D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B. Schemat oceniania zadań otwartych.

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B. Schemat oceniania zadań otwartych."

Transkrypt

1 Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych LICEUM Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych D A D A A B A B B C B D C C C D B C C B Zadanie. (pkt) Rozwiąż nierówność Schemat oceniania zadań otwartych x x. Rozwiązanie Nierówność zapisujemy w postaci równoważnej x x 0, a następnie obliczamy pierwiastki trójmianu kwadratowego x x, rozkładając go na czynniki liniowe x x x x. Stąd x, x. Możemy również obliczyć pierwiastki wykorzystując wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego. Wówczas 9, 7, 7 x Szkicujemy wykres trójmianu kwadratowego 7. y x x,, x y - 0 x z którego odczytujemy zbiór rozwiązań rozwiązywanej nierówności x,,. Odpowiedź: x,,. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt, gdy: obliczy lub poda pierwiastki trójmianu kwadratowego: x, x i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności x x i na tym rozłoży trójmian kwadratowy na czynniki liniowe, np. poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności Strona z 7

2 zapisze nierówność w postaci równoważnej x 7 i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór rozwiązań nierówności popełni błąd rachunkowy przy obliczaniu wyróżnika lub pierwiastków trójmianu kwadratowego (ale otrzyma dwa różne pierwiastki) i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność błędnie przekształci nierówność do postaci równoważnej, np. zapisze x 7 i konsekwentnie do popełnionego błędu rozwiąże nierówność. Zdający otrzymuje... pkt, gdy: poda zbiór rozwiązań nierówności:,, lub,, x lub ( x lub x ) sporządzi ilustrację geometryczną (oś liczbowa, wykres) i zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci: x, x poda zbiór rozwiązań nierówności w postaci graficznej z poprawnie zaznaczonymi końcami przedziałów. Zadanie. (pkt) x x Rozwiąż równanie. x x I sposób rozwiązania Równanie ma sens, gdy x 0, a więc gdy x. Wtedy równanie możemy zapisać w postaci równoważnej x x x, x x x x, x xx, x x, x, x. Liczba jest różna od, więc jest jedynym rozwiązaniem równania. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt, gdy zapisze założenie x 0 i zapisze równanie w postaci równoważnej xx, na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. x Zdający otrzymuje... pkt, gdy wyznaczy rozwiązanie równania: x. Strona z 7

3 Uwaga Jeżeli zdający nie założy, że x 0, zapisze równanie w postaci x, rozwiąże to x x równanie, otrzymując x, ale nie sprawdzi, że liczba spełnia równanie, to x otrzymuje punkt, jeżeli natomiast sprawdzi, że liczba spełnia podane równanie, to otrzymuje punkty. II sposób rozwiązania Równanie ma sens, gdy x 0, a więc gdy x. Wtedy mnożąc obie strony równania przez x 0 otrzymujemy x x x, x x 0, x x 0, x x x 0, x x x 0, x x 0. Stąd x 0 lub x 0. Druga z tych równości nie zachodzi, gdyż x 0. Zatem jedynym rozwiązaniem równania jest x. Uwaga Równanie x x 0 możemy również rozwiązać, korzystając ze wzorów na pierwiastki trójmianu kwadratowego. Wówczas 9,, x, x. Pierwszy z otrzymanych pierwiastków trójmianu nie spełnia warunku x, drugi spełnia x x ten warunek. Zatem równanie ma tylko jedno rozwiązanie x. x Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt, gdy zapisze założenie x 0 i zapisze równanie w postaci równoważnej x x x, na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... pkt, gdy wyznaczy rozwiązanie równania: x. Uwaga Jeżeli zdający nie założy, że x 0, zapisze równanie w postaci x x x, rozwiąże to równanie, otrzymując x lub x, ale nie sprawdzi, że tylko liczba x x spełnia równanie, to otrzymuje punkt, jeżeli natomiast sprawdzi, że liczba x nie spełnia tego równania, a liczba je spełnia, to otrzymuje punkty. Zadanie. ( pkt) Oblicz sumę wszystkich liczb całkowitych dodatnich podzielnych przez i mniejszych od 00. I sposób rozwiązania Zauważmy, że kolejne liczby całkowite dodatnie podzielne przez tworzą ciąg arytmetyczny a o różnicy r i pierwszym wyrazie a. Ponieważ interesują nas tylko liczby n Strona z 7

4 mniejsze od 00, więc ciąg ten jest skończony, a jego ostatnim wyrazem jest an 96. a a n r na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego otrzymujemy równanie Ze wzoru n 96 n, 96 n, 96 n 7 n. Suma wszystkich 7 wyrazów tego ciągu jest równa 96 S II sposób rozwiązania Wypiszmy kolejne liczby całkowite dodatnie od do 00 w następujący sposób: W każdej z czterech kolumn jest tyle samo liczb Interesujące nas liczby znajdują się w ostatniej kolumnie, z tym, że liczba 00 nas nie interesuje. Mamy więc obliczyć sumę 7 liczb: Łącząc w pary składnik pierwszy i ostatni, drugi i przedostatni, itd. otrzymujemy w rezultacie sumę 7 składników, z których każdy jest równy 00. Zatem szukana suma jest równa Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt, gdy zapisze, że pierwszym składnikiem sumy jest, ostatnim 96 oraz wyznaczy liczbę składników 7 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... pkt, gdy obliczy szukaną sumę: 00. Zadanie. ( pkt) Dany jest trójkąt ABC, w którym bok AB jest dwa razy dłuższy od boku AC, sinus kąta BAC jest równy, a pole trójkąta jest równe. Oblicz długości boków AB i AC tego trójkąta. I sposób rozwiązania Niech c AB, b AC oraz BAC. Bok AB jest dwa razy dłuższy od boku AC, więc c b. Pole trójkąta ABC wyraża się wzorem P bc sin. Otrzymujemy zatem równanie ABC b b,, b b 8. Stąd b 9. Zatem cb 8. Odpowiedź: Boki AB i AC trójkąta mają długości: AB 8, AC 9. Strona z 7

