Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych)
|
|
- Kazimierz Radosław Janicki
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Szukanie rozwiązań funkcji uwikłanych (równań nieliniowych) Funkcja uwikłana (równanie nieliniowe) jest to funkcja, która nie jest przedstawiona jawnym przepisem, wzorem wyrażającym zależność wartości funkcji od jej argumentu, lecz bardziej złożonym związkiem, który nie daje się prosto przekształcić na jawny wzór. Przykładem jest znane, historyczne równanie Keplera: E e sin E = M w którym niewiadomą, której wartość ma być wyznaczona, jest E. Niemożliwe jest takie przekształcenie powyższego równania, aby otrzymać wzór typu E =. Innym, często przytaczanym przykładem, jest równanie: e x = sin x gdzie z kolei niemożliwe jest podanie analitycznego przepisu na wyliczenie zmiennej x. W przypadku tego rodzaju funkcji wartości niewiadomych znajduje się wykonując obliczenia numeryczne, polegające wstawianiu różnych liczb aż do rozwiązania. Dawniej obliczenia tego typu trwały nierzadko tygodniami, obecnie przy pomocy komputerów zajmują sekundy. Aby jednak ułatwić pracę, należy wcześniej odpowiednio się przygotować. Przede wszystkim zauważmy, że każde równanie zmiennej x można sprowadzić do postaci: f ( x) = 0 W powyższym przykładzie będzie to: ( ) = x f x e sin x = 0 Znalezienie rozwiązania sprowadza się wtedy do wyznaczenia miejsc zerowych funkcji f(x). Postępowanie, prowadzące do rozwiązania funkcji uwikłanych, wykonuje się w dwóch krokach: 1. Wstępne oszacowanie wartości niewiadomej. Niekiedy (w przypadku równań opisujących konkretne zjawisko fizyczne) przybliżona wartość niewiadomej jest znana. Np. w przypadku równania Keplera wiadomo, że E ~ M. W pozostałych przypadkach metodą na przybliżone poznanie wartości niewiadomej jest narysowanie wykresu funkcji f(x) i znalezienie miejsc zerowych (czyli wartości x, dla których f(x) = 0) 2. Numeryczne wyznaczenie wartości niewiadomej przy użyciu narzędzi optymalizacyjnych dostępnych w programie MS Excel (Szukaj wyniku lub Solver). Metodologię postępowania prowadzącego do wyznaczenia wartości niewiadomej przedstawię na przykładzie równania e x = sin x. Nic nie wiem na temat chociażby wartości przybliżonej x, w związku z czym jej poszukiwanie rozpocznę od stworzenia wykresu. Niestety, program MS Excel nie posiada możliwości wykreślenia wykresu funkcji wprost z jej wzoru, lecz z tabeli danych, w związku z czym trzeba wcześniej stworzyć tabelę wartości x i f(x). Aby to uczynić, muszę wcześniej określić dziedzinę (zakres wartości), w której będę poszukiwał wartości x. Zwykle dziedzina ta wynika z teorii zagadnienia, w przypadku równań matematycznych należy ją oszacować samodzielnie (często trzeba próbować kilkakrotnie, uściślając dziedzinę x na podstawie kolejnych otrzymywanych wykresów). Pamiętajmy, że jeśli np. w równaniu występuje logarytm niewiadomej, to jej dziedziną jest zakres liczb dodatnich (począwszy praktycznie od zera, czyli od np. 1E-12).
2 Dla przykładowego, omawianego równania e x = sin x funkcja f(x) będzie miała postać: x f ( x) = e sin x Dla tej funkcji tworzę tabelę wartości i wykres w dziedzinie x od -10 do 10 z krokiem równym 1: Interesują nas miejsca zerowe funkcji f(x), których na powyższym wykresie nie widać widoczne jest jedynie, że funkcja szybko zbliża się do zera, lecz co się dzieje w pobliżu zera - nie wiadomo. Aby się tego dowiedzieć, musimy tak przeskalować osie (zwłaszcza oś f(x)), aby punkty zerowania stały się wyraźnie widoczne:
3 Po ustawieniu skali osi pionowej (f(x)) w zakresie od -10 do 10 stało się jasne, że analizowana funkcja ma zapewne nieskończenie wiele miejsc zerowych, z których pierwsze występuje dla x~1, drugie dla x~3, trzecie dla x~6 itd. Odnotowujemy postulowane wartości wybranych wartości x (dla których funkcja się zeruje) na arkuszu w kolejnym kroku wyznaczymy dokładne wartości tych trzech rozwiązań analizowanej funkcji f(x): Poniżej tworzymy komórki, zawierające postulowaną w danym momencie wartość zmiennej x (przypisujemy nazwę x do tej wartości) oraz wartość analizowanej funkcji f(x) przy tej właśnie wartości x:
4 W celu otrzymania wartości dokładnej poszukiwanej zmiennej x użyjemy opcji menu Narzędzia/Szukaj wyniku. W pole Ustaw komórkę wpisuję adres komórki, zawierającej analizowaną funkcję, w pole Wartość wpisuję liczbę 0 (gdyż właśnie komórka, przechowująca formułę analizowanej funkcji ma osiągnąć wartość 0), natomiast w pole Zmieniając komórkę adres komórki zawierającej postulowaną wartość x (gdyż to ona ma się zmienić tak, aby komórka zawierająca funkcję się wyzerowała). Po wypełnieniu trzech wskazanych pól klikam przycisk OK i otrzymuję okno Stan szukania wyniku: Aby stwierdzić, że rozwiązaliśmy analizowaną funkcję, w drugim wierszu tego okna musi wystąpić napis znaleziono rozwiązanie, natomiast w wierszu Wartość bieżąca musi wystąpić bardzo mała, zbliżona do zero liczba liczba ta jest jednocześnie błędem wyznaczenia wartości x. W powyższym przykładzie oznacza to, że wyznaczone x = 0,5892 ± 0,0009. Otrzymany wynik x przy pomocy schowka kopiuję do odpowiedniej komórki w kolumnie Wyznaczone i w analogiczny sposób kontynuuję wyznaczanie rozwiązań dla kolejnych wartości postulowanych:
5 aż do wyznaczenia wszystkich poszukiwanych rozwiązań analizowanej funkcji: Dokładniejsze rozwiązania otrzymam używając narzędzia optymalizacyjnego Solver (opcja menu Narzędzia/Solver).
