Strategie optymalne i prawie optymalne w dyskretnym stochastycznym programowaniu dynamicznym
|
|
- Sabina Paluch
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zarządzanie i Finanse Journal of Managemen and Finance Vol. 3, No. 4/2/205 Tadeusz Trzaskalik Sraegie opymalne i prawie opymalne w dyskrenym sochasycznym programowaniu dynamicznym Wsęp W niniejszym arykule zajmujemy się wieloeapowymi, dyskrenymi procesami decyzyjnymi. Rozparujemy procesy podzielone na skończoną liczbę eapów. Decyzja nie jes podejmowana jednorazowo, lecz wielokronie, na począku każdego eapu. W zależności od dokonanych wyborów skuki wcześniejszych decyzji ograniczają lub przeciwnie rozszerzają możliwości decyzyjne w nasępnych eapach. Dynamikę rozparywanych procesów można przedsawić nasępująco [Trzaskalik, 986, 990, 998]. Na począku każdego z eapów proces może się znajdować w pewnym zbiorze sanów dopuszczalnych. Decyden podejmuje decyzję dopuszczalną, co skukuje przejściem procesu do sanu począkowego nasępnego eapu. W procesach deerminisycznych przejście o określone jes poprzez funkcję przejścia. Ciąg podejmowanych decyzji oceniany jes całościowo za pomocą wieloeapowej funkcji kryerium, będącej sumą kryeriów eapowych, charakeryzujących wybory dokonane w kolejnych eapach. Kluczową rolę w zarządzaniu wieloeapowym procesem decyzyjnym odgrywa pojęcie sraegii. Jes o funkcja, kóra każdemu dopuszczalnemu procesu przyporządkowuje decyzję dopuszczalną. Opymalne serowanie wieloeapowym, dyskrenym procesem decyzyjnym wymaga znalezienia sraegii opymalnej, dla kórej wieloeapowa funkcja kryerium przyjmuje w zależności od charakeru rozparywanego problemu warość maksymalną (ak jak w rozparywanych w dalszej części niniejszej pracy procesach) lub minimalną. Do jej znalezienia sosujemy meodę programowania dynamicznego, wykorzysującą równania opymalności Bellmana [Bellman, 957; Bellman, Dreyfus, 967]. Niejednokronie jednoznaczne opisanie dynamiki procesu oraz oszacowanie skuków podejmowanych decyzji nie jes jednak możliwe. W wielu przypadkach saramy się uzyskać częściową wiedzę pozwalającą na oszacowanie rozkładów prawdopodobieńswa, opisujących Prof. dr hab., Kaedra Badań Operacyjnych, Wydział Informayki i Komunikacji, Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach, ul. Maja 50, Kaowice, adeusz. rzaskalik@ue.kaowice.pl
