: (a) 2 + 2i (b) 3 i (c) 2i i (d) + i 3 3. Korzystajac ze wzorów de Moivre a obliczyć: (a) ( + i ( 3 3) 3, ( + i) 25, 2 + i 2 (b) ( 2 + i2 3) 6 ( + i 3) 7, ) 24 ( + i) 8 ( ( i) i) 8 ( 3 i) 8 (c) i n, ( + i) n ( + i) n,, dla n N ( i) n 2 (d) 4 6, 3 6 i + i i,, 6 8, 3 + i 3 i 4. Obliczyć: (a) 8 + 6i (b) 3 4i (c) + 6i 5. Rozwiazać w dziedzinie zespolonej równania: (a) z 3 = 8i (b) z 4 = 6 (c) z = 3

4 (d) ( i) 4 z 4 = (e) z z = + 2i (f) z 2 2z + 5 = (g) z 2 (2 + i)z + ( + 7i) = (h) z z + (z z) = 3 + 2i (i) i(z + z) + i(z z) = 2i 3 (j) ( zz) 2 z 2 + z 2 = (k) z 7 z 4 i + z 3 i = (l) z 6 z 4 + 4z 2 4 = 6. Niech z C b edzie pierwiastkiem wielomianu o wspó lczynnikach rzeczywistych. Pokazać, że z jest także pierwiastkiem tego wielomianu. 7. Znaleźć pozosta le pierwiastki wielomianu W (z) = z 4 4z 3 + 4z 2 + 4z 5 wiedzac, że z = 2 i jest pierwiastkiem tego wielomnianu. 8. Udowodnić, że: (a) x + iy = x iy dla (x, y) R 2 \ (, ) x 2 + y 2 (b) z + z z z 2 2 = 2 z z 2 2 dla z, z 2 C 9. Funkcje sin(6x) oraz cos(5x) wyrazić za pomoca funkcji sin x i cos x (korzystajac z dwumianu Newtona i wzoru de Moivre a).. Udowodnić poniższe tożsamości dla n N \ {}: (a) sin 2π n + sin 4π n (b) cos 2π n + cos 4π n + + sin 2nπ n = + + cos 2nπ n = (c) cos π 3π 5π 7π 9π + cos + cos + cos + cos = 2 (d) cos 2π 4π 6π 8π π + cos + cos + cos + cos = 2. Zaznaczyć na p laszczyźnie zespolonej zbiory: (a) {z C: z = } (b) {z C: z + i = 3} (c) {z C: 2iz + 6 4} (d) {z C: < z < } (e) {z C: 2 z + 2 i < 3} { (f) z C: z i + z + = 5 } 2 4

5 II. Pochodna funkcji zespolonej, holomorficzność. Wyznaczyć cześć rzeczywista i urojona funkcji: (a) f(z) = z 4 (b) f(z) = z 3 + i z 2 (c) f(z) = z + z (d) f(z) = z 2 2. Dana jest cz eść rzeczywista u(x, y) i cz eść urojona v(x, y) funkcji zespolonej f. Przedstawić t e funkcj e jako funkcj e zmiennej zespolonej z. (a) u(x, y) = x 4 6x 2 y 2 + y 4 x, v(x, y) = 4x 3 y 4xy 3 y (b) u(x, y) = x 2 y 2 + x, v(x, y) = 2xy + y x (c) u(x, y) = + x, v(x, y) = y x 2 + y2 x 2 + y y 2 3. Dana jest funkcja f(z) =. Zbadać, czym jest przy tym odwzorowaniu obraz krzywej z określonej równaniem: (a) x 2 + y 2 = (b) y = (c) x = (d) (x ) 2 + y 2 = 4. Sprawdzić w jakich punktach z C nastepuj funkcje spe lniaja warunki Cauchy ego- Riemanna: (a) f(z) = z 2 (b) f(z) = zimz (c) f(z) = z 2 + 2z (d) f(z) = z 5. Zbadać istnienie pochodnej funkcji f oraz wyznaczyć jej pochodna w punktach, w których istnieje: (a) f(z) = zrez (b) f(z) = z z 5

