Zestaw problemów na egzamin licencjacki

Transkrypt

1 Zestaw problemów na egzamin licencjacki I. Analiza matematyczna 1. Kresy podzbiorów zbioru liczb rzeczywistych. 2. Ci gi liczbowe; wyznaczanie granic oraz granic ekstremalnych (górnej i dolnej), liczba e, warunek Cauchy'ego. 3. Ograniczono±, monotoniczno± i zbie»no± ci gu liczb rzeczywistych - wzajemne zale»no±ci. 4. Szeregi liczbowe; badanie zbie»no±ci (kryterium porównawcze, Cauchy'ego, d'alemberta, Leibniza). 5. Poj cie funkcji; funkcja odwrotna, zªo»enie funkcji, funkcje elementarne. 6. Granica funkcji; wyznaczanie granic, asymptoty. 7. Ci gªo± funkcji, jednostajna ci gªo±, warunek Lipschitza. 8. Podstawowe twierdzenia dotycz ce funkcji ci gªych. 9. Denicja pochodnej funkcji, obliczanie pochodnych. 10. Klasyczne twierdzenia rachunku ró»niczkowego: Rolle'a, Lagrange'a, Cauchy'ego, Taylora, de l'hospitala. 11. Najwa»niejsze zastosowania pochodnych: ekstrema lokalne i przedziaªy monotoniczno±ci, przedziaªy wkl sªo±ci i wypukªo±ci, punkty przegi cia, warto± najwi ksza i najmniejsza funkcji rzeczywistych okre±lonych na przedzia- ªach, nierówno±ci funkcyjne, styczne i k ty przeci cia krzywych. 12. Caªka nieoznaczona; podstawowe metody caªkowania: caªkowanie przez cz ±ci i podstawienie, caªkowanie funkcji wymiernych, trygonometrycznych i niektórych wyra»e«niewymiernych. 13. Caªka Riemanna; denicja i podstawowe wªasno±ci. 14. Warunki konieczne caªkowalno±ci w sensie Riemanna, warunki dostateczne caªkowalno±ci w sensie Riemanna. 15. Najwa»niejsze zastosowania geometryczne caªki Riemanna: pole obszaru, dªugo± krzywej, obj to± i pole powierzchni bryªy obrotowej. 16. Caªki niewªa±ciwe; podstawowe kryteria zbie»no±ci, kryterium caªkowe zbie»no±ci szeregów. 17. Ci gi i szeregi funkcyjne; zbie»no± punktowa i jednostajna. 18. Twierdzenia o ci gªo±ci, caªkowalno±ci i ró»niczkowalno±ci ci gów i szeregów funkcyjnych; wyznaczanie sum wybranych szeregów funkcyjnych i liczbowych. 19. Szeregi pot gowe; rozwini cia wybranych funkcji elementarnych.

2 20. Metryka i przestrze«metryczna; podstawowe poj cia topologiczne, przykªady. 21 Dziedzina, granice, ci gªo± funkcji rzeczywistej wielu zmiennych. 22. Pochodne cz stkowe, ró»niczkowalno±, pochodne kierunkowe funkcji wielu zmiennych; wzajemne zale»no±ci mi dzy tymi pochodnymi, twierdzenie Schwarza. 23. Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych; warunek konieczny istnienia ekstremum, warunki dostateczne istnienia ekstremum. 24. Ekstrema globalne funkcji wielu zmiennych na zadanym zbiorze zwartym. 25. Funkcja uwikªana; ekstrema lokalne. 26. Ekstrema warunkowe funkcji; zasada mno»ników Lagrange'a. 27. Caªki wielokrotne Riemanna; caªka podwójna w obszarze normalnym i regularnym, caªki iterowane, twierdzenie Fubiniego. 28. Zamiana zmiennych w caªce podwójnej; wspóªrz dne biegunowe. 29. Caªka potrójna; zamiana zmiennych, wspóªrz dne walcowe i sferyczne. 30. Zastosowania geometryczne i zyczne caªki podwójnej i potrójnej; pole obszaru, obj to± bryªy, masa bryªy, wspóªrz dne ±rodka ci»ko±ci. II. Algebra liniowa i geometria analityczna 1. Dodawanie, odejmowanie, mno»enie macierzy. 2. Odwracanie macierzy. 3. Obliczanie wyznacznika macierzy. 4. Obliczanie rz du macierzy. 5. Rozwi zywanie ukªadów równa«liniowych. 6. Dodawanie, odejmowanie, mno»enie liczb zespolonych. 7. Rozwi zywanie równa«o wspóªczynnikach zespolonych. 8. Wyznaczanie postaci trygonometrycznej liczby zespolonej. 9. Pot gowanie liczb zespolonych z u»yciem wzoru de'moivre'a. 10. Pierwiastkowanie liczb zespolonych. 11. Sprawdzanie, czy dana struktura algebraiczna jest przestrzeni liniow (wektorow ). 12. Sprawdzanie, czy dany podzbiór przestrzeni liniowej jest jej podprzestrzeni liniow. 13. Badanie liniowej niezale»no±ci wektorów. 14. Badanie czy ukªad wektorów jest baz przestrzeni liniowej.

