ANALIZA ZESPOLONA. IV semestr 2013/14. oprac. Janina Kotus
|
|
- Julian Jarosław Ciesielski
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 ANALIZA ZESPOLONA IV semestr 203/4 oprac. Janina Kotus
2 Spis treści. Poj ecia podstawowe str. 5. Rzut stereograficzny str. 5.2 Metryki w C i C str Funkcje zespolone str Granica i ciag lość str Pochodna str Pochodne formalne str Pochodna kierunkowa funkcji str Funkcje holomorficzne str Funkcje elementarne str Funkcja wyk ladnicza str Funkcje trygonometryczne str Funkcje hiperboliczne str Funkcja logarytmiczna str Funkcja pot egowa str Powierzchnie Riemanna funkcji wielowartościowych str Szeregi funkcyjne str Szeregi liczbowe str Rodzaje zbieżności szeregów funkcyjnych str Szeregi pot egowe str Funkcje analityczne str Odwzorowania konforemne str Interpretacja geometryczna pochodnej zespolonej str Interpretacja geometryczna równań Cauchy ego-riemanna str Odwzorowania konforemne str. 35 2
3 6. Ca lka z funkcji zespolonej str Ca lka z funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej str Ca lka z funkcji zespolonej zmiennej zespolonej str Twierdzenia i wzory ca lkowe Cauchy ego str Funkcje holomorficzne w C str Zera funkcji holomorficznej str Szeregi Laurenta str. 6. Punkty osobliwe str. 65. Punkty osobliwe izolowane str Zachowanie si e funkcji holomorficznej w punkcie str Klasyfikacja funkcji holomorficznych ze wzgl edu na ich punkty osobliwe str Obliczanie ca lek za pomoca residuów str Geometryczna teoria funkcji str Przed lużenia analityczne str Rodziny normalne funkcji str Funkcje harmoniczne str. 97 3
4 . 4
5 Poj ecia podstawowe Zbiór liczb zespolonych C = {z = x + iy : x, y R} można utożsamiać z p laszczyzna dwuwymiarowa, która bedziemy oznaczać symbolem C i nazywać p laszczyzna zespolona otwarta. Aby zdefiniować jej domkni ecie podamy najpierw definicj e przekszta lcenia zwanego rzutem stereograficznym.. Rzut stereograficzny W przestrzeni R 3 definiujemy sfere x 2 + y 2 + ( z 2) 2 = o środku w punkcie (x 4 0, y 0, z 0 ) = (0, 0, ) i promieniu r =, styczn a 2 2 do p laszczyzny uk ladu OXY w poczatku uk ladu wspó lrzednych. Punkt N = (0, 0, ) S 2 nazywać bedziemy biegunem pó lnocnym sfery. Konstrukcja rzutu stereograficznego Każdemu punktowi z = x + iy C przyporzadkujemy punkt Z(ξ, η, ζ) S 2 \ {N} bed acy punktem przeciecia odcinka l acz acego punkt z C z punktem N. Definicja. Odwzorowanie gdzie ξ = P : C nazywamy rzutem stereograficznym. z = Z S 2 \ {N}, z = x + iy = Z = (ξ, η, ζ), x + z 2, η = y + z 2, ζ = z 2 + z 2, Uwaga. Rzut stereograficzny posiada przekszta lcenie odwrotne P : S 2 \ {N} = C, Z = (ξ, η, ζ) = z = x + iy, zdefiniowane wzorem x = ξ, y = η. ζ ζ Zatem rzut stereograficzny jest bijekcja miedzy p laszczyzna otwarta C i sfera bez bieguna pó lnocnego, któremu nie odpowiada żaden punkt na p laszczyźnie. 5
6 Uwaga.2 Umówimy si e, że punktowi N odpowiada punkt w nieskończoności (ozn. ). Definicja.2 P laszczyzna domnkiet a, która oznaczamy symbolem C nazywamy sume C { } i utożsamiamy ja z dwywymiarowa sfera zwana sfera Riemanna..2 Metryki w C i C W p laszczyźnie otwartej C wprowadzamy metryke euklidesowa d(z, z 2 ) := (Rez Rez 2 ) 2 + (Imz Imz 2 ) 2 = z z 2. W p laszczyźnie domknietej C wprowadzamy metryke sferyczna, w której odleg lość miedzy punktami z, z 2 rozumiemy odleg lość euklidesowa miedzy ich obrazami przy rzucie stereograficznym na sferze tzn. ρ(z, z 2 ) := d(p (z ), P (z 2 )) = ρ(z, ) := z z 2 + z 2 + z 2 2 z z 2 C, + z 2, z. Uwaga.3 Aby otrzymać drugi wzór z pierwszego należy za z mianownik przez z 2. podstawić z i podzielić licznik oraz ρ(z, z 2 ) = z z 2 + z 2 + z 2 = z z z 2 + z 2 2 z z 2 jesli z 2. Uwaga.4 z, z 2 C, 0 ρ(z, z 2 ). Uwaga.5 P laszczyzna domknieta C z metryka sferyczna jest przestrzenia metryczna zwarta. Uwaga.6 Na zbiorach ograniczonych, zawartych w C obie metryki euklidesowa i sferyczna sa równoważne tzn. jeśli A {z : z R}, (R < ), to z z 2 + R 2 ρ(z, z 2 ) z z 2 z, z 2 A. 6
7 Definicja.3 Zbiór U(z 0, ɛ) = {z C : d(z, z 0 ) = z z 0 < ɛ} nazywamy ɛ-otoczeniem punktu z 0 C w p laszczyźnie C (otwartej). Definicja.4 Zbiór U(z 0, ɛ) = {z C : ρ(z, z 0 ) < ɛ} nazywamy ɛ-otoczeniem punktu z 0 C w p laszczyźnie C (domkni etej). Zatem: U(, ɛ) = {z C : ρ(z, ) < ɛ} = {z C : {z C : z > ɛ 2 }, + z 2 < ɛ} = ɛ ma le. Otoczeniem punktu w w p laszczyźnie C jest dope lnienie domkni etego ko la o środku w zerze. Definicja.5 - Otoczeniem nak lutym punktu z 0 C w p laszczyźnie C nazywamy zbiór U(z 0, ɛ) \ {z 0 } = {z C : 0 < z z 0 < ɛ}. - Otoczeniem nak lutym punktu z 0 C w p laszczyźnie C nazywamy zbiór U(z 0, ɛ) \ {z 0 } = {z C : 0 < ρ(z, z 0 ) < ɛ}. Definicja.6 Obszarem D nazywamy zbiór punktów p laszczyzny C spe lniajacy warunki: - (otwartość) a D U(a, ɛ)-otoczenie takie, że U(a, ɛ) D, - ( lukowa spójność) a, b D istnieje droga o końcach a,b zawarta w D. Droga o końcach a, b nazywamy funkcje ciag l a γ : [t 0, t ] C taka, że γ(t 0 ) = a, γ(t ) = b. Stwierdzenie. Dla zbiorów otwartych zawartych w C (odpow. w C) lukowa spójność pokrywa sie ze spojnościa zbiorów. Definicja.7* Obszar D C (odpow. D C) nazywamy jednospójnym, jeśli jego brzeg jest zbiorem spójnym. W przeciwnym przypadku obszar nazywamy wielospójnym. (*) Później podamy inna definicje jednospójności. 7
8 2 Funkcje zespolone Definicja 2. Odwzorowanie f : D C, z w = f(z) nazywamy funkcje zespolona zmiennej zespolonej. D C Argument z funkcji f i jej wartość w = f(z) rozk ladamy na cześć rzeczywista i urojona tzn. z = x + iy, w = u + iv. Otrzymujemy w ten sposób rozk lad funkcji w = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) na cześć rzeczywista Ref(z) := u(x, y) i cześć urojona Imf(z) := v(x, y). Cześć rzeczywista i urojona funkcji zespolonej f jest funkcja rzeczywista dwóch zmiennych x, y. Przyk lad 2. Znaleźć cześć rzeczywista i urojona funkcji f(z) = iz 2. Zatem f(z) = iz 2 = i(x + iy) 2 = i(x 2 + 2ixy y 2 ) = ix 2 2xy iy 2 = 2xy + i(x 2 y 2 ). Ref(z) = u(x, y) = 2xy, Imf(z) = v(x, y) = x 2 y 2. Przyk lad 2.2 Dane sa cześć rzeczywista u(x, y) = x y i urojona v(x, y) = 4xy funkcji zespolonej f. Przedstawić funkcje f jako funkcje zmiennej zespolonej z. z = x + iy, z = x iy x = z + z 2, y = z z. 2i Podstawiamy ( ) ( ) ( ) ( ) z + z z z z + z z z f(z) = u(x, y) + iv(x, y) = (x y) + i4xy = + i4 2 2i 2 2i ( = z 2 ) ( + z 2i 2 + ) ( ) ( ) (z 2 z 2 ) = z 2i 2 + i + z 2 2 i + z 2 z
9 2. Granica i ciag lość Definicja 2.2 lim f(z) = g ɛ > 0 δ > 0 z D 0 < d(z, z 0 ) < δ d(f(z), g) < ɛ. z z 0 Stwierdzenie 2. lim f(z) = g lim u(x, y) = Reg i lim v(x, y) = Img. z z 0 (x,y) (x 0,y 0 ) (x,y) (x 0,y 0 ) Definicja 2.3 Funkcja f jest ciag la w z 0 lim z z0 f(z) = f(z 0 ). Twierdzenie 2. Funkcja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) jest ciag la w z 0 funkcje u i v sa ciag le w (x 0, y 0 ). Definicja 2.4 Funkcja f jest ciag la w, jeśli funkcja f( ) jest ci ag la z w zerze. 2.2 Pochodna Definicja 2.5 Granice w laściwa ilorazu różnicowego f(z + z) f(z) lim z 0 z nazywamy pochodna funkcji f w punkcie z i oznaczamy f (z). f (z) := lim z 0 f(z + z) f(z), z f (z 0 ) := lim z z0 f(z) f(z 0 ) z z 0. Jeżeli funkcje f i g maja pochodna w punkcie z, to. (f ± g) (z) = f (z) ± g (z). 2. (fg) (z) = f (z)g(z) + f(z)g (z). ( ) f 3. g (z) = f (z)g(z) f(z)g (z) dla z / g (0). [g(z)] 2 9
