Fizyka 1 (mechanika) AF14. Wykład 7

Transkrypt

1 Fizyka 1 (mechanika) AF14 Wykład 7 Jerzy Łusakowski

2 Plan wykładu Praca i energia Siła a energia potencjalna Prędkość i przyspieszenie kątowe Moment siły i moment pędu

3 Praca i energia Praca d p dt = F Mnożymy skalarnie obie strony przez d r: d p dt d r = F d r Prawą stronę tego równania oznaczamy przez dw i nazywamy pracą siły F przy przesunięciu d r. dw = Fdscos( ( F,d r))=f t ds W A B = F( r 1 ) d r F( r N ) d r N = B A F d r Praca wykonana przez siłę F może (ale nie musi) zależeć od wyboru drogi łączącej punkty A i B.

4 Praca i energia Praca sił prostopadłych do przesunięcia Siły prostopadłe do przesunięcia: Siła dośrodkowa Siła Lorentza Siła grawitacji w pobliżu Ziemi dla przesunięć poziomych Siła reakcji dla więzów niezależnych od czasu. Praca tych sił jest równa zero!

5 Praca i energia Moc W zastosowaniach praktycznych interesuje nas często szybkość wykonywania pracy. Wprowadzamy zatem wielkość o nazwie moc zdefiniowana jako: P= dw dt = F υ = de k dt = d dt ( mυ 2) Jeśli znamy moc jako funkcję czasu, to pracę wykonana w przedziale czasu od t 1 do t 2 możemy przedstawić w postaci: t2 W = P(t)dt. t 1 2

6 Praca i energia Energia kinetyczna d p dt = F Mnożymy skalarnie obie strony przez d r: d p dt d r = F d r Lewa strona równania: d p d r= md υ d r= md υ dt dt dt υdt = d dt E k = mυ2 2 = p2 2m ( 1 2 mυ2 ) ( ) 1 dt = d 2 mυ2

7 Praca i energia Energia kinetyczna i praca siły F d p dt = F Mnożymy skalarnie obie strony przez d r: d p dt d r = F d r Całkujemy wzdłuż drogi łączącej punkty A i B: B ( ) 1 B d 2 mυ2 = F dr A 1 2 mυ2 (B) 1 2 mυ2 (A)=W A B Praca siły zewnętrznej jest równa zmianie energii kinetycznej ciała. A

8 Praca i energia Prosty przykład - ruch w stałym polu grawitacyjnym Masa m spoczywa na wysokości h nad Ziemią i w pewnej chwili zaczyna spadać. Siła grawitacji wykonuje pracę: W pole, = m g dr= ( mg)dz = mg dz= mg(0 h)=mgh, h h h co jest równe zmianie energii kinetycznej (możemy ją wyznaczyć z równań ruchu): mgh= 1 2 mυ2 (z=0) 1 2 mυ2 (z=h)= 1 2 mυ2 (z=0)

9 Praca i energia Praca w stałym polu grawitacyjnym Jaka pracę wykonamy podnoszac masę m na wysokość h? (Zakładamy, że robimy to tak wolno, że energię kinetyczna możemy zaniedbać.) h h W my, = m g dr= (mg)dz=mgh 0 0 Czyli kosztem pracy siły zewnętrznej ciało zyskało energię potencjalna mgh. A jaką pracę wykonała w tym czasie siła grawitacji? h h h W pole, = m g dr= ( mg)dz = mg dz= mg(h 0)= mgh

10 Praca i energia Siły zachowawcze i energia potencjalna Zauważmy, że praca siły cieżkości przy przesunięciu masy m z punktu A do B nie zależy od drogi, która ciało przebyło i zawsze jest równa B W A B = m g d r. A Siła grawitacji jest siła zachowacza, tzn. taką, dla której iloczyn skalarny F d r można przedstawić jako różniczkę pewnej funkcji E p, noszacej nazwę energii potencjalnej: F d r = de p.

11 Praca i energia Siły zachowawcze i energia potencjalna Mamy więc: B W A B = de p = (E p (B) E p (A)). A Z tego wzoru wynika niezależność pracy od kształtu drogi - ważne jest tylko położenie punktów A i B. W szczególności, jeśli A pokrywa się z B, to wyciągamy wniosek, że praca siły zachowawczej po konturze zamkniętym jest równa zero.

