Rozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych

Transkrypt

1 Rozwini cia asymptotyczne dla mocy testów przybli»onych Piotr Majerski, Zbigniew Szkutnik AGH Kraków Wisªa 2010 P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

2 Wprowadzenie Niech n N. Rozwa»my test ϕ n na poziomie istotno±ci α (0, 1), sªu» cy do testowania prostej hipotezy zerowej H 0 : S n P (n) 0 przeciwko prostej hipotezie alternatywnej H 1 : S n P (n) 1. Zakªadamy,»e obszar krytyczny testu ϕ n jest postaci {S n > c n }, natomiast β n oznacza jego moc. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

3 Wprowadzenie Niech n N. Rozwa»my test ϕ n na poziomie istotno±ci α (0, 1), sªu» cy do testowania prostej hipotezy zerowej H 0 : S n P (n) 0 przeciwko prostej hipotezie alternatywnej H 1 : S n P (n) 1. Zakªadamy,»e obszar krytyczny testu ϕ n jest postaci {S n > c n }, natomiast β n oznacza jego moc. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

4 Wprowadzenie c.d. Czasami rozkªad statystyki S n nie jest znany! Niech Ŝ n b dzie statystyk, która przy H 0 i H 1 speªnia warunek S n Ŝ n = O p (a n ), gdzie lim n a n = 0. Zdeniujmy test ˆϕ n na poziomie istotno±ci α, którego obszar odrzucenia jest postaci {Ŝ n > ĉ n }. Niech ˆβ n oznacza jego moc. Test ˆϕ n jest asymptotycznym przybli»eniem testu ϕ n (przy n ). P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

5 Wprowadzenie c.d. Czasami rozkªad statystyki S n nie jest znany! Niech Ŝ n b dzie statystyk, która przy H 0 i H 1 speªnia warunek S n Ŝ n = O p (a n ), gdzie lim n a n = 0. Zdeniujmy test ˆϕ n na poziomie istotno±ci α, którego obszar odrzucenia jest postaci {Ŝ n > ĉ n }. Niech ˆβ n oznacza jego moc. Test ˆϕ n jest asymptotycznym przybli»eniem testu ϕ n (przy n ). P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

6 Problem rozwini cia asymptotycznego dla mocy Problem: Skoro S n Ŝ n = O p (a n ), to czy zachodzi równie» z b n 0? β n ˆβ n = O(b n ) P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

7 Gªówny rezultat Twierdzenie 1 [Majerski, Szkutnik, 2010] Zaªó»my,»e (i) Przy obu hipotezach H 0 i H 1 mamy S n Ŝ n = O p (a n ) (ii) lim n c n = lim n ĉ n = c (iii) G sto±ci f (n) j statystyk Ŝ n istniej przy H j (j = 0, 1). Dla n dostatecznie du»ych, f (n) 0 s nierosn ce, a f (n) 1 s niemalej ce w pewnym otoczeniu c, w którym wszystkie te g sto±ci s lipschitzowskie ze wspóln staª. (iv) lim inf n f (n) 0 (ĉ n ) > 0 (v) Przy H 0 i H 1 oraz z Z n := (S n Ŝ n )/a n r > 0 : lim sup E Z n r < n Wówczas, β n ˆβ n = O ( an r r+1 ). (1) P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

8 Gªówny rezultat c.d. Twierdzenie 2 [Majerski, Szkutnik, 2010] Przy zaªo»eniach (i)-(iv) Twierdzenia 1 zachodzi β n ˆβ n = o(1). P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

9 Obja±nienie warunku (ii) Warunek (ii) lim n c n = lim n ĉ n = c zachodzi gdy, przy H 0 : S n ma rozkªad graniczny o g sto±ci f 0 ci gªej i ±ci±le dodatniej w c = F 1 0 (1 α) P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

10 Obja±nienie warunku (ii) Warunek (ii) lim n c n = lim n ĉ n = c zachodzi gdy, przy H 0 : S n ma rozkªad graniczny o g sto±ci f 0 ci gªej i ±ci±le dodatniej w c = F 1 0 (1 α) P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

11 Przykªady - ogólny model Rozwa»my test na poziomie istotno±ci α o obszarze odrzucenia {S n > c n}. Zdeniujmy S n = { (1 n k )S n, z prawdopodobie«stwem p n ; S n + X n, z prawdopodobie«stwem 1 p n, gdzie 0 k R. Zakªadamy,»e lim n p n = 1; Sn i X n s niezale»nymi zmiennymi losowymi; przy obu hipotezach H 0 i H 1, Sn = O p (1) Wówczas, S n = S n + O p (n k ). (2) P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