10 Jeżeli funkcja f ma pochodna w punkcie g(z) i g ma pochodna w punkcie z, to (f g) (z) = f (g(z))g (z). Twierdzenie 2.2 (warunek konieczny istnienia pochodnej) Jeżeli funkcja f(z) = u(x, y)+iv(x, y) ma w punkcie z 0 = x 0 +iy 0 pochodna f (z 0 ), to istnieja w punkcie (x 0, y 0 ) pochodne czastkowe u, u, v, v i spe lniaj a x y x y w punkcie (x 0, y 0 ) warunki: u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ), u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ), zwane warunkami Cauchy ego-riemanna. Dowód. Zak ladamy, że istnieje Niech z = x + i y f (z 0 ) = lim z 0 f(z 0 + z) f(z 0 ). z () y = 0 z = x f u(x 0 + x, y 0 ) + iv(x 0 + x, y 0 ) u(x 0, y 0 ) iv(x 0, y 0 ) (z 0 ) = lim x 0 [ x u(x0 + x, y 0 ) u(x 0, y 0 ) = lim + i v(x ] 0 + x, y 0 ) v(x 0, y 0 ) x 0 x x = u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ). (2) x = 0 z = i y f u(x 0, y 0 + y) + iv(x 0, y 0 + y) u(x 0, y 0 ) iv(x 0, y 0 ) (z 0 ) = lim y 0 i y [ u(x0, y 0 + y) u(x 0, y 0 ) = lim + v(x ] 0, y 0 + y) v(x 0, y 0 ) y 0 i y y = i u y (x 0, y 0 ) + v y (x 0, y 0 ). Zatem u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ) = i u y (x 0, y 0 ) + v y (x 0, y 0 ). 0
11 Stad u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) oraz u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ). Wniosek 2. Jeżeli istnieje pochodna funkcji f w punkcie z 0, to: f (z 0 ) = u x (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) i u y (x 0, y 0 ) = u x (x 0, y 0 ) i u y (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) + i v x (x 0, y 0 ). Wniosek 2.2 Pochodne czastkowe funkcji f wyrażaja sie wzorami f x f y (x, y) = u x (x, y) = u y (x, y) + i v (x, y) x (x, y) + i v (x, y). y Stad i z wniosku 2. otrzymamy nastepuj ace wzory na pochodna funkcji f w punkcie z 0. f (z 0 ) = f x (x 0, y 0 ) = i f y (x 0, y 0 ). Twierdzenie 2.3 (warunek dostateczny istnienia pochodnej) Jeżeli funkcje u(x, y) i v(x, y) sa rózniczkowalne w punkcie (x 0, y 0 ) i spe lniaja w tym punkcie warunki Cauchy ego Riemanna, to funkcja f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ma pochodna f (z 0 ). Dowód. Funkcje u i v sa różniczkowalne w punkcie (x 0, y 0 ), wiec () u(x 0, y 0 ) = u(x, y) u(x 0, y 0 ) = u x (x 0, y 0 ) x + u y (x 0, y 0 ) y + o ( z ), gdzie z = ( x) 2 + ( y) 2, o jest wielkościa ma lego rzedu tzn. Analogicznie lim z 0 o ( z ) z = 0. (2) v(x 0, y 0 ) = v(x, y) v(x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ) x + v y (x 0, y 0 ) y + o 2 ( z ), o o 2 jest wielkościa ma lego rzedu tzn. lim 2 ( z ) z 0 = 0. z f(z 0 ) = f(z) f(z 0 ).
12 (3) f(z 0 ) = f(z) f(z 0 ) = u(x 0, y 0 ) + i v(x 0, y 0 ). Podstawiajac () i (2) do (3) otrzymamy: f z (z 0) = u z (x 0, y 0 ) + i v z (x 0, y 0 ) = ( u x (x 0, y 0 ) x z + u y (x 0, y 0 ) y ) + o ( z ) z z ( u x (x 0, y 0 ) + i v ) x x (x 0, y 0 ) z + ( v + i ( u y (x 0, y 0 ) + i v y (x 0, y 0 ) x (x 0, y 0 ) x z + v y (x 0, y 0 ) y ) z ) y z + o ( z ) z + i o 2( z ) z + i o 2( z ). z = Korzystajac z za lożenia, że funkcje u(x, y) i v(x, y) spe lniaja warunki Cauchy ego-riemanna otrzymamy, że Zatem f z (z 0) = u x (x 0, y 0 ) = v y (x 0, y 0 ) i u y (x 0, y 0 ) = v x (x 0, y 0 ) ( u x (x 0, y 0 ) + i v ) ( ) x + i y x (x 0, y 0 ) z + o ( z ) z ( f u lim z 0 z (z 0) = lim z 0 x (x 0, y 0 ) + i v ) x (x 0, y 0 ) + o ( z ) z + i o 2( z ). z + i o 2( z ). z Stad wynika, że istnieje granica w laściwa ilorazu różnicowego w punkcie z 0, czyli istnieje pochodna f (z 0 ). Przyk lad 2.3 Dla jakich punktów z C funkcja f(z) = z z = z 2 = x 2 + y 2 ma pochodna? Ref(z) = u(x, y) = x 2 + y 2, Imf(z) = v(x, y) 0. Funkcje u i v sa różniczkowalne dla (x, y) R 2. Sprawdzamy warunki C-R. Stad u x = 2x, u y = 2y, v x = v y = 0. u x = v y x = 0, u y = v x y = 0. Zatem warunki Cauche go Riemanna sa spe lnione tylko w punkcie z 0 = 0. Z Twierdzenia 2.2 wynika, że tylko w tym punkcie spe lniony jest warunek konieczny istnienia pochodnej. Z twierdzenia 2.3 zaś wynika, że w punkcie z 0 = 0 spe lnione sa również warunki dostateczne istnienia pochodnej funkcji f. Pochodna funkcji policzymy z definicji. f (0) = lim z 0 f(z) f(0) z 0 2 z z = lim z 0 z = lim z = 0. z 0
13 2.3 Pochodne formalne Niech f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Za lóżmy, że funkcje u(x, y) i v(x, y) sa różniczkowalne w punkcie z 0 = (x 0, y 0 ). Wyprowadzimy wzory na pochodne formalne f(z). Ponieważ dz = dx + idy i d z = dx idy, to df = du + idv =(u xdx + u ydy) + i(v xdx + v ydy) =(u xdx + iv xdx) + (u ydy + iv ydy) = f f dx + x y dy. (2.) Wstawiajac (2.2) do (2.) otrzymamy dx = 2 (dz + d z), dy = (dz d z). (2.2) 2i df = f f (dz + d z) + x 2 y 2i = ( ) f 2 x i f dz + y 2 = f f dz + z z d z. (dz d z) ( f x + i f y ) d z Definicja 2.6. Pochodne formalne funkcji f(z) definiujemy nastepuj aco: f z := ( ) f 2 x i f f, y z := ( ) f 2 x + i f. y (2.3) Twierdzenie 2.4 (warunek różniczkowalności funkcji w postaci zespolonej) Niech f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Zak ladamy, że funkcje u(x, y) i v(x, y) sa różniczkowalne w punkcie z 0 = (x 0, y 0 ). Wtedy funkcja f(z) ma pochodna w punkcie z 0 = x 0 + iy 0 wtedy i tylko wtedy gdy f (z z 0) = 0. Dowód Korzystajac z definicji pochodnej formalnej mamy, że f z = ( ) f 2 x + i f = ( u y 2 x + iv x + i(u y + iv y) ) = ( u 2 x v y + i(u x + iv y) ). Zauważmy, że warunek f (z z 0) = 0 zachodzi wtedy i tylko wtedy gdy u x(x 0, y 0 ) = v y(x 0, y 0 ) i u y(x 0, y 0 ) = v x(x 0, y 0 ), czyli gdy spe lnione sa warunki Cauchy ego-riemanna w punkcie z 0. 3
14 Uwaga 2. f (z 0 ) = f z (z 0) Dowód ( ) Z wniosku 2. wynika, że f (z 0 ) = u(x x 0, y 0 ) + i v (x x 0, y 0 ). Natomiast f = f i f = z 2 x y ( 2 u x + iv x i(u y + iv y) ) ( = 2 (u x + v y) + i(v x u y) ). Korzystajac z faktu, że jeśli istnieje f (z 0 ) to f spe lnia w punkcie z 0 warunki Cauchy ego-riemanna otrzymamy, że f z (z 0) = [ u 2 x (x 0, y 0 ) + v y(x 0, y 0 ) + i(v x(x 0, y 0 ) u y(x 0, y 0 )) ] = 2 [2u x(x 0, y 0 ) + i2v x(x 0, y 0 )] = f (z 0 ) 2.4 Pochodna kierunkowa funkcji Niech D C, f : D C, z 0 D. Wtedy f = f(z) f(z 0 ), z = z z 0, z = z z 0. Zatem f = f z f z + z + o( z), z o( z) gdzie o( z) oznacza ma l a wyższego rzedu wzgledem tzn. lim z 0 z z = z e iθ, wtedy z = z e iθ. = 0. Zapiszemy gdzie η( z) = o( z) z dla z 0. f z = f z + f z e 2iθ + η( z), Do istnienia granicy ilorazu f dla z 0 potrzeba i wystarcza, aby przy d ażeniu z z 0 kat θ = arg( z) daży l do pewnej granicy φ. Granica ilorazu f gdy arg( z) d aży z do kata φ nazywamy pochodna funkcji f w kierunku kata φ w punkcie z 0 i oznaczamy symbolem f f = f z φ z + f z e 2iφ. Uwaga 2.2 Jeżeli f (z z 0) 0, to pochodne kierunkowe w tym punkcie zależa od od kierunku. z φ. 4
