WSTĘP DO TEORII POMIARÓW

Transkrypt

1 Spis treści POMIARY WIELKOŚCI FIZYCZNYCH I ICH BŁĘDY...1 METODY POMIAROWE...5 NIEPEWNOŚĆ POMIAROWA I METODY JEJ OKREŚLENIA...7 Niepewość stadardowa pomiarów bezpośredich...8 Ocea iepewości pomiarowej typu A...8 Ocea iepewości pomiarowej typu B...15 Niepewość stadardowa pomiarów pośredich...17 Niepewość rozszerzoa...1 Dokładość metody zerowej mostkowej - przykład...3 WSTĘP DO TEORII POMIARÓW POMIARY WIELKOŚCI FIZYCZNYCH I ICH BŁĘDY Pomiar jest podstawowym źródłem iformacji w fizyce. Pomiarem azywa się czyości doświadczale mające a celu wyzaczeie wartości badaej wielkości fizyczej. Istotą każdego pomiaru jest porówaie wartości mierzoej z wzorcem miary tej wielkości przyjętym za jedostkę (p. pomiar długości w m, km itp.). Wyik pomiaru musi zatem składać się z dwóch części: wartości liczbowej, określającej ile razy mierzoa wielkość jest większa lub miejsza od przyjętego wzorca oraz rodzaju jedostki. Pomiary wielkości fizyczych dzielimy a bezpośredie i pośredie. Pomiary bezpośredie polegają wprost a porówaiu daej wielkości z odpowiedią miarą wzorcową, wyik pomiaru otrzymuje się bezpośredio bez wykoywaia jakichkolwiek obliczeń. W pomiarach pośredich wartość badaej wielkości jest wyzaczaa a podstawie pomiarów bezpośredich iych wielkości fizyczych, które są z ią powiązae zaym prawem fizyczym, czyli występuje koieczość wyliczeia wartości wielkości mierzoej y a podstawie bezpośredich pomiarów iych wielkości x1, x,..., x związaych z ią zaą zależością fukcyją y = f ( x1, x, x3,..., x ).

2 W trakcie pomiaru igdy ie moża bezwzględie dokładie wyzaczyć rzeczywistej wartości mierzoej wielkości, uzyskaa wartość liczbowa zawsze różi się od przewidywań teorii. W odiesieiu do przyczy tej rozbieżości używa się termiu błąd pomiaru. W tym zastosowaiu pojęcie błąd pomiaru występuje w zaczeiu jakościowym, atomiast w zaczeiu ilościowym błąd pomiarowy ozacza różicę pomiędzy wyikiem pomiaru a rzeczywistą wartością. Błąd bezwzględy defiiujemy jako różicę wyiku pomiaru x i wartości rzeczywistej xr: x = x xr (1) a błąd względy jako stosuek błędu bezwzględego do wartości rzeczywistej: δ x = x x = 1 xr xr () Należy podkreślić, że pojęcie wartości rzeczywistej jest czysto teoretycze, gdyż praktyczie ie jest zaa. Z tego względu operowaie wartością błędu jest utrudioe. Uwzględiając przyczyy powstawaia błędów występujących podczas wykoywaia pomiarów moża wyróżić astępujące trzy kategorie: błędy grube, błędy systematycze i błędy przypadkowe. Błędy grube powstają a skutek ieumiejętości użycia daego przyrządu, pomyłek przy odczytywaiu i zapisie wyików, agłej zmiay waruków pomiaru itp. Dla błędów grubych różica między wyikiem pomiaru i wartością rzeczywistą jest a ogół bardzo duża. Dla serii pomiarów wyiki obarczoe błędem grubym są łatwe do wykrycia i usuięcia. Na wykresach mierzoych lub wyzaczaych wielkości pukty pomiarowe ie obarczoe błędami grubymi układają się zgodie z prawidłowością występująca w teorii badaego zjawiska, atomiast wyiki obarczoe tym błędem odbiegają zaczie od pozostałych. Błędy grube elimiuje się poprzez: wychwytywaie pomiarów ich w czasie wykoywaia doświadczeń i powtarzaie odpowiedich (uwaga słusza, przeprowadzaiu pomiarów), gdy eksperymetator posiada doświadczeie w

3 wychwytywaie ich w czasie opracowywaia wyików, pojedycze podejrzae przypadki ależy elimiować, w przypadku pewej liczby błędych daych w serii ależy poszukać przyczy atury systematyczej. Pomiary są obarczoe błędami systematyczymi, gdy przy powtarzaiu pomiarów dla serii pomiarowej występuje różica między wartościami zmierzoymi a wartością rzeczywistą podlegająca pewej prawidłowości, atomiast rozrzut wyików poszczególych pomiarów jest iewielki lub w ogóle ie występuje. Błędy systematycze wyikają z: mało dokładego ustawieia eksperymetu (p. ieuwzględieie siły wyporu powietrza przy dokładym ważeiu), wad urządzeń pomiarowych (p. waga dźwigiowa z przesuiętym puktem zawieszeia, czasomierz wskazówkowy ze środkiem skali ie pokrywającym się z osią wskazówek, źle wyskalowae przyrządy), ze stau zewętrzych waruków pomiaru (zbyt wysoka temperatura w pomieszczeiu), iedoskoałości eksperymetatora (błąd paralaksy w trakcie odczytu wskaźików aalogowych). Obecie błąd systematyczy moża w pewych wypadkach traktować jako zjawisko przypadkowe, gdyż ie zamy zazwyczaj jego wielkości i zaku. W tym ujęciu wykoując pomiar daym przyrządem dyspoujemy tylko jedą realizacją zmieej losowej. Losową próbkę moża jedak uzyskać, jeżeli pomiary zostaą wykoae przy użyciu zbioru przyrządów o tej samej dokładości. Postępując w te sposób moża uzyskać doświadczaly rozkład prawdopodobieństwa dla błędu uważaego za systematyczy. Wyikające z tego kosekwecje matematycze zostaą przedstawioe przy omawiaiu iepewości pomiaru. Występowaie błędów przypadkowych objawia się jako rozrzut wyików pomiaru wokół wartości rzeczywistej. Wyik każdego kolejego pomiaru jest iy. O tym jaka jest szasa uzyskaia wyików większych lub miejszych od x0 decyduje rodzaj rozkładu statystyczego (p. Gaussa, prostokąty, jedostajy), któremu te wyiki podlegają. Błędy przypadkowe wyikają z różych przypadkowych i ie dających się uwzględić

