REPETYTORIUM Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ

Transkrypt

1 MONIKA FABIJAŃCZYK ANNA WARĘŻAK REPETYTORIUM Z ANALIZY MATEMATYCZNEJ FUNKCJE JEDNEJ ZMIENNEJ DEFINICJE TWIERDZENIA PRZYKŁADY I KOMENTARZE Skrypt dla studentów przygotowujących się do egzaminu licencjackiego oraz studentów studiów magisterskich z matematyki WYDAWNICTWO UNIWERSYTETU ŁÓDZKIEGO ŁÓDŹ 2003

2 SPIS TREŚCI Wstęp... 7 Rozdział I. Logika i rachunek zbiorów Rachunek zdań Rachunek zbiorów Relacje dwuczłonowe Funkcje Rozdział II. Zbiory liczbowe Aksjomatyka liczb rzeczywistych Przedziały, kresy zbiorów liczbowych, wartość bezwzględna Liczby naturalne, wymierne i niewymierne Potęgi, pierwiastki i logarytmy Rozszerzony zbiór liczb rzeczywistych Rozdział III. Funkcje rzeczywiste zmiennej rzeczywistej Funkcje elementarne Podstawowe definicje dotyczące funkcji Rozdział IV. Ciągi liczbowe Podstawowe definicje Granica ciągu liczbowego Rozdział V. Szeregi liczbowe Podstawowe definicje i własności Kryteria zbieżności szeregów Prawa łączności i przemienności dla szeregów Iloczyn szeregów Rozdział VI. Granica funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej Granica funkcji w punkcie skończonym Granica funkcji w nieskończoności Granice jednostronne Twierdzenia stosowane przy obliczaniu granic funkcji Asymptoty Ciągłość funkcji... 88

3 Rozdział VII. Pochodna funkcji Definicja i podstawowe własności pochodnej Twierdzenia o pochodnych Pochodna n tego rzędu Różniczka funkcji Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego Wzory Taylora i Maclaurina Twierdzenia o granicach nieoznaczonych Ekstrema funkcji Funkcje wypukłe i wklęsłe Badanie przebiegu zmienności funkcji Rozdział VIII. Całka nieoznaczona Definicja i podstawowe własności całki Techniki całkowania funkcji wymiernych, niewymiernych i trygonometrycznych Rozdział IX. Całka Riemanna Definicja całki Riemanna Interpretacja geometryczna i fizyczna całki oznaczonej Własności całki oznaczonej Przybliżone metody obliczania całek oznaczonych Zastosowania całek oznaczonych Całka niewłaściwa Rozdział X. Ciągi i szeregi funkcyjne Zbieżność ciągu i szeregu funkcyjnego Różniczkowanie i całkowanie granicy ciągu i szeregu funkcyjnego Ogólne własności szeregu potęgowego Rozwijanie funkcji w szereg potęgowy Rozdział XI. Przestrzeń metryczna Podstawowe definicje Ciągi w przestrzeniach metrycznych Odwzorowania w przestrzeniach metrycznych Rozdział XII. Dodatek. Konstrukcje zbiorów liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych Liczby naturalne Liczby całkowite

4 12.3. Liczby wymierne Liczby rzeczywiste Liczby zespolone Skorowidz Literatura WSTĘP Skrypt opracowany został na podstawie listy zagadnień z zakresu analizy matematycznej, których znajomość jest wymagana na egzaminie dyplomowym po studiach licencjackich prowadzonych na Wydziale Matematyki Uniwersytetu Łódzkiego. Zakres materiału został nieznacznie rozszerzony, aby opracowanie mogło służyć także studentom studiów magisterskich jako repetytorium z rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej zmiennej. Przeznaczony jest on dla studentów pragnących usystematyzować materiał poznany podczas wykładów kursowych. Opracowanie zawiera precyzyjne sformułowania definicji i twierdzeń z pominięciem dowodów, jednocześnie zamieszczone zostały odnośniki do literatury, w której znajdują się podane twierdzenia wraz z dowodami. Aby zrekompensować brak dowodów, podane zostały liczne przykłady wskazujące na niezbędność niektórych założeń występujących w twierdzeniach i wszechstronnie ilustrujące omawianą problematykę. Autorki zrezygnowały z daleko idących uogólnień podanych twierdzeń, kładąc nacisk na jasność i intuicyjność sformułowań. Ponieważ przewiduje się, że równolegle do niniejszego opracowania czytelnik zapoznaje się z podstawami algebry, toteż bez komentarzy stosuje się takie pojęcia jak ciało, pierścień, izomorfizm, a teoria liczb zespolonych została tylko zasygnalizowana. Do listy zagadnień dołączony został rozdział I pt. Logika i rachunek zbiorów, ponieważ wydawał się niezbędny do pełnego zrozumienia dalszej części skryptu. Z myślą o kształceniu nauczycieli został opracowany paragraf 1.4. Funkcje. Oprócz definicji funkcji jako relacji, spełniającej pewne warunki, zamieszczona została tutaj nieco bardziej intuicyjna, aczkolwiek mniej precyzyjna definicja funkcji, spotykana w nauczaniu na poziomie gimnazjum i szkoły średniej. Omówiono także w sposób możliwie przystępny liczne klasy funkcji, a także pojęcie funkcji odwrotnej i funkcji złożonej. W rozdziale II pt. Liczby zamieszczono aksjomatykę liczb rzeczywistych, a następnie zdefiniowano zbiory liczb naturalnych, całkowitych, wymiernych i niewymiernych jako pewnych podzbiorów

5 zbioru liczb rzeczywistych. Nie zrezygnowano jednak z konstruowania zbiorów liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych, jako rozszerzeń zbioru liczb naturalnych. Takie podejście do rozważanego zagadnienia wydaje się bardziej naturalne i kształcące, zwłaszcza dla przyszłych nauczycieli matematyki. Konstrukcje te zamieszczono w końcowym rozdziale, jako dodatek. Rozdział III obejmuje zagadnienia dotyczące funkcji rzeczywistej zmiennej rzeczywistej. W rozdziałach IV i V zebrano podstawowe zagadnienia dotyczące ciągów i szeregów liczbowych, natomiast w rozdziale VI szczególnie ważną problematykę analizy matematycznej, związaną z pojęciem granicy funkcji. Rozdział ten zawiera także tematykę związaną z asymptotami wykresów funkcji ciągłością funkcji. Rozdział VII poświęcony został rachunkowi różniczkowemu funkcji rzeczywistej jednej zmiennej, a rozdziały VIII i IX rachunkowi całkowemu i niektórym jego zastosowaniom. Rozdział X zawiera definicje, twierdzenia, przykłady i komentarze dotyczące ciągów i szeregów funkcyjnych, w tym szczególnej ich klasy szeregów potęgowych. W rozdziale XI uogólnia się pojęcia i ich własności poznane w rozdziałach poprzednich, na przypadek przestrzeni metrycznej. Dużym ułatwieniem w posługiwaniu się książką powinien być skorowidz nazw i terminów wprowadzonych w tym opracowaniu. Autorki pragną serdecznie podziękować prof. dr. hab. Wojciechowi Kryszewskiemu za wnikliwe uwagi i propozycje zmian, które zostały wykorzystane przy ostatecznym opracowaniu skryptu.