2 288 Tadeusz Trzaskalik zachowanie się procesu w zależności od podejmowanych decyzji, oraz warości kryeriów eapowych związanych z ymi zmianami. Podejście o nazwane jes podejściem sochasycznym. Oceniając rozparywane sraegie, wykorzysujemy u pojęcie warości oczekiwanej sraegii, związane ze znanym decydenowi rozkładem prawdopodobieńswa w zbiorze sanów począkowych. Do określenia sraegii opymalnej ponownie wykorzysujemy zasadę opymalności Bellmana, ym razem w wersji sochasycznej [Trzaskalik, 986; Trzaskalik, Do Thien Hoa, 999; Trzaskalik, Siarz, 2007; Trzaskalik, Nowak, 202]. Dla decydena ineresująca może być jednak nie ylko informacja o ym, jaką posać ma sraegia opymalna, ale również znalezienie kolejnych sraegii, dla kórych warość oczekiwana jes bliska warości opymalnej, z dokładnością określoną przez decydena. Pojawia się pyanie o o, czy i w jaki sposób sraegie e mogą być znajdowane. Zagadnienie o w przypadku zadań deerminisycznych podejmowane było we wcześniejszych pracach. Proponowane rozwiązania doyczyły jednak poszukiwania odpowiednich realizacji procesu, kóre w przypadku zagadnień deerminisycznych mogły być wyznaczone ze względu na charaker ych procesów [Elmaghraby, 970; Trzaskalik 990]. W przypadku zadań sochasycznych akie podejście nie jes możliwe. Proponowana w niniejszej pracy meoda polega na znalezieniu zbioru sraegii opymalnych, a nasępnie rozszerzaniu ego zbioru o kolejne sraegie prawie opymalne, kóre mieszczą się w obszarze zaineresowań decydena. Nowe sraegie generujemy poprzez zmianę decyzji w jednym sanie dla sraegii zaakcepowanej wcześniej. Dla każdej nowo określonej sraegii sprawdzamy, czy nie była już wcześniej analizowana, a jeżeli nie, o wyliczamy jej warość oczekiwaną i sprawdzamy, czy mieści się ona w obszarze zaineresowań decydena. Proponowany dalej algorym porządkuje o posępowanie. Jego szczegóły przedsawiono w dalszej części opracowania. Zaproponowany sposób posępowania wzorowany jes na meodzie poszukiwania prawie opymalnych sraegii w analizie drzewa decyzyjnego, zaproponowanej w pracy [Nowak, 204]. Wcześniej podobne podejście, polegające na analizowaniu baz sąsiednich w sosunku do bazy akualnie rozparywanej, zasosował R. Seuer w wielokryerialnej meodzie programowania liniowego ADBASE, kóra pozwala na znalezienie wszyskich baz sprawnych [Seuer, 2003].
3 Sraegie opymalne i prawie opymalne 289 Celem niniejszego arykułu jes prezenacja meody poszukiwania rozwiązań prawie opymalnych, polegającej na generowaniu kolejnych sraegii przez zmianę decyzji w jednym sanie. Pozwala ona na ograniczenie przeglądu zbioru wszyskich sraegii. Arykuł składa się z 4 części. W części przedsawione zosały: wykorzysywana dalej noacja, meoda obliczenia warości oczekiwanej dla dowolnej sraegii oraz równania opymalności, pozwalające na znalezienie w oparciu o zasadę opymalności Bellmana sraegii opymalnej. W części 2 zdefiniowano pojęcie sraegii prawie opymalnej i przedsawiono