12 Przykªady - ogólny model Rozwa»my test na poziomie istotno±ci α o obszarze odrzucenia {S n > c n}. Zdeniujmy S n = { (1 n k )S n, z prawdopodobie«stwem p n ; S n + X n, z prawdopodobie«stwem 1 p n, gdzie 0 k R. Zakªadamy,»e lim n p n = 1; Sn i X n s niezale»nymi zmiennymi losowymi; przy obu hipotezach H 0 i H 1, Sn = O p (1) Wówczas, S n = S n + O p (n k ). (2) P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

13 Przykªady - ogólny model Rozwa»my test na poziomie istotno±ci α o obszarze odrzucenia {S n > c n}. Zdeniujmy S n = { (1 n k )S n, z prawdopodobie«stwem p n ; S n + X n, z prawdopodobie«stwem 1 p n, gdzie 0 k R. Zakªadamy,»e lim n p n = 1; Sn i X n s niezale»nymi zmiennymi losowymi; przy obu hipotezach H 0 i H 1, Sn = O p (1) Wówczas, S n = S n + O p (n k ). (2) P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

14 Przykªad 1: konieczno± warunku (v) w Tw. 1 Przyjmijmy w modelu p n = 1 1/ log n. Przy H 0 zaªó»my: S n U[0, 1]; P 0 (X n > 1) = 1. Przy H 1 zaªó»my,»e: G sto±ci S n X n U[ 3, 2]. s postaci f S (t) = 1 1 n [0,1](t) + n 1 1 [1,2](t); n n P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

15 Przykªad 1: konieczno± warunku (v) w Tw. 1 Przyjmijmy w modelu p n = 1 1/ log n. Przy H 0 zaªó»my: S n U[0, 1]; P 0 (X n > 1) = 1. Przy H 1 zaªó»my,»e: G sto±ci S n X n U[ 3, 2]. s postaci f S (t) = 1 1 n [0,1](t) + n 1 1 [1,2](t); n n P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

16 Przykªad 1: konieczno± warunku (v) w Tw. 1 Przyjmijmy w modelu p n = 1 1/ log n. Przy H 0 zaªó»my: S n U[0, 1]; P 0 (X n > 1) = 1. Przy H 1 zaªó»my,»e: G sto±ci S n X n U[ 3, 2]. s postaci f S (t) = 1 1 n [0,1](t) + n 1 1 [1,2](t); n n P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

17 Przykªad 1: konieczno± warunku (v) w Tw. 1, c.d. Mo»na pokaza,»e: zachodz warunki (ii)-(iv); warunek (v) nie zachodzi, bo β S β S 1/ log n. r > 0 : E n k (S n S n ) r, (gdy n ) Wniosek: Bez warunku (v) teza Twierdzenia 1 nie musi zachodzi. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

18 Przykªad 1: konieczno± warunku (v) w Tw. 1, c.d. Mo»na pokaza,»e: zachodz warunki (ii)-(iv); warunek (v) nie zachodzi, bo β S β S 1/ log n. r > 0 : E n k (S n S n ) r, (gdy n ) Wniosek: Bez warunku (v) teza Twierdzenia 1 nie musi zachodzi. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

19 Przykªad 2: konieczno± warunku (iii) w Tw. 1, c.d. Mo»na przyj takie zaªo»enia w modelu,»e: zachodz warunki (ii),(iv),(v) (z r = 1); warunek (iii) nie zachodzi β S 1, ale β S = 1/2! Wniosek: Bez warunku (iii) teza Twierdzenia 1 nie musi zachodzi. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

20 Przykªad 2: konieczno± warunku (iii) w Tw. 1, c.d. Mo»na przyj takie zaªo»enia w modelu,»e: zachodz warunki (ii),(iv),(v) (z r = 1); warunek (iii) nie zachodzi β S 1, ale β S = 1/2! Wniosek: Bez warunku (iii) teza Twierdzenia 1 nie musi zachodzi. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

21 Przykªad 3: konieczno± warunku (iv) w Tw. 1 Mo»na przyj takie zaªo»enia w modelu,»e zachodz warunki (ii),(iii),(v) (z r = 1); warunek (iv) nie zachodzi; β S β S 1/ log n. Wniosek: Bez warunku (iv) teza Twierdzenia 1 nie musi zachodzi. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

22 Najmocniejsze testy niezmiennicze wielowymiarowej normalno±ci Niech X 1,..., X n - próba prosta z rozkªadu w R p. F ( )-ustalona dystrybuanta w R p. gdzie H 0 : X i N p (m, Σ) vs H 1 : X i F (U( b)), m, b R p ; Σ, U M(p, p). Σ dodatnio okre±lona, U nieosobliwa. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

23 Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci p = 2, U UT (2), F U([0, 1] [0, 1]). S MPI -statystyka najmocniejszego testu niezmienniczego wzgl dem grupy przeksztaªce«g : X i U X i + b S Lapl -stat. testu opartego na aproksymacji Laplace'a; S LR -stat. testu ilorazu wiarygodno±ci. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