6 6. Zbadać holomorficzność funkcji: (a) f(z) = z 2 + 2z (b) f(z) = z 2 (c) f(z) = (z 2 + ) z (d) f(z) = z + 2z (e) f(z) = z 2 (z + ) (f) f(z) = z (g) f(z) = z Dla funkcji wymienionych w poprzednim zadaniu: (a) policzyć pochodne f x oraz f y, (b) korzystajac z definicji, policzyć pochodna formalna f, z (c) wywnioskować w jakich punktach p laszczyzny istnieje f (z), (d) korzystajac z definicji, policzyć pochodna formalna f, z (e) zbadać holomorficzność f. 8. Znaleźć funkcje holomorficzna f(z) = u(x, y)+iv(x, y) (a nastepnie zapisać ja w postaci zespolonej f(z)) wiedzac, że: (a) u(x, y) = x 3 3xy 2 (b) u(x, y) = x 2 y 2 + 2x x (c) u(x, y) = x 2 + y 2 x (d) u(x, y) = x 2 + y 2y 2 (e) u(x, y) = 2xy + 3x y (f) v(x, y) = (x + ) 2 + y 2 9. * Pokazać, że twierdzenie o wartości średniej nie zachodzi dla funkcji holomorficznych.. * Niech f H(D(, R)). Udowodnić, że: (a) jeli f (z) = dla z D(, R), to f = const. (b) jeli f(z) = const dla z D(, R), to f = const. 6

7 III. Funkcje elementarne. Obliczyć wartości wyrażeń: (a) Ln ( i), ln ( i), Ln ( + i), ln ( ), (b) cos ( + i), sin ( + 2i), tg (2 i), (c) exp (2 π ) 3 i, cos 2i, cos ni, (d) i i, i πi, i Rozwiazać równania: (a) cos 2 z = 4, (b) sin z =, (c) (z 4 ) sin(πz) =, (d) cosh 2 z =, (e) e z2 =. 3. Wykazać, że dla z = x + iy zachodza tożsamości: (a) sin z = sin x cosh y + i cos x sinh y, (b) cos z = cos x cosh y i sin x sinh y, sin 2x + i sinh 2y (c) tgz = cos 2x + cosh 2y, (d) sin z = sin 2 x + sinh 2 y, (e) cos z = cos 2 x + sinh 2 y. 4. Wykazać, że nastepuj funkcje sa okresowe: (a) sin z, cos z (o okresie T = 2π), (b) tgz, ctgz (o okresie T = π), (c) cosh z, sinh z (o okresie T = 2πi). 5. Wykazać, że dla z C: (a) cos(iz) = cosh z, sin z = i sinh(iz), cos 2 z + sin 2 z =, cosh 2 z sinh 2 z =, (b) sin z = sin z, cos z = cos z, cos( z) = cos z, sin( z) = sin z, (c) cos(z + z 2 ) = cos z cos z 2 sin z sin z 2, (d) sin(z + z 2 ) = sin z cos z 2 + cos z sin z 2. 7

8 6. Znaleźć funkcje holomorficzna f(z) = u(x, y) + iv(x, y) wiedzac, że: (a) u(x, y) = e x (x cos y y sin x), (b) v(x, y) = e x (y cos y + x sin y) + x + y, (c) v(x, y) = arctg y x, x >, (d) v(x, y) = ln ( x 2 + y 2). 7. Korzystajac z definicji pochodnej formalnej f udowodnić, że funkcje sin z, cos z, tgz, z ctgz, sinh z, cosh z, tghz, ctghz sa holomorficzne w swojej dziedzinie. Wyprowadzić wzory na pochodne tych funkcji. 8. Znaleźć obrazy prostych x = const oraz y = const przy odwzorowaniu: (a) f(z) = e z (b) f(z) = sin z, (c) f(z) = tgz. 9. Znaleźć obrazy koncentrycznych okregów i promieni dla tzw. funkcji Żukowskiego: f(z) = ( z + ). 2 z. * Wykazać, że gdy w pewnym obszarze istnieje jednoznaczna ga l aź pierwiastka n z, to istnieje dok ladnie n ga l ezi. Czym one sie różnia? 8

9 IV. Szeregi zespolone. Dla jakich z C nastepuj szeregi sa zbieżne bezwzglednie: (a) (b) (c) (d) n= (z + ) n 2 n, z n + z n, n 2 ( ) n z, z + n= z n z n. 2. Wyznaczyć promień zbieżności poniższych szeregów: (a) (b) (c) (d) (e) (f) e in z n, ( ) n z, i ( z ) n, in ( ) πi sin z n, n ( ) n n 2 z n, z n n!. 3. Dla jakich z C nastepuj szeregi sa zbieżne: (a) (b) (c) (d) ( ) n+ n + z, (n + z) 2, ( ) n z n, n z 5n, n= 9