3 15. Wyznaczanie wymiarów podprzestrzeni U, V, U + V, U V. 16. Sprawdzanie czy funkcja mi dzy przestrzeniami liniowymi jest przeksztaªceniem liniowym (homomorzmem) przestrzeni liniowych. 17. Wyznaczanie macierzy przeksztaªcenia liniowego w danych bazach. 18. Wyznaczanie bazy i wymiaru przestrzeni Kerf i Imf, przy danym odwzorowaniu liniowym f. 19. Wyznaczanie równania pªaszczyzny w przestrzeni. 20. Wyznaczanie równania prostej w przestrzeni. 21. Wyznaczanie rzutu punktu na prost. 22. Wyznaczanie rzutu punktu na pªaszczyzn. 23. Wyznaczanie iloczynu wektorowego. Wªasno±ci zastosowania iloczynu wektorowego. 24. Wyznaczanie iloczynu skalarnego. Zastosowania iloczynu skalarnego. 25. Wyznaczanie iloczynu mieszanego. Obliczanie obj to±ci równolegªo- ±cianu i czworo±cianu zbudowanego na wektorach. III. Algebra 1. Sprawdzanie, czy dana struktura algebraiczna jest grup. 2. Sprawdzanie, czy podzbiór grupy jest podgrup. 3. Znajdowanie wszystkich podgrup danej grupy. 4. Badanie czy podgrupa jest normalna. 5. Wyznaczanie warstw wzgl dem podgrupy. 6. Wyznaczanie rz du elementu grupy. 7. Konstrukcja grupy ilorazowej. 8. Rozkªadanie permutacji na iloczyn transpozycji. 9. Rozkªadanie permutacji na iloczyn cykli rozª cznych. 10. Rozwi zywanie równania permutacyjnego. 11. Badanie czy zadana funkcja jest homomorzmem (izomorzmem) grup. Wyznaczanie j dra i obrazu. 12. Sprawdzanie, czy dana struktura algebraiczna jest pier±cieniem. 13. Badanie, czy zadany podzbiór pier±cienia jest jego podpier±cieniem lub ideaªem. 14. Wyznaczanie pier±cienia ilorazowego. 15. Badanie czy zadana funkcja jest homomorzmem (izomorzmem) pier- ±cieni. Wyznaczanie j dra i obrazu homomorzmu pier±cieni.

4 16. Wyznaczanie ideaªów pier±cieni. 17. Wyznaczanie elementów odwracalnych, dzielników zera i elementów nilpotentnych pier±cieni. 18. Rozwi zywanie równa«liniowych w pier±cieniu Z n (w tym wyznaczanie elementów odwrotnych). 19. Wyznaczanie NWD i NWW w wybranych pier±cieniach z u»yciem algorytmu Euklidesa i rozwi zywanie równa«diofantycznych. 20. Sprawdzanie, czy dana struktura algebraiczna jest ciaªem. IV. Rachunek prawdopodobie«stwa 1. Obliczy prawdopodobie«stwo zdarzenia opisanego prostym zadaniem tekstowym (w tym mo»liwe wykorzystanie podstawowych poj kombinatorycznych: (permutacja, wariacja, kombinacja). 2. Obliczy prawdopodobie«stwo pewnego zdarzenia, znaj c prawdopodobie«stwo sumy lub iloczynu tego zdarzenia z innym zdarzeniem lub wiedz c o niezale»no±ci tych zdarze«. 3. Zwerykowa, czy podane przykªady zdarze«s niezale»ne. 4. Obliczy prawdopodobie«stwo zdarzenia znaj c prawdopodobie«stwa warunkowe zaj±cia tego zdarzenia (stosuj c wzór na prawdopodobie«stwo caªkowite). 5. Obliczy prawdopodobie«stwo zdarzenia stosuj c twierdzenie Bayesa. 6. Wyznaczy prawdopodobie«stwo zdarzenia w schemacie Bernoulliego. 7. Wyznaczy najbardziej prawdopodobn liczb sukcesów w schemacie Bernoulliego. 8. Sprawdza, czy funkcja okre±lona na przestrzeni probabilistycznej jest zmienn losow. 9. Maj c dany rozkªad wektora losowego (X, Y ) sprawdzi czy zmienne X i Y s niezale»ne. 10. Przy danej zmiennej losowej X o rozkªadzie dyskretnym i funkcji Φ : R R znale¹ rozkªad zmiennej losowej Φ(X). 11. Przy danej zmiennej losowej X o rozkªadzie absolutnie ci gªym i funkcji Φ : R R znale¹ rozkªad zmiennej losowej Φ(X). 12. Przy danej zmiennej losowej X o rozkªadzie absolutnie ci gªej i funkcji Φ : R R znale¹ dystrybuant rozkªadu zmiennej losowej Φ(X). 13. Maj c dany rozkªad dyskretny wektora losowego (X, Y ) i funkcj Φ : R R znale¹ rozkªad zmiennej losowej Φ(X, Y ). 14. Maj c dan g sto± rozkªadu pewnej zmiennej losowej ξ wyznaczy

