M. Be±ka, Caªka Stochastyczna - zadania 1. Zadania z caªki stochastycznej

Transkrypt

1 M. Be±k, Cªk Stochstyczn - zdni 1 Mt. Fin. Gd«sk, Zdni z cªki stochstycznej We wszystkich zdnich dotycz cych procesów z czsem ci gªym w ktorych nic nie jest npisne o bzie stochstycznej zkªd si,»e jest on zupeªn. Zdni przy numerze których jest kóªko, to zdni, które s uzupeªnienim widomo±ci z wykªdu i z których b dzie si korzystªo n wykªdzie. Zdni z gwizdk, to zdni trudniejsze do smodzielnego rozwi zni. Zd. 1. Niech (Ω, F, P b dzie przestrzeni probbilistyczn. Oznczmy N = {A F : P (A = }. Niech G F b dzie pod σ - lgebr. Wykz,»e { σ(g, N = A F : } P (A B =. B G Zd. 2. Niech Ω = [,, F = L([,, P = e x dλ(x orz niech N = {A F : P (A = }. Oznczmy A t = {A F : (t, A lbo (t, A = }, t, G t = {A F : [t, A lbo [t, A = }, t. (i Wykz,»e dl k»dego t rodziny zbiorów A t i G t s σ - lgebrmi. (ii Wykz zwiernie G t A t, t. (iii Sprwdzi, czy A = {A t } t i G = {G t } t s ltrcjmi prwostronnie ci gªymi. (iv Sprwdzi równo± G t+ = A t, t. (v Wykz równo± σ(a t, N = σ(g t, N, t. Zd. 3. Niech (Ω, F, P b dzie przestrzeni probbilistyczn z ltrcj F = {F t } t, któr nie jest prwostronnie ci gª. Wykz,»e ltrcj F + = {F t+ } t jest prwostronnie ci gª. Zd. 4. Niech (Ω, F, F, P b dzie przestrzeni probbilistyczn z ltrcj F = {F t } t. Wykz,»e mo»emy skonstruow zupeªn bz stochstyczn (Ω, F, F, P, gdzie F = { F t } t tk,»e F F, F t F t dl t orz P F = P. Zd. 5. Niech Ω = [,, F = B([,, dp (x = e x dλ(x. Okre±lmy S : Ω [, wzorem S(ω = ω, ω Ω orz rodzin σ - lgebr Ft = σ(s t dl t. (i Wykz,»e rodzin {F t } t jest ltrcj orz udowodni nstepuj c równo± F t = σ(b([, t, {[t, }, t. (ii Niech F b dzie uzupeªnieniem F wzgl dem P. Oznczmy przez N F rodzin wszystkich zbiorów P - miry zero. Oznczmy F t = σ(ft, N, t. Wykz,»e (Ω, F, {F t } t, P jest zupeªn bz stochstyczn.

2 M. Be±k, Cªk Stochstyczn - zdni 2 (iii Wykz,»e S jest czsem ztrzymni wzgl dem ltrcji {F t } t orz udowodni równo± F S = F. (iv Wykz,»e nieujemn zmienn losow T n Ω jest czsem ztrzymni wzgl dem ltrcji {F t } t wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje stª s + tk,»e S T, P p.w. n [, s, T = s, P p.w. n [s,. Zd. 6. Niech (Ω, F, P b dzie zupeªn przestrzeni probbilistyczn. Okre±lmy N = {A F : P (A = } orz ltrcj { σ(n, t < 1, F t = t. F, t 1, Wykz,»e odwzorownie S : Ω [, ] jest czsem ztrzymni S = const., P - p.w. lub S jest zmienn losow (rozszerzon tk,»e S 1, P - p.w. Zd. 7. Niech (Ω, F, F, P b dzie przestrzeni probbilistyczn z ltrcj dyskretn F = {F n } n. Wykz,»e (i Odwzorownie T : Ω IN { } jest czsem ztrzymni wtedy i tyko wtedy, gdy {T = n} F n dl k»dego n. (ii A F T A {T = n} F n dl k»dego n, gdzie F T jest okre±lon nst puj co F T = {A F : A {T n} F n, n }. Zd. 8. W chwili zerowej cz stk znjduje si w punkcie. W chwili nst pnej (tzn. w chwili 1 cz stk przechodzi z prwdopodobie«stwem 1 2 do punktu 1, wzgl dnie te» z prwdopodobie«stwem 1 2 do punktu 1. W nst pnej chwili cz stk rusz ruchem jednostjnym w prwo z prwdopodobie«stwem 1 2, wzgl dnie w lewo z tym smym prwdopodobie«stwem. Mmy tu Ω = {(p, p, (p, l, (l, p, (l, l}, gdzie p ozncz ruch w prwo, l - ruch w lewo. Niech X n ozncz poªo»enie cz steczki w chwili n, z± F n = σ{x m : m n}. Przez T oznczmy pierwszy moment dotrci cz stki do punktu 1, tj. T (ω = inf{n : X n (ω = 1}. Wykz,»e T jest czsem ztrzymni orz wyznczy σ-lgebry F n i F T. Zd. 9. Niech {X n } n 1 b dzie ci giem niezle»nych zmiennych losowych o rozkªdzie jednostjnym n przedzile (, 1 i niech T = inf{ n : S n 1}. Wykz,»e T jest sko«czonym P -p.w. czsem ztrzymni wzgl dem ltrcji F n = σ{x m : m n} orz obliczy ET. Zd. 1. Niech {X n } n 1 b dzie ci giem niezle»nych zmiennych losowych o tkim smym rozkªdzie orz E X 1 <. Pondto niech T b dzie czsem ztrzymni wzgl dem ltrcji F n = σ{x m : m n} tkim,»e ET <. Wykz (to»smo± Wld ES T = E(T E(X 1. Zd. 11. Niech {X n } n 1 b dzie ci giem niezle»nych zmiennych losowych o rozkªdzie P {X n = 1} = P {X n = 1} = 1, n = 1, 2,... 2