6 W tym przypadku w pole Komórka celu wpisuję adres komórki, zawierającej analizowaną funkcję, w polu Równa zaznaczam opcję Wartość 0, natomiast w polu Komórki zmieniane wpisuję adres komórki zawierającej postulowaną wartość x. Po zatwierdzeniu okna poprzez kliknięcie przycisku Rozwiąż otrzymuję: Warunkiem rozwiązania jest napis Solver znalazł rozwiązanie w pierwszym wierszu okna wynikowego (jeżeli pisałoby Solver zbliżył się do rozwiązania, należałoby ponownie uruchomic to narzędzie aż do otrzymania potwierdzenia znalezienia rozwiązania). Drugim, koniecznym, warunkiem rozwiązania jest to, żeby wartość w komórce zawierającej formułę analizowanej funkcji była zbliżona do zera jest to jednocześnie błąd wyznaczenia wartości x. W opisywanym przykładzie wynik wynosi: x = 0, ± 0, , czyli znacznie dokładniej niż poprzednią metodą. Czynność tę powtarzamy dla kolejnych wartości postulowanych: Zaletą użycia Solvera zamiast Szukaj wyniku jest, poza zwiększoną dokładnością, zapamiętywanie przez niego ustawień - nie trzeba ponownie wypełniać zawartości jego pól przy ustalaniu kolejnych rozwiązań analizowanego równania. Z przykładem znalezienia rozwiązania funkcji uwikłanej można zapoznać się na stronie:
7 Szukanie rozwiązań układów równań nieliniowych Innym przykładem zastosowania narzędzi optymalizacyjnych do szukania zbioru rozwiązań układów równań nieliniowych. Podobnie, jak w przypadku szukania rozwiązania pojedynczego równania, każde z równań możemy zawsze napisać w postaci: f(x,y, ) = 0 g(x,y, ) = 0 h(x,y, ) = 0 W tym przypadku musimy jednak znać wartości początkowe x 0,y 0,, w pobliżu których szukane będzie rozwiązania, gdyż wykonanie odpowiedniego wykresu jest zwykle niemożliwe. Wartości te podaje się zwykle w formie (x 0,y 0, ) i podaje się, że szukamy rozwiązań w pobliżu punktu (x 0,y 0, ). Naszym celem jest znalezienie takich wartości x,y,, dla których funkcje f(x,y, ), g(x,y, ) itd. są równe zero. W związku z tym, że cel musi być pojedynczy i ściśle określony, liczymy sumę kwadratów wszystkich tych funkcji. Z tego, że suma kwadratów funkcji jest równa zero wynika, że każda z tych funkcji musi być równa zero. n i= 1 f ( x, y, K ) = 0 i W praktyce, w związku ze skończoną dokładnością obliczeń numerycznych, osiągnięcie wartości 0 jest w praktyce niemożliwe, toteż zwykle szukamy takich wartości zmiennych x,y,, dla których powyższa suma osiąga wartość minimalną. Warunkiem stwierdzenia, że układ został rozwiązany jest nie tylko osiągnięcie przez powyższą sumę wartości minimalnej (gdyż może to być jedynie lokalne minimum), lecz również suma ta (jak i każda ze składowych funkcji) musi mieć wartość zbliżona do zera. Implementację wyżej opisanej metody w arkuszu kalkulacyjnym przedstawię na przykładzie układu równań: e x + log y = 3 sin x + 3 y = 4 Rozwiązań (oczywiście dodatnich) poszukamy w pobliżu punktu (1,1). następnie liczymy sumę kwadratów obu funkcji:
8 W efekcie: W celu minimalizacji otrzymanej sumy kwadratów użyjemy Solvera, gdzie jako Komórkę celu ustawiamy komórkę, zawierającą sumę kwadratów, w pozycji równa ustawiamy Min (a nie wartość 0!), natomiast jako komórki zmieniane zaznaczamy blok komórek zawierający wartości x i y. Ponieważ w zadaniu dodano, że rozwiązania mają być dodatnie, dodajemy warunek ograniczający: W efekcie przygotowany do pracy Solver powinien w tym przykładzie wyglądać następująco:
9 Po naciśnięciu przycisku Rozwiąż otrzymujemy informację: Ponieważ w pierwszym wierszu widnieje tekst Solver zbliżył się do aktualnego rozwiązania, zgadzamy się z tym i uruchamiamy go ponownie aż do uzyskania okna: Oznacza to, że Solver znalazł takie wartości x i y, dla których suma kwadratów funkcji przyjmuje wartość minimalną. Czy jest to jednak poszukiwane rozwiązanie?