12 Praca i energia Zachowanie energii mechanicznej dla sił zachowawczych ( mυ 2 ) Widzieliśmy, że dw = F d r = d 2 oraz dw = de p. Oznacza to, że d(e p + E k )=0, czyli E p + E k = const. Suma energii kinetycznej i potencjalnej nosi nazwę energii mechanicznej. Równanie to wyraża zasadę zachowania energii mechanicznej w przypadku sił zachowawczych.

13 Praca i energia Poziom odniesienia dla energii potencjalnej Energia potencjalna ciała w punkcie B jest określona przez pracę wykonana przy przesunięciu ciała z punktu A do B: B E p (B) E p (A)= F dr. A Jeśli zmienimy położenie punktu poczatkowego do A, to energia potencjalna w punkcie B będzie (w ogólności) inna: B E p(b) E p (A )= F dr. A Widać, że A B E p(b)= F dr F dr=e p (B)+C, A A gdzie C jest dane przez: A C= F dr. A Zatem, energia potencjalna jest określona z dokładnościa do stalej.

14 Praca i energia Siła centralna jest zachowawcza Siła centralna to siłą, której wartość zależy wyłącznie od odległości od centrum siły, czyli: F( r)= F(r) r r. Jak już wiemy, dla siły zachowawczej praca nie zależy od drogi, a tylko od położenia punktu poczatkowego i końcowego. Zatem, dla siły centralnej: W = B A B F dr= F(r) r B A r dr= F(r)dr = Φ(r B ) Φ(r A ), A gdzie Φ(r) jest całka funkcji F(r): F(r) = dφ/dr.

15 Praca i energia Zasada zachowania energii dla sił zachowawczych Jeśli ruch ciała zachodzi pod wpływem siły zachowawaczej F( r), to dw = F dr=de k = de p. Zatem, czyli d(e k + E p )=0, E k + E p = const. Podczas ruchu ciała pdo wpływem siły zachowawczej energia mechaniczna ciała jest stała.

16 Praca i energia Klocek wciągany na równię Zadanie: klocek o masie m wciągany jest siłą F w górę równi o kącie nachylenia α. Współczynnik tarcia jest równy f. Rozważyć przemiany energii podczas przesunięcia klocka wzdłuż równi o d. Rozwiązanie T = mgf cosα a= F gsinα gf cosα m d=v 0 t+ 1 2 at2 = v2 v 2 0 a= v2 v 2 0 2a 2d F m gsinα gf cosα = v2 v 2 0 2d Fd= mgsin αd+ 1 2 m(v2 v 2 0)+mgfd cosα W F = E p + E k + W T W F = E mech + E term

17 Praca i energia Zasada zachowania energii Zmiana całkowitej energii układu jest równa energii dostarczonej do układu lub od niego odebranej. Do tej pory zmianę energii mogliśmy osiągn ać przez wykonanie nad układem pracy. Ale są i inne sposoby (np. ciepło).

18 Siła a energia potencjalna Siła a energia potencjalna - przypadek jednowymiarowy Jeśli siła zachowawcza ma tylko jedna składowa F=F e x, zaś współrzędne punktów A i B są równe a i b, to : zatem E p (b) E p (a)= B A F(b)= de p dx x=b b F dr= Fdx, a

19 Siła a energia potencjalna Siła a energia potencjalna - przykłady Siła sprężysta. Energia potencjalna sprężyny ściśniętej o x jest równa: E p = 1 2 kx2. Stąd, siła sprężystości jest dana przez F spr = d ( ) 1 dx 2 kx2 = kx. Siła grawitacji przy powierzchni Ziemi. Energia grawitacyjna jest równa Siła grawitacji E p = mgh. F = d dh mgh= mg.

20 Siła a energia potencjalna Przypadek trójwymiarowy - gradient W ogólnym przypadku, energia potencjalna jest funkcja x,y,z: E p = E p (x,y,z). Wtedy Operator F = E p x e x E p y e y E p z e z = E p. E p (x,y,z) x E p (x+ x,y,z) E p (x,y,z) = lim x 0 x = x e x+ y e y+ z e z nazywamy gradientem. Argumentem gradientu jest funkcja skalarna, zaś wynikiem - funkcja wektorowa. Gradient skalara jest wektorem.