10 (e) (f) (g) (h) (i) n n z n, z n n, n z n cos in, e n (iz) n, (z + i) n. n + i n= 4. Wyznaczyć promień zbieżności szeregu pot egowego oraz zbadać jego zbieżność na brzegu ko la zbieżności, jeśli: (a) (b) (c) (d) (e) (f) e πi n z n, z n ( i) n, (z + i) n n 2, ( i) n z n, z n (n 2 + n), (z i) n 2 n. 5. Pokazać, że poniższe szeregi maja te sama sume. Zbadać obszar zbieżności obu szeregów. ( ) n z ( ) n ln 2 oraz z n n 2 n 6. Dowieść, że sumy nastepuj acych szeregów potegowych nie maja wspólnego obszaru zbieżności, ale istnieje funkcja, której rozwinieciami sa oba te szeregi. z n ( ) n oraz πi (z 2) n n n 7. Znaleźć wspólny obszar zbieżności poniższych szeregów i pokazać, że maja one te sama sume. [ + z n ( ) ] n z i oraz + i i

11 8. Wyznaczyć rozwiniecia nastepuj acych funkcji w szereg potegowy postaci c n z n oraz znaleźć obszar zbieżności uzyskanego szeregu: (a) f(z) = 2z + 5, (b) f(z) = + z 4, (c) f(z) = + iz iz, (d) f(z) = (e) f(z) = (f) f(z) = (g) f(z) = (h) f(z) = e 2z+πi, + z + z, 2 ( + z)(z + 2), ( + z), 2 ( + z), 3 (i) f(z) = cos(z π), ( z (j) f(z) = sin 2 + π ) Funkcje f(z) = 3 rozwin ać 2+z w szereg potegowy wokó l punktu z = i wyznaczyć obszar zbieżności otrzymanego szeregu. Nastepnie te sama funkcje rozwinać w szereg potegowy wokó l punktów z = i z 2 = + i. Porównać obszary zbieżności wszystkich otrzymanych szeregów.

12 V. Odwzorowania konforemne. Znaleźć obraz obszaru D przy homografii f, jeśli: (a) D = {z C: z < }, f(z) = z i z + i, { (b) D = z C: z i < 2 z + i < } 2, f(z) = z z Udowodnić, że dla dowolnych trzech różnych punktów z, z 2, z 3 C i trzech różnych wartości w, w 2, w 3 C istnieje dok ladnie jedna homografia f taka, że f(z i ) = w i dla i =, 2, Wyznaczyć homografie odwzorowujac a okrag jednostkowy {z C: z = } na oś rzeczywista, aby: (a) punktom, i, okr egu odpowiada ly punkty,, na osi, (b) punktom i,, i okr egu odpowiada ly punkty,, na osi, (c) punktom,, i okr egu odpowiada ly punkty,, na osi. 4. Znaleźć ogólna postać homografii przekszta lcajacej ko lo jednostkowe na siebie. 5. Znaleźć odwzorowanie konforemne f(z), które przekszta lca ko lo jednostkowe na siebie takie, że: (a) f ( ) ( ) 4 = oraz Argf 4 = π, 2 (b) f ( ) ( ) 2 = oraz Argf 2 = π Znaleźć ogólna postać homografii przekszta lcajacej górna pó lp laszczyzne na ko lo jednostkowe. 7. Znaleźć funkcje w = f(z), która odwzorowuje konforemnie górna pó lp laszczyzne w ko lo jednostkowe i taka aby: (a) f(i) = oraz Argf (i) = π 2, (b) f(i) = oraz Argf (i) =. 8. Znaleźć odwzorowanie konforemne f(z), które przekszta lca obszar D na obszar D, jeśli: (a) D = {z C: z > }, D = {z C: Imz < Rez}, (b) D = C \ {z C: Rez Imz = }, D = {z C: z > }, (c) D = C \ {z C: 3 Rez Imz = }, D = {z C: Imz > }, (d) D = {z C: z < }, D = {z C: < Imz < π}, (e) D = { z C: < Imz < π 2 }, D = {z C: Imz > z < }, (f) D = { z C: < Argz < π 3 }, D = {z C: z < }, (g) D = C \ {z C: Rez = Imz a}, a >, D = {z C: Imz > }. 2

