Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:

Transkrypt

1 Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1

2 Zadanie. Rozważmy funkcję f : Z Z Z, f(x, y) = xy. Znajdź obraz zbioru {1, 10, 100, 1000} {1, 10, 100, 1000} oraz przeciwobraz zbioru {1, 2, 3}. 2

3 Własności. Niech f : X Y będzie dowolną funkcją. Wówczas dla dowolnych zbiorów A, B X: a) f(a B) = f(a) f(b), b) f(a B) f(a) f(b), c) f(a) \ f(b) f(a \ B), oraz dla dowolnych zbiorów C, D Y : a) f 1 (C D) = f 1 (C) f 1 (D), b) f 1 (C D) = f 1 (C) f 1 (D), c) f 1 (C \ D) = f 1 (C) \ f 1 (D). 3

4 Relacje 4

5 Relacją n-argumentową nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Jeśli ϱ X Y jest relacją dwuargumentową (binarną), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacją binarną określoną w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X. 5

6 Funkcje jako relacje. Funkcją nazywamy relację binarną ϱ X Y taką, że dla każdego elementu x X jest jeden i tylko jeden element y Y spełniający warunek (x, y) ϱ: x X! y Y (x, y) ϱ. 6

7 Rozważmy relację binarną ϱ określoną w zbiorze X: ϱ X X. Mówimy, że relacja ϱ jest: zwrotna, jeśli x X xϱx, przeciwzwrotna, jeśli x X xϱx, symetryczna, jeśli x,y X xϱy yϱx, asymetryczna (antysymetryczna), jeśli x,y X xϱy yϱx, słabo antysymetryczna, jeśli x,y X xϱy yϱx x = y, spójna, jeśli x,y X xϱy yϱx x = y, przechodnia, jeśli x,y,z X xϱy yϱz xϱz. 7

8 Rozważmy następujące relacje binarne w zbiorze R: x < y, x y, x = y oraz następujące relacje binarne w zbiorze N 1 : x i y są tej samej parzystości, y = x 2, x y. 8

9 relacja w R x < y x y x = y zwrotność + + przeciwzwrotność + symetria + asymetria + słaba antysymetria + + spójność + + przechodniość relacja w N 1 x i y stsp y = x 2 x y zwrotność + + przeciwzwrotność symetria + asymetria słaba antysymetria + + spójność przechodniość + + 9

10 Rozważmy relację binarną ϱ określoną w zbiorze skończonym X. Możemy narysować graf, którego wierzchołki są oznaczone elementami tego zbioru. Krawędź grafu o początku x i końcu y (strzałkę prowadzącą z x do y) rysujemy wtedy i tylko wtedy, gdy xϱy. 10

11 zwrotność Przy każdym wierzchołku jest pętla. przeciwzwrotność Przy żadnym wierzchołku nie ma pętli. symetria Na każdej krawędzi są strzałki w obie strony. asymetria Na każdej krawędzi jest strzałka tylko w jedną stronę. Nie ma pętli. słaba antysymetria Na każdej krawędzi jest strzałka tylko w jedną stronę. (Mogą być pętle.) spójność Każde dwa (różne) wierzchołki są połączone krawędzią. 11

12 Macierz relacji ϱ tworzymy w ten sposób, że wiersze i kolumny oznaczamy elementami zbioru X. Na przecięciu wiersza oznaczonego elementem x i kolumny oznaczonej elementem y stawiamy 1, jeśli xϱy, a 0 w przeciwnym wypadku. Przykłady. Niech X = {1, 2, 3, 4, 5}. 12

13 x < y x\y x y x\y y = x 2 x\y x i y stsp x\y

14 zwrotność Na głównej przekątnej są same jedynki. przeciwzwrotność Na głównej przekątnej są same zera. symetria Macierz jest symetryczna (względem głównej przekątnej). asymetria Na miejscach symetrycznych (względem głównej przekątnej) nie ma dwóch jedynek. Na głównej przekątnej są same zera. słaba antysymetria Na miejscach symetrycznych (względem głównej przekątnej) nie ma dwóch jedynek. spójność Na miejscach symetrycznych (względem głównej przekątnej) nie ma dwóch zer. 14

15 Relację binarną ϱ określoną w zbiorze X nazywamy relacją porządkującą (lub relacją częściowego porządku), jeśli jest zwrotna, słabo antysymetryczna i przechodnia. Zbiór X z określoną w nim relacją porządkującą nazywamy zbiorem częściowo uporządkowanym. Relację porządkującą oznaczamy zazwyczaj symbolem. Mówimy wówczas, że (X, ) jest zbiorem częściowo uporządkowanym. Mamy zatem warunki: x X x x, x,y X x y y x x = y, x,y,z X x y y z x z. 15

16 Jeśli jest relacją częściowego porządku, to możemy określić relację następująco: x y x y x y. Jeśli x y, to mówimy, że element x jest mniejszy od y, a y jest większy od x. Jeśli x y, to mówimy, że element x jest mniejszy lub równy y, a y jest większy lub równy x. 16

17 Niech (X, ) będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Element x X nazywamy: najmniejszym, jeśli jest mniejszy od pozostałych elementów: y X x y; największym, jeśli jest większy od pozostałych elementów: y X y x; minimalnym, jeśli nie ma elementów od niego mniejszych: y X y x y = x; maksymalnym, jeśli nie ma elementów od niego większych: y X x y y = x. 17

18 zbiór cz. up. el. minimalne el. maksymalne ({1, 2, 3, 4, 5}, ) 1 najmniejszy 5 największy ({1, 2, 3, 4, 5}, ) 1 najmniejszy 3, 4, 5 (N 1, ) 1 najmniejszy nie ma (N 2, ) liczby pierwsze nie ma (2 {a,b,c}, ) {a, b, c} (2 {a,b,c} \ {, {a, b, c}}, ) {a}, {b}, {c} {a, b}, {a, c}, {b, c} Zadanie. Narysuj kilka diagramów zbiorów częściowo uporządkowanych, wskaż elementy minimalne, maksymalne, najmniejsze, największe. 18

19 Uwaga. Element najmniejszy (jeśli istnieje) jest jedynym elementem minimalnym. Analogicznie, element największy jest jedynym maksymalnym. (Jedyny element minimalny nie musi być elementem najmniejszym.) 19

20 Porządek liniowy Relację porządkującą, która jest spójna, nazywamy relacją porządku liniowego. Oznacza to, że spełniony jest warunek x,y X x y y x. Przykłady: (R, ), ({1, 2, 4, 8}, ), ({{a}, {a, b}, {a, b, c}}, ). W zbiorze liniowo uporządkowanym istnieje co najwyżej jeden element minimalny. Jeśli taki element istnieje, to jest elementem najmniejszym. Analogiczna własność zachodzi oczywiście dla elementów maksymalnych. 20