4 czyików. W fizyce klasyczej, gdzie większość zjawisk jest opisywaa przez prawa determiistycze, przyczyą statystyczego rozrzutu wyików pomiaru mogą być: iedokładość i przypadkowość działaia ludzkich zmysłów (eksperymetator każdy kolejy pomiar wykoa ieco iaczej), fluktuacji waruków pomiaru (wilgotość, temperatura, ciśieie, zużycie elemetów biorących udział w doświadczeiu), ieokreśleie samej mierzoej wielkości fizyczej, szumy (elektromagetycze, termicze) geerowae w samym układzie pomiarowym oraz zakłóceia zewętrze. W ogólości przyczyy występowaia błędów podczas pomiarów wyikają z: iedoskoałości eksperymetatora, iedoskoałości przyrządów pomiarowych, iedoskoałości metod pomiarowych, iedoskoałości mierzoych obiektów, a aaliza ich prowadzi do astępujących wiosków: błędy grube ależy całkowicie wyelimiować odpowiedio staraie przeprowadzając pomiary i uważie aalizując wyiki (wyik pomiaru ie powiie być obarczoy ich wpływem), błędy systematycze mogą być korygowae a etapie wyboru metody pomiarowej i aalizy wyików pomiarów, ich graice powiy być wyraźie określoe,

5 błędów przypadkowych ze względu a ich losowy (przypadkowy) charakter ie moża całkowicie uikąć ai skorygować, ale moża miimalizować ich wpływ a wyik końcowy.

6 METODY POMIAROWE Metoda pomiarowa to zastosoway podczas pomiaru sposób porówaia wartości mierzoej z wzorcem miary tej wielkości. Istieje wiele metod pomiarowych różiących się sposobem postępowaia i zastosowaymi arzędziami. Uwzględiając sposób postępowaia podczas pomiaru i rodzaj zastosowaych arzędzi pomiarowych, z czym wiąże się zwykle osiągala dokładość wyiku, rozróżia się metody bezpośrediego odczytu i metody porówawcze. Wśród metod porówawczych moża wyróżić astępujące rodzaje: metodę różicową, metodę przez podstawieie i metody zerowe. W metodzie bezpośrediego odczytu, zwaej też metodą odchyleiową, wartość wielkości mierzoej zostaje określoa a podstawie odchyleia wskazówki lub iego wskazaia (p. cyfrowego) arzędzia pomiarowego. Podczas pomiaru wzorzec wielkości mierzoej ie występuje bezpośredio, atomiast przy produkcji arzędzia pomiarowego cały szereg wartości wzorcowych został wykorzystay do odpowiediego wykoaia podziałki (wzorcowaie podziałki). Metoda ta jest ajprostsza, ajłatwiejsza w zastosowaiu, daje atychmiastowe wyiki, ale przy wykorzystaiu aalogowych arzędzi pomiarowych jest stosukowo mało dokłada. Dokładość metody zaczie zwiększyła się z chwilą zastosowaia bardzo dokładych przyrządów cyfrowych. Niedokładość pomiaru wykoywaego tą metodą wyika główie z istieia dopuszczalego błędu systematyczego arzędzia pomiarowego określoego jego klasą dokładości. Metoda różicowa jest metodą porówawczą, w której w układzie pomiarowym występuje wzorzec wielkości o wartości zbliżoej do wartości mierzoej (p. jedowartościowy wzorzec ieastawialy). W tym przypadku bezpośredio mierzy się różicę obu wartości, a wyik pomiaru określa się astępująco: x = xw + x, gdzie: xw wartość wzorcowa, x zmierzoa bezpośredio różica z uwzględieiem jej zaku.