15 Uwaga 2.3 Funkcja ma pochodna w punkcie z 0 f (z z 0) = 0 gdy pochodna funkcji f nie zależy od od kierunku φ w punkcie z Funkcje holomorficzne Definicja 2.7 Funkcje f(z) nazywamy holomorficzna (różniczkowalna w sensie zespolonym) w obszarze D jeśli w każdym punkcie z D istnieje pochodna f (z). Ozn. f H(D). Definicja 2.8 Funkcje f(z) nazywamy holomorficzna (różniczkowalna w sensie zespolonym) w punkcie z 0 D jeśli jest holomorficzna w pewnym otoczeniu tego punktu. Przyk lad 2.4 Zbadać holomorficzność funkcji f(z) = z 2 = z z. Wiadomomo, że f (z 0 ) istnieje wtedy i tylko wtedy gdy f (z z 0) = 0. Policzymy f (z) = z. z Stad f (z) = 0 z = 0. Zatem f ma pochodn a z tylko w z 0 = 0. Policzymy ja z definicji f (z 0 ) = lim z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 z z 0 = lim z 0 z 0 = lim z = 0. z 0 - f ma pochodna tylko w zerze, zatem nie jest holomorficzna ani w punkcie z 0 = 0, ani w ca lej p laszczyźnie C. Przyk lad 2.5 Zbadać holomorficzność funkcji f(z) = z 2 z. Policzymy f (z) = z z2. St Policzymy ja z definicji ad f (z) = 0 z = 0. Zatem f ma pochodn a z tylko w z 0 = 0. f (z 0 ) = lim z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 = lim z 0 z 2 z 0 z 0 = lim z 0 z z = 0 - f ma pochodna tylko w zerze, zatem nie jest holomorficzna ani w punkcie z 0 = 0, ani w ca lej p laszczyźnie C. Jest to kolejny przyk lad funkcji, która ma pochodna w punkcie ale nie jest w nim holomorficzna. 5
16 W lasności funkcji holomorficznych:. Jeśli f, g H(D), to (f ± g) H(D) oraz fg H(D). 2. Jeśli f, g H(D), to f g H(D \ (g (0)). 3. Jeśli g H(D), f H(f(D)), to (f g) H(D). 3 Funkcje elementarne 3. Funkcja wyk ladnicza Funkcje wyk ladnicza w dziedzinie zespolonej zdefiniujemy tak samo jak w analizie rzeczywistej tzn. exp(z) := lim ( + z ) n. n n Wykażemy istnienie tej granicy dla każdego z C.. Najpierw pokażemy zbieżność modu lów tzn. ( lim + n) z n = e x. (3.) n Skorzystamy z w lasności, że z n = z n. Zatem ( + z ) n [ ( = + x ] 2 y + n n) 2 n/2 = [ + 2xn ] n + x2 + y 2 n/2. 2 n 2 Przechodzac do granicy otrzymamy, że ( lim + n) z n = e x, czyli zachodzi (3.). n 2. Niech Argz oznacza argument g lówny liczby z. Pokażemy, że lim ( Arg + z ) n = y. (3.2) n n Zauważmy najpierw, że Ponieważ Arg(z n ) = narg(z), to ( Arg + z ) n y n = arctg + x. n ( Arg + n) z ( n y = narctg n + x n 6 ).
17 Przechodzac do granicy otrzymamy, że czyli zachodzi (3.2). lim n ( narctg ( y n + x n )) = y, Z jednoznaczności zapisu liczby ( zespolonej w postaci trygonometrycznej otrzymamy, że modu l liczby e z czyli e z = lim n + z n n) = e x, zaś Arg(e z ) = lim n Arg ( + n) z n = y. St ad exp(z) = e z = e x+iy = e x (cosy + isiny). (3.3) Podstawiajac za z = 0 + iy otrzymamy wzór Eulera tzn. y IR e iy = cosy + isiny (3.4) Wracajac do definicji funkcji wyk ladniczej e z (znowu korzystajac z jednoznaczności zapisu liczby zespolonej w postaci trygonometrycznej) otrzymamy, że W lasności e z = e x+iy = e x e iy = e x (cosy + isiny). a) Cześć rzeczywista i urojona funkcji f(z) = e z wynosza odpowiednio u(x, y) = e x cosy, v(x, y) = e x siny. b) e z = e x. c) funkcja e z jest holomorficzna w C oraz (e z ) = e z. Jest oczywiste, że cześć rzeczywista i urojona funkcji sa klasy C (R 2 ). Pokażemy, że spe lniaja równania Cauchy ego-riemanna: u x(x, y) = e x cosy, u y(x, y) = e x siny, v x(x, y) = e x siny, v y(x, y) = e x cosy, u x(x, y) = v y(x, y), u y(x, y) = v x(x, y). f (z) = f z = u x + iv x = e x cosy + ie x siny = e x (cosy + isiny) = e z. d) z, z 2 C, e z +z 2 = e z e z 2. e z e z 2 = e x (cosy + isiny )e x 2 (cosy 2 + isiny 2 ) = e x +x 2 (cos(y + y 2 ) + isin(y + y 2 )). = e (x +x 2 )+i(y +y 2 ) = e z +z 2. 7
18 e) z C, e z 0. Przypuśćmy, że e z = 0 e x (cosy + isiny) = 0 e x cosy = 0 e x siny = 0. Ponieważ e x 0 to cosy = 0 i siny = 0. Pierwsza równość zachodzi dla y = π + kπ, 2 druga zaś dla y = kπ, gdzie k Z. Ponieważ obie równości nie moga zachodzić jednocześnie, otrzymana sprzeczność dowodzi, że e z 0 dla każdego z C. f) funkcja e z jest okresowa o okresie podstawowym T = 2πi. Dla k Z korzystajac z okresowości funkcji trygonometrycznych sinx i cosx mamy e z+2kπi = e z e 2kπi = e z (cos(2kπ) + isin(2kπ)) = e z ( + i0) = e z. g) funkcja e z jest rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji wyk ladniczej e x. Niech z = x + i0 R. Wtedy e z = e x (cos0 + isin0) = e x ( + i0) = e x. Uwaga 3. Zostanie później udowodnione, że funkcja wyk ladnicza e z rozwinie sie w szereg Maclaurina tzn. e z z k = dla każdego z C. k! k= 3.2 Funkcje trygonometryczne Funkcje cosz i sinz w dziedzinie zespolonej definiujemy nastepuj aco: W lasności tgz = sinz cosz = cosz := eiz + e iz, sinz := eiz e iz, 2 2i eiz e iz i(e iz + e iz ), cosz ctgz = sinz = i(eiz + e iz ) (e iz e iz ). a) Sa to funkcje holomorficzne w swojej dziedzinie tzn. sinz i cosz dla z C, tgz dla z {z C : z kπ + π, k Z}, ctgz dla z {z C : z kπ, k Z}. 2 8
19 Korzystamy z faktu, że funkcja wyk ladnicza e z jest funkcja holomorficzna oraz z w lasności dzia lań na tych funkcjach. Stad można wyprowadzić wzory na pochodna: (cosz) = 2 (ieiz ie iz ) = i 2 (eiz e iz ) = 2i (eiz e iz ) = sinz. (sinz) = 2i (ieiz + ie iz ) = i 2i (eiz + e iz ) = 2 (eiz + e iz ) = cosz. b) cos 2 z + sin 2 z =. (tgz) = cos 2 z (ctgz) = sin 2 z. ( ) e cos 2 z + sin 2 iz + e iz 2 ( ) e iz e iz 2 z = + 2 2i = ( e 2iz + 2e iz e iz + e 2iz) ( e 2iz 2e iz e iz + e 2iz) 4 4 = 4eiz e 2iz 4 =. c) Cześci rzeczywiste i urojone funkcji trygonometrycznych wynosza odpowiednio: Dowód podamy dla funkcji sinz sinz = sinxchy + icosxshy cosz = cosxchy isinxshy sin2x tgz = cos2x + ch2y + i sh2y cos2x + ch2y sinz = eiz e iz 2i = ei(x+iy) e i(x+iy) 2i = e y (cosx + isinx) e y (cosx isinx) ( ) 2i ( ) e y e y e y + e y = cosx + isinx 2i 2i = sinxchy + icosxshy. = e y+ix e y ix 2i d) Funkcje trygonometryczne sinz, cosz, tgz sa rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji sinx, cosx, tgx. 9
20 Niech z = x + i0 IR. Wtedy sinz = sinxch0 + icos0sh0 = sinx + i0 = sinx. cosz = cosxch0 icosxsh0 = cosx i0 = cosx. sin2x tgz = cos2x + ch0 + i sh0 cos2x + ch0 = 2sinxcosx + (2cos 2 x ) = tgx. e) Funkcje trygonometryczne sa okresowe tzn. sinz i cosz o okresie podstawowym T = 2π. tgz i ctgz o okresie podstawowym T = π. sin(z + 2π) =sin(x + iy + 2π) = sin(x + 2π)chy + icos(x + 2π)shy Dowód dla cosz jest analogiczny. =sin(x)chy + icos(x)shy = sinz. sin2(x + π) tg(z + π) = cos2(x + π) + ch2y + i sh2y cos2(x + π) + ch2y sin2x = cos2x + ch2y + i sh2y cos2x + ch2y = tgz. f) sinz = sin 2 x + sh 2 y oraz cosz = cos 2 x + sh 2 y. Ponieważ funkcja hiperboliczna shy jest nieograniczona, wynika sta, że w przeciwieństwie do funkcji rzeczywistych funkcje sinz i cosz sa nieograniczone. g) sinz, tgz, ctz to funkcje nieparzyste, natomiast cosz jest funkcja parzysta tzn. sin( z) = sinz, coz( z) = cosz. h) sin( z) = sinz, cos( z) = cosz tg( z) = tgz ctg( z) = ctgz. i) sin(z ± z 2 ) = sinz cosz 2 ± cosz sinz 2. cos(z + z 2 ) = cosz cosz 2 sinz sinz 2. cos(z z 2 ) = cosz cosz 2 + sinz sinz 2. j) Funkcje sinz oraz cosz przyjmuja wszystkie wartości z p laszczyzny otwartej C. Funkcje tgz i ctgz omijaja dwie wartości i, i, natomiast przyjmuja wartość, tgz w punktach z k = π + kπ, ctgz w punktach z 2 k = kπ, k Z. 20
