KARTA PRZEDMIOTU. w języku polskim Analiza Matematyczna 3 w języku angielskim Mathematical Analysis 3 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW

Transkrypt

1 Kod przedmiotu Nazwa przedmiotu KARTA PRZEDMIOTU AM3_M w języku polskim Analiza Matematyczna 3 w języku angielskim Mathematical Analysis 3 USYTUOWANIE PRZEDMIOTU W SYSTEMIE STUDIÓW Kierunek studiów Forma studiów Poziom studiów Profil studiów Specjalność Matematyka Stacjonarne Studia I stopnia licencjackie Ogólnoakademicki Matematyka bankowa i ubezpieczeniowa Jednostka prowadząca przedmiot Osoba odpowiedzialna za przedmiot- koordynator przedmiotu Termin i miejsce odbywania zajęć Instytut Nauk Ekonomicznych i Informatyki Imię i nazwisko Prof. dr hab. Kazimierz Włodarczyk Kontakt wlkzxa@math.uni.lodz.pl Forma zajęć Miejsce realizacji Termin realizacji i konwersatorium Zajęcia w pomieszczeniu dydaktycznym Instytutu Nauk Ekonomicznych i Informatyki OGÓLNA CHARAKTERYSTYKA PRZEDMIOTU Semestr zimowy Status przedmiotu/przynależność do modułu Język wykładowy Semestry, na których realizowany jest przedmiot Wymagania wstępne Moduł treści podstawowych Przedmiot obowiązkowy III Polski Student powinien posiadać wiedzę dotyczącą: AM1_M, AM2_M, WDM_M, WDT_M. Formy zajęć Liczba godzin FORMY, SPOSOBY I METODY PROWADZENIA ZAJĘĆ ćwiczenia lektorat rok Sem estr Sposób realizacji zajęć Sposób zaliczenia zajęć Metody dydaktyczne konwersato rium seminariu m ZP PZ Samokszt ałcenie- ZBUN r s R s r s r s r S r s r S Zajęcia konwersatoryjne w grupach osobowych, 2 godziny tygodniowo wykładu, 2 godziny tygodniowo konwersatorium. egzamin ustny - kolokwia 1. wykład, analiza tekstu z dyskusją. Przedstawione są zagadnienia teoretyczne (twierdzenia, definicje, ilustrujące przykłady, stawiane są i rozwiązywane problemy, prezentowane są idee i możliwości stosowań, prezentowany jest rys historyczny oraz wskazywane są kontynuacje oraz związki z innymi działami matematyki. 2. pogadanka, własna działalność, zadania do

2 Przedmioty powiązane/moduł Wykaz literatury Podstawowa Uzupełniająca rozwiązania. Analizowane są zadania ilustrujące materiał teoretyczny zaprezentowany na wykładzie, konwersatorium prowadzone jest w formie pogadanki i ogólnej dyskusji. [1] J. Banaś, S. Wędrychowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, WNT, Warszawa, [2] W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I, II, PWN, Warszawa, [3] G. N. Berman, A problem book in mathematical analysis, [4] L. M. Drużkowski, Analiza matematyczna, Wydaw. UJ, [1] G. M. Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t. I-III, PWN, W-wa, [2] B. P. Demidowicz, Zbiór zadań z analizy matematycznej, Naukowa Książka, Lublin, [3] W. Kołodziej, Analiza matematyczna, PWN, W-wa, [4] W. I. Smirnow, Matematyka wyższa, PWN, Warszawa, [5] S. Prus, A. Stachura, Analiza funkcjonalna w zadaniach, PWN, Warszawa, [6] R. Kowalczyk, K. Niedziałomski, C. Obczyński, Matematyka dla studentów i kandydatów na wyższe uczelnie. Repetytorium. PWN, Warszawa CELE, TREŚCI I EFEKTY KSZTAŁCENIA Cele przedmiotu (ogólne, szczegółowe) C1 Zaznajomienie studenta z podstawowymi zagadnieniami dotyczącymi ciągów funkcyjnych. C2 Zaznajomienie studenta