Elementy logiki Zbiory Systemy matematyczne i dowodzenie twierdzeń Relacje

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Elementy logiki Zbiory Systemy matematyczne i dowodzenie twierdzeń Relacje"

Transkrypt

1 Dr Maciej Grzesiak, pok.724 E maciej.grzesiak Konsultacje: poniedziałek, , środa , piątek , pokój 724E

2 Treść wykładu Elementy logiki.. Liczby rzeczywiste...

3 Zdanie Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa.

4 Zdanie Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych.

5 Zdanie Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość oznaczamy cyfrą 1, fałszywość cyfrą 0.

6 Zdanie Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość oznaczamy cyfrą 1, fałszywość cyfrą 0. Przykłady Zdaniami są: Jeżeli x jest liczbą rzeczywistą, to x 2 > 0,

7 Zdanie Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość oznaczamy cyfrą 1, fałszywość cyfrą 0. Przykłady Zdaniami są: Jeżeli x jest liczbą rzeczywistą, to x 2 > 0, Jeżeli x jest liczbą rzeczywistą, to x > 0,

8 Zdanie Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość oznaczamy cyfrą 1, fałszywość cyfrą 0. Przykłady Zdaniami są: Jeżeli x jest liczbą rzeczywistą, to x 2 > 0, Jeżeli x jest liczbą rzeczywistą, to x > 0, Ziemia obraca się wokół Księżyca,

9 Zdanie Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość oznaczamy cyfrą 1, fałszywość cyfrą 0. Przykłady Zdaniami są: Jeżeli x jest liczbą rzeczywistą, to x 2 > 0, Jeżeli x jest liczbą rzeczywistą, to x > 0, Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe.

10 Zdanie Elementy logiki Zdaniami nie są wypowiedzi: Czy lubisz frytki?,

11 Zdanie Elementy logiki Zdaniami nie są wypowiedzi: Czy lubisz frytki?, Daj mi spokój,

12 Zdanie Elementy logiki Zdaniami nie są wypowiedzi: Czy lubisz frytki?, Daj mi spokój, x dzieli się przez 3, bo nie można przypisać im wartości logicznej.

13 Zdanie Elementy logiki Zdania oznaczamy literami: p, q,.... Z danych zdań można tworzyć zdania złożone za pomocą spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych): nie, i, lub, implikuje (jeżeli... to), jest równoważne,

14 Zdanie Elementy logiki Zdania oznaczamy literami: p, q,.... Z danych zdań można tworzyć zdania złożone za pomocą spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych): nie, i, lub, implikuje (jeżeli... to), jest równoważne, oznaczanych symbolami,,,,.

15 Zdanie Elementy logiki Zdania oznaczamy literami: p, q,.... Z danych zdań można tworzyć zdania złożone za pomocą spójników logicznych (funktorów zdaniotwórczych): nie, i, lub, implikuje (jeżeli... to), jest równoważne, oznaczanych symbolami Zdania złożone:,,,,. p, p q, p q, p q, p q, nazywamy odpowiednio negacją (zdania p),koniunkcją, alternatywą (zdań p, q), implikacją (o poprzedniku p i następniku q) i równoważnością (zdań p, q).

16 Zdanie Elementy logiki Wartości logiczne zdań złożonych zależą tylko od wartości logicznych zdań prostych. Wyjaśnia to tabela: p q p p q p q p q p q

17 Implikacja Elementy logiki Przeanalizujmy np. sytuację: Staszek powiedział wczoraj: Jeżeli jutro będzie ładna pogoda, to przyjdę.

18 Implikacja Elementy logiki Przeanalizujmy np. sytuację: Staszek powiedział wczoraj: Jeżeli jutro będzie ładna pogoda, to przyjdę. Uznamy, że Staszek skłamał jedynie wtedy, gdy dzisiaj jest ładna pogoda, a on nie przyszedł (poprzednik prawdziwy, a następnik fałszywy). W pozostałych przypadkach mówił prawdę (również wtedy, gdy przyszedł mimo złej pogody!)

19 Implikacja Elementy logiki Przeanalizujmy np. sytuację: Staszek powiedział wczoraj: Jeżeli jutro będzie ładna pogoda, to przyjdę. Uznamy, że Staszek skłamał jedynie wtedy, gdy dzisiaj jest ładna pogoda, a on nie przyszedł (poprzednik prawdziwy, a następnik fałszywy). W pozostałych przypadkach mówił prawdę (również wtedy, gdy przyszedł mimo złej pogody!) Implikacja ma związek z pojęciem warunku koniecznego i warunku dostatecznego (wystarczającego).

20 Implikacja Elementy logiki Przeanalizujmy np. sytuację: Staszek powiedział wczoraj: Jeżeli jutro będzie ładna pogoda, to przyjdę. Uznamy, że Staszek skłamał jedynie wtedy, gdy dzisiaj jest ładna pogoda, a on nie przyszedł (poprzednik prawdziwy, a następnik fałszywy). W pozostałych przypadkach mówił prawdę (również wtedy, gdy przyszedł mimo złej pogody!) Implikacja ma związek z pojęciem warunku koniecznego i warunku dostatecznego (wystarczającego). Mianowicie, jeżeli p q, to q jest warunkiem koniecznym dla p (tzn. jeśli nie zachodzi q, to nie może zachodzić p).

21 Implikacja Elementy logiki Przeanalizujmy np. sytuację: Staszek powiedział wczoraj: Jeżeli jutro będzie ładna pogoda, to przyjdę. Uznamy, że Staszek skłamał jedynie wtedy, gdy dzisiaj jest ładna pogoda, a on nie przyszedł (poprzednik prawdziwy, a następnik fałszywy). W pozostałych przypadkach mówił prawdę (również wtedy, gdy przyszedł mimo złej pogody!) Implikacja ma związek z pojęciem warunku koniecznego i warunku dostatecznego (wystarczającego). Mianowicie, jeżeli p q, to q jest warunkiem koniecznym dla p (tzn. jeśli nie zachodzi q, to nie może zachodzić p). Jednocześnie, p jest warunkiem dostatecznym dla q (gdy występuje p, to na pewno prawdziwe jest q).

22 Implikacja Elementy logiki Przeanalizujmy np. sytuację: Staszek powiedział wczoraj: Jeżeli jutro będzie ładna pogoda, to przyjdę. Uznamy, że Staszek skłamał jedynie wtedy, gdy dzisiaj jest ładna pogoda, a on nie przyszedł (poprzednik prawdziwy, a następnik fałszywy). W pozostałych przypadkach mówił prawdę (również wtedy, gdy przyszedł mimo złej pogody!) Implikacja ma związek z pojęciem warunku koniecznego i warunku dostatecznego (wystarczającego). Mianowicie, jeżeli p q, to q jest warunkiem koniecznym dla p (tzn. jeśli nie zachodzi q, to nie może zachodzić p). Jednocześnie, p jest warunkiem dostatecznym dla q (gdy występuje p, to na pewno prawdziwe jest q). Np. zdanie ulica jest mokra jest warunkiem koniecznym dla zdania pada deszcz, ale nie jest warunkiem dostatecznym dla tego zdania.

23 Zadanie Elementy logiki Które z następujących zdań są prawdziwe: warunkiem koniecznym na to by trójkąt był równoboczny jest by był równoramienny warunkiem dostatecznym na to by trójkąt był równoboczny jest by był równoramienny warunkiem koniecznym na to by trójkąt był równoramienny jest by był równoboczny warunkiem dostatecznym na to by trójkąt był równoramienny jest by był równoboczny

24 Forma zdaniowa W przykładach wypowiedzi, które nie są zdaniami, było: x dzieli się przez 3. Nie można jej przypisać wartości logicznej, gdy nie wiemy, czym jest x. Gdy jednak w miejsce x podstawimy jakąś liczbę, to otrzymamy zdanie. Dlatego tego typu wypowiedź nazywamy formą zdaniową.

25 Forma zdaniowa W przykładach wypowiedzi, które nie są zdaniami, było: x dzieli się przez 3. Nie można jej przypisać wartości logicznej, gdy nie wiemy, czym jest x. Gdy jednak w miejsce x podstawimy jakąś liczbę, to otrzymamy zdanie. Dlatego tego typu wypowiedź nazywamy formą zdaniową. Definicja Formą zdaniową (lub funkcją zdaniową) nazywamy wypowiedź zawierająca pewną liczbę zmiennych p, q, r,..., przy czym jeśli w miejsce zmiennych podstawimy konkretny obiekt, to otrzymamy zdanie.

26 Forma zdaniowa W przykładach wypowiedzi, które nie są zdaniami, było: x dzieli się przez 3. Nie można jej przypisać wartości logicznej, gdy nie wiemy, czym jest x. Gdy jednak w miejsce x podstawimy jakąś liczbę, to otrzymamy zdanie. Dlatego tego typu wypowiedź nazywamy formą zdaniową. Definicja Formą zdaniową (lub funkcją zdaniową) nazywamy wypowiedź zawierająca pewną liczbę zmiennych p, q, r,..., przy czym jeśli w miejsce zmiennych podstawimy konkretny obiekt, to otrzymamy zdanie. Np. formą jest: x leży w Polsce. Podstawiając w miejsce x Kraków otrzymamy zdanie prawdziwe, a podstawiając Londyn zdanie fałszywe.

27 Forma zdaniowa Obiektem może być też inne zdanie. Jeżeli dane wyrażenie zawiera zmienne zdaniowe p, q, r,... połączone funktorami to nazywamy je formułą rachunku zdań.

28 Forma zdaniowa Obiektem może być też inne zdanie. Jeżeli dane wyrażenie zawiera zmienne zdaniowe p, q, r,... połączone funktorami to nazywamy je formułą rachunku zdań. Np. (p q) r jest formułą. Gdy podstawimy np. p: Kraków leży w Polsce, q: Polska leży w Europie. r: Kraków leży w Europie, to otrzymamy zdanie.

