MATEMATYKA. Zadania maturalne poziom rozszerzony.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "MATEMATYKA. Zadania maturalne poziom rozszerzony."

Transkrypt

1 MATEMATYKA Zadania maturalne poziom rozszerzony I Liczby, zbiory, wartość bezwzględna b Porównaj liczby a oraz Rozw: b a b a [MRI009/pkt] 8 a, b 7 9 a b, gdzie 69, : cos0 5 6 Uzasadnij, że 6 8 [MR/pkt] Uzasadnij, że liczba log jest niewymierna tg 5 o o Oblicz wartość wyrażenia: Rozw: Wykaż, że wyrażenie 9 5 jest podzielne przez [MR/pkt] 6 6 Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej k liczba k k k jest podzielna przez 6 [MRV0/pkt] 7 Uzasadnij, że jeżeli dwie różne liczby naturalne m i n przy dzieleniu przez 7 mają takie same reszty, to różnica kwadratów liczb m i n jest podzielna przez 7 [MR/pkt] 8 Wyznacz wszystkie wartości parametru m dla których część wspólna przedziałów ; m oraz [MR/pkt] m m; (gdzie m R ) jest zbiorem jednoelementowym Rozw: m,, 9 Wykaż, że 6 6 [MR/pkt] 0 Oblicz: Rozw: 0 [MR/pkt] Wykaż, że prawdziwa jest równość: [MRVI0/pkt] 0 Rozwiąż równanie x x x 8 Rozw: x ;6 Rozwiąż równanie: x x 8 x x Rozw: x ; 5 Rozwiąż równanie: x x x Rozw:, 5 Strona z 0 x 5 Rozwiąż nierówność x x x 6x 9 Rozw: x ; 5 6; [MRVI0/5pkt]

2 6 Rozwiąż nierówność 6 x 5 x Rozw: x ; 7 ; 5 7 Rozwiąż nierówność: x Rozw: x 9; 5 ; [MR/pkt] 8 Rozwiąż nierówność: x 7 Rozw: x ; 9 ; 5 ; [MR/pkt] 9 Rozwiąż równanie: x 7 Rozw: x 5,,,6 [MR/pkt] 0 Rozwiąż nierówność: x Rozw: x, [MR/pkt] Rozwiąż nierówność: x x x Rozw: x ; [MRVI0/pkt] Rozwiąż nierówność: x 5 x x Rozw: x ; 7 ; [MRV0/pkt] 5 x Rozwiąż nierówność: x x Rozw: x ; ;6 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x 5 m m m ma rozwiązanie Rozw: m ; ; [MR/pkt] 5 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x x 5 m trzy rozwiązania Rozw: 9 m [MR/pkt] 9x 6x 9x 6x x 6 Oblicz wartość wyrażenia x 5x 5x Rozw: 5 7 Dana jest funkcja a) Napisz wzór tej funkcji bez użycia symbolu wartości bezwzględnej b) Narysuj wykres funkcji f c) Podaj zbiór wartości funkcji g ( x) f ( x) d) Zapisz wzór funkcji wykres Rozw: a) dla x, ma dokładnie f ( x) h( x) bez użycia symbolu wartości bezwzględnej i narysuj jej f ( x) x x ; f ( x) x x ; x 6 x ; c) Z 5;, w x ;0 ; d) h ( x) [MR/6pkt] x0; Strona z 0

3 8 Wyznacz zbiór rozwiązań równania: x x p w zależności od parametru p Rozw: Dla ; ; p brak rozwiązań, dla p = nieskończenie wiele rozwiązań, dla p dwa rozwiązania [MR/6pkt] x Rozw: 7 ; 9 Rozwiąż równanie: x x x 7 0 x 0 Podaj wszystkie liczby całkowite spełniające nierówność: x x 5 x Rozw: x,, [MR/pkt] Rozwiąż nierówność x x 6 Rozw: x ; [MRV00/pkt] Rozwiąż nierówność x 8 x Rozw: x ; 5 Rozwiąż nierówność x x 5 Rozw: x ; ; [MRVIII00/pkt] Wykaż, że wśród rozwiązań równania x x 6 istnieje takie, które jest liczbą niewymierną 5 Rozwiąż nierówność x x x x x x Rozw: x ; 6 Rozwiąż nierówność x x x x x x Rozw: x ; 0, 7 Rozwiąż nierówność x x 9 x 5 Rozw: x ; [MRI009/pkt] 5 8 Oblicz, dla jakich wartości parametru m rozwiązaniem układu równań: para liczb x i y spełniająca warunek: 9 Rozwiąż układ równań: ( x ) y 9 x y 6 x i Strona z 0 y Rozw: 0 Wyznacz wszystkie liczby całkowite x dla których wartość wyrażenia liczbą całkowitą Rozw: x 6; ; ;0; x y m x y m jest 7 m ; [MR/6pkt] 8 8 Rozw: ;, 6;0, ; x x x x 6 9 x x Wyznacz wszystkie liczby całkowite x dla których wartość wyrażenia x x x liczbą całkowitą Rozw: x 0; Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej n większej od prawdziwa jest nierówność n n jest jest

4 Uzasadnij, że dla dowolnej liczby naturalnej n spełniona jest równość n n! n n! nn! n! n! Wyznacz cztery kolejne liczby całkowite takie, że największa z nich jest równa sumie kwadratów trzech pozostałych liczb Rozw:,0,, [MRV0/pkt] 5 Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych x, y, które spełniają równanie: x y x y 7 Rozw: 6,6, 6,, 6,, 6, 6 Wyznacz cztery kolejne liczby naturalne takie, że sześcian największej z nich jest równy sumie sześcianów trzech pozostałych liczb Rozw:,, 5, 6 7 Wykaż, że jeżeli x y to x y 6 8 Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c zachodzi nierówność: a b c a b 6c 9 Wykaż, ze jeżeli x y z 0 to x y x y y z z x z [MR/pkt] a b 50 Uzasadnij, że jeżeli a b, a c, b c i a b c to [MRV0/pkt] a c b c 5 Udowodnij, że dla dowolnych liczb dodatnich a, b, c i d prawdziwa jest nierówność: ac bd a b c d [MRVI0/pkt] 5 Udowodnij, że jeżeli a, b 0, to prawdziwa jest nierówność a b a b ab 5 Udowodnij, że jeżeli a, b 0, to prawdziwa jest nierówność a b ab [MRV0/pkt] 5 Uzasadnij, że jeżeli a b 0, to a b a b [MRVI0/pkt] 55 Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b spełniona jest nierówność: a b a b [MRVIII00/pkt] a b a 56 Wykaż, że jeżeli liczby dodatnie a i b spełniają warunek, to a b b a b 57 W prostokątnym układzie współrzędnych naszkicuj zbiór punktów, których współrzędne spełniają warunek y 6 x [MR/pkt] 58 Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór punktów x, y, których współrzędne spełniają równanie: x x y y Strona z 0

5 II Funkcja: liniowa, kwadratowa, wielomianowa, wymierna Liczby x x (x x ) są pierwiastkami równania kwadratowego x mx m 0 Narysuj wykres funkcji g określonej wzorem: g( m) x x Rozw: g( m) m m, m ;0 ; [MR / 6pkt] Przyprostokątna trójkąta prostokątnego są pierwiastkami trójmianu y x bx 70 Pole kwadratu o boku równym przeciwprostokątnej tego trójkąta jest równe 9 Wyznacz wartość współczynnika b Rozw: b = 7 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie m x mx m 0 ma dwa różne pierwiastki takie, że ich suma jest nie większa niż,5 Rozw: m ; ;5 [MRVI0/5pkt] 5 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x m x m m 0 ma dwa różne pierwiastki, których suma jest mniejsza od m Rozw: m ; [MRVIII00/5pkt] 5 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x mx 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste takie, że suma ich kwadratów jest większa od m Rozw: m ; ; [MRV00/5pkt] 6 Dla jakiej wartości parametru suma kwadratów różnych pierwiastków równania k x xsin cos 0 jest równa? Rozw: gdzie k C 7 Dla jakiego 0, pierwiastki równania x xcos sin 0 spełniają warunek 5 7 x x? Rozw:,,, 8 Oblicz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie m x m 0 x ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x, x takie, że x 6 x m m m Rozw: m ; [MRV0/6pkt] 9 Wyznacz wszystkie wartości parametru m R, dla których równanie x mx 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x, x takie, że x 6 x Rozw: m, 0 Wyznacz wszystkie liczby m R dla których równanie x mx m 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x, x takie, że x x 6 Rozw: m [MR/6pkt] Dla jakich wartości parametru m równanie x x m ma dwa pierwiastki, z których każdy m ; [MR / 6pkt] jest większy od Rozw: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie mx m 0 dwa różne pierwiastki x, x takie, że x x Rozw: x ma 5 7 m ; [MRVI0/5pkt] Strona 5 z 0

