2.9. Zasada zachowania pędu (w układach izolowanych)

Transkrypt

1 Informatyka 0/.9. Zasada zachowania pędu (w układach izolowanych) Z drugiego prawa dynamiki Newtona zapisanego w postaci wynika dp, mv p gdy otoczenie nie oddziałuje na cząstkę lub siła wypadkowa jest równa zeru, 0, to pochodna pędu względem czasu jest równa zeru, czyli pęd cząstki nie ulega zmianie. dp 0 p const Zasadę zachowania pędu możemy rozszerzyć na układ wielu cząstek. Pęd całkowity układu jest sumą pędów wszystkich cząstek: p cał p i. n i onssport/billard/images/billard.jpg

2 Dla cząstki i tej: iz dp siła zewnętrzna, i iw iz Wykład 4 + iw, gdzie siła wewnętrzna, Informatyka 0/ układ Sumujemy po wszystkich cząstkach układu: d p i + iz iw, d p i dp i. p i Z trzeciego prawa Newtona wynika, że suma sił wewnętrznych jest równa zeru: d zatem: p i. iz 0 iw. 0. iw onssport/billard/images/billard.jpg Oznacza to, że za zmianę pędu układu odpowiedzialne są siły zewnętrzne iz..

3 Informatyka 0/ Pęd układu (podobnie jak pojedynczej cząstki) izolowanego, na który nie działa żadna wypadkowa siła zewnętrzna jest stały: z iz 0 p p const. i Przykład: Pęd całkowity układu pocisk karabin jest zachowany. Po wystrzeleniu pocisku karabin doznaje odrzutu. Zderzenia Zderzenia kul mogą być sprężyste lub niesprężyste, ale w obu przypadkach zachowany jest pęd całkowity układu. 3

4 W zderzeniach sprężystych zachowywana jest energia kinetyczna i pęd układu. Wykład 4 Informatyka 0/ Zasada zachowania pędu: pęd kulek przed czyli p 0 + p0 p + p m v Zasada zachowania energii kinetycznej: i po zderzeniu m m v v cosθ + m sinθ m v v cosφ, sinφ. 0 m v + 0 m v + m v 4

5 Informatyka 0/ W zderzeniach niesprężystych zachowywany jest jedynie pęd układu! p 0 + p0 p + p m + v 0 + mv 0 mv mv Część energii kinetycznej ciał idzie np. na ich deformację podczas zderzenia, rozprasza się w postaci ciepła. 5

6 .0. Pęd w układach nieizolowanych Wykład 4 Informatyka 0/ Szybkość zmian pędu w czasie jest równa sile działającej na ciało: p dp p k, p Zatem zmiana pędu ciała zależy od wartości siły oraz czasu w którym działa ona na ciało: p p śr t. Wielkość po prawej stronie równości nosi nazwę impulsu siły (popędu siły): p I śr Zmiana pędu ciała w przedziale czasu jest równa impulsowi siły w tym przedziale czasu. I t. 6

7 p Wykład 4 Informatyka 0/ Taką samą zmianę pędu ciała możemy uzyskać działając na niego dużą siłą przez krótki czas lub małą siłą przez długi czas, ale skutki działania siły mogą być różne. p śr t. I Impuls siły jest równy polu powierzchni pod wykresem (t) śr I śr t t t t I t k t 0. Można go obliczyć za pomocą całki, albo w przybliżeniu jako iloczyn średniej siły i czasu jej działania śr I I śr t t t t 7

8 Informatyka 0/ Zderzaki samochodów deformując się mają wydłużyć czas zderzenia i zmniejszyć średnią siłę, jaka wówczas działa na samochód. p śr Podobną rolę pełnią poduszki powietrzne w samochodach mają wydłużyć czas, a zmniejszyć średnią siłę działającą na pasażera. t. W7Jk8fyvWE/TcdSYMVMi3I/Kk/P0RzE fyf8/s600/traffic_accident.jpg ttc7v8q6srypxhez4k4uojmyidsor5sg4th7bzrrcg8&t 8

9 Informatyka 0/ W czym tkwi sekret rozbicia dłonią cegieł? W impulsie siły dłonie o masie 4-5 kg osiągają szybkość 5m/s. Jeśli czas trwania kontaktu dłoni z układem cegieł jest bardzo krótki, rzędu milisekund, to średnia siła może wynieść 800 N, a do rozbicia cegieł wystarczy już 000 N. Uderzenie wywołuje wibracje w cegłach, które prowadzą do pęknięcia. 40/in/gallery-physicsclassroom / 9