5 II sposób rozwiązania Niech c AB, b AC oraz BAC. Bok AB jest dwa razy dłuższy od boku AC, więc c b. Ponieważ sin, więc kąt może być ostry rozwarty. Rozważmy więc dwa przypadki. W każdym z nich poprowadźmy wysokość CD trójkąta. C C A c D B D A c Bok AB jest dwa razy dłuższy od boku AC, więc c b. Z trójkąta prostokątnego ACD otrzymujemy odpowiednio w pierwszym i w drugim przypadku hc hc sin oraz sin 80. b b Ponieważ sin 80 b Pole trójkąta ABC jest równe h c h c sin, więc w obu przypadkach mamy sin. Stąd b h bsin. c ABC c c c sin P ch bh bh bb b. Otrzymujemy zatem równanie b, b 8. Stąd b 9. Zatem cb 8. Odpowiedź: Boki AB i AC trójkąta mają długości: AB 8, AC 9. b h c B Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt, gdy zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.: bb, gdzie b oznacza długość AC trójkąta. Zdający otrzymuje... pkt, gdy obliczy długości boków AB i AC trójkąta ABC: AB 8, AC 9. Zadanie. ( pkt) Na boku AB kwadratu ABCD leży punkt M, a na boku BC taki punkt N, że MB BN AB. Kąty BAN, MDN, MCB mają miary równe odpowiednio,, (zobacz rysunek). Udowodnij, że 90. Dowód (I sposób) Niech a oznacza długość boku kwadratu, oraz x MB. Strona z 7

6 D a C N a A M x B a Wówczas AM a x. Z założenia wynika, że x BN a, skąd BN a x. To z kolei oznacza, że CN a BN a a x x. Trójkąty ABN i DAM są prostokątne, AD BC a oraz AM BN a x, więc z cechy b-k-b wynika, że te trójkąty są przystające. Stąd wnioskujemy, że () ADM BAN. Tak samo trójkąty CBM i DCN są przystające, gdyż oba są prostokątne oraz BC CD a i MB CN x. Stąd wynika, że () CDN BCM. Ponieważ ADM MDN NDC 90, więc stąd oraz z równości () i () wynika, że To kończy dowód. 90. Schemat oceniania rozwiązania Zdający otrzymuje... pkt, gdy zauważy, że trójkąty ABN i DAM (lub CBM i DCN) są przystające i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... pkt, gdy uzasadni, że 90. Zadanie 6. ( pkt) Udowodnij, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b prawdziwa jest nierówność a b a b. Dowód (I sposób) Przekształcamy nierówność równoważnie w następujący sposób: a a b b 0, a a b b, 0 a b 0. Ta nierówność jest prawdziwa dla dowolnych liczb rzeczywistych a, b, gdyż kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, a suma dwóch liczb nieujemnych i jednej dodatniej jest dodatnia. To kończy dowód. Dowód (II sposób) Nierówność a b a b możemy zapisać w postaci równoważnej a a b b 0. Strona 6 z 7

7 Możemy potraktować tę nierówność jak nierówność kwadratową z niewiadomą a. Ponieważ współczynnik przy a jest dodatni, więc wystarczy wykazać, że wyróżnik trójmianu stojącego po lewej stronie nierówności jest ujemny dla dowolnej liczby rzeczywistej b, czyli 0, b b 0, b b 0, b b 0. Obliczmy wyróżnik trójmianu b b 6 8. b Ponieważ wyróżnik ten jest ujemny i współczynnik przy b jest dodatnie, więc nierówność jest prawdziwa dla każdej liczby rzeczywistej b. To kończy dowód. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze nierówność w postaci równoważnej a b Strona 7 z 7 0 zapisze nierówność w postaci równoważnej a a b b 0i potraktuje tę nierówność jak nierówność kwadratową z niewiadomą a oraz zapisze wyróżnik b b i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy przeprowadzi pełne rozumowanie. Zadanie 7. ( pkt) W pudełku znajduje się dwanaście kul ponumerowanych od do, przy czym kule o numerach,, są białe, kule o numerach,, 6, 7 czarne, a pozostałe kule są zielone. Losujemy kolejno bez zwracania dwa razy po jednej kuli. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, że wylosowane kule są różnych kolorów i jedna z nich ma numer parzysty, a druga nieparzysty. Wynik zapisz w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego. I sposób rozwiązania (klasyczna definicja prawdopodobieństwa - ciągi) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary ( xy, ) różnych liczb naturalnych ze zbioru {,,,,,6,7,8,9,0,,}. Zdarzenia jednoelementowe są równoprawdopodobne. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa. Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym. Oznaczamy przez A zdarzenie polegające na tym, że wylosowane kule są różnych kolorów i jedna z nich ma numer parzysty, a druga nieparzysty. Wypiszmy więc wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:,,,,,6,,8,,0,,,,7,,9,,,,,,6,,8,,0,,,,,,9,,,,,,8,,0,,, 6,, 6,, 6,9, 6,,,,

8 7,, 7,8, 7,0, 7,, 8,, 8,, 8,, 8,7, 9,, 9,, 9,6, 0,, 0,, 0,,,,,,,6,,,,,,, 0,7,,7. 8 Zatem A 8 i PA. Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane kule są różnych kolorów i jedna z nich ma numer parzysty, a druga nieparzysty jest równe. Uwaga Możemy zilustrować zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych w tabeli na oraz zaznaczyć pola sprzyjające zdarzeniu A X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X X 6 X X X X 7 X X X X 8 X X X X 9 X X X 0 X X X X X X X X X X X Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest zatem równe 8 PA. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i spełniające jeden spośród dwóch warunków: o numer pierwszej kuli jest nieparzysty, a numer drugiej jest parzysty numer pierwszej jest parzysty, a drugiej nieparzysty o wylosowane kule są innych kolorów i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Strona 8 z 7

9 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych i wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:, A = {,,,6,,8,,0,,,,,,7,,9,,,,,,6,,8,,0,,,,,,,,9,,,,,,8,,0,,, 6,, 6,, 6,9, 6,, 7,, 7,8, 7,0, 7,, 8,, 8,, 8,, 8,7, 9,, 9,, 9,6, 0,, 0,, 0,, 0,7,,,,,,6,,,,,,,,7 } i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i poda ich liczbę:, A 8. A = {,,,6,,8,,0,,,,,,7,,9,,,,,,6,,8,,0,,,,,,,,9,,,,,,8,,0,,, 6,, 6,, 6,9, 6,, 7,, 7,8, 7,0, 7,, 8,, 8,, 8,, 8,7, 9,, 9,, 9,6, 0,, 0,, 0,, 0,7,,,,,,6,,,,,,,,7 } Rozwiązanie pełne... pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A i wynik zapisze w postaci ułamka nieskracalnego: PA. Uwagi. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P A, to otrzymuje 0 punktów.. Jeśli zdający uwzględni tylko jeden z warunków np. przyjmie, że numer pierwszej kuli jest nieparzysty, a numer drugiej jest parzysty numer pierwszej jest parzysty, a drugiej nieparzysty i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty.. Jeśli zdający wypisując zdarzenie elementarne pominie jedno zdarzenie lub dwukrotnie wypisze jedno zdarzenie i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty.. Jeśli zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A, ale nie zapisze go w postaci ułamka nieskracalnego, np. zapisze PA, to otrzymuje punkty. 66 II sposób rozwiązania (klasyczna definicja prawdopodobieństwa - zbiory) Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie zbiory xy, złożone z dwóch liczb naturalnych ze zbioru {,,,,,6,7,8,9,0,,}. Zdarzenia jednoelementowe są równoprawdopodobne. Strona 9 z 7