13 9. Niech D = {z C: Imz < }. Znaleźć obraz zbioru D przy odwzorowaniu f(z) = Lnz.. Niech D = {z C: < Rez < π}. Znaleźć obraz zbioru D przy odwzorowaniu f(z) = cos z.. Znaleźć obraz siatki linii równoleg lych do osi uk ladu wspó lrz ednych (prostych i odcinków) w pasie { z C: π 2 < Rez < π 2 } przy odwzorowaniu f(z) = tgz. 2. Wykazać, że na to, aby różna od identyczności homografia f(z) = az+b by la inwolucj a cz+d (tzn. f = f ) potrzeba i wystarczy, by a + d =. 3. Wykazać, że każda różna od identyczności homografia, bed aca inwolucja, posiada dok ladnie dwa punkty sta le. 3

14 VI. Ca lki funkcji zmiennej zespolonej i wzór ca lkowy Cauchy ego. Obliczyć ca lk e z funkcji f(z) wzd luż krzywej γ, jeśli: (a) f(z) = Rez, γ odcinek [, + i], (b) f(z) = Imz, γ odcinek [, 2 + i], (c) f(z) = z, γ zadana opisem parametrycznym: z = e it, t [ π 2, π 2 ], (d) f(z) = e z, γ lamana o wierzcho lkach: z =, z 2 =, z 3 = + i, (e) f(z) = e z, γ lamana o wierzcho lkach: z =, z 2 = i, z 3 = + i, (f) f(z) = e iz, γ dowolna krzywa o poczatku z = i oraz końcu z 2 =, (g) f(z) = cos z, γ dowolna krzywa o poczatku z = oraz końcu z 2 = π, 2 (h) f(z) = z sin z, γ dowolna krzywa o poczatku z = oraz końcu z 2 = i, (i) f(z) = sin(2z + ), γ dowolna krzywa o poczatku z = oraz końcu z 2 = π, 2 (j) f(z) = (z ) cos z, γ dowolna krzywa o poczatku z = πi oraz końcu z 2 2 = πi, 2 (k) f(z) = ze 2z, γ dowolna krzywa o poczatku z = oraz końcu z 2 = πi Obliczyć nastepuj ca lki po krzywych zamknietych: (a) z dz, (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) (i) z = z =2 z =2 z =2 z =3 z i =5 z 2i =2 z =2 z 3i =2 z dz, z 2 z + dz, z 2 z dz, z 2 z 2i dz, z dz, (z 2 + 9) 2 dz, z 2 + z + i dz, e z z(z 2i) dz, 4

15 (j) (k) (l) (m) (n) (o) (p) (q) (r) (s) z+i =3 z+i = 5 2 z i = D D γ γ sin z z + i dz, sin z (z i)(z 2i) dz, cos z (z i) 3 dz, z 2 dz, gdzie D = {z C: Rez + Imz 3}, z 3 2z 2 + z 2 tgz dz, gdzie D = [ 2, 2] [ 2, 2], z (z 2 4iz 4)(z + ) 3 dz, gdzie γ krzywa o równaniu: x2 + y 2 4y 5 =, sin π 4 z z 2 dz, gdzie γ krzywa o równaniu: x2 + y 2 2x =, z =R z = 5 4 z = dz, dla R > 2 i dla < R < 2, (z ) 3 (z + ) 3 [ ] z 6 2z z4 e z2 dz, [ ] e 2z + z cos(z ) dz. z 3 3z 2 + 3z 3. Obliczyć ca lki rzeczywiste: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) dx x 4 + 2x 2 +, dx (x 2 + x + ), 2 dx (x 2 + ) 2 (x 2 + 4), x dx x 4 + 6x 2 + 3, x 2 x + 2 x 4 + x dx, x 2 dx, a >, (x 2 + a 2 ) 3 dx, a, b >, a b. (x 2 + a 2 ) 2 (x 2 + b 2 ) 5

