D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B. Schemat oceniania zadań otwartych.

Transkrypt

1 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych LICEUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B Zadanie. (pkt) Rozwiąż nierówność Schemat oceniania zadań otwartych x x. Rozwiązanie Nierówność zapisujemy w postaci równoważnej x x 0, a następnie obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego x x, rozkładając go na czynniki liniowe x x x x. Stąd x, x. Możemy również obliczyć pierwiastki wykorzystując wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego. Wówczas 9, 7, 7 x Szkicujemy wykres trójmianu kwadratowego 7. y x x,, x y - 0 x z którego odczytujemy zbiór rozwiązań rozwiązywanej nierówności x,,. Odpowiedź: x,,. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt, gdy: obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego: x, x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności x x i na tym rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności Strona z 7

2 zapisze nierówność w postaci równoważnej x 7 i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność błędnie przekształci nierówność do postaci równoważnej, np. zapisze x 7 i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność. Zdający otrzymuje... pkt, gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności:,, lub,, x lub ( x lub x ) sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x, x poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. Zadanie. (pkt) x x Rozwiąż równanie. x x I sposób rozwiązania Równanie ma sens, gdy x 0, a więc gdy x. Wtedy równanie możemy zapisać w postaci równoważnej x x x, x x x x, x xx, x x, x, x. Liczba jest różna od, więc jest jedynym rozwiązaniem równania. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt, gdy zapisze założenie x 0 i zapisze równanie w postaci równoważnej xx, na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. x Zdający otrzymuje... pkt, gdy wyznaczy rozwiązanie równania: x. Strona z 7

3 Uwaga Jeżeli zdający nie założy, że x 0, zapisze równanie w postaci x, rozwiąże to x x równanie, otrzymując x, ale nie sprawdzi, że liczba spełnia równanie, to x otrzymuje punkt, jeżeli natomiast sprawdzi, że liczba spełnia podane równanie, to otrzymuje punkty. II sposób rozwiązania Równanie ma sens, gdy x 0, a więc gdy x. Wtedy mnożąc obie strony równania przez x 0 otrzymujemy x x x, x x 0, x x 0, x x x 0, x x x 0, x x 0. Stąd x 0 lub x 0. Druga z tych równości nie zachodzi, gdyż x 0. Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest x. Uwaga Równanie x x 0 możemy również rozwiązać, korzystając ze wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego. Wówczas 9,, x, x. Pierwszy z otrzymanych pierwiastków trójmianu nie spełnia warunku x, drugi spełnia x x ten warunek. Zatem równanie ma tylko jedno rozwiązanie x. x Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt, gdy zapisze założenie x 0 i zapisze równanie w postaci równoważnej x x x, na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... pkt, gdy wyznaczy rozwiązanie równania: x. Uwaga Jeżeli zdający nie założy, że x 0, zapisze równanie w postaci x x x, rozwiąże to równanie, otrzymując x lub x, ale nie sprawdzi, że tylko liczba x x spełnia równanie, to otrzymuje punkt, jeżeli natomiast sprawdzi, że liczba x nie spełnia tego równania, a liczba je spełnia, to otrzymuje punkty. Zadanie. ( pkt) Oblicz sumę wszystkich liczb całkowitych dodatnich podzielnych przez i mniejszych od 00. I sposób rozwiązania Zauważmy, że kolejne liczby całkowite dodatnie podzielne przez tworzą ciąg arytmetyczny a o różnicy r i pierwszym wyrazie a. Ponieważ interesują nas tylko liczby n Strona z 7

