Wykład 23 Obwody prądu zmiennego

Transkrypt

1 Wkłd 3 Owod prądu miennego Owód prądu miennego jes o dowoln espół połąonh międ soą oporników, kondensorów i ewek indukjnh, w kórh płną prąd mienne w sie e słą ęsośią oprm njpross prpdek owodu prądu miennego wierjąego opór elekrn, kondensor o pojemnośi, ewkę o indukjnośi i źródło prądu miennego os. 3. Jeżeli romir kiego owodu nie są duże, pojemność kondensor i indukjność nie są ndmiernie młe, o możn wkć, e nężenie prądu jes prwie słe w kżdej hwili we wsskih prekrojh owodu. Tkie prąd nwm kwiuslonmi i możem dl h prądów sosowć prw dl owodów e słm prądem. Jeżeli onm pre wrość hwilową npięi n okłdkh kondensor, o godnie prwem Ohm możem pisć I, 3. s gdie di s, 3.3 d jes SM smoindukji ewki, I - spdek poenjłu n opore. Biorą pod uwgę, że dq I, d q, 9

2 wór 3. możem pisć w posi d q dq os q. 3.4 d d Onją δ,, F, prepism równnie 3.4 q δq q F os. 3.5 Z równniem 3.5 już spokliśm n wkłdh pierwsej ęśi Fiki Ogólnej. To jes równnie wmusonh drgń oslor hrmoninego łumieniem. Znjdiem rowiąnie równni 3.5, korsją innej meod niż o roiliśm weśniej. owiąnie równni 3.5 łwiej sukć korsją li espolonh, minowiie ędiem sukli rowiąnie równni 3.5 w posi os i sin i q qe q. 3.6 Biorą pod uwgę, że i i q q e i, q q e, i pisują prwą ęść równni 3.5 w posi i F e, równni 3.5 ormujem nsępująe równnie lgerine n q Skąd iqδ q q F. 3.7 q F iδ F F i δ 4δ δ Poniewż i Ae i Aos iasin, A, g, 9

3 rowiąnie 3.8 możem pisć w posi gdie q q exp i, 3.9 q i 4δ δ g. 3. Osene rowiąnie równni 3.5 prjmuje posć ewis ęść rowiąni 3. wnosi [ i ] q q exp. 3. q q os. 3. eonns. Doroć owodu Z leżnośi q od ęsośi wmusjąej SM, predswionej n rsunku, wnik, pr gwłownie rośnie wrość q ,res Krw reonnsow q. δ < δ < δ 3 Zjwisko gwłownego wrosu mpliud miennego w sie łdunku elekrnego, również wros mpliud prądu miennego w owodie i mpliud npięi n okłdkh 93

4 kondensor, pr liżniu wielkośi pulsji wmusjąej SM do wrośi / nosi nwę reonnsu elekrnego. Korsją e woru 3. dl prądu miennego, kór płnie w owodie ormujem dq I I sin π, 3.3 d gdie I δ "Osrość" reonnsowej krwej prądu miennego 3.4 możem wrić pomoą serokośi połówkowej wględnej, równej /, gdie, ęsośi, są ęsośi dl kórh I I. 3.5, wględniją wór 3.4, dl ęsoliwośi, ormujem równnie 4δ δ. Skąd 8δ 4δ δ. 3.6 ± ównnie 3.6 m rowiąnie, δ δ. δ δ Skąd dl serokośi połówkowej wględnej njdujem δ / /

5 Wielkość odwron do serokośi połówkowej wględnej nosi nwę doroi Q owodu Q. 3.8 owodie Opor poorne ewki indukjnośi i kondensor Korsją e woru 3. njdujem nsępują wór n prąd, kór płnie w I dq d i [ i ] ii e exp i ii exp. 3.9 wględniją, że δ / i /, pism wór 3.4 w posi I 4δ δ. 3. Po podswieniu 3. do równni 3.9 i uwględnieniu, że exp i ormujem I i exp i. 3. Onją pre Z, 3. Z i exp i wór 3. możem pisć w posi 95

6 Z I. 3.3 Wór 3.3 jes nlogin do woru, wrżjąego prwo Ohm dl prądu słego I /. W wiąku m urojon wielkość Z nw się oporem poornm lo wdą. Poniewż δ g, os g, os sin g, e woru 3. njdujem exp i i Z sin os i i i. 3.4 Ze worów 3.3 i 3.4 wnik, że w prpdku owodów prądów miennh możem sosowć prw słusne dl owodów prądu słego prwo Ohm i prw Kirhhoff, jeżeli ewe indukjnośi i kondensorowi prpisem opor poorne i Z, i Z