10 W celu odpowiedzi na to pytanie analizujemy otrzymane rozwiązania: Widzimy, że wartości zarówno f(x,y), g(x,y), jak również sumy kwadratów są bardzo małe (zbliżone do zera). Oznacza to, że znalezione minimum sumy kwadratów jest jednocześnie jej miejscem zerowym, czyli wyznaczone wartości x i y są dodatnimi rozwiązaniami analizowanego układu równań nieliniowych w pobliżu punktu (1,1). Z przykładem znalezienia rozwiązań układu równań nieliniowych można zapoznać się na stronie:
Excel - użycie dodatku Solver
PWSZ w Głogowie Excel - użycie dodatku Solver Dodatek Solver jest narzędziem używanym do numerycznej optymalizacji nieliniowej (szukanie minimum funkcji) oraz rozwiązywania równań nieliniowych. Przed pierwszym
Bardziej szczegółowoROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL. sin x2 (1)
ROZWIĄZYWANIE UKŁADÓW RÓWNAŃ NIELINIOWYCH PRZY POMOCY DODATKU SOLVER PROGRAMU MICROSOFT EXCEL 1. Problem Rozważmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi (x 1, x 2 ): 1 x1 sin x2 x2 cos x1 (1) Nie jest
Bardziej szczegółowoNumeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych ( )
Numeryczne rozwiązywanie równań różniczkowych Równanie różniczkowe jest to równanie, w którym występuje pochodna (czyli różniczka). Przykładem najprostszego równania różniczkowego może być: y ' = 2x które
Bardziej szczegółowoĆwiczenia nr 4. Arkusz kalkulacyjny i programy do obliczeń statystycznych
Ćwiczenia nr 4 Arkusz kalkulacyjny i programy do obliczeń statystycznych Arkusz kalkulacyjny składa się z komórek powstałych z przecięcia wierszy, oznaczających zwykle przypadki, z kolumnami, oznaczającymi
Bardziej szczegółowoĆwiczenia Skopiować do swojego folderu plik cwiczenia-kl.ii.xls, a następnie zmienić jego nazwę na imię i nazwisko ucznia
Temat 23 : Poznajemy podstawy pracy w programie Excel. 1. Arkusz kalkulacyjny to: program przeznaczony do wykonywania różnego rodzaju obliczeń oraz prezentowania i analizowania ich wyników, utworzony (w
Bardziej szczegółowoWykresy. Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel dla WINDOWS. Excel. cz.4. Wykresy. Wykresy. Wykresy. Wykresy
Zespół Szkół Agrotechnicznych i Ogólnokształcących im.józefa Piłsudskiego w śywcu Excel Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel dla WINDOWS cz.4 Najlepszym sposobem prezentacji danych jest prezentacja graficzna.
Bardziej szczegółowoEXCEL Prowadzący: dr hab. inż. Marek Jaszczur Poziom: początkujący
EXCEL Prowadzący: dr hab. inż. Marek Jaszczur Poziom: początkujący Laboratorium 3: Macierze i wykresy Cel: wykonywanie obliczeń na wektorach i macierzach, wykonywanie wykresów Czas wprowadzenia 25 minut,
Bardziej szczegółowoCałkowanie numeryczne
Całkowanie numeryczne Nie zawsze możliwe jest wyznaczenie analitycznego wzoru będącego wynikiem całkowania danej funkcji f(x). Praktycznie zawsze możne jednak wyznaczyć całkę oznaczoną funkcji przy podanych
Bardziej szczegółowoMicrosoft EXCEL SOLVER
Microsoft EXCEL SOLVER 1. Programowanie liniowe z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję
Bardziej szczegółowoJAK PROSTO I SKUTECZNIE WYKORZYSTAĆ ARKUSZ KALKULACYJNY DO OBLICZENIA PARAMETRÓW PROSTEJ METODĄ NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW
JAK PROSTO I SKUTECZNIE WYKORZYSTAĆ ARKUSZ KALKULACYJNY DO OBLICZENIA PARAMETRÓW PROSTEJ METODĄ NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW Z tego dokumentu dowiesz się jak wykorzystać wbudowane funkcje arkusza kalkulacyjnego
Bardziej szczegółowoEXCEL. Diagramy i wykresy w arkuszu lekcja numer 6. Instrukcja. dla Gimnazjum 36 - Ryszard Rogacz Strona 20
Diagramy i wykresy w arkuszu lekcja numer 6 Tworzenie diagramów w arkuszu Excel nie jest sprawą skomplikowaną. Najbardziej czasochłonne jest przygotowanie danych. Utworzymy następujący diagram (wszystko
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do MS Excel
Wprowadzenie do MS Excel Czym jest Excel? Excel jest programem umożliwiającym tworzenie tabel, a także obliczanie i analizowanie danych. Należy do typu programów nazywanych arkuszami kalkulacyjnymi. W
Bardziej szczegółowoJak korzystać z Excela?
1 Jak korzystać z Excela? 1. Dane liczbowe, wprowadzone (zaimportowane) do arkusza kalkulacyjnego w Excelu mogą przyjmować różne kategorie, np. ogólne, liczbowe, walutowe, księgowe, naukowe, itd. Jeśli
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH
FUNKCJA LINIOWA, RÓWNANIA I UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH PROPORCJONALNOŚĆ PROSTA Proporcjonalnością prostą nazywamy zależność między dwoma wielkościami zmiennymi x i y, określoną wzorem: y = a x Gdzie a jest
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel
Rozwiązywanie problemów z użyciem Solvera programu Excel Podstawowe czynności: aktywować dodatek Solver oraz ustawić w jego opcjach maksymalny czas trwania algorytmów na sensowną wartość (np. 30 sekund).
Bardziej szczegółowoArkusz kalkulacyjny EXCEL
ARKUSZ KALKULACYJNY EXCEL 1 Arkusz kalkulacyjny EXCEL Aby obrysować tabelę krawędziami należy: 1. Zaznaczyć komórki, które chcemy obrysować. 2. Kursor myszy ustawić na menu FORMAT i raz kliknąć lewym klawiszem
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie programów matematycznych
Rozwiązywanie programów matematycznych Program matematyczny składa się z następujących elementów: 1. Zmiennych decyzyjnych:,,, 2. Funkcji celu, funkcji-kryterium, która informuje o jakości rozwiązania
Bardziej szczegółowoPrzykład wykorzystania Arkusza Kalkulacyjnego Excel
Przykład wykorzystania Arkusza Kalkulacyjnego Excel Wyznaczanie przybliżonych wartości pierwiastków wielomianu 1. Założenia Uczniowie poznali na poprzednich lekcjach następujące wiadomości dotyczące wielomianów:
Bardziej szczegółowoArkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 4
Arkusz kalkulacyjny MS EXCEL ĆWICZENIA 4 Uwaga! Każde ćwiczenie rozpoczynamy od stworzenia w katalogu Moje dokumenty swojego własnego katalogu roboczego, w którym będziecie Państwo zapisywać swoje pliki.
