Analiza i aproksymacja nieliniowego modelu elastycznego ograniczaj cego odksztaªcenie

Transkrypt

1 Analiza i aproksymacja nieliniowego modelu elastycznego ograniczaj cego odksztaªcenie Wojciech O»a«ski 9 Kwi 2015

2 Przykªad ukªadu mechanicznych o ograniczaj cym odksztaªceniu: nierozciagliwa struna σ spreżyna liniowa 0 ε max ε = l l Inne mo»liwe odpowiedzi elastyczne: σ σ 0 0 ε = l l

3 Rozpatrzmy odksztaªcenie x = χ(x). Gradient odksztaªcenia F := x X. Ogólnie w 3D, relacja konstytutywna jest postaci: f(b, S) = 0, gdzie B := FF T jest lewostronnym tensorem Cauchy'ego-Green'a i S jest tensorem napr»e«. Zakªadaj c izotropowo± f, tzn. f(qbq T, QSQ T ) = Qf(B, S)Q T Q SO(3), mo»na pokaza,»e f(b, S) = 0 jest równowa»ne: 0 = α 0 I + α 1 S + α 2 B + α 3 S 2 + α 4 B 2 + α 5 (SB + BS) + α 6 (S 2 B + BS 2 ) + α 7 (SB 2 + B 2 S) + α 8 (S 2 B 2 + B 2 S 2 ), gdzie α i, i = 0,..., 8 sa wspóªczynnikami zale»nymi jedynie od g sto±ci oraz niezmienników trs, trb, trs 2, trb 2, trs 3, trb 3, tr(sb), tr(s 2 B), tr(b 2 S), tr(b 2 S 2 )

4 Jedn z podklas s ukªady daj ce si opisa relacj konstytutywn B = α 0 I + α 1 S + α 2 S 2 gdzie α 0, α 1, α 2 s (w ogolno±ci nieliniowymi) funkcjami niezmiennków. Zakªadaj c,»e odksztaªcenie u = x X jest maªe w sensie,»e sup u << 1 oraz bior c α 2 := 0 mamy gdzie D(u) := 1 2 napr»enia. D(u) = α 0 I + α 1 S, ( u + ( u) T ) jest zlinearyzowanym tensorem

5 Sformuªowanie problemu: Rozpatrzmy obszar Ω := (0, 2π) d, gdzie d N. Znajd¹ S i u takie,»e { divs = f D(u) = S (1+ S r ) 1 r gdzie r > 0, f s dane oraz oznacza norm Frobeniusa macierzy.,

6 Oznaczenia. 1 X # = przestrze«funkcji z X okresowych w ka»dej wspóªrzednej, 2 X = przestrze«funkcji z X # których caªka jest równa zeru, 3 [X] d, [X] d d = odpowiednie przestrzenie funkcji wektorowych i macierzowych. Je±li f [L p ((0, 1) 2 )] 2 2 to f p L := f p p L = (f p 1,1 2 + f1,2 2 + f2,1 2 + f2,2) 2 p 2 dx. (0,1) 2 Je±li T [W k,p ] d d to T p := D α T p W k,p L p. α k

7 1 Dla A, B R d d deniujemy d A : B := A i,j B i,j. i,j=1 2 Dla S, T [L 2 (Ω)] d d i u, v [L 2 (Ω)] d deniujemy iloczyn skalarny (S, T ) := S : T dx, (u, v) := u vdx. Ω Ω 3 Niech H #,symm (div; Ω) := {S [L 2 #(Ω)] d d : S = S T, divs [L 2 #(Ω)] d }, H # (div; Ω) := {v [L 2 #(Ω)] d : divv L 2 #(Ω)} z norm H(div;Ω) := ( 2 L 2 + div( ) 2 L 2 ) 1/2.

8 Dla S H #,symm (div; Ω) i v [H 1 # (Ω)]d mamy (divs, v) = (S, v) = (S, ( v) T ) = (S, D(v)), gdzie D(v) := 1 2 ( v + ( v)t ).