29 Forma zdaniowa Obiektem może być też inne zdanie. Jeżeli dane wyrażenie zawiera zmienne zdaniowe p, q, r,... połączone funktorami to nazywamy je formułą rachunku zdań. Np. (p q) r jest formułą. Gdy podstawimy np. p: Kraków leży w Polsce, q: Polska leży w Europie. r: Kraków leży w Europie, to otrzymamy zdanie. Wartość logiczna zdania otrzymanego z formy zdaniowej zależy na ogół od wartości logicznej zdań składowych. Np. formuła (p q) r ma wartość 1 dla p = 0, q = 0, r = 1, zaś wartość 0 dla p = 1, q = 1, r = 0.

30 Forma zdaniowa Definicja Formułę rachunku zdań, która przyjmuje wartość logiczną 1 przy dowolnym podstawieniu wartości logicznych za zmienne zdaniowe nazywamy tautologią (prawem rachunku zdań).

31 Forma zdaniowa Definicja Formułę rachunku zdań, która przyjmuje wartość logiczną 1 przy dowolnym podstawieniu wartości logicznych za zmienne zdaniowe nazywamy tautologią (prawem rachunku zdań). Ważniejsze tautologie. 1. Prawo wyłączonego środka (tertium non datur): p p.

32 Forma zdaniowa Definicja Formułę rachunku zdań, która przyjmuje wartość logiczną 1 przy dowolnym podstawieniu wartości logicznych za zmienne zdaniowe nazywamy tautologią (prawem rachunku zdań). Ważniejsze tautologie. 1. Prawo wyłączonego środka (tertium non datur): p p. 2. Prawo sprzeczności: (p p).

33 3. Prawa de Morgana: (p q) p q

34 3. Prawa de Morgana: (p q) p q (zaprzeczenie koniunkcji jest alternatywą zaprzeczeń),

35 3. Prawa de Morgana: (p q) p q (zaprzeczenie koniunkcji jest alternatywą zaprzeczeń), (p q) p q

36 3. Prawa de Morgana: (p q) p q (zaprzeczenie koniunkcji jest alternatywą zaprzeczeń), (p q) p q (zaprzeczenie alternatywy jest koniunkcją zaprzeczeń).

37 3. Prawa de Morgana: (p q) p q (zaprzeczenie koniunkcji jest alternatywą zaprzeczeń), (p q) p q (zaprzeczenie alternatywy jest koniunkcją zaprzeczeń). 4. Prawo transpozycji: (p q) [( q) ( p)].

38 5. Prawo odrywania (modus ponens): [(p q) p] q. Jest to jedna z podstawowych reguł wnioskowania. Jeżeli prawdziwa jest implikacja i jeżeli prawdziwy jest jej poprzednik, to prawdziwy musi być także jej następnik.

39 5. Prawo odrywania (modus ponens): [(p q) p] q. Jest to jedna z podstawowych reguł wnioskowania. Jeżeli prawdziwa jest implikacja i jeżeli prawdziwy jest jej poprzednik, to prawdziwy musi być także jej następnik. 6. Prawo sylogizmu: [(p q) (q r)] (p r).

40 5. Prawo odrywania (modus ponens): [(p q) p] q. Jest to jedna z podstawowych reguł wnioskowania. Jeżeli prawdziwa jest implikacja i jeżeli prawdziwy jest jej poprzednik, to prawdziwy musi być także jej następnik. 6. Prawo sylogizmu: [(p q) (q r)] (p r). To, czy dana forma zdaniowa jest tautologią, czy nie, można sprawdzić stosując tzw. metodę zero-jedynkową, tzn. podstawiając w miejsce zmiennych ich wszystkie możliwe wartości logiczne.

41 Sprawdzimy pierwsze prawo de Morgana. p q p q (p q) p q (p q) p q

42 Kwantyfikatory Wiemy, że funkcja zdaniowa staje się zdaniem, gdy za zmienne występujące w niej podstawimy zdania.

43 Kwantyfikatory Wiemy, że funkcja zdaniowa staje się zdaniem, gdy za zmienne występujące w niej podstawimy zdania. Innym sposobem uzyskania zdania z formy zdaniowej jest użycie kwantyfikatorów określających wzajemne związki między funkcją zdaniową a zakresem zmienności jej zmiennych zdaniowych.

44 Kwantyfikatory Wiemy, że funkcja zdaniowa staje się zdaniem, gdy za zmienne występujące w niej podstawimy zdania. Innym sposobem uzyskania zdania z formy zdaniowej jest użycie kwantyfikatorów określających wzajemne związki między funkcją zdaniową a zakresem zmienności jej zmiennych zdaniowych. Definicja Wyrażenie dla każdego nazywamy kwantyfikatorem ogólnym (dużym) i oznaczamy symbolem. Wyrażenie istnieje nazywamy kwantyfikatorem szczegółowym (małym) i oznaczamy symbolem.

45 Np. symbol x > 0 czytamy dla każdego x > 0 lub dla dowolnego x > 0.

46 Np. symbol x > 0 czytamy dla każdego x > 0 lub dla dowolnego x > 0. Forma zdaniowa sin x > 0 poprzedzona tym kwantyfikatorem staje się zdaniem: x > 0 sin x > 0.

47 Np. symbol x > 0 czytamy dla każdego x > 0 lub dla dowolnego x > 0. Forma zdaniowa sin x > 0 poprzedzona tym kwantyfikatorem staje się zdaniem: x > 0 sin x > 0. Jest to oczywiście zdanie fałszywe. Natomiast zdanie: x > 0 sin x > 0 (istnieje takie x, że sin x > 0) jest zdaniem prawdziwym.

48 Kwantyfikatory Z określenia kwantyfikatorów wynika, że x X p(x) jest zdaniem prawdziwym wtedy, i tylko wtedy, gdy podstawiając do formuły p(x) dowolny obiekt ze zbioru X otrzymujemy zdanie prawdziwe.

49 Kwantyfikatory Z określenia kwantyfikatorów wynika, że x X p(x) jest zdaniem prawdziwym wtedy, i tylko wtedy, gdy podstawiając do formuły p(x) dowolny obiekt ze zbioru X otrzymujemy zdanie prawdziwe. Natomiast x X p(x) jest zdaniem prawdziwym wtedy, i tylko wtedy, gdy w zbiorze X istnieje obiekt taki, że podstawiając go do formuły p(x) otrzymujemy zdanie prawdziwe.

50 Elementy logiki Pojęcie zbioru w matematyce jest tzw. pojęciem pierwotnym, a więc zbioru nie definiuje się. oznaczamy dużymi literami A, B,..., X, Y..., a ich elementy małymi. Zapisy a A, a A czytamy: a należy do A (jest elementem zbioru A) i a nie należy do A (nie jest elementem zbioru A).

51 Elementy logiki Pojęcie zbioru w matematyce jest tzw. pojęciem pierwotnym, a więc zbioru nie definiuje się. oznaczamy dużymi literami A, B,..., X, Y..., a ich elementy małymi. Zapisy a A, a A czytamy: a należy do A (jest elementem zbioru A) i a nie należy do A (nie jest elementem zbioru A). Zbiór można określić wypisując jego elementy: A = {a 1, a 2,..., a n },

52 Elementy logiki Pojęcie zbioru w matematyce jest tzw. pojęciem pierwotnym, a więc zbioru nie definiuje się. oznaczamy dużymi literami A, B,..., X, Y..., a ich elementy małymi. Zapisy a A, a A czytamy: a należy do A (jest elementem zbioru A) i a nie należy do A (nie jest elementem zbioru A). Zbiór można określić wypisując jego elementy: A = {a 1, a 2,..., a n }, lub używając formy zdaniowej p(x): X = {x : p(x)}.

53 Elementy logiki Pojęcie zbioru w matematyce jest tzw. pojęciem pierwotnym, a więc zbioru nie definiuje się. oznaczamy dużymi literami A, B,..., X, Y..., a ich elementy małymi. Zapisy a A, a A czytamy: a należy do A (jest elementem zbioru A) i a nie należy do A (nie jest elementem zbioru A). Zbiór można określić wypisując jego elementy: A = {a 1, a 2,..., a n }, lub używając formy zdaniowej p(x): X = {x : p(x)}. W tym drugim przypadku X składa się z tych elementów x dla których forma p(x) staje się zdaniem prawdziwym. Np. jeśli p(x) jest formą: x jest liczbą podzielną przez 3, to X = {x : 3 x} = {0, ±3, ±6, ±9,...}.

54 Przypomnijmy oznaczenia: (zbiór pusty), A B (A jest podzbiorem B), A B (suma zbiorów A i B), A B (iloczyn lub przekrój zbiorów A i B), A \ B (różnica zbiorów A i B).

55 Przy działaniach na większej liczbie zbiorów stosuje się symbole: p A n = A 1 A 2 A p, n=1 p A n = A 1 A 2 A p. n=1

56 Przy działaniach na większej liczbie zbiorów stosuje się symbole: p A n = A 1 A 2 A p, n=1 p A n = A 1 A 2 A p. n=1 Symbole: A n, n=1 A n n=1 oznaczają odpowiednio sumę i iloczyn nieskończonej rodziny zbiorów.

57 Przykłady (0, 1 n ) = (0, 1), ale (0, 1 n ) = (0, 1 2 ) n=1 n=2

58 Przykłady (0, 1 n ) = (0, 1), ale (0, 1 n ) = (0, 1 2 ) n=1 n=2 (0, 1 n ) = n=1

59 Jeśli rozpatrujemy tylko zbiory zawarte w pewnym większym zbiorze E (który wtedy nazywamy zbiorem uniwersalnym lub uniwersum), to określamy dopełnienie zbioru A jako A = E \ A, czyli zbiór tych elementów x E, które nie należą do A.

60 Jeśli rozpatrujemy tylko zbiory zawarte w pewnym większym zbiorze E (który wtedy nazywamy zbiorem uniwersalnym lub uniwersum), to określamy dopełnienie zbioru A jako A = E \ A, czyli zbiór tych elementów x E, które nie należą do A. Np. jeśli E = R, to dopełnieniem zbioru liczb wymiernych jest zbiór liczb niewymiernych.

61 Oprócz wymienionych wyżej działań na zbiorach często wykorzystuje się tzw. iloczyn kartezjański zbiorów: A B = {(a, b) : a A, b B}.