7 Poieważ wartość wzorcowa jest zwykle określoa z pomijalie małym błędem, błąd pomiaru wartości x wyika z iedokładości bezpośrediego pomiaru różicy x. Metoda pomiarowa przez podstawieie jest metodą porówaia bezpośrediego. W układzie pomiarowym zajduje się wzorzec wielkości mierzoej o wartościach astawiaych w szerokich graicach. Podczas pomiaru wartość mierzoą x zastępuje się wartością wzorcową xw dobraą w taki sposób, aby skutki (p. odchyleia wskazówki mierika) wywoływae przez obie wartości były takie same, z czego wyika zależość: x = xw. Metoda przez podstawieie jest metodą bardzo dokładą, poieważ praktyczie elimiuje błędy wprowadzae przez układ porówaia. Po wielokrotym powtórzeiu pomiaru i obliczeiu wartości średiej (zmiimalizowaiu błędów przypadkowych) błąd wyiku pomiaru jest praktyczie rówy błędowi dopuszczalemu dla wzorca. Metody pomiarowe zerowe są ajdokładiejszymi metodami porówaia bezpośrediego. Porówaie wartości mierzoej z wartością wzorcową (lub z zespołem wartości wzorcowych) odbywa się za pomocą układu pomiarowego, w którym przez zmiaę parametrów elemetów składowych doprowadza się do zaiku (do zera) apięcia lub prądu w kotrolowaej gałęzi układu. Czyość doprowadzaia do zaiku apięcia lub prądu azywa się rówoważeiem układu, a wskaźik służący do zaobserwowaia tego stau (p. galwaometr) azywa się wskaźikiem rówowagi. Dokładość zerowych metod pomiaru jest bardzo duża, zależy od dokładości wykoaia zastosowaych w układzie wzorców oraz od czułości wskaźika rówowagi. Zastosowaie bardzo dokładych wzorców oraz zastosowaie wskaźika rówowagi o wysokiej czułości ograicza błędy systematycze metody do wartości pomijalych wobec błędów przypadkowych. Podczas dokładych pomiarów wykouje się zwykle serię pomiarów i statystyczą aalizę wyików pomiaru.

8 Rozróżiamy zerowe metody mostkowe oraz zerowe metody kompesacyje. Metody mostkowe stosuje się ajczęściej do dokładych pomiarów takich parametrów jak rezystacja, pojemość i idukcyjość w układach z prądem stały lub przemiey. Metody kompesacyje służą zwykle do pomiaru apięcia lub do pośrediego pomiaru iych wielkości przetworzoych uprzedio a apięcie. W metodzie kompesacyjej iezaą wartość apięcia mierzoego U porówuje się z astawiaą dokładie zaą wartością wzorcową UW, wytworzoą za pomocą kompesatora. Układ pomiarowy doprowadza się do rówowagi przez zmiaę wartości UW, a w chwili rówowagi zachodzi rówość: U = U W. Szczególie ważą zaletą metod kompesacyjych jest to, że w chwili zrówoważeia układu przez baday obiekt ie płyie prąd, zatem ie występuje błąd systematyczy metody, wyikający ze spadku apięcia a rezystacji wewętrzej obiektu badaego. NIEPEWNOŚĆ POMIAROWA I METODY JEJ OKREŚLENIA Z istoty atury pomiaru wyika zatem, że ie moża igdy iezależie od metody pomiarowej, bezwzględie dokładie wyzaczyć rzeczywistej wartości wielkości fizyczej, czyli dokoać pomiaru absolutie dokładego. Pomiary mogą być wykoywae tylko ze skończoą dokładością. Poieważ ie jest zaa igdy rzeczywista wartość mierzoej wielkości posługiwaie się pojęciem błędu pomiaru, zdefiiowaym jako różica pomiędzy wyikiem pomiaru a wartością rzeczywistą, jest iewygode. Podawaie tylko wyiku pomiaru jest jedak iewystarczające, opracowaie wyików pomiaru powio zawierać także oceę ich wiarygodości, czyli iepewość pomiaru. Takie podejście jest zgode z zaleceiami Międzyarodowej Normy Ocey Niepewości Pomiaru [1], uzgodioej w 1995 r. i przyjętej ustawowo w Polsce w 1999 roku []. Niepewość pomiaru jest ogólie zdefiiowaa jako parametr związay z rezultatem pomiaru, charakteryzujący rozrzut wyików, który moża w uzasadioy sposób

9 przypisać mierzoej wartości. Pojęciem jakościowym związaym z termiem iepewość jest dokładość. Pomiarem dokładiejszym jest pomiar o miejszej iepewości. Miarą iepewości pomiarowej jest iepewość stadardowa, która może być szacowaa a dwa sposoby: ocea typu A wyika ze statystyczej aalizy serii rówoważych i ieskorelowaych obserwacji wielkości x podlegającej błędowi przypadkowemu, ocea typu B wyika z aukowego osądu eksperymetatora, biorącego pod uwagę wszystkie posiadae iformacje o pomiarze i źródłach jego iepewości. Stosowaa jest w przypadku iemożości przeprowadzeia statystyczej aalizy serii pomiarów p. dla błędu systematyczego. Jako symbol iepewości stadardowej przyjęto ozaczeie u (od agielskiego słowa ucertaiity), które może być zapisae a trzy sposoby: u iepewość stadardowa dowolej wielkości u(x) iepewość stadardowa wielkości x wyrażoej symbolem u(długość wahadła) iepewość wielkości wyrażoej słowie. Niepewość względa jest defiiowaa jako stosuek iepewości stadardowej do wielkości mierzoej: ur ( x) = u( x) x (W.3) Wymiar iepewości stadardowej u(x) jest taki sam jak wymiar wielkości mierzoej, atomiast iepewość względa jest wielkością bezwymiarową, co umożliwia porówywaie za jej pomocą iepewości wielkości fizyczych posiadających róży wymiar. Niepewość stadardowa pomiarów bezpośredich Ocea iepewości pomiarowej typu A Ocea iepewości pomiarowej typu A dotyczy określeia iepewości dla pomiarów obarczoych błędami przypadkowymi. Z jedego pomiaru ie moża wioskować o jego dokładości. Dlatego koiecze jest wykoaie serii bezpośredich pomiarów

