KATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI. Laboratorium Mechaniki technicznej

Transkrypt

1 KATEDRA AUTOMATYKI, BIOMECHANIKI I MECHATRONIKI Laboratorium Mechaniki technicznej Ćwiczenie 3 Badanie reakcji w układzie belkowym 1

2 Cel ćwiczenia Celem ćwiczenia jest poznanie metody wyznaczania reakcji w układzie belkowym z zastosowaniem specjalnie zaprojektowanego układu pomiarowego. Podczas ćwiczenia wykorzystany będzie specjalny czujnik płaskiego stanu naprężenia oparty na zginanych belkach z układami tensometrów oraz program LabView. 1 Wstęp teoretyczny Podczas zajęć laboratoryjnych badane będą zagadnienia równowagi dowolnego płaskiego układu sił. Ciało pod działaniem dowolnego płaskiego układu sił pozostaje w równowadze, gdy spełnione są następujące trzy warunki: =0, =0, =0, (1) gdzie: suma rzutów wszystkich sił na oś x, suma rzutów wszystkich sił na oś y, suma momentów wszystkich sił względem punktu A (względem osi prostopadłej do płaszczyzny układu i przechodzącej przez punkt A). Należy tak dobrać osie x i y, aby nie były one do siebie równoległe, a punkt A może być dowolnym punktem płaszczyzny. Powyższe warunki mogą być zastąpione przez następujące układy równań: lub =0, =0, =0, (2) =0, =0, =0, (3) gdzie: suma momentów wszystkich sił względem B, suma momentów wszystkich sił C, przy czym punkty A, B i C nie może leżeć na jednej prostej. Powyższe warunki nazywane są analitycznymi warunkami równowagi (równaniami równowagi). Podczas rozwiązywania zadań z równowagi dowolnego płaskiego układu sił wygodnie jest zachowywać następujący tok postepowania: narysować schemat geometryczny układu, na schemat nanieść obciążenia (siły zewnętrzne czynne) działające na układ, usunąć więzy, a ich oddziaływanie zastąpić odpowiednimi siłami reakcji, wyodrębnić z układu element (bądź zespół) znajdujący się w równowadze, wraz z działającymi na niego siłami zewnętrznymi i reakcjami, dla każdego uwolnionego układu, elementu (bądź zespołu) napisać analityczne warunki równowagi. Wyboru podukładów (elementów, zespołów), które są uwalniane i dla których pisane są równania równowagi, należy dokonywać w taki sposób, aby uzyskać równania pozwalające na jak najprostsze wyznaczenie poszukiwanych wielkości (zwykle reakcji więzów). 2

3 Przykład Na rysunku 1 przedstawiony został przykładowy układ belkowy, który obciążony został ciężarem Q. Przykładowa konfiguracja. Powyższy układ został przedstawiony w postaci schematu na rysunku 2, gdzie długości poszczególnych belek oznaczone zostały jako l1 oraz l2. Schemat przykładowego układu belkowego. Układ ten po uwolnieniu od więzów przedstawiony został na rysunku 3. 3

4 Schemat układu po uwolnieniu od więzów. Układ został rozdzielony na dwa podukłady pozostające w równowadze, dla których można zapisać równania równowagi. Dla pierwszej belki: : =0 : =0 : =0 (4) Równania równowagi dla drugiej belki: : =0 : =0 : =0 (5) Znając obciążenie zewnętrzne siłą Q oraz odpowiednie długości belek, można rozwiązać układ sześciu równań liniowych (4-5) i wyznaczyć następujące sześć niewiadomych składowych reakcji w podporach A, C oraz w przegubie B: = = = = = = (6) Powyższy przypadek można rozwiązać również inaczej - zależnie od tego, jakich wielkości poszukujemy. Poniżej zaprezentowany zostanie sposób rozwiązania tego samego przykładu, jeśli poszukujemy jedynie reakcji w poszczególnych podporach. W przypadku, gdy poszukujemy reakcji w podporze A, możemy uwolnić od więzów cały układ jak na rysunku 4. 4

5 Schemat całego układu po uwolnieniu od więzów. Równanie sumy momentów względem punktu C wynosi wtedy: : =0 (7) Następnie możemy uwolnić od więzów jedynie pierwszą belkę, co przedstawia rysunek 5. Pierwsza belka po uwolnieniu od więzów. Równanie sumy momentów względem punktu B przedstawia się następująco: : =0 (8) Po rozwiązaniu układu równań (7) i (8) otrzymujemy reakcje w podporze A: = = (9) 5