6 Dla jakich wartości parametru a różnica pierwiastków równania ax x 0 równa się trzy? Rozw: a, a 9 Wyznacz wszystkie wartości parametru k, dla których równanie 5x kx 0 ma dwa różne pierwiastki, których różnica jest liczbą z przedziału 0 Rozw: k 5, 5 5, 5 5 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x mx m 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x i x takie, że x x xx Rozw: m ; 6 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie x mx m 6m m 0 ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x i x takie, że x x 8m m 0; ; [MRV0/6pkt] Rozw: 7 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie mx m x 0 różne rozwiązania, których suma odwrotności jest mniejsza od Rozw: m ;0 0; 9; ; ma dwa 8 Dane jest równanie x x +m = 0 Wyznacz te wartości parametru m, dla których jeden z 7 pierwiastków jest dwa razy większy od drugiego Rozw: m Dla jakich wartości parametru m suma kwadratów dwóch różnych pierwiastków równania x m 5 x m 7 jest najmniejsza? Rozw: m = Dane jest równanie x p x p 0 x z niewiadomą x a) Rozwiąż to równanie dla p = b) Wyznacz wszystkie wartości parametru p, dla których równanie to ma tylko jedno rozwiązanie Rozw: a) x,,, b) p ; ; [MRI009/6pkt] Funkcja kwadratowa f ( x) x bx c jest malejąca w przedziale ; i rosnąca w przedziale ;, a iloczyn jej miejsc zerowych wynosi a) Wyznacz współczynniki b i c b) Nie wyznaczając miejsc zerowych x oraz x oblicz wartość wyrażenia Rozw: a) b=- 6, c=, b) 0 [MR XII 007 / pkt] x x Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie mx m m 0 x ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x, x spełniające warunek x 6 x m x x Rozw: m 0; 7 [MRV0/6pkt] Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, c funkcja: f ( x) ( x a)( x b) ( x b)( x c) ( x c)( x a) ma co najmniej jedno miejsce zerowe Wyznacz ekstrema funkcji: f ( x) x x Rozw: f 0,5) f (0,5) 0, 5 max ( max Strona 6 z 0

7 5 Narysuj wykres funkcji f określonej wzorem f ( x) x x i na jego podstawie wyznacz liczbę rozwiązań równania f ( x) m w zależności od parametru m 0 m m 0; Rozw: [MRVIII0/pkt] m 0 m ;0 6 Dana jest funkcja f ( x) x x Naszkicuj wykres tej funkcji Na podstawie wykresu określ liczbę pierwiastków równania f( x ) = m, w zależności od parametru m Sporządź wykres funkcji g( m ) przyporządkowującej zmiennej m liczbę pierwiastków badanego wyżej równania 0 m 0; Rozw: g ( m) m ; 0 [MR/7pkt] m m ;0 7 Dane jest równanie kwadratowe z parametrem m postaci x mx x 0 Funkcja f określa iloraz sumy pierwiastków tego równania przez pierwiastek z ich iloczynu, w zależności od wartości m Podaj wzór funkcji f Określ dziedzinę tej funkcji Rozw: f ( m) m, ;0 D ; f 8 Dana jest funkcja f określona wzorem f ( x) x mx m Funkcja g przyporządkowuje każdej liczbie rzeczywistej m najmniejszą wartość funkcji f w przedziale ; Wyznacz wzór funkcji g Rozw: m m ; g ( m) m m m ; m m; x ; 9 Narysuj wykres funkcji określonej wzorem: f ( x) x x x; x x; Korzystając z wykresu funkcji f: a) podaj rozwiązanie nierówności f ( x), b) narysuj wykres funkcji określonej wzorem g ( x) f ( x ) Rozw: a) ; x [MR/6pkt] 5 0 Rozwiąż nierówność: x x x x Rozw: 0 Strona 7 z 0 x ; ; [MR/pkt] 7 5 Rozwiąż nierówność: x x x 0 Rozw: x ; 0; [MR/pkt] Rozwiąż nierówność: x x x Rozw: x ; 0 ; [MRV0/pkt] Wyznacz wszystkie liczby całkowite dodatnie spełniające nierówność: x 90 x 5 Rozw: x ;;

8 Dany jest wielomian trzeciego stopnia o współczynniku przy najwyższej potędze Pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg geometryczny o ilorazie Wartość wielomianu w punkcie jest równa -0 Wyznacz wzór tego wielomianu Rozw: W(x) = (x )(x 6)(x ) 5 Wielomian W( x) ax bx cx d dla argumentu 0 przyjmuje wartość 9 Liczby i są pierwiastkami tego wielomianu, przy czym liczba jest pierwiastkiem dwukrotnym Wyznacz wartości współczynników a, b, c, d Rozw: a, b 5, c, d 9 [MR/pkt] 6 Pierwiastkami wielomianu stopnia trzeciego są liczby,, 5 Współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej tego wielomianu jest równy Uzasadnij, że dla każdej liczby całkowitej nieparzystej wartość tego wielomianu jest liczbą podzielną przez [MRVI0/pkt] 7 Wyznacz wartości a i b współczynników wielomianu W ( x) x ax bx wiedząc, że W( ) 7oraz, że reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez x jest równa 0 Rozw: a 5, b 9 [MRV00/pkt] 8 Wielomian ( x) x ax bx x 9 P a oraz b Rozw: a 8, b lub a 8, b 0 [MRVI0/pkt] W jest kwadratem wielomianu ( x) x cx d Oblicz 9 Wielomian W (x) przy dzieleniu przez dwumiany x, x, x daje reszty odpowiednio równe 5,, 7 Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P ( x) x x 5x 6 Rozw: R( x) x x 0 Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x jest równa natomiast z dzielenia przez dwumian x jest równa 5 Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian x x Rozw: R ( x) x Dany jest wielomian W (x) stopnia n >, którego suma wszystkich współczynników jest równa, a suma współczynników przy potęgach parzystych jest równa sumie współczynników przy potęgach nieparzystych Wykaż, ze reszta R (x) z dzielenia tego wielomianu przez wielomian x x P ( x) jest równa R ( x) x Reszty z dzielenia wielomianu W (x) przez x, x, x są odpowiednio równe,, Znajdź resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P ( x) x x x 5 5 Rozw: R ( x) x x Reszta z dzielenia wielomianu W( x) x 5x x m Oblicz wartość współczynnika m oraz pierwiastki tego wielomianu Rozw: m 6, x ; ; [MRV0/pkt] przez dwumian x jest równa 0 Strona 8 z 0

9 Wielomian W (x) przy dzieleniu przez x, x, x daje odpowiednio reszty,, Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian Q ( x) x 9x 6x Rozw: R ( x) x Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W ( x) x x x przez G( x) x x Rozw: R ( x) x x 6 Wielomian W( x) x ax bx x b ( x ), ( x ) przy dzieleniu przez każdy z dwumianów: ( x ), daję tę samą resztę Wyznacz a i b Rozw: a, b 7 7 Przedstaw wielomian W ( x) x x x x w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich potęgach x x x 5x [MRV007/pkt] są równe jeden Rozw: 8 Przedstaw wielomian W( x) x 6x 5x x 9 w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich potęgach są równe jeden Rozw: x x x x [MR/pkt] 9 Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność x x x x 0 50 Wykres funkcji g uzyskano z przesunięcia wykresu funkcji f danej wzorem f ( x) x x x 7 o wektor o współrzędnych ; Podaj, dla jakich argumentów funkcja g osiąga najmniejszą wartość i ile ona wynosi Rozw: g g g [MR/6pkt] 5 Wyznacz wszystkie te wartości parametru m m R, dla których zbiorem rozwiązań nierówności: m jest przedział ( ; 7) Rozw: m = - x 5 Uzasadnij, że dla każdej liczby dodatniej a prawdziwa jest nierówność a a 5 Rozwiąż nierówność: 0 Rozw: x ;0 ; x( x ) ( x )( x ) ( x )( x ) [MR/6pt] 5 Wyznacz dziedzinę, a następnie uprość wyrażenie: Rozw: R,,7 D, 0,5( c 7) [MR/pkt] c c 7c 60 c c c c 8 7c 59 Strona 9 z 0

10 55 Rozwiąż równanie MATEMATYKA Zadania maturalne poziom rozszerzony x m x m mx 7x 6x x 6x x których rozwiązanie równania jest liczbą należącą do przedziału ; 0 m 7 5 ; 5 56 Wyznacz zbiór wartości funkcji 57 Narysuj wykres funkcji: Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla Rozw: 5m x, m 7 x f ( x), gdzie x R Rozw: Z w ; x x f ( x) Korzystając z wykresu odczytaj przedziały, w których x funkcja przyjmuje wartości mniejsze od Rozw: x ; [MR/pkt] x b ax c 58 Dane są funkcje f ( x) oraz g ( x) o których wiadomo, że ich wykresy mają punkt ax ax wspólny P 9; 5, a miejscem zerowym funkcji g jest liczba Wyznacz wartości parametrów a, b, c Rozw: a =, b = -, c = 5 59 Para m y m f x my mx y x ; jest rozwiązaniem układu równań x y m Podaj dziedzinę funkcji m ( m) oraz naszkicuj jej wykres w układzie współrzędnych m Rozw: f m m [MR/7pkt] m x 60 Narysuj wykres funkcji: f ( x), a następnie określ, dla jakich wartości parametru m x równanie f ( x) m nie ma rozwiązania Rozw: m ; ; 6 Narysuj wykres funkcji:, dla R ;; x x f ( x) [MR / 7pkt] x x x 6 x x f ( x) x x x 6 Narysuj wykres funkcji Strona 0 z 0

