MATEMATYKA. 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań. 2 Zasady poprawnego zapisu odpowiedzi TEST DYDAKTYCZNY

Transkrypt

1 MATEMATYKA Poziom wyższy TEST DYDAKTYCZNY Maksymalna ilość punktów: 50 Próg zaliczenia: 33 % 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań Test dydaktyczny zawiera 23 zadania. Czas pracy oznaczono w kartach odpowiedzi. W czasie pracy można korzystać tylko z: przyborów do pisania i rysowania, Tablic matematyczno, fizyczno, chemicznych i prostego kalkulatora bez karty graficznej. Obok każdego zadania umieszczono maks. ilość punktów. Nie odlicza się punktów za błędną odpowiedź. Odpowiedzi wpisuj do karty odpowiedzi. Notować można w arkuszu zadań, notatki nie zostaną ocenione. Niejednoznaczny lub nieczytelny zapis zostanie uznany za błędny. Pierwszą część testu dydaktycznego (zadania 1 12) tworzą zadania otwarte. W części drugiej (zadania 13 23) zawarte są zadania zamknięte z wyborem odpowiedzi. We wszystkich zadaniach /lub ich częściach/ tylko jedna odpowiedź jest poprawna. 2 Zasady poprawnego zapisu odpowiedzi Pisz długopisem z niebieskim lub czarnym tuszem. Pisz wyraźnie, czytelnie. W zadaniach, w których będziesz rysować zwykłym ołówkiem, pogrub wszystko długopisem. Ocenione zostaną tylko odpowiedzi umieszczone w karcie odpowiedzi. MAMVD11P0T Wskazówki do zadań otwartych Wyniki wpisuj czytelnie do wyznaczonych białych pól. Jeżeli wymagane jest całe rozwiązanie, przedstaw, oprócz wyniku, cały przebieg rozwiązania. Zapisy obok wyznaczonych białych pól nie zostaną ocenione. Błędny zapis przekreśl i zapisz nowe rozwiązanie. 2.2 Wskazówki do zadań zamkniętych Poprawną odpowiedź oznacz wyraźnie krzyżykiem w białym polu na karcie odpowiedzi, wg rysunku dokładnie Jeżeli chcesz zmienić odpowiedź, starannie zakoloruj oznaczone pole, zaś wybraną odpowiedź oznacz krzyżykiem w nowym polu. 17 A B C D E A B C D E Jakikolwiek inny sposób wpisywania odpowiedzi i wnoszenia poprawek uznany zostanie za odpowiedź błędną. O ile oznaczysz więcej pól, odpowiedź uznana zostanie za błędną. Nie otwieraj arkusza zadań, poczekaj na decyzję osoby nadzorującej!

2 SYTUACJA ŹRÓDŁOWA I RYSUNEK DO ZADAŃ 1 i 2 Na osi liczbowej przedstawiono obrazy nieznanych liczb 2 i oraz obraz liczby 0. 0 M 2 M x 1. Na osi liczbowej zaznacz obraz liczby 1. 1 punkt 2. Wyznacz wartość liczby. 1 punkt maks. 2 punkty 3. Iloczyn dwóch liczb dodatnich wynosi 100. Jeżeli pierwszą z nich zwiększymy o połowę jej wartości, a drugą zmniejszymy o 10, iloczyn się nie zmieni. Wyznacz obie pierwotne liczby.

3 4. Doprowadź do najprostszej możliwej postaci wyraz ze zmienną \1; 0: punkt 5. Z równości wyraź zmienną dla wszystkich wartości rzeczywistych parametru, gdzie 0,5: 22 1 punkt maks. 2 punkty 6. Oblicz wyrażenie zawierające jednostkę urojoną i a wynik zapisz w postaci algebraicznej: 4i i 1 i 1

4 RYSUNEK ŹRÓDŁOWY DO ZADANIA Oblicz miary kątów zaznaczonych w szkicu. Wyniki podaj w kolejności,,. maks. 2 punkty maks. 2 punkty 8. Kąt nachylenia prostej : 6 0 do osi współrzędnych wynosi 60. Wyznacz wartość rozwiązania). w równaniu prostej (znajdź wszystkie

