AN ATTEMPT OF APPLY THE WEIBULL DISTRIBUTION IN ROAD TRAFFIC LOSSES ANALYSIS PRÓBA ZASTOSOWANIA ROZKŁADU WEIBULLA DO ANALIZ STRAT W RUCHU DROGOWYM

Transkrypt

1 Journal of KONBiN 4(7)2008 ISSN AN ATTEMPT OF APPLY THE WEIBULL DISTRIBUTION IN ROAD TRAFFIC LOSSES ANALYSIS PRÓBA ZASTOSOWANIA ROZKŁADU WEIBULLA DO ANALIZ STRAT W RUCHU DROGOWYM Ania Milewska 1, Joanna Żukowska 2 (1) Gdansk Universiy of Technology, Faculy of Applied Physics and Mahemaics Poliechnika Gdańska, Wydział Fizyki Technicznej i Maemayki Sosowanej Gdańsk ul. Naruowicza 11 (2) Gdansk Universiy of Technology, Faculy of Civil and Environmenal Engineering Poliechnika Gdańska, Wydział Inżynierii Lądowej i Środowiska Gdańsk ul. Naruowicza 11 s: (1)amilewska@mif.pg.gda.pl, (2)joanna.zukowska@wilis.pg.gda.pl Absrac: The paper presens an aemp of applying he Weibull disribuion for he purpose of analysing road raffic losses (faaliies). The quesion i asks is wheher reliabiliy engineering mehods can be applied for he analyses. If his is he case, wha should be he inerpreaion of he numbers and erms? I was assumed ha he losses generaed by a malfuncioning road ranspor sysem are faaliies. Risk exposure o hese losses is defined wih he average number of vehicles using he roads. Key words: road safey, faaliies, Weibull disribuion, reliabiliy Sreszczenie: W referacie przedsawiono próbę zasosowania rozkładu Weibulla do analiz sra (ofiar śmierelnych) w ruchu drogowym. Posawiono w nim pyanie: czy mogą być one analizowane meodami niezawodności echnicznej? A jeżeli ak, o jaka jes inerpreacja poszczególnych wielkości i pojęć? Przyjęo, że sray wynikające z nieprawidłowego funkcjonowania sysemu ransporu drogowego o śmierelne ofiary wypadków drogowych. Ekspozycja na ryzyko pojawienia się ych sra jes naomias określana średnią liczbą pojazdów, jaka rzeczywiście bierze udział w ruchu drogowym. Słowa kluczowe: ruch drogowy, bezpieczeńswo, śmierelne ofiary wypadków drogowych, rozkład Weibulla, niezawodność Downloaded from PubFacory a 08/01/ :53:09PM

2 132 Milewska A., Żukowska J. TESTING THE WEIBULL DISTRIBUTION IN ROAD TRAFFIC LOSSES ANALYSIS 1. Inroducion The world oday depends on efficien ranspor sysems for developmen. This includes road safey. Scienific sudies are key o undersanding his problem [2]. Research is equally imporan for carrying ou broader analyses o idenify global rends, compare he figures from differen counries, sudy he effeciveness of he measures and forecas he developmens in he years o come. Sudies of road safey problems primarily use he following mehods [4]: saisical sudies (models of road safey measures disribuion, models of road safey indicaors, before and afer analyses, facor analyses, regression analyses, ec.), behavioural sudies (roadside observaions, in-vehicle observaions, laboraory ess, conflic observaions, inerviews and surveys, ec.), ess using models including physical models, simulaion and analyical models. This paper presens an example of applying he Weibull disribuion and how i can be used o analyse road raffic losses (faaliies). The quesion i asks is wheher reliabiliy engineering mehods can be used o analyse ranspor losses? And if his is he case, wha should be he inerpreaion of he numbers and erms? In our approach i was assumed ha he loss generaed by a malfuncioning road ranspor sysem is road deahs. The exposure o he risk of generaing hese losses is defined wih he average number of vehicles ha acually use he roads. 2. Chaper Weibull s Disribuion Le us consider a family of funcions of his form: δ 1 exp F( ) = θ 0 dla > 0, (1) dla 0 Downloaded from PubFacory a 08/01/ :53:09PM