11 III Ciągi liczbowe Dany jest ciąg n a o wyrazie ogólnym n n 0 Sprawdź, które wyrazy tego ciągu są większe od 8 Rozw: n,,,,, Dany jest ciąg n 6n a 7n o wyrazie ogólnym a n n a) Wykaż, że wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi b) Oblicz, które wyrazy tego ciągu są mniejsze od 7 Rozw: n,,,,5,6,7 [MR/pkt] a n W ciągu arytmetycznym wyraz pierwszy jest równy, a ostatni 5 Oblicz sumę wyrazów tego ciągu jeśli wiadomo, że drugi, trzeci i szósty są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego Rozw: 6 Suma trzech liczb, będących kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego jest równa 5 Jeżeli do pierwszej z nich dodamy, do drugiej, a do trzeciej 6, to otrzymamy trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego Wyznacz ten ciąg Rozw: (,, 6) 5 Ciąg a,b, jest arytmetyczny, a ciąg,a,b jest geometryczny Oblicz a oraz b Rozw: a, b lub a, b 6 Suma trzech liczb tworzących ciąg geometryczny jest równa 6, a ich iloczyn jest równy 58 Wyznacz ten ciąg Rozw: (6, 8, 9), ( 9, 8, 6) 7 O liczbach a, b, c wiemy, że ciąg a, b, c jest arytmetyczny i a c 0, zaś ciąg a, b, c 9 jest geometryczny Wyznacz te liczby Rozw: a, b, c 6,5, 6 lub a, b, c,5,8 [MRV00/5pkt] 8 Ciąg liczbowy a, b, c jest arytmetyczny i a b c, natomiast ciąg a, b 5, c 9 jest geometryczny Oblicz a, b, c Rozw: 9,, lub,, [MRV0/5pkt] 9 Ciąg liczbowy a, b, c jest geometryczny i a b c 6, natomiast ciąg a 5, b, c jest arytmetyczny Oblicz a, b, c Rozw: 8,6, lub,6,8 [MRVIII00/5pkt] 0 Wyznacz trzywyrazowy ciąg geometryczny, w którym suma trzech kolejnych wyrazów jest równa 8, a ich iloczyn jest równy 8 Rozw: 8,, lub,,8 Liczby niezerowe a, b, c są wyrazami ciągu geometrycznego o numerach odpowiednio p, q, r r s p a b c Oblicz wartość wyrażenia s p r Rozw: [MR/pkt] a b c Strona z 0

12 Trzy liczby tworzą ciąg geometryczny Jeżeli do drugiej liczby dodamy 8, to ciąg ten zmieni się w arytmetyczny Jeżeli zaś do ostatniej liczby nowego ciągu arytmetycznego dodamy 6, to tak otrzymany ciąg będzie znów geometryczny Znajdź te liczby Uwzględnij wszystkie możliwości 0 00 Rozw:,,6,,, [MRV0/6pkt] W ciągu arytmetycznym n a a 8 i a 0 7 a) Sprawdź, czy ciąg, a a Ciąg n a jest ciągiem geometrycznym 8, 0 b) Wyznacz taką wartość n, dla której suma n początkowych wyrazów ciągu a n ma wartość najmniejszą Rozw: a) tak, b) 6 [MR/7pkt] a jest określony następująco: a 0, a każdy następny wyraz ciągu (oprócz wyrazu pierwszego) jest sumą numerów wszystkich wyrazów, poprzedzających dany wyraz Zapisz wzór na n( n ) wyraz ogólny tego ciągu Rozw: a n [MR / pkt] 5 O ciągu n x dla n wiadomo, że: ciąg a określony wzorem geometryczny o ilorazie 7 oraz, że x x 5 Rozw: [MRV0/pkt] 6 W ciągu arytmetycznym n n n a n x n dla n jest x Oblicz a, dla n, dane są a oraz różnica r Oblicz największe takie n, że a a a 0 Rozw: 7 [MRVI0/5pkt] n n 7n 7 Dany jest ciąg, którego wyraz ogólny określa wzór a n n a) Wykaż, że wszystkie wyrazy tego ciągu są liczbami naturalnymi b) Wykaż, że ten ciąg jest arytmetyczny [MR/pkt] 8 Liczby a, a,, an są dodatnie i w podanej kolejności tworzą ciąg geometryczny Uzasadnij, że prawdziwa jest równość: n a a an a an [MRVI0/pkt] 9 Niech n S S k, S m oznacza sumę n (odpowiednio k, m) początkowych wyrazów nieskończonego ciągu arytmetycznego Sk k S m S n m n m n n k k m a i Oblicz wartość wyrażenia: 0 Ciąg a, b, c jest ciągiem arytmetycznym, w którym a, b, c oznaczają kolejno: długość, szerokość i wysokość prostopadłościanu Wiedząc dodatkowo, że a b c wyznacz wymiary prostopadłościanu o największym polu powierzchni całkowitej Rozw: a, 60 b, 96 c [MR/6pkt] x Strona z 0

13 Wyraz ogólny ciągu a n dany jest wzorem MATEMATYKA Zadania maturalne poziom rozszerzony a) Wykaż, że ciąg an jest ciągiem arytmetycznym 6 n a n dla n N n 9 b) Wyznacz takie dwa kolejne wyrazy tego ciągu, aby różnica ich sześcianów wynosiła 7 Rozw: m 6; Liczby x, x są różnymi miejscami zerowymi funkcji kwadratowej o wzorze f ( x) x ( a ) x a Zbadaj, czy istnieje taka wartość parametru a, aby ciąg x, x, x x był ciągiem geometrycznym [MR / 6 pkt] Wyznacz liczbę x tak, aby ciąg cos,cos x,cos x był ciągiem arytmetycznym Rozw: x k lub x k lub x k, k C a dany jest wzorem: n Wyraz ogólny ciągu n a n 5 p a) Wykaż, ze dla każdej liczby rzeczywistej p ten ciąg jest geometryczny b) Oblicz, które wyrazy tego ciągu są mniejsze od 60 dla p = i wyznacz te wyrazy Rozw: a 80 i a 0 5 Dane są ciągi: arytmetyczny a, x, b i geometryczny a, y, b o dodatnich wyrazach Wykaż, ze suma ciągu arytmetycznego jest nie mniejsza niż suma ciągu geometrycznego Strona z 0

14 IV Trygonometria Wiedząc, że sin i ; oblicz sin Rozw: 9 [MR / pkt] Nie używając tablic i kalkulatora sprawdź, czy liczba a jest większa od liczby b, jeżeli: o o o o cos7 cos 6 cos 7 sin 66 o a, b sin 0 Rozw: Tak [MR / 7pkt] o sin 7 n n Wykaż, że nie jest wyrazem ciągu a n sin Sinusy kątów ostrych trójkąta prostokątnego oraz liczba tworzą ze sobą ciąg geometryczny Oblicz 5 sinus najmniejszego kąta tego trójkąta Rozw: [MRI009/pkt] 5 Kąty,, trójkąta ABC spełniają zależność sin sin sin Oblicz wartość wyrażenia tg tg Rozw: o o o 6 Wykaż, że liczby a i b są równe, jeśli a cos 0 cos 0 cos 80 oraz b o o 7 Oblicz bez użycia kalkulatora cos 05 sin 05 Rozw: sin cos tg 8 Oblicz wartość wyrażenia: sin trójkąta prostokątnego Rozw: [MR / pkt] [MR/pkt] jeśli wiadomo, że kąty i są kątami ostrymi 9 Kąt jest taki, że sin cos Oblicz wartość wyrażenia cos sin Rozw: [MRVI0/5pkt] x cos x 0 Wykaż, że jeżeli x k, gdzie k jest liczbą całkowitą, to tg sin x cos Wykaż, że dla dowolnego kąta prawdziwa jest tożsamość sin cos [MRVI0/pkt] sin tg Sprawdź tożsamość:, dla k, gdzie k C cos tg Strona z 0

15 cos sin7 sin cos Udowodnij, że jeżeli cos sin 7 i cos sin to cos sin7 cos sin Rozwiąż równanie: tgx cos x cos x tgx w przedziale 0 ; 5 5 Rozw: x ; ; ; [MRV0/pkt] 5 Rozwiąż równanie: sin x sin xcos x cos x w przedziale 0 ; 5 7 Rozw: x 0; ; ; ; ; [MRV0/pkt] 6 Rozwiąż równanie: cos x cos xsin x sin x w przedziale 0 ; Rozw: 5 7 x ; ; ; ; 7 Wyznacz wszystkie rozwiązania równania cos x 5sin x 0 należące do przedziału 0; Rozw: 7 x ; [MRVIII00/pkt] Wyznacz wszystkie rozwiązania równania sin x 7cos x 5 0 należące do przedziału 0; Rozw: x ; [MRV00/pkt] 9 Wyznacz wszystkie rozwiązania równania sin x sin xcos x cos x należące do przedziału 0; 5 Rozw: x 0; ; ; ; 0 Rozwiąż równanie: log cos x log sin x sinx cosx Rozw: x k gdzie k C Rozwiąż równanie cos x cos x 0 dla x 0; Rozw: x,,, [MRV0/pkt] 5 Rozwiąż równanie: cos x cos x 5 5 Rozw: x ; ; 6 6 sin x Wyznacz wszystkie rozwiązania równania cos x należące do przedziału 0, tgx sin x 5 Rozw: x, Strona 5 z 0