z podstawowymi zagadnieniami dotyczącymi szeregów funkcyjnych. C3 Zaznajomienie studenta z macierzami wielowskaźnikowymi, odwzorowaniami wieloliniowymi, różniczkowalnością w sensie Frecheta i Gateaux funkcji wielu zmiennych oraz związkami pomiędzy tymi pojęciami (ideami i stosowanymi metodami i technikami badawczymi). C4 Zaznajomienie studenta z wyznaczaniem ekstremów lokalnych funkcji rzeczywistych wielu zmiennych. C5 Zaznajomienie studenta z wyznaczaniem ekstremów funkcji uwikłanych, ekstremów warunkowych i ekstremów globalnych. Efekty kształceni a (kody) W1 Forma zajęć W1, W2 Treści programowe Temat Ciągi funkcyjne (w przestrzeniach metrycznych) Funkcja graniczna ciągu funkcyjnego. Zbieżność punktowa i jednostajna do funkcji granicznej, warunek konieczny i dostateczny zbieżności jednostajnej. Warunek Cauchy'ego zbieżności jednostajnej. Ciągłość granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych. Możliwość zmiany kolejności "przejść granicznych". Całkowalność i różniczkowalność granicy ciągu funkcyjnego. Szeregi funkcyjne (w przestrzeniach metrycznych) Zbieżność punktowa i jednostajna szeregu funkcyjnego. Warunek Cauchy'ego zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. "Wejście" z granicą, z całką oraz z pochodną pod znak sumy szeregu zbieżnego jednostajnie. Dowód, że funkcja ciągła posiada funkcję pierwotną. Twierdzenie Weierstrassa o jednostajnej aproksymacji funkcji ciągłej wielomianami. Kryteria jednostajnej zbieżności szeregów funkcyjnych: Weierstrassa, Dirichleta, Abela. Szeregi potęgowe: promień zbieżności, koło zbieżności, twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda, jednoznaczność, ciągłość i różniczkowalność sumy szeregu potęgowego w każdym punkcie koła zbieżności. Szereg Taylora (Maclaurina). Warunki rozwijalności funkcji w szereg Taylora (Maclaurina). Rozwijanie w szereg Taylora (Maclaurina) podstawowych funkcji elementarnych (między innymi: exp x, sin x, cos x, ln (1 + x), (1+x) α, arctg x; wykorzystując własności reszt w postaci Lagrange'a i Cauchy'ego oraz możliwość całkowania i różniczkowania szeregów). Twierdzenia Abela o wartościach granicznych dla szeregów potęgowych. Twierdzenie Abela o zbieżności iloczynu Cauchy'ego szeregów zbieżnych (uogólnienie tw. Martensa). Szeregi trygonometryczne (Fouriera) Liczba godzin 4 6

3 (informacyjnie). W1-W3 W1-W4 K_U01- K_U04 K_U01- K_U06, K-U08 K_U06, K_U23 Funkcje wielu zmiennych - różniczkowalność Odwzorowanie liniowe; iloczyn przekształceń liniowych; norma przekształcenia liniowego. Różniczkowalność: pochodne w sensie Frécheta i Gâteaux; różniczka zupełna; jednoznaczność wyznaczenia pochodnej; pochodna funkcji złożonej. Pochodne cząstkowe; różniczkowalność a istnienie pochodnych cząstkowych; macierz Jakobiego; jakobian; moduł pochodnej odwzorowania; odwzorowania klasy C 1. Twierdzenie o istnieniu i różniczkowalności funkcji odwrotnej; odwzorowania regularne; dyfeomorfizm; twierdzenie o przyrostach. Funkcja uwikłana; twierdzenie o istnieniu. Macierz k-wskaźnikowa n- wymiarowa i jej norma oraz odwzorowania k-liniowe; Pochodne wyższych rzędów oraz pochodne cząstkowe wyższych rzędów; Funkcje klasy C k. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema Wzór Taylora; Ekstrema: warunek konieczny istnienia ekstremum. Różniczka: dodadnia, ujemna oraz o nieokreślonym znaku; Warunki dostateczne istnienia ekstremum. Ekstrema funkcji uwikłanej. Ekstrema funkcji przy warunku: warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego, czynniki nieoznaczone Lagrange'a, warunki dostateczne istnienia ekstremum warunkowego. Ekstrema globalne. Elementy rachunku różniczkowego w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych. Ciągi funkcyjne (w przestrzeniach metrycznych) Funkcja graniczna ciągu funkcyjnego. Zbieżność punktowa i jednostajna do funkcji granicznej, warunek konieczny i dostateczny zbieżności jednostajnej. Warunek Cauchy'ego zbieżności jednostajnej. Ciągłość granicy jednostajnie zbieżnego ciągu funkcji ciągłych. Możliwość zmiany kolejności "przejść granicznych". Całkowalność i różniczkowalność granicy ciągu funkcyjnego. Szeregi funkcyjne (w przestrzeniach metrycznych) Zbieżność punktowa i jednostajna szeregu funkcyjnego. Warunek Cauchy'ego zbieżności jednostajnej szeregu funkcyjnego. "Wejście" z granicą, z całką oraz z pochodną pod znak sumy szeregu zbieżnego jednostajnie. Dowód, że funkcja ciągła posiada funkcję pierwotną. Twierdzenie Weierstrassa o jednostajnej aproksymacji funkcji ciągłej wielomianami. Kryteria jednostajnej zbieżności szeregów funkcyjnych: Weierstrassa, Dirichleta, Abela. Szeregi potęgowe: promień zbieżności, koło zbieżności, twierdzenie Cauchy'ego-Hadamarda, jednoznaczność, ciągłość i różniczkowalność sumy szeregu potęgowego w każdym punkcie koła zbieżności. Szereg Taylora (Maclaurina). Warunki rozwijalności funkcji w szereg Taylora (Maclaurina). Rozwijanie w szereg Taylora (Maclaurina) podstawowych funkcji elementarnych (między innymi: exp x, sin x, cos x, ln (1 + x), (1+x) α, arctg x; wykorzystując własności reszt w postaci Lagrange'a i Cauchy'ego oraz możliwość całkowania i różniczkowania szeregów). Twierdzenia Abela o wartościach granicznych dla szeregów potęgowych. Twierdzenie Abela o zbieżności iloczynu Cauchy'ego szeregów zbieżnych (uogólnienie tw. Martensa). Szeregi trygonometryczne (Fouriera) (informacyjnie). Funkcje wielu zmiennych różniczkowalność Odwzorowanie liniowe; iloczyn przekształceń liniowych; norma przekształcenia liniowego. Różniczkowalność: pochodne w sensie Frécheta i Gâteaux; różniczka zupełna; jednoznaczność wyznaczenia pochodnej; pochodna funkcji złożonej. Pochodne cząstkowe; różniczkowalność a istnienie pochodnych cząstkowych; macierz Jakobiego; jakobian; moduł pochodnej odwzorowania; odwzorowania klasy C 1. Twierdzenie o istnieniu i różniczkowalności funkcji odwrotnej; odwzorowania regularne; dyfeomorfizm; twierdzenie o przyrostach. Funkcja uwikłana; twierdzenie o istnieniu. 4 6