3 M. Be±k, Cªk Stochstyczn - zdni 3 orz niech T = inf{ n : S n = 1}. Wykz,»e T jest sko«czonym czsem ztrzymni wzgl dem ltrcji F n = σ{x m : m n} orz ET =. Zd. 12. Rzucmy kostk do gry tk dªugo» otrzymmy wszystkie oczk. Znle¹ wrto± oczekiwn sumy wyrzuconych oczek. Zd. 13. Niech T b dzie czsem ztrzymni. Wykz,»e F T jest σ-lgebr. Zd. 14. Wykz,»e A F T A {T < t} F t dl k»dego t. Niech T b dzie czsem ztrzymni. Wykz,»e F F T. Czy st d wynik zupeªno± F T (wzgl dem P. Zd. 15. Zd. 16. Niech T b dzie czsem ztrzymni. Dl k»dego n IN okre±lmy T n (ω = [2n T (ω + 1] 2 n, ω Ω, gdzie [x] cz ± cªkowit x. Wykz,»e dl k»dego n IN tk okre±lone T n jest czsem ztrzymni orz T n T, gdy n. Wsk. [x] t [x] [t] x < [t + 1], t, x IR. Zd. 17. Niech T b dzie czsem ztrzymni orz niech odwzorownie S : Ω [, ] b dzie tkie,»e T = S, P - p.w. Sprwdzi, czy S jest czsem ztrzymni. Zd. 18. Niech F t = σ{sx : s t}, gdzie zmienn losow X m rozkªd P {X = ±1} = 1/2 orz niech T = inf{ t > : tx > }. Sprwdzi, czy T jest czsem ztrzymni. Niech X = {X t } t b dzie dptownym procesem cdlg. Wykz,»e gdy B IR jest zbiorem otwrtym, to Zd. 19. T (ω = inf{ t > : X t (ω B }, ω Ω jest czsem ztrzymni. Zd. 2. Niech S i T b d czsmi ztrzymni. Sprwdzi, czy s te» czsmi ztrzymni. S T, S T, S T, αt, dl α Zd. 21. Niech T b dzie czsem ztrzymni i niech A, B F T. Wykz nst puj ce równo±ci T A B = T A T B orz T A B = T A T B. Zd. 22. Niech T b dzie czsem ztrzymni i niech A n F T dl n 1. Wykz,»e T n A i T A i = sup i 1 T Ai orz T n A i T A i = inf i 1 T A i. Zd. 23. Niech {T n } n 1 b dzie ci giem czsów ztrzymni tkim,»e T n T n+1, P - p.w. dl n 1 orz lim n T n =, P - p.w. Wykz,»e istnieje ci g czsów ztrzymni {S n } n 1 tki,»e i S n = T n, P - p.w. dl n 1; ii S n (ω S n+1 (ω, ω Ω dl n 1; iii lim n S n (ω =, ω Ω.

4 M. Be±k, Cªk Stochstyczn - zdni 4 Zd. 24. Wykz,»e dl dowolnych czsów ztrzymni T i S zchodzi nst puj c równo± : F T F S = F T S. Zd. 25. Niech S i T b d czsmi ztrzymni. Wykz,»e istniej czsy ztrzymni S i T o wªsno±cich: S T orz [[S, T ]] = [[ S, T ]]. Zd. 26. Niech T b dzie czsem ztrzymni i niech A n F T dl n 1. Wykz,»e [[T n=1 An]] = n=1 [[T An ]] orz [[T n=1 An]] = n=1 [[T An ]]. Zd. 27. Niech X b dzie zmienn losow bsolutnie cªkowln. Wykz,»e dowolnych czsów ztrzymni S i T mmy E[X F T ] = E[X F S T ], n {T S}. Zd. 28. Niech X = {X t } t b dzie procesem, którego trjektorie mj sko«czone grnice jednostronne. Wykz,»e: Proces X = {X t } t jest cg, b Proces X + = {X t+ } t jest cd. Zd. 29. Wykz,»e je±li: Proces X jest cdlg to proces X jest cgld, b Proces X jest cgld to proces X + jest cdlg. Zd. 3. Niech X = {X t } t b dzie procesem cdlg (cgld. Wykz,»e trjektorie procesu X posidj co njwy»ej przeliczln ilo± punktów nieci gªo±ci. Zd. 31. Niech π : [, Ω b dzie rzutem n Ω. Wykz równo± π({x Y } = t {X t Y t }. Zd. 32. Niech X = {X t } t b dzie procesem który m P - p.w. ci gªe trjektorie. Wykz,»e istnieje relizcj X procesu X, któr m ci gªe wszystkie trjektorie. Zd. 33. Niech proces X = {X t } t b dzie dptownym procesem. Wykz,»e k»d modykcj procesu X jest te» procesem dptownym. Zd. 34. Pod przykªd pokzuj cy,»e relizcj procesu mierzlnego nie musi by procesem mierzlnym. Wykz,»e wszystkie mierzlne procesy X = {X t } t nierozró»nilne od procesu zerowego s prognozowlne. Zd. 35. Zd. 36. Niech X = {X t } t i Y = {Y t } t b d nierozró»nilnymi, mierzlnymi procesmi. Wykz,»e je±li X jest procesem progresywnie mierzlnym (opcjonlnym, prognozowlnym, to Y te» jest procesem progresywnie mierzlnym (opcjonlnym, prognozowlnym. Zd. 37. Korzystj c z denicji 2.3 osiglnych i totlnie nieosi glnych czsów ztrzymni (wykªd 2 udowodni lemt 2.4.