16 Wyznacz wszystkie rozwiązania równania Rozw: x,,, sin x cos x należące do przedziału 0, Rozwiąż równanie: cos x cos x Rozw: x k lub x k lub x k dla k C [MRV0/pkt] 6 Rozwiąż równanie sin x sin x, gdzie x 0; Rozw: x ; ; ; 7 Rozwiąż równanie tgx cos x cos x tgx w przedziale 0 ; Rozw: 5 5 x,,, 8 Rozwiąż równanie: x cosx 0,5 Rozw: x k sin x cos x 9 Oblicz tgx wiedząc, że Rozw: sin x cos x [MR/pkt] sin x cos x 0 Oblicz sinx, jeżeli: cos x sin x Rozw: [MR/pkt] 5 Oblicz sumę wszystkich rozwiązań równania: sin x cos x należących do przedziału 8 ; Rozw: S = [MR / 6pkt] Wyznacz zbiór wartości funkcji f ( x) sin x cos x gdzie x R Rozw: Z w, Wyznacz zbiór wartości funkcji f ( x) cos x sin x gdzie x R Rozw: Z w, sin Wyznacz najmniejszą i największą wartość funkcji f ( x) cos x cos x 6 gdzie x R Rozw:, y y min max 6 5 Narysuj wykres funkcji: sin x sin x f ( x) dla x 0; ; [MRV007/pkt] sin x Strona 6 z 0

17 cos x sin x 6 Narysuj wykres funkcji: f ( x) dla x ; ; ; Podaj cos x zbiór rozwiązań nierówności 0 f ( x) Rozw: 5 5 ; ; ; x 7 Naszkicuj wykres funkcji y = sinx w przedziale ; Naszkicuj wykres funkcji: sin x y w przedziale ; i zapisz, dla których liczb z tego przedziału spełniona jest sin x sin x nierówność: 0 sin x Rozw: x ; ;0 ; ; [MR V 006/ pkt] 8 Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których rozwiązanie (x; y) układu równań: o o mx y cos 0 cos 00 m spełnia warunki: x>0 i y<0 x y Rozw: m ; ; 9 Dana jest funkcja: f ( x) cos x sin x, x R a) Narysuj wykres funkcji f b) Rozwiąż równanie: f(x) = Rozw: x k, x k [MRV005/pkt] xm 0 Dane są funkcje: f ( x) oraz g( x) cos x Dla jakich wartości parametru m wykresy funkcji f i g mają jeden punkt wspólny? Rozw: m k, gdzie k C [MR/6pkt] Strona 7 z 0

18 V Funkcja wykładnicza i logarytmiczna Wiedząc, że log c m, log m 5 b, log m 0 a oblicz log abcm Rozw:,5 log log 7log 9 Uzasadnij, że 0, 8 Suma pierwiastków trójmianu y = ax + bx + c jest równa log c log a, gdzie a c a R, c R Uzasadnij, że odcięta wierzchołka paraboli będącej wykresem tego trójmianu jest równa [MR / pkt] 8 x Oblicz wartość funkcji f ( x) dla argumentu log 7 x log log8 log6 log8 log8 9 Rozw: f ( ) log 8 a b 5 Wiedząc, że a i b oblicz wartość wyrażenia 7 6 Wynik podaj w log 8 log 6 najprostszej postaci Rozw: 6 x 6 x 6 Wyznacz dziedzinę funkcji określonej wzorem f ( x) log x x 5 Rozw: D ;6 0 [MR / pkt] 7 Wyznacz dziedzinę funkcji f ( x) b 8 Oblicz wartość wyrażenia a, jeśli: log 9 x Rozw: x log log 5 log log log5 m ; ; 5 a oraz b Rozw: [MR/6pkt] 6 9 W prostokątnym układzie współrzędnych przedstaw zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, których x współrzędne spełniają warunki: log x y i y 6 log ( x ) 0 Wykaż, że jeżeli log a b (dla a > 0, b > 0, a, b ) jest liczbą wymierną dodatnią, to liczba log a log a też jest wymierna [MR / pkt] b b Strona 8 z 0

19 Wykaż, że jeżeli a, b, c są liczbami dodatnimi takimi, że a, b, c oraz ab log a c log b c to zachodzi równość: log ab c log c log c Sprawdź tożsamość (podaj odpowiednie założenia): a b log a b log a x log b x x log x log x Wykaż, że dla dowolnej liczby a 0 zachodzi nierówność: log ( a ) log a log log a 0 Udowodnić, że jeżeli liczby a, b, c tworzą ciąg geometryczny, to liczby,, log a A log b A dla A 0; tworzą ciąg arytmetyczny log c A 5 Wykaż, że jeżeli a, b 0, to prawdziwa jest nierówność: log b a log a b log log log 6 Wykaż, że liczby,, tworzą w podanej kolejności ciąg arytmetyczny oraz 6 oblicz różnicę tego ciągu Wyraź sumę 0 początkowych wyrazów tego ciągu w zależności od wyrazu drugiego Rozw: ; S 0 = 0a + 5 x to log log x log x x 7 Udowodnij, że jeżeli R x 99 log99! [MR/pkt] x log 8 Dane są zbiory A x : x R, B x : x R x log x log Wyznacz A B Rozw: ; 9 Wykaż, że funkcja f ( x) log x x jest nieparzysta 0 Wiedząc, że log 5 a, oblicz wartość wyrażenia: log 5 log 9 5 a Rozw: a Wiadomo, że log 6 a Wyznacz log 6 w zależności od a Rozw: [MR / pkt] a log x Narysuj wykres funkcji: f ( x) log x f x Rozw: D ; Narysuj wykres funkcji: ( x) log x 5x x 9 log x f ( x) log x dla b a Strona 9 z 0

20 VI Geometria analityczna Wyznacz równania stycznych do okręgu o równaniu x y x 6y 7 nachylonych do osi OX pod takim kątem, że sin cos Rozw: x y, y x 9 [MR/6pkt] Oblicz miarę kąta między stycznymi do okręgu x y x y 0 punkt ;0 A Rozw: 90 o [MRV0/pkt] poprowadzonymi przez Punkty A,0 i B, leżą na okręgu o równaniu x y 0 Wyznacz na tym okręgu taki punkt C, aby trójkąt ABC był trójkątem równoramiennym o podstawie AB Rozw: 5, 5 C lub C 5, 5 [MRVI0/pkt] Znajdź taki punkt C, leżący na prostej y x, aby pole trójkąta ABC, którego wierzchołkami są punkty C,,, A B 5, było równe 5 Rozw: 7,6 C lub, C [MR/6pkt] 5 Jeden z końców odcinka leży na paraboli y x, a drugi na prostej o równaniu y x 6 Wykaż, że długość tego odcinka jest nie mniejsza od 5 Sporządź odpowiedni rysunek [MRI009/5pkt] 6 Punkty A, i C 5, są przeciwległymi wierzchołkami rombu ABCD, którego bok ma długość 5 Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu Rozw: B,, D 0, 7 Punkt A, jest wierzchołkiem rombu ABCD o polu równym 00 Punkt S, jest środkiem symetrii tego rombu Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego rombu Rozw: C,, B,, D 8,7 [MRVIII00/6pkt] 8 Bok kwadratu opisanego na okręgu o równaniu x y 5 zawiera się w prostej o równaniu x y 5 0 Oblicz współrzędne wierzchołków tego kwadratu Rozw: A,, B,, C,, D, 9 Prosta o równaniu x y 6 0 przecina okrąg o środku S, w punktach A i B Długość odcinka AB jest równa 0 Wyznacz równanie tego okręgu Rozw: y 65 x [MRV0/pkt] 0 Obliczyć pole figury ograniczonej osią OX oraz prostymi stycznym poprowadzonymi przez punkt A (0;) do okręgu o środku w punkcie S ( ; 5) i promieniu długości 5 Rozw: 0 Strona 0 z 0

21 Środek okręgu przechodzącego przez punkty A (; ) i B (6;) leży na osi OX a) Wyznacz równanie tego okręgu b) Wyznacz równanie prostej prostopadłej do prostej AB i oddalonej od początku układu współrzędnych o Rozw: a) y 5, x b) y 7x 0, y 7x 0 [MRI009/7pkt] Okrąg jest styczny do osi układu współrzędnych w punktach A 0; i ;0 do prostej l w punkcie C ;a, gdzie a Wyznacz równanie prostej l Rozw: y x [MRVI0/pkt] 7 Wyznacz równanie okręgu o promieniu, 5 o równaniach x y y 0 Rozw: Strona z 0 B oraz jest styczny który przechodzi przez punkty wspólne okręgów x i x x y y x [MR/6pkt] 5 5 x y lub y Wierzchołki trójkąta równobocznego ABC są punktami paraboli y = - x + 6x Punkt C jest jej wierzchołkiem, a bok AB jest równoległy do osi OX Sporządź rysunek w układzie współrzędnych i wyznacz współrzędne wierzchołków tego trójkąta Rozw: ( ; 9), ;6, ;6 [MRV007/7pkt] 5 Punkt A ;5 jest jednym z wierzchołków trójkąta równoramiennego ABC, w którym AC BC Pole tego trójkąta jest równe 5 Bok BC jest zawarty w prostej o równaniu y x Oblicz współrzędne wierzchołka C Rozw: C ; lub C 5;6 [MRV00/6pkt] 6 Punkt A (;) jest wierzchołkiem kąta prostego w równoramiennym trójkącie prostokątnym ABC Przeciwprostokątna tego trójkąta zawiera się w prostej o równaniu y x 5 Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków trójkąta ABC Rozw: B ;7, C 6; 7 Dane są punkty A ; i B ; Wyznacz taki punkt C x; y gdzie x ; leżący na paraboli o równaniu Rozw: C ; [MR/6pkt] y x, aby pole trójkąta ABC było największe 8 Na płaszczyźnie dane są punkty A ;, B ; Na prostej o równaniu y 8x 0 znajdź punkt P, dla którego suma Rozw: P ; [MRVI0/pkt] AP BP jest najmniejsza