7 ównni Mxwell N poprednih wkłdh ponliśm posególnmi równnimi pol elekromgnenego. Ter pisem je wsskie w rdjnej formie wnej równnimi Mxwell. Pierwse równnie Mxwell równnie 3.6 lo 3.6 wrż prwo indukji Frd: mienn w sie srumień mgnen jes źródłem wirowego pol elekrnego. łkow posć równń Mxwell óżnikow posć równń Mxwell B dl ds, 3.6 S [ ] B ro, 3.6 dl S D j ds, 3.7 [ ] ro D j, 3.7 S D ds ρ dv, 3.8 V B ds. 3.9 S D divd ρ B divb, Z drugiego równni Mxwell równnie 3.7 lo 3.7 wnik, że pole mgnene jes polem wirowm i źródłem ego pol są prąd prewodeni or prąd presunięi. Treie równnie Mxwell równnie 3.8 lo 3.8 jes równowżne prwu oulom. Z niego również wnik, że źródłem pol elekrnego poenjlnego są łdunki elekrne i linii pol elekrnego nją się i końą się n łdunkh elekrnh. wre równnie Mxwell równnie 3.9 lo 3.9 on że w prrodie nie isnieją "łdunki" mgnene i linii pol mgnenego są linimi mknięmi. W eorii Mxwell elekrne i mgnene włśiwośi ioropowego środowisk są określne rem wielkośimi: preniklnośią dielekrn ε susnji preniklnośią mgneną D ε ε,

8 3 prewodnośią elekrną włśiwą σ B, 3.3 j σ. 3.3 kłd ereh równń or r równni merilne worą pełn ukłd równń eorii pol elekromgnenego Mxwell. Fle elekromgnene. ównnie flowe Mxwell po r pierws udowodnił, że równń pol elekromgnenego wnik możliwość isnieni nwe w pusej presreni próżni fl elekromgnenh, rohodąh się prędkośią równej prędkośi świł w próżni. Ten fk powolił Mxwellowi łożć, że świło jes nim innm, jk flą elekromgneną. owżm elekromgneną eorię świł Mxwell i njpierw pism równni Mxwell w ioropowm ośrodku nie wierjąej łdunków elekrnh ρ i prądów prewodeni j : [ ] B, 3.33 [ ] D, 3.34 ε, 3.35 D ε B W równnih 3.35 i 3.36 uwględniliśm, że dl ioropowh ośrodków B. Pomnóżm ousronnie równni 3.33 i 3.34 wekorowe pre operor [ [ ] ] [ B] D ε ε i, 3.37 [ [ ]] [ D]

9 Korsją ożsmośi wekorowej "" minus "" ]] [ [, njdujem dl lewh ęśi równń 3.37 i 3.38 [ ] ] [, 3.39 [ ] ] [. 3.4 Tu uwględniliśm wór 3.35 i wór 3.36 or wór x. 3.4 Dl prwh ęśi równń 3.37 i 3.38, iorą pod uwgę wor 3.33 i 3.34, ormujem ] [ ] [ D B ε ε, 3.4 ] [ ] [ B D ε ε ε ε ε ε Po podswieniu równń 3.39, 3.4 i 3.4, 3.43 do równń 3.37 i 3.38 osenie ormujem, 3.44, 3.44 gdie ε ε

10 Z równnimi pu 3.44 i 3.44 już spokliśm w pierwsej ęśi Podsw Fiki. To są k wne równni flowe. Określją oni ruh flow prędkośią. Pred m jk rowżć rowiąni równń flowh roprm prpdek próżni pusej presreni dl kórej ε. W m prpdku, jk widć e woru 3.45, prędkość fli jes określon lko pre fundmenlne słe ε i i jes równ, jk okuje się prędkośi świł w 6 próżni ε 8,9 / N,,3 / m m m / s. ε 8,9,3 To, że wielkość / ε pokrw się prędkośią świł w próżni nie jes prpdkową i wnik ego, że rowiąni równń 3.44 repreenują fli elekromgnene, świło jes włśnie nim innm jko flmi elekromgnenmi. W ośrodku, godnie 3.45, prędkość fli elekromgnenej jes mniejs od prędkośi fli w próżni i wnosi < ε dowodnim er, że rowiąnimi równń 3.44 i 3.44 są fle elekromgnen rohodąe się prędkośią. W elu uproseni pisu, pism równnie 3.44 lko dl - skłdowej wekor x 3.47 i łóżm, e / x /. Wed równni 3.47 mm owiąnie równni 3.48 łwo nleźć wprowdją nowe mienne owżją er, jko funkję miennh, njdujem 3