5 9. Znajdź wszystkie pierwiastki równania z przedziału 0; 2π: 1sin 1 cos maks. 2 punkty TABELKA ŹRÓDŁOWA DO ZADANIA 10. Wzór funkcji: I II III Podstawa Wartość zmiennej Wartość funkcji maks. 3 punkty 10. W tabelce dane są trzy różne funkcje wykładnicze I, II i III w postaci, dla 0. W każdej kolumnie podana jest podstawa, wartość zmiennej oraz wartość funkcji w danym punkcie. Dla każdej funkcji uzupełnij brakujące dane.

6 TEKST ŹRÓDŁOWY DO ZADANIA 11. Firma corocznie wynajmuje biura w dwóch różnych obiektach. Miesięczny koszt wynajęcia biura /chodzi o wynajem całoroczny/ w pierwszym z obiektów wynosi 35 tysięcy koron. Drugi z obiektów firma wynajmuje tym razem tylko przez cztery miesiące, ponieważ w ramach ograniczeń budżetowych musi zaoszczędzić jedną piątą środków przeznaczonych na roczne wynajęcia. (CERMAT) 11. Ile koron firma tym razem zaoszczędzi na wynajęciach? maks. 4 punkty W karcie odpowiedzi zapisz cały proces rozwiązania zadania, opisz poszczególne zmienne i wyjaśnij ważne kroki.

7 maks. 4 punkty 12. Ciąg nieskończony, gdzie N, jest określony pierwszym wyrazem 2 oraz wzorem rekurencyjnym: Wyznacz kolejne trzy wyrazy danego ciągu Wyrazy powtarzają się okresowo. Oblicz sumę pierwszych pięćdziesięciu wyrazów Jaką wartość powinien mieć pierwszy wyraz, aby trzeci wyraz był zerowy( 0)? W karcie odpowiedzi zapisz cały przebieg rozwiązania a ważne kroki uzasadnij.

8 Rozwiąż każde z następujących zadań, wyszukaj poprawne rozwiązanie z proponowanych i zaznacz je krzyżykiem w odpowiednim polu w karcie odpowiedzi. maks. 3 punkty 13. W każdym z zapisów powstanie przez uzupełnienie trzech cyfr liczba czterocyfrowa. (Np. w zapisie 13.1 jest jedną z możliwości liczba 1204, natomiast zapis jest błędny). Dla każdego z zapisów ( ) wyznacz ilość wszystkich parzystych czterocyfrowych liczb, które można wytworzyć. Rozwiązania przyporządkuj do propozycji (A E): A) 425 B) 450 C) 500 D) 900 E) inna ilość maks. 3 punkty 14. Wyznacz zbiory punktów na płaszczyźnie, opisane równaniami ( ). Rozwiązania przyporządkuj do propozycji (A E): A) Okrąg B) Elipsa C) Hiperbola D) Parabola E) Prosta

9 RYSUNEK ŹRÓDŁOWY DO ZADANIA 15. H G E F u A B b C maks. 2 punkty 15. Na powierzchni prostopadłościanu zaznaczono przekątne ściany przedniej i bocznej oraz kąty nachylenia danych przekątnych do krawędzi podstawy. Wyraź długość przekątnej za pomocą długości krawędzi oraz miary kątów i. A) b B) b C) b D) b E) inne rozwiązanie

10 16. W równoległoboku dany jest środek symetrii 2; 0 oraz wektory 5; 1 i 1; 3. 2 punkty Który z podanych punktów jest wierzchołkiem tego równoległoboku? A) 3; 1 B) 5; 1 C) 5; 1 D) 1; 1 E) żadny z podanych punktów RYSUNEK ŹRÓDŁOWY DO ZADANIA 17. y f 4 f3 f 2 1 f 1 O 1 x 17. W pierwszej ćwiartce naszkicowane są wykresy funkcji potęgowych, danych wzorem. Ile spośród danych czterech funkcji aż, których dziedziną jest przedział 0;, nie posiada maksimum? A) jedna B) dwie C) trzy D) cztery E) Każda z czterech funkcji ma maksimum. 2 punkty