62 Oprócz wymienionych wyżej działań na zbiorach często wykorzystuje się tzw. iloczyn kartezjański zbiorów: A B = {(a, b) : a A, b B}. Jest to więc zbiór wszystkich par takich, że pierwszy element należy do A, a drugi do B.

63 Oprócz wymienionych wyżej działań na zbiorach często wykorzystuje się tzw. iloczyn kartezjański zbiorów: A B = {(a, b) : a A, b B}. Jest to więc zbiór wszystkich par takich, że pierwszy element należy do A, a drugi do B. Przykłady 1. Jeżeli A = [ 2, 1] i B = [1, 3], to A B = {(x, y) : 2 x 1, 1 y 3}.

64 Oprócz wymienionych wyżej działań na zbiorach często wykorzystuje się tzw. iloczyn kartezjański zbiorów: A B = {(a, b) : a A, b B}. Jest to więc zbiór wszystkich par takich, że pierwszy element należy do A, a drugi do B. Przykłady 1. Jeżeli A = [ 2, 1] i B = [1, 3], to A B = {(x, y) : 2 x 1, 1 y 3}. 2. Jeżeli A = R i B = (0, 3), to A B = {(x, y) : x R, 0 < y < 3}.

65 Nazwa pochodzi od francuskiego matematyka Rene Descartesa, czyli Kartezjusza. Również na jego cześć prostokątny układ współrzędnych nazywa się układem kartezjańskim. Koncepcję zastosowania algebry do geometrii przedstawił w wydanej w 1637 roku rozprawie O metodzie. René Descartes ( )

66 Zbiór liczb rzeczywistych Pojęcie liczby zmieniało się w czasie. Najpierw były liczby naturalne: 1, 2, 3,..., potem ułamki, czyli liczby wymierne. W czasach Pitagorasa pojawiły się liczby niewymierne takie jak np. 2, a znacznie później liczby ujemne i liczba 0 (dopiero w VIII wieku). Wszystkie te liczby obejmujemy wspólną nazwą liczb rzeczywistych.

67 Będziemy stosować następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych;

68 Będziemy stosować następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych; Z zbiór liczb całkowitych;

69 Będziemy stosować następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych; Z zbiór liczb całkowitych; Q zbiór liczb wymiernych;

70 Będziemy stosować następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych; Z zbiór liczb całkowitych; Q zbiór liczb wymiernych; R zbiór liczb rzeczywistych.

71 Będziemy stosować następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych; Z zbiór liczb całkowitych; Q zbiór liczb wymiernych; R zbiór liczb rzeczywistych. 0 nie jest liczbą naturalną. Liczba π wyrażająca stosunek długości okręgu do jego średnicy jest niewymierna.

72 Będziemy stosować następujące oznaczenia: N zbiór liczb naturalnych; Z zbiór liczb całkowitych; Q zbiór liczb wymiernych; R zbiór liczb rzeczywistych. 0 nie jest liczbą naturalną. Liczba π wyrażająca stosunek długości okręgu do jego średnicy jest niewymierna. Inną ważną liczbą niewymierną jest nazywana też liczbą Eulera. ( e = lim ) n 2, n n

73 System matematyczny Definicja System matematyczny składa się 1 Zbioru, czyli tzw. uniwersum. 2 Definicji, czyli zdań, które określają znaczenie pojęć używanych w odniesieniu do uniwersum. Samego uniwersum nie definiuje się. 3 Aksjomatów, czyli stwierdzeń określających własności uniwersum i reguł tworzenia i dowodzenia następnych stwierdzeń. 4 Twierdzeń, czyli dodatkowych stwierdzeń wspomnianych wyżej.

74 Przykład W geometrii euklidesowej uniwersum składa się z punktów i prostych (tych pojęć nie definiuje się). Definiuje się np. odcinek, punkt przecięcia prostych, czy kąt między prostymi. Aksjomatami są: 1 Dowolne dwa punkty można połączyć odcinkiem. 2 Dowolny odcinek można przedłużyć nieograniczenie (uzyskując prostą). 3 Dla danego odcinka można zaznaczyć okrąg o środku w jednym z jego końcowych punktów i promieniu równym jego długości. 4 Wszystkie kąty proste są przystające. 5 Dwie proste, które przecinają trzecią w taki sposób, że suma kątów wewnętrznych po jednej stronie jest mniejsza od dwóch kątów prostych, przetną się z tej właśnie strony.

75 W danym systemie matematycznym twierdzenie jest to zdanie prawdziwe wyprowadzone z aksjomatów tego systemu. Prawdziwość musi być potwierdzona dowodem, czyli skończonym ciągiem logicznie poprawnych kroków pokazujących, że z założeń wynikają tezy twierdzenia.

76 W danym systemie matematycznym twierdzenie jest to zdanie prawdziwe wyprowadzone z aksjomatów tego systemu. Prawdziwość musi być potwierdzona dowodem, czyli skończonym ciągiem logicznie poprawnych kroków pokazujących, że z założeń wynikają tezy twierdzenia. Wszystkie twierdzenia w matematyce mogą być wypowiedziane w postaci lub w postaci Jeśli ZAŁOŻENIE, to TEZA, TEZA 1 wtedy i tylko wtedy, gdy TEZA 2. Rzeczywiste sformułowania mogą brzmieć odmiennie, ale zawsze można sprowadzić je do powyższych postaci.

77 Rozważmy twierdzenia postaci Jeśli Z, to T. Są dwie podstawowe metody dowodzenia takich twierdzeń. a) Dowód wprost. Zakładamy, że Z jest prawdziwe, i wnioskujemy o prawdziwości T.

78 Rozważmy twierdzenia postaci Jeśli Z, to T. Są dwie podstawowe metody dowodzenia takich twierdzeń. a) Dowód wprost. Zakładamy, że Z jest prawdziwe, i wnioskujemy o prawdziwości T. b) Dowód nie wprost (przez sprowadzenie do sprzeczności). Zakładamy, że Z jest prawdziwe i T jest fałszywe, i wykazujemy, że to prowadzi do sprzeczności z założeniem lub innym twierdzeniem.

79 Rozważmy twierdzenia postaci Jeśli Z, to T. Są dwie podstawowe metody dowodzenia takich twierdzeń. a) Dowód wprost. Zakładamy, że Z jest prawdziwe, i wnioskujemy o prawdziwości T. b) Dowód nie wprost (przez sprowadzenie do sprzeczności). Zakładamy, że Z jest prawdziwe i T jest fałszywe, i wykazujemy, że to prowadzi do sprzeczności z założeniem lub innym twierdzeniem. Natomiast aby udowodnić twierdzenie postaci T 1 wtedy i tylko wtedy, gdy T 2 wystarczy wykazać Jeśli T 1, to T 2 oraz Jeśli T 2, to T 1.

80 Przykład dowodu wprost Wykażemy twierdzenie: Suma dowolnych dwóch liczb nieparzystych jest parzysta. Na początek zapiszemy twierdzenie w formie implikacji: Jeśli j i k są liczbami nieparzystymi, to j + k jest liczbą parzystą.

81 Przykład dowodu wprost Wykażemy twierdzenie: Suma dowolnych dwóch liczb nieparzystych jest parzysta. Na początek zapiszemy twierdzenie w formie implikacji: Jeśli j i k są liczbami nieparzystymi, to j + k jest liczbą parzystą. D o w ó d. Jeśli j i k są nieparzyste, to istnieją liczby m, n takie, że j = 2m + 1 oraz k = 2n + 1. Zatem jest liczbą parzystą. j + k = 2m n + 1 = 2(m + n + 1)

82 Przykład dowodu nie wprost Wykażemy twierdzenie: 2 jest liczbą niewymierną.

83 Przykład dowodu nie wprost Wykażemy twierdzenie: 2 jest liczbą niewymierną. Zapiszemy twierdzenie w formie implikacji: Jeśli x jest liczbą wymierną, to x 2 2.

84 Przykład dowodu nie wprost Wykażemy twierdzenie: 2 jest liczbą niewymierną. Zapiszemy twierdzenie w formie implikacji: Jeśli x jest liczbą wymierną, to x 2 2. D o w ó d nie wprost. Załóżmy, że x jest liczbą wymierną i x 2 = 2. Skoro x Q, to x = p q dla pewnych liczb całkowitych p, q niemających wspólnego czynnika. Stąd x 2 = p2 = 2, więc q 2 p 2 = 2q 2.

85 Przykład dowodu nie wprost Wykażemy twierdzenie: 2 jest liczbą niewymierną. Zapiszemy twierdzenie w formie implikacji: Jeśli x jest liczbą wymierną, to x 2 2. D o w ó d nie wprost. Załóżmy, że x jest liczbą wymierną i x 2 = 2. Skoro x Q, to x = p q dla pewnych liczb całkowitych p, q niemających wspólnego czynnika. Stąd x 2 = p2 = 2, więc q 2 p 2 = 2q 2. Zatem p 2 dzieli się przez 2, więc p musi być podzielne przez 2, tj, p = 2r dla pewnego całkowitego r. Stąd 4r 2 = p 2 = 2q 2, czyli q 2 = 2r 2.

86 Przykład dowodu nie wprost Wykażemy twierdzenie: 2 jest liczbą niewymierną. Zapiszemy twierdzenie w formie implikacji: Jeśli x jest liczbą wymierną, to x 2 2. D o w ó d nie wprost. Załóżmy, że x jest liczbą wymierną i x 2 = 2. Skoro x Q, to x = p q dla pewnych liczb całkowitych p, q niemających wspólnego czynnika. Stąd x 2 = p2 = 2, więc q 2 p 2 = 2q 2. Zatem p 2 dzieli się przez 2, więc p musi być podzielne przez 2, tj, p = 2r dla pewnego całkowitego r. Stąd 4r 2 = p 2 = 2q 2, czyli q 2 = 2r 2. Wnioskujemy, że q musi być liczbą parzystą. A więc obie liczby p, q są parzyste. Sprzeczność, bo zakładaliśmy, że p, q nie mają wspólnego czynnika.

