Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 9 Różniczkowanie numeryczne

Transkrypt

1 Wprowadzenie do metod numerycznych Wykład 9 Różniczkowanie numeryczne Polsko-Japońska Wyższa Szkoła Technik Komputerowych Katedra Informatyki Stosowanej

2 Spis treści 1 Na czym polega różniczkowanie numeryczne 2 Interpolacja Newtona 3 4

3 Spis treści 1 Na czym polega różniczkowanie numeryczne 2 Interpolacja Newtona 3 4

4 Spis treści 1 Na czym polega różniczkowanie numeryczne 2 Interpolacja Newtona 3 4

5 Spis treści 1 Na czym polega różniczkowanie numeryczne 2 Interpolacja Newtona 3 4

6 Literatura 1 Baron B., Piątek Ł., Metody numeryczne w C++ Builder, Helion, Gliwice, Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J., Metody numeryczne, WNT, Warszawa, Kosma Z., Metody numeryczne dla zastosowań inżynierskich, Politechnika Radomska, Radom, Povstenko J., Wprowadzenie do metod numerycznych, Akademicka Oficyna Wydawnicza Exit, Warszawa, Ralston A., Wstęp do analizy numerycznej, PWN, Warszawa, Kącki E., Małolepszy A., Romanowicz A., Metody numeryczne dla inżynierów, Wyższa Szkoła Informatyki w Łodzi, Łódź, Vetterling W.T., Teukolsky S.A., Press W.H., Flannery B.P., Numerical Recipes, Cambridge University Press, Wikipedia

7 Dlaczego różniczkujemy numeryczne Definicja pochodnej f(x 2 ) f(x) f(x 1 ) α x 1 x x 2 Rys. 1: Definicja pochodnej

8 Dlaczego różniczkujemy numeryczne Definicja pochodnej d f (x) dx = lim h 0 f (x + h) f (x) h (1) gdzie h = x 2 x 1 Podstawowe wzory c = 0; x = 1; (x n ) = nx n 1 ; (1/x n ) = (n/x n+1 ); ( x) = 1/(2 x); (e x ) = e x ; (a x ) = a x ln a; (ln x) = 1/x; (sin x) = cos x; (cos x) = sin x; (tg x) = 1/cos 2 x; (ctg x) = 1/ sin 2 x (2)

9 Dlaczego różniczkujemy numeryczne Dwie trudności Potrzeba zastosowania metod numerycznych do różniczkowania pojawia się w dwu przypadkach: 1 funkcja jest określona w postaci stablicowanej; 2 analityczna postać funkcji jest bardzo skomplikowana. Rozwiązanie: w interesującym nas przedziale [a, b] zastępujemy funkcję f (x) przez jej funkcję interpolacyjną W (x) i stosujemy wzory na przybliżone wartości: f (x) W (x); f (x) W (x);... f (m) (x) W (m) (x) UWAGA: z faktu, że błąd interpolacji jest mały, wcale nie wynika że błąd pochodnej też jest mały! Może być wielki!

10 Wzór interpolacyjny Newtona N n (x) = y 0 + q y 0 + q(q 1) 2 y 0 + 2! q(q 1)(q 2) 3 y ! gdzie y 0 = f (x 0 ), q = x x 0 h q(q 1)... (q n + 1) n y 0 n! (3)

11 Pochodne w interpolacji Newtona f (x) N n(x) = 1 h [ y ! (2q 1) 2 y ! (3q2 6q + 2) 3 y ] 4! (4q3 18q q 6) 4 y (4) f (x) N n (x) = 1 [ 2 h 2 y 0 + (q 1) 3 y ] (5) 12 (6q2 18q + 11q) 4 y

12 Pochodne w interpolacji Newtona Wzory (4) i (5) upraszczają się dla punktów węzłowych, gdyż wtedy q = 0 i f (x 0 ) N n(x 0 ) = 1 [ y 0 1 h 2 2 y y 0 1 ] 4 4 y (6) f (x 0 ) N n (x 0 ) = 1 [ h 2 2 y 0 3 y y 0 5 ] 6 5 y 0... (7)