10 Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa 66. Mamy więc do czynienia z modelem klasycznym. Oznaczamy przez A zdarzenie polegające na tym, że wylosowane kule są różnych kolorów i jedna z nich ma numer parzysty, a druga nieparzysty. Wypiszmy więc wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:,,,,,6,,8,,0,,,,7,,9,,,,,,6,,8,,0,,9,,,,8,,0,,, 6,9, 6,, 7,8, 7,0, 7,. Strona 0 z 7,, Zatem A i PA. 66 Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowane kule są różnych kolorów i jedna z nich ma numer parzysty, a druga nieparzysty jest równe. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: wypisze zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i spełniające jeden spośród dwóch warunków: o numer pierwszej kuli jest nieparzysty, a numer drugiej jest parzysty numer pierwszej jest parzysty, a drugiej nieparzysty o wylosowane kule są innych kolorów i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych i wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A:,,8, A = {,,,6,,8,,0,,,,,,7,,9,,,,,,6,,0,,,,9,,,,8,,0,,, 6,9, 6,, 7,8, 7,0, 7, } i na tym zakończy lub dalej rozwiązuje błędnie. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych, wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A i poda ich liczbę: 0,

11 A = {,,,6,,8,,0,,,,,,7,,9,,,,,,6,,8,,0,,,,9,,,,8,,0,,, 6,9, 6,, 7,8, 7,0, 7, } A. Rozwiązanie pełne... pkt Zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A i wynik zapisze w postaci ułamka nieskracalnego: PA. Uwagi. Jeśli zdający rozwiąże zadanie do końca i otrzyma P A, to otrzymuje 0 punktów.. Jeśli zdający uwzględni tylko jeden z warunków np. przyjmie, że numer pierwszej kuli jest nieparzysty, a numer drugiej jest parzysty numer pierwszej jest parzysty, a drugiej nieparzysty i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty.. Jeśli zdający wypisując zdarzenie elementarne pominie jedno zdarzenie lub dwukrotnie wypisze jedno zdarzenie i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to otrzymuje punkty.. Jeśli zdający obliczy prawdopodobieństwo zdarzenia A, ale nie zapisze go w postaci ułamka nieskracalnego, np. zapisze PA, to otrzymuje punkty. Zadanie 8. ( pkt) Punkt A (0, ) jest wierzchołkiem prostokąta ABCD. Osiami symetrii tego prostokąta są proste o równaniach y x oraz y x. Wyznacz równanie prostej zawierającej 8 przekątną BD tego prostokąta. Rozwiązanie Zauważmy najpierw, że punkt A nie leży na żadnej z podanych prostych, gdyż oraz 0. Wynika stąd, że podane proste są osiami symetrii boków tego prostokąta. Punkt S przecięcia tych prostych jest środkiem symetrii prostokąta i jednocześnie środkiem każdej z jego przekątnych. Pozostałe oznaczenia przyjmijmy takie, jak na rysunku. 0 A y M N S D C Obliczmy współrzędne punktu S. Wystarczy rozwiązać układ równań Stąd otrzymujemy równanie B x y x 8. y x Strona z 7

12 x x, 8 x, 8 0 x, 8 x, więc y 9. Zatem S 9,. Wyznaczmy równanie prostej AB. Jest ona równoległa do prostej o równaniu y x, więc jej współczynnik kierunkowy jest równy. Ponadto przechodzi przez punkt A (0,), więc jej równanie ma postać y x. x 8 y Rozwiązując układ równań, obliczymy współrzędne środka M boku AB y x prostokąta. Przyrównując prawe strony równań układu dostajemy równanie x x, 8 y. Zatem, więc M. 8 8 x, x, x Ze wzorów na współrzędne środka odcinka otrzymujemy Stąd xaxb yayb 0xB yb,, M. x oraz, B B y B x oraz y 0. Współrzędne wierzchołka B są więc równe B,0. Prosta zawierająca przekątną BD prostokąta przechodzi przez punkty B i S. Jej współczynnik kierunkowy jest równy a BS, B więc równanie tej prostej ma postać y 8 x, czyli y 8 x. Schemat oceniania 0 Strona z 7 Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zdający S, 9 obliczy współrzędne punktu S: wyznaczy równanie prostej AB: y x wyznaczy równanie prostej AD: y x. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający

13 obliczy współrzędne punktu M: M, obliczy współrzędne punktu N:,7 N. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający obliczy współrzędne dwóch punktów, przez które przechodzi prosta BD, np.: S 9, i B,0. Rozwiązanie pełne... pkt Zdający wyznaczy równanie prostej BD: y 8 x. Zadanie 9. ( pkt) Krawędź podstawy ABCD graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ABCDA BC D jest równa. Na krawędzi bocznej DD obrano punkt P taki, że PD (zobacz rysunek). Graniastosłup ten przecięto płaszczyzną zawierającą przekątną AC podstawy i przechodzącą przez punkt P. Pole tego przekroju jest równe. Oblicz kąt nachylenia przekątnej tego graniastosłupa do podstawy ABCD. Wynik podaj w stopniach z dokładnością do. Rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. D C A B P B A x D Podstawą graniastosłupa jest kwadrat, więc ze wzoru na długość przekątnej kwadratu otrzymujemy AC. Odcinek DE jest połową przekątnej, więc DE 6. Przekrój tego graniastosłupa płaszczyzną zawierającą przekątną AC jego podstawy i przechodzącą przez punkt P jest trójkątem ACP, w którym odcinek PE jest wysokością opuszczoną na podstawę AC. Pole tego trójkąta jest zatem równe P 6 ACP AC PE h h. Pole tego przekroju jest też równe, więc 6 h. Stąd h 9. Z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta PDE wynika, że PE PD DE, h E B h x DE Strona z 7 9 x 6, x C