4 mniejsze od 00, więc ciąg ten jest skończony, a jego ostatnim wyrazem jest an 96. a a n r na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy równanie Ze wzoru n 96 n, 96 n, 96 n 7 n. Suma wszystkich 7 wyrazów tego ciągu jest równa 96 S II sposób rozwiązania Wypiszmy kolejne liczby całkowite dodatnie od do 00 w następujący sposób: W każdej z czterech kolumn jest tyle samo liczb Interesujące nas liczby znajdują się w ostatniej kolumnie, z tym, że liczba 00 nas nie interesuje. Mamy więc obliczyć sumę 7 liczb: Łącząc w pary składnik pierwszy i ostatni, drugi i przedostatni, itd. otrzymujemy w rezultacie sumę 7 składników, z których każdy jest równy 00. Zatem szukana suma jest równa Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt, gdy zapisze, że pierwszym składnikiem sumy jest, ostatnim 96 oraz wyznaczy liczbę składników 7 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... pkt, gdy obliczy szukaną sumę: 00. Zadanie. ( pkt) Dany jest trójkąt ABC, w którym bok AB jest dwa razy dłuższy od boku AC, sinus kąta BAC jest równy, a pole trójkąta jest równe. Oblicz długości boków AB i AC tego trójkąta. I sposób rozwiązania Niech c AB, b AC oraz BAC. Bok AB jest dwa razy dłuższy od boku AC, więc c b. Pole trójkąta ABC wyraża się wzorem P bc sin. Otrzymujemy zatem równanie ABC b b,, b b 8. Stąd b 9. Zatem cb 8. Odpowiedź: Boki AB i AC trójkąta mają długości: AB 8, AC 9. Strona z 7

5 II sposób rozwiązania Niech c AB, b AC oraz BAC. Bok AB jest dwa razy dłuższy od boku AC, więc c b. Ponieważ sin, więc kąt może być ostry rozwarty. Rozważmy więc dwa przypadki. W każdym z nich poprowadźmy wysokość CD trójkąta. C C A c D B D A c Bok AB jest dwa razy dłuższy od boku AC, więc c b. Z trójkąta prostokątnego ACD otrzymujemy odpowiednio w pierwszym i w drugim przypadku hc hc sin oraz sin 80. b b Ponieważ sin 80 b Pole trójkąta ABC jest równe h c h c sin, więc w obu przypadkach mamy sin. Stąd b h bsin. c ABC c c c sin P ch bh bh bb b. Otrzymujemy zatem równanie b, b 8. Stąd b 9. Zatem cb 8. Odpowiedź: Boki AB i AC trójkąta mają długości: AB 8, AC 9. b h c B Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt, gdy zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.: bb, gdzie b oznacza długość AC trójkąta. Zdający otrzymuje... pkt, gdy obliczy długości boków AB i AC trójkąta ABC: AB 8, AC 9. Zadanie. ( pkt) Na boku AB kwadratu ABCD leży punkt M, a na boku BC taki punkt N, że MB BN AB. Kąty BAN, MDN, MCB mają miary równe odpowiednio,, (zobacz rysunek). Udowodnij, że 90. Dowód (I sposób) Niech a oznacza długość boku kwadratu, oraz x MB. Strona z 7

6 D a C N a A M x B a Wówczas AM a x. Z założenia wynika, że x BN a, skąd BN a x. To z kolei oznacza, że CN a BN a a x x. Trójkąty ABN i DAM są prostokątne, AD BC a oraz AM BN a x, więc z cechy b-k-b wynika, że te trójkąty są przystające. Stąd wnioskujemy, że () ADM BAN. Tak samo trójkąty CBM i DCN są przystające, gdyż oba są prostokątne oraz BC CD a i MB CN x. Stąd wynika, że () CDN BCM. Ponieważ ADM MDN NDC 90, więc stąd oraz z równości () i () wynika, że To kończy dowód. 90. Schemat oceniania rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt, gdy zauważy, że trójkąty ABN i DAM (lub CBM i DCN) są przystające i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... pkt, gdy uzasadni, że 90. Zadanie 6. ( pkt) Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b prawdziwa jest nierówność a b a b. Dowód (I sposób) Przekształcamy nierówność równoważnie w następujący sposób: a a b b 0, a a b b, 0 a b 0. Ta nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, gdyż kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, a suma dwóch liczb nieujemnych i jednej dodatniej jest dodatnia. To kończy dowód. Dowód (II sposób) Nierówność a b a b możemy zapisać w postaci równoważnej a a b b 0. Strona 6 z 7