16 VII. Szereg Laurenta, klasyfikacja punktów osobliwych. Funkcje f(z) rozwinać w szereg Laurenta odpowiednio w pierścieniach V i V 2 : (a) f(z) = (b) f(z) = (z )(z 2), V = {z C: < z < 2}, V 2 = {z C: 2 < z }, (z )(z 2), V = {z C: < z < }, V 2 = {z C: < z }, (c) f(z) = z + z 3 (d) f(z) = (e) f(z) = (z 2 + )(z 2 + 2), V = z, V = {z C: < z < 3}, V 2 = {z C: 3 < z }, { z C: < z < } { 2, V 2 = z C: } 2 < z, (z 2 )(z 2 2), V = {z C: < z < }, V 2 = {z C: 2 < z }, (f) f(z) = e z z, V = {z C: < z }. 2. Znaleźć cześć g lówna i regularna szeregu Laurenta funkcji f(z) = : z 2 + (a) w dysku D (, 2 ) = { z C: z < 2 }, (b) w pierścieniu P (, 2, ) = { z C: 2 < z < }, (c) w pierścieniu P (i,, 2) = {z C: < z i < 2}, (d) w pierścieniu P ( i,, 2) = {z C: < z + i < 2}, (e) w pierścieniu P (2i,, 3) = {z C: < z 2i < 3}, (f) w pierścieniu P ( 2i,, 3) = {z C: < z + 2i < 3}. 3. Funkcje f(z) = Ln( + z) rozwinać z 2 w szereg Laurenta w otoczeniu nak lutym punktu z =. Wyznaczyć obszar zbieżności otrzymanego szeregu oraz residuum funkcji f w punkcie z. 4. Znaleźć zera poniższych funkcji i określić ich krotność: (a) f(z) = z sin z, (b) f(z) = ctgz, (c) f(z) = (z ) 2 cos(πz) (2z )(z 2 + ) 5 sin 3 (πz). 5. Znaleźć bieguny poniższych funkcji, określić ich krotność oraz obliczyć residua: (a) f(z) = (b) f(z) = (c) f(z) = e iπ z 4, (2 z)(z 2 4), (z 2 + 4), 3 (d) f(z) = πctg(πz) z 2. 6

17 6. Wyznaczyć izolowane punkty osobliwe nastepuj acych funkcji oraz określić ich rodzaj: (a) f(z) = (b) f(z) = sin z, (c) f(z) = (d) f(z) = tg 2 z, z + 2 (z ) 3 (z + )z, (z 2 + i) 3, (e) f(z) = e z 2i, (f) f(z) = cos z z 2, (g) f(z) = sin z z 4, (h) f(z) = e z + e z. 7. Wyznaczyć residua funkcji f(z) w jej punktach osobliwych: (a) f(z) = z2 + z 2, (b) f(z) = cos z z i, (c) f(z) = z 2 (z 2 + ) 2, (d) f(z) = e z+ z, (e) f(z) = cos z, (f) f(z) = e z, (g) f(z) = z + ez, (h) f(z) = e z, (i) f(z) = ctg 2 z. 8. Określić rodzaj osobliwości funkcji f(z) w punkcie z = i wyznaczyć residuum w tym punkcie: ( (a) f(z) = z + ), z (b) f(z) = (e z ) z, (c) f(z) = ctgz z. 7

18 VIII. Twierdzenie o residuach, lemat Jordana. Obliczyć ca lki γ f(z) dz (korzystajac z twierdzenia o residuach lub ze wzoru ca lkowego Cauchy ego), jeśli: (a) f(z) = + z, γ : 4 x2 + y 2 2x =, (b) f(z) = (z ) 2 (z 2 + ), γ : x2 + y 2 = 2x + 2y, (c) f(z) = (d) f(z) = 2z z(z ), γ : x2 + y 2 = 9, z2 2z, γ(t) = 2eit, t [, 2π], (e) f(z) = eiz z 2, γ = S, (f) f(z) = sin z z, γ = S, (g) f(z) = ez, γ = D(a, a), a >, z 4 (h) f(z) = z sin z (z i), γ : 3 4x2 + y2 4 =. 2. Wykorzystujac metody funkcji zespolonych, obliczyć ca lki rzeczywiste: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) cos x x dx, x sin x x 2 + 4x + 2 dx, cos x x 4 + dx, cos x dx, a >, x 2 + a2 cos x dx, a >, (x 2 + a 2 ) 2 x sin x dx, a >, (x 2 + a 2 ) 2 cos(mx) dx, a >, m >. (x 2 + a 2 ) 2 8