5 M. Be±k, Cªk Stochstyczn - zdni 5 Korzystj c z denicji 2.3 osiglnych i totlnie nieosi glnych czsów ztrzymni (wykªd 2 udowodni lemt Zd. 38. Zd. 39. Niech T b dzie prognozowlnym (osi glnym, totlnie nieosi glnym czsem ztrzymni i niech odwzorownie S : Ω [, ] b dzie tkie,»e S = T, P - p.w. Wykz,»e S jest prognozowlnym (osi glnym, totlnie nieosi glnym czsem ztrzymni. Niech T b dzie czsem ztrzymni orz niech X = {X t } t b dzie procesem progresywnie mierzlnym tkim,»e lim t X t = Y, P - p.w., gdzie Y jest pewn zmienn losow n (Ω, F, P. Okre±lmy Zd. 4. X T (ω = { Y (ω, gdy T (ω =, X T (ω (ω, gdy T (ω <., ω Ω. Wykz,»e zmienn losow X T jest F T - mierzln orz,»e proces X T jest progresywnie mierzlny. Zd. 41. Wykz,»e je±li czs ztrzymni T jest prognozowlny, to istnieje niemlej cy ci g {T n } n 1 czsów ztrzymni tki,»e lim n T n = T orz dl k»dego n 1 zchodzi n zbiorze {T > } nierówno± T n < T. Zd. 42. Wykz,»e czs ztrzymni T jest prognozowlny je±li istnieje niemlej cy P - p.w. ci g {T n } n 1 czsów ztrzymni tki,»e lim n T n = T, P - p.w. orz dl k»dego n 1 zchodzi nierówno± T n < T n zbiorze { < T < }, P - p.w. Zd. 43. Niech S b dzie czsem ztrzymni, T zmienn losow o wªsno±cich: T S, zmienn losow T jest F S mierzln orz T > S n zbiorze {S < }. Wykz,»e T jest prognozowlnym czsem ztrzymni. Zd. 44. Niech S i T b d czsmi ztrzymni o wªsno±cich: Czs ztrzymni S jest prognozowlny, T S orz F S = F T. Wykz,»e T jest prognozowlnym czsem ztrzymni. Zd. 45. Niech S b dzie prognozowlnym czsem ztrzymni, T zmienn losow o wªsno±cich: T S, zmienn losow T jest F S mierzln orz {T = S} F S. Wykz,»e T jest prognozowlnym czsem ztrzymni. Wsk. T = T {T >S } S {S=T }. Zd. 46. Niech zupeªn bz stochstyczn (Ω, F, {F t } t, P orz czs ztrzymni S b d tkie jk w zdniu 5. Wykz,»e czs ztrzymni T jest prognozowlny wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje stª s + tk,»e S < T, P p.w. n [, s, T = s, P p.w. n [s,. Ntomist T jest totlnie nieosi glny wtedy i tylko wtedy, gdy P {S T, T < } =. Zd. 47. Niech zupeªn bz stochstyczn (Ω, F, {F t } t, P orz czs ztrzymni S b d tkie jk w zdniu 5. Przyjmijmy,»e T jest czsem ztrzymni. Wykz,»e A = {T = S} i B = {S T < } s rozkªdem z twierdzeni Zd. 48. Niech X = {X t } t b dzie cd procesem. Wykz,»e dl IR orz dl B = {(t, ω [, Ω : X t (ω }

6 M. Be±k, Cªk Stochstyczn - zdni 6 mmy [[D B ]] B. Zd. 49. Wykz równo± : V = V loc. Zd. 5. Niech A V + i niech >. Okre±lmy S(ω = {t : A t (ω }, ω Ω. Wykz,»e S jest ±ci±le dodtnim czsem ztrzymni. Niech T b dzie czsem ztrzymni. Wykz,»e σ - lgebr F T jest generown przez zbiory postci A {t T }, gdzie A F t, t. Zd. 51. Zd. 52. Sprwdzi, czy σ - lgebr opcjonln jest generown przez zbiory losowe postci: [s, t F, gdzie s < t orz F F s. Niech S, T b d czsmi ztrzymni, X zmienn losow F S - mierzln. Wkz,»e proces XI [[S, T [[ jest opcjonlny. Zd. 53. Zd. 54. Rodzin zmiennych losowych {X t } t T n przestrzeni probbilistycznej (Ω, F, P nzywmy jednostjnie cªkowln je±li X t dp, gdy λ. sup t T { X t >λ} Wykz,»e rodzin zmiennych losowych {X t } t T tylko wtedy, gdy jest jednostjnie cªkowln wtedy i (i (ii sup E( X t < t T ε> δ> A F P (A < δ = sup t T A X t dp < ε. Zd. 55. Dn jest rodzin zmiennych losowych {X t } t T. Wykz,»e jest on jednostjnie cªkowln je±li speªniony jest przynjmniej jeden z wrunków: 1. Istnieje zmienn losow Y L 1 (Ω, P tk,»e t T X t Y. 2. Istnieje zmienn losow Y L 1 (Ω, P tk,»e P { X t } P { Y }, dl > orz t T. Wsk. Zuw»y,»e dl X i > mmy X dp = P {X } + P {X t} dt. {X } 3. Dl pewnego ε >, sup t T E X t 1+ε <. 4. sup t T E( X t ln X t <. Zd. 56. Niech X b dzie sko«czenie cªkowln zmienn losow i niech {F t } t T b dzie rodzin σ-podlgebr σ-lgebry F. Wykz,»e rodzin {E(X F t } t T jest jednostjnie cªkowln.