10 wielkości fizyczej x, poprzez wielokrote, iezależe powtórzeie rozpatrywaego pomiaru. Wyiki w serii będą różić się losowo, ozaczmy je x1, x, x3,... x, gdzie jest ilością powtórzeń pomiaru w serii. Wyiki moża traktować jako realizacji zmieej losowej o wartości oczekiwaej xo (utożsamiaej z wartością rzeczywistą) oraz odchyleiu stadardowym σ i stosować stadardowe rezultaty teorii błędów. Wartość rzeczywista jest iezaa, ale w większości przypadków dla serii pomiarów ajlepszym oszacowaiem mierzoej wartości jest średia arytmetycza: x= 1 xi i= 1 (W.4) Jest to podstawowe twierdzeie teorii pomiarów tzw. pierwszy postulat Gaussa. Wyika oo z faktu rówości prawdopodobieństw zawyżeia jak i zaiżeia wielkości mierzoej. Tym samym błędy powiy kompesować się. Przy skończoej ilości pomiarów w serii może jedak wystąpić ierówomierie rozłożeie wyików wokół wartości rzeczywistej. Tym samym wartość średia x jest jedyie bliska wielkości rzeczywistej xr, ale jej ie rówa. Zbliżeie to jest tym lepsze im dłuższa jest seria pomiarowa. Rówość x = x R występuje tylko dla ieskończeie dużych serii pomiarów, praktyczie iemożliwej do wykoaia. W serii wyiki pomiarów rozkładają się wokół wartości średiej w tzw. krzywą Gaussa. Aby się o tym przekoać ależy zakres pomiarowy podzielić a przedziały o rówej szerokości x i obliczyć, ile pomiarów z serii mieści się w każdym z ich (rys. 1). Oczywiście zwiększając moża zmiejszyć szerokości poszczególych przedziałów rozkładu, ale adal zostaie zachoway jego dyskrety charakter. Obwiedia dzwoowa poprowadzoa po środkach przedziałów (patrz rys. 1) jest pewym wyidealizowaiem, pokazuje wygląd rozkładu ormalego, gdyby był fukcją ciągłą (dla = ). Taka postać łatwiej poddaje się aalizie matematyczej i dlatego jest często stosowaa, ale ie ależy zapomiać, że realy rozkład ormaly ma strukturę ziaristą. Ciągły rozkład Gaussa jest astępującą fukcją matematyczą: P( x ) = 1 e σ π ( x x ) σ (W.5)

11 gdzie parametr σ, zway w statystyce odchyleiem stadardowym, określa rozkład wyików pomiarów wokół wartości średiej. Kształt krzywej Gaussa, zwaej rówież krzywą dzwoową, bardzo silie zależy od wartości odchyleia stadardowego σ. Na rys. pokazao przebiegi krzywej Gaussa dla kilku różych wartości odchyleia stadardowego. Dla małych odchyleń stadardowych krzywa jest bardzo stroma i odchyleia od wartości oczekiwaej są bardzo małe. Im większe odchyleie stadardowe tym krzywa jest bardziej płaska. Zauważmy, że a krzywej Gaussa moża wyróżić obszary o przeciwie skierowaej krzywiźie. W okolicy maksimum krzywa jest wypukła, a daleko poza maksimum wklęsła. Obszary o przeciwej krzywiźie są oddzieloe puktami przegięcia, odpowiadają im a osi odciętych pukty x σ i x + σ. Poieważ rozkład Gaussa opisuje zjawisko probabilistycze moża określić jedyie prawdopodobieństwo zalezieia się dowolego wyiku pomiaru xi (i = 1,, 3...) w określoym przedziale wartości x A, x B. I tak: w przedziale x σ, x + σ mieści się 68,6% wyików z serii, w przedziale x σ, x + σ mieści się 95,45% wyików z serii, w przedziale x 3σ, x + 3σ mieści się 99,73% wyików z serii. Prawdopodobieństwo, że day wyik pomiaru z serii pomiarowej zajdzie się w przedziale x σ, x + σ wyosi zatem 0,683. Prawdopodobieństwo, z jakim w zadaym przedziale zajdzie się dowoly pomiar z serii osi azwę poziomu ufości, a przedział przedziału ufości.

12 Rys. 1. Rozkład pomiarów w serii wokół wartości średiej x jest rozkładem Gaussa. Rys.. Przebieg krzywej ciągłego rozkładu ormalego w zależości od odchyleia stadardowego. Im większe jest odchyleie stadardowe, tym krzywa jest szersza i bardziej spłaszczoa.

13 Rys. 3. Iterpretacja graficza przedziałów ufości i poziomów ufości p oraz współzależość między imi. W iterpretacji graficzej prawdopodobieństwu zalezieia wyiku pomiaru w odpowiedim przedziale odpowiada pole pod krzywą Gaussa odcięte tym przedziałem przy założeiu, że pole pod całą krzywą rówa się jede (rys. 3a, 3b).