Bardziej szczegółowoExcel wykresy niestandardowe
Excel wykresy niestandardowe Uwaga Przy robieniu zadań zadbaj by każde zadanie było na kolejnym arkuszu, zadanie na jednym, wykres na drugim, kolejne zadanie na trzecim itd.: Tworzenie wykresów Gantta
Bardziej szczegółowoZagadnienia programowania liniowego dotyczą modelowania i optymalizacji wielu problemów decyzyjnych, na przykład:
Programowanie liniowe. 1. Aktywacja polecenia Solver. Do narzędzia Solver można uzyskać dostęp za pomocą polecenia Dane/Analiza/Solver, bądź Narzędzia/Solver (dla Ex 2003). Jeżeli nie można go znaleźć,
Bardziej szczegółowoZadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11
Bardziej szczegółowoPrzewodnik dla każdego po: Dla każdego coś miłego Microsoft Excel 2010
Przewodnik dla każdego po: Dla każdego coś miłego Microsoft Excel 2010 Czym jest Excel 2010 Excel jest programem umożliwiającym tworzenie tabel, a także obliczanie i analizowanie danych. Należy do typu
Bardziej szczegółowoMETODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH
METODY ROZWIĄZYWANIA RÓWNAŃ NIELINIOWYCH Jednym z zastosowań metod numerycznych jest wyznaczenie pierwiastka lub pierwiastków równania nieliniowego. W tym celu stosuje się szereg metod obliczeniowych np:
Bardziej szczegółowoWykład 2. 18.03.2007.
KOMPUTEROWE WSPOMAGANIE OBLICZEŃ Wykład 2. 18.03.2007. Wykresy i obliczenia numeryczne w Excelu dr inż. Paweł Surdacki Instytut Podstaw Elektrotechniki i Elektrotechnologii Politechniki Lubelskiej 1 LITERATURA
Bardziej szczegółowoMatematyka grupa Uruchom arkusz kalkulacyjny. 2. Wprowadź do arkusza kalkulacyjnego wartości znajdujące się w kolumnach A i B.
Zadanie nr 1 Matematyka grupa 2 Wykonaj poniższe czynności po kolei. 1. Uruchom arkusz kalkulacyjny. 2. Wprowadź do arkusza kalkulacyjnego wartości znajdujące się w kolumnach A i B. A B 32 12 58 45 47
Bardziej szczegółowoOtrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m.
Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f ( x) = x + mx + m 1 jest zbiór liczb rzeczywistych? We wzorze funkcji f(x) pojawia się funkcja kwadratowa, jednak znajduje się ona pod pierwiastkiem.
Bardziej szczegółowoInformatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS
Wyższa Szkoła Ekologii i Zarządzania Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz.4 Slajd 1 Excel Slajd 2 Wykresy Najlepszym sposobem prezentacji danych jest prezentacja graficzna. Z pomocą
Bardziej szczegółowoKolumna Zeszyt Komórka Wiersz Tabela arkusza Zakładki arkuszy
1 Podstawowym przeznaczeniem arkusza kalkulacyjnego jest najczęściej opracowanie danych liczbowych i prezentowanie ich formie graficznej. Ale formuła arkusza kalkulacyjnego jest na tyle elastyczna, że
Bardziej szczegółowo=B8*E8 ( F9:F11 F12 =SUMA(F8:F11)
Microsoft EXCEL - SOLVER 2. Elementy optymalizacji z wykorzystaniem dodatku Microsoft Excel Solver Cele Po ukończeniu tego laboratorium słuchacze potrafią korzystając z dodatku Solver: formułować funkcję
Bardziej szczegółowo24 cel bdb db dst dop
24 cel 23-21 bdb 20-18 db 17-14 dst 13-11 dop Rozwiązanie LPG Zadanie to należy do typowych zadań symulacyjnych. Najtrudniejszą częścią takich zadań jest prawidłowe zasymulowanie powtarzających się zdarzeń,
Bardziej szczegółowo( x) Równanie regresji liniowej ma postać. By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : Gdzie:
ma postać y = ax + b Równanie regresji liniowej By obliczyć współczynniki a i b należy posłużyć się następującymi wzorami 1 : xy b = a = b lub x Gdzie: xy = też a = x = ( b ) i to dane empiryczne, a ilość
Bardziej szczegółowoInformatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz.3
Wyższa Szkoła Ekologii i Zarządzania Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz.3 Slajd 1 Excel Slajd 2 Adresy względne i bezwzględne Jedną z najważniejszych spraw jest tzw. adresacja. Mówiliśmy
Bardziej szczegółowoInformatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS
Wyższa Szkoła Ekologii i Zarządzania Excel Informatyka Arkusz kalkulacyjny Excel 2010 dla WINDOWS cz.4 Slajd 1 Slajd 2 Najlepszym sposobem prezentacji danych jest prezentacja graficzna. Z pomocą wykresu
Bardziej szczegółowoFUNKCJA LINIOWA. A) B) C) D) Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. A) B) C) D)
FUNKCJA LINIOWA 1. Funkcja jest rosnąca, gdy 2. Wskaż, dla którego funkcja liniowa jest rosnąca Wskaż, dla którego funkcja liniowa określona wzorem jest stała. 3. Funkcja liniowa A) jest malejąca i jej
Bardziej szczegółowoArkusz kalkulacyjny Excel
Arkusz kalkulacyjny Excel Ćwiczenie 1. Sumy pośrednie (częściowe). POMOC DO ĆWICZENIA Dzięki funkcji sum pośrednich (częściowych) nie jest konieczne ręczne wprowadzanie odpowiednich formuł. Dzięki nim
Bardziej szczegółowo[WYSYŁANIE MAILI Z PROGRAMU EXCEL]
c 20140612- rev. 2 [WYSYŁANIE MAILI Z PROGRAMU EXCEL] ZAWARTOŚĆ Wstęp... 3 Funkcje w excelu... 4 Funkcja Hiperłącza... 7 Dodawanie odbiorców... 8 Uzupełnianie tytułu... 8 Wpisywanie treści... 8 Znane problemy...