7 M. Be±k, Cªk Stochstyczn - zdni 7 Zd. 57. Wykz,»e ci g zmiennych losowych {X n } n 1 jest zbie»ny w L p (Ω, P, (p 1 wtedy i tylko wtedy, gdy {X n } n 1 jest zbie»ny wedªug prwdopodobie«stw i { X n p } n 1 jest jednostjnie cªkowln. Zd. 58. Niech {X n } n 1 b dzie ci giem zmiennych losowych tkim,»e X n dl n 1 orz X n X, P-p.w. dl pewnej zmiennej losowej X. Wykz,»e E(X n n E(X < {X n} n 1 jest jednostjnie cªkowlny. Zd. 59. Niech {B t } t b dzie ruchem Brown. Sprwdzi, czy rodziny {B t } t orz {B 2 t t} t s jednostjnie cªkowlne. Zd. 6. Niech dn przestrze«probbilistyczn (Ω, F, P nie b dzie zupeªn orz niech {(X n, F n } n N bedzie mrtyngªem n niej. Oznczmy przez F, P, F n, n 1 uzupeªnienie F, P, F n, n 1 (odpowiednio w stndrdowy sposób. Wykz,»e {(X n, F n } n N jest mrtyngªem. Zd. 61. okre±lmy: Dl dnego ci gu liczbowego {x n } n N i dowolnych liczb rzeczywistych < b T = inf{n IN : x n < } T 1 = inf{n IN : n > T x n > b} T 2k = inf{n IN : n > T 2k 1 x n < } T 2k+1 = inf{n IN : n > T 2k x n > b} T 2k+1 nzywmy momentem k + 1 przej±ci w gór przez przedziª [, b] ci gu {x n } n N. Przez U b oznczmy ª czn ilo± przej± w gór przez przedziª [, b] ci gu {x n } n N, tzn. { sup{k 1 : T2k 1 < + } je±li T 1 < +, U b = je±li T 1 = +. Wykz,»e ci g {x n } n N jest zbie»ny (by mo»e do grnicy niewª±ciwej wtedy i tylko wtedy, gdy U b < + dl, b Q tkich,»e < b. Zd. 62. Niech {(X n, F n } n N b dzie supermrtyngªem. Wykz,»e Funkcje T k (ptrz zd. 61 okre±lone dl supermrtyngªu {(X n, F n } n N s czsmi ztrzymni. b Dl dowolnego m IN i dl dowolnych, b IR tkich,»e < b zchodzi nierówno± E(U b (m 1 b E ( (X m, gdzie U b (m jest liczb przej± przez przedziª [, b] procesu {X n } m n=1. Zd. 63. Udowodni nst puj ce twierdzenie Doob (o zbie»no±ci prwie wsz dzie: Je±li {(X n, F n } n 1 jest supermrtyngªem, tkim»e sup E(Xn < + n N

8 M. Be±k, Cªk Stochstyczn - zdni 8 to ci g {X n } n N jest z prwdopodobie«stwem 1 zbie»ny do zmiennej losowej cªkowlnej. Jk wygl dj wrunki n zbie»no± z prwdopodobie«stwem 1, gdy {(X n, F n } n N jest submrtyngªem (mrtyngªem? Korzystj c z twierdzeni Doob wykz,»e je±li {ξ n } n N jest cigiem niezle»nych zmiennych losowych tkich,»e E(ξ n = dl n IN i Zd. 64. E(ξn 2 < + n=1 to szereg n=1 ξ n jest zbie»ny prwie wsz dzie. Zd. 65. Wykz,»e je±li dl supermrtyngªu X = {X n } n 1 ci g {X n } n 1 jest jednostjnie cªkowlny, to supermrtyngª X jest zbie»ny (P pw. do bsolutnie cªkowlnej zmiennej losowej X orz E(X F n X n, P pw. dl n 1. Zd. 66. Niech {X n } n 1 b dzie ci giem niezle»nych zmiennych losowych tkich,»e EX n = dl n 1. Okre±lmy Y n = X X n orz F n = σ(x 1,..., X n. Z- ªó»my pondto,»e sup n 1 E( Y n < (wrunek Doob. Wykz,»e {Y n } jest zbie»ny w normie L 1. Zd. 67. Niech (X n, F n n 1 b dzie mrtyngªem. Wykz,»e nstepuj ce wrunki s równow»ne: ( Zmienne losowe {X n } n 1 s jednostjnie cªkowlne. (b Ci g zmiennych losowych {X n } n 1 jest zbie»ny w L 1. (c Istnieje cªkowln zmienn losow Y tk,»e X n = E(Y F n P-p.w. dl n 1. Niech {ξ n } b dzie cigiem niezle»nych zmiennych losowych o rozkªdzie zerojedynkowym P {ξ n = 1} = p, P {ξ n = } = 1 p, Zd. 68. gdzie p (, 1. Ustlmy r (, 1, r p i okre±lmy ρ(1 = r, ρ( = 1 r, π(1 = p, π( = 1 p. Niech X n = ρ(ξ 1 ρ(ξ n π(ξ 1 π(ξ n, F n = σ(ξ 1,..., ξ n. Wykz,»e {(X n, F n } n 1 jest mrtyngªem i lim X n =. n cªkowlny? Czy jest on jednostjnie Niech {ξ k } k 1 b dzie ci giem niezle»nych zmiennych losowych o rozkªdzie normlnym N(, 1. Okre±lmy Zd. 69. ( X n = exp S n n, gdzie S n = 2 ξ k, n 1. Niech F n = σ(ξ 1,..., ξ n. Sprwdzi, czy {(X n, F n } n 1 jest mrtyngªem. Obliczy lim n X n. Czy {(X n, F n } n 1 jest mrtyngªem jednostjnie cªkowlnym? Zd. 7. Niech Ω = [, 1], F = B([, 1], P -mir Lebesque' n [, 1]. Niech X L 1, orz {A 1,..., A m } b dzie sko«czonym rozbiciem Ω. Pondto niech Y b dzie zmienn k=1