21 Siła a energia potencjalna Gradient i powierzchnie ekwipotencjalne Gradient funkcji skalarnej jest wektorem o następujacych właściwościach: jest to wektor prostopadły do płaszczyzny ekwipotencjalnej z tego wynika, że kierunek działania siły jest prostopadły do powierzchni ekwipotencjalnej: F = E p. jest to wektor, który pokazuje kierunek najszybszego wzrostu funkcji E p. Proste przykłady prostopadłości siły i powierzchni ekwipotencjalnych: siła grawitacji w stałym polu grawitacyjnym siła grawitacji, elektrostatyczna r 2

22 Siła a energia potencjalna Gradient i powierzchnie ekwipotencjalne Dowód powyższych faktów jest następujacy: Różniczka funkcji wielu zmiennych E p (x,y,z) wyraża się wzorem: de p = E p x dx+ E p y dy+ E p z dz= E p d r. Jeśli d r leży na powierzchni ekwipotencjalnej, to de p = 0, czyli Ep d r = 0, co oznacza, że E p d r, czyli E p jest prostopadły do powierzchni ekwipotencjalnej Jeśli rozpatrzymy dwie bardzo bliskie siebie powierzchnie ekwipotencjalne odpowiadajace wartościom E p i E p + de p, to najkrótsza linia łącząca te powierzchnie jest linia do nich prostopadła, czyli odpowiadajaca kierunkowi gradientu. Oznacza to, że zmiana de p jest najszybsza w kierunku gradientu.

23 Siła a energia potencjalna Siła zachowawcza a energia potencjalna - definicje Siłę zachowawcza zdefiniowaliśmy jako taką, dla której wyrażenie F d r można przedstawić w postaci de p, czyli różnczki pewnej funkcji zwanej energią potencjalna. Następnie wykazaliśmy, że dla sił zachowawczych całka B F d r = (E p (B) E p (A)) A nie zależy do drogi łączącej A i B, a w szczególności, całka po drodze zamkniętej jest równa zero: F d r=0. Okazuje się, że wyrażenie F d r = 0 można przyjąć za definicję siły zachowawczej i wywnioskować na jego podstawie istnienie funkcji E p spełniającej warunek F d r = de p.

24 Prędkość i przyspieszenie kątowe Podstawowe pojęcia Oś obrotu: prosta, wokół której następuje obrót; podczas obrotu punkty położone na osi obrotu nie poruszaja się. Kierunek zerowego położenia kątowego: ustalony kierunek prostopadły do osi obrotu, względem którego mierzymy wielkość obrotu. Linia odniesienia: linia, której położenie względem kierunku zerowego wyznacza wielkość obrotu. Położenie kątowe θ: kąt, jaki tworzy linia odniesienia z linia zerowego położenia kątowego. Położenie kątowe, wyrażone w radianach, określa wielkość obrotu. Przemieszczenie kątowe: różnica między końcowym a poczatkowym położeniem kątowym: θ = θ 2 θ 1.

25 Prędkość i przyspieszenie kątowe Prędkość kątowa Prędkość kątową definiujemy podobnie, jak prędkość w ruchu postępowym: Średnia prędkość kątowa: ωśr = θ(t 2) θ(t 1 ) t 2 t 1 Chwilowa prędkość kątowa: θ ω = lim t 0 t = dθ dt Trzeba przyjąć konwencję dotyczącą znaku ω. Robimy to przez odniesienie do prawoskrętnego układu odniesienia: jeśli wersorem e x kręcimy w kierunku e y, to związana z tym ruchem prędkość kątowa jest dodatnia. Prędkość kątowa jest wektorem, którego kierunek jest określony regułą śruby prawoskrętnej.

26 Prędkość i przyspieszenie kątowe Przyspieszenie kątowe Przyspieszenie kątowe definiujemy podobnie, jak przyspieszenie w ruchu postępowym: Średnie przyspieszenie kątowe: Chwilowe przyspieszenie kątowe: εśr = ω(t 2) ω(t 1 ) t 2 t 1 ω ε = lim = dω t 0 t dt Jest to tylko przyspieszenie związane ze stycznym przyspieszeniem liniowym!