7 Możemy potraktować tę nierówność jak nierówność kwadratową z niewiadomą a. Ponieważ współczynnik przy a jest dodatni, więc wystarczy wykazać, że wyróżnik trójmianu stojącego po lewej stronie nierówności jest ujemny dla dowolnej liczby rzeczywistej b, czyli 0, b b 0, b b 0, b b 0. Obliczmy wyróżnik trójmianu b b 6 8. b Ponieważ wyróżnik ten jest ujemny i współczynnik przy b jest dodatnie, więc nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej b. To kończy dowód. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze nierówność w postaci równoważnej a b Strona 7 z 7 0 zapisze nierówność w postaci równoważnej a a b b 0i potraktuje tę nierówność jak nierówność kwadratową z niewiadomą a oraz zapisze wyróżnik b b i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie. Zadanie 7. ( pkt) W pudełku znajduje się dwanaście kul ponumerowanych od do, przy czym kule o numerach,, są białe, kule o numerach,, 6, 7 czarne, a pozostałe kule są zielone. Losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowane kule są różnych kolorów i jedna z nich ma numer parzysty, a druga nieparzysty. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. I sposób rozwiązania (klasyczna definicja prawdopodobieństwa - ciągi) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary ( xy, ) różnych liczb naturalnych ze zbioru {,,,,,6,7,8,9,0,,}. Zdarzenia jednoelementowe są równoprawdopodobne. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa. Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym. Oznaczamy przez A zdarzenie polegające na tym, że wylosowane kule są różnych kolorów i jedna z nich ma numer parzysty, a druga nieparzysty. Wypiszmy więc wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:,,,,,6,,8,,0,,,,7,,9,,,,,,6,,8,,0,,,,,,9,,,,,,8,,0,,, 6,, 6,, 6,9, 6,,,,

8 7,, 7,8, 7,0, 7,, 8,, 8,, 8,, 8,7, 9,, 9,, 9,6, 0,, 0,, 0,,,,,,,6,,,,,,, 0,7,,7. 8 Zatem A 8 i PA. Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane kule są różnych kolorów i jedna z nich ma numer parzysty, a druga nieparzysty jest równe. Uwaga Możemy zilustrować zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych w tabeli na oraz zaznaczyć pola sprzyjające zdarzeniu A X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 6 X X X X 7 X X X X 8 X X X X 9 X X X 0 X X X X X X X X X X X Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest zatem równe 8 PA. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i spełniające jeden spośród dwóch warunków: o numer pierwszej kuli jest nieparzysty, a numer drugiej jest parzysty numer pierwszej jest parzysty, a drugiej nieparzysty o wylosowane kule są innych kolorów i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Strona 8 z 7

9 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych i wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:, A = {,,,6,,8,,0,,,,,,7,,9,,,,,,6,,8,,0,,,,,,,,9,,,,,,8,,0,,, 6,, 6,, 6,9, 6,, 7,, 7,8, 7,0, 7,, 8,, 8,, 8,, 8,7, 9,, 9,, 9,6, 0,, 0,, 0,, 0,7,,,,,,6,,,,,,,,7 } i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i poda ich liczbę:, A 8. A = {,,,6,,8,,0,,,,,,7,,9,,,,,,6,,8,,0,,,,,,,,9,,,,,,8,,0,,, 6,, 6,, 6,9, 6,, 7,, 7,8, 7,0, 7,, 8,, 8,, 8,, 8,7, 9,, 9,, 9,6, 0,, 0,, 0,, 0,7,,,,,,6,,,,,,,,7 } Rozwiązanie pełne... pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A i wynik zapisze w postaci ułamka nieskracalnego: PA. Uwagi. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P A, to otrzymuje 0 punktów.. Jeśli zdający uwzględni tylko jeden z warunków np. przyjmie, że numer pierwszej kuli jest nieparzysty, a numer drugiej jest parzysty numer pierwszej jest parzysty, a drugiej nieparzysty i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty.. Jeśli zdający wypisując zdarzenie elementarne pominie jedno zdarzenie lub dwukrotnie wypisze jedno zdarzenie i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty.. Jeśli zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A, ale nie zapisze go w postaci ułamka nieskracalnego, np. zapisze PA, to otrzymuje punkty. 66 II sposób rozwiązania (klasyczna definicja prawdopodobieństwa - zbiory) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie zbiory xy, złożone z dwóch liczb naturalnych ze zbioru {,,,,,6,7,8,9,0,,}. Zdarzenia jednoelementowe są równoprawdopodobne. Strona 9 z 7