11 18. Dane są funkcje i zmiennej rzeczywistej, z niezerowym rzeczywistym współczynnikiem : 2 punkty : : Dla których wartości współczynnika mają wykresy obu funkcji dokładnie jeden wspólny punkt? A) Warunek spełnia tylko 0. B) Warunek spełnia tylko jedna rzeczywista wartość współczynnika, wartość ta jest dodatnia. C) Warunek spełnia tylko jedna rzeczywista wartość współczynnika, wartość ta jest ujemna. D) Warunek spełniają przynajmniej dwie różne rzeczywiste wartości współczynnika. E) Żadna rzeczywista wartość współczynnika nie spełnia danego warunku.

12 19. Ostrosłup czworokątny ma jedną krawędź boczną prostopadłą do podstawy kwadratowej. Pięć z ośmiu krawędzi ostrosłupa ma jednakową długość 1. 2 punkty Jakie jest pole powierzchni bocznej ostrosłupa? A) 2 B) 1 C) 1 2 D) 2 2 E) 2 2 TEKST ŹRÓDŁOWY DO ZADANIA 20. Puszka konserwy ma kształt walca. Pole powierzchni podstawy i pole powierzchni bocznej puszki są równe. Puszka zamknięta jest w najmniejszym możliwym papierowym pudle o kwadratowej podstawie. 20. W jakim stosunku jest wysokość pudła do wysokości krawędzi jego podstawy, jeżeli grubość papieru pomijamy? A) 1 : 1 B) 1 : 2 C) 1 : 3 D) 1 : 4 E) 1 : 5 (CERMAT) 2 punkty

13 TEKST ŹRÓDŁOWY DO ZADANIA 21. W pierwszym państwie jest 3% roczny przyrost obywateli. W sąsiednim (drugim) państwie jest wprawdzie o jedną piątą obywateli mniej, jednak roczny przyrost obywateli wynosi 4%. 21. Po ilu latach liczba obywateli w obu państwach będzie jednakowa, jeśli aktualny trend przyrostu obywateli nie ulegnie zmianie? A) po około 18 latach B) po około 20 latach C) po około 21 latach D) po około 22 latach E) po około 23 latach (CERMAT) 2 punkty TEKST ŹRÓDŁOWY DO ZADANIA 22. Bracia Hynek i Marek odziedziczyli każdy po 1,5 miliona koron. Każdy z nich inaczej zainwestował. Hynek pożyczył pod hipotekę jeszcze 2 miliony z 12% rocznym oprocentowaniem i za wszystkie pieniądze kupił towar, na którym w ciągu roku zarobił 8,5% (tzn. po opłaceniu podatku). Potem spłacił pożyczkę wraz z odsetkiem. Marek wszystkie pieniądze włożył na rok do banku z rocznym oprocentowaniem 2 %, a z odsetek zapłacił 15% podatek. 22. Który z braci zarobił więcej? A) Hynek zarobił ponad dwukrotnie więcej od Marka. B) Oba zarobki były porównywalne. C) Hynek zarobił o około połowę mniej od Marka. D) Hynek w odróżnieniu od Marka nie zarobił nic. E) Hynek stracił na swej inwestycji. (CERMAT) 2 punkty

14 TEKST ŹRÓDŁOWY DO ZADANIA 23. E D F III I II C G B A maks. 3 punkty 23. W siedmiokącie foremnym zaznaczono trzy trójkąty: (I), (II) i (III). O każdym z następujących twierdzeń zdecyduj, czy jest prawdziwe (TAK), czy nieprawdziwe (NIE): 23.1 Okręgi opisane na każdym z tych trójkątów mają jednakowe promienie Osie boków, i przecinają się w jednym punkcie. T N 23.3 Wszystkie trójkąty mają jednakową miarę kąta wewnętrznego przy wierzchołku. SPRAWDŹ, CZY WPISAŁEŚ/- AŚ WSZYSTKIE ODPOWIEDZI DO KARTY ODPOWIEDZI.