87 Indukcja matematyczna Zasada indukcji matematycznej jest ścisłą formą popularnej zasady domina. Jeżeli klocki domina ustawimy jeden obok drugiego tak, by pojedynczy klocek przewracając się obalił następny, to przewrócenie pierwszego klocka spowoduje upadek wszystkich.

88 Indukcja matematyczna Zasada indukcji matematycznej jest ścisłą formą popularnej zasady domina. Jeżeli klocki domina ustawimy jeden obok drugiego tak, by pojedynczy klocek przewracając się obalił następny, to przewrócenie pierwszego klocka spowoduje upadek wszystkich. Twierdzenie (zasada indukcji matematycznej) Niech T (n) oznacza twierdzenie dotyczące liczb naturalnych. Jeżeli 1 jest ono prawdziwe dla pewnej liczby n 0, 2 dla każdej liczby k n 0 z prawdziwości twierdzenia dla k wynika jego prawdziwość dla liczby k + 1, to twierdzenie jest prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych większych bądź równych n 0.

89 D o w ó d. Dowód twierdzenia o indukcji wykorzystuje zasadę minimum: Każdy niepusty zbiór liczb naturalnych zawiera element najmniejszy.

90 D o w ó d. Dowód twierdzenia o indukcji wykorzystuje zasadę minimum: Każdy niepusty zbiór liczb naturalnych zawiera element najmniejszy. Załóżmy, że twierdzenie T (n) nie jest prawdziwe dla wszystkich n n 0. Niech A oznacza zbiór wszystkich n n 0 dla których T (n) nie jest prawdziwe, i niech a będzie najmniejszym elementem zbioru A. Liczba a musi być większa od n 0 (z warunku 1), więc a 1 n 0 oraz T (a 1) jest prawdziwe. Wtedy jednak z warunku 2 wnioskujemy, że T (a) jest prawdziwe, sprzeczność.

91 Przykład Korzystając z zasady indukcji udowodnimy następujące twierdzenie: Dla każdej liczby naturalnej n liczba 7 n 1 jest podzielna przez 6.

92 Przykład Korzystając z zasady indukcji udowodnimy następujące twierdzenie: Dla każdej liczby naturalnej n liczba 7 n 1 jest podzielna przez 6. D o w ó d. Sprawdzamy dwa kroki zasady indukcji: 1. Dla n = 1: = 6 jest oczywiście podzielne przez 6.

93 Przykład Korzystając z zasady indukcji udowodnimy następujące twierdzenie: Dla każdej liczby naturalnej n liczba 7 n 1 jest podzielna przez 6. D o w ó d. Sprawdzamy dwa kroki zasady indukcji: 1. Dla n = 1: = 6 jest oczywiście podzielne przez Zakładamy, że dla liczby naturalnej k liczba 7 k 1 jest podzielna przez 6. Wówczas liczba 7 k+1 1 = (6 + 1)7 k 1 = 6 7 k + 7 k 1 też jest podzielna przez 6, bo składnik 6 7 k ma czynnik 6, a składnik 7 k 1 dzieli się przez 6 na mocy założenia indukcyjnego.

94 Przykład Korzystając z zasady indukcji udowodnimy następujące twierdzenie: Dla każdej liczby naturalnej n liczba 7 n 1 jest podzielna przez 6. D o w ó d. Sprawdzamy dwa kroki zasady indukcji: 1. Dla n = 1: = 6 jest oczywiście podzielne przez Zakładamy, że dla liczby naturalnej k liczba 7 k 1 jest podzielna przez 6. Wówczas liczba 7 k+1 1 = (6 + 1)7 k 1 = 6 7 k + 7 k 1 też jest podzielna przez 6, bo składnik 6 7 k ma czynnik 6, a składnik 7 k 1 dzieli się przez 6 na mocy założenia indukcyjnego. Czyli warunki 1 i 2 są spełnione. Zatem, na mocy zasady indukcji liczba 7 n 1 dzieli się przez 6 dla każdego n N.

95 W naukach empirycznych słowo indukcja może mieć mniej ścisłe znaczenie. Jako ilustracja dowcip z serii Matematyk i... ze strony: cherk/mathjokes.html A mathematician, a physicist, and an engineer were traveling through Scotland when they saw a black sheep through the window of the train. Aha, says the engineer, I see that Scottish sheep are black. Hmm, says the physicist, You mean that some Scottish sheep are black. No, says the mathematician, All we know is that there is at least one sheep in Scotland, and that at least one side of that one sheep is black!

96 Metodą indukcji udowodnić następujące twierdzenia (2n 1) = n n 3 = ( n) 2 3. Nierówność Bernoullego: (1 + x) n 1 + nx dla n N, x 1.

97 Wzór dwumianowy Newtona Definicja Wyrażenie ( ) n = k n! k!(n k)! nazywamy symbolem Newtona. Np. ( ) 5 = 5! 3 3!2! = 10.

98 Wzór dwumianowy Newtona Łatwo sprawdzić następujące równości ( ) ( ) n n = k n k ( ) ( ) n n = = 1 0 n ( ) ( ) n n = = n 1 n 1 oraz ( ) ( ) n n + = k k + 1 ( ) n + 1 k + 1

99 Wzór dwumianowy Newtona Korzystając z tych własności i zasady indukcji można udowodnić wzór dwumianowy Newtona ( ) n n (a + b) n = a k b n k, k k=0 gdzie a, b są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, a n jest liczbą naturalną.

100 Wzór dwumianowy Newtona Współczynniki kolejnych rozwinięć potęgi (a + b) n dla n = 1, 2, 3,... tworzą tzw. trójkąt Pascala:

101 Pojęcie relacji Niech dany będzie zbiór X. X 2 oznacza potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X = {(x 1, x 2 ) : x 1, x 2 X }.

102 Pojęcie relacji Niech dany będzie zbiór X. X 2 oznacza potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X = {(x 1, x 2 ) : x 1, x 2 X }. Definicja Relacją binarną w zbiorze X nazywamy podzbiór ρ zbioru X 2.

103 Pojęcie relacji Niech dany będzie zbiór X. X 2 oznacza potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X = {(x 1, x 2 ) : x 1, x 2 X }. Definicja Relacją binarną w zbiorze X nazywamy podzbiór ρ zbioru X 2. Elementy x 1, x 2, spełniają relację ρ, gdy (x 1, x 2 ) ρ. Często piszemy x 1 ρx 2 zamiast (x 1, x 2 ) ρ.

104 Przykłady Elementy logiki 1. W zbiorze X = {a, b, c, d, e} relacja jest relacją binarną. ρ = {(a, a), (a, b), (b, a)}

105 Przykłady Elementy logiki 1. W zbiorze X = {a, b, c, d, e} relacja ρ = {(a, a), (a, b), (b, a)} jest relacją binarną. 2. X = zbiór mieszkańców Poznania. Relacja (xρy) (x studiuje na tej samej uczelni co y) jest relacją binarną.

106 Przykłady Elementy logiki 3. X = Z. ((k, n) ρ) (k dzieli n).

107 Przykłady Elementy logiki 3. X = Z. ((k, n) ρ) (k dzieli n). 4. X = N ; xρy x y. 5. X = R; xρy x y jest liczbą wymierną.

108 Zadania Elementy logiki 1. W układzie Oxy zilustrować relacje w zbiorze R: a) {(x, y) : x = y y = x + 2} b) {(x, y) : 1 x 2 + y 2 4} c) {(x, y) : y = x 2 + x + 1} 2. Ile relacji można utworzyć w zbiorze n-elementowym?

109 Rodzaje relacji Ponieważ relacje binarne w X zostały wprowadzone jako podzbiory X 2, więc określona jest suma, iloczyn i uzupełnienie relacji. Można również mówić o zawieraniu się relacji.

110 Rodzaje relacji Ponieważ relacje binarne w X zostały wprowadzone jako podzbiory X 2, więc określona jest suma, iloczyn i uzupełnienie relacji. Można również mówić o zawieraniu się relacji. Definicja Mówimy, że relacja ρ jest: a) zwrotna, gdy x x ρ x;

111 Rodzaje relacji Ponieważ relacje binarne w X zostały wprowadzone jako podzbiory X 2, więc określona jest suma, iloczyn i uzupełnienie relacji. Można również mówić o zawieraniu się relacji. Definicja Mówimy, że relacja ρ jest: a) zwrotna, gdy x x ρ x; b) symetryczna, gdy x, y (x ρ y) (y ρ x);

112 Rodzaje relacji Ponieważ relacje binarne w X zostały wprowadzone jako podzbiory X 2, więc określona jest suma, iloczyn i uzupełnienie relacji. Można również mówić o zawieraniu się relacji. Definicja Mówimy, że relacja ρ jest: a) zwrotna, gdy x x ρ x; b) symetryczna, gdy x, y (x ρ y) (y ρ x); c) przechodnia, gdy x, y, z (x ρ y) ( yρ z) (x ρ z);

113 Rodzaje relacji Ponieważ relacje binarne w X zostały wprowadzone jako podzbiory X 2, więc określona jest suma, iloczyn i uzupełnienie relacji. Można również mówić o zawieraniu się relacji. Definicja Mówimy, że relacja ρ jest: a) zwrotna, gdy x x ρ x; b) symetryczna, gdy x, y (x ρ y) (y ρ x); c) przechodnia, gdy x, y, z (x ρ y) ( yρ z) (x ρ z); d) antysymetryczna, gdy x, y (x ρ y) (y ρ x) (x = y) ;

114 Rodzaje relacji Ponieważ relacje binarne w X zostały wprowadzone jako podzbiory X 2, więc określona jest suma, iloczyn i uzupełnienie relacji. Można również mówić o zawieraniu się relacji. Definicja Mówimy, że relacja ρ jest: a) zwrotna, gdy x x ρ x; b) symetryczna, gdy x, y (x ρ y) (y ρ x); c) przechodnia, gdy x, y, z (x ρ y) ( yρ z) (x ρ z); d) antysymetryczna, gdy x, y (x ρ y) (y ρ x) (x = y) ; e) spójna, gdy x, y (x ρ y) (y ρ x).

