Zadania. SiOD Cwiczenie 1 ;

Transkrypt

1 1. Niech A będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 6 B zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 2 C będzie zbiorem liczb naturalnych podzielnych przez 5 Wyznaczyć zbiory A B, A C, C B, A B C, A B, A C, C B, A B C A- B, A C 2. Niech A będzie zbiorem punktów (x, y) płaszczyzny, dla których x 2 +y 2 <1 B zbiorem punktów (x, y) płaszczyzny, dla których x 2 +y 2 <4 C zbiorem punktów (x, y) płaszczyzny, dla których (x-1) 2 +y 2 <1 a. Wyznaczyć zbiory A B, A C, C B, A B C, A B, A C, C B, A B C A- B, B- A, A C b. Przyjmując, że rozważaną przestrzenią jest zbiór wszystkich punktów płaszczyzny (x,y), sprawdzić czy (A B) =A B (A B) = A B 3. Na n kartkach wypisane są liczby naturalne od 1 do n: a. Wyznaczyć zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych w doświadczeniu polegającym na losowaniu w sposób przypadkowy - jednej kartki - dwóch kartek b. Przyjmując, że A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu kartki z numerem 1, A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu kartki z numerem 1 B oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu kartki z numerem parzystym, obliczyć P(A), P(A ), P(B), P(B )

2 c. Obliczyć, P(A), P(B) i P(C) przyjmując, że: A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu pary liczb, których suma cyfr jest mniejsza od 5 B oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu pary liczb, których suma cyfr jest większa od 4 C oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu pary liczb, z których co najmniej jedna jest większa od 1 4. Z partii towaru zawierającej sztuki dobre (d) i wadliwe (w) losujemy cztery sztuki. Określić zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych, wyznaczyć jego moc Określić następujące zdarzenia losowe: a. A - dokładnie jedna sztuka jest dobra, w czterech wylosowanych b. B co najwyżej jedna jest dobra w czterech wylosowanych c. C co najmniej jedna jest dobra w czterech wylosowanych d. Wyznaczyć i nazwać uzupełnienia dla zdarzeń losowych A, B, C e. Wyznaczyć sumy zdefiniowanych wcześniej zdarzeń losowych (wszystkie możliwe) f. Wyznaczyć wspólne części zdefiniowanych wcześniej zdarzeń losowych (wszystkie możliwe) g. Co jest zdarzeniem pewnym? h. Czym jest zdarzenie niemożliwe? 5. Obliczyć prawdopodobieństwa zdarzeń losowych określonych w zadaniu Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że wybrany w sposób losowy punkt a. kwadratu: x <1, y <1 jest punktem zewnętrznym okręgu x 2 +y 2 =1. b. punkt kwadratu: x <4, y <4 jest punktem leżącym na zewnątrz okręgu x 2 +y 2 = 4

3 7. Spośród 20 zadań student potrafi zrobić 12. Na sprawdzianie będzie 4 zadania. a. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że wśród nich student znajdzie 0, 1, 2, 3, 4 zadania, które potrafi rozwiązać. b. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Student zaliczy cały sprawdzian rozwiązując nie mniej niż 50 % podanych zadań 8. Winda rusza z 7 pasażerami i zatrzymuje się na n=10 piętrach. Obliczyć prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia A, polegającego na tym, że żadnych dwóch pasażerów nie opuści windy na tym samym piętrze. 9. Dwudziestoosobowa grupa studentów, w której jest 6 kobiet, otrzymała pięć biletów do teatru. Bilety rozdziela się w sposób losowy. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród szczęśliwych posiadaczy biletów znalazło się dokładnie 3 kobiety. 10. Na płaszczyźnie poprowadzono proste równoległe odległe o 2a. Na płaszczyznę rzucono monetę o promieniu r < a.. Jakie jest prawdopodobieństwo, że moneta nie przetnie żadnej prostej. 11. Robotnik obsługuje dwie maszyny. Z obserwacji wiadomo, że każdej z maszyn poświęca jednorazowo 8 minut w ciągu godziny. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że w ciągu godziny maszyna wymaga interwencji robotnika w czasie, kiedy jest zajęty drugą maszyną. (Zakłada się, że konieczność interwencji robotnika w odniesieniu do każdej z maszyn jest jednakowo możliwa w każdym momencie czasu w ciągu jednej godziny.) 12. Wiadomo, że 30% śrub ma dodatnie (+) odchylenia wymiarów średnicy od wymiaru nominalnego, a pozostałe 70% ma odchylenia ujemne (-). Z partii liczącej 100 sztuk wybrano 3 sztuki do kontroli. Obliczyć prawdopodobieństwo, że a. wśród wylosowanych dokładnie jedna jest plusowa (+) b. nie ma żadnej śruby plusowej wśród trzech wylosowanych.