9 Niech: Ponadto, niech Σ N := V N := Σ := {S [L 2 #(Ω)] d d S = S T, divs [L 2 #(Ω)] d }, { } V := v [H#(Ω)] 1 d v(x)dx = 0. k (Z N ) d \{0} k (Z N ) d \{0} Ω T k e ik x : T k C d d, T k = (T k ) T k (Z N ) d \ {0}, v k e ik x : v k C d, k (Z N ) d \ {0}, gdzie (Z N ) d := {k : k = (k 1,..., k d ), k i Z i=1,...,d, k N}.

10 Dla r > 0 niech Sªabe sformuªowanie: Znajd¹ (S, u) Σ V takie,»e S F r (S) :=. (1 + S r ) 1 r (divs, v) = (f, v) v V (D(u), T ) = (F r (S), T ) T Σ Aproksymacja Galerkina: Znajd¹ (S N, u N ) Σ N V N takie,»e (divs N, v N ) = (f, v N ) v N V N (D(u N ), T N ) = (F r (S N ), T N ) T N Σ N

11 Lemat Zachodz nast puj ce wªasno±ci: F r (A) F r (B) 2 A B, (F r (A) F r (A)) : (A B) min(1, 2 r 1/r ) A B 2 (1 + A + B ) r 1 oraz min(1, 2 1+1/r )(1 + y) (1 + y r ) 1/r max(1, 2 1+1/r )(1 + y), dla ka»dego y 0.

12 Niech D 1, (Ω) := { w [L 1 #(Ω)] d : D(w) [L # (Ω)] d d, Ω w = 0 }. Przestrze«[C (Ω)] d jest sªabo-* g sta w D 1, (Ω), tj. dla ka»dego v D 1, (Ω) istnieje ci g {v n } n 1 [C (Ω)] d taki,»e Ω T : D(v n )dx n Ω T : D(v)dx T [L 1 #(Ω)] d d.

13 Theorem Niech f [W 1,t (Ω)] d dla pewnego t > 1 oraz niech r (0, d/2) gdy d > 2 lub r (0, 1] gdy d = 2. Wówczas istnieje jednoznaczne rozwi zanie (S, u) [L 1 # (Ω)]d d D 1, (Ω) takie,»e { D(u) = F r (S), (S, D(v)) = (f, v) v D 1, (Ω). Ponadto, ci g (jednoznacznie wyznaczonych) rozwi za«(s N, u N ) Σ N V N, N 1, ukªadu Galerkina zbiega do (S, u) w nast [uj cym sensie: a) Ci g {u N } N 1 zbiega do u silnie w [L p # (Ω)]d i sªabo w [W 1,p # (Ω)]d dla ka»dego p [1, ), b) Ci g {D(u N )} N 1 zbiega do D(u) sªabo w [W 1,2 # (Ω)]d d i st równie» silnie w [L p (Ω)] d d dla ka»dego p [1, 2d/(d 2)), c) Ci g {S N } N 1 zbiega do S prawie wsz dzie w Ω,

14 Theorem d) Ci g {S N } N 1 zbiega do S silnie w [L s # (Ω)]d d dla s [1, d(1 r)/(d 2)) gdy d > 2 oraz dla s [1, ) gdy d = 2, e) Ci g {S N } N 1 zbiega do S sªabo w [W 1,µ # (Ω)]d d dla µ [1, d(1 r)/(d r 1)).

15 Theorem Zaªó»my,»e S [H m # (Ω)]d d i u [H m+1 # (Ω)]d, dla pewnego m > d 2. Wówczas, dla N N mamy S S N L 2 (c 1 + c )N m S H m, u u N L 2 2 2(c 1 + c )N m ( S H m + u H m+1).

16 Dowód. Niech P N b dzie rzutem ortogonalnym Σ na Σ N (lub V na V N ) wzgl dem iloczynu skalarnego L 2. Wówczas zachodz nast puj ce zale»no±ci, dla T Σ, v V, (m > d/2): P N D α S = D α P N S α, P N D(v) = D(P N v), T P N T L 2 c 1 N m T H m, T P N T L C T H m, T P N T H m C T H m. Ponadto T N L CN d/2 T N L 2 T N Σ N.