3 An aemp of apply he Weibull disribuion.. Próba zasosowania rozkładu Weibulla do analiz sra where δ, θ are any real and posiive numbers. For he se parameers δ, θ funcion F () is he cumulaive disribuion funcion of random variable T, which we say has a Weibull disribuion [1, 3]. Because of he infinie number of imes we can choose he values δ, θ we can es wheher he propery T has a cumulaive disribuion funcion wih a disribuion funcion which belongs he disribuion funcion class F ( ; δ, θ ), where unknown parameers δ, θ are deermined using a sample. I is sufficien o consider he cumulaive disribuion funcion of a random variable T wih a Weibull disribuion for > 0 only, i.e. δ F( ) = 1 exp( ). We ransform [1]: θ 1 x = ln, y = ln ln, (2) 1 F( ) and represen he disribuion s disribuion funcion as a line: y = δ x lnθ. (3) The coefficiens of his line can be deermined using he mehod of leas squares using he empirical disribuion funcion F E () for = i, i = 1, n, where n means he size of he sample. This also deermines parameers δ, θ of he Weibull disribuion Deermining he parameers δ, θ using a sample We are going o analyse monhly road crash faaliy numbers colleced from 1 January 1990 o 31 December We will include annual figures of passenger cars beween and , which show ha he average number of passenger cars was A = Le random variable T denoe ime (number of monhs from 1 January 1990) of road deahs records. The quesion is wheher random variable T has a Weibull disribuion? The available daa are used o deermine he empirical disribuion funcion F E (), which is ha for 0 we have F E ( ) = 0 and for = i, where i = 1, 204 (204 is he number of monhs from 1 January Bi 1990 o 31 December 2006), we have FE ( i ) =, where B i means he γ A cumulaive number of faaliies from he sar of monh 1 unil he end of monh i, and γ is he posiive coefficien. Downloaded from PubFacory a 08/01/ :53:09PM

4 134 Milewska A., Żukowska J. For he purpose of he analysis we agreed ha road raffic is used monhly by 70% of he average number of passenger cars. The model can also be applied if he coefficien γ = 0, 7 is replaced wih e.g. γ = 0, 6 or γ = 0, 8 or γ = 1 ec. Bu he objecive of his paper is no o deermine he opimal value of he coefficien, bu o es wheher feaure T, which is significan for road safey has a Weibull disribuion. Poins ( i, FE ( i )), i = 1, 204, correspond in he ransformaion (2) o poins ( x i, yi ), which are approximaely on a line (see Fig.1). Tha way we have carried ou an iniial verificaion of he proposiion ha he propery has a Weibull disribuion. Using he mehod of leas squares we esablish ha he line has he equaion y = 1,00378 x 9, For he sample under analysis poins ( x i, yi ), i = 1, 204 and he line are presened in Fig.1. y x Fig.1. Poins ( x i, yi ) and sraigh line y = 1,00378 x 9, According o formula (3) we ge wih some approximaion: δ = 1,00378, θ = exp(9,54681) = 13999, (4) The above values are subsiued o formula (1) and we ge funcion F (), which we call he heoreical (hypoheical) disribuion funcion. There are only minor differences beween he values F ) of he empirical E ( i disribuion funcion and values F ( i ) of he heoreical disribuion. The graphs of boh disribuion funcions for = 1, 204 are given in Fig. 2 (darker colour is he heoreical disribuion funcion). Downloaded from PubFacory a 08/01/ :53:09PM