14 Stąd x, zatem DD PD PD 6. Obliczmy tangens kąta nachylenia przekątnej BD graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy DD 6 tg 0,98. BD Z tablic odczytujemy przybliżoną miarę kąta. Odpowiedź: Kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy (w zaokrągleniu do ). Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania... pkt Zdający obliczy długość przekątnej AC podstawy graniastosłupa: AC zaznaczy kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy zaznaczy wysokość PE przekroju ACP opuszczoną na podstawę AC. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający obliczy wysokość PE trójkąta ACP opuszczoną na postawę AC: PE 9. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający zaznaczy kąt nachylenia przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy i obliczy długość odcinka PD: PD. Rozwiązanie prawie pełne... pkt Zdający 6 obliczy wartość dowolnej funkcji trygonometrycznej kąta, np.: tg i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy rozwiąże zadanie do końca, popełniając błędy rachunkowe. Rozwiązanie pełne... pkt Zdający poda miarę kąta w zaokrągleniu :. Zadanie 0. ( pkt) Pierwsza pompa, pracując samodzielnie, napełnia zbiornik w ciągu godzin, a druga pompa napełnia go samodzielnie w ciągu 0 godzin. O godzinie 9 : 00 uruchomiono pierwszą pompę, która zaczęła napełniać pusty zbiornik. Po pewnym czasie uruchomiono drugą pompę. Pompy, pracując razem, zakończyły napełniać zbiornik o godzinie :8. Oblicz, o której godzinie rozpoczęła pracę druga pompa. I sposób rozwiązania Niech t oznacza czas (w godzinach) pracy drugiej pompy. Ponieważ pierwsza pompa napełnia cały zbiornik w ciągu godzin, więc w ciągu godziny napełnia zbiornika. Podobnie druga pompa napełnia zbiornik w ciągu 0 godzin, więc w ciągu godziny napełnia 0 zbiornika. Ponieważ czas od chwili rozpoczęcia do chwili zakończenia napełniania zbiornika jest równy godziny, więc w tym czasie pierwsza pompa napełniła 60 Strona z 7 6

15 zbiornika, a druga w czasie t napełniła t zbiornika. Obie pompy napełniła cały zbiornik, więc otrzymujemy równanie t, 0 t, t, 0 t 0, t. Zatem druga pompa pracowała przez godziny i 0 minut, więc została uruchomiona o godzinie : 8. Odpowiedź: Druga pompa rozpoczęła pracę o godzinie : 8. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający obliczy wydajność jednej z pomp, np.: pierwsza pompa w ciągu godziny napełnia zbiornika, druga pompa w ciągu godziny napełnia 0 zbiornika. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający wprowadzi jako niewiadomą t czas (w godzinach) pracy drugiej pompy oraz wyznaczy część pojemności zbiornika, jaką napełniła pierwsza pompa w czasie 6 godziny: 6 zbiornika wyznaczy część pojemności zbiornika, jaką napełniła druga pompa w czasie t godzin: 0 t zbiornika. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.: 6 t. Strona z 7 0 Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... pkt Zdający rozwiąże równanie z niewiadomą t i na tym poprzestanie: t zadanie do końca z błędami rachunkowymi. Rozwiązanie bezbłędne... pkt Zdający obliczy, o której godzinie rozpoczęła pracę druga pompa: o : 8. II sposób rozwiązania Niech t oznacza czas (w godzinach) od momentu włączenia pierwszej pompy do momentu włączenia drugiej pompy. Ponieważ pierwsza pompa napełnia cały zbiornik w ciągu godzin, więc w ciągu godziny napełnia zbiornik w ciągu 0 godzin, więc w ciągu godziny napełnia 0 zbiornika. Podobnie druga pompa napełnia zbiornika. W czasie t t zbiornika. Ponieważ czas od chwili rozpoczęcia do chwili zostanie więc napełniona zakończenia napełniania zbiornika jest równy pracowały razem przez 6 t godzin. Zatem napełniły w tym czasie godziny, więc obie pompy

16 6 t t Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania zbiornika. Otrzymujemy zatem równanie 0 60 t 60 t, t t, 7 60 t 60 t 0, t 0, t Zatem druga pompa została uruchomiona o godziny i 8 minut później niż pierwsza, a więc o godzinie : 8. Odpowiedź: Druga pompa rozpoczęła pracę o godzinie : 8. Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający obliczy wydajność jednej z pomp, np.: pierwsza pompa w ciągu godziny napełnia zbiornika, druga pompa w ciągu godziny napełnia 0 zbiornika. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający wprowadzi jako niewiadomą t czas (w godzinach) od momentu włączenia pierwszej pompy do momentu włączenia drugiej pompy oraz wyznaczy część pojemności zbiornika, jaką napełniła pierwsza pompa w czasie t: t zbiornika wyznaczy czas, w jakim pracowały obie pompy w zależności od t: 6 t godzin. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt t t. Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.: Strona 6 z 7 60 Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... pkt Zdający rozwiąże równanie z niewiadomą t i na tym poprzestanie: t 7 zadanie do końca z błędami rachunkowymi. Rozwiązanie bezbłędne... pkt Zdający obliczy, o której godzinie rozpoczęła pracę druga pompa: o : 8. III sposób rozwiązania Ponieważ pierwsza pompa napełnia cały zbiornik w ciągu godzin, więc w ciągu godziny napełnia zbiornika. Pierwsza pompa pracowała bez przerwy od godziny 9 : 00 do godziny : 8, a więc przez godziny. Napełniła więc w tym czasie 7 60 zbiornika. Pozostałą część 0 napełnia zbiornik w ciągu 0 godzin, więc 0 zbiornika napełniła druga pompa. Ponieważ druga pompa 0 zbiornika napełnia w ciągu 0 0 godziny. Zatem druga pompa rozpoczęła pracę o godzinie , a więc o : 8. Odpowiedź: Druga pompa rozpoczęła pracę o godzinie :

17 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... pkt Zdający obliczy wydajność pierwszej pompy: pierwsza pompa w ciągu godziny napełnia zbiornika, druga pompa w ciągu godziny napełnia 0 zbiornika. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający obliczy, jaką część zbiornika napełniła pierwsza pompa w ciągu całego swojego czasu pracy: 7 zbiornika. 0 Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający obliczy, jaką część zbiornika napełniła druga pompa w ciągu całego czasu swojego pracy: 0 zbiornika. Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... pkt Zdający obliczy, w jakim czasie pracowała druga pompa: godziny. Rozwiązanie bezbłędne... pkt Zdający obliczy, o której godzinie rozpoczęła pracę druga pompa: o : 8. Strona 7 z 7

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI DLA UCZNIÓW LICEUM MARZEC ROK 015 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron..