Bardziej szczegółowoPo naciśnięciu przycisku Dalej pojawi się okienko jak poniżej,
Tworzenie wykresu do danych z tabeli zawierającej analizę rozwoju wyników sportowych w pływaniu stylem dowolnym na dystansie 100 m, zarejestrowanych podczas Igrzysk Olimpijskich na przestrzeni lat 1896-2012.
Bardziej szczegółowoMatematyka licea ogólnokształcące, technika
Matematyka licea ogólnokształcące, technika Opracowano m.in. na podstawie podręcznika MATEMATYKA w otaczającym nas świecie zakres podstawowy i rozszerzony Funkcja liniowa Funkcję f: R R określoną wzorem
Bardziej szczegółowo3. FUNKCJA LINIOWA. gdzie ; ół,.
1 WYKŁAD 3 3. FUNKCJA LINIOWA FUNKCJĄ LINIOWĄ nazywamy funkcję typu : dla, gdzie ; ół,. Załóżmy na początek, że wyraz wolny. Wtedy mamy do czynienia z funkcją typu :.. Wykresem tej funkcji jest prosta
Bardziej szczegółowoPrzenoszenie, kopiowanie formuł
Przenoszenie, kopiowanie formuł Jeżeli będziemy kopiowali komórki wypełnione tekstem lub liczbami możemy wykorzystywać tradycyjny sposób kopiowania lub przenoszenia zawartości w inne miejsce. Jednak przy
Bardziej szczegółowoDopasowywanie modelu do danych
Tematyka wykładu dopasowanie modelu trendu do danych; wybrane rodzaje modeli trendu i ich właściwości; dopasowanie modeli do danych za pomocą narzędzi wykresów liniowych (wykresów rozrzutu) programu STATISTICA;
Bardziej szczegółowoTabele przestawne tabelą przestawną. Sprzedawcy, Kwartały, Wartości. Dane/Raport tabeli przestawnej i wykresu przestawnego.
Tabele przestawne Niekiedy istnieje potrzeba dokonania podsumowania zawartości bazy danych w formie dodatkowej tabeli. Tabelę taką, podsumowującą wybrane pola bazy danych, nazywamy tabelą przestawną. Zasady
Bardziej szczegółowoLUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ POZIOM PODSTAWOWY Klasa 2 Klasa 2
Klasa POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 70 minut Instrukcja dla piszącego. Sprawdź, czy arkusz zawiera 8 stron.. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to przeznaczonym. 3. W zadaniach od. do 5.
Bardziej szczegółowoZaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne
Zaawansowane metody numeryczne Komputerowa analiza zagadnień różniczkowych 4. Równania różniczkowe zwyczajne podstawy teoretyczne P. F. Góra http://th-www.if.uj.edu.pl/zfs/gora/ semestr letni 2005/06 Wstęp
Bardziej szczegółowoECDL zaawansowany, moduł EXCEL
ECDL zaawansowany, moduł EXCEL Szkolenie współfinansowane przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Czas trwania szkolenia - 20h (3 dni szkoleniowe) Grupa- 10 osób Terminy - 18-20
Bardziej szczegółowoFORMUŁY AUTOSUMOWANIE SUMA
Wskazówki do wykonania Ćwiczenia 1, ocena sprawdzianu (Excel 2007) Autor: dr Mariusz Giero 1. Pobierz plik do pracy. W pracy należy wykonać obliczenia we wszystkich żółtych polach oraz utworzyć wykresy
Bardziej szczegółowox+h=10 zatem h=10-x gdzie x>0 i h>0
Zadania optymalizacyjne. Jaka jest największa możliwa wartość iloczynu dwóch liczb, których suma jest równa 60? Rozwiązanie: KROK USTALENIE WZORU Liczby oznaczamy przez a i b więc x+y=60 Następnie wyznaczamy
Bardziej szczegółowo1. Sporządzić tabele z wynikami pomiarów oraz wyznaczonymi błędami pomiarów dotyczących przetwornika napięcia zgodnie z poniższym przykładem
1 Sporządzić tabele z wynikami pomiarów oraz wyznaczonymi błędami pomiarów dotyczących przetwornika napięcia zgodnie z poniższym przykładem Znaczenie symboli: Tab 1 Wyniki i błędy pomiarów Lp X [mm] U
Bardziej szczegółowoRuch jednostajnie zmienny prostoliniowy
Ruch jednostajnie zmienny prostoliniowy Przyspieszenie w ruchu jednostajnie zmiennym prostoliniowym Jest to taki ruch, w którym wektor przyspieszenia jest stały, co do wartości (niezerowej), kierunku i
Bardziej szczegółowo========================= Zapisujemy naszą funkcję kwadratową w postaci kanonicznej: 2
Leszek Sochański Arkusz przykładowy, poziom podstawowy (A1) Zadanie 1. Wykresem funkcji kwadratowej f jest parabola o wierzchołku 5,7 Wówczas prawdziwa jest równość W. A. f 1 f 9 B. f 1 f 11 C. f 1 f 1
Bardziej szczegółowoFunkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej. Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska
Funkcje liniowe i wieloliniowe w praktyce szkolnej Opracowanie : mgr inż. Renata Rzepińska . Wprowadzenie pojęcia funkcji liniowej w nauczaniu matematyki w gimnazjum. W programie nauczania matematyki w
Bardziej szczegółowoInstrukcja obsługi Nowego Punktatora
Instrukcja obsługi Nowego Punktatora Nowy Punktator jest niezbędnym narzędziem do wygenerowania ankiety okresowej oceny wyników pracy nauczycieli akademickich, wynikającej z art. 132 ustawy z dnia 27 lipca
Bardziej szczegółowoZad. 1 Liczba jest równa A B C D. Zad. 2 Liczba log16 jest równa A 3log2 + log8 B log4 + 2log3 C 3log4 log4 D log20 log4
Zad. 1 Liczba jest równa A B C D Zad. Liczba log16 jest równa A 3log + log8 B log4 + log3 C 3log4 log4 D log0 log4 Zad. 3 Rozwiązaniem równania jest liczba A B 18 C 1, D 6 Zad. 4 Większą z dwóch liczb
Bardziej szczegółowoSkrypt 23. Geometria analityczna. Opracowanie L7
Projekt Innowacyjny program nauczania matematyki dla liceów ogólnokształcących współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Skrypt 2 Geometria analityczna 1.