proponowany algorym, pozwalający na wyznaczenie zbioru sraegii prawie opymalnych z zadaną przez decydena dokładnością. Część 3 ma charaker ilusracyjny. Przedsawiono w niej szczegółowo przykład liczbowy, ilusrujący działanie algorymu. W części 4 znajduje się dyskusja i wnioski. Praca wykonana w ramach projeku badawczego NCN DEC- 203//B/HS4/047.. Sraegia opymalna Wykorzysamy nasępujące oznaczenia [Trzaskalik, 986]: T liczba eapów rozparywanego procesu decyzyjnego, y san procesu na począku eapu (=,,T), Y skończony zbiór sanów procesu na począku eapu, YT+ skończony zbiór sanów końcowych procesu, x san dopuszczalny na począku eapu, X(y) skończony zbiór sanów dopuszczalnych na począku eapu, jeżeli proces na począku ego eapu znajdował się w sanie y Y, F(y+ y, x) warość kryerium eapowego dla eapu przy przejściu od sanu y do sanu y+, gdy podjęa była decyzja x X(y), P(y+ y, x) prawdopodobieńswo przejścia procesu w eapie ze sanu y do sanu y+, gdy podjęa zosała decyzja x X(y). P(y) rozkład prawdopodobieńswa dla sanów począkowych y Y. Zachodzi związek: ( ) (, ) =, y x X y P y+ y x T Y () y y + Y + gdzie: {x} sraegia, czyli funkcja, kóra każdemu sanowi y Y przyporządkowuje jednoznacznie decyzję x X(y), {X} zbiór wszyskich sraegii rozparywanego procesu,
4 290 Tadeusz Trzaskalik { x,t } sraegia skrócona, obejmująca eapy od do T,. Załóżmy, że wybraliśmy pewną sraegię { x } { X}. Oczekiwaną warość realizacji procesu dla sraegii skróconej x } obliczamy nasępująco: { T,T G ( y,{ x }) = F ( y y, x ) P ( y y, x T T T, T T T + T T T T + y + T YT + Oczekiwaną warość realizacji procesu dla sraegii skróconej x }, T T ) {,T gdy proces na począku eapu znajdował się w sanie y Y obliczamy ze wzoru: G ( y,{ x }) =,T ( F ( y+ y, x ) + G+ ( y+,{ x })) P ( +, T y+ y + Y + y, x ) Oczekiwaną warość realizacji procesu dla usalonej sraegii {x} obliczamy ze wzoru: { x} = G ( y,{ x}) P ( y y Y (2) (3) G ) (4) Wykorzysując zasadę opymalności Bellmana [Bellman, 997], określamy sraegię opymalną. Algorym. Dla każdego sanu yt YT obliczamy warości opymalne G * T ( yt ) = max FT ( yt + yt, xt ) PT ( yt + xt X ( y ) yt + YT + i znajdujemy decyzję x * (y), dla kórej o maksimum jes osiągnięe. Decyzja a jes częścią konsruowanej przez nas sraegii opymalnej. 2. Dla eapu, T, i każdego sanu y Y obliczamy warości opymalne G * y ( ) = + * + + y + T, x max ( F ( y y, x ) + G ( y )) P ( y y, x ) x X ( y ) y+ Y + i znajdujemy decyzję x * (y), dla kórej o maksimum jes osiągnięe. Decyzja a jes częścią konsruowanej przez nas sraegii opymalnej. 3. Opymalną oczekiwaną warość realizacji procesu obliczamy ze wzoru: * * * { x } = G ( y,{ x }) P ( y y Y T ) (5) (6) G ) (7)