115 Zadania Elementy logiki 1. Zbadać własności relacji określonych w zbiorze A = {a, b, c, d}: a) {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b), (b, a)} b) {(a, a), (b, b), (c, c), (d, d), (a, b)} c) {(a, a), (b, b)} 2. Niech ρ będzie relacją w zbiorze R. Jakiej własności geometrycznej obrazu tej relacji na płaszczyźnie odpowiadają następujące własności relacji ρ: a) zwrotność, b) symetria, c) spójność?

116 Rodzaje relacji Definicja Relację, która jest zwrotna, symetryczna i przechodnia, nazywamy relacją równoważności.

117 Rodzaje relacji Definicja Relację, która jest zwrotna, symetryczna i przechodnia, nazywamy relacją równoważności. Relację, która jest zwrotna, antysymetryczna i przechodnia, nazywamy relacją porządkującą.

118 Rodzaje relacji Można mówić również o relacjach między różnymi zbiorami: Definicja Podzbiór iloczynu kartezjańskiego X Y nazywamy dwuczłonową relacją między zbiorami X i Y.

119 Rodzaje relacji Można mówić również o relacjach między różnymi zbiorami: Definicja Podzbiór iloczynu kartezjańskiego X Y nazywamy dwuczłonową relacją między zbiorami X i Y. Zwróćmy uwagę, że wtedy pojęcie funkcji staje się szczególnym przypadkiem pojęcia relacji. Funkcja jest to relacja prawostronnie jednoznaczna.

120 Rodzaje relacji Można mówić również o relacjach między różnymi zbiorami: Definicja Podzbiór iloczynu kartezjańskiego X Y nazywamy dwuczłonową relacją między zbiorami X i Y. Zwróćmy uwagę, że wtedy pojęcie funkcji staje się szczególnym przypadkiem pojęcia relacji. Funkcja jest to relacja prawostronnie jednoznaczna. Relację między zbiorami skończonymi X i Y można zapisywać w postaci tablicy (lub macierzy). Wiersze tej tablicy odpowiadają elementom zbioru X, a kolumny elementom Y. Jeśli elementy x i y są w relacji, to w odpowiednim miejscu tablicy piszemy np. 1 (lub ).

121 Rodzaje relacji Można mówić również o relacjach między różnymi zbiorami: Definicja Podzbiór iloczynu kartezjańskiego X Y nazywamy dwuczłonową relacją między zbiorami X i Y. Zwróćmy uwagę, że wtedy pojęcie funkcji staje się szczególnym przypadkiem pojęcia relacji. Funkcja jest to relacja prawostronnie jednoznaczna. Relację między zbiorami skończonymi X i Y można zapisywać w postaci tablicy (lub macierzy). Wiersze tej tablicy odpowiadają elementom zbioru X, a kolumny elementom Y. Jeśli elementy x i y są w relacji, to w odpowiednim miejscu tablicy piszemy np. 1 (lub ). Relację można też ilustrować przy pomocy grafu; gdy aρb, to rysujemy strzałkę od a do b.

122 Zadanie Elementy logiki Sporządzić tabelki relacji określonych w zbiorze {1, 2, 3, 4, 5}: a) xρy x + y = 6 b) xρy x dzieli y c) xρy x < y

123 Zadanie Elementy logiki Sporządzić tabelki relacji określonych w zbiorze {1, 2, 3, 4, 5}: a) xρy x + y = 6 b) xρy x dzieli y c) xρy x < y a) b)

124 równoważności równoważności klasyfikują elementy zbioru względem jakiejś danej własności, np. równości ułamków, równoległości prostych na płaszczyźnie, podobieństwa trójkątów, równości wieku, równości wzrostu.

125 równoważności równoważności klasyfikują elementy zbioru względem jakiejś danej własności, np. równości ułamków, równoległości prostych na płaszczyźnie, podobieństwa trójkątów, równości wieku, równości wzrostu. równoważności oznaczać będziemy. Tak więc aksjomaty mają postać: R1. x x,

126 równoważności równoważności klasyfikują elementy zbioru względem jakiejś danej własności, np. równości ułamków, równoległości prostych na płaszczyźnie, podobieństwa trójkątów, równości wieku, równości wzrostu. równoważności oznaczać będziemy. Tak więc aksjomaty mają postać: R1. x x, R2. x y y x,

127 równoważności równoważności klasyfikują elementy zbioru względem jakiejś danej własności, np. równości ułamków, równoległości prostych na płaszczyźnie, podobieństwa trójkątów, równości wieku, równości wzrostu. równoważności oznaczać będziemy. Tak więc aksjomaty mają postać: R1. x x, R2. x y y x, R3. x y y z x z.

128 Przykłady relacji równoważności: równość liczb, równość zbiorów równoległość prostych na płaszczyźnie przystawanie figur na płaszczyźnie podobieństwo figur na płaszczyźnie

129 Klasy równoważności Zbiór wszystkich elementów z X równoważnych z x nazywamy klasą równoważności elementu x i oznaczamy [x] : [x] = {y X : x y}.

130 Klasy równoważności Zbiór wszystkich elementów z X równoważnych z x nazywamy klasą równoważności elementu x i oznaczamy [x] : [x] = {y X : x y}. Element x nazywamy reprezentantem klasy [x].

131 Klasy równoważności Zbiór wszystkich elementów z X równoważnych z x nazywamy klasą równoważności elementu x i oznaczamy [x] : [x] = {y X : x y}. Element x nazywamy reprezentantem klasy [x]. Definicja Podziałem zbioru X na klasy nazywamy rodzinę niepustych, parami rozłącznych podzbiorów zbioru X, których suma wynosi X.

132 Twierdzenie (zasada abstrakcji) Niech X będzie zbiorem, a ρ relacją równoważności w X. Wtedy dla dowolnych x, y X : 1) x [y] x y.

133 Twierdzenie (zasada abstrakcji) Niech X będzie zbiorem, a ρ relacją równoważności w X. Wtedy dla dowolnych x, y X : 1) x [y] x y. 2) [x] = [y] x y.

134 Twierdzenie (zasada abstrakcji) Niech X będzie zbiorem, a ρ relacją równoważności w X. Wtedy dla dowolnych x, y X : 1) x [y] x y. 2) [x] = [y] x y. 3) X = [x]. x X

135 Twierdzenie (zasada abstrakcji) Niech X będzie zbiorem, a ρ relacją równoważności w X. Wtedy dla dowolnych x, y X : 1) x [y] x y. 2) [x] = [y] x y. 3) X = [x]. x X 4) [x] [y] [x] = [y].

136 Dowód. 1) x [y] x y wynika z definicji.

137 Dowód. 1) x [y] x y wynika z definicji. 2) [x] = [y] x y.

138 Dowód. 1) x [y] x y wynika z definicji. 2) [x] = [y] x y. ( ) x [x] = [y], więc z 1) x y.

139 Dowód. 1) x [y] x y wynika z definicji. 2) [x] = [y] x y. ( ) x [x] = [y], więc z 1) x y. ( ) jeśli z [x], to z x, x y, więc z y, tj. z [y]. Zatem [x] [y]. Podobnie inkluzja odwrotna.

140 Dowód. 1) x [y] x y wynika z definicji. 2) [x] = [y] x y. ( ) x [x] = [y], więc z 1) x y. ( ) jeśli z [x], to z x, x y, więc z y, tj. z [y]. Zatem [x] [y]. Podobnie inkluzja odwrotna. 3) X = [x]. x X

141 Dowód. 1) x [y] x y wynika z definicji. 2) [x] = [y] x y. ( ) x [x] = [y], więc z 1) x y. ( ) jeśli z [x], to z x, x y, więc z y, tj. z [y]. Zatem [x] [y]. Podobnie inkluzja odwrotna. 3) X = [x]. x X Jeśli x X, to x [x] [x], więc X [x]. Inkluzja x X odwrotna jest oczywista, bo [x] X. x X

142 Dowód. 1) x [y] x y wynika z definicji. 2) [x] = [y] x y. ( ) x [x] = [y], więc z 1) x y. ( ) jeśli z [x], to z x, x y, więc z y, tj. z [y]. Zatem [x] [y]. Podobnie inkluzja odwrotna. 3) X = [x]. x X Jeśli x X, to x [x] [x], więc X [x]. Inkluzja x X odwrotna jest oczywista, bo [x] X. 4) [x] [y] [x] = [y]. x X

143 Dowód. 1) x [y] x y wynika z definicji. 2) [x] = [y] x y. ( ) x [x] = [y], więc z 1) x y. ( ) jeśli z [x], to z x, x y, więc z y, tj. z [y]. Zatem [x] [y]. Podobnie inkluzja odwrotna. 3) X = [x]. x X Jeśli x X, to x [x] [x], więc X [x]. Inkluzja x X x X odwrotna jest oczywista, bo [x] X. 4) [x] [y] [x] = [y]. Niech z [x] [y]. Wtedy z x, z y, więc x y, tj. [x] = [y].

144 Twierdzenie Pomiędzy relacjami równoważności w X a podziałami zbioru X na klasy istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie.

145 Twierdzenie Pomiędzy relacjami równoważności w X a podziałami zbioru X na klasy istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie. Przykład. Niech X = {1, 2, 3}. Rozpatrzmy podziały: K 1 = {{1}, {2}, {3}}, K 2 = {{1, 2}, {3}}, K 3 = {{1, 3}, {2}, }, K 4 = {{2, 3}, {1}}, K 5 = {{1, 2, 3}}. Każdy z tych podziałów wyznacza pewną relację równoważności.

146 Zbiór ilorazowy Definicja Zbiór wszystkich klas równoważności relacji równoważności w zbiorze X nazywamy zbiorem ilorazowym dla relacji i oznaczamy X /. X / := {[x] : x X }.

147 Zbiór ilorazowy Definicja Zbiór wszystkich klas równoważności relacji równoważności w zbiorze X nazywamy zbiorem ilorazowym dla relacji i oznaczamy X /. X / := {[x] : x X }. W naturalny sposób określone jest tzw. przekształcenie kanoniczne: π : X X /, π(x) = [x].