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 5 Zadania funkcje cz.1
1 TEST WSTĘPNY 1. (1p) Funkcja f przyporządkowuje każdej liczbie naturalnej większej od 1 jej największy dzielnik będący liczbą pierwszą. Spośród liczb f(42), f(44), f(45), f(48) A. f(42) B. f(44) C. f(45)
Bardziej szczegółowoBadania operacyjne Instrukcja do c wiczen laboratoryjnych Rozwiązywanie problemów programowania liniowego z użyciem MS Excel + Solver
Zachodniopomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie Wydział Techniki Morskiej i Transportu Katedra Konstrukcji, Mechaniki i Technologii Okręto w Badania operacyjne Instrukcja do c wiczen laboratoryjnych
Bardziej szczegółowoFormatowanie zawartości komórek
Formatowanie zawartości komórek Formaty w arkuszu kalkulacyjnym są przypisane do komórek, a nie do zawartych w nich danych stanowią niezależny składnik komórek, który można kopiować bądź czyścić niezależnie
Bardziej szczegółowoFunkcja liniowa - podsumowanie
Funkcja liniowa - podsumowanie 1. Funkcja - wprowadzenie Założenie wyjściowe: Rozpatrywana będzie funkcja opisana w dwuwymiarowym układzie współrzędnych X. Oś X nazywana jest osią odciętych (oś zmiennych
Bardziej szczegółowoWymagania edukacyjne z informatyki dla klasy szóstej szkoły podstawowej.
Wymagania edukacyjne z informatyki dla klasy szóstej szkoły podstawowej. Dział Zagadnienia Wymagania podstawowe Wymagania ponadpodstawowe Arkusz kalkulacyjny (Microsoft Excel i OpenOffice) Uruchomienie
Bardziej szczegółowoZajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów
Zajęcia: VBA TEMAT: VBA PROCEDURY NUMERYCZNE Metoda bisekcji i metoda trapezów W ramach zajęć oprogramujemy jedną, wybraną metodę numeryczną: metodę bisekcji numerycznego rozwiązywania równania nieliniowego
Bardziej szczegółowoInformatyka w Zarządzaniu
F O R M U L A R Z E I F O R M A N T Y M S E X C E L Formanty formularza są prostsze w użyciu, gdyż nie wymagają pisania kodu w języku Visual Basic for Applications (VBA). Aby skorzystać z efektów działania
Bardziej szczegółowoBadanie zależności położenia cząstki od czasu w ruchu wzdłuż osi Ox
A: 1 OK Muszę to powtórzyć... Potrzebuję pomocy Badanie zależności położenia cząstki od czasu w ruchu wzdłuż osi Ox 1. Uruchom program Modellus. 2. Wpisz x do okna modelu. 3. Naciśnij przycisk Interpretuj
Bardziej szczegółowoTechnologia Informacyjna
Technologia Informacyjna dr inż. Paweł Myszkowski arkusz kalkulacyjny Microsoft Excel Arkusz kalkulacyjny Microsoft Excel Przechowywanie danych: Komórka autonomiczna jednostka organizacyjna, służąca do
Bardziej szczegółowo3.7. Wykresy czyli popatrzmy na statystyki
3.7. Wykresy czyli popatrzmy na statystyki Współczesne edytory tekstu umożliwiają umieszczanie w dokumentach prostych wykresów, służących do graficznej reprezentacji jakiś danych. Najprostszym sposobem
Bardziej szczegółowoBIBLIOGRAFIA W WORD 2007
BIBLIOGRAFIA W WORD 2007 Ćwiczenie 1 Tworzenie spisu literatury (bibliografii) Word pozwala utworzyć jedną listę główną ze źródłami (cytowanymi książkami czy artykułami), która będzie nam służyć w różnych
Bardziej szczegółowoSCENARIUSZ LEKCJI. Klasa: I liceum profilowane Blok tematyczny: Funkcje
SCENARIUSZ LEKCJI Klasa: I liceum profilowane Blok tematyczny: Funkcje Temat lekcji: Przesuwanie wykresów funkcji Typ lekcji: ćwiczeniowa Czas realizacji: 45 minut Metody pracy: podająca: - pogadanka problemowa:
Bardziej szczegółowoPodręczna pomoc Microsoft Excel 2007
Podręczna pomoc Microsoft Excel 2007 Klawisze skrótów... 1 Podstawowe funkcje... 2 Narzędzie Szukaj wyniku... 3 Aktywowanie dodatków... 4 Narzędzie Solver (dodatek)... 6 Narzędzie Tabela przestawna...