19 3. Stosujac podstawienie z = e ix (zmieniajac odpowiednio droge ca lkowania) obliczyć nastepuj ca lki, korzystajac z twierdzenia o residuach: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) 2π 2π 2π 2π 2π 2π 2π dx sin x, dx + 8 cos 2 x, dx 2a cos x + a 2, < a <, dx (2 + cos x) 2, dx cos x + a, a >, sin 2 x dx, a > b >, a + b cos x cos 2 3x dx, a <. 2a cos 2x + a2 4. Obliczyć ca lk e ( ) 2 sin x dx. x Wsk.: Rozważyć funkcje pomocnicza: f(z) = e2iz. z 2 ( ) 3 sin x 5. Obliczyć ca lke dx. x Wsk.: Rozważyć funkcje pomocnicza: f(z) = 3eiz e 3iz 2. z 3 9

20 IX. Twierdzenie Rouché, zasada maksimum. Określić liczbe rozwiazać poniższych równań, leżacych wewnatrz ko la jednostkowego D(, ) = {z C: z < }: (a) 2z 5 z 3 + 3z 2 z + 8 =, (b) z 7 5z 4 + z 2 2 =, (c) z 9 2z 6 + z 2 8z 2 =, (d) z 8 4z 5 + z 2 =, (e) z 4 5z + =, (f) z 5 6z + 4 =, (g) 4z 5 + z 4 + z 2 + =, (h) z 5 4z 4 z 3 + =. 2. Wyznaczyć liczbe pierwiastków równania e z α = z, gdzie α R, α >, leżacych wewnatrz ko la jednostkowego. 3. Wykazać, że jeśli f jest funkcja holomorficzna w dysku D = {z C: z < } i f(z) < dla z D, to równanie f(z) = z ma dok ladnie jeden pierwiastek w D. 4. Wykazać, że jeśli funkcja f jest holomorficzna dla z >, posiada skończona granice przy z i jest ciag la na zbiorze {z C: z }, to f(z) osiaga maksimum na okregu S = {z C: z = }. 5. Wykazać, że jeśli P jest wielomianem stopnia n i dla pewnej sta lej M zachodzi nierówność P (z) < M dla z, to dla z prawdziwa jest nierówność: P (z) M z n. 6. Wykazać, że jeśli f jest funkcja holomorficzna na spójnym obszarze D oraz f(z) jest sta ly w D, to f jest sta la w D. 2

21 X. Funkcje harmoniczne. Znaleźć funkcje u(x, y) harmoniczna w obszarze D i spe lniajac a warunek brzegowy u D = ϕ, jeżeli: (a) D = { (x, y): x 2 + y 2 < }, ϕ(x, y) = x + xy, (b) D = { (x, y): x 2 + y 2 < 4 }, ϕ(x, y) = x 2 2xy + 2y 2, (c) D = { (x, y): x 2 + y 2 < }, ϕ(x, y) = x 2 3xy 2y 2 2, (d) D = { (x, y): x 2 + y 2 < 4 }, ϕ(x, y) = x + 3xy x 2 y, (e) D = { (x, y): x 2 + y 2 < a 2}, ϕ(x, y) = 3x 2 + xy 3y 2 + x y 2, a >. 2. Znaleźć funkcje u(x, y) harmoniczna w obszarze D, spe lniajac a warunek brzegowy u = ϕ i tak a, n D że u(, ) = a, jeżeli: (a) D = { (x, y): x 2 + y 2 < }, ϕ(x, y) = x + y, a =, (b) D = { (x, y): x 2 + y 2 < }, ϕ(x, y) = x 3 y 3, a = 3, (c) D = { (x, y): x 2 + y 2 < }, ϕ(x, y) = x 2, a =. 3. Pokazać, że jeśli f: D D 2 jest funkcja holomorficzna w obszarze D oraz u: D 2 R jest harmoniczna w obszarze D 2, to superpozycja u f jest harmoniczna w D. 4. Wyznaczyć funkcje u(x, y) harmoniczna w górnej pó lp laszczyźnie, ciag l a dla y, ograniczona w nieskończoności i spe lniajac a warunek brzegowy: u(x, ) = α(x) dla x R. 5. Zbadać czy obszar D = {(x, y): < x 2 + y 2 < } jest regularny ze wzgl edu na zagadnienie Dirichleta. 2