148 Przykłady Elementy logiki 1. Niech X zbiór prostych na płaszczyźnie, l k l k. Klasy równoważności tej relacji to kierunki na płaszczyźnie.

149 Przykłady Elementy logiki 1. Niech X zbiór prostych na płaszczyźnie, l k l k. Klasy równoważności tej relacji to kierunki na płaszczyźnie. 2. Niech X zbiór wektorów zaczepionych na płaszczyźnie, ( p q) ( p i q mają te same współrzędne). Klasy równoważności tej relacji to wektory swobodne.

150 Przykłady Elementy logiki 3. Relacja przystawania modulo m w zbiorze Z: x y mod m m x y.

151 Przykłady Elementy logiki 3. Relacja przystawania modulo m w zbiorze Z: x y mod m m x y. Klasami równoważności tej relacji są zbiory: {..., 2m, m, 0, m, 2m,...}, {..., 2m + 1, m + 1, 1, m + 1, 2m + 1,...},..

152 Przykłady Elementy logiki 3. Relacja przystawania modulo m w zbiorze Z: x y mod m m x y. Klasami równoważności tej relacji są zbiory: {..., 2m, m, 0, m, 2m,...}, {..., 2m + 1, m + 1, 1, m + 1, 2m + 1,...},.. Każda klasa jest więc zbiorem liczb o postaci n + km, k Z. Zbiór ten zawiera liczbę r m (n), będącą resztą z dzielenia n przez m. Te reszty to liczby 0, 1, 2,..., m 1. Tworzą one pełny zbiór reprezentantów klas równoważności {n + km}.

153 porządkujące Relację porządkującą oznaczamy zazwyczaj symbolem. Aksjomaty relacji porządkującej mają postać: P1. x x;

154 porządkujące Relację porządkującą oznaczamy zazwyczaj symbolem. Aksjomaty relacji porządkującej mają postać: P1. x x; P2. x y y x x = y;

155 porządkujące Relację porządkującą oznaczamy zazwyczaj symbolem. Aksjomaty relacji porządkującej mają postać: P1. x x; P2. x y y x x = y; P3. x y y z x z;

156 porządkujące Relację porządkującą oznaczamy zazwyczaj symbolem. Aksjomaty relacji porządkującej mają postać: P1. x x; P2. x y y x x = y; P3. x y y z x z; Parę (X, ) nazywamy zbiorem częściowo uporządkowanym lub po prostu zbiorem uporządkowanym.

157 porządkujące Relację porządkującą oznaczamy zazwyczaj symbolem. Aksjomaty relacji porządkującej mają postać: P1. x x; P2. x y y x x = y; P3. x y y z x z; Parę (X, ) nazywamy zbiorem częściowo uporządkowanym lub po prostu zbiorem uporządkowanym. Jeśli dodatkowo zachodzi: P4. x y y x to relację nazywamy porządkiem liniowym, a parę (X, ) zbiorem uporządkowanym liniowo.

158 porządkujące Relację porządkującą oznaczamy zazwyczaj symbolem. Aksjomaty relacji porządkującej mają postać: P1. x x; P2. x y y x x = y; P3. x y y z x z; Parę (X, ) nazywamy zbiorem częściowo uporządkowanym lub po prostu zbiorem uporządkowanym. Jeśli dodatkowo zachodzi: P4. x y y x to relację nazywamy porządkiem liniowym, a parę (X, ) zbiorem uporządkowanym liniowo. Jeśli x y y x, to piszemy x < y. Zapis x y oznacza, że y x.

159 Przykłady Elementy logiki 1. Niech M będzie dowolnym zbiorem, X = P(M), gdzie P(M) oznacza zbiór wszystkich podzbiorów zbioru M. Określamy: A B A B.

160 Przykłady Elementy logiki 1. Niech M będzie dowolnym zbiorem, X = P(M), gdzie P(M) oznacza zbiór wszystkich podzbiorów zbioru M. Określamy: Jest to porządek, ale nie liniowy. A B A B.

161 Przykłady Elementy logiki 1. Niech M będzie dowolnym zbiorem, X = P(M), gdzie P(M) oznacza zbiór wszystkich podzbiorów zbioru M. Określamy: Jest to porządek, ale nie liniowy. A B A B. 2. X = N; m n m jest mniejsze lub równe n.

162 Przykłady Elementy logiki 1. Niech M będzie dowolnym zbiorem, X = P(M), gdzie P(M) oznacza zbiór wszystkich podzbiorów zbioru M. Określamy: Jest to porządek, ale nie liniowy. A B A B. 2. X = N; m n m jest mniejsze lub równe n. 3. X = N; m n m jest dzielnikiem n.

163 Diagram Hassego porządkujące w zbiorze skończonym można przedstawiać graficznie za pomocą diagramów Hassego. Elementy zbioru X oznacza się punktami i fakt zachodzenia relacji x y oznacza się na diagramie rysując y wyżej niż x i łącząc je ze sobą, o ile między nimi nie leży inny element zbioru.

164 Diagram Hassego porządkujące w zbiorze skończonym można przedstawiać graficznie za pomocą diagramów Hassego. Elementy zbioru X oznacza się punktami i fakt zachodzenia relacji x y oznacza się na diagramie rysując y wyżej niż x i łącząc je ze sobą, o ile między nimi nie leży inny element zbioru. 1. X = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, relacja podzielności

165 2. X = P(M), gdzie M = {1, 2, 3}, relacja inkluzji. {1, 2, 3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} {1} {2} {3}

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi: 1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość

Bardziej szczegółowo

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Elementy logiki

Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej. Elementy logiki Maciej Grzesiak Instytut Matematyki Politechniki Poznańskiej Elementy logiki 1. Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa.

Bardziej szczegółowo

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011 Relacje opracował Maciej Grzesiak 17 października 2011 1 Podstawowe definicje Niech dany będzie zbiór X. X n oznacza n-tą potęgę kartezjańską zbioru X, tzn zbiór X X X = {(x 1, x 2,..., x n ) : x k X dla

Bardziej szczegółowo

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki i teorii mnogości Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki matematycznej

Elementy logiki matematycznej Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w

Bardziej szczegółowo

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie), Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości

Bardziej szczegółowo

Lista 1 (elementy logiki)

Lista 1 (elementy logiki) Podstawy nauczania matematyki 1. Zdanie Lista 1 (elementy logiki) EE I rok W logice zdaniem logicznym nazywamy wyrażenie oznajmujące o którym można powiedzieć że jest prawdziwe lub fałszywe. Zdania z reguły

Bardziej szczegółowo

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne

Bardziej szczegółowo

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi.

Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Logika Jest to zasadniczo powtórka ze szkoły średniej, być może z niektórymi rzeczami nowymi. Często słowu "logika" nadaje się szersze znaczenie niż temu o czym będzie poniżej: np. mówi się "logiczne myślenie"

Bardziej szczegółowo

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0 ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru

Bardziej szczegółowo

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Elementy logiki i teorii zbiorów. 1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych. Pojęcia pierwotne to najprostsze

Bardziej szczegółowo

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań. Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek

Bardziej szczegółowo

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się

W pewnym mieście jeden z jej mieszkańców goli wszystkich tych i tylko tych jej mieszkańców, którzy nie golą się 1 Logika Zdanie w sensie logicznym, to zdanie oznajmujące, o którym da się jednoznacznie powiedzieć, czy jest fałszywe, czy prawdziwe. Zmienna zdaniowa- to symbol, którym zastępujemy dowolne zdanie. Zdania

Bardziej szczegółowo

Matematyka ETId Elementy logiki

Matematyka ETId Elementy logiki Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Zdania proste i złożone

Elementy logiki. Zdania proste i złożone Elementy logiki Zdania proste i złożone. Jaka jest wartość logiczna następujących zdań: (a) jest dzielnikiem 7 lub suma kątów wewnętrznych w trójkącie jest równa 80. (b) Jeśli sin 0 =, to 5 < 5. (c) Równanie

Bardziej szczegółowo

Zbiory, relacje i funkcje

Zbiory, relacje i funkcje Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację

Bardziej szczegółowo

Wstęp do matematyki listy zadań

Wstęp do matematyki listy zadań Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Wstęp do matematyki

Bardziej szczegółowo

1 Podstawowe oznaczenia

1 Podstawowe oznaczenia Poniżej mogą Państwo znaleźć skondensowane wiadomości z wykładu. Należy je traktować jako przegląd pojęć, które pojawiły się na wykładzie. Materiały te nie są w pełni tożsame z tym co pojawia się na wykładzie.

Bardziej szczegółowo

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań

Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?

Bardziej szczegółowo

1 Działania na zbiorach

1 Działania na zbiorach M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 1 1 1 Działania na zbiorach W rozdziale tym przypomnimy podstawowe działania na zbiorach koncentrując się na własnościach tych działań, które będą przydatne w dalszej

Bardziej szczegółowo

Pytania i polecenia podstawowe

Pytania i polecenia podstawowe Pytania i polecenia podstawowe Liczby zespolone a) 2 i 1 + 2i 1 + 2i 3 + 4i, c) 1 i 2 + i a) 4 + 3i (2 i) 2, c) 1 3i a) i 111 (1 + i) 100, c) ( 3 i) 100 Czy dla dowolnych liczb z 1, z 2 C zachodzi równość:

Bardziej szczegółowo

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Indukcja. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Indukcja Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak Charakteryzacja zbioru liczb naturalnych Arytmetyka liczb naturalnych Jedną z najważniejszych teorii matematycznych jest arytmetyka

Bardziej szczegółowo

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów 1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest

Bardziej szczegółowo

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)];

(g) (p q) [(p q) p]; (h) p [( p q) ( p q)]; (i) [p ( p q)]; (j) p [( q q) r]; (k) [(p q) (q p)] (p q); (l) [(p q) (r s)] [(p s) (q r)]; Logika 1. Czy następujące sformułowania są zdaniami: (a) Wszystkie koty w Polsce są czarne. (b) Jak to udowodnić? (c) x + y = 7. (d) Jeśli x 2 = y 2, to x = y. (e) Jeśli x = y, to x 2 = y 2. (f) 2 n +

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek zdań. w(p) = 0 lub p 0 lub [p] = 0. a jeśli jest fałszywe to:

1 Rachunek zdań. w(p) = 0 lub p 0 lub [p] = 0. a jeśli jest fałszywe to: 1 Rachunek zdań Formuły zdaniowe (lub krócej: zdania) w klasycznym rachunku zdań składają się ze zmiennych zdaniowych nazywanych też zdaniami składowymi (oznaczane są zazwyczaj p, q, r,...) oraz operatorów

Bardziej szczegółowo

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne

Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania. Arkadiusz Męcel Uwagi początkowe W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia: 1. Zbiory liczb: R - zbiór liczb rzeczywistych; Q - zbiór

Bardziej szczegółowo

LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe:

LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe: LOGIKA MATEMATYCZNA Poziom podstawowy Zadanie ( pkt.) Która koniunkcja jest prawdziwa: a) Liczba 6 jest niewymierna i 6 jest liczbą dodatnią. b) Liczba 0 jest wymierna i 0 jest najmniejszą liczbą całkowitą.