4 13. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że przypadkowo wzięta liczba naturalna jest c. podzielna przez 30 d. podzielna przez 2 lub 3 lub W pewnym przedsiębiorstwie 96% wyrobów jest dobrych. Na 100 dobrych wyrobów 75 jest pierwszego gatunku. Jakie jest prawdopodobieństwo zdarzenia, że losowo wybrany wyrób okaże się wyrobem I gatunku? 15. W partii 200 lamp elektronowych znajduje się 8 sztuk wadliwych. Losujemy trzy sztuki. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wszystkie trzy sztuki są wadliwe. 16. Obliczyć niezawodność układu złożonego z trzech przekaźników działających niezależnie, kiedy zostaną połączone a. równolegle b. szeregowo zakładając, że niezawodność każdego przekaźnika jest taka sama i wynosi p. 17. Na egzaminie jest 10 zestawów pytań, kartka z numerem k zawiera najtrudniejszy zestaw pytań. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żaden z pięciu zdających studentów nie wylosuje kartki z numerem k jeśli a. losowanie jest bez zwracania (wylosowane kartki są odkładane) b. losowanie jest ze zwracaniem-(kartka wylosowana przez jednego studenta wraca do puli i może być wylosowana przez innego zdającego) c. który sposób losowania jest bardziej korzystny dla studentów? 18. Po terenie miasta jeździ 1000 autobusów. Prawdopodobieństwo wezwania pogotowia technicznego w ciągu doby przez dowolny jeden autobus wynosi p=0,002. Obliczyć prawdopodobieństwo wezwania pogotowia przez którykolwiek z autobusów, zakładając, że wezwania są zdarzeniami niezależnymi. 19. Na loterii jest 100 losów, z których 5 wygrywa. Obliczyć prawdopodobieństwo, że wśród trzech kupionych losów a. dokładnie jeden jest wygrany b. przynajmniej jeden jest wygrany c. wszystkie trzy są przegrane.

5 20. W magazynie znajdują się rowery pochodzące z trzech fabryk, przy czym 40% z nich pochodzi z fabryki I, 35 % z fabryki II, a 25 z fabryki III. Niezawodność (w czasie gwarancji) rowerów z fabryki I wynosi 0,95, z fabryki II - 0,9, a z fabryki III 0,8. Obliczyć prawdopodobieństwo, że losowo wzięty z magazynu rower a. był wyprodukowany w fabryce I b. będzie poprawnie działał przez cały czas gwarancji c. pochodził z fabryki I jeśli stwierdzono, że nie zepsuł się w czasie gwarancji d. pochodził z fabryki III jeśli stwierdzono, że wymagał naprawy w czasie gwarancji 21. Wiadomo, że: - 5 % studentów potrafi odpowiedzieć na wszystkie pytania egzaminacyjne (G1) - 30 % umie odpowiedzieć na 70% pytań (G2) - 40 % zna odpowiedzi na 60 % pytań (G3) - 25 % umie odpowiedzieć na 50% pytań egzaminacyjnych (G4) Obliczyć prawdopodobieństwo, że a. losowo wybrany student odpowie na zadane pytanie b. należał do grupy G2, jeśli odpowiedział na zadane pytanie. 22. Wiadomo, że 90 % elementów produkcji masowej spełnia wymagania techniczne. Przeprowadzono dodatkową kontrolę, przy której element wadliwy mógł zostać uznany za dobry z prawdopodobieństwem p= 0,05, a element dobry mógł być uznany za wadliwy z prawdopodobieństwem 0,02. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że element, który przeszedł przez dodatkową kontrolę jest a) dobry, b) wadliwy.