Bardziej szczegółowo

Czas pracy 170 minut

Czas pracy 170 minut ORGANIZATOR WSPÓŁORGANIZATOR PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MARZEC ROK 013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od

Bardziej szczegółowo

nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki?

nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki? Szanowny Maturzysto, nie zdałeś naszej próbnej matury z matematyki? To prawie niemożliwe, ale jeżeli jednak tak, to Pewnie sądzisz, że przyczyna tkwi w bardzo trudnym arkuszu! Zobaczmy, jak to wygląda

Bardziej szczegółowo

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1

1. Rozwiązać układ równań { x 2 = 2y 1 Dzień Dziecka z Matematyką Tomasz Szymczyk Piotrków Trybunalski, 4 czerwca 013 r. Układy równań szkice rozwiązań 1. Rozwiązać układ równań { x = y 1 y = x 1. Wyznaczając z pierwszego równania zmienną y,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI CZERWIEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź.

Arkusz maturalny treningowy nr 7. W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Czas pracy: 170 minut Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz maturalny treningowy nr 7 W zadaniach 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawną odpowiedź. Zadanie 1. (0-1) Wyrażenie (-8x 3

Bardziej szczegółowo

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5.

ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR 2 POZIOM ROZSZERZONY. S x 3x y. 1.5 Podanie odpowiedzi: Poszukiwane liczby to : 2, 6, 5. Nr zadania Nr czynno ci... ODPOWIEDZI I SCHEMAT PUNKTOWANIA ZESTAW NR POZIOM ROZSZERZONY Etapy rozwi zania zadania Wprowadzenie oznacze : x, x, y poszukiwane liczby i zapisanie równania: x y lub: zapisanie

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY DATA: 9

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2013 MATEMATYKA entralna Komisja Egzaminacyjna EGZMIN MTURLNY 0 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY Kryteria oceniania odpowiedzi MJ 0 Egzamin maturalny z matematyki Zadanie (0 ) Obszar standardów Zadanie (0 ) Opis wymagań pojęcia

Bardziej szczegółowo

NUMER IDENTYFIKATORA:

NUMER IDENTYFIKATORA: Społeczne Liceum Ogólnokształcące z Maturą Międzynarodową im. Ingmara Bergmana IB WORLD SCHOOL 53 ul. Raszyńska, 0-06 Warszawa, tel./fax 668 54 5 www.ib.bednarska.edu.pl / e-mail: liceum.ib@rasz.edu.pl

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwi równanie 3 x 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x 3y 5 Rozwi uk ad równa. x y 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwi nierówno x 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 54. ( pkt) 3 Rozwi

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI

MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI MATERIAŁY DIAGNOSTYCZNE Z MATEMATYKI LUTY 01 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera strony (zadania 1 ).. Arkusz zawiera 4 zadania zamknięte i 9

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas pracy 120 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied.

Egzamin maturalny z matematyki Poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 25. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Egzamin maturalny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 5. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Cen nart obni ono o 0%, a po miesi cu now cen obni ono

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 17 stron.. W zadaniach od 1. do 0. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI pobrano z www.sqlmedia.pl ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-092 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2009 Czas

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY LISTOPAD 014 Czas pracy: 170 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2008 Czas pracy 120 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-P1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2008 Czas pracy 120 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014 Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2013/2014 KOD UCZNIA Etap: Data: Czas pracy: rejonowy 8 stycznia 2014 r. 120 minut Informacje dla

Bardziej szczegółowo

ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied.

ZADANIA ZAMKNI TE. W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. 2 Przyk adowy arkusz egzaminacyjny z matematyki ZADANIA ZAMKNI TE W zadaniach od 1. do 20. wybierz i zaznacz na karcie odpowiedzi jedn poprawn odpowied. Zadanie 1. (1 pkt) Pole powierzchni ca kowitej sze

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 2. Miejsce na naklejk z kodem szko y CKE MARZEC ROK Czas pracy 150 minut

MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 2. Miejsce na naklejk z kodem szko y CKE MARZEC ROK Czas pracy 150 minut Miejsce na naklejk z kodem szko y CKE MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY MARZEC ROK 2008 PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA NR 2 Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. Miejsce na naklejk z kodem

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. Miejsce na naklejk z kodem Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

pobrano z (A1) Czas GRUDZIE

pobrano z  (A1) Czas GRUDZIE EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYK ADOWY ZESTAW ZADA (A1) W czasie trwania egzaminu zdaj cy mo e korzysta z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. pobrano z www.sqlmedia.pl Uk ad graficzny CKE 00 KOD Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ WICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

ARKUSZ WICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 2012 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 pobrano z www.sqlmedia.pl Centralna Komisja Egzaminacyjna ARKUSZ WICZENIOWY Z MATEMATYKI MARZEC 01 POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawd, czy arkusz wiczeniowy zawiera strony (zadania 1 ).. Rozwi zania zada i odpowiedzi

Bardziej szczegółowo

KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA

KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA Lekcja 1 Działania na wektorach bez układu współrzędnych. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie

Bardziej szczegółowo

ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych

ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych PRZYKŁADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY POZIOM PODSTAWOWY ROZWIĄZANIA ZADAŃ Zestaw P3 Odpowiedzi do zadań zamkniętych Numer zadania 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 Odpowiedź A B B C C D C B B C

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013

Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013 Wojewódzki Konkurs Przedmiotowy z Matematyki dla uczniów gimnazjów województwa śląskiego w roku szkolnym 2012/2013 KOD UCZNIA Etap: Data: Czas pracy: wojewódzki 4 marca 2013 r. 120 minut Informacje dla

Bardziej szczegółowo

SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI

SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI SPRAWDZIANY Z MATEMATYKI dla klasy III gimnazjum dostosowane do programu Matematyka z Plusem opracowała mgr Marzena Mazur LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE Grupa I Zad.1. Zapisz w jak najprostszej postaci

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZ CIA EGZAMINU! Miejsce na naklejk MMA-R1_1P-082 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 2008 Czas pracy 180 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe.