6 Możemy postąpić analogicznie, gdy poszukujemy reakcji w podporze C. Dla całego układu uwolnionego od więzów możemy napisać równanie sumy momentów względem punktu A, oraz dla prawej belki uwolnionej od więzów, równanie sumy momentów względem punktu B: : =0 : =0 (10) Po rozwiązaniu powyższego układu równań ostatecznie otrzymujemy reakcje w podporze C: = = (11) W ten sposób można znacznie ograniczyć liczbę równań potrzebnych do rozwiązania danego zagadnienia, co przyspiesza i ułatwia pracę. Oczywiście otrzymane wartości poszczególnych reakcji w przypadku rozwiązywania różnymi metodami muszą być jednakowe, tak jak w przedstawionych wyżej przykładach. 2 Stanowisko laboratoryjne Podczas laboratorium wykorzystane zostanie stanowisko przedstawione na rysunku 6. Stanowisko służy do doświadczalnego badania reakcji podporowych w płaskich układach ramowo-belkowych. Rysunek 6a przedstawia widok ogólny stanowiska, natomiast rysunek 6b pojedynczy czujnik płaskiego stanu obciążenia. Zaletą zastosowanej konstrukcji jest jej niski koszt (ok. 800 zł), przy zachowaniu możliwości pomiaru dwóch składowych siły (RAx, RAy) oraz momentu (MA) zredukowanych do punktu A (w tym przypadku osi przegubu). Rysunek 7a przedstawia schemat czujnika, który składa się z belki 1, do której przykładane jest obciążenie oraz trzech cienkich blaszek 2 przenoszących obciążenie na belki pomiarowe 3 z naklejonymi tensometrami. Wszystkie elementy czujnika są połączone na sztywno, co sprawia, że konstrukcja jest statycznie niewyznaczalna. Kształt czujnika wynika z konstrukcji przedstawionej na rysunku 7b, gdzie przy braku tarcia w przegubach mierzone wielkości RAx, RAy i MA można wyznaczyć statycznie na podstawie sił w trzech prętach 2 mierzonych przy pomocy zginanych belek pomiarowych. Siły tarcia w przegubach rzeczywistych znacznie obniżają dokładność pomiarów, dlatego zostały one usztywnione, a pręty wykonane jako możliwie smukłe, aby przenosiły głownie siły wzdłużne. Charakterystyka statycznie niewyznaczalnego czujnika została zbadana doświadczalnie. 6

7 a) b) Widok układu belkowego (a) wykorzystywanego podczas laboratorium oraz widok czujnika (b). a) b) Schemat czujnika w wersji zrealizowanej (a) i statycznie wyznaczalnej (b). Wspomniane siły reakcji oraz moment w podporze można zapisać jako: =,, ", =,, ", =,, ", (7) gdzie:,, " to napięcia na poszczególnych mostkach tensometrycznych. Przyjmując, że czujnik jest liniowy można napisać: =# # # " ", =# # # " ", (8) =# " # " # " ". Stałe aij (czyli charakterystyka czujnika) zostały wyznaczone doświadczalnie. Mianowicie czujnik był obciążany w różny, ale z góry znany sposób (co do wartości przyłożonej siły oraz linii jej działania). Wykonano w ten sposób serię pomiarów napięć na mostkach tensometrycznych u1, u2 i u3 odpowiadających poszczególnym obciążeniom. Na podstawie danych pomiarowych, wykorzystując metodę najmniejszych kwadratów, wyznaczono następnie stałe aij czujnika. Tak wyznaczona charakterystyka wykorzystywana jest do pomiaru reakcji w podporze przy użyciu programu napisanego w LabView. Pomiar jest uśredniany w pewnym przedziale czasu. W badanym układzie zastosowane zostały tensometry foliowe TF-5/350 firmy Tenmex. Każda z trzech belek zginanych czujnika wyposażona została w układ pełnego mostka tensometrycznego Wheatstone a (cztery tensometry po dwa z każdej strony belki). Założeniem 7