5 warto± oczekiwan tej zmiennej (lub jej wariancj, dystrybuant, okre±li prawdopodobie«stwo zdarzenia {ω : a ξ(ω) b}, wyznaczy kwantyl podanego rz du). 15. Maj c dan dystrybuant rozkªadu pewnej zmiennej losowej ξ wyznaczy warto± oczekiwan tej zmiennej (lub jej wariancj, okre±li prawdopodobie«stwo zdarze«postaci {ω : a ξ(ω) b}, {ω : a < ξ(ω) b}, {ω : a ξ(ω) < b}, {ω : a < ξ(ω) < b}, wyznaczy kwantyl podanego rz du). V. Statystyka 1. Obliczanie i interpretacja miar opisowych próby losowej (zbiorowo±ci statystycznej): dominanta, kwantyle, wspóªczynnik zmienno±ci, wspóªczynnik asymetrii, kurtoza. 2. Sprawdzanie wªasno±ci estymatorów: nieobci»ono±, zgodno±, efektywno±. Porównywanie estymatorów nieobci»onych (bª d ±redniokwadratowy). 3. Wyznaczanie estymatorów za pomoc metody najwi kszej wiarygodno±ci i metody momentów. 4. Umiej tno± wyznaczania przedziaªów ufno±ci dla ±redniej i odchylenia standardowego w przypadku du»ej próby (zbiorowo±ci). 5. Znajomo± poj cia testu statystycznego i jego integralnych elementów. Obliczanie prawdopodobie«stw bª dów pierwszego i drugiego rodzaju oraz mocy testu. 6. Wykorzystywanie podstawowych testów istotno±ci dla jednej ±redniej i jednej wariancji. 7. Wyznaczanie dystrybuanty empirycznej próby losowej. 8. Werykacja hipotez za pomoc podstawowych nieparametrycznych testów zgodno±ci rozkªadu: chi-kwadrat Pearsona, Koªmogorowa. 9. Obliczanie wspóªczynnik korelacji liniowej Pearsona i jego interpretacja (dane niezgrupowane i tablica korelacyjna). 10. Wyznaczanie prostej regresji jednej cechy wzgl dem innej. Ocena dopasowania prostej regresji do danych empirycznych. 11. Umiej tno± wykorzystania w praktyce metody najmniejszych kwadratów do wyznaczenia nieliniowej funkcji regresji. 12. Umiej tno± oszacowania siªy zwi zku korelacyjnego cech niemierzalnych. VI. Matematyka dyskretna

6 1. Obliczy warto± funkcji zadanej rekurencyjnie. 2. Sprawdzi, czy dany obiekt jest elementem zbioru zadanego rekurencyjnie. 3. Wyznaczy jawny wzór funkcji zadanej rekurencyjnie. 4. Narysowa diagram Hasse'go danego zbioru cz ±ciowo uporz dkowanego. 5. Wyznaczy 0,1, uzupeªnienia elementów oraz tabelki dziaªa«dla danej kraty. 6. Wyznaczy atomy i co-atomy danej algebry Boole'a. 7. Zapisa element algebry Boole'a za pomoc sumy atomów oraz iloczynu co-atomów tej algebry. 8. Maj c dan funkcj boolowsk w jednej postaci, zapisa j w innej (tabelka, wielomian w CNF/DNF, indeksy atomów/co-atomów). 9. Zminimalizowa funkcj boolowsk 3-argumentow i narysowa sie logiczn, która j realizuje. 10. Zapisa jawnie sum postaci σ P (k) a k, czyli sum w notacji Σ uogólnionej. 11. Rozwi za proste zadanie wykorzystuj ce podstawowe prawa kombinatoryki (prawo sumy/iloczynu, kombinacje/wariacje/permutacje z powtórzeniami i bez). 12. Narysowa graf relacji. 13. Wyznaczy macierze s siedztwa i incydencji grafu. 14. Maj c macierz s siedztwa/incydencji narysowa graf. 15. Wyznaczy liczb kraw dzi, liczb i stopnie wierzchoªków danego grafu, np. K n, C n, V n, K m,n. VII. Wst p do logiki i teorii mnogo±ci 1. Zdania i spójniki logiczne. 2. Funkcje zdaniowe i kwantykatory; tautologie. 3. Surjekcja, iniekcja i bijekcja - denicje, wªasno±ci i przykªady. 4. Zªo»enie funkcji. 5. Funkcje odwracalne, wyznaczanie funkcji odwrotnej. 6. Dziaªania na zbiorach i ich wªasno±ci; sumy i iloczyny uogólnione. 7. Relacje równowa»no±ci i ich klasy abstrakcji. 8. Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne. 9. Zbiory równoliczne. 10. Indukcja matematyczna. VIII. Matematyka obliczeniowa

7 1. Metody wyznaczania przybli»onych rozwi za«równa«i ukªadów równa«nieliniowych. Metoda siecznych, metoda bisekcji, metoda Newtona. 2. Interpolacja wielomianowa, interpolacja Lagrange'a. 3. Interpolacja Newtona. 4. Aproksymacja ±redniokwadratowa. 5. Caªkowanie numeryczne.