21 3.3 Funkcje hiperboliczne Funkcje chz i shz w dziedzinie zespolonej definiujemy tak samo jak w dziedzinie rzeczywistej tzn. chz := ez + e z, shz := ez e z, 2 2 W lasności thz := shz chz = ez e z e z + e z, chz cthz := shz = ez + e z e z e. z a) Sa to funkcje holomorficzne w swojej dziedzinie tzn. shz i chz dla z C, thz dla z {z C : z i(kπ + π ), k Z}, cthz dla z {z C : z ikπ, k Z}. 2 (chz) = shz, (shz) = chz, (thz) = ch 2 z, (cthz) = sh 2 z. b) ch 2 z sh 2 z = dla z C. c) Cześci rzeczywiste i urojone funkcji hiperbolicznych wynosza odpowiednio: shz = shxcosy + ichxsiny, chz = chxcosy + ishxsiny, sh2x thz = ch2x + cos2y + i sin2y ch2x + cos2y. d) Funkcje hiperboliczne shz, chz, thz, cthz sa rozszerzeniem do dziedziny zespolonej funkcji shx, chx, thx, cthx. e) Funkcje hiperboliczne sa okresowe tzn. shz i chz o okresie podstawowym T = 2πi. thz i cthz o okresie podstawowym T = πi. f) shz = sh 2 x + sin 2 y oraz chz = sh 2 x + cos 2 y. g) cosiz = chz, siniz = ish(z). 2
22 3.4 Funkcja logarytmiczna Niech z C \ {0}. Każda liczbe zespolona w spe lniajac a równanie e w = z nazywamy logarytmem liczby z i oznaczamy lnz. Niech z = x + iy = e w = e u+iv = e u (cosv + isinv). (3.5) Zatem z = e u czyli u = ln z = ln x 2 + y 2. Z (3.5) wynika, że v = Argz +2kπ dla pewnego k Z, gdzie Argz oznacza argument g lówny liczby z. Każda liczba zespolona z C \ {0} ma nieskończenie wiele logarytmów wyrażonych wzorem Funkcja zdefiniowa wzorem w = u + iv = ln z + i(argz + 2kπ), k Z. lnz = ln z + iargz (3.6) dla z 0 nazywamy funkcja logarytmiczna. Funkcja lnz jest nieskończenie wielowartościowa. Funkcje Lnz = ln z + iargz, π < Argz π (3.7) nazywamy ga lezia g lówna logarytmu. Z (3.6) i (3.7) wynika, że lnz = Lnz + i2kπ, k Z. W każdym obszarze jednospójnym nie zawierajacym 0 i istnieje jednoznaczna ga l aź logarytmu. Takim obszarem jest np. p laszczyzna rozcieta wzd luż osi ujemnej tzn. 3.5 Funkcja pot egowa E = C \ {x R : x 0}. Niech µ bedzie dowolna liczba zespolona, E obszarem spójnym w którym istnieje jednoznaczna ga l aź logarytmu zmiennej z. Funkcje potegowa o wyk ladniku µ nazywamy funkcje zdefiniowana wzorem z µ = e µlnz. (3.8) Jest to także fukcja wielowartościowa. Ga l ezi a g lówna tej funkcji nazywamy ga l aź zdefiniowana za pomoca ga l ezi g lównej logarytmu tzn. e µlnz. Szczególnym przyk ladem funkcji potegowej jest funkcja n z = e (/n)lnz zwana pierwiastkiem n-stopnia z liczby z C \ {0}. W każdym obszarze jednospójnym nie zawierajacym zera i istnieje dok ladnie n ga l ezi różniacych sie czynnikiem e 2kπi/n, k = 0,,... n. 22
23 3.6 Powierzchnie Riemanna funkcji wielowartościowych Funkcja lnz zdefiniowana dla z C \ {0} jest nieskończenie wielowartościowa. Na p laszczyźnie rozcietej wzd luż pó losi rzeczywistej ujemnej istnieje nieskończenie wiele ga l ezi jednoznacznych logarytmu Lnz + 2kπi, k Z. Utwórzmy nieskończony ciag tak rozcietych p laszczyzn i ponumerujmy je liczbami k Z. Z każdej p laszczyzny usuwamy punkt 0. L aczymy górny brzeg rozciecia każdej z nich z dolnym brzegiem rozciecia nastepnej tak aby punkty brzegowe o tych samych wspó lrzednych tworzy ly jeden punkt. Otrzymamy nieskończenie wielolistna powierzchnie z lożona z plaszczyzn zwanych liściami. Taka powierzchnia przedstawia powierzchnie Riemanna pe lnej funkcji lnz. Punktom p laszczyzny oznaczonej liczba 0 przyporzadkujemy wartości ga l ezi g lownej Lnz. Ogólnie, punktowi z n-p laszczyzny przyporzadkowujemy wartości Lnz + i2nπ. W ten sposób każdej wartości funkcji lnz zostaje przyporzadkowany dok ladnie jeden punkt powierzchni i na odwrót. Na tej powierzchni lnz jest funkcja jednoznaczna. Startujac z pewnego punktu z i okrażaj ac punkt 0 dojdziemy po jednym okrażeniu do punktu z ± 2πi zależnie od tego czy okrażamy punkt 0 w dodatniej czy ujemnej orientacji. Funkcja n z ma n ga l ezi jednoznacznych na ca lej p lasczyźnie rozcietej wzd luż pó losi rzeczywistej ujemnej. Gdy okrażamy raz punkt 0 wzd luż pewnej krzywej zamknietej w kierunku dodatnim na p laszczyźnie nierozcietej, wówczas każda ga l aź przechodzi w nastepn a. Wartość funkcji zostaje pomnożona przez e 2πi/n. Po n-krotnym okrażeniu punktu 0 wartość funkcji wraca do swej poczatkowej wartości bo zmieni sie o czynnik e 2πi/n =. n Aby skonstruować powierzchnie Riemanna funkcji z umieszczamy n rozcietych p laszczyzn wzdluż osi rzeczywistej ujemnej i l aczymy górny brzeg rozciecia każdej p laszczyzny z dolnym brzegiem rozciecia nastepnej. Tak samo po l aczymy górny brzeg ostatniej p laszczyzny z dolnym brzegiem pierwszej. Zawsze l aczymy punkty o tych samych wspó lrzednych. Otrzymana n w ten sposób n-listna powierzchnia przedstawia powierzchnie Riemanna pe lnej funkcji z. Na jednym liściu tej powierzchni rozmieśćmy wartości jednoznacznej ga l ezi naszej funkcji, a na każdym nastepnym liściu wartości tej ga l ezi pomnożonej przez e 2πi/n. W ten sposób n każdej wartości funkcji z zostaje przyporzadkowany dok ladnie jeden punkt powierzchni i n na odwrót. Na tej powierzchni z jest funkcja jednoznaczna. 4 Szeregi funkcyjne 4. Szeregi liczbowe Definicja 4. Szereg a 0 + a + a = a n o dowolnych wyrazach zespolonych nazywamy zbieżnym do sumy s, gdy ciag sum czastkowych s n = n k=0 a n, n N, jest zbieżny do granicy s. 23
24 Definicja 4.2 Szereg a n nazywamy: i) bezwzgl ednie zbieżnym jeśli a n jest zbieżny, ii) warunkowo zbieżnym jeśli jest zbieżny ale nie jest bezwgl ednie zbieżny. Twierdzenie 4. i) Jeżeli szereg a n jest zbieżny, to lim n a n = 0. ii) Szereg bezwzglednie zbieżny jest zbieżny przy dowolnym uporzadkowaniu wyrazów i jego suma nie zależy od porzadku wyrazów. iii) Szereg a n, gdzie a n = α n +iβ n, jest zbieżny do sumy s = α+β wtedy i tylko wtedy, gdy szeregi α n i β n sa zbieżne tzn. α n = α i β n = β. Twierdzenie 4.2 (Kryterium porównawcze) Jeżeli dla prawie wszystkich wyrazów szeregu a n zachodzi nierówność a n A n i szereg A n jest zbieżny, to szereg a n jest zbieżny bezwzglednie. Twierdzenie 4.3 (Kryterium d Alamberta) Szereg a a n jest bezwzglednie zbieżny, gdy lim n+ n a n < oraz rozbieżny, gdy lim n a n+ a n >. Twierdzenie 4.4 (Kryterium Cauchy ego) Szereg a n jest bezwzglednie zbieżny, gdy lim sup n n a n < oraz rozbieżny, gdy lim sup n n a n >. Twierdzenie 4.5 (Kryterium Dirichleta) Szereg a nb n jest zbieżny, jeśli wyrazy a n sa rzeczywiste, dodatnie i ze wzrostem n maleja do zera, a ciag sum czastkowych szeregu b n jest ograniczony. Przyk lad 4. Szereg z n n= jest zbieżny dla z =, z, bo przyjmuj ac n a n =, b n n = z n, z = i z > η otrzymamy s n = z + z z n = z( z n ) z < 2 η, a wiec za lożenia kryterium Dirichleta sa spe lnione. Zauważmy, że ten szereg nie jest zbieżny bezwglednie dla z takich, że z =, ponieważ z n n= n = n= =. n 24