14 Aaliza kształtu krzywej Gaussa prowadzi do wiosku, że wybór przedziału x σ, x + σ jako określającego rozrzut wyików pomiarów wokół wartości średiej jest ajbardziej optymaly, co wyika z faktu, że jest o wyzaczoy przez pukty przegięcia krzywej. Sztucze zmiejszeie przedziału ufości do x d, x + d (rys. 3c) prowadzi do zaczego obiżeia poziomu ufości (o pole pod krzywą Gaussa odcięte przedziałami x σ, x d, x + σ, x + d, które jest duże, bo a tych odcikach krzywa Gaussa jest wypukła). Podiesieie poziomu ufości (rys. 3d) jest możliwe tylko przez zacze poszerzeie przedziału ufości do x c, x + c, gdyż pola pod krzywą w przedziałach oddaloych od średiej x dalej iż o σ woszą mały wkład do poziomu ufości (krzywa Gaussa a tych obszarach jest wklęsła). Odchyleie stadardowe σ w teorii pomiarów przyjmuje się za miarę rozrzutu wyików pomiaru i defiiuje sią jako iepewość stadardową pojedyczego pomiaru, którą oblicza się przy pomocy wyrażeia: ( xi x ) u( x ) = σ = i= 1 (W.6) ( 1) Występujący w wyrażeiu czyik ( 1) moża uzasadić faktem, że poieważ część iformacji zawartej w serii x1,x,x3,... x została wykorzystaa do określeia wartości średiej x, uśrediaie związae z odchyleiem stadardowym astępuje z miejszą liczbą puktów swobody i stąd dzieleie przez ( 1) zamiast przez. Natomiast dla wartości średiej x uzawaej za wyik serii pomiarów jako iepewość stadardową przyjmuje się odchyleie stadardowe wartości średiej σ x i wyosi oa: u( x ) = σ x = ( xi x ) i= 1 ( 1) = u( x) (W.7)

15 Wartość iepewości stadardowej wartości średiej jest razy miejsza od iepewości stadardowej pojedyczego pomiaru. Wartości iepewości stadardowych u ( x ) lub u ( x ), choć wyzaczoe przy pomocy jedozaczych wzorów są rówe prawdziwym wartościom odchyleia stadardowego i odchyleia stadardowego średiej tylko w graicy dla ieskończoej ilości pomiarów. Dla skończoej liczby pomiarów iepewość pomiaru jest określoa ze skończoą dokładością. Przyjmuje się, że dla wyzaczeia iepewości stadardowej jako odchyleia stadardowego ależy wykoać 5 10 pomiarów, co pozwala a oceę iepewości pojedyczego pomiaru rzędu 0 30%. Wykoywaie zbyt dużej liczby pomiarów ie jest opłacale, poieważ dokładość wyzaczeia iepewości dość powoli zwiększa się ze wzrostem ilości pomiarów. Reasumując wykoaie serii pomiarów umożliwia: oszacowaie iepewości spowodowaych błędami przypadkowymi, zwiększeie dokładość iepewości. Wykoaie iewielkiej liczby lub 3 pomiarów moża przyjąć jako sprawdzia powtarzalości, za wyik pomiaru ależy wówczas przyjąć średią, a dla ocey iepewości pomiaru stosować oceę typu B. Trzeba zdecydowaie silie podkreślić, że same parametry rozkładu ( x, σ ) ie dają pełej iformacji statystyczej. Taką iformacją jest jedyie wykres rozkładu w postaci dyskretej (tzw. histogram) lub w postaci ciągłej. Pukty eksperymetalie otrzymaego histogramu iejedokrotie zaczie odbiegają od teoretyczej krzywej Gaussa, poieważ N ie jest wystarczająco duże. W ćwiczeiu w celu ułatwieia otrzymaia docelowej ciągłej krzywej rozkładu stosujemy metodę Simpsoa umożliwiającą przeliczeie puktów eksperymetalych P(xi ) a pukty położoe bliżej docelowej krzywej PS(xi ) i w związku z tym ułatwiające jej zalezieie. Zależość Simpsoa ma postać: PS ( xi ) = 0,5[ P( xi 1) + P( xi ) + P( xi + 1)] (1.1) i jest właściwością krzywej Gaussa określającą współzależość trzech sąsiedich puktów pomiarowych. astępującymi sposobami: Parametry rozkładu ormalego moża wyzaczyć

16 średia x : a bazie wzoru (W.4); z wykresu rozkładu ormalego - jako miejsce położeia jego maksimum; odchyleie stadardowe σ : a bazie wzoru (W.6); z wykresu rozkładu ormalego określając położeie puktów przegięć. Ocea iepewości pomiarowej typu B Ocea iepewości pomiarowej typu B jest stosowaa, gdy statystycza aaliza serii pomiarów ie jest możliwa. Taka sytuacja zachodzi dla błędu systematyczego lub dla błędu przypadkowego, gdy dostępych jest tylko kilka rezultatów pomiaru. Co ma miejsce, gdy ze względów eksperymetalych ie ma możliwości powtórzeia doświadczeia. Ocea iepewości typu B opiera się a aukowym osądzie eksperymetatora, możliwie obiektywym, wykorzystującym wszystkie iformacje o pomiarze i źródłach jego iepewości. W tym celu może o wykorzystać między iymi: doświadczeie i wiedzę a temat przyrządów i obiektów mierzoych, iformacje produceta przyrządów (p. klasę przyrządów, działkę elemetarą), dae z poprzedich pomiarów, iepewości przypisae daym zaczerpiętym z literatury. Ocea iepewości typu B polega a oszacowaiu iepewości maksymalej, ozaczaej symbolem (duża delta), czyli ajwiększej jaka może wystąpić w daym pomiarze. Najczęściej ocea typu B dotyczy określeia iepewości wyikających ze skończoej dokładości przyrządów. Aktualie prawie wszystkie używae przyrządy pomiarowe to proste przyrządy mechaicze lub elektroicze mieriki cyfrowe. Dla prostych przyrządów mechaiczych, do których moża zaliczyć liijkę, termometr, śrubę mikrometryczą, jako iepewość maksymalą przyjmuje się działkę elemetarą przyrządu, p. oszacowaa iepewość maksymala pomiaru temperatury przy pomocy typowego termometru wyosi Δ t = 1o C. W elektroiczych przyrządach cyfrowych wartość odpowiadająca zmiaie ostatiej cyfry, zwaa działką elemetarą, określa rozdzielczość przyrządu. Niepewość