24 Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci p = 2, U UT (2), F U([0, 1] [0, 1]). S MPI -statystyka najmocniejszego testu niezmienniczego wzgl dem grupy przeksztaªce«g : X i U X i + b S Lapl -stat. testu opartego na aproksymacji Laplace'a; S LR -stat. testu ilorazu wiarygodno±ci. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

25 Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci p = 2, U UT (2), F U([0, 1] [0, 1]). S MPI -statystyka najmocniejszego testu niezmienniczego wzgl dem grupy przeksztaªce«g : X i U X i + b S Lapl -stat. testu opartego na aproksymacji Laplace'a; S LR -stat. testu ilorazu wiarygodno±ci. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

26 Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci p = 2, U UT (2), F U([0, 1] [0, 1]). S MPI -statystyka najmocniejszego testu niezmienniczego wzgl dem grupy przeksztaªce«g : X i U X i + b S Lapl -stat. testu opartego na aproksymacji Laplace'a; S LR -stat. testu ilorazu wiarygodno±ci. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

27 Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci p = 2, U UT (2), F U([0, 1] [0, 1]). S MPI -statystyka najmocniejszego testu niezmienniczego wzgl dem grupy przeksztaªce«g : X i U X i + b S Lapl -stat. testu opartego na aproksymacji Laplace'a; S LR -stat. testu ilorazu wiarygodno±ci. (zlogarytmowane i odpowiednio unormowane). P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

28 Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Twierdzenie 3 [Majerski, Szkutnik 2010] Przy obu hipotezach, H 0 i H 1 zachodzi oraz ( ) log n S MPI S Lapl = O p n 2 ( ) log 2 n S MPI S LR = O p. S Lapl, S LR statystyki testowe quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych. n P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

29 Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Twierdzenie 3 [Majerski, Szkutnik 2010] Przy obu hipotezach, H 0 i H 1 zachodzi oraz ( ) log n S MPI S Lapl = O p n 2 ( ) log 2 n S MPI S LR = O p. S Lapl, S LR statystyki testowe quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych. n P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

30 Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Symulowane g sto±ci statystyki S MPI dla n = 5, 15, 50, 125 n=5 n=15 n=50 n=125 n=5 n=15 n=50 n= (a) G sto±ci przy H 0. (b) G sto±ci przy H 1. P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

31 Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Symulacje sugeruj,»e warunki (ii)-(iv) Twierdzenia 1 zachodz dla obu testów, natomiast warunek (v) zachodzi tylko dla testu S LR (z dowolnym r > 0). (v) Przy H 0 i H 1 oraz z Z n := (S n Ŝ n )/a n r > 0 : lim sup E Z n r < n P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

32 Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Symulacje sugeruj,»e warunki (ii)-(iv) Twierdzenia 1 zachodz dla obu testów, natomiast warunek (v) zachodzi tylko dla testu S LR (z dowolnym r > 0). (v) Przy H 0 i H 1 oraz z Z n := (S n Ŝ n )/a n r > 0 : lim sup E Z n r < n P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

33 Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Warunek (v) dla testu S Lapl wymusza osªabienie rz du zbie»no±ci z na ( ) log n S MPI S Lapl = O p n 2 S MPI S Lapl = O p ( log n Wtedy symulacje sugeruj,»e (v) zachodzi dla dowolnego r > 0. n ). P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

34 Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Warunek (v) dla testu S Lapl wymusza osªabienie rz du zbie»no±ci z na ( ) log n S MPI S Lapl = O p n 2 S MPI S Lapl = O p ( log n Wtedy symulacje sugeruj,»e (v) zachodzi dla dowolnego r > 0. n ). P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

35 Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Warunek (v) dla testu S Lapl wymusza osªabienie rz du zbie»no±ci z na ( ) log n S MPI S Lapl = O p n 2 S MPI S Lapl = O p ( log n Wtedy symulacje sugeruj,»e (v) zachodzi dla dowolnego r > 0. n ). P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

36 Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Je»eli tak jest, to z Twierdzenia 1: (( ) log a ) n β MPI = β Lap + O oraz (( ) log 2 a ) n β MPI = β LR + O, dla dowolnego 0 < a < 1. n n P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

37 Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Podobny wynik dla: p = 2, U UT (2), F Exp(1) Exp(1). Tutaj ( ) 1 β MPI = β Lap + O log 2 2 n n oraz ( ) 1 β MPI = β LR + O log 2 2 n n P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

38 Zastosowanie do quasi-najmocniejszych testów niezmienniczych wielowymiarowej normalno±ci, c.d. Podobny wynik dla: p = 2, U UT (2), F Exp(1) Exp(1). Tutaj ( ) 1 β MPI = β Lap + O log 2 2 n n oraz ( ) 1 β MPI = β LR + O log 2 2 n n P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22

39 Dzi kuj za uwag! P. Majerski, Z. Szkutnik, AGH () Rozwini cia mocy testów przybli»onych Wisªa / 22