25 4.2 Rodzaje zbieżności szeregów funkcyjnych Definicja 4.3 Niech D C zbiór (czesto otwarty lub obszar), f n : D C ciag funkcji. Powiemy, że szereg funkcyjny n= f n(z) jest zbieżny w D jeżeli ciag {s n (z) = n k= f k(z)} jest zbieżny w D tzn. jeśli granica lim n s n (z) = s(z) jest funkcja dobrze określona w zbiorze D. Taki rodzaj zbieżności nazywamy zbieżnościa punktowa. Zbieżność w D nazywamy jednostajna, jeśli ɛ N(ɛ) n > N(ɛ) z D s n (z) s(z) < ɛ. Warunek jednostajnej zbieżności szeregu n= f n(z) można także sformu lować nastepuj aco: ɛ N(ɛ) n > N(ɛ) z D n=n+ f n (z) < ɛ. Funkcje graniczna s(z) = lim n s n (z) nazywamy suma danego szeregu. Uwaga 4. Niech D C zbiór otwarty (lub obszar), f n : D C ciag funkcji ciag lych. Jeżeli ciag funkcyjny (szereg funkcyjny n= f n(z)) jest zbieżny jednostajnie w D, to granica ciagu (suma szeregu) jest funkcja ciag l a w D. Twierdzenie 4.6 (Weierstrassa) Szereg n= f n(z) jest zbieżny jednostajnie w zbiorze D C, jeśli istnieje ciag liczbowy {a n } n= taki, że n N, f n (z) a n i szereg n= a n jest zbieżny. Definicja 4.4 Niech D C, f n : D C ciag funkcji. Szereg funkcyjny n= f n(z) nazywamy zbieżnym niemal jednostajnie w zbiorze D, jeśli jest on zbieżny jednostajnie na każdym zwartym podzbiorze zbioru D. Uwaga 4.2 Zbieżność jednostajna można czesto zastapić zbieżnościa niemal jednostajna. Granica zbieżnego niemal jednostajnie ciagu (szeregu) funkcji ciag lych jest funkcja ciag l a. 25
26 4.3 Szeregi pot egowe Definicja 4.5 Szeregiem pot egowym o środku w punkcie z 0 nazywamy szereg postaci gdzie a n C. a n (z z 0 ) n, (4.) Definicja 4.6 Promieniem zbieżności szeregu potegowego (4.) nazywamy kres górny zbioru tych liczb r, że dany szereg jest zbieżny w kole {z : z z 0 < r}. Wzór Cauchy ego-hadamarda Niech dany b edzie szereg pot egowy (4.) i lim sup n n an = R, (4.2) gdzie 0 R (przyjmujemy, że =, = 0). Wówczas szereg (4.) jest zbieżny w 0 każdym punkcie z, dla którego z z 0 < R, i jest rozbieżny w każdym punkcie z, dla którego z z 0 > R. Dowód Niech 0 < R <. Wtedy dla każdego ɛ > 0 istnieje N N takie, że dla n N mamy n an < /R + ɛ. Stad [( ) n a n (z z 0 ) n < R + ɛ z z 0 ]. (4.3) Jeśli z z 0 < R, to ɛ można dobrać tak ma le, że spe lniona bedzie nierówność ( ) R + ɛ z z 0 = q <. Wówczas z (4.3) widać, że wyrazy szeregu (4.) dla n N sa majoryzowane przez wyrazy szeregu geometrycznego qn i w konsekwencji szereg (4.) jest zbieżny, gdy z z 0 < R. Z definicji granicy górnej wynika, że dla dowolnej liczby ɛ > 0 istnieje taki podciag n k, że n k a nk > /R ɛ. 26
27 Zatem a nk (z z 0 ) n k > [( ) nk R ɛ z z 0 ]. (4.4) Jeśli z z 0 > R, to liczbe ɛ można dobrać tak ma l a aby (/R ɛ) z z 0 >. Wówczas z (4.4) wynika, że a nk (z z 0 ) n k >, a w konsekwencji nie zachodzi warunek konieczny zbieżności szeregu (4.), wiec szereg ten jest rozbieżny dla z z 0 > R. Wniosek 4. Obszarem zbieżności szeregu potegowego (4.) jest ko lo {z : z z 0 < R}, gdzie R jest liczba wyznaczona ze wzoru Cauchy ego-hadamarda. Przyk lad 4.2. Szereg zn jest zbieżny w kole K(0, ) = {z : z < }, ponieważ lim sup n n an = R =. Jeśli z =, to szereg n= zn nie jest zbieżny, bo nie zachodzi warunek konieczny zbieżności - wyraz z n = e inφ ma modu l równy, czyli nie daży do zera. 2. Szereg z n n= n 2 oraz n N z n n 2 n 2. ( jest zbieżny w kole K(0, ) = {z : z }, ponieważ lim sup n n 2 n = R = n 2 <.) Zatem szereg jest zbieżny w kole i na brzegu. 3. Dla szeregu nn z n promień zbieżności R = 0, ponieważ lim sup n Szereg jest zbieżny tylko dla z = 0. n nn = lim sup n n = = R. Twierdzenie 4.7 (Abela) Jeżeli szereg potegowy a nz n jest zbieżny w punkcie z 0, to jest on bezwglednie zbieżny w kole K(0, z ) = {z : z < z } oraz jest zbieżny jednostajnie w każdym kole K(0, ρ), gdzie ρ < z. 27
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl. krzywej zamknietej
Indeks odwzorowania zmiennej zespolonej wzgl edem krzywej zamkni etej 1. Liczby zespolone - konstrukcja Hamiltona 2. Homotopia odwzorowań na okr egu 3. Indeks odwzorowania ciag lego wzgledem krzywej zamknietej
Bardziej szczegółowoc n (z z 0 ) n (2) Powiemy, że szereg Laurenta (2) jest zbieżny, jeśli każdy z szeregów zdefiniowanych w (1) jest f(z). Sume
Szeregi Laurenta, punkty osobliwe izolowane, klasyfikacja funkcji ze wzgl edu na osobliwości Dane s dwa szeregi postaci c n (z z 0 ) n i c n (z z 0 ) n. (1) n=1 1 Pierwszy z tych szeregów jest zbieżny
Bardziej szczegółowoWyk lady z funkcji zespolonych
Wyk lady z funkcji zespolonych III semestr 2009/0 oprac. Janina Kotus Spis treści. Poj ecia podstawowe str. 5. Rzut stereograficzny str. 5.2 Metryki w C i C str. 6 2. Funkcje zespolone str. 8 2. Granica
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Zadanie 1.1. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone (1) 1 i (2) (5)
. Liczby zespolone Zadanie.. Przedstawić w postaci a + ib, a, b R, następujące liczby zespolone () i +i, () 3i, (3) ( + i 3) 6, (4) (5) ( +i ( i) 5, +i 3 i ) 4. Zadanie.. Znaleźć moduł i argument główny
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZESPOLONE Lista zadań 2005/2006
FUNKJE ZESPOLONE Lista zadań 25/26 Opracowanie: dr Jolanta Długosz Liczby zespolone. Obliczyć wartości podanych wyrażeń: (2 + ) ( ) 2 4 i (5 + i); b) (3 i)( 4 + 2i); c) 4 + i ; d) ( + i) 4 ; e) ( 2 + 3i)
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoWyk lad 12. (ii) najstarszy wspó lczynnik wielomianu f jest elementem odwracalnym w P. Dowód. Niech st(f) = n i niech a bedzie
1 Dzielenie wielomianów Wyk lad 12 Ważne pierścienie Definicja 12.1. Niech P bedzie pierścieniem, który może nie być dziedzina ca lkowitości. Powiemy, że w pierścieniu P [x] jest wykonalne dzielenie z
Bardziej szczegółowoWyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste
Wyk lad 3 Wielomiany i u lamki proste 1 Konstrukcja pierścienia wielomianów Niech P bedzie dowolnym pierścieniem, w którym 0 1. Oznaczmy przez P [x] zbiór wszystkich nieskończonych ciagów o wszystkich
Bardziej szczegółowoKurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych
Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011 Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 12
Funkcje analityczne. Wykład 2 Szeregi Laurenta. Osobliwości funkcji zespolonych. Twierdzenie o residuach Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Plan wykładu W czasie wykładu omawiać
Bardziej szczegółowoz n n=1 S n nazywamy sum a szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny, nazywamy rozbieżnym. n=1
3 Szeregi zespolone 3. Szeregi liczbowe Mówimy, że szereg o wyrazach zespolonych jest zbieżny, jeżeli ci ag jego sum czȩściowych {S n }, gdzie S n = z + z +... + jest zbieżny do granicy w laściwej. Granicȩ
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ
FUNKCJE ZMIENNEJ ZESPOLONEJ MiNI - zbiór zadań (wybór i opracowanie zadań Agnieszka Badeńska) Spis treści I. Liczby zespolone dzia lania i w lasności 3 II. Pochodna funkcji zespolonej, holomorficzność
Bardziej szczegółowodkowanych par liczb rzeczywistych postaci z = (a, b). W zbiorze tym wprowadzamy dzia lania +, w naste dziemy z liczba
1. Liczby zespolone Cia lo liczb rzeczywistych be dziemy oznaczać symbolem R, pierścień liczb ca lkowitych symbolem Z, a zbiór liczb naturalnych symbolem N. Przyjmujemy, że 0 / N. Rozważmy zbiór C = R
Bardziej szczegółowoGrupy i cia la, liczby zespolone
Rozdzia l 1 Grupy i cia la, liczby zespolone Dla ustalenia uwagi, b edziemy używać nast epuj acych oznaczeń: N = { 1, 2, 3,... } - liczby naturalne, Z = { 0, ±1, ±2,... } - liczby ca lkowite, W = { m n
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera
Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera Określenie podpierścienia Definicja 9.. Podpierścieniem pierścienia (P, +,, 0, ) nazywamy taki podzbiór A P, który jest pierścieniem ze wzgledu
Bardziej szczegółowo1 + iϕ n. = cos ϕ + i sin ϕ. e n z n n n. c M n z n, c n z Mn.