5 An aemp of apply he Weibull disribuion.. Próba zasosowania rozkładu Weibulla do analiz sra Fig.2. Graphs of funcions F (), F E () for = 1, Verifying he Weibull s disribuion hypohesis We make he hypohesis ha random variable T has a Weibull disribuion wih parameers δ, θ. The values of hese parameers are esimaed using he sample. They are given in formula (4). We will verify he hypohesis using he Kolmogorov es [5] a significance level of α = 0, 05. The es saisics is D = sup F( ) F ( ). For significance level of α = 0, 05 he i i E i criical value of Kolmogorov saisics is d 1,354. If ( 0,05) = 204 D < d (0,05), hen he sample does no conradic he hypohesis a significance level of α, oherwise he hypohesis will be rejeced for he significance level adoped. Following he calculaions we ge 204 D 0, < d(0,05), so he sample under analysis a significance level of α = 0, 05 does no conradic he hypohesis ha he feaure T has a Weibull disribuion. 3. Chaper Analysing he properies of a feaure wih Weibull s disribuion The parameers δ, θ given in formula (4) were esimaed on he basis of he sample. They can be used o analyse cerain funcions [1, 3], e.g. he densiy funcion f (), inensiy funcion λ (), reliabiliy funcion R (). These funcions for a Weibull disribuion are deermined for > 0 wih he following formulas: δ δ = δ 1 δ δ 1 δ f ( ) exp, λ( ) =, R( ) = exp, θ θ θ θ Downloaded from PubFacory a 08/01/ :53:09PM

6 136 Milewska A., Żukowska J. and for 0 we have f ( ) = 0, λ ( ) = 0, R ( ) = 1. Graphs of he funcion λ (), R () are given in Fig R Fig.3. Graphs of funcions λ (), R () 3.2. Inerpreing he resuls of he analysis The sysem operaes in a failure mode. Losses occur in he sysem (in our case hey are faaliies). Random variable T means he operaion ime wih a failure, F () is he probabiliy of faaliies occurring unil momen, while R () means he probabiliy ha faaliies will occur afer momen. Funcion R () is decreasing, which in our case means ha he probabiliy of a faaliy afer momen decreases. This is he ype of siuaion, which he Naional Road Safey Programme GAMBIT 2005 expecs. The dynamics of he decrease in sysem failure reliabiliy is defined by inensiy funcion λ (). We can accep ha funcion λ () is in his case he inensiy funcion of lack of loss. For esimaed parameers δ, θ he funcion is increasing, which means ha lack of losses increases which in urn means ha losses are in decline (more road users do no die in road accidens). This is he desirable siuaion. Bu he quesion remains: is he dynamics of he decline saisfacory? 4. Conclusions Random variable T has a Weibull disribuion for differen values of γ. The mehod hypoheically can use oher mehods for modelling risk exposure in a road ranspor sysem, for example by using informaion abou he number of kilomeres ravelled (vehicle kilomeres), number of vehicles (no jus passenger cars) or he size of he populaion. Mehods based on he reliabiliy heory can be used for analysing losses generaed in road ranspor, bu he values will be inerpreed individually. Downloaded from PubFacory a 08/01/ :53:09PM

7 An aemp of apply he Weibull disribuion.. Próba zasosowania rozkładu Weibulla do analiz sra I was esablished ha he global road safey rend measured wih he number of road deahs is posiive, i.e. declining. However, here is reason o believe ha he dynamics of he faaliy reducion is oo small o reach he arge se ou in he Naional Road Safey Programme GAMBIT 2005 of no more han 2800 faaliies in The mehod offers new opporuniies for road ranspor safey analysis. I enables comparisons beween differen counries, he progress made in reaching arges and how i was achieved and he links beween raffic risk and level of exposure. This mehod can also be used for forecass and simulaions. References 1. Bobrowski D.: Wprowadzenie maemayczne do eorii niezawodności. Wyd. PP, Poznań, Hakamies-Blomqvis L.: Ageing Europe: The Chalanges and Opporuniies for Transpor Safey. ETSC Koźniewska I., Włodarczyk M.: Modele odnowy, niezawodności i masowej obsługi. PWN, Warszawa, OECD: Road safey principles and models. Road Transpor Research. OECD Publicaion. Paris, Plucińska A., Pluciński E.: Rachunek prawdopodobieńswa. Saysyka maemayczna. Procesy sochasyczne. WN-T, Warszawa Downloaded from PubFacory a 08/01/ :53:09PM