Bardziej szczegółowo

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY, LICZBY RZECZYWISTE

LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY, LICZBY RZECZYWISTE LOGIKA MATEMATYCZNA, ZBIORY, LICZBY RZECZYWISTE POJĘCIE PIERWOTNE, AKSJOMAT, TWIERDZENIE Pojęcie pierwotne jest to pojęcie, którego nie definiujemy, a mimo to przyjmujemy za oczywiste np.: liczba, punkt,

Bardziej szczegółowo

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.)

XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna (1 września 2016 r. 17 października 2016 r.) XII Olimpiada Matematyczna Juniorów Zawody stopnia pierwszego część korespondencyjna ( września 06 r. 7 października 06 r.) Szkice rozwiązań zadań konkursowych. Liczby wymierne a, b, c spełniają równanie

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Dedukcja Naturalna

LOGIKA Dedukcja Naturalna LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2015 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/10 indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

Zbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem.

Zbiory. Specjalnym zbiorem jest zbiór pusty nie zawierajacy żadnych elementów. Oznaczamy go symbolem. Zbiory Pojęcie zbioru jest w matematyce pojęciem pierwotnym, którego nie definiujemy. Gdy a jest elementem należacym do zbioru A to piszemy a A. Stosujemy również oznaczenie a / A jeżeli (a A). Będziemy

Bardziej szczegółowo

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI

Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Maria Romanowska UDOWODNIJ, ŻE... PRZYKŁADOWE ZADANIA MATURALNE Z MATEMATYKI Matematyka dla liceum ogólnokształcącego i technikum w zakresie podstawowym i rozszerzonym Z E S Z Y T M E T O D Y C Z N Y Miejski

Bardziej szczegółowo

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) Relacje binarne Niech X będzie niepustym zbiorem. Jeśli ϱ X X to mówimy, że ϱ jest relacją w zbiorze X. Zamiast pisać (x, y) ϱ będziemy stosować zapis xϱy. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy zwrotną,

Bardziej szczegółowo

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. 1. Relacje

Matematyka dyskretna. 1. Relacje Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki

Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki 0 1 Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki 2. W następujących dwóch prawach wyróżnić wyrażenia specyficznie matematyczne i wyrażenia z zakresu logiki (do

Bardziej szczegółowo

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz:

Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: Rozważmy funkcję f : X Y. Dla dowolnego zbioru A X określamy jego obraz: f(a) = {f(x); x A} = {y Y : x A f(x) = y}. Dla dowolnego zbioru B Y określamy jego przeciwobraz: f 1 (B) = {x X; f(x) B}. 1 Zadanie.

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna Zadanie. Zapisać, używając symboli i, następujące wyrażenia (a) n!; (b) sin() + sin() sin() +... + sin() sin()... sin(n); (c) ( + )( + /)( + / + /)... ( + / + / +... + /R). Zadanie.

Bardziej szczegółowo

1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3.

1 Logika (3h) 1.1 Funkcje logiczne. 1.2 Kwantyfikatory. 1. Udowodnij prawa logiczne: 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 3. Logika (3h). Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( p q) 3. (p q) ( q p) 4. (p q) ( p q) 5. (p q) (p q) 6. ((p q) r) (p (q r)) 7. (p q) r (p r) (q r) 8. (p q) (q r) (p r). Sprawdź, czy wyrażenia:.

Bardziej szczegółowo

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język

Bardziej szczegółowo

Rozdział 7 Relacje równoważności

Rozdział 7 Relacje równoważności Rozdział 7 Relacje równoważności Pojęcie relacji. Załóżmy, że dany jest niepusty zbiór A oraz własność W, którą mogą mieć niektóre elementy zbioru A. Własność W wyznacza pewien podzbiór W A zbioru A, złożony

Bardziej szczegółowo

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie

9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie 9. Funkcje trygonometryczne. Elementy geometrii: twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie cosinusów, twierdzenie o kącie wpisanym i środkowym, okrąg wpisany i opisany na wielokącie, wielokąty foremne (c.d).

Bardziej szczegółowo

Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Liczby rzeczywiste

Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 90 nr programu DKOS /07 I. Liczby rzeczywiste Klasa pierwsza: I TE 1, I TE 2, 1 TG, 1 TH, I TRA, 1TI Poziom podstawowy 3 godz. x 30 tyg.= 0 nr programu DKOS-5002-7/07 I. Liczby rzeczywiste Liczby naturalne Liczby całkowite. Liczby wymierne. 1 Wykonalność

Bardziej szczegółowo

Strona główna. Strona tytułowa. Spis treści. Strona 1 z 403. Powrót. Full Screen. Zamknij. Koniec

Strona główna. Strona tytułowa. Spis treści. Strona 1 z 403. Powrót. Full Screen. Zamknij. Koniec Strona z 403 Przedmowa Do wydania pierwszego Podręcznik przeznaczony jest dla studentów pierwszego roku studiów w Szkole Głównej Handlowej. Składa się dziesięciu rozdziałów zawierających teorię (definicje,

Bardziej szczegółowo

1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1

1. ZBIORY PORÓWNYWANIE ZBIORÓW. WYKŁAD 1 WYKŁAD 1 1 1. ZBIORY. Pojęcie ZBIORU i NALEŻENIA do niego są pojęciami pierwotnymi(niedefiniowalnymi) w matematyce, reszta matematyki jest zdefiniowana lub opisana za pomocą tych pojęć. Można by, opierając

Bardziej szczegółowo

Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości

Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości Wykład ze Wstępu do Logiki i Teorii Mnogości rok ak. 2016/2017, semestr zimowy Wykład 1 1 Wstęp do Logiki 1.1 Rachunek zdań, podstawowe funktory logiczne 1.1.1 Formuła atomowa; zdanie logiczne definicje

Bardziej szczegółowo

Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z przedmiotu matematyka w zakresie rozszerzonym dla klasy I liceum ogólnokształcącego

Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z przedmiotu matematyka w zakresie rozszerzonym dla klasy I liceum ogólnokształcącego Plan wynikowy z wymaganiami edukacyjnymi z przedmiotu matematyka w zakresie rozszerzonym dla klasy I liceum ogólnokształcącego Temat (rozumiany jako lekcja) Lekcja organizacyjna I. Działania na liczbach

Bardziej szczegółowo

Bukiety matematyczne dla gimnazjum

Bukiety matematyczne dla gimnazjum Bukiety matematyczne dla gimnazjum http://www.mat.uni.torun.pl/~kolka/ 1 X 2002 Bukiet I Dany jest prostokąt o bokach wymiernych a, b, którego obwód O i pole P są całkowite. 1. Sprawdź, że zachodzi równość

Bardziej szczegółowo

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości.

Temperatura w atmosferze (czy innym ośrodku) jako funkcja dł. i szer. geogr. oraz wysokości. Własności Odległości i normy w Będziemy się teraz zajmować funkcjami od zmiennych, tzn. określonymi na (iloczyn kartezja/nski egzemplarzy ). Punkt należący do będziemy oznaczać jako Przykł. Wysokość terenu

Bardziej szczegółowo

Relacje. 1 Iloczyn kartezjański. 2 Własności relacji

Relacje. 1 Iloczyn kartezjański. 2 Własności relacji Relacje 1 Iloczyn kartezjański W poniższych zadaniach litery a, b, c, d oznaczają elementy zbiorów, a litery A, B, C, D oznaczają zbiory. Przypomnijmy definicję pary uporządkowanej (w sensie Kuratowskiego):

Bardziej szczegółowo

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH

BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH WSTĘP Zbiór liczb całkowitych można definiować na różne sposoby. Jednym ze sposobów określania zbioru liczb całkowitych jest

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /10 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2018 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 10/10 Podziały i liczby Stirlinga Liczba Stirlinga dla cykli (często nazywana liczbą Stirlinga pierwszego rodzaju) to liczba permutacji

Bardziej szczegółowo

Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I

Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I Kryteria oceniania z matematyki zakres podstawowy Klasa I zakres Dopuszczający Dostateczny Dobry bardzo dobry Zdanie logiczne ( proste i złożone i forma zdaniowa oraz prawa logiczne dotyczące alternatywy,

Bardziej szczegółowo

Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze

Roger Bacon Def. Def. Def Funktory zdaniotwórcze Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym

Bardziej szczegółowo

Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.

Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin. Logika, II rok Etnolingwistyki UAM, 20 VI 2008. Imię i Nazwisko:.............................. GRUPA: I Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Algebra zbiorów 3 3 Różnica symetryczna 4 4 Iloczyn kartezjański. Kwantyfikatory. 5 5 Kwantyfikatory. 6 6 Relacje 7 7 Relacje

Bardziej szczegółowo

1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią.

1 Logika. 1. Udowodnij prawa logiczne: 3. (p q) (p q) 2. (p q) ( q p) 2. Sprawdź, czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią. Logika. Udowodnij prawa logiczne:. (p q) ( p q). (p q) ( q p) 3. (p q) (p q). Sprawdź czy wyrażenie ((p q) r) (p (q r)) jest tautologią. 3. Zad 3. Sprawdź czy zdanie: Jeżeli liczba a dzieli się przez i

Bardziej szczegółowo

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia.