5 Sraegie opymalne i prawie opymalne Wyznaczanie sraegii prawie opymalnych Sraegię {x p } nazywamy sraegią prawie opymalną, jeżeli jej oczekiwana warość różni się od oczekiwanej warości sraegii opymalnej {x*} co najwyżej o zadaną warość ε, czyli G x } G{ x } ε (8) { * p Oznacza o, że decydena ineresują sraegie, dla kórych przy czym G{x p } Z (9) Z = G x } ε (0) { * Przypuścimy, że decyden zaineresowany jes znalezieniem sraegii prawie opymalnych i określił warość ε. Przyjmujemy nasępujące oznaczenia: LS lisa sraegii opymalnych i prawie opymalnych, LSB lisa sraegii do przebadania, czyli akich, kóre mogą być modyfikowane w celu wyznaczenia kolejnych sraegii prawie opymalnych. LSC lisa sraegii rozparywanych w rakcie działania algorymu. Algorym 2. Przyjmij: LS:=, LSB:=, LSC =. 2. Wykorzysując Algorym, wyznacz zbiór sraegii {X*}, dla kórych rozparywane kryerium osiąga warość opymalną. 3. Zapisz sraegie ze zbioru {X*} do zbiorów LS, LSB i LSC: LS:= LSC {X*}. LSB := LBS {X*}. LSC:= LSC {X*}. 4. Jeżeli LSB =, przejdź do kroku. 5. Wybierz kolejną sraegię {x} ze zbioru LSB i usuń ją z ego zbioru: LSB:= LSB \ {x}. 6. Wyznacz wszyskie sraegie zmodyfikowane, kóre różnią się od sraegii {x} decyzją podejmowaną w jednym sanie i zapisz je w zbiorze M{x}. 7. Sprawdź, czy w zbiorze M{x} znajdują się sraegie, kóre są również w zbiorach LS, LSB oraz LSC. Usuń powarzające się sraegie ze zbioru M{x}. M{x} = M{x} \ (M{x} LS) \ (M{x} LSB) \ (M{x} LSC) 8. Sprawdź, czy M{x}. Jeżeli nie, przejdź do kroku Dla kolejnych sraegii {x m } M{x}:
6 292 Tadeusz Trzaskalik a) wykorzysując wzory (2) i (3), oblicz warość oczekiwaną rozparywanej sraegii {x m }, b) zapisz sraegię {x m } w zbiorze LSC: LSC:= LSC {x m }, c) jeżeli warość oczekiwana rozparywanej sraegii jes nie niższa niż Z o zapisz sraegię {x m } do zbiorów LS oraz LSB: LS:= LS {x n }, LSB:= LSB {x n }. 0. Przejdź do kroku 4.. Koniec procedury. 3. Ilusracja działania Algorymu 2 Rozparujemy rzyeapowy proces decyzyjny. Zbiory sanów na począku kolejnych eapów są nasępujące: Y = {,2} Y2 = {3,4} Y3 = {5,6} Zbiór sanów końcowych procesu ma posać: Y4 = {7,8} Zbiory decyzji dopuszczalnych są nasępujące: X() = {A,B} X(2) = {C,D} X2(3) = {E,F} X2(4) = {G,H} X3(5) = {I,J} X3{6} = {K,L} Graf procesu przedsawiony jes na rysunku. Rysunek. Graf procesu Eap Eap 2 Eap 3 A E I B 3 F 5 J 7 C G K 2 D 4 H 6 L 8 Źródło: Opracowanie własne.