9 M. Be±k, Cªk Stochstyczn - zdni 9 losow mierzln wzgl dem G = σ(a 1,..., A m. Wówczs dl dowolnego ε > istnieje zmienn losow Z L 1 tk,»e P {X Z} < ε orz E(Z G = Y. Zd. 71. Niech Ω = [, 1], F = B([, 1], P -mir Lebesque' n [, 1]. Wykz,»e dl dowolnego ci gu {X n } n 1 prostych zmiennych losowych i dl dowolnego ci gu {ε n } n 1 dodtnich liczb istnieje mrtyngª (Y n, F n n 1 tki,»e P {Y n X n } < ε n. Zd. 72. Korzystj c z poprzedniego zdni pod przykªd mrtyngªu (dyskretnego zbie»nego wedªug prwdopodobie«stw, le rozbie»nego prwie wsz dzie. Zd. 73. Niech nsz przestrze«probbilistyczn m post ((, 1], B((, 1], λ, gdzie λ jest mir Lebesgue'. Okre±lmy σ-lgebry; F = {, (, 1]}, dl n 1 przedstwimy liczb n w postci n = 2 k + l, gdzie k =, 1,... ntomist l =, 1,... 2 k 1. Wtedy F n jest generown przez rozbicie przedziªmi postci (j/2 k+1, (j + 1/2 k+1 ] dl j =, 1,..., 2l + 1 orz przedziªmi (i/2 k, (i + 1/2 k ] dl i = l + 1, l + 2,..., 2 k 1. Okre±lmy funkcje Hr: h 1, dl n = 2 k + l okre±lmy h n (x = 2 k dl x (2l/2 k+1, (2l 1/2 k+1 ], h n (x = 2 k dl x ((2l + 1/2 k+1, (2l + 2/2 k+1 ]. Poz tym h n (x =. Wykz,»e E(h n F n+1 = orz,»e ukªd Hr {h n } n jest ortonormlny w L 2. Wywnioskow st d i z twierdze«o zbie»no±ci mrtyngªów,»e ukªd Hr jest bz Schuder w L p ((, 1], B((, 1], λ dl p 1. Zd. 74. Niech M = {M t } t M loc orz M t dl t. Zªó»my dodtkowo,»e dl dowolnych sko«czonych czsów ztrzymni S T o wªsno±ci E(M T F S <, P - p.w. mmy E(M T F S = M S. Wykz,»e M jest mrtyngªem. Zd. 75. Niech M M loc. Wykz, ze M M wtedy i tylko wtedy, gdy M D. Zd. 76. Niech p > 1 i niech dl k»dego n 1 proces M (n = {M (n t } t z M (n L p X w L p b dzie mrtyngªem o ci gªych trjektorich. Zªó»my dodtkowo,»e M (n orz okre±lmy M t = E(X F t, t. Wykz,»e M t L p, t orz {M t } t m ci gªe trjektorie P - p.w. Zd. 77. Wykz,»e dptowny wzgl dem ltrcji {F n } n ci g {X n } n zmiennych losowych jest loklnym mrtyngªem wtedy i tylko wtedy, gdy (i X L 1 ; (ii E( X n F n 1 <, P - p.w. orz E(X n F n 1 = X n 1 dl k»dego n 1. Tutj wrunkow wrto± oczekiwn E(X n F n 1 jest rozumin jko: { E(X + E(X n F n 1 (ω = n F n 1 (ω E(Xn F n 1 (ω, E( X n F n 1 (ω <,, E( X n F n 1 (ω =. Zd. 78. Które z podstwowych wªsnosci wrunkowej wrto±ci oczekiwnej zchodz dl rozszerzonej wrto±ci oczekiwnej (def. zdnie powy»ej? Niech Ω = (, 1, P = λ mir Lebesgue', F = B(, 1. Okre±lmy ltrcj wzorem F = {, Ω} orz Zd. 79. F t = F dl t 1. F t = {A F : (t, 1 A lub A (, t]}, < t < 1, ( Niech Y L 1. Wykz,»e mrtyngª M t = E(Y F t, t dny jest wzorem { Y (ω, < ω t, M t (ω = t t Y (s ds, t < ω < 1.

10 M. Be±k, Cªk Stochstyczn - zdni 1 (b Niech Y (ω = (1 ω α dl pewnego < α < 1/2. Wykz,»e Y L 2 orz je±li M t = E(Y F t, t, to M t (ω = α (1 t α = 1 Y (t, t < ω < 1. 1 α (c Wykz,»e sup t M t = 1 1 αy orz wywnioskow sup t M t L 2 = 1 1 α Y L 2 = 1 1 α M L 2. Zuw»my,»e lim α 1/2 (1 α 1 = 2 Jki z tego wypªyw wniosek? Zd. 8. Niech przestrze«z ltrcj (Ω, F, F, P b dzie jk w zdniu powy»ej orz niech Y (ω = 1 ω i M t = E(Y F t, t ( Wykz,»e dl t mmy M t (ω = 1 ω I (,t] (ω t I (t,1(ω, ω Ω. (b Niech T b dzie czsem ztrzymni T. Wykz,»e T (ω ω dl ω (, ε] dl pewnego ε >. (c Pokz,»e E(M 2 T ε 1 s ds = orz wywnioskow st d,»e M = {M t} t M 2 loc. (d Zuw»y,»e M m ogrniczone trjektorie, le M T nie jest ogrniczon dl dowolnego czsu ztrzymni T. Zd. 81. Niech {A n } n 1 b dzie mierzlnym rozbiciem Ω tkim,»e P (A n = 1/2 n dl n 1. Niech {Z n } n 1 b dzie ci giem niezle»nych zmiennych losowych i niezle»nych od {A n } n 1 o rozkªdzie P {Z n = 2 n } = P {Z n = 2 n } = 1 2. Okre±lmy F t = σ(a n : n 1 dl t < 1 orz F t = σ(a n, Z n : n 1 dl t 1. Niech Y n = Z i I Ai, n 1. Okre±lmy X t = { dl t < 1, Y dl t 1, T n (ω = { gdy ω n A i, gdy ω n A i, n 1. Wykz,»e {T n } n 1 jest ci giem loklizcyjnym proces {X t } t jest loklnym mrtyngªem i nie jest mrtyngªem wzgl dem ltrcji {F t } t. Zd. 82. Niech T b dzie czsem ztrzymni orz niech b dzie dny M M loc. Wykz,»e M T M loc. Zd. 83. Niech M M loc i niech {T n } n 1 b dzie ci giem loklizcyjnym dl M orz niech rodzin {M Tn } n 1 jest jednostjnie cªkowln. Wykz,»e M M.