WRAiT 2 #1 1. Dla jakich a C ciągi o wyrazach na n, a n 1 + a n, an /n, są zbieżne? 2. Wykaż zbieżność i znajdź granice ciągów n a k, a n 1 + a 2n ( a < 1), a n 1 + a 2n ( a > 1), 1 n 3. Dla danego ϕ R
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą. (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną?
1. Liczby zespolone 1.1. Stwierdzić kiedy kwadrat liczby zespolonej jest liczbą (i) rzeczywistą, (ii) ujemną, (iii) tylko urojoną? 1.2. Doprowadzić do postaci a + ib liczby zespolone (i) (1 13i)/(1 3i),
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. x 1
FUNKCJE LICZBOWE Zbiory postaci {x R: x a}, {x R: x a}, {x R: x < a}, {x R: x > a} oznaczane sa symbolami (,a], [a, ), (,a) i (a, ). Nazywamy pó lprostymi domknie tymi lub otwartymi o końcu a. Symbol odczytujemy
Bardziej szczegółowoWYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3
WYK LAD 5: GEOMETRIA ANALITYCZNA W R 3, PROSTA I P LASZCZYZNA W PRZESTRZENI R 3 Definicja 1 Przestrzenia R 3 nazywamy zbiór uporzadkowanych trójek (x, y, z), czyli R 3 = {(x, y, z) : x, y, z R} Przestrzeń
Bardziej szczegółowow teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak
Równania różniczkowe czastkowe w teorii funkcji. Dwa s lynne problemy. Micha l Jasiczak Horyzonty 2014 Podstawowy obiekt wyk ladu: funkcje holomorficzne wielu zmiennych Temat: dwa problemy, których znane
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. x + 2 = 0.
Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą
Bardziej szczegółowoWYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I. dr. Elżbieta Kotlicka. Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki
WYKŁAD Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ I dr. Elżbieta Kotlicka Centrum Nauczania Matematyki i Fizyki http://im0.p.lodz.pl/~ekot Łódź 2006 Spis treści 1. CIĄGI LICZBOWE 2 1.1. Własności ciągów liczbowych o wyrazach
Bardziej szczegółowoEkonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja
Ekonomia matematyczna i dynamiczna optymalizacja Ramy wyk ladu i podstawowe narz edzia matematyczne SGH Semestr letni 2012-13 Uk lady dynamiczne Rozwiazanie modelu dynamicznego bardzo czesto można zapisać
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej
Wyk lad 7 Baza i wymiar przestrzeni liniowej 1 Baza przestrzeni liniowej Niech V bedzie przestrzenia liniowa. Powiemy, że podzbiór X V jest maksymalnym zbiorem liniowo niezależnym, jeśli X jest zbiorem
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowoRozdzia l 11. Przestrzenie Euklidesowe Definicja, iloczyn skalarny i norma. iloczynem skalarnym.
Rozdzia l 11 Przestrzenie Euklidesowe 11.1 Definicja, iloczyn skalarny i norma Definicja 11.1 Przestrzenia Euklidesowa nazywamy par e { X K,ϕ }, gdzie X K jest przestrzenia liniowa nad K, a ϕ forma dwuliniowa
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 3. Funkcje holomorficzne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) z = x + iy A
Funkcje analityczne Wykład 3. Funkcje holomorficzne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 206/207) Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Funkcje zespolone zmiennej zespolonej Niech A C. Funkcja
Bardziej szczegółowojest ciągiem elementów z przestrzeni B(R, R)
Wykład 2 1 Ciągi Definicja 1.1 (ciąg) Ciągiem w zbiorze X nazywamy odwzorowanie x: N X. Dla uproszczenia piszemy x n zamiast x(n). Przykład 1. x n = n jest ciągiem elementów z przestrzeni R 2. f n (x)
Bardziej szczegółowoMatematyka - semestr III
Matematyka - semestr III Spis treści Analiza zespolona 4 Postacie liczby zespolonej i dzia lania na nich 4 2 Metryka w C, otoczenia i obszary 5 3 Pojecie funkcji, cześci rzeczywiste i urojone 6 4 Granica
Bardziej szczegółowoWykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne.
Wykład Matematyka A, I rok, egzamin ustny w sem. letnim r. ak. 2002/2003. Każdy zdający losuje jedno pytanie teoretyczne i jedno praktyczne. pytania teoretyczne:. Co to znaczy, że wektory v, v 2 i v 3
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) dla każdego s = (s.