11 , Ze worów 3.5 wnik, że, Korsją e worów 3.5 ormujem, Po podswieniu 3.5 i 3.53 do równni 3.48 njdujem Łwo sprwdić, że rowiąniem równni 3.54 jes sum dwóh dowolnh funkji Ψ i Ψ, Ψ Ψ Isonie, różnikują 3.55 wględem miennej ormujem Φ Ψ óżnikują nsępnie 3.56 wględem miennej uskujem równnie Pre mienne i pr wór 3.49 równnie 3.55 możem pisć w posi 3

12 , Ψ Ψ owżm er jkiś punk A n krwej Ψ. Wed równośi ons wnik, że wrosowi su odpowid również wros. A em punk A ędie presuwł się w dodnim kierunku osi prędkośią. A wię funkj Ψ repreenuje flę rohodąą się w dodnim kierunku osi. Odpowiednie, funkj Ψ repreenuje flę rohodąą się w ujemnm kierunku osi. dowodniliśm, że równnie 3.48 jes równniem fl rohodąh się prędkośią świł w dodnim i ujemnm kierunkh osi. W gdnienih prknh njwżniejsmi są fle o ksłie [ k ± ] Ψ, Ψ, os, 3.58 gdie k π / λ πν / λ ν /. W pisie espolonm fl 3.58 m posć [ i k ± ] Ψ, Ψ, exp Powierhni f słej k ± ons fli określonej worem oło fli, są płsnmi prosopdłmi do kierunku rohodeni się fli, li są prosopdłe do osi O. Fli kie nwm flmi płskimi. Fli posi 3.58 nwm monohromnmi leżą lko od jednej ęsośi i hrmoninmi opisuje ih funkj os lo sin flmi. Fli płskie są dorm prliżeniem w prpdku, gd rowżm punk njdująe się rdo dleko od źródł fli. Gdś jednk odległość od źródł nie jes wsrjąo duż, sosujem prliżenie fli kulisej. Kulis fl hrmonin m posć 3

13 Ψ r, Ψ r os kr, 3.6 lu, w pisie espolonm: Ψ Ψ r, exp[ i kr ]. 3.6 r W równnih 3.6 wielkość r jes odległośią punku od źródł fli. W prpdku fli kulisej powierhni słej f kr ons ędą mił posć konenrnh powierhni sfernh, nie płsn. Opró fl płskih i kulish sosujem eż smi prliżenie fli wlowej. To prliżenie jes dorm w prpdku źródł liniowego, lo pr prejśiu fli płskiej pre nieskońenie długą i rdo wąską selinę. ównnie fli wlowej hrmoninej wgląd k sme jk równni 3.6. Jednk er w h równnih wielkość r x, oś O jes osią smerii wl, kże źródłem fli. owżm er flę płską posi [ i k ] exp,. 3.6 x Z pierwsego równni Mxwell 3.33 njdujem e x Bx B B [ ] ex ex e e x e e

14 Skąd B x ik B B, Z dwóh osnih równń wnik, że B B. łkują pierwse równń 3.63 wględem su ormujem B k, ik exp[ i k ] d os k, x Tu uwględniliśm, że k / π /π λ ν /. Biorą pod uwgę, że / ε ε or B wór 3.64 możem również pisć w posi, ε ε, x Z równń 3.6 i 3.65 wnik, że:. drgni pol elekrnego i mgnenego są wiąn międ soą; sąd e fli nwm flmi elekromgnenmi;. fle elekromgnene są flmi poprenmi: wekor i B njdują się w płsźnie prosopdłej do kierunku rohodeni się fli k k e ; 3. rójk wekorów, B, k wor rójkę wjemnie prosopdłh wekorów; 4. wjemnie prosopdłe wekor i B drgją w jednej fie, li jednoeśnie osiągją wrośi erowe i mksmlne. Wekor Poning - mow owżn wżej fl elekromgnen prenosi w kierunku osi energię pol elekromgnenego. Prędkość prepłwu energii w dowolnej fli elekromgnenej pre jednoskową powierhnię opisuje k wn wekor Poning - mow S [ ] dowodnim wór 3.66 n prkłdie fli elekromgnenej 3.6 i 3.64 rohodąej się w kierunku osi. 34

15 W iągu su d pre powierhnie ds prosopdłej do osi prepłnie energi wr w ojęośi dv d ds dw w d ds, 3.67 gdie w - gęsość ojęośiow energii pol elekromgnenego w D B ε ε Z równni 3.65 wnik, że, ε ε, A em e woru 3.68 njdujem w ε ε ε ε ε ε [. 3.7 Po podswieniu 3.7 do woru 3.67 ormujem [ ] dw w d ds d ds. 3.7 Skąd dl prędkośi prepłwu energii fli elekromgnenej pre jednoskową powierhnie prosopdł do kierunku propgji fli uskujem [ ] S