10 Informatyka 0/.. Moment pędu. Zasada zachowania momentu pędu Iloczyn wektorowy wektora r i pędu cząstki p L r p. nazywamy momentem pędu (krętem) cząstki: Jego wartość: L r p sinα, Jest on z definicji prostopadły do płaszczyzny, w której leżą wektory r i p, a zwrot jest określony przez regułę śruby prawoskrętnej (regułę prawej dłoni). y L Moment pędu może być również wyrażony poprzez współrzędne wektorów położenia i pędu (patrz. Wykład ) z r p x 0

11 Informatyka 0/ Wektor momentu pędu możemy wyrazić poprzez prędkość kątową v ω r (jest ona związana z prędkością liniową zależnością ) : L r p r mv mr ( ω r ), Korzystamy z tożsamości wektorowej: a ( b c) b( a c) c( a b), L mω r mr ( r ω) mr ω. Definiujemy moment bezwładności cząstki I: (odpowiednik masy m, miara bezwładności) I mr L I ω Dostajemy wówczas wyrażenie na moment pędu:. Moment bezwładności układu cząstek względem jakiejś osi obrotu jest sumą momentów bezwładności poszczególnych cząstek: I n i m i r i. r i - odległość i - tej cząstki o masie m i od osi obrotu. Moment bezwładności bryły ciągłej obliczymy zastępując sumowanie całkowaniem. Np. moment bezwładności walca względem jego osi podłużnej Imr /

12 Moment siły cząstki definiujemy wzorem: Dostajemy: Wykład 4 M d p Informatyka 0/ r. Pomnóżmy obie strony równania przez wektor : r r d r ( r mv ), d p. d d t ( r mv) mv v r d( mv) + r d t, M dl. Otrzymaliśmy równanie ruchu: szybkość zmian w czasie momentu pędu cząstki jest równa momentowi siły działającemu na tę cząstkę. Równanie to jest szczególnie przydatne w ruchu obrotowym i w ruchach krzywoliniowych.

13 Ze znikania momentu siły wynika: Wykład 4 dl 0 i Informatyka 0/ Zauważmy, że moment siły, gdy brak oddziaływania, tj. 0 oraz gdy siła jest równoległa do wektora, M 0 r L r const. Jeśli wypadkowy moment siły działający na cząstkę równa się zeru, 0, to moment pędu cząstki nie ulega zmianie. M Pola centralne to pola, w których kierunek działania siły przechodzi przez nieruchome centrum, a jej wartość zależy od odległości r od tego centrum: f ( r) r 3

14 Informatyka 0/ Podczas ruchu ciał w polu sił centralnych, np. w polu grawitacyjnym, L jest zachowany: M r f ( r) r f ( r) r r 0 Ruch ciała odbywa się w płaszczyźnie prostopadłej do L. Przykładem jest tu ruch Ziemi po eliptycznym torze wokół Słońca, a ze stałości momentu pędu wynika drugie prawo Keplera, rządzące ruchem planet. W atomie wodoru moment pędu elektronu krążącego wokół jądra również jest stały jego ruch odbywa się bowiem w polu kulombowskim. k Qq r r ˆ, Pole elektrostatyczne g G Mm r rˆ 4

15 Informatyka 0/ Zasadę zachowania momentu pędu możemy rozszerzyć na układ cząstek. Moment pędu układu L moment sił zewnętrznych sił wewnętrznych znoszą się). L M z M i jest zachowywany, jeśli wypadkowy iz jest równy zeru (momenty L I ω, Jeśli moment pędu zapiszemy w postaci to widać, że gdy ma być on zachowany, zmianie momentu bezwładności musi towarzyszyć zmiana częstotliwości. 0 L L k const Stop! I 0 ω 0 I k ω k 5

16 Informatyka 0/ NGC 444, lat św Zasada zachowania momentu pędu Obłok materii międzygwiezdnej powoli wiruje i zapada się pod wpływem własnej grawitacji I maleje, wzrasta prędkość rotacji. wytłumaczeniem powszechności występowania dysków we Wszechświecie. Najodleglejsza galaktyka W płaszczyźnie równikowej obłoku rotacja (siła odśrodkowa) przeciwdziała sile grawitacji. Gaz z dala od tej płaszczyzny przemieszcza się ku centrum obłoku. Po pewnym czasie cała materia obłoku znajdzie się w płaszczyźnie równikowej. 6