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) 1 Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne. Paweł Mleczko. Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018)
Funkcje analityczne Wykład 4. Odwzorowania wiernokątne Paweł Mleczko Funkcje analityczne (rok akademicki 2017/2018) 1. Przekształcenia płaszczyzny Płaszczyzna jako przestrzeń liniowa, odwzorowania liniowe
Bardziej szczegółowoWyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne
Wyk lad 1 Podstawowe struktury algebraiczne 1 Dzia lanie w zbiorze Majac dane dowolne dwa przedmioty a b możemy z nich utworzyć pare uporzadkowan a (a b) o poprzedniku a i nastepniku b. Warunek na równość
Bardziej szczegółowoWyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm 1 Grupa ilorazowa Niech H b edzie dzielnikiem normalnym grupy G. Oznaczmy przez G/H zbiór wszystkich warstw lewostronnych grupy G wzgl edem podgrupy
Bardziej szczegółowo6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek
6. Punkty osobliwe, residua i obliczanie całek Mówimy, że funkcja holomorficzna f ma w punkcie a zero krotności k, jeśli f(a) = f (a) = = f (k ) (a) = 0, f (k) (a) 0. Rozwijając f w szereg Taylora w otoczeniu
Bardziej szczegółowo4. Równania Cauchy ego Riemanna. lim. = c.. dz z=a Zauważmy, że warunkiem równoważnym istnieniu pochodnej jest istnienie liczby c C, takiej że
4. Równania Caucy ego Riemanna Niec Ω C będzie zbiorem otwartym i niec f : Ω C. Mówimy, że f ma w punkcie a Ω pocodną w sensie zespolonym (jest olomorficzna w a równą c C, jeśli f(z f(a lim = c. z a Piszemy
Bardziej szczegółowoNiezb. ednik matematyczny. Niezb. ednik matematyczny
Niezb ednik matematyczny Niezb ednik matematyczny Liczby zespolone I Rozważmy zbiór R R (zbiór par liczb rzeczywistych) i wprowadźmy w nim nastepuj ace dzia lania: z 1 + z 2 = (x 1, y 1 ) + (x 2, y 2 )
Bardziej szczegółowoWyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania
Wyk lad 9 Przekszta lcenia liniowe i ich zastosowania 1 Przekszta lcenia liniowe i ich w lasności Definicja 9.1. Niech V i W bed przestrzeniami liniowymi. Przekszta lcenie f : V W spe lniajace warunki:
Bardziej szczegółowoFunkcje dwóch zmiennych
Funkcje dwóch zmiennych Je zeli ka zdemu punktowi P o wspó rzednych x; y) z pewnego obszaru D na p aszczyźnie R 2 przyporzadkujemy w sposób jednoznaczny liczb e rzeczywista z, to przyporzadkowanie to nazywamy
Bardziej szczegółowoIII. Funkcje rzeczywiste
. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y. Definicja. Jeżeli każdemu elementowi x X przyporządkujemy dokładnie jeden element y Y, to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja
Bardziej szczegółowoZagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych
Temat 7 Zagadnienia brzegowe dla równań eliptycznych Rozważmy płaski obszar R 2 ograniczony krzywą. la równania Laplace a (Poissona) stawia się trzy podstawowe zagadnienia brzegowe. Zagadnienie irichleta
Bardziej szczegółowoANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ
ANALIZA MATEMATYCZNA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI MATEMATYCZNEJ FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH RZECZYWISTYCH Definicja 1. Niech A będzie dowolnym niepustym zbiorem. Metryką w zbiorze A nazywamy funkcję rzeczywistą
Bardziej szczegółowoP (x, y) + Q(x, y)y = 0. g lym w obszrze G R n+1. Funkcje. zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja
19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne
Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne 1 Warstwy grupy wzgl edem podgrupy Niech H bedzie podgrupa grupy (G,, e). W zbiorze G wprowadzamy relacje l oraz r przyjmujac, że dla dowolnych a, b G: a l b a 1 b
Bardziej szczegółowoWyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera
Wyk lad 4 Macierz odwrotna i twierdzenie Cramera 1 Odwracanie macierzy I n jest elementem neutralnym mnożenia macierzy w zbiorze M n (R) tzn A I n I n A A dla dowolnej macierzy A M n (R) Ponadto z twierdzenia
Bardziej szczegółowoWyk lad 5. Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu. 1. Granice niew laściwe
Analiza dla informatyków 1 DANI LI1 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Granice niew laściwe Definicja 1 Ci ag (x n ) d aży do (jest rozbieżny do) + jeśli c R N n > N x n > c a do
Bardziej szczegółowoFUNKCJE ANALITYCZNE. Zbigniew B locki. Spis treści
FUNKCJE ANALITYCZNE JEDNOSEMESTRALNY WYK LAD DLA SEKCJI NIETEORETYCZNYCH INSTYTUT MATEMATYKI UJ, 2008 Zbigniew B locki Spis treści 1. Podstawowe w lasności liczb zespolonych 2 2. Różniczkowanie funkcji
Bardziej szczegółowoAM1.2 zadania 14. Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka
AM.2 zadania 4 Tekst poprawiony 24 kwietnia 206 r. Zadania 26, 28, 29, 3, 33, 34, 35, 36, 40, 42, 62 i inne z wykrzyknikiem obok numeru sa obowiazkowe! Zadania z numerami opatrzonymi gwiazdka można napisać
Bardziej szczegółowoIX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,
IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy
Bardziej szczegółowoMiNI Akademia Matematyki na Politechnice Warszawskiej
MiNI Akademia Matematyki na Politechnice Warszawskiej Krzysztof Che lmiński Okr egi i styczne MiNI PW, 14.10.2017 Podstawowe twierdzenia wykorzystywane w zadaniach z ćwiczeń Twierdzenie 1 (najmocniesze
Bardziej szczegółowoWykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu r
Wykład 5. Zagadnienia omawiane na wykładzie w dniu 14.11.2018r Definicja (iloraz różnicowy) Niech x 0 R oraz niech funkcja f będzie określona przynajmnniej na otoczeniu O(x 0 ). Ilorazem różnicowym funkcji
Bardziej szczegółowoWyk lad 11 1 Wektory i wartości w lasne
Wyk lad 11 Wektory i wartości w lasne 1 Wektory i wartości w lasne Niech V bedzie przestrzenia liniowa nad cia lem K Każde przekszta lcenie liniowe f : V V nazywamy endomorfizmem liniowym przestrzeni V
Bardziej szczegółowoWYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE
WYK LAD 2: PODSTAWOWE STRUKTURY ALGEBRAICZNE, PIERWIASTKI WIELOMIANÓW, ROZK LAD FUNKCJI WYMIERNEJ NA U LAMKI PROSTE Definicja 1 Algebra abstrakcyjna nazywamy teorie, której przedmiotem sa dzia lania na
Bardziej szczegółowoWyk lad 14 Cia la i ich w lasności
Wyk lad 4 Cia la i ich w lasności Charakterystyka cia la Określenie cia la i w lasności dzia lań w ciele y ly omówione na algerze liniowej. Stosujac terminologie z teorii pierścieni możemy powiedzieć,
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Ciągłość. 6.1 Granica funkcji
Rozdział 6 Ciągłość 6.1 Granica funkcji Podamy najpierw dwie definicje granicy funkcji w punkcie i pokażemy ich równoważność. Definicja Cauchy ego granicy funkcji w punkcie. Niech f : X R, gdzie X R oraz
Bardziej szczegółowoZadania z funkcji zespolonych. III semestr
Zadania z funkcji zespolonych III semestr 1 Spis treści 1. Liczby zespolone - dzia lania i w lasności Zad. 1 1. Pochodna funkcji zmiennej zespolonej, holomorficzność Zad. 11-19 3. Funkcje elementarne Zad.
Bardziej szczegółowoMatematyka A, klasówka, 24 maja zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le. rozwia
Matematyka A, klasówka, 4 maja 5 Na prośbe jednej ze studentek podaje zania zadań z kolokwium z matematyki A w nadziei, że pope lni lem wielu b le dów Podać definicje wektora w lasnego i wartości w lasnej
Bardziej szczegółowoII. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
II. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1. Zbiory w przestrzeni R n Ustalmy dowolne n N. Definicja 1.1. Zbiór wszystkich uporzadkowanych układów (x 1,..., x n ) n liczb rzeczywistych, nazywamy przestrzenią n-wymiarową
Bardziej szczegółowoAnaliza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu
Analiza dla informatyków 2 DANI LI2 Pawe l Domański szkicowe notatki do wyk ladu Wyk lad 5 1. Iloczyn ortogonalny funkcji Wróćmy na chwilȩ do dowodu wzorów Eulera-Fouriera. Kluczow a rolȩ odgrywa l wzór:
Bardziej szczegółowoWykład 15. Matematyka 3, semestr zimowy 2011/ listopada 2011
Wykład 5 Matematyka 3, semestr zimowy / 9 listopada W trakcie tego i następnych kilku wykładów zajmować się będziemy analizą zespoloną, czyli różniczkowaniem i całkowaniem funkcji argumentu zespolonego
Bardziej szczegółowo6. FUNKCJE. f: X Y, y = f(x).
6. FUNKCJE Niech dane będą dwa niepuste zbiory X i Y. Funkcją f odwzorowującą zbiór X w zbiór Y nazywamy przyporządkowanie każdemu elementowi X dokładnie jednego elementu y Y. Zapisujemy to następująco
Bardziej szczegółowoNiech X bȩdzie dowolnym zbiorem. Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x y zamiast x, y P ) o w lasnościach:
Teoria miary WPPT IIr semestr zimowy 2009 Wyk lad 4 Liczby kardynalne, indukcja pozaskończona DOBRY PORZA DEK 14/10/09 Niech X bȩdzie dowolnym zbiorem Dobry porz adek to relacja P X X (bȩdziemy pisać x
Bardziej szczegółowoRozdział 2. Liczby zespolone
Rozdział Liczby zespolone Zbiór C = R z działaniami + oraz określonymi poniżej: x 1, y 1 ) + x, y ) := x 1 + x, y 1 + y ), 1) x 1, y 1 ) x, y ) := x 1 x y 1 y, x 1 y + x y 1 ) ) jest ciałem zob rozdział
Bardziej szczegółowo1 Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.
Przestrzenie unitarne i przestrzenie Hilberta.. Wykazać, że iloczyn skalarny w przestrzeni wektorowej X nad cia lem K ma nastepuj ace w lasności: (i) x, y + z = x, y + x, z, (ii) x, λy = λ x, y, (iii)
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE W LASNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH
PODSTAWOWE W LASNOŚCI DZIA LAŃ I NIERÓWNOŚCI W ZBIORZE LICZB RZECZYWISTYCH W dalszym cia gu be dziemy zajmować sie g lównie w lasnościami liczb rzeczywistych, funkcjami określonymi na zbiorach z lożonych
Bardziej szczegółowostosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego dy dx = lim y wielkości fizycznej x, y = f(x), to pochodna dy v = ds edkości wzgl edem czasu, a = dv
Matematyka Pochodna Pochodna funkcji y = f(x) w punkcie x nazywamy granice, do której daży stosunek przyrostu funkcji y do odpowiadajacego mu przyrostu zmiennej niezaleźnej x, g przyrost zmiennej daży
Bardziej szczegółowoSterowalność liniowych uk ladów sterowania
Sterowalność liniowych uk ladów sterowania W zadaniach sterowania docelowego należy przeprowadzić obiekt opisywany za pomoc a równania stanu z zadanego stanu pocz atkowego ẋ(t) = f(x(t), u(t), t), t [t,
Bardziej szczegółowoFunkcje Analityczne, ćwiczenia i prace domowe
Funkcje Analityczne, ćwiczenia i prace domowe P. Wojtaszczyk 29 maja 22 Ten plik będzie progresywnie modyfikowany. Będzie on zawierał. Zadanie omówione na ćwiczeniach 2. Zadania ćwiczebne do samodzielnego
Bardziej szczegółowoRozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.