22 9 Dane są punkty A ;5, B 9; i prosta k o równaniu y x Oblicz współrzędne punktu C leżącego na prostej k, dla którego suma Rozw: C ;5 [MRVIII00/5pkt] AC BC jest najmniejsza 5 0 W układzie współrzędnych rozważmy wszystkie punkty P postaci: P m ; m, gdzie m ; 7 Oblicz najmniejszą i największą wartość PQ, gdzie Q 55 ;0 Rozw: f 7 5,5; f 65,5 [MRV0/6pkt] min max Punkty B = ( 5, 6) i C = ( 0, 6) są wierzchołkami trapezu równoramiennego ABCD, którego podstawy AB i CD są prostopadłe do prostej k o równaniu y x Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków trapezu, wiedząc, że punkt D należy do prostej k Rozw: A= ( ; -) lub A = ( ; ) oraz D = ( -; ) Z punktu A (9;) poprowadzono styczne do okręgu o równaniu x x y 6y 5 Oblicz długość odcinka łączącego punkty styczności Rozw: 0 Obrazem trójkąta ABC o wierzchołkach A (; ), B ( ; ), C (;) w jednokładności o środku S (; ) i skali k jest trójkąt KLM Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta KLM Rozw: K ( 5; 5), L (;), M (;8 ) W jednokładności o środku S i skali k obrazem okręgu o równaniu x y o równaniu y 9 Rozw: jest okrąg x Oblicz współrzędne środka S jednokładności 5 S 6; lub S ; Rozw: S ( ; ), k = 5 Oblicz współrzędne środka S i skalę k jednokładności, w której obrazem odcinka PR jest odcinek P R i wiadomo, że P (; ), (; ), R,9 SP i SR, [MR/6pkt] 6 Na płaszczyźnie dane są cztery punkty A ;, B 5;, C ;6, D 0;8 Przez punkt D poprowadzono prostą l prostopadłą do prostej AB Znajdź na prostej l taki punkt E, aby pole trójkąta ABC było równe polu trójkąta ABE Rozw: E ;, E ; Udowodnij, że jeśli punkt D jest środkiem ciężkości trójkąta ABC to DA DB DC 0 8 Punkty K, L, M są środkami boków BC, CA i AB trójkąta ABC Wykaż, że AK BL CM 0 Strona z 0

23 VII Geometria płaszczyzny Wykaż, że dla każdego równoległoboku jest spełniony warunek: suma kwadratów długości przekątnych równoległoboku jest równa podwojonej sumie kwadratów długości jego boków Niech a i b będą długościami kolejnych boków równoległoboku ABCD, zaś p i r długościami jego przekątnych Wykaż, że a b pr Liczby i są miarami kątów ostrych w trójkącie prostokątnym Wykaż, że: cos cos [MR/pkt] Długości boków a, b, c trójkąta tworzą ciąg geometryczny, przy czym kąt trójkąta leżący naprzeciwko boku długości b ma miarę 60 o Oblicz miary pozostałych kątów tego trójkąta Rozw: 60 o, 60 o 5 W trójkącie ABC, w którym AC 5, BC i AB 7 na boku AB wybrano taki punkt D, że AD Oblicz sinus kąta ADC 7 Rozw: 7 6 Prosta przechodząca przez środek jednego z boków trójkąta równobocznego i tworząca z tym bokiem kąt ostry dzieli ten trójkąt na czworokąt i trójkąt Stosunek pola czworokąta do pola trójkąta jest równy 5: Oblicz tangens kąta Rozw: 7 Dany jest trójkąt ABC, w którym AC 7 i BC 0 Na boku AB leży punkt D taki, że AD : DB : oraz DC 0 Oblicz pole trójkąta ABC Rozw: 8 [MRV0/5pkt] 8 Punkt D jest punktem wewnętrznym trójkąta Wykaż, że: AD BD CD AB BC AC Strona z 0 [MR/pkt] 9 Trójkąt ostrokątny, którego boki mają długości 7 i 6 ma pole równe 6 Oblicz promień okręgu 7 65 opisanego na tym trójkącie Rozw: 6 0 Podstawa AB trójkąta równoramiennego ABC ma długość 8 oraz BAC 0 o Oblicz długość środkowej AD tego trójkąta Rozw: [MRV0/pkt] Boki trójkąta mają długość 5,, 5 Wyznacz długość części dwusiecznej średniego kąta trójkąta zawartej w tym trójkącie Rozw: [MR/6pkt] Suma długości dwóch boków trójkąta równa się, a kąt między tymi bokami ma miarę 0 o Oblicz najmniejszą wartość sumy kwadratów długości wszystkich boków tego trójkąta Rozw: 0 [MRVI0/pkt] o W równoległoboku ABCD kąt ostry ma miarę 0, zaś dłuższy bok ma długość 8 Promień koła opisanego na ABD ma długość R = Oblicz pole równoległoboku Rozw: P 8

24 W równoległoboku ABCD miara kąta ostrego jest równa 0 o, a odległości punktu przecięcia się przekątnych od sąsiednich boków równoległoboku są równe i Oblicz długość krótszej przekątnej równoległoboku Rozw: [MRVI0/5pkt] 5 Bok kwadratu ABCD ma długość Na bokach BC i CD wybrano odpowiednio punkty E i F umieszczone tak, aby CE DF Oblicz wartość x DF, dla której pole trójkąta AEF jest najmniejsze Rozw: x = 0,5 [MRV00/pkt] 6 W trójkącie prostokątnym ABC ( kąt przy wierzchołku C jest kątem prostym), dane są długości przyprostokątnych: BC a, CA b Dwusieczna kąta prostego tego trójkąta przecina ab przeciwprostokątną AB w punkcie D Wykaż, że długość odcinka CD jest równa a b Sporządź pomocniczy rysunek uwzględniając podane oznaczenia [MR XII 005/pkt] 7 Dany jest prostokąt ABCD, w którym AB a, BC b i a b Odcinek AE jest wysokością trójkąta DAB opuszczoną na jego bok BD Wyraź pole trójkąta AED za pomocą a i b ab Rozw: P AED [MRV0/5pkt] a b 8 Dany jest czworokąt wypukły ABCD (który nie jest równoległobokiem) Punkty M i N są odpowiednio środkami boków AB i CD Punkty P i Q są odpowiednio środkami przekątnych AC i BD Uzasadnij, że MQ PN [MRV0/pkt] 9 Wykaż, że jeżeli w czworokącie ABCD dwusieczne kątów przy wierzchołkach A i C przecinają dwusieczne kątów przy wierzchołkach B i D w czterech różnych punktach, to punkty te leżą na pewnym okręgu 0 W czworokącie ABCD dane są długości boków: AB, CD 5, AD 7 Ponadto kąty DAB oraz BCD są proste Oblicz pole tego czworokąta oraz długości jego przekątnych Rozw: d 5, d 0, P [MRVI0/5pkt] Oblicz miary kątów dowolnego czworokąta wpisanego w okrąg o promieniu R= 5 wiedząc ponadto, że jedna z przekątnych tego czworokąta ma długość 0, zaś iloczyn sinusów wszystkich jego kątów wewnętrznych równa się 8 Rozw: 60 o, 5 o, 0 o, 5 o Strona z 0 [MRXII005/8pkt] Dany jest czworokąt ABCD Niech S będzie punktem przecięcia jego przekątnych Udowodnij, że AS BS czworokąt można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy DS CS Na czworokącie wypukłym ABCD można opisać okrąg Wiadomo, że AB BC, AD, DC oraz przekątna AC Oblicz pole tego czworokąta 9 6 Rozw: P W trapez wpisano okrąg o promieniu cm Miary kątów przy dłuższej podstawie tego trapezu wynoszą 0 o i 60 o Oblicz pole tego trapezu Rozw: P 5 Na okręgu o promieniu r opisano trapez równoramienny ABCD o dłuższej podstawie AB CS i krótszej CD Punkt styczności S dzieli ramię BC tak, że Wyznacz długość ramienia SB 5

25 tego trapezu Oblicz cosinus kąta CBD MATEMATYKA Zadania maturalne poziom rozszerzony 7 0r 6 89 Rozw: BC, cos CBD [MRV006/6 pkt] Trapez ABCD ma kąty proste przy wierzchołkach A i D Punkt O jest środkiem okręgu wpisanego w ten trapez Oblicz obwód trapezu, jeżeli wiadomo, że OC 6 i OB 8 Rozw: 9, 7 Trapez równoramienny jest opisany na okręgu Suma długości krótszej podstawy i ramienia trapezu jest równa 0 Wyraź pole tego trapezu jako funkcję długości jego ramienia Wyznacz dziedzinę tej funkcji Rozw: c c c 0c 00 P, D 5;0 [MRI009/6pkt] 8 Trapez równoramienny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu o promieniu r Wykaż, że r AB CD [MRV0/pkt] 9 W trapezie opisanym na okręgu boki nierównoległe mają długości i 5, zaś odcinek łączący środki tych boków dzieli trapez na dwie części, których pola są w stosunku 5: Oblicz długości podstaw trapezu Rozw: 7; 0 W trapezie równoramiennym podstawy mają długość 9 i, a kąt między ramieniem trapezu i dłuższą podstawą ma miarę 60 o Oblicz promień okręgu opisanego na tym trapezie Rozw: R 9 [MR/6pkt] W trapez równoramienny o przekątnej cm można wpisać okrąg Odcinek łączący środki ramion trapezu mają długość cm Oblicz długości ramienia i pole trapezu Rozw: c = cm, P = 60cm W półkole o promieniu r wpisano trapez równoramienny o krótszej podstawie długości a Oblicz długość przekątnej trapezu Rozw: d r ar Na trapezie opisano okrąg, którego średnica jest jedną z podstaw trapezu Przekątna trapezu ma długość, a długość okręgu wynosi Oblicz pole trapezu Rozw: P 5 69 Czworokąt ABCD wpisany jest w koło oraz wiadomo, że AB, BC 7, CD oraz miara kąta ABC wynosi 60 o Oblicz długość przekątnej AC Oblicz długość boku AD tego czworokąta Rozw: AC 7, AD 5 Na kole opisany jest romb Stosunek pola koła do pola rombu wynosi Wyznacz miarę kąta 8 ostrego tego rombu Rozw: 60 o [MRV007/pkt] 6 Dany jest trójkąt o bokach długości ;,5; Oblicz cosinus i sinus kąta leżącego naprzeciw najkrótszego boku tego trójkąta [MRV007/pkt] 7 Dany jest trapez o podstawach a, b, gdzie a>b Wyznacz długość odcinka łączącego środki a b przekątnych tego trapezu Rozw: x [MRXII007/pkt] Strona 5 z 0