8 konstrukcyjnym podczas projektowania belek pomiarowych były ich niewielkie rozmiary 40mm ich długości ulega podczas pomiaru ugięciu, a uzyskiwany sygnał pomiarowy przewidywany był na zakres od kilku do kilkudziesięciu mikrowoltów. Dlatego też podstawowym czynnikiem decydującym o wyborze tego układu było czterokrotne wzmocnienie sygnału pomiarowego, w stosunku do zastosowania pojedynczego tensometru. Innym istotnym czynnikiem była eliminacja w tego typu układzie wpływu rozciągania belki pomiarowej na uzyskiwany sygnał. Elementem umożliwiającym pobieranie sygnałów pomiarowych z tensometrów i przekazywania ich do komputera PC jest wzmacniacz tensometryczny, wyposażony w moduł komunikacyjny USB. Zarówno wzmacniacz, jak i moduł USB zakupione zostały w firmie National Instruments, dzięki czemu mają możliwość komunikacji i obróbki sygnałów pomiarowych w programach LabView i Signal Express. Pomiary do wzmacniacza tensometrycznego przekazywane są przy użyciu karty przejściowej pokazanej na rysunku 8. Karta przejściowa połączona ze wzmacniaczem, z podłączonymi trzema kanałami i przewodem dodatkowego zasilania. Rama stanowiska pokazana na rysunku 9 zbudowana została z profili aluminiowych 40x80 o długościach odpowiednio L1=1660mm oraz L2=600mm. Zastosowanie profile aluminiowych o takim przekroju umożliwiają zachowanie odpowiedniej sztywności całej ramy oraz zapewniają dodatkowo po dwa rowki montażowe wokół ramy niezbędne do mocowania obciążenia. Podstawa stanowiska została zbudowana z profili 40x40 oraz czterech zestawów nóg. Zastosowanie takiego zestawu dało możliwość poziomowania stanowiska w przypadku nierówności podłoża. W wewnętrznej części ramy umieszczone zostało 16 sztuk wpustów rowkowych, które służą do mocowania czujników siły w dowolnym miejscu ramy. 8

9 Widok ramy głównej stanowiska. Podczas laboratorium badany jest dowolny układ belkowy podany przez prowadzącego. Do zbudowania układu należy posłużyć się dostarczonymi elementami, którymi są profile aluminiowe 30x30 o długości 400mm oraz 800mm, obustronnie nagwintowane, przestawione na rysunku 10a, zestaw przegubów pokazanych na rysunku 10b, zestaw wpustów rowkowych i elementów łączeniowych (śruby, haczyki) zależnych od badanego układu. Obciążenie realizowane zadawane jest poprzez ciężarki dostarczone przez prowadzącego zajęcia laboratoryjne. a) b) Belki pomiarowe (a) połączone przegubem (b). Przedstawiony powyżej sposób pomiaru reakcji w podporach jest pomiarem względnym. W momencie włączenia programu w LabView wskazania czujnika są zerowane. Dlatego podczas laboratorium należy przed wyzerowaniem układu należy zdjąć dodatkowe obciążenie, co pozwala jednocześnie zniwelować wpływ masy belek na pomiar reakcji w podporach. W metodzie analitycznej również traktujemy belki jako lekkie, dlatego wyniki uzyskane obiema metodami powinny się pokrywać. Wszystkie pomiary odbywają się względem zewnętrznej ramy stanowiska, która jest układem odniesienia, a osie układu współrzędnych, podczas rozwiązywania układu belkowego, są równoległe do poszczególnych profili ramy zewnętrznej. 9

10 3 Przebieg ćwiczenia Podczas wykonywania ćwiczenia laboratoryjnego zadaniem każdej grupy ćwiczeniowej jest zbadanie dowolnego płaskiego układu sił metodą analityczną oraz porównanie uzyskanych wyników z wartościami otrzymanymi przy użyciu przedstawionego układu pomiarowego. Podczas laboratorium zostaną wyznaczone reakcje w wybranej przez prowadzącego podporze układu belkowego. Prowadzący laboratorium podaje przykładową konfigurację pomiarową wraz z wartościami obciążeń. Zadaniem grupy laboratoryjnej jest poprawne zbudowanie oraz połączenie układu przy użyciu dostarczonych elementów. Następnie w obecności prowadzącego przeprowadzane są serie pomiarów, a grupa zapisuje uzyskane wyniki na dostarczonym przez prowadzącego sprawozdaniu. Po wykonaniu ćwiczenia laboratoryjnego każda z grup przygotowuje sprawozdanie z laboratorium, które musi zawierać następujące elementy: krótki opis wykonywanego ćwiczenia (własnymi słowami) przebieg ćwiczenia rysunek otrzymanego układu belkowego wraz z naniesionymi siłami wyprowadzenie metodą analityczną sił reakcji w podporze wyniki z pomiarów oraz ich porównanie z wynikami analitycznymi wnioski 4 Wymagania wstępne Do przystąpienia do wykonywania ćwiczenia niezbędna jest znajomość informacji zawartych w rozdziale pierwszym oraz drugim niniejszej instrukcji. Przykładowe pytania: analityczne warunki równowagi dowolnego płaskiego układu sił wyznaczyć reakcje podpór w złożonym układzie belkowym podanym przez prowadzącego Literatura: 1. Awrejcewicz J.: Mechanika. WNT, Warszawa Michał E. Niezgodziński, Tadeusz Niezgodziński: Zbiór zadań z mechaniki ogólnej. PWN, Warszawa