8 138 Milewska A., Żukowska J. PRÓBA ZASTOSOWANIA ROZKŁADU WEIBULLA DO ANALIZ STRAT W RUCHU DROGOWYM 1. Wsęp Rozwój współczesnego świaa w zdecydowanym sopniu zależy od sprawności funkcjonowania sysemu ransporowego, w ym od bezpieczeńswa ruchu drogowego. Badania naukowe mają fundamenalne znaczenie dla poznania isoy ego zjawiska [2]. Są akże niezbędne na poziomie analiz znacznie szerszych, wyjaśniających globalne rendy, porównujących syuacje w różnych krajach, skueczność podejmowanych działań, prognozujących rozwój syuacji w nadchodzących laach. Podsawowymi meodami badań sosowanymi w odniesieniu do problemów bezpieczeńswa ruchu drogowego (brd) są [4]: badania saysyczne (modele rozkładów miar brd, modele rendów wskaźników brd, analizy przed i po, analizy czynnikowe, analizy regresyjne ip.), badania behawioralne (obserwacje na drodze, obserwacje w pojeździe, esy laboraoryjne, obserwacje syuacji konflikowych, wywiady i badania ankieowe ip.), badania na modelach z uwzględnieniem modeli fizycznych, modeli symulacyjnych oraz modeli analiycznych. W niniejszym referacie przedsawiona zosała próba zasosowania rozkładu Weibulla do analiz sra (ofiar śmierelnych) w ruchu drogowym. Posawiono w nim pyanie: czy wielkość sra w ransporcie drogowym może być analizowana meodami niezawodności echnicznej? A jeżeli ak, o jaka jes inerpreacja poszczególnych wielkości i pojęć? W zaprezenowanym podejściu przyjęo, że sray wynikające z nieprawidłowego funkcjonowania sysemu ransporu drogowego o śmierelne ofiary wypadków drogowych. Wprowadzono założenie, że ekspozycja na ryzyko pojawienia się ych sra jes określana średnią liczbą pojazdów osobowych, jaka bierze udział w ruchu drogowym. Downloaded from PubFacory a 08/01/ :53:09PM

9 An aemp of apply he Weibull disribuion.. Próba zasosowania rozkładu Weibulla do analiz sra Rozdział Rozkład Weibulla Rozważmy rodzinę funkcji posaci: δ 1 exp F( ) = θ 0 dla > 0, (1) dla 0 gdzie δ, θ są dowolnymi liczbami rzeczywisymi dodanimi. Dla usalonych paramerów δ, θ funkcja F () jes dysrybuaną pewnej zmiennej losowej T, o kórej mówimy, że ma rozkład Weibulla [1,3]. Ze względu na nieskończoną ilość możliwości wyboru warości δ, θ możemy zbadać, czy rozważana cecha T ma rozkład o dysrybuancie należącej do klasy dysrybuan F ( ; δ, θ ), gdzie nieznane paramery δ, θ wyznacza się wówczas na podsawie próby. Wysarczy rozważyć dysrybuanę zmiennej losowej T o rozkładzie δ Weibulla ylko dla > 0, czyli F( ) = 1 exp( ). Wprowadzając θ przekszałcenie [1]: 1 x = ln, y = ln ln, (2) 1 F( ) odwzorowujemy dysrybuanę rozkładu w prosą: y = δ x lnθ. (3) Współczynniki ej prosej można wyznaczyć meodą najmniejszych kwadraów z wykorzysaniem dysrybuany empirycznej F E () dla = i, i = 1, n, gdzie n oznacza liczność próby. Tym samym wyznaczone zosaną paramery δ, θ rozkładu Weibulla Wyznaczanie paramerów δ, θ na podsawie próby Poddamy analizie dane miesięczne o ilości ofiar śmierelnych w wypadkach drogowych, zebrane od 1 sycznia 1990 r. do 31 grudnia 2006 r. Uwzględnimy ponado dane roczne o ilości pojazdów osobowych w laach i , z kórych wynika, że średnia ilość pojazdów osobowych wynosiła A = Downloaded from PubFacory a 08/01/ :53:09PM