22 XI. Funkcje specjalne Eulera. Pokazać, że funkcja beta Eulera, zdefiniowana wzorem: B(a, b) = spe lnia nastepuj tożsamości: x a ( x) b dx, dla a, b C, Re a >, Re b > (a) B(a, b) = B(b, a), B(, ) =, (b) B(a, b) = b B(a, b ), a + b (m )!(n )! (c) B(m, n) = dla m, n N, (m + n )! (d) B(a, a) = ( ) 2 B 2a 2, a, (e) B(a, b) = (f) B(a, b) = (g) π 2 y a dy, ( + y) a+b x a + x b ( + x) a+b dx, sin m x cos n x dx = ( m + 2 B, n Pokazać, że funkcja gamma Eulera, zdefiniowana wzorem: Γ(z) = spe lnia nastepuj tożsamości: ). e t t z dt, dla Re z > (a) Γ(z + ) = zγ(z), Γ() =, Γ(n + ) = n! dla n N, (b) B(x, y) = Γ(x)Γ(y) Γ(x + y), (c) Γ(z) = lim n n z n! z(z + )... (z + n) (tzw. wzór Gaussa) Wsk.: Zastosować podstawienie u = e t i zauważyć, że lim (d) Γ(z) = ( ) + z n z + z n Wsk.: Wykorzystać wzór Gaussa. 3. Pokazać, że ciag u n, określony wzorem: u n = n ln n n [ ( )] n u n = ln. u jest zbieżny. Granice tego ciagu oznaczamy przez γ i nazywamy sta l a Eulera. Wsk.: Rozważyć ciag pomocniczy v n = ln(n + ), zauważyć, że u 2 n n jest malejacy, natomiast v n rosnacy oraz u n > v n. 22

23 4. Udowodnić nastepuj tożsamości: (a) e γ e n = +, n (b) (c) (d) n+ Γ(z) = eγz z ( + z ) e z n n d dz (ln Γ(z)) = γ z + z n(n + z), d 2 dz (ln Γ(z)) = 2 (n + z). 2 n= (tzw. wzór Weierstrassa), 5. Zak ladajac, że prawdziwe jest wyrażenie asymptotyczne postaci: [( Γ(z) = exp z ) ln z z + ] 2 2 ln(2π) ( + τ(z)) gdzie τ(z) const z wyprowadzić tzw. wzór Stirlinga na n!: [( n! exp n + ) ln(n + ) n + ln ] 2π 2 2πn n+ 2 e n 23

24 XII. Transformata Fouriera. Zbadać dla jakich z C zbieżne sa szeregi: n sin(nz) (a) ( ), n n cos(nz) (b) ( ). n 2 2. Obliczyć transformaty Fouriera nastepuj acych funkcji: t + 2ω dla 2ω t (a) f(t) = 2ω t dla t 2ω, ω >, dla t > ω dla 2ω t < (b) f(t) = dla < t 2ω, ω >, dla t > ω i t = (c) f(t) = e αt2, α >. 3. Obliczyć F [ 2 e x ], gdzie F 2 = F F oznacza druga iteracje transformaty Fouriera. 4. Niech F oznacza transformate Fouriera oraz oznaczmy F(f) = F. Wykazać, że prawdziwe sa nastepuj w lasności: (a) Jeśli t n f(t) jest bezwzgl ednie ca lkowalna na R, to d n F (ω) = ( i)n dωn e iωt t n f(t) dt = ( i) n F [t n f(t)] (ω) (b) Jeśli f, f,..., f (n) sa bezwzglednie ca lkowalne na R, to F [ f (n) (t) ] (ω) = (iω) n F (ω) (c) Jeśli f oraz ϕ(t) = t t f(τ)dτ sa bezwglednie ca lkowalne na R oraz lim ϕ(t) =, t ± to F [ϕ(t)] (ω) = iω F (ω) (d) Jeśli f jest bezwzgl ednie ca lkowalna na R, to F [f(t t )] (ω) = e iωt F (ω) (e) Jeśli f jest bezwzgl ednie ca lkowalna na R, to F [ e iω t f(t) ] = F (ω ω ) (f) Jeśli f jest bezwzgl ednie ca lkowalna na R, to F [f(t) cos(ω t)] (ω) = 2 [F (ω ω ) + F (ω + ω )] 24