26 VIII Stereometria Wśród wszystkich graniastosłupów prawidłowych sześciokątnych, w których suma długości wszystkich krawędzi jest równa, jest taki, który ma największe pole powierzchni bocznej Oblicz długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa Rozw: [MRV0/pkt] Suma krawędzi graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 6 Dla jakiej długości krawędzi podstawy pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa będzie największe? Rozw: a Objętość graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa, a pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest równe 6 z sąsiednią ścianą boczną Rozw: 5 Oblicz sinus kąta jaki tworzy przekątna ściany bocznej [MRVIII00/5pkt] W graniastosłupie prawidłowym trójkątnym pole powierzchni bocznej równe jest sumie pól obu podstaw Oblicz cosinus kąta nachylenia przekątnej ściany bocznej do sąsiedniej ściany bocznej Rozw: 5 W prostopadłościanie długości krawędzi no wspólnym wierzchołku są równe a, b, c, zaś długość przekątnej prostopadłościanu jest równa d Wykaż, że a b c d 6 Podstawą graniastosłupa prostego o objętości V jest równoległobok o bokach długości a i b Wykaż, że pole powierzchni bocznej tego graniastosłupa jest nie mniejsze niż V a b 7 W prawidłowym ostrosłupie trójkątnym krawędź podstawy jest dwa razy krótsza od krawędzi bocznej Wyznacz cosinus kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy Rozw: 5 [MR/6pkt] 5 8 Ściany boczne ostrosłupa prawidłowego trójkątnego są trójkątami o przyprostokątnych długości cm Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa V 88cm, Pc 7 cm Rozw: 9 W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź podstawy ma długość a Ściany boczne są trójkątami ostrokątnymi Miara kąta między sąsiednimi ścianami bocznymi jest Wyznacz a cos x objętość ostrosłupa Rozw: V [MRV00/5pkt] sin x Strona 6 z 0

27 0 Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt ABC, w którym AB, BC 6, CA 8 Wszystkie ściany boczne tworzą z płaszczyzną podstawy kąt 60 o Oblicz objętość ostrosłupa Rozw: V 5 [MR/6pkt] Podstawą ostrosłupa jest trójkąt, którego jeden z boków ma długość 6, a kąty przyległe do niego mają miary 5 o i 05 o Wysokość ostrosłupa ma długość równą długości promienia okręgu opisanego na podstawie Oblicz objętość ostrosłupa Wynik podaj w postaci a b c, gdzie a, b, c są liczbami wymiernymi Rozw: V 8 8 Podstawą ostrosłupa jest trójkąt równoboczny o boku długości, krawędzie boczne mają długości, Oblicz objętość tego ostrosłupa Rozw: 5 V [MR/6pkt], 7 Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC, w którym AB 0, BC AC 9 i spodek wysokości ostrosłupa należy do jego podstawy Każda wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka S ma długość 6 Oblicz objętość tego ostrosłupa Rozw: 0 [MRVI0/5pkt] Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC Krawędź AS jest wysokością ostrosłupa oraz AS 8 0, BS 8, CS Oblicz objętość tego ostrosłupa Rozw: V [MRV0/5pkt] 5 Podstawą ostrosłupa jest trójkąt prostokątny ABC, w którym AB a, ACB 90 o, CAB Wszystkie krawędzie boczne tego ostrosłupa są nachylone do płaszczyzny podstawy pod kątem o mierze Wyznacz objętość tego ostrosłupa Rozw: V a sin tg 6 W ostrosłupie ABCS podstawa ABC jest trójkątem równobocznym o boku długości a Krawędź AS jest prostopadła do płaszczyzny podstawy Odległość wierzchołka A od ściany BCS a d jest równa d Wyznacz objętość tego ostrosłupa Rozw: V [MRV0/pkt] a d 7 Długości wszystkich krawędzi ostrosłupa prawidłowego czworokątnego prawidłowego są równe a Przez wierzchołek ostrosłupa i środki dwóch sąsiednich krawędzi podstawy poprowadzono płaszczyznę Wyznacz sinus kąta nachylenia wyznaczonego przekroju do podstawy ostrosłupa 5 Rozw: sin 5 Strona 7 z 0

28 8 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD W trójkącie równoramiennym ASC stosunek długości podstawy do długości ramienia jest równy AC AS 6 5 Oblicz sinus kąta nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy Rozw: 8 [MRV0/6pkt] 9 Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny, w którym wszystkie krawędzie mają równą długość Zaznacz na rysunku kąt utworzony przez dwie sąsiednie ściany boczne tego ostrosłupa i oblicz cosinus tego kąta Rozw: [MRI009/pkt] 0 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź podstawy ma długość, a wysokość ostrosłupa jest równa 8 Wyznacz cosinus kąta między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa Rozw: [MR/6pkt] 7 W prawidłowym ostrosłupie czworokątnym o wysokości długości h kąt pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi ma miarę Oblicz objętość tego ostrosłupa Rozw: h tg V Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym, a jego przekrój płaszczyzną równoległą do płaszczyzny podstawy ma pole równe 9 Uzasadnij, że objętość tego stożka jest większa od 8 Wykonaj rysunek pomocniczy i zaznacz na nim przekrój płaszczyzną równoległą do podstawy Strona 8 z 0

29 IX Kombinatoryka i rachunek prawdopodobieństwa n Rozwiąż równanie: n n Rozw: [MR/pkt] Na zakończenie obozu wędrownego każdy uczestników podarował wszystkim obozowiczom swoje zdjęcie W sumie podarowano 600 zdjęć Ile osób było na obozie? Rozw: 5osób Oblicz, ile jest liczb ośmiocyfrowych, w zapisie których nie występuje zero, natomiast występują dwie dwójki i trzy trójki Rozw: [MRV0/pkt] Oblicz, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym jest równy Rozw: 80 [MRV0/pkt] 5 Oblicz, ile jest liczb naturalnych sześciocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie trzy razy cyfra 0 i dokładnie raz występuje cyfra 5 Rozw: 90 [MRV0/pkt] 6 Oblicz, ile jest liczb naturalnych trzycyfrowych podzielnych przez 6 lub podzielnych przez 5 Rozw: 80 [MRVI0/pkt] 7 Ile jest liczb naturalnych siedmiocyfrowych, których suma cyfr jest równa? Rozw: 8 8 Ile podzbiorów trzyelementowych ma zbiór A, jeśli wiadomo, że zawiera on dokładnie podzbiorów o najwyżej dwóch elementach Rozw: 55 9 Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie symetryczną kostką sześcienną, na ściankach której znajdują się cyfry,, 5, 6, 7, 8 Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że suma oczek, uzyskana z dwóch rzutów, nie przekracza liczby Rozw: [MR / pkt] 0 Dziesięć osób rozdzielono na drużyny po 5 osób Oblicz prawdopodobieństwo, że osoby A i B 5 będą w przeciwnych drużynach Rozw: 9 Oblicz prawdopodobieństwo, że w pięciu rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma 5 uzyskanych liczb oczek będzie równa 8 Rozw: P ( A) 5 6 Liczby,,,, 5, 6, 7, 8 ustawiamy losowo w szeregu Oblicz prawdopodobieństwo, że w tym ustawieniu suma każdych dwóch sąsiednich liczb będzie nieparzysta Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego Rozw: [MRVIII00/pkt] 5 Oblicz prawdopodobieństwo tego, że w trzech rzutach symetryczną sześcienną kostką do gry suma kwadratów uzyskanych oczek będzie podzielna przez Rozw: [MRV00/pkt] Strona 9 z 0