Bardziej szczegółowoopracował: Patryk Besler
opracował: Patryk Besler Aby poprawnie uzupełnić szachownicę potrzebna nam będzie do tego funkcja Złącz teksty. Pamiętaj o zaznaczeniu odpowiedniej komórki Aby ją wybrać należy przejść do zakładki Formuły.
Bardziej szczegółowoKURS WSPOMAGAJĄCY PRZYGOTOWANIA DO MATURY Z MATEMATYKI ZDAJ MATMĘ NA MAKSA. przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale
Zestaw nr 1 Poziom Rozszerzony Zad.1. (1p) Liczby oraz, są jednocześnie ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy A. B. C. D. Zad.2. (1p) Funkcja przyjmuje wartości większe od funkcji dokładnie w przedziale. Wtedy
Bardziej szczegółowoDodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli?
Dodatek Solver Teoria Dodatek Solver jest częścią zestawu poleceń czasami zwaną narzędziami analizy typu co-jśli (analiza typu co, jeśli? : Proces zmieniania wartości w komórkach w celu sprawdzenia, jak
Bardziej szczegółowoZadanie Wstaw wykres i dokonaj jego edycji dla poniższych danych. 8a 3,54 8b 5,25 8c 4,21 8d 4,85
Zadanie Wstaw wykres i dokonaj jego edycji dla poniższych danych Klasa Średnia 8a 3,54 8b 5,25 8c 4,21 8d 4,85 Do wstawienia wykresu w edytorze tekstu nie potrzebujemy mieć wykonanej tabeli jest ona tylko
Bardziej szczegółowo3. Wprowadź opis: kolumna A J. angielski, kolumna B J. polski. Obejrzyj animację pt. Wprowadzanie danych, aby dowiedzieć się, jak to zrobić.
Język angielski grupa 3 Zadanie nr 1 Wykonaj poniższe czynności po kolei. 1. Uruchom arkusz kalkulacyjny. 2. Wprowadź do arkusza kalkulacyjnego wyrazy znajdujące się w kolumnach A i B tabeli: A dog cat
Bardziej szczegółowoEdytor tekstu MS Word 2010 PL. Edytor tekstu MS Word 2010 PL umożliwia wykonywanie działań matematycznych.
Edytor tekstu MS Word 2010 PL. Edytor tekstu MS Word 2010 PL umożliwia wykonywanie działań matematycznych. Edytor tekstu MS Word 2010 PL umożliwia wykonywanie działań matematycznych, pod warunkiem, że
Bardziej szczegółowoTEMAT : Przykłady innych funkcji i ich wykresy.
Elżbieta Kołodziej e-mail: efreet@pf.pl matematyka, informatyka Gimnazjum Nr 5 37-450 Stalowa Wola ul. Poniatowskiego 55 SCENARIUSZ LEKCJI PRZEPROWADZONEJ W KLASIE III TEMAT : Przykłady innych funkcji
Bardziej szczegółowoŁączenie liczb i tekstu.
Łączenie liczb i tekstu. 1 (Pobrane z slow7.pl) Rozpoczynamy od sposobu pierwszego. Mamy arkusz przedstawiony na rysunku poniżej w którym zostały zawarte wypłaty pracowników z wykonanym podsumowaniem.
Bardziej szczegółowoInformatyka dla klas I wykresy funkcji
2013 mgr Jerzy Wałaszek I LO w Tarnowie Informatyka dla klas I wykresy funkcji Prezentowane materiały są przeznaczone dla uczniów szkół ponadgimnazjalnych. Autor artykułu: mgr Jerzy Wałaszek, wersja1.0
Bardziej szczegółowoInstrukcja obsługi programu Do-Exp
Instrukcja obsługi programu Do-Exp Autor: Wojciech Stark. Program został utworzony w ramach pracy dyplomowej na Wydziale Chemicznym Politechniki Warszawskiej. Instrukcja dotyczy programu Do-Exp w wersji
Bardziej szczegółowoZajęcia nr. 5: Funkcja liniowa
Zajęcia nr. 5: Funkcja liniowa 6 maja 2005 1 Pojęcia podstawowe. Definicja 1.1 (funkcja liniowa). Niech a i b będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Funkcję f : R R daną wzorem: f(x) = ax + b nazywamy
Bardziej szczegółowoRys.1. Technika zestawiania części za pomocą polecenia WSTAWIAJĄCE (insert)
Procesy i techniki produkcyjne Wydział Mechaniczny Ćwiczenie 3 (2) CAD/CAM Zasady budowy bibliotek parametrycznych Cel ćwiczenia: Celem tego zestawu ćwiczeń 3.1, 3.2 jest opanowanie techniki budowy i wykorzystania
Bardziej szczegółowoEXCEL TABELE PRZESTAWNE
EXCEL TABELE PRZESTAWNE ZADANIE 1. (3 punkty). Ze strony http://www.staff.amu.edu.pl/~izab/ pobierz plik o nazwie Tabela1.xlsx. Używając tabel przestawnych wykonaj następujące polecenia: a) Utwórz pierwszą
Bardziej szczegółowoOpracował: mgr inż. Marcin Olech 2010-10-04
Laboratorium 4 Strona 1 z 17 Spis treści: 1. Wielowymiarowa analiza danych w arkusza kalkulacyjnych z wykorzystaniem MS Excel: a. tworzenie tabel przestawnych, b. tworzenie wykresów przestawnych. 2. Praca
Bardziej szczegółowoFUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA
FUNKCJA POTĘGOWA, WYKŁADNICZA I LOGARYTMICZNA POTĘGA, DZIAŁANIA NA POTĘGACH Potęga o wykładniku naturalnym. Jest to po prostu pomnożenie przez siebie danej liczby tyle razy ile wynosi wykładnik. Zapisujemy
Bardziej szczegółowoVisual Basic for Applications Wprowadzenie, makra
Visual Basic for Applications Wprowadzenie, makra 1. Zarejestruj Makro o nazwie: WpiszNazwisko, które wpisuje w bieżącym arkuszu w komórce C2 Twoje Imię i Nazwisko a następnie zmienia kolor czcionki na
Bardziej szczegółowoExcel formuły i funkcje
Excel formuły i funkcje Tworzenie prostych formuł w Excelu Aby przeprowadzić obliczenia w Excelu, tworzymy formuły. Każda formuła rozpoczyna się znakiem równości =, a w formułach zwykle używamy odwołania
Bardziej szczegółowoInstytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa. Diagnostyka i niezawodność robotów
Instytut Politechniczny Państwowa Wyższa Szkoła Zawodowa Diagnostyka i niezawodność robotów Laboratorium nr 6 Model matematyczny elementu naprawialnego Prowadzący: mgr inż. Marcel Luzar Cele ćwiczenia:
Bardziej szczegółowoPROGRAM SZKOLENIA. Excel w Analizach danych.