14.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. Matematyka 4/ 4.Rozwiązywanie zadań tekstowych wykorzystujących równania i nierówności kwadratowe. I. Przypomnij sobie:. Wiadomości z poprzedniej lekcji... Że przy rozwiązywaniu zadań tekstowych wykorzystujących

Bardziej szczegółowo

Matematyka z plusemdla szkoły ponadgimnazjalnej WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM. KATEGORIA B Uczeń rozumie:

Matematyka z plusemdla szkoły ponadgimnazjalnej WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM. KATEGORIA B Uczeń rozumie: WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE TRZECIEJ LICEUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca P - podstawowy ocena dostateczna (dst.) R - rozszerzający ocena dobra (db.) D

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja MMA-P1_1P-072 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY MAJ ROK 2007 Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI

PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI PRZYK ADOWY ARKUSZ EGZAMINACYJNY Z MATEMATYKI Zestaw P1 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla pisz cego 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 16 stron.. W zadaniach od 1. do 5. s podane 4 odpowiedzi:

Bardziej szczegółowo

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY ZESTAW ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Styczeń 2013 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 170 minut Instrukcja dla piszącego 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 16 stron. 2. W zadaniach od 1. do 25. są

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. pobrano z

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. pobrano z Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny CKE 2013 WPISUJE ZDAJ CY KOD PESEL Miejsce na naklejk z kodem dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2014

Bardziej szczegółowo

Kurs z matematyki - zadania

Kurs z matematyki - zadania Kurs z matematyki - zadania Miara łukowa kąta Zadanie Miary kątów wyrażone w stopniach zapisać w radianach: a) 0, b) 80, c) 90, d), e) 0, f) 0, g) 0, h), i) 0, j) 70, k), l) 80, m) 080, n), o) 0 Zadanie

Bardziej szczegółowo

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP Część III Funkcja wymierna, potęgowa, logarytmiczna i wykładnicza Magdalena Alama-Bućko Ewa Fabińska Alfred Witkowski Grażyna Zachwieja Uniwersytet Technologiczno

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. Miejsce na naklejk z kodem

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2010 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. Miejsce na naklejk z kodem Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-R1A1P-061 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 12

Bardziej szczegółowo

Zadania. SiOD Cwiczenie 1 ;

Zadania. SiOD Cwiczenie 1 ; 1. Niech A będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 6 B zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 2 C będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 5 Wyznaczyć zbiory A B, A C, C B, A

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 007 Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu.

MATEMATYKA 4 INSTYTUT MEDICUS FUNKCJA KWADRATOWA. Kurs przygotowawczy na studia medyczne. Rok szkolny 2010/2011. tel. 0501 38 39 55 www.medicus.edu. INSTYTUT MEDICUS Kurs przygotowawczy na studia medyczne Rok szkolny 00/0 tel. 050 38 39 55 www.medicus.edu.pl MATEMATYKA 4 FUNKCJA KWADRATOWA Funkcją kwadratową lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania

Bardziej szczegółowo

MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI

MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI dysleksja MATERIA DIAGNOSTYCZNY Z MATEMATYKI Arkusz II POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla ucznia 1. Sprawd, czy arkusz zawiera 12 ponumerowanych stron. Ewentualny brak zg o przewodnicz

Bardziej szczegółowo

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6

KLASA 3 GIMNAZJUM. 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1. 2. System dziesiątkowy 2-4. 3. System rzymski 5-6 KLASA 3 GIMNAZJUM TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE (26 h) 1. Lekcja organizacyjna 1 2. System dziesiątkowy 2-4 WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z XII 2008 R.

Bardziej szczegółowo

XIII KONKURS MATEMATYCZNY

XIII KONKURS MATEMATYCZNY XIII KONKURS MTMTYZNY L UZNIÓW SZKÓŁ POSTWOWYH organizowany przez XIII Liceum Ogólnokształcace w Szczecinie FINŁ - 19 lutego 2013 Test poniższy zawiera 25 zadań. Za poprawne rozwiązanie każdego zadania

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 80 minut Instrukcja dla zdaj¹cego. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera stron (zadania 0). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2011 POZIOM ROZSZERZONY. Czas pracy: 180 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 WPISUJE ZDAJĄCY Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 2010 KOD WPISUJE ZDAJĄCY PESEL Miejsce na naklejkę z kodem EGZAMIN MATURALNY

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-R1A1P-062 POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 150 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14

Bardziej szczegółowo

Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 23 Zadania zamknięte. Wskazówki do rozwiązania. Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, zatem

Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz 23 Zadania zamknięte. Wskazówki do rozwiązania. Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest liczbą dodatnią, zatem Odpowiedzi i schematy oceniania Arkusz Zadania zamknięte Numer zadania Poprawna odpowiedź Wskazówki do rozwiązania B W ( ) + 8 ( ) 8 W ( 7) ( 7) ( 7 ) 8 ( 7) ( 8) 8 ( 8) Iloczyn dwóch liczb ujemnych jest

Bardziej szczegółowo

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa wielkopolskiego

Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów województwa wielkopolskiego Kod ucznia Data urodzenia ucznia Dzień miesiąc rok Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów ETAP SZKOLNY Rok szkolny 2012/2013 Instrukcja dla ucznia 1. Sprawdź, czy test zawiera 12 stron.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań. 2 Zasady poprawnego zapisu odpowiedzi TEST DYDAKTYCZNY

MATEMATYKA. 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań. 2 Zasady poprawnego zapisu odpowiedzi TEST DYDAKTYCZNY MATEMATYKA Poziom wyższy TEST DYDAKTYCZNY Maksymalna ilość punktów: 50 Próg zaliczenia: 33 % 1 Podstawowe informacje dotyczące zadań Test dydaktyczny zawiera 23 zadania. Czas pracy oznaczono w kartach

Bardziej szczegółowo

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+

'()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!./+)012+3$%-4#4$5012#-4#4-6017%*,4.!#$!#%&!!!#$%&#'()%*+,-+ '()(*+,-./01(23/*4*567/8/23/*98:)2(!."/+)012+3$%-4#"4"$5012#-4#"4-6017%*,4.!"#$!"#%&"!!!"#$%&"#'()%*+,-+ Ucze interpretuje i tworzy teksty o charakterze matematycznym, u ywa j zyka matematycznego do opisu

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem (Wpisuje zdaj cy przed rozpocz ciem pracy) KOD ZDAJ CEGO MMA-RG1P-01 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 10 minut ARKUSZ II MAJ ROK 00 Instrukcja dla

Bardziej szczegółowo

Zadanie 2. Funkcja jest funkcją kwadratową. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f x jest przedział

Zadanie 2. Funkcja jest funkcją kwadratową. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności f x jest przedział Zadanie. Na początku roku akademickiego mężczyźni stanowili 40% wszystkich studentów. Na koniec roku liczba wszystkich studentów zmalała o 0% i wówczas okazało się, że mężczyźni stanowią % wszystkich studentów.

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA. Zadania maturalne poziom rozszerzony.

MATEMATYKA. Zadania maturalne poziom rozszerzony. MATEMATYKA Zadania maturalne poziom rozszerzony I Liczby, zbiory, wartość bezwzględna b Porównaj liczby a oraz Rozw: b a b a [MRI009/pkt] 8 a, b 7 9 a b, gdzie 69, : cos0 5 6 Uzasadnij, że 6 8 [MR/pkt]

Bardziej szczegółowo

Zadania zamknięte. A) 3 pierwiastki B) 1 pierwiastek C) 4 pierwiastki D) 2 pierwiastki. C) a 4 = 2 3

Zadania zamknięte. A) 3 pierwiastki B) 1 pierwiastek C) 4 pierwiastki D) 2 pierwiastki. C) a 4 = 2 3 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Równanie x2 3x+2 = 0 ma: x 2 4 A) 3 pierwiastki B) 1 pierwiastek C) 4 pierwiastki D) 2 pierwiastki ZADANIE 2 (1 PKT) Liczba b jest 3 razy większa od liczby a. Wtedy

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny CKE 010 KOD WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

K P K P R K P R D K P R D W

K P K P R K P R D K P R D W KLASA III TECHNIKUM POZIOM PODSTAWOWY I ROZSZERZONY PROPOZYCJA POZIOMÓW WYMAGAŃ Wyróżnione zostały następujące wymagania programowe: konieczne (K), podstawowe (P), rozszerzające (R), dopełniające (D) i

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-P1A1P-061 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 10 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 1 stron.

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. pobrano z

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MAJ 2013 POZIOM PODSTAWOWY. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50. pobrano z Uk ad graficzny CKE 010 KOD Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. WPISUJE ZDAJ CY PESEL Miejsce na naklejk z kodem dysleksja EGZAMIN

Bardziej szczegółowo

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

Podstawowe działania w rachunku macierzowym Podstawowe działania w rachunku macierzowym Marcin Detka Katedra Informatyki Stosowanej Kielce, Wrzesień 2004 1 MACIERZE 1 1 Macierze Macierz prostokątną A o wymiarach m n (m wierszy w n kolumnach) definiujemy:

Bardziej szczegółowo

O ROZWIĄZYWANIU ZADAŃ Z RACHUNKU

O ROZWIĄZYWANIU ZADAŃ Z RACHUNKU Materiał współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego. O ROZWIĄZYWANIU ZADAŃ Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA Autor: Edward Stachowski Materiały konferencyjne

Bardziej szczegółowo

Rozkład materiału klasa 1BW

Rozkład materiału klasa 1BW Rozkład materiału klasa BW wg podręcznika Matematyka kl. wyd. Nowa Era 2h x 38 tyg. = 76h lekcyjnych LICZBYRZECZYWISTE (7 godz.). Zapoznanie z programem nauczania, wymaganiami edukacyjnymi, zasadami BHP

Bardziej szczegółowo

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu.

Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. entralna Komisja Egzaminacyjna rkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny KE 00 KO WPISUJE ZJ Y PESEL Miejsce na naklejk z kodem EGZMIN MTURLNY Z MTEMTYKI

Bardziej szczegółowo

Zadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% C) 5 3 A) B) C) D)

Zadanie 1. (0-1 pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% C) 5 3 A) B) C) D) W ka dym z zada.-24. wybierz i zaznacz jedn poprawn odpowied. Zadanie. (0- pkt) Liczba 30 to p% liczby 80, zatem A) p = 44,(4)% B) p > 44,(4)% C) p = 43,(4)% D) p < 43,(4)% Zadanie 2. (0- pkt) Wyra enie

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne

Arkusz maturalny. Šukasz Dawidowski. 25 kwietnia 2016r. Powtórki maturalne Arkusz maturalny Šukasz Dawidowski Powtórki maturalne 25 kwietnia 2016r. Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 1. 9 8 2. 0, (1) 3. 8 9 4. 0, (8) 3 4 4 4 1 jest liczba Odwrotno±ci liczby rzeczywistej 3 4 4 4

Bardziej szczegółowo

i danej prędkości; stosuje jednostki prędkości: km/h, m/s; umiejętności rachunkowe, a także własne poprawne metody.

i danej prędkości; stosuje jednostki prędkości: km/h, m/s; umiejętności rachunkowe, a także własne poprawne metody. Propozycja rozkładu materiału nauczania Matematyka wokół nas Rozkład materiału nauczania z odniesieniami do wymagań z podstawy programowej. Matematyka wokół nas KLASA 5 Nr lekcji Temat lekcji Zagadnienie

Bardziej szczegółowo

Wymagania na poszczególne oceny klasa 4

Wymagania na poszczególne oceny klasa 4 Wymagania na poszczególne oceny klasa 4 a) Wymagania konieczne (na ocenę dopuszczającą) obejmują wiadomości i umiejętności umożliwiające uczniowi dalszą naukę, bez których uczeń nie jest w stanie zrozumieć

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY KOD UZUPE NIA ZDAJ CY PESEL Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. miejsce na naklejk MMA 05 dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY DATA: 5 maja

Bardziej szczegółowo

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego. Test matematyczno-przyrodniczy matematyka. Test GM-M1-122,

Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego. Test matematyczno-przyrodniczy matematyka. Test GM-M1-122, Analiza wyników egzaminu gimnazjalnego Test matematyczno-przyrodniczy Test GM-M1-122, Zestaw zadań z zakresu matematyki posłużył w dniu 25 kwietnia 2012 r. do sprawdzenia, u uczniów kończących trzecią

Bardziej szczegółowo

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1

Temat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASACH IV-VI

WYMAGANIA EDUKACYJNE I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASACH IV-VI WYMAGANIA EDUKACYJNE I KRYTERIA OCENIANIA Z MATEMATYKI W KLASACH IV-VI obowiązujące od roku 2015/16 I. Kryteria oceny semestralnej i końcowej dla klasy czwartej. 1. Ocenę dopuszczającą otrzymuje uczeń,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA Poziom rozszerzony ZBIÓR ZADAŃ. Materiały pomocnicze dla uczniów i nauczycieli

EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA Poziom rozszerzony ZBIÓR ZADAŃ. Materiały pomocnicze dla uczniów i nauczycieli EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA Poziom rozszerzony ZBIÓR ZADAŃ Materiały pomocnicze dla uczniów i nauczycieli Centralna Komisja Egzaminacyjna 05 Publikacja opracowana przez zespół koordynowany przez Renatę

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015

EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 2014/2015 EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 0/0 FORMUŁA OD 0 ( NOWA MATURA ) MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ MMA-P CZERWIEC 0 Egzamin maturalny z matematyki nowa formuła Klucz

Bardziej szczegółowo

BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA

BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA BADANIE UMIEJĘTNOŚCI UCZNIÓW W TRZECIEJ KLASIE GIMNAZJUM CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-RZYRODNICZA MATEMATYKA TEST 4 Zadanie 1 Dane są punkty A = ( 1, 1) oraz B = (3, 2). Jaką długość ma odcinek AB? Wybierz odpowiedź

Bardziej szczegółowo

KOD UCZNIA PESEL EGZAMIN. jedna. zadaniach. 5. W niektórych. Czas pracy: do. 135 minut T N. miejsce. Powodzeni GM-M7-132. z kodem. egzaminu.