17 maksymala zazwyczaj jest kilkakrotie większa od działki elemetarej. Podawaa jest przez produceta przyrządu i ajczęściej zależy od wielkości mierzoej x oraz zakresu z, a którym dokouje się pomiaru i wyzaczaa jest z zależości: x = c1 x + c z. Jeśli za pomocą woltomierza, dla którego podae przez produceta wartości c1 i c wyoszą odpowiedio: c1=0,% i c=0,1% zmierzoo apięcie o wartości U = 98,5 V a zakresie z = 150 V, to iepewość maksymala tego pomiaru jest rówa 0,35 V. Na końcowy wyik oszacowaia iepewości oprócz dokładości przyrządów składa się rówież dokładość samego eksperymetatora. Własą iepewość odczytu, czy iedoskoałość zmysłów, szczególie trudo jest oceić. Podczas pomiaru czasu przy pomocy stopera ależy uwzględić szybkość reakcji fizjologiczej podczas jego włączaia i wyłączaia, która może być rzędu 0, s lub miejsza. Moża ją oszacować próbując kilkukrotie zatrzymać stoper a określoej pozycji. Łącza iepewość pomiaru czasu jest dwukrotie większa, poieważ iedokładości włączaia i wyłączaia stopera sumują się. W wyiku takiej aalizy może się okazać, że w celu zwiększeia dokładości pomiaru użycie precyzyjiejszego stopera jest bezcelowe. Lepszym rozwiązaiem będzie zastosowaie elektroiczego pomiaru czasu z użyciem fotokomórki. Jak wyika z określeia iepewości maksymalej, jeśli ie występują żade dodatkowe iformacje, wyik pomiaru powiie wystąpić z jedakowym prawdopodobieństwem w przedziale ± x. Dla rozkładu jedostajego, który występuje w tym przypadku jako odchyleie stadardowe przyjmuje się połowę szerokości rozkładu podzieloą przez 3. Zgodie z zaleceiami ormy [1] zaleca się iepewość stadardową wyrazić poprzez iepewość maksymalą za pomocą wzoru: u( x ) = x 3 (W.8) Gdy występują oba typy iepewości zarówo statystyczy rozrzut wyikający z błędów przypadkowych jak i iepewość wyikająca z dokładości przyrządów i obie są tego samego rzędu, to żada z ich ie może być pomiięta. W tym przypadku całkowita iepewość stadardową wyraża się wzorem:

18 u( x ) = x σ + ( x) (W.9) 3 Niepewość stadardowa pomiarów pośredich Wiele wielkości fizyczych ie moża wyzaczyć jako wyik pomiaru bezpośrediego. Takie wielkości są związae z k iymi wielkościami fizyczymi x1, x,...xk wyzaczaymi z pomiarów bezpośredich odpowiedią zależością fukcyją: y = f ( x1, x,..., x k ) (W.10) Po przeprowadzeiu pomiarów zae są wyiki x1, x,..., x k i iepewości stadardowe u ( x1 ), u ( x ),..., u ( x k ) mierzoych wielkości x1, x,...xk. Jako wyik pomiaru wielkości y przyjmuje się wielkość y wyzaczoą z zależości: y y = f ( x1, x,..., x k ) (W.11) Wartość y obarczoa jest pewą skończoą iepewością u c ( y ), a która przeoszą się iepewości stadardowe wielkości mierzoych bezpośredio u ( x1 ), u ( x ),.., u ( x k ). Niepewość u c ( y ) osi azwę iepewości złożoej (od agielskiego termiu combied ucertaity), a sposoby jej obliczaia to prawo przeoszeia iepewości lub prawo propagacji iepewości. W przypadku pomiarów bezpośredich ieskorelowaych tz. gdy każdą z wielkości x1, x,...xk wyzacza się iezależie, bezwzględą iepewość złożoą u c ( y ) wielkości y szacuje się przy pomocy astępującego wzoru: uc ( y ) = y y y u ( x1 ) + u ( x ) u ( x k ) x1 x xk = y x u( xi ) i i= 1 k (W.1) Pochode cząstkowe y xi oblicza się różiczkując związek względem zmieej xi traktując pozostałe zmiee jak stałe. y = f ( x1, x,..., x k )

19 Prawo przeoszeia iepewości przyjmuje przejrzystą i wygodą do praktyczych obliczeń postać, gdy zamiast iepewości złożoej bezwzględej zostaie wyzaczoa iepewość złożoa względa u c,r ( y ) : u c,r ( y ) = uc ( y ) y (W.13) W tym celu wyrażeie (W.1) dzielimy obustroie przez y, a astępie wyrażeia wewątrz awiasów po prawej stroie rówości możymy i dzielimy przez x k, co prowadzi do postaci: uc ( y ) = y y x u( x ) x yi x i i i i= 1 k (W.14) Niepewość złożoą względą moża zatem wyrazić jako sumę geometryczą iepewości względych u ( xi ) xi wielkości mierzoych bezpośredio pomożoych przez bezwymiarowe wagi wi w postaci wi = u c, r ( y ) = y xi, czyli xi y k ( wi ur ( xi ) ) i= 1 (W.15) Jeśli zależość fukcyja pomiędzy wielkościami x1, x,...xk wyrażoa jest w postaci potęgowo iloczyowej typu: y = C x1 1 x... xk k to wagi wi = y xi są odpowiedio rówe: xi y ( ) (W.16) C x1 1 x... xi i... xk k xi y xi wi = = = i xi y xi C x1 1 x... xi i... xk k (W.17) czyli iepewość złożoa względa wielkości y wyraża się zależością:

20 u ( y) u c, r ( y ) = c = y W szczególym przypadku k ( i ur ( xi ) ) = i= 1 jeśli wielkość u( x ) i x i i i = 1 wyraża się k y (W.18) zależością iloczyowo - ilorazową wielkości x1, x,...xk, przy obliczaiu wag otrzymuje się jako wyik jedość. W tym przypadku złożoa iepewość względa jest sumą geometryczą względych iepewości wielkości xi : uc,r ( y ) = k (uc,r ( xi ) ) (W.19) i= 1 Wartości wag dla ajczęściej spotykaych fukcji zebrae są w poiższej tabeli, gdzie symbol C ozacza ie tylko stałą, ale rówież pozostałą cześć wzoru fukcyjego ie zawierającą zmieej xi, czyli staowiącą czyik stały przy obliczaiu odpowiediej pochodej cząstkowej. typ zależości fukcyjej y = Cx y = Ce ax y = C l ( ax ) waga wi = y xi xi y ax 1 / l ( ax ) Otrzymae zgodie z prawem przeoszeia iepewości wyrażeie (W.1) wiążące iepewość złożoą uc ( y ) wielkości y z iepewościami stadardowymi u ( x1 ), u ( x ),.., u ( x k ) wielkości x1, x,...xk mierzoych bezpośredio jest słusze zarówo w przypadku wyzaczeia iepewości u ( x1 ), u ( x ),.., u ( x k ) z zastosowaiem metody ocey iepewości typu A jak i ocey typu B. Jeżeli bezpośredie pomiary wielkości x1, x,...xk pozwalają jedyie a zastosowaie metody ocey iepewości typu B, czyli wyzaczeie iepewości maksymalych x1,

21 x,... xk, wówczas uwzględiając jedostajy rozkład mierzoych wielkości w przedziałach x i ± xi ależy zgodie z wyrażeiem (W.8) obliczyć iepewości stadardowe pomiarów bezpośredich jako: u ( xi ) = xi 3 (W.0) W tym przypadku wyrażeie opisujące iepewość złożoą sprowadza się do postaci: 1 uc ( y ) = 3 y y y 1 x1 + x xk = 3 x1 x xk k y x xi i i= 1 (W.1) a dla zależości potęgowo iloczyowej (W.16) iepewość złożoa względa k u ( y) x 1 i i uc, r ( y ) = c = y xi 3 i = 1 (W.) Prawidłowo przeprowadzoy rachuek błędów, automatyczie odpowiada a pytaia: które wielkości fizycze xi ależy zmierzyć z większą dokładością dla uzyskaia zmiejszeia iepewość pomiarowej wielkości wyikowej y; która iepewość stadardowa bezwzględa u ( xi ) wosi ajwiększy wkład do policzoej iepewości złożoej u c,r ( y ) Otrzymae wioski z aalizy błędów są waże i pouczające, pozwalają a ewetuale efektywiejsze powtórzeie doświadczeia. Niepewość rozszerzoa Niepewości stadardowa u ( x ) i iepewość złożoa uc ( y ) wyzaczają przedziały domkięte, takie że prawdopodobieństwo zalezieia wartości rzeczywistej pomiaru odpowiedio w przedziale od x u ( x ) do x + u ( x ) lub od y uc ( y ) do y + uc ( y ) wyosi

22 0,683. Niepewości te są miarą dokładości pomiarów i umożliwiają porówywaie dokładości różych metod pomiarowych. Aby wyciągać wioski o zgodości wyiku pomiaru z iymi wyikami Międzyarodowa Norma Niepewości Pomiarów [1] wprowadza pojęcie iepewości rozszerzoej (z języka agielskiego expaded ucertaity), ozaczaej U ( x ). Niepewość rozszerzoą wybiera się tak, aby w przedziale ± U ( x ), zwaym przedziałem objęcia zajdowała się przeważająca większość wyików pomiaru, potrzeba do określoych zastosowań. Wartość iepewości rozszerzoej U ( x ) jest iloczyem iepewości stadardowej i bezwymiarowego współczyika rozszerzeia k: U ( x) = k u( x) (W.3) Tak zdefiioway przedział objęcia moża utożsamiać z przedziałem ufości, a prawdopodobieństwo objęcia z poziomem ufości. Przykładowe poziomy ufości dla kilku ajczęściej stosowaych współczyików k podaje poiższa tabela: Tabela 1. Poziomy ufości dla wybraych współczyików rozszerzeia k. współczyik rozszerzeia k 1 1,8 1,65,33 3 poziom ufości 0,683 0,8 0,9 0,954 0,98 0,997 W przypadku ocey typu B dla iepewości stadardowej przedział objęcia ie ma ścisłej iterpretacji statystyczej. W zgodzie z międzyarodową praktyką do obliczeia iepewości rozszerzoej przyjmuje się wówczas domyślie wartość k=, wartości ie iż mogą być stosowae tylko w wyiku decyzji uprawioego eksperta i powiy wyikać z ustaloych i udokumetowaych wymagań [3]. Typowe zastosowaia iepewości rozszerzoej to wioskowaie o zgodości uzyskaego wyiku z wartością dokładą: teoretyczą (określoą przy pomocy teorii) lub tabelaryczą p. stałą przyrody, wyzaczoą w wyiku pomiarów, ale aktualie zaą z