25 (g) Jeśli f jest bezwzgl ednie ca lkowalna na R, to F [f(t) sin(ω t)] (ω) = 2 [F (ω ω ) F (ω + ω )] (h) Jeśli f jest bezwzglednie ca lkowalna na R, to [ ( )] t F f (ω) = a F (aω) a (i) Jeśli f jest bezwzglednie ca lkowalna na R, to [ ] F f(t) (ω) = F ( ω) 25

26 XIII. Transformata Laplace a. Wyznaczyć transformaty Laplace a nastepuj acych funkcji: (a) f(z) = e at, a >, g(z) = cos(kt), h(z) = sin(kt), k Z, (b) f(z) = cosh(kt), g(z) = sinh(kt), k Z, h(z) = t α, α >, (c) f(z) = 2 (sin t + t cos t), g(z) = sin(kt)eat, h(z) = t cos(kt), a >, k Z. 2. Oznaczmy F (s) = L[f(t)](s). Pokazać, że dla m n prawdziwe sa nasteuj wzory: ] (a) L [t m dn dt f(t) (s) = ( ) m dm n ds m [sn F (s)], [ ] d n (b) L dt n (tm f(t)) (s) = ( ) m s n dm ds F (s). m 3. Pokazać, że: [ ] f(t) L (s) = t s F (σ) dσ (ca lkujemy po takiej drodze, że Reσ ). Korzystajac z udowodnionego wzoru obliczyć: sin(kt) dt oraz L [Si(kt)] (s), t gdzie Si(kt) = t sin(kτ) τ dτ (tzw. sinus ca lkowy). 4. Pokazać, że jeśli f jest funkcja okresowa o okresie podstawowym T, to L [f(t)] (s) = e st T f(t)e st dt 5. Wyznaczyć transformaty odwrotne nastepuj acych funkcji: (a) F (s) = s2 + s +, s 3 + s s + (b) F (s) = (s + )(s 2 + 4s + 3), (c) F (s) = (d) F (s) = (e) F (s) = (f) F (s) = 5s + 3 s(s )(s 2 + 2s + 5), s + 5 s(s 2 + s + 29), s(s 2), 2 s 2 (s 2 + 4) 2, (g) F (s) = s2 4 (s 2 + 4) 2, 26

27 s 2 (h) F (s) = (s 2 + ), 2 (i) F (s) = s(s + a), a R, 3 s (j) F (s) =, a, b R. (s + a)(s + b) 6. Stosujac przekszta lcenie Laplace a, rozwiazać nastepuj zagadnienia Cauchy ego: (a) y y y =, y() =, y () =, (b) y + 2y + y = 5 sin(2t), y() = y () =, (c) y + 9y = 3 cosh t, y() = 3, y () =, (d) y 2y + y = t 2 e t, y() = y () =, (e) y y = 4 sin t + 5 cos(2t), y() = 2, y () = 3, (f) y + y = e 2y, y() = y () = y () =, (g) y + 3y + 3y + y = 6e t, y() = y () = y () =, (h) y (4) + 4y = t 2, y() = y () = y () = y () =. 7. Rozwiazać nastepuj równania różniczkowo-ca lkowe: (a) f (x) f(x) + x (b) f (x) 2f (x) + f(x) + 2 f() = f () =, (c) f (x) f(x) x f() =, f () =. (x t)f (t)dt x t f(t) sinh(x t)dt + f(t)dt = x, f() =, cos(x t)f (t)dt + 2 t t sin(x t)f (t)dt = cos x, f (t) cosh(x t)dt = cosh x, 8. Rozwiazać nastepuj uk lady równań różniczkowych: { y (a) z 2y + 2z = 2t y + 2z, y() = y () = z() = z () =, + y = { z (b) 2y z = y, y() = z() =, + z = x = y z (c) y = x + y, x() =, y() = 2, z() = 3. z = x + z 27

28 9. Rozwiazać nastepuj uk lady równań ca lkowych: x x f (x) = 2 f (t)e 2(x t) dt + f 2 (t)dt (a) x x, f 2 (x) = 4x f (t)dt + (x t)f 2 (t)dt x x f (x) = e x + f (t)dt f 2 (t)e x t dt (b) x x, f 2 (x) = x (x t)f (t)dt + f 2 (t)dt x x f (x) = e x f (t)dt + 4 f 2 (t)e x t dt (c) x x, f 2 (x) = f (t)e t x dt + f 2 (t)dt (d) t τf (τ)dτ f(t) = = 2 t2 + g(t) t g(τ)dτ. 28