KOD UCZNIA PESEL EGZAMIN. jedna. zadaniach. 5. W niektórych. Czas pracy: do. 135 minut T N. miejsce. Powodzeni GM-M7-132. z kodem. egzaminu. Centralna Komisja Egzaminacyjna Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpocz cia egzaminu. Uk ad graficzny CKE 2011 UZUPE NIA ZESPÓ NADZORUJ CY KOD UCZNIA PESEL miejsce na naklejk z kodem

Bardziej szczegółowo

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLAS IV VI

PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLAS IV VI PRZEDMIOTOWY SYSTEM OCENIANIA Z MATEMATYKI DLA KLAS IV VI Kryteria ocen 1. Wymagania edukacyjne na poszczególne oceny: Ocenę celującą otrzymuje uczeń, który: Posiadł wiedzę i umiejętności obejmujące pełny

Bardziej szczegółowo

Konkurs matematyczny dla uczniów szkół podstawowych rok szkolny 2015/2016 III stopień - wojewódzki Kryteria oceniania Suma punktów = 25.

Konkurs matematyczny dla uczniów szkół podstawowych rok szkolny 2015/2016 III stopień - wojewódzki Kryteria oceniania Suma punktów = 25. Gimnazjum nr 26 w Gdańsku im. Jana III Sobieskiego ul. R. Traugutta 92 sekretariat@gim26.gda.pl 80-226 Gdańsk www.gim26.gda.pl tel. 58-341-02-33 fax 58-344-05-02 Konkurs matematyczny dla uczniów szkół

Bardziej szczegółowo

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych

Rozwiązania zadań otwartych i schematy oceniania Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych i schemat oceniania zadań otwartych Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 5 6 7 8 9 0 5 6 7 8 9 0 A D B B C D C C D D A B D B B A C B C A Zadanie. (0-) Rozwiąż nierówność

Bardziej szczegółowo

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II

Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II Matematyka wykaz umiejętności wymaganych na poszczególne oceny zakres rozszerzony KLASA II 1.Uzupełnienie treści ujętych w działach klasy I. 1.Rozwiązywanie prostych równań i nierówności z wartością bezwzględną

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA. Poziom podstawowy

PLANIMETRIA. Poziom podstawowy LANIMETRIA oziom podstawowy Zadanie ( pkt) W prostokątnym trójkącie ABC dana jest długość przyprostokątnej AC = Na przeciwprostokątnej AB wybrano punkt D, a na przyprostokątnej BC punkt E w taki sposób,

Bardziej szczegółowo

LICZBY I DZIAŁANIA - POZIOM PODSTAWOWY

LICZBY I DZIAŁANIA - POZIOM PODSTAWOWY LICZBY I DZIAŁANIA - POZIOM PODSTAWOWY Zadanie 1. (1 pkt) Liczba 3 30 9 90 jest równa A. 3 210 B. 3 300 C. 9 120 D. 27 2700 Zadanie 2. (1 pkt) Liczba 2 40 4 20 jest równa A. 4 40 B. 4 50 C. 8 60 D. 8 800

Bardziej szczegółowo

Załącznik nr 4 do PSO z matematyki

Załącznik nr 4 do PSO z matematyki Załącznik nr 4 do PSO z matematyki Wymagania na poszczególne oceny szkolne z matematyki na poziomie rozszerzonym Charakterystyka wymagań na poszczególne oceny: Wymagania na ocenę dopuszczającą dotyczą

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejk z kodem szko y dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI MMA-P1A1P-062 POZIOM PODSTAWOWY Czas pracy 120 minut Instrukcja dla zdaj cego 1. Sprawd, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14 stron

Bardziej szczegółowo

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej 3.1 Informacje ogólne Program WAAK 1.0 służy do wizualizacji algorytmów arytmetyki komputerowej. Oczywiście istnieje wiele narzędzi

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. Klucz odpowiedzi do zadań zamkniętych 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI WPISUJE ZDAJ CY KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY PRZED MATUR MAJ 2012 1. SprawdŸ, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1 11). Ewentualny brak zg³oœ przewodnicz¹cemu

Bardziej szczegółowo

Matematyka dla liceum/funkcja liniowa

Matematyka dla liceum/funkcja liniowa Matematyka dla liceum/funkcja liniowa 1 Matematyka dla liceum/funkcja liniowa Funkcja liniowa Wstęp Co zawiera dział Czytelnik pozna następujące informacje: co to jest i jakie ma własności funkcja liniowa

Bardziej szczegółowo

KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY

KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KRYTERIA WYMAGAŃ Z MATEMATYKI NA POSZCZEGÓLNE OCENY KLASA I LICZBY I DZIAŁANIA zna pojęcie liczby naturalnej, całkowitej, wymiernej rozumie rozszerzenie osi liczbowej na liczby ujemne umie porównywać liczby

Bardziej szczegółowo

Test całoroczny z matematyki. Wersja A

Test całoroczny z matematyki. Wersja A Test całoroczny z matematyki klasa IV Wersja A Na kartce masz zapisanych 20 zadań. Opuść więc te, których rozwiązanie okaże się zbyt trudne dla Ciebie. Wrócisz do niego później. W niektórych zadaniach

Bardziej szczegółowo

TEMAT : Sprawdź sam siebie powtórzenie materiału (ewaluacja całoroczna)

TEMAT : Sprawdź sam siebie powtórzenie materiału (ewaluacja całoroczna) SCENARIUSZ ZAJĘĆ Z MATEMATYKI DLA KLASY III GIMNAZJUM AUTOR : HANNA MARCINKOWSKA TEMAT : Sprawdź sam siebie powtórzenie materiału (ewaluacja całoroczna) Szkoła z klasą 2.0 Zastosowanie technologii informacyjnej

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM Matematyka z plusem dla gimnazjum WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI W KLASIE PIERWSZEJ GIMNAZJUM POZIOMY WYMAGAŃ EDUKACYJNYCH: K - konieczny ocena dopuszczająca (dp.) P - podstawowy ocena dostateczna (dst.)

Bardziej szczegółowo