7 Sraegie opymalne i prawie opymalne 293 Przykładowo, jeżeli proces znajduje się w sanie i podjęa zosała decyzja A, wedy prawdopodobieńswo przejścia procesu do sanu 3 wynosi P(3,A), naomias prawdopodobieńswo przejścia do sanu 4 jes równe P(4,A). Odpowiadające ym syuacjom warości funkcji kryerium wynoszą odpowiednio F(3,A) oraz F(4,A). Wszyskie warości prawdopodobieńsw przejść oraz eapowych funkcji korzyści dane są w ablicy. Tablica. Warości prawdopodobieńsw przejść i funkcji korzyści Eap (y+ y,x) P( ) F( ) Eap (y+ y,x) P( ) F( ) (3,A) 0,4 5 2 (5 4,G) 0,5 5 (4,A) 0,6 7 2 (6 4,G) 0,5 8 (3,B) 0,7 8 2 (5 4,H) 0,3 3 (4,B) 0,3 9 2 (6 4,H) 0,7 22 (3 2,C) 0,4 5 3 (7 5,I) 0,2 30 (4 2,C) 0,6 7 3 (8 5,I) 0,8 2 (3 2,D) 0,7 8 3 (7 5,J) 0,9 22 (4 2,D) 0,3 9 3 (8 5,J) 0, 28 2 (5 3,E) 0,5 5 3 (7 6,K) 0, (6 3,E) 0,5 8 3 (8 6,K) 0,8 2 2 (5 3,F) 0,3 3 3 (7 6,L) 0, (6 3,F) 0, (8 6,L) 0, 28 Źródło: Opracowanie własne. Ze względu na niewielkie rozmiary ego ilusracyjnego zadania isniejące sraegie możemy dla lepszej przejrzysości wypisać i ponumerować od do 64. Numerację ę przedsawia ablica 2. Tablica 2. Lisa sraegii Nr Decyzje Nr Decyzje Nr Decyzje Nr Decyzje (A,C,E,G.I,K) 7 (A,D,E,G.I,K) 33 (B,C,E,G.I,K) 49 (B,D,E,G.I,K) 2 (A,C,E,G.I,L) 8 (A,D,E,G.I,L) 34 (B,C,E,G.I,K) 50 (B,D,E,G.I,L) 3 (A,C,E,G.J,K) 9 (A,D,E,G.J,K) 35 (B,C,E,G.J,K) 5 (B,D,E,G.J,K) 4 (A,C,E,G.J,L) 20 (A,D,E,G.J,L) 36 (B,C,E,G.J,L) 52 (B,D,E,G.J,L) 5 (A,C,E,H.I,K) 2 (A,D,E,H.I,K) 37 (B,C,E,H.I,K) 53 (B,D,E,H.I,K) 6 (A,C,E,H.I,L) 22 (A,D,E,H.I,L) 38 (B,C,E,H.I,L) 54 (B,D,E,H.I,L) 7 (A,C,E,H.J,K) 23 (A,D,E,H.J,K) 39 (B,C,E,H.J,K) 55 (B,D,E,H.J,K)
8 294 Tadeusz Trzaskalik Nr Decyzje Nr Decyzje Nr Decyzje Nr Decyzje 8 (A,C,E,H.J,L) 24 (A,D,E,H.J,L) 40 (B,C,E,H.J,L) 56 (B,D,E,H.J,L) 9 (A,C,F,G.I,K) 25 (A,D,F,G.I,K) 4 (B,C,F,G.I,K) 57 (B,D,F,G.I,K) 0 (A,C,F,G.I,L) 26 (A,D,F,G.I,L) 42 (B,C,F,G.I,L) 58 (B,D,F,G.I,L) (A,C,F,G.J,K) 27 (A,D,F,G.J,K) 43 (B,C,F,G.J,K) 59 (B,D,F,G.J,K) 2 (A,C,F,G.J,L) 28 (A,D,F,G.J,L) 44 (B,C,F,G.J,L) 60 (B,D,F,G.J,L) 3 (A,C,F,H.I,K) 29 (A,D,F,H.I,K) 45 (B,C,F,H.I,K) 6 (B,D,F,H.I,K) 4 (A,C,F,H.I,L) 30 (A,D,F,H.I,L) 46 (B,C,F,H.I,L) 62 (B,D,F,H.I,L) 5 (A,C,F,H.J,K) 3 (A,D,F,H.J,K) 47 (B,C,F,H.J,K) 63 (B,D,F,H.J,K) 6 (A,C,F,H.J,L) 32 (A,D,F,H.J,L) 48 (B,C,F,H.J,L) 64 (B,D,F,H.J,L) Źródło: Opracowanie własne. Przypuśćmy, że decyden określił, że ineresują go sraegie opymalne oraz prawie opymalne, dla kórych oczekiwana warość może być mniejsza od oczekiwanej warości opymalnej nie więcej niż o,5%. Wykorzysując Algorym 2, wyznaczamy sraegie opymalne i prawie opymalne w nasępujący sposób:. Przyjmujemy: LS:=, LSB:=, LSC :=. 2. Wykorzysując Algorym, znajdujemy zbiór sraegii opymalnych: {X * } = {{x 64 }} przy czym {x 64 } = (B, D, F, H, J, L) (parz ablica ). Mamy G*{x 64 } = Ponieważ warości oczekiwane dla sraegii prawie opymalnych nie mogą się odchylać od oczekiwanej warości opymalnej więcej niż o,5%, mamy: ε= 0,903, Z = 59, Dodajemy sraegię opymalną do zbiorów LS i LSB. Mamy: LS := LS {X * } = { {x 64 } } LSB := LSB {X * } = { {x 64 } }. 