Rozdział 5 Szeregi liczbowe 5. Szeregi liczbowe Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy ( ). Ciąg (s n ) określony wzorem s n = n a j, n N, nazywamy ciągiem sum częściowych ciągu
Bardziej szczegółowoZestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala
Zestaw nr 6 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji. Regu la de l Hospitala November 12, 2009 Przyk ladowe zadania z rozwi azaniami Zadanie 1. Oblicz pochodne nastȩpuj
Bardziej szczegółowoELEKTROTECHNIKA Semestr 1 Rok akad / ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + 2j)(5 2j),
ELEKTROTECHNIKA Semestr Rok akad. / 5 ZADANIA Z MATEMATYKI Zestaw. Przedstaw w postaci algebraicznej liczby zespolone: (3 + j)(5 j) 3 j +j (5 + j) (3 + j) 3. Narysuj zbiory punktów na płaszczyźnie: +j
Bardziej szczegółowoDefinicja punktu wewnętrznego zbioru Punkt p jest punktem wewnętrznym zbioru, gdy należy do niego wraz z pewnym swoim otoczeniem
Definicja kuli w R n ulą o promieniu r>0 r R i o środku w punkcie p R n nazywamy zbiór {x R n : ρ(xp)
Bardziej szczegółowoZadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji, przebieg zmienności funkcji
Zadania z analizy matematycznej - sem. I Pochodne funkcji przebieg zmienności funkcji Definicja 1. Niech f : (a b) R gdzie a < b oraz 0 (a b). Dla dowolnego (a b) wyrażenie f() f( 0 ) = f( 0 + ) f( 0 )
Bardziej szczegółowoInformacja o przestrzeniach Hilberta
Temat 10 Informacja o przestrzeniach Hilberta 10.1 Przestrzenie unitarne, iloczyn skalarny Niech dana będzie przestrzeń liniowa X. Załóżmy, że każdej parze elementów x, y X została przyporządkowana liczba
Bardziej szczegółowoSIMR 2016/2017, Analiza 2, wykład 1, Przestrzeń wektorowa
SIMR 06/07, Analiza, wykład, 07-0- Przestrzeń wektorowa Przestrzeń wektorowa (liniowa) - przestrzeń (zbiór) w której określone są działania (funkcje) dodawania elementów i mnożenia elementów przez liczbę
Bardziej szczegółowoPochodną funkcji w punkcie (ozn. ) nazywamy granicę ilorazu różnicowego:
Podstawowe definicje Iloraz różnicowy funkcji Def. Niech funkcja będzie określona w pewnym przedziale otwartym zawierającym punkt. Ilorazem różnicowym funkcji w punkcie dla przyrostu nazywamy funkcję Pochodna
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.
Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika
Bardziej szczegółowo1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012
1. Liczby zespolone Jacek Jędrzejewski 2011/2012 Spis treści 1 Liczby zespolone 2 1.1 Definicja liczby zespolonej.................... 2 1.2 Postać kanoniczna liczby zespolonej............... 1. Postać
Bardziej szczegółowoFunkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa.
Funkcje - monotoniczność, różnowartościowość, funkcje parzyste, nieparzyste, okresowe. Funkcja liniowa. Monotoniczność i różnowartościowość. Definicja 1 Niech f : X R, X R. Funkcję f nazywamy rosnącą w
Bardziej szczegółowoBlok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie. c) c n = 1 ( 1)n n. d) a n = 1 3, a n+1 = 3 n a n. e) a 1 = 1, a n+1 = a n + ( 1) n
V. Napisz 4 początkowe wyrazy ciągu: Blok V: Ciągi. Różniczkowanie i całkowanie a) a n = n b) a n = n + 3 n! c) a n = n! n(n + ) V. Oblicz (lub zapisz) c, c 3, c k, c n k dla: a) c n = 3 n b) c n = 3n
Bardziej szczegółowoFunkcje analityczne. Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017)
Funkcje analityczne Wykład 1. Co to są i do czego służą funkcje analityczne? Funkcje analityczne (rok akademicki 2016/2017) Paweł Mleczko Uniwersytet im. Adama Mickiewicza w Poznaniu 1. Sprawy organizacyjne
Bardziej szczegółowoDefinicja i własności wartości bezwzględnej.
Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności
Bardziej szczegółowoPrzestrzenie metryczne. Elementy Topologii. Zjazd 2. Elementy Topologii
Zjazd 2 Przestrzenia metryczna (X, d) nazywamy parę złożona ze zbioru X i funkcji d : X X R, taka, że 1 d(x, y) 0 oraz d(x, y) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = y, 2 d(x, y) = d(y, x), 3 d(x, z) d(x, y)
Bardziej szczegółowoAgata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU
Agata Boratyńska Zadania z matematyki Agata Boratyńska ZADANIA Z MATEMATYKI, I ROK SGH GRANICA CIĄGU. Korzystając z definicji granicy ciągu udowodnić: a) n + n+ = 0 b) n + n n+ = c) n + n a =, gdzie a
Bardziej szczegółowoDZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut
XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie
Bardziej szczegółowoSzeregi funkcyjne. Szeregi potęgowe i trygonometryczne. Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka
Szeregi funkcyjne Szeregi potęgowe i trygonometryczne Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Szeregi funkcyjne str. 1/36 Szereg potęgowy Szeregiem potęgowym o
Bardziej szczegółowoFUNKCJE LICZBOWE. Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y.
FUNKCJE LICZBOWE Na zbiorze X określona jest funkcja f : X Y gdy dowolnemu punktowi x X przyporządkowany jest punkt f(x) Y. Innymi słowy f X Y = {(x, y) : x X oraz y Y }, o ile (x, y) f oraz (x, z) f pociąga
Bardziej szczegółowog liczb rzeczywistych (a n ) spe lnia warunek
. Czy jest prawda, że a) R y R z R y + yz + = 0 ; b) R y R z R y + yz + 0 ; c) R y R z R y + yz + = 0 ; d) R y R z R y + yz + 0? 2. Czy jest prawdziwa nierówność a) ctg > ; b) tg < cos ; c) cos < sin ;
Bardziej szczegółowoMatematyka II. Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 2018/2019 wykład 13 (27 maja)
Matematyka II Bezpieczeństwo jądrowe i ochrona radiologiczna Semestr letni 208/209 wykład 3 (27 maja) Całki niewłaściwe przedział nieograniczony Rozpatrujemy funkcje ciągłe określone na zbiorach < a, ),
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy i całkowy 2016/17
Rachunek różniczkowy i całkowy 26/7 Zadania domowe w pakietach tygodniowych Tydzień 3-7..26 Zadanie O. Czy dla wszelkich zbiorów A, B i C zachodzą następujące równości: (A B)\C = (A\C) (B\C), A\(B\C) =
Bardziej szczegółowo2. Definicja pochodnej w R n
2. Definicja pochodnej w R n Niech będzie dana funkcja f : U R określona na zbiorze otwartym U R n. Pochodną kierunkową w punkcie a U w kierunku wektora u R n nazywamy granicę u f(a) = lim t 0 f(a + tu)
Bardziej szczegółowoWSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460
WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,
Bardziej szczegółowoWyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa. Wzory Cramera
Wyk lad 7 Metoda eliminacji Gaussa Wzory Cramera Metoda eliminacji Gaussa Metoda eliminacji Gaussa polega na znalezieniu dla danego uk ladu a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x n =
Bardziej szczegółowoci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1. Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji nx 2 + x
ci agi i szeregi funkcji Javier de Lucas Ćwiczenie 1 Zbadać zbieżność (punktow a i jednostajn a) ci agu funkcji f n : [, [ x nx + x nx + 1, Rozwi azanie: Mówi siȩ, że ci ag funkcji f n zd aży punktowo
Bardziej szczegółowoNormy wektorów i macierzy
Rozdzia l 3 Normy wektorów i macierzy W tym rozdziale zak ladamy, że K C. 3.1 Ogólna definicja normy Niech ψ : K m,n [0, + ) b edzie przekszta lceniem spe lniaj acym warunki: (i) A K m,n ψ(a) = 0 A = 0,
Bardziej szczegółowoWyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych
Wyk lad 6 Podprzestrzenie przestrzeni liniowych 1 Określenie podprzestrzeni Definicja 6.1. Niepusty podzbiór V 1 V nazywamy podprzestrzeni przestrzeni liniowej V, jeśli ma on nastepuj ace w lasności: (I)
Bardziej szczegółowoPisemny egzamin dyplomowy. na Uniwersytecie Wroc lawskim. na kierunku matematyka. zadania testowe. 22czerwca2009r. 60 HS-8-8
EGZAMIN DYPLOMOWY, cze ść I (testowa) 22.06.2009 INSTRUKCJE DOTYCZA CE WYPE LNIANIA TESTU 1. Nie wolno korzystać z kalkulatorów. 2. Sprawdzić, czy wersja testu podana na treści zadań jest zgodna z wersja
Bardziej szczegółowoMatematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAEW101
Analiza Matematyczna MAEW Wydział Elektroniki Listy zadań nr 8-4 (część II) na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykłady i zadania, GiS, Wrocław 5 M.Gewert, Z Skoczylas,
Bardziej szczegółowo