10 140 Milewska A., Żukowska J. Niech zmienna losowa T oznacza czas (liczony w miesiącach począwszy od 1 sycznia 1990r.) rejesrowania ofiar śmierelnych w wypadkach drogowych. Nasuwa się pyanie, czy zmienna losowa T ma rozkład Weibulla? Na podsawie posiadanych danych wyznaczamy dysrybuanę empiryczną F E (), aką że dla 0 mamy F E ( ) = 0 oraz dla = i, Bi i = 1, 204, mamy FE ( i ) =, gdzie B i oznacza skumulowaną ilość γ A ofiar śmierelnych od począku miesiąca nr 1 do końca miesiąca nr i, naomias γ jes dodanim współczynnikiem. W analizie przyjęliśmy założenie, że w ruchu drogowym uczesniczy miesięcznie 70% średniej ilości pojazdów osobowych, zn. przyjęliśmy γ = 0, 7. Uwaga. Jak sprawdzono, przedsawiony model ma zasosowanie również wedy, gdy zamias współczynnika γ = 0, 7 przyjmiemy np. γ = 0, 6 lub γ = 0,8 lub γ = 1 ip. Jednak celem ej pracy nie jes dyskusja nad opymalną warością ego współczynnika, lecz sprawdzenie m. in., czy cecha T isona z punku widzenia brd ma rozkład Weibulla przy różnych γ. Punkom ( i, FE ( i )), i = 1, 204, odpowiadają przy przekszałceniu (2) punky ( x i, yi ), kóre w przybliżeniu leżą na prosej (rys.1). W en sposób dokonaliśmy wsępnej weryfikacji hipoezy, że badana cecha ma rozkład Weibulla. Meodą najmniejszych kwadraów orzymujemy, że wspomniana prosa ma równanie y = 1,00378 x 9, Dla analizowanej próby punky ( x i, yi ), i = 1, 204, oraz wyznaczoną prosą przedsawiono na rys.1. y x Rys.1. Punky ( x i, yi ) i prosa y = 1,00378 x 9, Downloaded from PubFacory a 08/01/ :53:09PM

11 An aemp of apply he Weibull disribuion.. Próba zasosowania rozkładu Weibulla do analiz sra Zgodnie ze wzorem (3) orzymujemy z pewnym przybliżeniem: δ = 1,00378, θ = exp(9,54681) = 13999,96348 (4) i nasępnie mamy funkcję F (), kórą nazywamy dysrybuaną eoreyczną (hipoeyczną). Warości F E ( i ) dysrybuany empirycznej i warości F ( i ) dysrybuany eoreycznej różnią się niewiele, o czym świadczą wykresy obu dysrybuan przedsawione dla = 1, 204 na rys.2 (kolorem ciemniejszym zaznaczony jes wykres dysrybuany eoreycznej) Rys.2. Wykresy funkcji F (), F E () dla = 1, Weryfikacja hipoezy o rozkładzie Weibulla Sawiamy hipoezę, że rozważana zmienna losowa T ma rozkład Weibulla o paramerach δ = 1, 00378, θ = 13999, Posawioną hipoezę zweryfikujemy za pomocą esu Kołmogorowa [5] na poziomie isoności α = 0,05. Saysyką esową jes D = sup F( ) F ( ). Dla poziomu isoności α = 0, 05 warość kryyczna saysyki Kołmogorowa wynosi d ( 0,05) = 1,354. Skoro 204 D 0, < d(0,05), więc analizowana próba nie przeczy na poziomie isoności α = 0, 05 hipoezie, że badana cecha T ma rozkład Weibulla. 3. Rozdział Analiza właściwości badanej cechy o rozkładzie Weibulla Oszacowane na podsawie próby warości paramerów δ, θ, kóre przedsawia wzór (4), pozwalają na zbudowanie i analizę pewnych funkcji eorii niezawodności [1, 3], np. funkcji gęsości f (), funkcji inensywności i i E i Downloaded from PubFacory a 08/01/ :53:09PM