4 K_U Macierz k-wskaźnikowa n-wymiarowa i jej norma oraz odwzorowania k-liniowe; Pochodne wyższych rzędów oraz pochodne cząstkowe wyższych rzędów; Funkcje klasy C k. Funkcje wielu zmiennych - ekstrema Wzór Taylora; Ekstrema: warunek konieczny istnienia ekstremum. Różniczka: dodadnia, ujemna oraz o nieokreślonym znaku; Warunki dostateczne istnienia ekstremum. Ekstrema funkcji uwikłanej. Ekstrema funkcji przy warunku: warunek konieczny istnienia ekstremum warunkowego, czynniki nieoznaczone Lagrange'a, warunki dostateczne istnienia ekstremum warunkowego. Ekstrema globalne. Elementy rachunku różniczkowego w przestrzeniach nieskończenie wymiarowych. Efekty kształcenia Kod Student, który zaliczył przedmiot w zakresie WIEDZY Odniesienie do efektów kształcenia dla kierunku W1 Student zna tematykę związaną z ciągami funkcyjnymi. K_W01-K_W06 W2 W3 W4 U4 Student zna tematykę związaną z szeregami funkcyjnymi, szeregami potęgowymi oraz szeregami Taylora i Maclaurina. Student zna zagadnienia związane z macierzami wielowskaźnikowymi, odwzorowaniami wieloliniowymi oraz różniczkowalnością dowolnego rzędu funkcji wielu zmiennych. Student zna zagadnienia związane z ekstremami funkcji różniczkowalnych wielu zmiennych (ekstrema lokalne, rozwiązywanie równań funkcja uwikłana, ekstrema funkcji przy warunku, ekstrema globalne). K_W01-K_W06 K_W01-K_W07 K_W01-K_W07 w zakresie UMIEJĘTNOŚCI Student potrafi zbadać zbieżność punktową i jednostajną ciągu i szeregu funkcyjnego oraz potrafi zastosować twierdzenia o U1 przenoszeniu się własności funkcji ciągu i szeregu funkcyjnego na funkcję graniczną ciągu funkcyjnego i sumę szeregu funkcyjnego, odpowiednio. U2 Student potrafi wyznaczać macierze wielowskaźnikowe dla pochodnych stosownych rzędów funkcji wielu zmiennych. K_U16 U3 Student potrafi zbadać różniczkowalność funkcji wielu zmiennych. K_U12 Student potrafi wyznaczać ekstrema funkcji różniczkowalnych wielu zmiennych. K1 Efekty kształceni a (kody) w zakresie KOMPETENCJI Student potrafi formułować opinie na temat podstawowych zagadnień z zakresu ciągów funkcyjnych, szeregów funkcyjnych, szeregów potęgowych, odwzorowań liniowych i wieloliniowych oraz macierzy wielowskaźnikowych, różniczkowalności funkcji wielu zmiennych i ekstremów funkcji wielu zmiennych. Metody weryfikacji efektów kształcenia Egzamin ustny W1 W2 W3 W4 Egzamin pisemny Projekt Kolokwium U1 U2 U3 U4 K1 Sprawozdanie Referat/ prezentacja K_U01-K_U03, K_U07 K_U12, K_U15, K_U16 K_U24 K_K01-K_K07 Punkty ECTS Obciążenie studenta Forma aktywności Liczba punktów Liczba godzin ECTS Godziny kontaktowe z nauczycielem akademickim, w tym: Inne

5 wykłady 30 1,2 konwersatoria 30 1,2 Ćwiczenia Konsultacje przedmiotowe w ramach wykładów Konsultacje przedmiotowe w ramach konwersatorium/ćwiczeń 30 1,2 Łącznie godzin/punktów ECTS wynikających z zajęć kontaktowych z nauczycielem akademickim 90 3,6 Godziny bez udziału nauczyciela akademickiego wynikające z nakładu pracy studenta, w tym: Przygotowanie się do egzaminu + zdawanie egzaminu 35 1,4 Przygotowanie się do kolokwium zaliczeniowego 30 1,2 Przygotowanie się do zajęć, w tym studiowanie zalecanej literatury w ramach wykładów Przygotowanie się do zajęć, w tym studiowanie zalecanej literatury w ramach konwersatorium/ćwiczeń 20 0,8 Przygotowanie raportu, projektu, prezentacji, dyskusji Łącznie godzin/punktów ECTS wynikających z samodzielnej pracy studenta 85 3,4 Sumaryczna liczba godzin/punktów ECTS dla przedmiotu wynikająca z całego nakładu pracy studenta Odsetek godzin/punktów ECTS wynikających z zajęć kontaktowych z nauczycielem akademickim 51% 51%