1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. 1. Elementy logiki i algebry zbiorów 1.1. Rachunek zdań: alternatywa, koniunkcja, implikacja i równoważność zdań oraz ich zaprzeczenia. Funkcje zdaniowe. Zdania z kwantyfikatorami oraz ich zaprzeczenia.

Bardziej szczegółowo

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Liczby zespolone. x + 2 = 0. Liczby zespolone 1 Wiadomości wstępne Rozważmy równanie wielomianowe postaci x + 2 = 0. Współczynniki wielomianu stojącego po lewej stronie są liczbami całkowitymi i jedyny pierwiastek x = 2 jest liczbą

Bardziej szczegółowo

Elementy logiki (4 godz.)

Elementy logiki (4 godz.) Elementy logiki (4 godz.) Spójniki zdaniotwórcze, prawa de Morgana. Wyrażenie implikacji za pomocą alternatywy i negacji, zaprzeczenie implikacji. Prawo kontrapozycji. Podstawowe prawa rachunku zdań. Uczestnik

Bardziej szczegółowo

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15

Matematyka dyskretna. Andrzej Łachwa, UJ, /15 Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 3/15 Indukcja matematyczna Poprawność indukcji matematycznej wynika z dobrego uporządkowania liczb naturalnych, czyli z następującej

Bardziej szczegółowo

1 Funktory i kwantyfikatory

1 Funktory i kwantyfikatory Logika, relacje v07 egzamin mgr inf niestacj 1 1 Funktory i kwantyfikatory x X x X Φ(x) dla każdego x X (= dla wszystkich x) zachodzi formuła Φ(x) Φ(x) istnieje x X takie, że (= dla pewnego x) zachodzi

Bardziej szczegółowo

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny:

Przykładami ciągów, które Czytelnik dobrze zna (a jeśli nie, to niniejszym poznaje), jest ciąg arytmetyczny: Podstawowe definicje Definicja ciągu Ciągiem nazywamy funkcję na zbiorze liczb naturalnych, tzn. przyporządkowanie każdej liczbie naturalnej jakiejś liczby rzeczywistej. (Mówimy wtedy o ciągu o wyrazach

Bardziej szczegółowo

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem

Bardziej szczegółowo

Indukcja matematyczna

Indukcja matematyczna Indukcja matematyczna 1 Zasada indukcji Rozpatrzmy najpierw następujący przykład. Przykład 1 Oblicz sumę 1 + + 5 +... + (n 1). Dyskusja. Widzimy że dla n = 1 ostatnim składnikiem powyższej sumy jest n

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Arytmetyka liczb całkowitych Wykład 1 Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych Z = {0, ±1, ±2,...}. Zakładamy, że czytelnik zna relację

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.

Bardziej szczegółowo

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów)

LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) LI Olimpiada Matematyczna Rozwiązania zadań konkursowych zawodów stopnia trzeciego 3 kwietnia 2000 r. (pierwszy dzień zawodów) Zadanie 1. Dana jest liczba całkowita n 2. Wyznaczyć liczbę rozwiązań (x 1,x

Bardziej szczegółowo

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia

Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Podstawy logiki i teorii zbiorów Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Kwantyfikatory. 5 6 Relacje 7

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości

Bardziej szczegółowo

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć

Bardziej szczegółowo

Kongruencje pierwsze kroki

Kongruencje pierwsze kroki Kongruencje wykład 1 Definicja Niech n będzie dodatnią liczbą całkowitą, natomiast a i b dowolnymi liczbami całkowitymi. Liczby a i b nazywamy przystającymi (kongruentnymi) modulo n i piszemy a b (mod

Bardziej szczegółowo

Roger Bacon Def. Def. Def. Funktory zdaniotwórcze

Roger Bacon Def. Def. Def. Funktory zdaniotwórcze Kto lekceważy osiągnięcia matematyki przynosi szkodę całej nauce, ponieważ ten, kto nie zna matematyki, nie może poznad innych nauk ścisłych i nie może poznad świata." Roger Bacon Def. Zdaniem logicznym

Bardziej szczegółowo

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia

Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Zdania logiczne i tautologie c.d. 2 3 Algebra zbiorów 3 4 Różnica symetryczna 4 5 Iloczyn kartezjański 5 6 Kwantyfikatory.

Bardziej szczegółowo

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A

0. ELEMENTY LOGIKI. ALGEBRA BOOLE A WYKŁAD 5() ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań Matematyka zbudowana jest z pierwotnych twierdzeń (nazywamy

Bardziej szczegółowo

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1.1. NWD, NWW i algorytm Euklidesa. 1. Wykład 1 Twierdzenie 1.1 (o dzieleniu z resztą). Niech a, b Z, b 0. Wówczas istnieje dokładnie jedna para liczb całkowitych q, r Z taka, że a = qb + r oraz 0 r< b.

Bardziej szczegółowo

1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne

1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne 1 Rachunek zdań, podstawowe funk tory logiczne 1.1 Zapisz symbolicznie następujące stwierdzenia i Jeśli z tego, że Paweł gra w palanta wynika to, że Robert jeździ na rowerze, to z tego, że Robert nie gra

Bardziej szczegółowo

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne

Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Dlaczego nie wystarczają liczby wymierne Analiza zajmuje się problemami, w których pojawia się przejście graniczne. Przykładami takich problemów w matematyce bądź fizyce mogą być: 1. Pojęcie prędkości

Bardziej szczegółowo

Dalszy ciąg rachunku zdań

Dalszy ciąg rachunku zdań Dalszy ciąg rachunku zdań Wszystkie możliwe funktory jednoargumentowe p f 1 f 2 f 3 f 4 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 Wszystkie możliwe funktory dwuargumentowe p q f 1 f 2 f 3 f 4 f 5 f 6 f 7 f 8 f 9 f 10 f 11 f

Bardziej szczegółowo

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460

WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT1460 WSTĘP DO ANALIZY I ALGEBRY, MAT460 Listy zadań Literatura polecana. M.Gewert, Z.Skoczylas Wstęp do analizy i algebry. Teoria,przykłady,zadania.,Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 04.. D.Zakrzewska, M.Zakrzewski,

Bardziej szczegółowo

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 2 października Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października / 33

Wykład 1. Informatyka Stosowana. 2 października Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października / 33 Wykład 1 Informatyka Stosowana 2 października 2017 Informatyka Stosowana Wykład 1 2 października 2017 1 / 33 Wykłady : 45h (w semestrze zimowym) (Egzamin) 30h (w semetrze letnim) (Egzamin) 3h lekcyjne

Bardziej szczegółowo

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym

Przykładowe rozwiązania zadań. Próbnej Matury 2014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Zadania rozwiązali: Przykładowe rozwiązania zadań Próbnej Matury 014 z matematyki na poziomie rozszerzonym Małgorzata Zygora-nauczyciel matematyki w II Liceum Ogólnokształcącym w Inowrocławiu Mariusz Walkowiak-nauczyciel

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY PIERWSZEJ LICEUM - podstawa I. ELEMENTY LOGIKI dopuszczającą dostateczną potrafi odróżnić zdanie logiczne od innej wypowiedzi; umie określić wartość logiczną

Bardziej szczegółowo

Rachunek zdań i predykatów

Rachunek zdań i predykatów Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)

Bardziej szczegółowo

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.

Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki

Bardziej szczegółowo

Wstęp do matematyki Piotr Jędrzejewicz UMK Toruń 2014

Wstęp do matematyki Piotr Jędrzejewicz UMK Toruń 2014 Projekt pn. Wzmocnienie potencjału dydaktycznego UMK w Toruniu w dziedzinach matematyczno-przyrodniczych realizowany w ramach Poddziałania 4.1.1 Programu Operacyjnego Kapitał Ludzki Wstęp do matematyki

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE III GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który

Bardziej szczegółowo

Definicja i własności wartości bezwzględnej.

Definicja i własności wartości bezwzględnej. Równania i nierówności z wartością bezwzględną. Rozwiązywanie układów dwóch (trzech) równań z dwiema (trzema) niewiadomymi. Układy równań liniowych z parametrem, analiza rozwiązań. Definicja i własności

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY PIERWSZEJ. zakres podstawowy

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY PIERWSZEJ. zakres podstawowy WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY PIERWSZEJ zakres podstawowy 1. Wprowadzenie do matematyki. Pojęcia podstawowe. Stopień Wiadomości i umiejętności potrafi odróżnić

Bardziej szczegółowo

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13

Jarosław Wróblewski Analiza Matematyczna 1A, zima 2012/13 35. O zdaniu 1 T (n) udowodniono, że prawdziwe jest T (1), oraz że dla dowolnego n 6 zachodzi implikacja T (n) T (n+2). Czy można stąd wnioskować, że a) prawdziwe jest T (10), b) prawdziwe jest T (11),

Bardziej szczegółowo

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie

Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie 3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa

Bardziej szczegółowo

Przykładowe zadania z teorii liczb

Przykładowe zadania z teorii liczb Przykładowe zadania z teorii liczb I. Podzielność liczb całkowitych. Liczba a = 346 przy dzieleniu przez pewną liczbę dodatnią całkowitą b daje iloraz k = 85 i resztę r. Znaleźć dzielnik b oraz resztę

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO OTRZYMANIA PRZEZ UCZNIA POSZCZEGÓLNYCH ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI (zakres podstawowy) Rok szkolny 2017/2018 - klasa 1a, 1b, 1c 1, Wprowadzenie

Bardziej szczegółowo

Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0

Wykład I. Literatura. Oznaczenia. ot(x 0 ) zbiór wszystkich otoczeń punktu x 0 Wykład I Literatura Podręczniki 1. G. M. Fitherholz Rachunek różniczkowy i całkowy 2. W. Żakowski Matematyka tom I Zbiory zadań 1. W. Krysicki, L. Włodarski Analiza matematyczna w zadaniach tom I i II

Bardziej szczegółowo