PROGRAM SZKOLENIA Excel w Analizach danych SZKOLENIE JEST DLA OSÓB, KTÓRE: znają podstawy programu Microsoft Excel, w codziennej pracy wykorzystują Excel jako narzędzie analizy danych i chcą zgłębić posiadaną
Bardziej szczegółowoProgram szkolenia EXCEL OD PODSTAW POPOŁUDNIOWY (WIECZOROWY)
Program szkolenia EXCEL OD PODSTAW POPOŁUDNIOWY (WIECZOROWY) SZKOLENIE JEST DLA OSÓB, KTÓRE: nie znają programu Microsoft Excel lub znają go w nieznacznym stopniu, chcą nauczyć się podstawowych poleceń
Bardziej szczegółowo% sumy wiersza nadrzędnego. % sumy kolumny nadrzędnej. % sumy elementu nadrzędnego. Porządkuj od najmniejszych do największych.
bieżąca w wyświetla wartości w kolejnych wierszach lub kolejnych kolumnach jako wartości skumulowane (w drugim wierszu wyświetla sumę wartości odpowiadających wierszom od do ; w wierszy od wiersza do,
Bardziej szczegółowoFormuły formułom funkcji adresowania odwoływania nazwy Funkcja SUMA argumentami SUMA
Formuły Dzięki formułom Excel jest potężnym narzędziem wykonującym na bieżąco skomplikowane obliczenia. Bez nich byłby jedynie martwą tabelą rozciągniętą na wiele kolumn i wierszy, taką pokratkowaną komputerową
Bardziej szczegółowoWYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału
WYKORZYSTANIE NARZĘDZIA Solver DO ROZWIĄZYWANIA ZAGADNIENIA Problem przydziału Problem przydziału Przykład Firma KARMA zamierza w okresie letnim przeprowadzić konserwację swoich urządzeń; mieszalników,
Bardziej szczegółowoRównania nieliniowe. LABORKA Piotr Ciskowski
Równania nieliniowe LABORKA Piotr Ciskowski przykład 1. funkcja fplot fplot ( f, granice ) fplot ( f, granice, n, linia, tol ) [ x, y ] = fplot ( )» fplot ( sin(x*x)/x, [ 0 4*pi ] )» fplot ( sin(x*x)/x,
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Bardziej szczegółowoTEMAT: Ilustracja graficzna układu równań.
SCENARIUSZ LEKCJI PRZEPROWADZONEJ W KLASIE III TEMAT: Ilustracja graficzna układu równań. Cel ogólny: Uczeń rozwiązuje metodą graficzną układy równań przy użyciu komputera. Cele operacyjne: Uczeń: - zna
Bardziej szczegółowoSPIS ILUSTRACJI, BIBLIOGRAFIA
SPIS ILUSTRACJI, BIBLIOGRAFIA Ćwiczenie 1 Automatyczne tworzenie spisu ilustracji 1. Wstaw do tekstu roboczego kilka rysunków (WSTAWIANIE OBRAZ z pliku). 2. Ustaw kursor w wersie pod zdjęciem i kliknij
Bardziej szczegółowoAnaliza danych przy uz yciu Solvera
Analiza danych przy uz yciu Solvera Spis treści Aktywacja polecenia Solver... 1 Do jakich zadań wykorzystujemy Solvera?... 1 Zadanie 1 prosty przykład Solvera... 2 Zadanie 2 - Optymalizacja programu produkcji
Bardziej szczegółowoKurs ZDAJ MATURĘ Z MATEMATYKI MODUŁ 6 Teoria funkcje cz. 2
1 FUNKCJE Wykres i własności funkcji kwadratowej Funkcja kwadratowa może występować w 3 postaciach: postać ogólna: f(x) ax 2 + bx + c, postać kanoniczna: f(x) a(x - p) 2 + q postać iloczynowa: f(x) a(x
Bardziej szczegółowoMathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje
Mathcad c.d. - Macierze, wykresy 3D, rozwiązywanie równań, pochodne i całki, animacje Opracował: Zbigniew Rudnicki Powtórka z poprzedniego wykładu 2 1 Dokument, regiony, klawisze: Dokument Mathcada realizuje
Bardziej szczegółowoNastępnie przypominamy (dla części studentów wprowadzamy) podstawowe pojęcia opisujące funkcje na poziomie rysunków i objaśnień.
Zadanie Należy zacząć od sprawdzenia, co studenci pamiętają ze szkoły średniej na temat funkcji jednej zmiennej. Na początek można narysować kilka krzywych na tle układu współrzędnych (funkcja gładka,
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowo