Zadania z ekonomii matematycznej 3 Wybrane rozwi zania

Transkrypt

1 Zdni z ekonomii mtemtycznej 3 Wybrne rozwi zni Michª Rmsz Wersj z dni 4 grudni 011 Zdnie 1 Dl funkcji f : R n R deniujemy zbiór epif = {x, y R n R : y fx} Pokz,»e dl funkcji wypukªej f zbiór epif jest zbiorem wypukªym Zdnie Niech b d dne funkcje f, g : R n R wypukªe Pokz,»e funkcj f + gx jest wypukª Zdnie 3 Niech dn b dzie funkcj wypukª f : R n R ró»niczkowln Pokz,»e wrunkiem wystrczj cym n istnienie minimum jest zerownie si grdientu Zdnie 4 Niech dn b dzie funkcj ±ci±le wypukª f : R n R z minimum x 0 Pokz,»e minimum x 0 jest wyznczone jednozncznie Zdnie 5 Firm produkuje jedno dobro n dw rynki, które chrkteryzuj si odwrotnymi funkcjmi popytu odpowiednio p 1 q 1 i p q, gdzie q 1 to wielko± produkown n pierwszy rynek q to wielko± produkown n drugi rynek Koszt produkcji wynosi cq 1 + q Wyprowdzi wrunki optymlno±ci pierwszego rz du i pod interpretcje w terminch elstyczno±ci funkcji popytu b Rozwi z je»eli p 1 q 1 = A q 1, p q = B q orz cq = q + q Zdnie 6 Nrysuj wykres funkcji, któr jest qusi-wkl sª i 1 jest qusi-wypukª, nie jest qusi-wypukª, Funkcj f : R n R jest wypukª je»eli dl dowolnych x i dowolnego θ 0, 1 zchodzi fθ + 1 θx θf + 1 θfx Funkcj f jest ±ci±le wypukª je»eli powy»sz nierówno± jest ostr Dowód przeprowdzi przez zprzeczenie korzystj c z epigrfu lub wprost korzystj c z fktu,»e dl funkcji wypukªej pªszczyzn styczn do wykresu nie mo»e znjdow si powy»ej wykresu funkcji Elstyczno± cenow popytu Q jest zdn formuª ɛ = dq p dp Q Funkcj f : R n R jest qusi wkl sª wtedy i tylko wtedy, gdy dl dowolnego k R zbiór jest wypukªy S = {x R n : fx k} 3 nie jest wypukª, 4 nie jest wkl sª, 5 nie jest ni wkl sª ni wypukª, 6 jest wkl sª i wypukª Ile rzy wykres funkcji mo»e przeci prost poziom? Zdnie 7 Sprwdzi czy poni»sze funkcje s qusi-wkl sªe, qusiwypukªe, speªnij ob wrunki czy te»»dnego 1 Równow»n dencj dl funkcji ró»niczkowlnych Funkcj f : R n R jest qusi-wkl sª je»eli dl dowolnych u v zchodzi fv fu fuv u 0, orz qusi-wypukª je»eli fv fu fvv u 0

2 1 fx, y = x + by fx, y = x ln y 3 ux, y = xy 4 ux, y = xy Zdnie 8 Niech dn b dzie funkcj produkcji Q = fk, L jedno- Funkcj jest jednorodn stopn r je»eli fγx = γ r fx dl dowolnego x rodn stopni 1 Pokz,»e Q/L i Q/K s funkcjmi kpitªu per cpit k = K/L Zdnie 9 Niech dn b dzie funkcj produkcji Q = fk, L jednorodn stopni 1 Udowodnij,»e K Q + L Q = Q Wªsno± t jest nzywn tw Euler b Pokz,»e kr«cowe produktywno±ci MPP L = Q/ i MPP K = Q/ mo»n przedstwi jko funkcj kpitªu per cpit k = K/L c Sprwd¹ czy w/w wªsno±ci zchodz dl funkcji produkcji Cobb- Dougls fq, L = AQ α L 1 α, α 0, 1 Rozwi znie Zczynmy od punktu Wiemy,»e Q = fk, L jest jednorodn stopni 1 wi c zgodnie z denicj zchodzi rfk, L = frk, rl Ró»niczkuj c obie strony powy»szego równni wzgl dem r otrzymujemy frk, rl frk, rl fk, L = K + L, sk d podstwij c r = 1 otrzymujemy fk, L = co trzeb byªo pokz fk, L fk, L K + L, Punkt b jest prost konsekwencj punktu Mmy Q = K Q + L Q Q L = K Q L + Q Q = Q L k Q Q fk, L = fk, 1 k Poniew» f jest jednorodne stopni 1 wi c Q/ jest jednorodne stopni 0 sk d mo»emy osttecznie zpis co ko«czy zdnie Q = fk, 1 k fk, 1

3 3 Zdnie 10 Uogólnij twierdzenie Euler do przypdku funkcji n zmiennych, gdzie funkcj f jest jednorodn stopni r, tj wyk»,»e zchodzi równo± n f x i = rf x i i=1 Rozwi znie Korzystj c z denicji jendorodno±ci mmy k r f,, x n = fk,, kx n Ró»niczkuj c obie strony powy»szego równni wzgl dem k otrzymujemy n rk r 1 fk,, kx n f,, x n = x l x l l=1 Przyjmuj c w powy»szym równniu k = 1 otrzymujemy tez Zdnie 11 Niech b dzie dn jednorodn funkcj produkcji q stopni r Pokz,»e q/ x i jest funkcj jednorodn stopni r 1 Rozwi znie Niech q,, x n b dzie jednorodn funkcj produkcji stopni r Zgodnie z denicj mmy k r q,, x n = qk,, kx n Ró»niczkuj c obie strony powy»szego równni wzgl dem x l otrzymujemy k r q,, x n = qk,, kx n k x l x l sk d otrzymujemy co ko«czy zdnie k r 1 q,, x n x l = qk,, kx n x l Zdnie 1 Pokz,»e dl k»dej jednorodnej funkcji u»yteczno- ±ci stopni r 1 welth expnsion pth jest lini prost Czy jest to prwd dl homotetycznych funkcji u»yteczno±ci, tj funkcji u»yteczno±ci postci fx = Hqx, gdzie q jest jednorodn funkcj u»yteczno±ci, H jest funkcj rosn c? Rozwi znie Niech q,, x n b dzie jednorodn funkcj u»yteczno±ci stopni r, tj speªni qk,, kx n = k r q,, x n Krzyw welth expnsion pth jest to zdn prmetrycznie krzyw ˆxw = ˆ w,, ˆx n w, gdzie ˆx l, l = 1,, n s popytmi Wrs w to bogctwo Ztem ˆx = ˆ,, ˆx n jest rozwi zniem zdni optymlizcji postci mx qx, x B gdzie B = {x : p x = w} Wrunki pierwszego rz du dl powy»szego zdni s postci qˆx = λ p p ˆx = w

4 4 A wi c pierwszy wrunek optymlno±ci ozncz,»e dl dowolnych l, s zchodzi q / q = p l 1 x l x s p s Niech ˆx b dzie rozwi zniem optymlnym dl bogctw w Zmienimy terz bogctwo konsument mno» c je przez k, tj bogctwo konsument wynosi kw Jest jsne,»e koszyk kˆx speªni równnie bud»etowe, le n mocy tw Euler speªni równie» wrunek 1 wi c pierwszy wrunek optymlno±ci i konsekwentnie jest koszykiem optymlnym Ztem koszyki optymlne zkre±lj prost kˆx Dl dowolnego k > 0 rozwi znie optymlne ˆx speªni x B x B qˆx qx Powy»szy wrunek pozostje prwdziwy równie» dl funkcji H q, ±ci±le Hqˆx Hqx co ko«czy dowód Zdnie 13 Oblicz elstyczno± skli dl uogólnionej funkcji produkcji Cobb-Dougls f, x = Ax α 1 x β Zdnie 14 Dl funkcji produkcji f, x = Ax α 1 α obliczy expnsion pth Obliczy elstyczno± substytucji Zdnie 15 Niech dn b dzie funkcj produkcji f postci σ/σ 1 f, x = A x σ 1/σ x σ 1/σ, gdzie A > 0, [0, 1] i σ, 1 Obliczy elstyczno± substytucji Jk interpretcj m prmetr σ? b Pok»,»e funkcj produkcji Cobb-Dougls jest grnicznym przypdkiem funkcji f, x gdy σ 1 Jk interpretcj m prmetr? c Jk funkcj produkcji uzyskuje si, gdy σ jk gdy σ 0 i jk gdy σ 0 +? Rozwi znie Aby obliczy elstyczno± substytucji mo»emy skorzyst ze wzoru gdzie d lnx / d ln TRS = TRS x / dx / dtrs, TRS = f/ f/ x jest kr«cow stop substytucji technicl rte of substitution Tk uzbrojeni mo»emy policzy sk d ln TRS = ln 1 TRS = x 1 1/σ 1/σ x = ln σ ln x Elstyczno± skli jest zdeniown jko: ɛ = dftx t dt fx t=1 Elstyczno± substytucji σ jest zdeniown jko: σ = d x / /dp 1 /p x / /p 1 /p Elstyczno± substytucji mo»n równie» obliczy korzystj c ze wzoru σ = TRS x / dx / dtrs, gdzie TRS = f/ / f/ x Npis dgx ozncz g xdx st d mmy d lnx / = dx / x /

5 5 Mmy ztem wyr»enie d ln d ln 1 x + 1σ ln x gdzie przyjmuj c θ = lnx / mo»emy zpis d ln dθ σ θ = 1 1/σ = σ Ztem prmetr σ jest elstyczno±ci substytucji b Musimy policzy nst puj c grnic σ/σ 1 lim A x σ 1/σ σ x σ 1/σ Mmy jednk A σ/σ 1 σ/σ 1 lim x σ 1/σ σ x σ 1/σ = exp lim ln A x σ 1/σ σ x σ 1/σ je»eli grnic po prwej stronie istnieje Przyjmuj c θ = σ 1/σ obliczmy ztem grnic lim ln A x θ θ x θ 1/θ = lim ln A + 1 θ 0 θ ln x θ x θ 1 = ln A + lim θ 0 θ ln x θ x θ korzystj c z tw de l'hopitl' = ln A + lim θ 0 ln x θ ln x x θ x θ xθ = ln A + ln + 1 ln x + 1 = ln A + ln x 1 + ln = ln Ax 1 Wrcj c do oryginlnego sformuªowni otrzymujemy A σ/σ 1 lim x σ 1/σ σ x σ 1/σ = exp ln Ax 1 = Ax 1 Tk wi c prmetr jest elstyczno±ci czynnik produkcji i odpowiednio 1 jest elstyczno±ci czynnik produkcji x Poniew» + 1 = 1 wi c tk funkcj produkcji m elstyczno± skli równ 1 c Obliczenie grnicy funkcji f gdy σ jest trywilne Dl σ 0 przyjmuj c θ = σ 1/σ mmy dl > x lim A x θ x θ 1/θ = lim A θ θ [ x θ 1 = lim θ A1/θ x x θ ] 1/θ θ 1/θ

6 6 Wyr»enie 1/θ 1 przy θ wyr»enie w nwisch to przy θ wyr»enie zbiegj ce do 1 0 = 1 A ztem grnic wynosi lim A x θ x θ 1/θ = Ax1, θ co przy zªo»eniu > x mo»n zpis mx, x W sytucji gdy < x wyci gmy przed nwis 1 x i otrzymujemy grnic x Tk wi c grnic funkcji f, x przy σ 0 wynosi mx, x W przypdku grnicy σ 0 +, tj θ, obliczeni s identyczne le przed nwis wyci gmy nie mx, x min, x i otrzymujemy wynik lim σ 0 + f, x = min, x Tblic 1: Wyniki zbie»no±ci funkcji f, x Grnic σ Grnic θ Funkcj grniczn σ θ 1 A + 1 x σ 0 θ mx, x σ 0 + θ min, x σ 1 θ 0 Ax 1 Tblic 1 zbier uzyskne wyniki zbie»no±ci Odpowiednie interpretcje wynikj bezpo±rednio lbo z przeliczeni σ lbo z grnicy i odpowiedniego przeliczeni Tblic t mówi równie» jkie elstyczno±ci substytucji mj funkcje grniczne