17 Określenie całki konieczne uzupełnienie Informatyka 0/ Już wkrótce poznacie całki na analizie matematycznej. Niech f(x) będzie funkcją określoną w pewnym przedziale I. Każdą funkcję (x) różniczkowalną w przedziale I i spełniającą w całym przedziale związek: (x)f(x) nazywamy funkcją pierwotną funkcji f(x) w przedziale I. Dana funkcja f(x) ma nieskończenie wiele funkcji pierwotnych różniących się stałą C: [ ( x) + C] f ( x) Wyrażenie ogólne: ( x) + C f ( x) dx nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f(x). Całka oznaczona funkcji f (x): b a f ( x) dx ( b) ( a) 7

18 f(x) Szukamy takiej funkcji (x), żeby jej pochodna ( x) f ( x) f ( x)dx ( x) + C b f ( x) dx b f ( x) dx, b const. [ f ( x) + g( x)] dx f ( x) dx + g( x) dx, W trakcie wykładu możesz spotkać się z następującymi całkami: dx x + x n dx x dx C, n+ x n + ln x + C, + C, dx x + C x dx x + C, Informatyka 0/ x, 8

19 .. Praca Wykład 4 Informatyka 0/ Wzór na pracę wykonaną przez stałą siłę przy przemieszczeniu ciała: W r jest iloczynem skalarnym: W r cosα, r gdzie α kąt jaki tworzą wektory i. r Z powyższego wynika, że tylko składowa siły w kierunku przemieszczenia wykonuje pracę. Praca może być dodatnia lub ujemna zależnie od wartości kąta α. Praca dodatnia: r r s α Praca ujemna: r r r r + r 9

20 Nie zawsze si ła jest stała! Wykład 4 Informatyka 0/ Jeśli mamy do czynienia ze zmienną siłą, pracę możemy obliczać dzieląc całkowite przemieszczenie r na bardzo małe, elementarne przemieszczenia d r, aby dla każdego z nich można było uważać siłę za stałą. Wówczas całkowita praca równa jest sumie prac elementarnych: d r ds d r dw d r. const d r Przy bardzo małych elementarnych przemieszczeniach, gdzie d s jest elementem drogi. Wówczas praca elementarna dw siły na elementarnym przemieszczeniu dr jest iloczynem stycznej składowej siły s i elementarnej drogi ds: dw d r s ds, gdzie s cosα. d s 0

21 dw dr d r Geometryczna interpretacja pracy: Wykład 4 praca jest równa polu powierzchni pod krzywą s (s). s Informatyka 0/ by obliczyć pracę na przemieszczeniu skończonym, pomiędzy punktami i trzeba zsumować wszystkie prace elementarne, czyli policzyć całkę wzdłuż toru (na drodze s od do ): W dr s ds S - składowa siły styczna do toru dw s ds s Praca w ogólności zależy od kształtu drogi!

22 Przykład : praca stałej siły Wykład 4 Informatyka 0/ Jaką pracę wykona koń na drodze s ciągnąc wóz stałą siłą? k Zauważmy, że dyszel, a tym samym wektor siły, nachylony jest pod kątem α do przemieszczenia dr. Pracę wykonuje tylko składowa S k cosα. Praca obliczona graficznie będzie równa polu : W s cosα s. S k s W Obliczmy teraz pracę ze wzoru : W k dr k cosα ds k cosα ds cosα s k s Praca konia zależy od długości drogi. s

23 Przykład : praca siły sprężystej Wykład 4 Informatyka 0/ kr kr r z + kr Praca siły sprężystej na drodze (rozciąganie sprężyny): W x dr kxdx x kx ( jaką pracę wykona siła przyłożona z zewnątrz, która ją rozciąga? Teraz siła będzie miała zwrot zgodny z wektorem przemieszczenia: z, W x z dr x kxdx kx kx ) kx. kx kx. 3

24 Informatyka 0/ k x Pracę siły sprężystej wykonaną podczas rozciągania sprężyny możemy również obliczyć metodą graficzną: 0 x 0 x Wartość bezwzględna pracy jest równa polu trapezu, a znak ujemny, bo zwrot siły jest przeciwny do zwrotu dr : k x k x W ( k x + k x ) ( x x ) k( x x ). 4

25 Informatyka 0/ Przykład 3: praca siły grawitacji Praca wykonana przez siłę grawitacji: W d r g G Mm r 3 r d r r dr GMm GMm r r r r g G Mm r 3 r 5