30 W klasie IIIa jest 0 dziewcząt i 5 chłopców Oblicz prawdopodobieństwo, że w losowo 0 wybranej delegacji trzyosobowej tej klasy będzie co najwyżej jedna dziewczyna Rozw: 60 5 Ze zbioru liczb {,,,, 5, 6, 7, 8} losujemy jednocześnie cztery liczby Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że najmniejszą wylosowaną liczbą będzie 7 lub największą wylosowaną liczbą będzie 7 Rozw: 70 6 Ze zbioru Z = {,,, n}, gdzie n N wylosowano dwie liczby Zdarzenie A oznacza, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą Oblicz, dla jakiej wartości n prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe 5 Rozw: n = 6 [MR / 5pkt] 7 Z urny, w której znajduje się n kul, w tym 5 białych, losujemy dwie kule bez zwracania Wyznacz n, tak aby prawdopodobieństwo wylosowania dwóch kul białych było równe Rozw: n 5 8 W urnie są kule białe i trzy razy więcej kul czarnych Losujemy jednocześnie dwie kule Wyznacz liczbę kul białych w tej urnie, jeśli wiadomo, że prawdopodobieństwo wylosowania pary kul tego samego koloru jest równe Rozw: [MR/6pkt] 5 9 Ze zbioru liczb Z,,,, wylosowano trzy liczby bez zwracania Oblicz 67 prawdopodobieństwo, że suma wylosowanych liczb jest liczbą parzystą Rozw: 5 0 Rzucamy cztery razy symetryczną sześcienną kostką do gry Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn liczb oczek otrzymanych we wszystkich czterech 5 rzutach będzie równy 60 Rozw: [MRV0/pkt] 08 Oblicz prawdopodobieństwo PA' B', jeśli P A', P B' i P A B Rozw: [MRI009/pkt] A i B są zdarzeniami losowymi zawartymi w przestrzeni Wykaż, że jeżeli P ( A) 0, 9 i P ( B) 0,7 to A B' 0, P ( B' to zdarzenie przeciwne do zdarzenia B) [MRV0/pkt] Zdarzenia losowe A, B są zawarte w oraz P A B' 0, 7 (A oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A, B oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B ) Wykaż, że P AB ' 0, [MRV0/pkt] Zdarzenia losowe A, B są zawarte w oraz P ( A B') 0, i P ( AB ' ) 0, Wykaż, że P ( A B) 0,7 (A oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A, B oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia B) [MRVI0/pkt] Strona 0 z 0

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera strony (zadania 1 ).. Arkusz zawiera 4 zadania zamknięte i 9

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW LICEUM MARZEC ROK 015 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron..

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Czas pracy: 170 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz maturalny treningowy nr 7 W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1) Wyrażenie (-8x 3

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI

SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI dla klasy III gimnazjum dostosowane do programu Matematyka z Plusem opracowała mgr Marzena Mazur LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Grupa I Zad.1. Zapisz w jak najprostszej postaci

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014 Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014 KOD UCZNIA Etap: Data: Czas pracy: rejonowy 8 stycznia 2014 r. 120 minut Informacje dla

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Styczeń 2013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. W zadaniach od 1. do 25. są

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ WICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

ARKUSZ WICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 pobrano z www.sqlmedia.pl Centralna Komisja Egzaminacyjna ARKUSZ WICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 01 POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawd, czy arkusz wiczeniowy zawiera strony (zadania 1 ).. Rozwi zania zada i odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

Kurs z matematyki - zadania

Kurs z matematyki - zadania Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Funkcja jest funkcją kwadratową. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f x jest przedział

Zadanie 2. Funkcja jest funkcją kwadratową. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f x jest przedział Zadanie. Na początku roku akademickiego mężczyźni stanowili 40% wszystkich studentów. Na koniec roku liczba wszystkich studentów zmalała o 0% i wówczas okazało się, że mężczyźni stanowią % wszystkich studentów.

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5. Nr zadania Nr czynno ci... ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwi zania zadania Wprowadzenie oznacze : x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania: x y lub: zapisanie

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied.

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Egzamin maturalny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 5. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Cen nart obni ono o 0%, a po miesi cu now cen obni ono

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2008 Czas pracy 120 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2008 Czas pracy 120 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. pobrano z www.sqlmedia.pl Uk ad graficzny CKE 00 KOD Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk

Bardziej szczegółowo

pobrano z (A1) Czas GRUDZIE

pobrano z  (A1) Czas GRUDZIE EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA (A1) W czasie trwania egzaminu zdaj cy mo e korzysta z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 2. Miejsce na naklejk z kodem szko y CKE MARZEC ROK Czas pracy 150 minut

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 2. Miejsce na naklejk z kodem szko y CKE MARZEC ROK Czas pracy 150 minut Miejsce na naklejk z kodem szko y CKE MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MARZEC ROK 2008 PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 2 Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

Zadania zamknięte. A) 3 pierwiastki B) 1 pierwiastek C) 4 pierwiastki D) 2 pierwiastki. C) a 4 = 2 3

Zadania zamknięte. A) 3 pierwiastki B) 1 pierwiastek C) 4 pierwiastki D) 2 pierwiastki. C) a 4 = 2 3 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Równanie x2 3x+2 = 0 ma: x 2 4 A) 3 pierwiastki B) 1 pierwiastek C) 4 pierwiastki D) 2 pierwiastki ZADANIE 2 (1 PKT) Liczba b jest 3 razy większa od liczby a. Wtedy

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

NUMER IDENTYFIKATORA:

NUMER IDENTYFIKATORA: Społeczne Liceum Ogólnokształcące z Maturą Międzynarodową im. Ingmara Bergmana IB WORLD SCHOOL 53 ul. Raszyńska, 0-06 Warszawa, tel./fax 668 54 5 www.ib.bednarska.edu.pl / e-mail: liceum.ib@rasz.edu.pl

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. pobrano z

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. pobrano z Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny CKE 2013 WPISUJE ZDAJ CY KOD PESEL Miejsce na naklejk z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014

Bardziej szczegółowo

nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki?

nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki? Szanowny Maturzysto, nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki? To prawie niemożliwe, ale jeżeli jednak tak, to Pewnie sądzisz, że przyczyna tkwi w bardzo trudnym arkuszu! Zobaczmy, jak to wygląda

Bardziej szczegółowo

LICZBY I DZIAŁANIA - POZIOM PODSTAWOWY

LICZBY I DZIAŁANIA - POZIOM PODSTAWOWY LICZBY I DZIAŁANIA - POZIOM PODSTAWOWY Zadanie 1. (1 pkt) Liczba 3 30 9 90 jest równa A. 3 210 B. 3 300 C. 9 120 D. 27 2700 Zadanie 2. (1 pkt) Liczba 2 40 4 20 jest równa A. 4 40 B. 4 50 C. 8 60 D. 8 800

Bardziej szczegółowo

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!./+)012+3$%-4#4$5012#-4#4-6017%*,4.!#$!#%&!!!#$%&#'()%*+,-+ '()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusemdla szkoły ponadgimnazjalnej WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM. KATEGORIA B Uczeń rozumie:

Matematyka z plusemdla szkoły ponadgimnazjalnej WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM. KATEGORIA B Uczeń rozumie: WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca P - podstawowy ocena dostateczna (dst.) R - rozszerzający ocena dobra (db.) D

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. pobrano z

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. pobrano z Uk ad graficzny CKE 010 KOD Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. Miejsce na naklejk z kodem

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. Miejsce na naklejk z kodem Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6 KLASA 3 GIMNAZJUM TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1 2. System dziesiątkowy 2-4 WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z XII 2008 R.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 007 Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied.

ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. 2 Przyk adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Pole powierzchni ca kowitej sze

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013 Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013 KOD UCZNIA Etap: Data: Czas pracy: wojewódzki 4 marca 2013 r. 120 minut Informacje dla

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P1 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od 1. do 5. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA

KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA Lekcja 1 Działania na wektorach bez układu współrzędnych. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. Miejsce na naklejk z kodem

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. Miejsce na naklejk z kodem Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas pracy 120 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI pobrano z www.sqlmedia.pl ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA III TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II 1.Uzupełnienie treści ujętych w działach klasy I. 1.Rozwiązywanie prostych równań i nierówności z wartością bezwzględną

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-R1A1P-062 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-R1A1P-061 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 12

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja MMA-P1_1P-072 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2007 Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-R1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 2008 Czas pracy 180 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 80 minut Instrukcja dla zdaj¹cego. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera stron (zadania 0). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI

MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI dysleksja MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI Arkusz II POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla ucznia 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 12 ponumerowanych stron. Ewentualny brak zg o przewodnicz

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny klasa 4

Wymagania na poszczególne oceny klasa 4 Wymagania na poszczególne oceny klasa 4 a) Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez których uczeń nie jest w stanie zrozumieć

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań. 2 Zasady poprawnego zapisu odpowiedzi TEST DYDAKTYCZNY

MATEMATYKA. 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań. 2 Zasady poprawnego zapisu odpowiedzi TEST DYDAKTYCZNY MATEMATYKA Poziom wyższy TEST DYDAKTYCZNY Maksymalna ilość punktów: 50 Próg zaliczenia: 33 % 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań Test dydaktyczny zawiera 23 zadania. Czas pracy oznaczono w kartach

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-P1A1P-061 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 10 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1 stron.

