Algebra. Jakub Maksymiuk. lato 2018/19

Transkrypt

1 Algebra Jakub Maksymiuk lato 2018/19

2 Algebra W1/0 Zbiory z działaniami Podstawowe własności Potęgi Tabelka działania Przykłady Grupa symetryczna

3 Algebra W1/1 Podstawowe własności Definicja: Działaniem w zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie : X X X wynik działania: (x, y) x y struktura algebraiczna: zbiór z pewną liczbą działań np.: (X, ), (X, 1, 2 )

4 Algebra W1/2 Definicja: Mówimy, że działanie: jest łączne, gdy a,b,c X (a b) c = a (b c) jest przemienne, gdy a,b X a b = b a

5 Algebra W1/3 posiada element neutralny, gdy e X a X a e = a = e a Załóżmy, że działanie posiada element neutralny. Mówimy, że b jest elementem odwrotnym do elementu a, gdy a b = e = b a

6 Algebra W1/4 jest rozdzielne względem działania, gdy x (y z) = (x y) (x z) (x y) z = (x z) (y z)

7 Fakt: Jeżeli działanie posiada element neutralny, to jest on jedyny. Fakt: Jeżeli działanie jest łączne i posiada element neutralny, to dla dowolnego elementu a istnieje co najwyżej jeden element odwrotny. Algebra W1/5

8 Algebra W1/6 Potęgi Element x jest iloczynem elementów x 1,..., x n (w tej kolejności), gdy n = 1: x = x 1 n 2: istnieją y, z które są iloczynami mniej niż n elementów oraz x = y z zapisywanie iloczynu a b c = a b c d =

9 Algebra W1/7 Fakt: Jeżeli działanie jest łączne, to wszystkie iloczyny elementów x 1,..., x n (w tej kolejności) są równe. Fakt: Jeżeli działanie jest łączne i przemienne, to wszystkie iloczyny elementów x 1,..., x n (w dowolnej kolejności) są równe.

10 Algebra W1/8 Załóżmy, że działanie jest łączne. Dla każdego a X i n N definiujemy a n = a a }{{} n Jeżeli działanie posiada element neutralny, to definiujemy a 0 = e

11 Algebra W1/9 Fakt: Własności potęgi: 1) a n+m = a n a m 2) (a n ) m = a nm 3) a b = b a = (ab) n = a n b n

12 Algebra W1/10 Notacja multiplikatywna: działanie będziemy nazywać mnożeniem wynik działania będziemy wtedy nazywać iloczynem samo działanie oznaczać symbolami, lub. czasami będziemy mówić o elemencie neutralnym jedynka, oznaczenie 1 element odwrotny do elementu a będziemy oznaczać symbolem a 1, n-krotny iloczyn (potęgę) a a... a będziemy oznaczać przez a n. symbol działania (zgodnie z powszechnym zwyczajem dla mnożenia) będziemy pomijać

13 Algebra W1/11 Notacja addytywna: działanie będziemy nazywać dodawaniem wynik działania będziemy wtedy nazywać sumą samo działanie oznaczać symbolami + lub czasami będziemy mówić o elemencie neutralnym zero, oznaczenie 0 element odwrotny do elementu a będziemy nazywać elementem przeciwnym i oznaczać przez a n-krotną sumę (potęgę) a + a a będziemy oznaczać przez na i nazywać wielokrotnością

14 Algebra W1/12 Tabelka działania X = {e, a, b, c} e a b c e a a b b c c a e a b c e e a b c a a c c e b b a e e c c e a b to działanie ma element neutralny to działanie nie jest łączne potęgi c 3 oraz a 4 nie są dobrze określone

15 Algebra W1/13 Przykłady w zbiorach liczbowych (N, +) (Z, ) (Q, ) (C, ) (R, +) zbiory reszt modulo (Z n, + n ) (Z n, n)

16 Algebra W1/14 zbiory macierzy (Mat(n k, R), +) (Gl(n, R), ) (Sl(n, R), ) (O(n, R), ) (SO(n, R), ) A = {[ ] } a 0 : a R 0 0 z mnożeniem macierzy

17 Algebra W1/15 Map(X) = {f : X X} z działaniem składania przekształceń zbiór bijekcji S(X) = {f : X X : f jest bijekcją} z działaniem składania przekształceń np.: Lin(X), Izo(X), Homeo(X) Map(X, K) = {f : X K}, gdzie (K, ) oraz (f g)(x) = f(x) g(x)

18 Algebra W1/16 mnożenie podzbiorów w (X, ): AB = {ab: a A, b B} działania w zbiorze potęgowym P(X): A B A B A \ B, A B algebry Boole a (operacje logiczne, układy cyfrowe) i dużo, dużo więcej

19 Algebra W1/17 Grupa symetryczna zbiór: X = {1, 2,..., n} S n = S(X) działanie: składanie przekształceń σ S n, σ : X X σ = ( ) τ = ( )

20 Algebra W1/18 σ S n nazywamy cyklem długości k, gdy istnieje A = {a 1,..., a k } X, taki, że σ(a 1 ) = a 2,..., σ(a k ) = a 1 id X jest cyklem długości 1 cykl długości 2 nazywamy transpozycją

21 Algebra W1/19 Fakt: Każdą permutację można zapisać jako iloczyn cykli rozłącznych Fakt: Mnożenie cykli rozłącznych jest przemienne. Fakt: (a 1... a k ) = (a 1 a k )(a 1 a k 1 )... (a 1 a 2 ) σ = ( ) σ = (1 2)(3 4), τ = (1 2 4)

22 Algebra W1/20 Konkurs: Co to jest test łączności Light a? Jak można go uprościć? Udowodnić, że test Light a działa. Konkurs: Czy znane z teorii miary ciało zbiorów jest zbiorem z działaniami? Jeżeli tak, to jakie są ich własności? Jeżeli nie, to dlaczego?