17 Zaªó»my,»e Wówczas mamy S N P N S L 2 c N m S H m. S S N L 2 S P N S L 2 + S N P N S L 2 (c 1 + c )N m S H m.

18 Lemat Przestrzenie Σ N, V N speªniaj (D(v N ), T N ) sup D(v N ) L 2 v N V N. T N Σ N \{0} T N L 2 Dowód. We¹ T N := D(v N ) Σ N i sup. Lemat (nierówno± Korna) Mamy v L 2 2 D(v) L 2 v [W 1,2 (Ω)] d, v W 1,2 2 D(v) L 2 v [W 1,2 (Ω)] d.

19 Mamy (D(u N ) P N D(u), T N ) = (F r (S N ), T N ) (F r (S), T N ) F r (S N ) F r (S) L 2 T N L 2 2 S N S L 2 T N L 2, wi c D(u N ) P N D(u) L 2 = D(u N P N u) L 2 (D(u N P N u), T N ) sup T N Σ N \{0} T N L 2 2 S N S L 2 2(c 1 + c )N m S H m

20 Zatem u N u L 2 2 D(u N ) D(u) L 2 2 D(u N ) P N D(u) L D(u) P N D(u) L 2 2 2(c 1 + c )N m ( S H m + u H m+1). Pozostaªo pokaza S N P N S L 2 c N m S H m.

21 Plan dowodu: 1. Niech oraz S 0 N := S N P N S. Σ 0 N := {T N Σ N (div T N, v N ) = 0 v N V N }. 2. Zauwa»amy,»e S 0 N Σ0 N. 3. Zauwa»amy,»e (F r (S 0 N + P N S), T N ) = 0 T N Σ 0 N. ( ) 4. Pokazujemy,»e istnieje SN Σ0 N takie,»e { SN L 2 c N m S H m, (F r (SN + P N S), T N ) = 0 T N Σ 0 N. ( ) 5. Pokazujemy,»e ( ), ( ) implikuj S N = S0 N.

22 Ad. 2. Mamy, dla ka»dego v N V N : (div SN 0, v N ) = (div S N, v N ) (div P N S, v N ) = (f, v N )+(f, v N ) = 0. }{{} =(div S,v N ) Ad. 3. Mamy, dla ka»dego T N Σ 0 N : (F r (S 0 N + P N S), T N ) = (F r (S N ), T N ) = (D(u N ), T N ) = (u N, div T N ) = 0.

23 Ad. 5. ( ) i ( ) daj 0 = (F r (S N + P N S), T N ) = (F r (S 0 N + P N S), T N ) T N Σ 0 N. Bior c T N := S N S0 N Σ0 N, mamy 0 = (F r (SN + P N S), SN SN 0 ) (F r (SN 0 + P N S), SN SN 0 ) [ = Fr (SN + P N S) F r (SN 0 + P N S) ] : [ (SN + P N S) (SN 0 + P N S) ] dx Ω min(1, 2 r 1/r ) SN SN 0 2 (1 + SN + P N S + SN 0 + PN S ) r 1 dx 0. Ω Wi c SN S0 N = 0 prawie wsz dzie w Ω.

24 Lemat Dla ka»dych A, B, C R d d zachodzi gdzie (F r (A) F r (B)) : C = G(γ; α, β) := 1 0 G(θA + (1 θ)b; A B, C)dθ, α : β (1 + γ r ) (α : γ)(β : γ) γ r 2 1/r (1 + γ r ). 1/r Dowód. F r (A) F r (B) = 1 d 0 dθ F r(θa + (1 θ)b)dθ oraz d M(θ) d dθ M(θ) = M(θ) dθ M(θ).

25 Niech l(t N ) := (F r (S 0 N + P N S) F r (P N S), T N ) dla T N Σ 0 N. Wówczas ( ) (F r (SN + P N S) F r (P N S), T N ) = l(t N ) T N Σ 0 N (F r (SN + P N S) F r (P N S)) : T N dx = l(t N ) T N Σ 0 N Ω 1 Ω 0 1 Ω 0 G(θ(S N + P N S) + (1 θ)p N S; S N, T N )dθdx = l(t N ) T N Σ 0 N G(P N S + θs N ; S N, T N )dθdx = l(t N ) SN Σ 0 N jest punktem staªym odwzorowania Σ0 N φ S φ N : Dla φ Σ 0 N znajd¹ Sφ N Σ0 N takie,»e 1 Ω 0 G(P N S + θφ; S φ N, T N )dθdx = l(t N ) T N Σ 0 N. T N Σ 0 N