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% C) 5 3 A) B) C) D)

Zadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% C) 5 3 A) B) C) D) W ka dym z zada.-24. wybierz i zaznacz jedn poprawn odpowied. Zadanie. (0- pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% Zadanie 2. (0- pkt) Wyra enie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

KOŃCOWOROCZNE KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 DLA KLAS III przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Agnieszka Łukaszyk

KOŃCOWOROCZNE KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 DLA KLAS III przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Agnieszka Łukaszyk KOŃCOWOROCZNE KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 DLA KLAS III przygotowały mgr Magdalena Murawska i mgr Agnieszka Łukaszyk Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: definiuje notację

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 4 do PSO z matematyki

Załącznik nr 4 do PSO z matematyki Załącznik nr 4 do PSO z matematyki Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki na poziomie rozszerzonym Charakterystyka wymagań na poszczególne oceny: Wymagania na ocenę dopuszczającą dotyczą

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA Poziom rozszerzony ZBIÓR ZADAŃ. Materiały pomocnicze dla uczniów i nauczycieli

EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA Poziom rozszerzony ZBIÓR ZADAŃ. Materiały pomocnicze dla uczniów i nauczycieli EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA Poziom rozszerzony ZBIÓR ZADAŃ Materiały pomocnicze dla uczniów i nauczycieli Centralna Komisja Egzaminacyjna 05 Publikacja opracowana przez zespół koordynowany przez Renatę

Bardziej szczegółowo

KOMBINATORYKA I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

KOMBINATORYKA I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA KOMBINATORYKA I RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Ile róŝnych liczb trzycyfrowych podzielnych przez moŝna zapisać za pomocą cyfr :,,,4, Na ile sposobów moŝna ustawić na półce sześć ksiąŝek tak, aby dwie wybrane

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych

ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych Numer zadania 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 Odpowiedź A B B C C D C B B C

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI ARKUSZ 0 MATURA 00 PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdajàcego POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 70 minut. Sprawdê, czy arkusz zawiera stron.. W zadaniach od. do 5. sà podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału klasa 1BW

Rozkład materiału klasa 1BW Rozkład materiału klasa BW wg podręcznika Matematyka kl. wyd. Nowa Era 2h x 38 tyg. = 76h lekcyjnych LICZBYRZECZYWISTE (7 godz.). Zapoznanie z programem nauczania, wymaganiami edukacyjnymi, zasadami BHP

Bardziej szczegółowo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B. Schemat oceniania zadań otwartych.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B. Schemat oceniania zadań otwartych. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych LICEUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 6 7 8 9 0 6 7 8 9 0 D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B Zadanie. (pkt) Rozwiąż

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 23 Zadania zamknięte. Wskazówki do rozwiązania. Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, zatem

Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 23 Zadania zamknięte. Wskazówki do rozwiązania. Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, zatem Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz Zadania zamknięte Numer zadania Poprawna odpowiedź Wskazówki do rozwiązania B W ( ) + 8 ( ) 8 W ( 7) ( 7) ( 7 ) 8 ( 7) ( 8) 8 ( 8) Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASACH IV-VI

WYMAGANIA EDUKACYJNE I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASACH IV-VI WYMAGANIA EDUKACYJNE I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASACH IV-VI obowiązujące od roku 2015/16 I. Kryteria oceny semestralnej i końcowej dla klasy czwartej. 1. Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń,

Bardziej szczegółowo

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego. Test matematyczno-przyrodniczy matematyka. Test GM-M1-122,

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego. Test matematyczno-przyrodniczy matematyka. Test GM-M1-122, Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego Test matematyczno-przyrodniczy Test GM-M1-122, Zestaw zadań z zakresu matematyki posłużył w dniu 25 kwietnia 2012 r. do sprawdzenia, u uczniów kończących trzecią

Bardziej szczegółowo

Dział Ocena dopuszczająca Ocena dostateczna Ocena dobra Ocena bardzo dobra trójkąty prostokątne. Wielokąty i okręgi

Dział Ocena dopuszczająca Ocena dostateczna Ocena dobra Ocena bardzo dobra trójkąty prostokątne. Wielokąty i okręgi Dział Ocena dopuszczająca Ocena dostateczna Ocena dobra Ocena bardzo dobra trójkąty prostokątne Wielokąty i okręgi zna twierdzenie Pitagorasa rozumie potrzebę stosowania twierdzenia Pitagorasa umie obliczyć

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. entralna Komisja Egzaminacyjna rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny KE 00 KO WPISUJE ZJ Y PESEL Miejsce na naklejk z kodem EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI

Bardziej szczegółowo

XIII KONKURS MATEMATYCZNY

XIII KONKURS MATEMATYCZNY XIII KONKURS MTMTYZNY L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH organizowany przez XIII Liceum Ogólnokształcace w Szczecinie FINŁ - 19 lutego 2013 Test poniższy zawiera 25 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Zadanie (0 ) Opis wymagań pojęcia

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KOD UZUPE NIA ZDAJ CY PESEL Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. miejsce na naklejk MMA 05 dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 5 maja

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY

KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KLASA I LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby

Bardziej szczegółowo

BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA

BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-RZYRODNICZA MATEMATYKA TEST 4 Zadanie 1 Dane są punkty A = ( 1, 1) oraz B = (3, 2). Jaką długość ma odcinek AB? Wybierz odpowiedź

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA. Poziom podstawowy

PLANIMETRIA. Poziom podstawowy LANIMETRIA oziom podstawowy Zadanie ( pkt) W prostokątnym trójkącie ABC dana jest długość przyprostokątnej AC = Na przeciwprostokątnej AB wybrano punkt D, a na przyprostokątnej BC punkt E w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI WPISUJE ZDAJ CY KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY PRZED MATUR MAJ 2012 1. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1 11). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA TRZECIA GIMNAZJUM PIERWSZY OKRES

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA TRZECIA GIMNAZJUM PIERWSZY OKRES WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI KLASA TRZECIA GIMNAZJUM PIERWSZY OKRES I. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń, który: 1. Zna pojęcie notacji wykładniczej. 2. Zna sposób

Bardziej szczegółowo

DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut

DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE. Eliminacje rejonowe. Czas trwania zawodów: 150 minut XLIII MIE DZYSZKOLNE ZAWODY MATEMATYCZNE Eliminacje rejonowe Czas trwania zawodów: 150 minut Każdy uczeń rozwia zuje dwadzieścia cztery zadania testowe, w których podano za lożenia oraz trzy (niekoniecznie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE W ROKU SZKOLNYM 2014 /2015

WYMAGANIA EDUKACYJNE W ROKU SZKOLNYM 2014 /2015 WYMAGANIA EDUKACYJNE NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2014 /2015 Wymagania edukacyjne dostosowane są do programu MATEMATYKA Z PLUSEM LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkê z kodem szko³y dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Przed matur¹ MAJ 2011 r. Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj¹cego 1. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

jest wierzchołkiem kąta prostego. Przeciwprostokątna AB jest zawarta w prostej o równaniu 3 x y + 2 = 0. Oblicz współrzędne punktów A i B.

jest wierzchołkiem kąta prostego. Przeciwprostokątna AB jest zawarta w prostej o równaniu 3 x y + 2 = 0. Oblicz współrzędne punktów A i B. Zadanie PP-GA-1. W trójkącie równoramiennym prostokątnym punkt C = ( 3, 1) jest wierzchołkiem kąta prostego. Przeciwprostokątna AB jest zawarta w prostej o równaniu 3 x y + 2 = 0. Oblicz współrzędne punktów

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM w roku szkolnym 2013/2014

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM WG PROGRAMU MATEMATYKA Z PLUSEM w roku szkolnym 2013/2014 WMG DUKCJ Z MTMTK W KLS TRZCJ GMZJUM WG PROGRMU MTMTK Z PLUSM w roku szkolnym 2013/2014 L C Z B OC DOPUSZCZJĄC DOSTTCZ DOBR BRDZO DOBR CLUJĄC zna pojęcie liczby naturalnej, zna pojęcie notacji wykładniczej

Bardziej szczegółowo

i danej prędkości; stosuje jednostki prędkości: km/h, m/s; umiejętności rachunkowe, a także własne poprawne metody.

i danej prędkości; stosuje jednostki prędkości: km/h, m/s; umiejętności rachunkowe, a także własne poprawne metody. Propozycja rozkładu materiału nauczania Matematyka wokół nas Rozkład materiału nauczania z odniesieniami do wymagań z podstawy programowej. Matematyka wokół nas KLASA 5 Nr lekcji Temat lekcji Zagadnienie

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 1. Miejsce na naklejk z kodem szko y OKE ÓD CKE MARZEC ROK Czas pracy 120 minut

MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 1. Miejsce na naklejk z kodem szko y OKE ÓD CKE MARZEC ROK Czas pracy 120 minut Miejsce na naklejk z kodem szko y OKE ÓD CKE MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MARZEC ROK 2008 PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 1 Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

Konkurs Matematyczny OMEGA organizowany przez Zespół Szkół Nr 1 im. Stefana Garczyńskiego w Zbąszyniu. http://omegamat.w.interia.

Konkurs Matematyczny OMEGA organizowany przez Zespół Szkół Nr 1 im. Stefana Garczyńskiego w Zbąszyniu. http://omegamat.w.interia. Aleksandra Zalejko Konkurs Matematyczny OMEGA organizowany przez Zespół Szkół Nr im. Stefana Garczyńskiego w Zbąszyniu. http://omegamat.w.interia.pl Organizacja kolejnych edycji Konkursu Matematycznego

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI ARKUSZ 8 MATURA 010 PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdajàcego POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdê, czy arkusz zawiera 11 stron.. W zadaniach od 1. do. sà podane

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI ARKUSZ 4 MATURA 010 PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Instrukcja dla zdajàcego POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdê, czy arkusz zawiera 11 stron.. W zadaniach od 1. do 1. sà podane

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-P1A1P-062 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14 stron

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM ROK SZKOLNY 2015/2016

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM ROK SZKOLNY 2015/2016 WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM ROK SZKOLNY 2015/2016 1 Przyjmuje się, że jednym z warunków koniecznych uzyskania danej oceny jest spełnienie wszystkich wymagań na oceny niższe.

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej

Matematyka z plusem dla szkoły ponadgimnazjalnej 1 ZAŁOŻENIA DO PLANU REALIZACJI MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI W KLASIE III (zakres podstawowy) Program nauczania: Matematyka z plusem, numer dopuszczenia DKW-4015-37/01. Liczba godzin nauki w tygodniu:

Bardziej szczegółowo