11 M. Be±k, Cªk Stochstyczn - zdni 11 Zd. 84. Niech M M loc. Okre±lmy dl t A t = s t M s I { Ms >1/2}, N t = s t M s I { Ms >1/2}. Wyznczy A t orz N t dl t. Zd. 85. Niech A = {A t } t V. Wykz, ze A A loc wtedy i tylko wtedy, gdy A A + loc. Zd. 86. Niech M M loc. Wykz,»e M M wtedy i tylko wtedy, gdy M D. Niech M M loc. Wykz,»e M jest mrtyngªem wtedy i tylko wtedy, gdy dl k»dego > rodzin {X T } T Λ jest jednostjnie cªkowln, gdzie Λ jest rodzin czsów ztrzymni ogrniczonych przez. Zd. 87. Wykz,»e M V = M A loc. Czy M V = M A? Je±li nie, to pod odpowiedni przykªd. Zd. 88. Niech A A. Wykz,»e prognozowlny proces à A jest kompenstorem procesu A wtedy i tylko wtedy, gdy dl k»dego czsu ztrzymni T zchodzi Zd. 89. E(A T = E(ÃT. Zd. 9. Niech A, à A orz à jest prognozowlny. Wykz równow»no± wrunków: (1 E(A T = E(ÃT, dl k»dego czsu ztrzymni T. ( (2 E I E da = E ( I E dã, dl k»dego E P. Zd. 91. Niech A, à A orz à jest prognozowlny. Wykz równow»no± wrunków: ( (1 E ( (2 E I E da = E H da = E ( ( I E dã, dl k»dego E P. H dã, dl k»dego ogrniczonego i prognozowlnego procesu H. Zd. 92. Niech A, à A orz à jest prognozowlny. Wykz równow»no± wrunków: ( (1 E H da = E ( H dã, dl k»dego ogrniczonego i prognozowlnego procesu H. ( T ( T (2 E H da = E H dã, dl k»dego ogrniczonego i prognozowlnego procesu H i k»dego czsu ztrzymni T.

12 M. Be±k, Cªk Stochstyczn - zdni 12 Zd. 93. Niech A A. Wykz,»e A M wtedy i tylko wtedy, gdy ( T E H da = dl k»dego ogrniczonego i prognozowlnego procesu H. Zd. 94. Niech M M A i niech H b dzie prognozowlnym procesem tkim,»e Y t = istnieje i Y = {Y t } t A. Wykz,»e Y M. H s dm s, t Zd. 95. Niech M t, t b dzie cigªym mrtyngªem tkim,»e M = x (i Wykz,»e jesli lim T M t =, P - p.w., to P { sup M t } ( x d x = 1, > orz sup M t = t t U, gdzie U m rozkªd jednostjny n [, 1]. (ii Wykz,»e je±li d x sup M t = t U gdzie U m rozkªd jednostjny n [, 1], to M =, P - p.w.. Zd. 96. Niech M = {M t } t b dzie procesem gussowskim b d cym mtyngªem. Wykz,»e wricj kwdrtow M jest procesem deterministycznym. Wsk. Wykz,»e dl t > s przyrost M t M s jest niezle»ny od σ - lgebry nturlnej σ(m u, u s. Zd. 97. Niech {B t } t b dzie ruchem Brown. Pokz,»e E B t B s 4 = 3 t s 2. Zd. 98. Wykz dl λ > wzór 1 2πt e λt e (x y2 /2t dt = 1 2λ e x y 2λ. Pondto wykz dl ogrniczonej funkcji borelowskiej f i stªej λ > wzór ( E e λ2t/2 f(b t + x dt = 1 e λ x y f(y dy. λ Zd. 99. Wykz,»e dl k»dej liczby zespolonej λ proces jest mrtyngªem. M t = e λ2 t/2 cosh(λb t, t R

13 M. Be±k, Cªk Stochstyczn - zdni 13 Zd. 1. Niech {B t } t b dzie ruchem Brown, T sko«czonym czsem ztrzymni. Wykz,»e proces {B T +t B T } t jest ruchem Brown. Zd. 11. Niech {B t } t b dzie ruchem Brown. Wykz,»e dl < t 1 < t 2 < < t n g sto± wektor losowego Y = (B t1,..., B tn jest postci f Y (x 1,..., x n = 1 (2π n t 1 (t 2 t 1 (t n t n 1 [ exp 1 ( x (x 2 x (x n x n 1 2 ]. 2 t 1 t 2 t 1 t n t n 1 Zd. 12. Niech {B t } t b dzie ruchem Brown. rozkªd zmiennej losowej X = B s + B t. Dl ustlonych s, t > wyznczy Zd. 13. Niech {B t } t b dzie ruchem Brown i niech < s t u v. Wykz,»e zmienne losowe B t /t B s /s orz B u + bb v s niezle»ne dl dowolnych, b IR. Zd. 14. Niech {B t } t b dzie ruchem Brown i niech < s t u v. Wykz,»e zmienne losowe B s + bb t orz B v /v B u /u s niezle»ne dl dowolnych, b IR speªnij cych wrunek s + bt =. Zd. 15. Niech {B t } t b dzie ruchem Brown. Wykz,»e lim t B t + 1/t =, P p.w. Okre±lmy W t = Wykz,»e {W t } t jest ruchem Brown. Zd. 16. Niech X t = B 1 B t dl t 1. { gdy t =, tb 1/t gdy t >. ( Sprwdzi, czy zmienn losow B 1 jest mierzln wzgl dem σ-lgebry F t = σ{b s : s t} dl t < 1. (b Wykz,»e dl k»dego t < 1 zmienn losow X t nie jest mierzln wzgl dem σ-lgebry F t. (c Wyznczy E(X t F s dl s t 1. Zd. 17. Niech {B t } t b dzie ruchem Brown. {Bt 2 t} t s mrtyngªmi. Sprwdzi, czy procesy {B t } t orz Zd. 18. Okre±lmy funkcj schodkow f n [, wzorem (1 f(x = i I [ti 1, t i (x, x [,, gdzie i IR, i = 1,..., n orz t =. Wykz,»e kombincj liniow funkcji schodkowych jest funkcj schodkow. Obliczy [, f 2 (x dλ(x.