26 Niech B 0 N := {φ Σ 0 N : φ L 2 c N m S Hm (Ω)}. (tzn. B 0 N jest kul domkni t w sko«czenie wymiarowej przestrzeni Σ0 N ) Wi c 4. istnieje punkt staªy S N odzworowania B0 N φ Sφ N Σ0 N. Poka»emy (dla N N ): i) Dla ka»dego φ B 0 N istnieje dokªadnie jedno Sφ N Σ0 N Ω 1 ii) S φ N B0 N, 0 takie,»e G(P N S + θφ; S φ N, T N)dθdx = l(t N ) T N Σ 0 N, iii) Odwzorowanie φ S φ N jest ci gªe.

27 Ad.i) Lemat α:β Funkcja G(γ; α, β) = (α : γ)(β : γ) (1+ γ r ) 1/r γ r 2 (1+ γ r ) 1/r speªnia G(γ; α, β) Dowód. Cauchy-Schwarz 2 α β (1 + γ r ), G(γ; α, α) α 2 1/r (1 + γ r ). 1/r Forma dwuliniowa 1 Ω 0 G(P N S + θφ;, )dθdx na Σ 0 N Σ 0 N jest ograniczona i koercywna. Dowód. Lemat + Cauchy-Schwarz

28 Lemat Funkcjonaª l(t N ) = (F r (S 0 N + P N S) F r (P N S), T N ) na Σ 0 N jest ograniczony przez 2c 1 N m S H m. Dowód. l(t N ) F r (S) F r (P N S) L 2 T N L 2 2 S P N S L 2 T N L 2 2c 1 N m S H m T N L 2 Zatem i) jest prawdziwe na mocy Tw. Laxa-Milgrama.

29 Ad.ii) Mamy S φ N L 2 2c 1N m S H m(1 + ( P N S L + φ L ) r ) 1+1/r. Dowód. S φ N 2 L 2 (1 + ( P N S L + φ L ) r ) 1+1/r Ω Zatem wystarczy pokaza,»e 1 0 G(P N S + θφ; S φ N, Sφ N )dθx = l(s φ N ) 2c 1N m S H m S φ N L 2 2c 1 (1 + ( P N S L + φ L ) r ) 1+1/r c.

30 Mamy P N S L S L + P N S S L C( S H m + S H m) C S H m, φ L CN d 2 φ L 2 c CN d 2 m S H m. St d 2c 1 (1 + ( P N S L + φ L ) r ) 1+1/r C 1 (C 2 + c C 3 N d 2 m ) 1+r. (gdzie wykorzystali±my zale»no±,»e (1 + y r ) 1/r C(1 + y)) Wystarczy pokaza C 1 (C 2 + c C 3 N d 2 m ) 1+r c.

31 Wystarczy pokaza Czas ustali staªe c i N : C 1 (C 2 + c C 3 N d 2 m ) 1+r c. 1 We¹ c nieco wi ksze of C 1 (C 2 ) 1+r, na przykªad c := C 1 (2C 2 ) 1+r. 2 Doci±nij wyra»enie c C 3 N d 2 m do zera bior c wystarczaj co du»e N, na przykªad N := (c C 3 /C 2 ) 1 m d/2. (wtedy c C 3 N d 2 m C 2 ) Zatem pokazali±my ii), a wi c,»e S φ N B0 N dla N N.

32 Ad.iii) Lemat Dla ustalonych α, β R d d funkcja G(, α, β) jest (hölderowsko) ci gªa, tj. G(γ 1 ; α, β) G(γ 1 ; α, β) C γ 1 γ 2 ν dla pewnego ν (0, 1]. Dowód. Piszemy G(γ; α, β) = ( ) ( ) α : β (1 + γ r ) γ γ γ r 2 2ɛ α : 1/r γ ɛ β : γ ɛ (1 + γ r ) 1/r =: f 1 (γ)(α : β) (α : f 2 (γ)) (β : f 2 (γ)) f 3 (γ) i pokazujemy,»e ka»da z funkcji f i, i = 1, 2, 3, jest hölderowsko ci gªa.