23 bardzo dużą dokładością. Porówaie wartości zmierzoej x z wartością dokładą x0 polega a porówaiu różicy x x0 z iepewością rozszerzoą U ( x ). Jeśli spełioy jest waruek: x x0 < U ( x ) (W.4) to wartość zmierzoą uzajemy za zgodą z wartością dokładą. Aby określić, czy wyiki dwóch iezależych pomiarów tej samej wielkości x1 i x są rówe w graicach iepewości pomiaru, ależy porówać różicę tych wyików z iepewością rozszerzoą tej różicy. Jeśli iepewości stadardowe pomiarów są rówe odpowiedio u ( x1 ) i u ( x ), to zgodie z prawem przeoszeia błędów iepewość stadardowa różicy jest rówa sumie geometryczej u ( x1 ), u ( x ) : u ( x1 x ) = ( u ( x1 ) ) + ( u ( x ) ) (W.5) a iepewość rozszerzoa: U ( x1 x ) = k ( u ( x1 ) ) + ( u ( x ) ) Wyiki obu pomiarów moża uzać za zgode, jeżeli x1 x < U ( x1 x ). (W.6)

24 Dokładość metody zerowej mostkowej - przykład Z zasada budowy i rówoważeia mostka Wheatstoe a jest zgoda z rysukiem przedstawioym poiżej, gdzie l = l + l3 to całkowita długość drutu. Ramię AC odpowiada mierzoej rezystacji RX, zaś ramię AD wzorcowej rezystacji zatyczkowej R4. Wielkości rezystacji R i R3 (odciki drutu ślizgowego) zależą od położeia suwaka reochordu. Przy przesuwaiu jego suwaka zmieiają się wielkości rezystacji R i R3, a w związku z tym ich stosuek. Pomiar iezaej rezystacji sprowadza się do zalezieia takiego położeia suwaka reochordu, przy którym przez galwaometr ie płyie prąd. Powyższa operacja osi azwę rówoważeia mostka. W rzeczywistych układach dodatkowo istaluje się komutator służący do zamiay miejscami rezystacji włączoych w ramioa mostka bez przełączaia przewodów. Stosowaie komutatora jest wskazae z tego powodu, że drut reochordu ie bywa całkowicie jedorody wzdłuż całej długości i dlatego stosuek R / R3 ie jest dokładie rówy stosukowi l/l3. Obwód zasilay jest prądem stałym. Zastosujemy teraz rachuek iepewości do wyzaczeia ajlepszego puktu pomiaru. Mimo braku zajomości wartości mierzoych i ich iepewości będzie moża wyzaczyć jak przeprowadzić ćwiczeie, by rezultaty były obarczoe jak ajmiejszą iepewością. Wartość tej iepewości będzie moża wyzaczyć po wykoaiu ćwiczeia. W przypadku, gdy oporiki R, R3 są odcikami drutu ślizgowego (reochordu), waruek rówowagi mostka ma postać:

25 R X = R4 gdyż: R = ρ l S i R3 = ρ l l = R4 l3 l l (P.1) l3. S (P.) gdzie: l = l + l3 całkowita długość drutu, ρ opór właściwy drutu, S powierzchia przekroju drutu. Rozpatrzmy zależość (P.1), z której metodą pośredią określamy wartość iezaej rezystacji RX. Mierzymy l z iepewością maksymalą l. Wartość l oraz R4 zostały zmierzoe ze zaczie większą precyzją. Załóżmy, że ich iepewości maksymale wyoszą odpowiedio l oraz R4. Wówczas iepewość złożoa bezwzględa wyzaczaej rezystacji wyiesie (patrz wzór W.1): uc ( R X ) 1 = 3 RX l l RX RX + l + R4 l R4 (P.3) Przy pomiięciu wkładów od błędu l oraz R4 jako zaczie miejsze od wkładu pochodzącego od l powyższy wzór przyjmuje postać: l l 1 R4 3 (l l ) (P.4) uc ( R X ) 1 l l = RX 3 l (l l ) (P.5) uc ( R X ) = a iepewość względa: u c,r ( R X ) = Niepewość względa osiąga miimum dla takiej wartości l, przy której miaowik powyższego wyrażeia osiąga maksimum. Łatwo zauważyć, że waruek te ma miejsce dla l = l, czyli w sytuacji, gdy l = l3 (tz. R = R3). Wówczas spełioy jest waruek RX = R4. Dla tej szczególej sytuacji iepewość względą wyzaczaej rezystacji możemy wyrazić iepewością względą zmierzeia długości l: l uc, r ( R X ) = (P.6) 3 l Wzór powyższy możemy stosować, gdy RX mało różi się od R4, czyli gdy l jest bliskie l. Poszukiwaą wartość iepewości będzie moża wyzaczyć (po wykoaiu ćwiczeia) ze wzoru (P.6) gdy suwak reochordu zajduje się blisko połowy długości drutu ślizgowego (P.1).