14 M. Be±k, Cªk Stochstyczn - zdni 14 Zd. 19. Niech {B t } t b dzie ruchem Brown orz niech f b dzie funkcj schodkow dn wzorem (1. Cªk Wiener z funkcji schodkowej f okre±lmy wzorem I(f = i (B ti B ti 1. Wykz,»e denicj t nie zle»y od reprezentcji funkcji schodkowej f tzn. je±li f = i I [ti 1, t i = m b j I [sj 1, s j, = t < t 1 <... < t n, i IR, 1 i n, = s < s 1 <... < s m, b j IR, 1 j m, to i (B ti B ti 1 = j=1 m b j (B tj B tj 1. Zd. 11. Wykz,»e cªk Wiener jest funkcjonªem liniowym n funkcjch schodkowych Zd Niech f b dzie funkcj schodkow. Wykz,»e I(f N(, σ 2, gdzie σ 2 = E[I(f 2 ] = f 2 (t dλ(t. j=1 [, Zd Niech f L 2 ([,. Wykz,»e istnieje ci g funkcji schodkowych {f n } n 1 tki,»e f n f w L 2 ([,. Zd Niech f L 2 ([, i niech {f n } n 1 b dzie tki,»e f n f w L 2 ([,. Wykz,»e ci g {I(f n } n 1 jest ci giem Cuchy'ego w L 2 (Ω, F, P. St d mo»emy zdeniow I(f := f(t db t := lim n I(f n, w L 2 (Ω, F, P. Wykz,»e denicj t nie zle»y od wyboru ci gu {f n } n 1. Zd Niech f L 2 ([,. Wykz,»e I(f N(, σ 2, gdzie σ 2 = E[I(f 2 ] = f 2 (t dλ(t. [, Zd Niech f, g L 2 ([,. Wykz,»e E[I(fI(g = f, g := [, f(tg(t dλ(t. Zd Niech f i L 2 ([,, 1 i n. Wykz,»e (I(f 1,..., I(f n N(, C, gdzie mcierz kowrincji C m post C = [ f i, f j ] 1 i,j n. Zd Niech f C[, b] orz f m sko«czone whnie (wricj n [, b]. Wykz,»e f(t db t = (RS f(t db t, P p.w.,

15 M. Be±k, Cªk Stochstyczn - zdni 15 gdzie symbol (RS przy cªce po prwej stronie ozncz,»e jest to cªk Riemnn- Stieltjes. Zd Niech {B t } t b dzie ruchem Brown. Wyznczy stªe i b tkie,»e jest tk»e ruchem Brown. X t = ( + b u db u t Zd Niech {B t } t b dzie ruchem Brown. Wyznczy stªe, b i c tkie,»e jest tk»e ruchem Brown. X t = ( + b u + c u2 t t 2 db u Zd. 12. Niech {B t } t b dzie ruchem Brown. Wykz,»e dl dowolnej liczby n IN istniej niezerowe stªe, 1,..., n tkie,»e ( X t = + 1 u + 2 u 2 t t n u n t n db u jest tk»e ruchem Brown. Zd Wyznczy rozkªd zmiennej losowej X równej P - p.w. cªce Riemnn 1 B t dt. Zd Niech f L 2 ([, i niech {B t } t b dzie ruchem Brown wzgl dem ltrcji F = {F t } t. Wykz,»e proces jest mrtyngªem wzgl dem F. M t = f(s db s, t Zd Niech f L 2 ([, i niech {ϕ n } n 1 b dzie bz ortonormln w L 2 ([,, Wykz,»e f(t db t = f, ϕ n ϕ n (t db t, P p.w., n=1 gdzie powy»szy szereg jest zbie»ny P - p.w. Korzystj c z powy»szego przedstwieni wyznczy podobne przedstwienie dl ruchu Brown. Zd Niech {B t } t b dzie ruchem Brown. Wykz,»e procesy X t = (2t u db u orz Y t = (3t 4u db u s procesmi gussowskimi o zerowej ±redniej i o tkiej smej funkcji kowrincji 3s 2 t 2s 3 /3 dl s t. Zd Niech (B 1 t,..., B n t b dzie n-wymirowym ruchem Brown. Wyznczy g sto±ci funkcji R(t = B t orz S(t = B t 2.

16 M. Be±k, Cªk Stochstyczn - zdni 16 Zd Niech {X n } n 1 b dzie ci giem zmiennych losowych o rozkªdzie normlnym N(m n, σ 2 n, n 1 (odpowiednio. Zªó»my,»e jest on zbie»ny w L 2 (Ω do zmiennej losowej X. Wykz,»e zmienn losow X m rozkªd normlny N(m, σ 2, gdzie m = lim n m n orz σ 2 = lim n σ2 n. Zd Niech {B t } t b dzie ruchem Brown. Wyznczy rozkªd et s db s. Sprwdzi, czy proces X t = et s db s jest mrtyngªem. Zd Niech {B t } t b dzie ruchem Brown. Wyznczy rozkªd B s ds. Sprwdzi, czy proces Y t = B s ds jest mrtyngªem. Zd Niech {B t } t b dzie ruchem Brown. Wyznczy rozkªd B s cos(t s ds. Zd. 13. Niech {B t } t b dzie ruchem Brown. Wykz,»e proces X t = B 3 t /3 B s ds jest mrtyngªem. Zd Niech f L 2 ([,. Okre±lmy Wykz,»e X t = (X ti X ti 1 2 n f(s db s, t. f 2 (t dt, w L 2 (Ω, gdzie π n = {t,..., t n }, = t < t 1 <... < t n, d(π n, gdy n. Zd Dl podziªu π n = {t, t 1,..., t n }, gdzie = t < t 1 < t n = b okre±lmy M πn = B t i +t i 1 (B ti B ti 1. 2 Wyznczy grnic M πn w L 2 (Ω gdy d(π n. Zd Niech f L 2 [, b] i niech X t EX 2 <. Wykz,»e f(t X t db t = 1 2 Zd Wykz,»e X t = e Bt = X + f(s db s, gdzie σ(x F orz ( X 2 b X2 f(t 2 dt. ebs ds jest mrtyngªem. Zd Wykz,»e X t = exp ( B t t/2 jest mrtyngªem. Zd Niech H n (x; b dzie wielominem Hermite' stopni n z prmetrem >. Mo»n wykz,»e (2 H n (x; = [n/2] k= ( n (2k 1!!( k x n 2k, 2k