13 Pochodne w interpolacji Newtona Przykład Policzyć dla funkcji f (x), określoną przez poniższą tabelę, pierwszą i drugą pochodną w punkcie x = 1.0. x i y i y i 2 y i 3 y i 4 y i

14 Pochodne w interpolacji Newtona Przykład c.d. Podstawiamy do wzorów (6) i (7) określone wartości z tabeli: f (1.0) N n(1.0) = 1 [ ] = = f (1.0) N n (1.0) = 1 [ (0.1) ] = Dane w tablicy to wartości dla funkcji y = sinh x (y = cosh x i y = sinh x), a dokładne wartości, to y (1.0) = i y (1.0) =

15 Dowolne rozmieszczenie węzłów Wielomian interpolacyjny Lagrange a f (x) L n (x) = n k=0 1 ω n+1 (x) y k ω n+1 (x (8) k) x x k gdzie ω n+1 = (x x 0 )(x x 1 )... (x x n ), a ω n+1 = (x k x 0 )(x k x 1 )... (x k x k 1 )(x k x k+1 )... (x x n )

16 Dowolne rozmieszczenie węzłów Mamy zatem f (x) L n(x) = f (m) (x) L (m) n (x) = n ( ) 1 d ωn+1 (x) y k ω n+1 (x k) dx x x k k=0 n 1 d m ( ) ωn+1 (x) y k ω n+1 (x k) dx m x x k k=0 Czasami jest wygodniej korzystać ze wzorów w terminach wartości funkcji w węzłach, a jeszcze lepiej, gdy węzły rozmieszczone w jednakowych odstępach. (9) (10)

17 Jednakowe rozmieszczenie węzłów Wartości pierwszych i drugich pochodnych dla n = 2 (trzy punkty)

18 Jednakowe rozmieszczenie węzłów Wartości pierwszych i drugich pochodnych dla n = 3 (cztery punkty)

19 Przykład Dla funkcji określonej poniższą tabelą policz pierwszą i drugą pochodną w węzłach. x i y i

20 Przykład c.d. Wartości pierwszych pochodnych dla n = 3 (cztery punkty)

21 Przykład c.d. Wartości drugich pochodnych dla n = 3 (cztery punkty)

22 Przykład c.d. W tabeli podano wyniki dla funkcji y = sin x. Dokładne wartości pierwszej pochodnej (y = cos x) wynoszą y (0.5) = y (0.6) = y (0.7) = y (0.8) = Drugie pochodne powinny być takie, jak w tabeli, ale z dokładnością do znaku (dlaczego?).

23 Chcemy zróżniczkować numerycznie funkcję daną wzorem y = g e ikx (11) gdzie g amplituda, k liczba falowa, i pierwiastek z liczby 1. Wstawiamy (11) do ilorazu różnicowego (12) i otrzymujemy y i = y i+1 y i 1 + O(h 2 ) (12) 2h y j = g [e ] ik(x j +h) e ik(x j h) 2h = geikx j h [ e ikh e ikh] = i y j h sin kh (13)

24 Rozwijamy funkcję sin kh w szereg i dostajemy [ y j = iky j 1 k2 h 2 ] + O(k 4 h 4 ) 6 (14) Porównujemy (13) i (14) i mamy y = ikge ikx = iky co pozwala nam stwierdzić, że wzór różnicowy (12) jest dobrą aproksymacja pierwszej pochodnej w sytuacji, gdy 1 liczba falowa k jest mała; 2 długość fali λ = 2π/k jest duża. Wniosek: metody różnicowe można stosować dla zjawisk długofalowych, a aproksymacja tym lepsza im więcej punktów dyskretyzacji.

25 Zadanie domowe Sprawdź, czy i w jakich sytuacjach operator różnicowy drugiego rzędu jest dobrą aproksymacją drugiej pochodnej funkcji y = g e ikx

26 Koniec? :-( Interpolacja Newtona Koniec wykładu 9