10 Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa 66. Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym. Oznaczamy przez A zdarzenie polegające na tym, że wylosowane kule są różnych kolorów i jedna z nich ma numer parzysty, a druga nieparzysty. Wypiszmy więc wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:,,,,,6,,8,,0,,,,7,,9,,,,,,6,,8,,0,,9,,,,8,,0,,, 6,9, 6,, 7,8, 7,0, 7,. Strona 0 z 7,, Zatem A i PA. 66 Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane kule są różnych kolorów i jedna z nich ma numer parzysty, a druga nieparzysty jest równe. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i spełniające jeden spośród dwóch warunków: o numer pierwszej kuli jest nieparzysty, a numer drugiej jest parzysty numer pierwszej jest parzysty, a drugiej nieparzysty o wylosowane kule są innych kolorów i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych i wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:,,8, A = {,,,6,,8,,0,,,,,,7,,9,,,,,,6,,0,,,,9,,,,8,,0,,, 6,9, 6,, 7,8, 7,0, 7, } i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i poda ich liczbę: 0,

11 A = {,,,6,,8,,0,,,,,,7,,9,,,,,,6,,8,,0,,,,9,,,,8,,0,,, 6,9, 6,, 7,8, 7,0, 7, } A. Rozwiązanie pełne... pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A i wynik zapisze w postaci ułamka nieskracalnego: PA. Uwagi. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P A, to otrzymuje 0 punktów.. Jeśli zdający uwzględni tylko jeden z warunków np. przyjmie, że numer pierwszej kuli jest nieparzysty, a numer drugiej jest parzysty numer pierwszej jest parzysty, a drugiej nieparzysty i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty.. Jeśli zdający wypisując zdarzenie elementarne pominie jedno zdarzenie lub dwukrotnie wypisze jedno zdarzenie i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty.. Jeśli zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A, ale nie zapisze go w postaci ułamka nieskracalnego, np. zapisze PA, to otrzymuje punkty. Zadanie 8. ( pkt) Punkt A (0, ) jest wierzchołkiem prostokąta ABCD. Osiami symetrii tego prostokąta są proste o równaniach y x oraz y x. Wyznacz równanie prostej zawierającej 8 przekątną BD tego prostokąta. Rozwiązanie Zauważmy najpierw, że punkt A nie leży na żadnej z podanych prostych, gdyż oraz 0. Wynika stąd, że podane proste są osiami symetrii boków tego prostokąta. Punkt S przecięcia tych prostych jest środkiem symetrii prostokąta i jednocześnie środkiem każdej z jego przekątnych. Pozostałe oznaczenia przyjmijmy takie, jak na rysunku. 0 A y M N S D C Obliczmy współrzędne punktu S. Wystarczy rozwiązać układ równań Stąd otrzymujemy równanie B x y x 8. y x Strona z 7

12 x x, 8 x, 8 0 x, 8 x, więc y 9. Zatem S 9,. Wyznaczmy równanie prostej AB. Jest ona równoległa do prostej o równaniu y x, więc jej współczynnik kierunkowy jest równy. Ponadto przechodzi przez punkt A (0,), więc jej równanie ma postać y x. x 8 y Rozwiązując układ równań, obliczymy współrzędne środka M boku AB y x prostokąta. Przyrównując prawe strony równań układu dostajemy równanie x x, 8 y. Zatem, więc M. 8 8 x, x, x Ze wzorów na współrzędne środka odcinka otrzymujemy Stąd xaxb yayb 0xB yb,, M. x oraz, B B y B x oraz y 0. Współrzędne wierzchołka B są więc równe B,0. Prosta zawierająca przekątną BD prostokąta przechodzi przez punkty B i S. Jej współczynnik kierunkowy jest równy a BS, B więc równanie tej prostej ma postać y 8 x, czyli y 8 x. Schemat oceniania 0 Strona z 7 Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zdający S, 9 obliczy współrzędne punktu S: wyznaczy równanie prostej AB: y x wyznaczy równanie prostej AD: y x. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający

13 obliczy współrzędne punktu M: M, obliczy współrzędne punktu N:,7 N. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający obliczy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi prosta BD, np.: S 9, i B,0. Rozwiązanie pełne... pkt Zdający wyznaczy równanie prostej BD: y 8 x. Zadanie 9. ( pkt) Krawędź podstawy ABCD graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDA BC D jest równa. Na krawędzi bocznej DD obrano punkt P taki, że PD (zobacz rysunek). Graniastosłup ten przecięto płaszczyzną zawierającą przekątną AC podstawy i przechodzącą przez punkt P. Pole tego przekroju jest równe. Oblicz kąt nachylenia przekątnej tego graniastosłupa do podstawy ABCD. Wynik podaj w stopniach z dokładnością do. Rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. D C A B P B A x D Podstawą graniastosłupa jest kwadrat, więc ze wzoru na długość przekątnej kwadratu otrzymujemy AC. Odcinek DE jest połową przekątnej, więc DE 6. Przekrój tego graniastosłupa płaszczyzną zawierającą przekątną AC jego podstawy i przechodzącą przez punkt P jest trójkątem ACP, w którym odcinek PE jest wysokością opuszczoną na podstawę AC. Pole tego trójkąta jest zatem równe P 6 ACP AC PE h h. Pole tego przekroju jest też równe, więc 6 h. Stąd h 9. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta PDE wynika, że PE PD DE, h E B h x DE Strona z 7 9 x 6, x C

14 Stąd x, zatem DD PD PD 6. Obliczmy tangens kąta nachylenia przekątnej BD graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy DD 6 tg 0,98. BD Z tablic odczytujemy przybliżoną miarę kąta. Odpowiedź: Kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy (w zaokrągleniu do ). Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zdający obliczy długość przekątnej AC podstawy graniastosłupa: AC zaznaczy kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy zaznaczy wysokość PE przekroju ACP opuszczoną na podstawę AC. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający obliczy wysokość PE trójkąta ACP opuszczoną na postawę AC: PE 9. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający zaznaczy kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy i obliczy długość odcinka PD: PD. Rozwiązanie prawie pełne... pkt Zdający 6 obliczy wartość dowolnej funkcji trygonometrycznej kąta, np.: tg i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy rozwiąże zadanie do końca, popełniając błędy rachunkowe. Rozwiązanie pełne... pkt Zdający poda miarę kąta w zaokrągleniu :. Zadanie 0. ( pkt) Pierwsza pompa, pracując samodzielnie, napełnia zbiornik w ciągu godzin, a druga pompa napełnia go samodzielnie w ciągu 0 godzin. O godzinie 9 : 00 uruchomiono pierwszą pompę, która zaczęła napełniać pusty zbiornik. Po pewnym czasie uruchomiono drugą pompę. Pompy, pracując razem, zakończyły napełniać zbiornik o godzinie :8. Oblicz, o której godzinie rozpoczęła pracę druga pompa. I sposób rozwiązania Niech t oznacza czas (w godzinach) pracy drugiej pompy. Ponieważ pierwsza pompa napełnia cały zbiornik w ciągu godzin, więc w ciągu godziny napełnia zbiornika. Podobnie druga pompa napełnia zbiornik w ciągu 0 godzin, więc w ciągu godziny napełnia 0 zbiornika. Ponieważ czas od chwili rozpoczęcia do chwili zakończenia napełniania zbiornika jest równy godziny, więc w tym czasie pierwsza pompa napełniła 60 Strona z 7 6