17 M. Be±k, Cªk Stochstyczn - zdni 17 orz (2 exp przy zªo»eniu ( 1!! = 1. ( Stosuj c (2 wykz równo± (λx λ2 = 2 n= λ n n! H n(x;, H n (B t ; t db t = 1 { } H n+1 (B b ; b H n+1 (B ;. n + 1 (b Stosuj c ( dl n = 2 obliczy B2 t db t. (c Stosuj c (2 obliczy ebs 1/2 db s, nst pnie pokz,»e X t = ebs db s jest mrtyngªem. Zd Niech f L 2 [, b]. ( Korzystj c z denicji wykz,»e X t = ( f(s db s 2 jest submrtyngªem. (b Korzystj c z denicji wykz,»e X t f(s2 ds jest mrtyngªem. Zd Niech g L 1 [, b] orz f L 2 [, b]. Wykz,»e ( g(s ds f(t db t = Zd Wykz równo±ci: g(s ds f(s db s ( g(s f(s db s dt. B t db t = 1 2 [ ] Bb 2 B2 (b orz B 2 t db t = 1 3 [ ] Bb 3 B3 B t dt. Zd. 14. Niech g b dzie ogrniczon mierzln funkcj i niech b dzie dny cig podziªów przedziªu [, b], π n = { = t < t 1 < < t n = b} tki,»e d(π n, n. Wykz,»e ( g(b ti 1 (B ti B ti 1 2 L (t i t i 1 2 (Ω. n Zd Niech B = {B t } t b dzie ruchem Brown, ϕ = {ϕ t } t procesem dptownym. Wykz,»e cªk stochstyczn ϕ s db s jest ruchem Brown wtedy i tylko wtedy, gdy ϕ s = 1, λ P - p.w, gdzie λ - mir Lebesgue'. Zd Niech M M c loc orz niech (i Wykz,»e proces Z t = L t = sup M s i U = L M. s t ( ( b cosh(b U t sinh(b U t exp L t b2 2 M, M t,, b IR

18 M. Be±k, Cªk Stochstyczn - zdni 18 jest loklnym mrtyngªem. (ii Je±li < i T jest czsem ztrzymni okre±lonym wzorem T = inf{t : L t M t > λ}, gdzie λ > orz M, M t P-p.w gdy t to P {T < } = 1 orz ( E exp L T b2 2 M, M T = b b cosh(b λ sinh(b λ. (iii Wykz,»e proces Y t = ( U t + 1 exp( L t jest loklnym mrtyngªem, zmienn losow L T m rozkªd wykªdniczy. Zd Niech M M 2,c loc. Oznczmy przez H 1 rodzin procesow postci: X t (ω = m X i (ω I [ti, t i+1 (t, i= gdzie t 1 t 2... t m+1, zmienne losowe X i s ogrniczone i F ti - mierzlne, 1 i m. Sprwdzi, czy dl k»dego opcjonlnego procesu X tkiego,»e E X 2 s d M, M s < istnieje ci g {X n } n 1 H 1 tki,»e [ ] E (Xs n X s 2 d M, M s. n Zd Niech {Ñt} t b dzie skompensownym procesem Poisson. Wykz,»e + Ñ t dñt = 1 2 (Ñ 2 b Ñ 2 λ(b Ñb + Ñ. Zd Wykz,»e + N t dn t = 1 2 gdzie {N t } t jest procesem Poisson. Zd Wykz,»e + N t dñt = 1 2 (N 2 b N 2 N b + N, (N 2 b N 2 N b + N λ N t dt, gdzie {N t } t jest procesem Poisson, {Ñt} t skompensownym procesem Poisson. Zd Niech {Ñt} t b dzie skompensownym procesem Poisson (wzgl dem ltrcji F = {F t } t z prmetrem λ >. Wykz,»e 2 L (Ñti 2 Ñt (Ω i 1 N b N, n gdzie π n = { = t < t 1 < < t n = b}, d(π n, n.

19 M. Be±k, Cªk Stochstyczn - zdni 19 Zd Niech {N t } t b dzie procesem Poisson (wzgl dem ltrcji F = {F t } t z prmetrem λ >. Wykz,»e ( 2 L N ti N 2 (Ω ti 1 N b N, n gdzie = t < t 1 < < t n = b orz π n = {t < t 1 < < t n }, d(π n, n. Zd Niech λ IR. Wykz,»e M t = exp(λb t λ 2 t/2 dl t jest mrtyngªem orz sprwdzi, czy kompenstor procesu Mt 2 dny jest wzorem Zd. 15.Niech B (1 t i B (2 (,. Niech X t = ln [( B (1 t M t = λ 2 exp(2λb u λ 2 u du t. t, t b d niezle»nymi ruchmi Brown o wªsno±ci (B (1, B(2 2 ( (2 2 ] + B t, t. Wykz, ze {Xt } t jest loklnym mrtyngªem orz E X t < dl t. Wyznczy EX t orz pokz,»e {X t } t nie jest mrtyngªem. Zd Niech X = {X t } t b dzie precesem w którym zmienne losowe X t, t s scentrowne i niezle»ne orz sup E(Xt 2 <. t Wykz,»e X nie mo»e by procesem mierzlnym chyb,»e X. Wsk. Zuw»y,»e ( 2 t E X s ds = E(X s X u dsdu, t. Zd Niech M = {M t } t b dzie mrtyngªem wzgl dem ltrcji F = {F t } t, Z = {Z t } t procesem o ci gªych trjektorich, ogrniczonym i dptownym wzg. ltrcji F. Wykz,»e dl s < t mmy ( E (M t Z u du F s = E M u Z u du F s. s s