12 142 Milewska A., Żukowska J. λ (), funkcji niezawodności R (). Funkcje e dla rozkładu Weibulla określone są dla > 0 nasępującymi wzorami: δ δ = δ 1 δ δ 1 δ f ( ) exp, λ( ) =, R( ) = 1 F( ) = exp, θ θ θ θ naomias dla 0 jes f ( ) = 0, λ ( ) = 0, R ( ) = 1. Wykresy funkcji λ (), R () dla obliczonych warości δ, θ przedsawione są na rys.3 (na osi pionowej dla wykresu funkcji λ () przyjęo λ ( ) 10 ) Inerpreacja wyników analizy R Rys.3. Wykresy funkcji λ (), R () Analizowany sysem jes sysemem pracującym awaryjnie. Pojawiają się w nim sray (w naszym przypadku ofiary śmierelne). Zmienna losowa T oznacza u czas pracy z awarią, F () oznacza prawdopodobieńswo, że do chwili pojawią się ofiary śmierelne, naomias R () oznacza prawdopodobieńswo, że po chwili pojawią się ofiary śmierelne. Funkcja R () jes malejąca, co w naszym przypadku oznacza, że prawdopodobieńswo pojawienia się ofiary śmierelnej po chwili maleje. Jes o syuacja, kórej z punku widzenia Krajowego Programu Bezpieczeńswa Ruchu Drogowego GAMBIT 2005 oczekujemy. Dynamika spadku niezawodności awarii sysemu określana jes przez funkcję inensywności λ (). Można zaem przyjąć, że funkcja λ () jes u funkcją inensywności braku sra. Dla oszacowanych paramerów δ, θ funkcja a jes rosnąca, co oznacza, że brak sra rośnie, a o de faco znaczy, że sray maleją (więcej uczesników ruchu drogowego nie saje się ofiarami śmierelnymi wypadków drogowych). Jes o syuacja przez nas pożądana. Pozosaje jednak pyanie, czy dynamika spadku ych sra jes saysfakcjonująca? Downloaded from PubFacory a 08/01/ :53:09PM

13 An aemp of apply he Weibull disribuion.. Próba zasosowania rozkładu Weibulla do analiz sra Wnioski Zmienna losowa T ma rozkład Weibulla dla różnych warości współczynnika γ. Zaprezenowana meoda hipoeycznie pozwala wykorzysywać inne sposoby modelowania wielkości ekspozycji na ryzyko w sysemie ransporu drogowego, np. poprzez wykorzysanie informacji o liczbie przejechanych kilomerów (zw. pojazdo-kilomery), liczbie pojazdów (nie ylko osobowych) lub liczbie mieszkańców. Meodami eorii niezawodności można analizować wielkość sra w ransporcie drogowym, przy czym poszczególne wielkości mają swoją inerpreację. Okazało się, że globalny rend poprawy bezpieczeńswa mierzony liczbą śmierelnych ofiar wypadków drogowych jes pozyywny, o znaczy malejący. Wszysko wskazuje jednak na o, że dynamika spadku liczby ofiar śmierelnych jes zby mała, by osiągnąć cel Krajowego Programu Bezpieczeńswa Ruchu Drogowego GAMBIT 2005, zn. nie więcej niż 2800 ofiar śmierelnych w roku Przedsawiona meoda swarza nowe możliwości analiz bezpieczeńswa w ransporcie drogowym, chociażby w zakresie porównań międzynarodowych, analiz dynamiki osiągania celów i ich sposobów, badania związku ryzyka w ruchu drogowym z wielkością ekspozycji, ponado meodę ę można wykorzysać do prognozowania oraz symulacji. Dr MILEWSKA ANITA, adiunk na Wydziale Fizyki Technicznej i Maemayki Sosowanej Poliechniki Gdańskiej. Specjalizacja: meody maemayczne w echnice, układy dynamiczne, nieklasyczny rachunek operaorów Dr inż. ŻUKOWSKA JOANNA, adiunk na Wydziale Inżynierii Lądowej i Środowiska Poliechniki Gdańskiej. Specjalizacja: inżynieria ruchu drogowego, bezpieczeńswo ruchu drogowego, poliyka ransporowa Downloaded from PubFacory a 08/01/ :53:09PM

14 144 Milewska A., Żukowska J. Downloaded from PubFacory a 08/01/ :53:09PM