27 Prędkość i przyspieszenie kątowe Związek między zmiennymi kątowymi i liniowymi Jeśli w czasie t linia odniesienia obróciła się o kąt θ, to punkt odległy od osi obrotu o R przebył drogę: s= θr. Zakładajac, że odległość R jest stała, prędkość prędkość liniowa punktu jest równa zaś przyspieszenie : s υ = lim t 0 t = ds dt = ωr, a= lim t 0 υ t = dυ dt = εr.

28 Prędkość i przyspieszenie kątowe Przykład - ruch wirowy obręczy Rozpatrzmy mały fragment obręczy o promieniu R. Widzieliśmy, że w ruchu po okręgu υ = ω R. Rozpisujac na składowe, otrzymujemy: ω R= e x (zω y yω z ) e y (zω x xω z )+ e z (yω x xω y ). Stąd łatwo otrzymamy: a= d dt ( ω R)= ω d R dt + d ω dt R= ω υ+ d ω dt R= a n + a t. Przyspieszenie dośrodkowe: a n = ω υ = ω ( ω R)= ω( ω R) R( ω ω)= ω 2 R. Przyspieszenie styczne: a t = d ω dt R. Z takim przyspieszeniem porusza się każdy fragment obręczy.

29 Moment siły i moment pędu Moment pędu i moment siły Podobnie, jak pęd i siła są podstawowymi pojęciami koniecznymi do opisu ruchu postępowego, tak moment pędu i moment siły są konieczne do opisu ruchu obrotowego. Definicja: momentem pędu nazywamy wielkość: L= r p. Definicja: momentem siły nazywamy wielkość: M = r F. Zauważmy, że definicje te zależa od wyboru poczatku układu współrzędnych (w którym zaczepiony jest wektor r).

30 Moment siły i moment pędu Bryła sztywna W zagadnieniach związanych z ruchem obrotowym bardzo często rozpatrujemy ruch obiektu złożonego z bardzo dużej liczby elementów (np. atomów), których wzajemne odległości nie zmieniaja się podczas ruchu - jest to bryła sztywna. Będziemy rozpatrywać ruch bryły sztywnej względem osi obrotu, która może przenikać przez bryłę albo być położona poza bryła. Jasne jest, że rozkład masy bryły względem osi obrotu ma istotne znaczenie dla dynamiki bryły. Rozkład masy bryły sztywnej opisujemy za pomocą tensora momentu bezwładności.

31 Moment siły i moment pędu Moment siły i obrót Co ma wspólnego moment siły z obrotem? Wyobraźmy sobie, że do punktu P bryły sztywnej przykładamy siłę F - bryła zacznie się poruszać. A jeśli teraz unieruchomimy jakiś punkt Q? Doświadczenie pokazuje, że ciało zacznie się obracać, chyba że kierunek działania siły pokrywa się z kierunkiem wyznaczonym przez prosta łączac a punkty Q i P. Wyciagamy stąd wniosek, że obrót jest wywołany momentem siły F względem punktu Q.

32 Moment siły i moment pędu Statyka Jeśli siły działajace na punkt materialny równoważa się, to punkt ten się nie porusza. Ale jeśli równoważace się siły działaja na bryłę sztywna, to może się ona poruszać albo nie - zależy to od wypadkowego momentu siły. Zatem, bryła sztywna pozostaje w spoczynku, jeśli: wypadkowa siła działajaca na bryłę jest równa zero oraz wypadkowy moment siły działajacy na bryłę jest równy zero.

33 Moment siły i moment pędu Statyka bryły sztywnej - przykład Zadanie - dźwignia dwustronna. Jednorodna belka o masie M i długości L podparta jest w odległości l<l/2 od jednego z końcow, na którym leży masa m 1. Jaką masę m 2 należy położyć na drugim końcu belki aby układ był w równowadze? Jaka jest siła reakcji podpory? m 1 R m2 Mg Rozwiązanie Równowaga sił: R+Mg+m 1 g+m 2 g=0. Równowaga momentów sił względem punktu podparcia: m 1 gl Mg(L/2 l) m 2 g(l l)=0. Stąd m 2 =[lg(m 1 + M) MgL/2]/(L l), R= Mg m 1 g m 2 g.

34 Moment siły i moment pędu Równowaga Bryła może się znajdować w stanie: równowagi trwałej równowagi obojętnej równowagi chwiejnej Nie wystarczy rozwiazać równania, trzeba określić stabilność rozwiązania!