15 zbiornika, a druga w czasie t napełniła t zbiornika. Obie pompy napełniła cały zbiornik, więc otrzymujemy równanie t, 0 t, t, 0 t 0, t. Zatem druga pompa pracowała przez godziny i 0 minut, więc została uruchomiona o godzinie : 8. Odpowiedź: Druga pompa rozpoczęła pracę o godzinie : 8. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający obliczy wydajność jednej z pomp, np.: pierwsza pompa w ciągu godziny napełnia zbiornika, druga pompa w ciągu godziny napełnia 0 zbiornika. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający wprowadzi jako niewiadomą t czas (w godzinach) pracy drugiej pompy oraz wyznaczy część pojemności zbiornika, jaką napełniła pierwsza pompa w czasie 6 godziny: 6 zbiornika wyznaczy część pojemności zbiornika, jaką napełniła druga pompa w czasie t godzin: 0 t zbiornika. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.: 6 t. Strona z 7 0 Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... pkt Zdający rozwiąże równanie z niewiadomą t i na tym poprzestanie: t zadanie do końca z błędami rachunkowymi. Rozwiązanie bezbłędne... pkt Zdający obliczy, o której godzinie rozpoczęła pracę druga pompa: o : 8. II sposób rozwiązania Niech t oznacza czas (w godzinach) od momentu włączenia pierwszej pompy do momentu włączenia drugiej pompy. Ponieważ pierwsza pompa napełnia cały zbiornik w ciągu godzin, więc w ciągu godziny napełnia zbiornik w ciągu 0 godzin, więc w ciągu godziny napełnia 0 zbiornika. Podobnie druga pompa napełnia zbiornika. W czasie t t zbiornika. Ponieważ czas od chwili rozpoczęcia do chwili zostanie więc napełniona zakończenia napełniania zbiornika jest równy pracowały razem przez 6 t godzin. Zatem napełniły w tym czasie godziny, więc obie pompy

16 6 t t Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania zbiornika. Otrzymujemy zatem równanie 0 60 t 60 t, t t, 7 60 t 60 t 0, t 0, t Zatem druga pompa została uruchomiona o godziny i 8 minut później niż pierwsza, a więc o godzinie : 8. Odpowiedź: Druga pompa rozpoczęła pracę o godzinie : 8. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający obliczy wydajność jednej z pomp, np.: pierwsza pompa w ciągu godziny napełnia zbiornika, druga pompa w ciągu godziny napełnia 0 zbiornika. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający wprowadzi jako niewiadomą t czas (w godzinach) od momentu włączenia pierwszej pompy do momentu włączenia drugiej pompy oraz wyznaczy część pojemności zbiornika, jaką napełniła pierwsza pompa w czasie t: t zbiornika wyznaczy czas, w jakim pracowały obie pompy w zależności od t: 6 t godzin. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt t t. Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.: Strona 6 z 7 60 Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... pkt Zdający rozwiąże równanie z niewiadomą t i na tym poprzestanie: t 7 zadanie do końca z błędami rachunkowymi. Rozwiązanie bezbłędne... pkt Zdający obliczy, o której godzinie rozpoczęła pracę druga pompa: o : 8. III sposób rozwiązania Ponieważ pierwsza pompa napełnia cały zbiornik w ciągu godzin, więc w ciągu godziny napełnia zbiornika. Pierwsza pompa pracowała bez przerwy od godziny 9 : 00 do godziny : 8, a więc przez godziny. Napełniła więc w tym czasie 7 60 zbiornika. Pozostałą część 0 napełnia zbiornik w ciągu 0 godzin, więc 0 zbiornika napełniła druga pompa. Ponieważ druga pompa 0 zbiornika napełnia w ciągu 0 0 godziny. Zatem druga pompa rozpoczęła pracę o godzinie , a więc o : 8. Odpowiedź: Druga pompa rozpoczęła pracę o godzinie :

17 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający obliczy wydajność pierwszej pompy: pierwsza pompa w ciągu godziny napełnia zbiornika, druga pompa w ciągu godziny napełnia 0 zbiornika. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający obliczy, jaką część zbiornika napełniła pierwsza pompa w ciągu całego swojego czasu pracy: 7 zbiornika. 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający obliczy, jaką część zbiornika napełniła druga pompa w ciągu całego czasu swojego pracy: 0 zbiornika. Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... pkt Zdający obliczy, w jakim czasie pracowała druga pompa: godziny. Rozwiązanie bezbłędne... pkt Zdający obliczy, o której godzinie rozpoczęła pracę druga pompa: o : 8. Strona 7 z 7