33 We¹my φ 1, φ 2 B 0 N 1 Ω 0 1 Ω 0 oraz odpowiadaj ce Sφ1 N, Sφ2 N B0 N speªniaj ce: G(P N S + θφ 1 ; S φ1 N, T N)dθdx = l(t N ) T N Σ 0 N, G(P N S + θφ 2 ; S φ2 N, T N)dθdx = l(t N ) T N Σ 0 N. Wówczas, dla ka»dego T N Σ 0 N, Ω 1 0 = l(t N ) = Ω G(P N S + θφ 1 ; S φ1 N 1 0 Ω 1 0 Sφ2 N, T N)dθdx G(P N S + θφ 1 ; S φ2 N, T N )dθdx G(P N S + θφ 2 ; S φ2 N, T N )dθdx Ω 1 0 G(P N S + θφ 1 ; S φ2 N, T N)dθ

34 Bior c T N := S φ1 N Sφ2 N Σ0 N mamy S φ1 N Sφ2 N 2 L 2 (1 + ( P N S L + φ 1 L ) r ) 1+1/r = 1 Ω 0 1 Ω 0 C G Ω G(P N S + θφ 1 ; S φ1 N Sφ2 N, Sφ1 N Sφ2 N )dθdx G(P N S + θφ 2 ; S φ2 N, Sφ1 N Sφ2 N ) G(P N S + θφ 1 ; S φ2 N, Sφ1 N Sφ2 N )dθdx φ 1 φ 2 ν x = C G φ 1 φ 2 ν L ν C G φ 1 φ 2 ν L 2, gdzie C G, C G zale»a monotonicznie od P N S L, Sφ1 N L, Sφ2 N L, φ 1 L, φ 2 L.

35 St d S φ1 N Sφ2 N L 2 C G φ 1 φ 2 ν/2 L 2, gdzie C G zale»y monotonicznie od tych samych wielko±ci. Staª C G mo»na ograniczy z góry przez globaln staª C korzystaj c z ogranicze«p N S L C S H m, φ L, S φ N c CN d 2 m S H m. St d hölderowska ci gªo± odwzorowania φ S φ N, a wi c iii).

36 Szybka powtórka: Pokazali±my,»e odwzorowanie BN 0 φ Sφ N B0 N, takie,»e Ω 1 0 G(P N S + θφ; S φ N, T N)dθdx = l(t N ) T N Σ 0 N, jest ci gªe. Tw. Brouwera o punkcie staªym istnieje punkt staªy SN, tj. istnieje SN taki,»e { SN B0 N, 1 Ω 0 G(P NS + θsn ; S N, T N)dθdx = l(t N ) T N Σ 0 N. { SN L 2 cn m S H m, (F r (SN + P N S), T N ) = 0 T N Σ 0 N. A wi c S N P N L 2 = S 0 N L 2 = S N L 2 c N m S H m.

37 Algorytm rozwi zywania zagadnienia Galerkina: Niech SN 0 := 0. Dla k = 1, 2,... niech (Sk N, uk N ) b dzie rozwi zaniem problemu: (divsn, k v N ) = (f, v N ) v N V N, (SN, k T N ) λ(d(u k N), T N ) = (S k 1 N, T N) λ(f r (S k 1 N ), T N) T N Σ N. Ukªad ten ma dokªadnie jedno rozwi zanie zbie»ne do (S N, u N ) (gdy k ) dla dostatecznie maªego λ > 0.

38 Niech d = 2 i u = (u 1, u 2 ), gdzie u 1 = 1 sin x cos 2y, 10 u 2 = 1 cos x sin y. 5 Obliczamy D(u) i S = D(u) (1 D(u) r ) 1/r.

39 Zbie»no± (stop algorytmu gdy u k N uk 1 N 2 L + S k 2 N Sk 1 N 2 L ) 2

40 Bª d (dla r = 1, N = 10, k = 13)

41 Niech d = 3, f(x, y, z) = (0, 0, f 3 (x, y)), gdzie f 3 jest przybli»eniem delty Diraca w punkcie w ±rodku Ω. Wówczas u(x, y, z) = 0 0 q(x, y), S = 0 0 S S 23 S 13 S 23 0

42 Odpowied¹ materiaªu ograniczaj cego odksztaªcenie: Odpowied¹ liniowego materiaªu elastycznego:

43 Dzi kuj za uwag.