4. Ponieważ LSB przechodzimy do kroku Wybieramy sraegię {x 64 } ze zbioru LSB, usuwamy ją z ego zbioru i dodajemy do zbioru LSC: LSB:= LSB \ {x 64 } = LSC = LSC {x 64 } = { {x 64 } }. 6. Określamy wszyskie sraegie zmodyfikowane, różniące się od sraegii {x 64 } decyzją w jednym sanie. Orzymujemy nasępujące sraegie: {x 63 } = {B, D, F, H, J, K} {x 56 } = {B, D, E, H, J, L}
9 Sraegie opymalne i prawie opymalne 295 {x 62 } = {B, D, F, H, I, L} {x 48 } = {B, C, F, H, J, L} {x 60 } = {B, D, F, G, J, L} {x 32 } = {A, D, F, H, J, L} i umieszczamy je w zbiorze M{x 64 }: M{x 64 } := { {x 63 }, {x 62 }, {x 60 }, {x 56 }, {x 48 }, {x 32 } }. 7. Sprawdzamy, czy zbiór M{x 64 } zawiera sraegie, kóre znajdują się również w zbiorach LS, LSB i LSC. Orzymujemy: M{x 64 } LS = M{x 64 } LSB = M{x 64 } LSC = sąd M{x 64 } \ (M{x 64 } LS) \ (M{x 64 } LSB) \ (M{x 64 } LSC) = M{x 64 } 8. Mamy M{x 64 }. 9. Rozparujemy kolejne sraegie {x m } ze zbioru M{x 64 }. Sraegia {x 63 } a) obliczamy G{x 63 } = 55,3 b) dodajemy sraegię {x 63 } do zbioru LSC: LSC := LSC {x 63 } = {{x 64 }, {x 63 } } c) ponieważ G{x 63 } < 59,297, sraegii {x 63 } nie dodajemy ani do zbioru LS, ani do zbioru LSB. Sraegia{x 62 } a) obliczamy G{x 62 } = 58, b) dodajemy sraegię {x 62 } do zbioru LSC: LSC := LSC {x 62 } = { {x 64 }, {x 63 }, {x 62 } } c) ponieważ G{x 62 } < 59,297, sraegii {x 62 } nie dodajemy ani do zbioru LS, ani do zbioru LSB. Sraegia{x 60 } a) obliczamy G{x 60 } = 59,36 b) dodajemy sraegię {x 60 } do zbioru LSC: LSC := LSC {x 60 } = { {x 64 }, {x 63 }, {x 62 }, {x 60 } } c) ponieważ G{x 63 } > 59,297, sraegię {x 60 } dodajemy zarówno do zbioru LS, jak i do zbioru LSB: LS := LS {x 60 } = { {x 64 }, {x 60 } } LSB := LSB {x 60 } = { {x 60 } } Sraegia{x 56 } a) obliczamy G{x 56 } = 58,24 b) dodajemy sraegię {x 56 } do zbioru LSC: LSC := LSC {x 56 } = { {x 64 }, {x 63 }, {x 62 }, {x 60 }, {x 56 } }
10 296 Tadeusz Trzaskalik c) ponieważ G{x 56 } < 59,297, sraegii {x 56 } nie dodajemy ani do zbioru LS, ani do zbioru LSB. Sraegia{x 48 } a) obliczamy G{x 48 } = 58,94 b) dodajemy sraegię {x 48 } do zbioru LSC: LSC := LSC {x 48 } = { {x 64 }, {x 63 }, {x 62 }, {x 60 }, {x 56 } {x 48 } } c) ponieważ G{x 56 } < 59,297, sraegii {x 56 } nie dodajemy ani do zbioru LS, ani do zbioru LSB: Sraegia{x 32 } a) obliczamy G{x 32 } = 59,36 b) dodajemy sraegię {x 32 } do zbioru LSC: LSC := LSC {x 32 } = { {x 64 }, {x 63 }, {x 62 }, {x 60 }, {x 56 } {x 48 } {x 32 } } c) ponieważ G{x 32 } > 59,297, sraegię {x 32 }.dodajemy zarówno do zbioru LS, jak i do zbioru LSB: LS := LS {x 32 } = {{x 64 }, {x 32 }, {x 60 }} LSB := LSB {x 32 } = {{x 60 }, {x 32 } } 0. Przechodzimy do kroku Ponieważ LSB, przechodzimy do kroku Ze zbioru LSB wybieramy sraegię {x 60 } = (B, D, F, G, J, L), usuwamy ją z ego zbioru: LSB:= LSB \ {x 60 } = { {x 32 } 6. Określamy wszyskie sraegie zmodyfikowane, różniące się od sraegii {x 60 } decyzją w jednym sanie. Orzymujemy nasępujące sraegie: {x 59 } = {B, D, F, G, J, K} {x 52 } = (B, D, E, G, J, L), {x 58 } = (B, D, F, G, I, L), {x 44 } = (B, C, F, G, J, L), {x 64 } = (B, D, F, H, J, L), } {x 28 } = (A, D, F, G, J, L), i umieszczamy je w zbiorze M{x 60 }: M{x 60 } := { {x 59 }, {x 58 }, {x 64 }, {x 52 }, {x 44 }, {x 28 } }. 7. Sprawdzamy, czy zbiór M{x 60 } zawiera sraegie, kóre znajdują się również w zbiorach LS, LSB i LSC. Orzymujemy: M{x 60 } LS = M{x 60 } LSB = M{x 60 } LSC = {x 64 }, sąd M{x 60 } := M{x 60 } \ (M{x 60 } LS) \ (M{x 60 } LSB) \ (M{x 60 } LSC) =. { {x 59 }, {x 58 }, {x 52 }, {x 44 }, {x 28 } }.. 8. Mamy M{x 60 }.
11 Sraegie opymalne i prawie opymalne Rozparujemy kolejne sraegie {x m } ze zbioru M{x 60 }. Ponieważ G{x 59 } = 54,88 < 59,297 G{x 44 } = 57,596 < 59,297 G{x 58 } = 56,84 < 59,297 G{x 28 } = 58,84 < 59,297 G{x 52 } = 57,4 < 59,297 żadnej ze sraegii ze zbioru M{x 32 } nie dołączamy do zbioru LS, ani do zbioru LSB, sąd: LS = {{x 64 }, {x 32 }, {x 60 }} LSB = { {x 32 } } Po wykonaniu kolejnych operacji orzymujemy: LSC = { {x 64 }, {x 63 }, {x 62 }, {x 60 }, {x 56 } {x 48 }, {x 32 },{x 59 }, {x 58 }, {x 52 }, {x 44 }, {x 28 }} 0. Przechodzimy do kroku Ponieważ LSB, przechodzimy do kroku Ze zbioru LSB wybieramy sraegię {x 32 } = (A, D, F, H, J, L), usuwamy ją z ego zbioru: LSB:= LSB \ {x 32 } = 6. Określamy wszyskie sraegie zmodyfikowane, różniące się od sraegii {x 32 } decyzją w jednym sanie. Orzymujemy nasępujące sraegie: {x 3 } = {A, D, F, H, J, K} {x 24 } = {A, D, E, H, J, L} {x 30 } = {A, D, F, H, I, L} {x 6 } = {A, C, F, H, J, L} {x 28 } = {A, D, F, G, J, L} {x 64 } = {B, D, F, H, J, L} i umieszczamy je w zbiorze M{x 32 }: M{x 32 } := { {x 3 }, {x 30 }, {x 28 }, {x 24 }, {x 6 }, {x 64 } }. 7. Sprawdzamy, czy zbiór M{x 32 } zawiera sraegie, kóre znajdują się również w zbiorach LS, LSB i LSC. Orzymujemy: M{x 32 } LS = M{x 32 } LSB = M{x 32 } LSC = { {x 64 }, {x 28 } } sąd M{x 32 } := M{x 32 } \ (M{x 32 } LS) \ (M{x 32 } LSB) \ (M{x 32 } LSC) = { {x 3 }, {x 30 }, {x 28 }, {x 24 }, {x 6 }, }. 8. Mamy M{x 32 }. 9. Rozparujemy kolejne sraegie {x m } ze zbioru M{x 32 }. Ponieważ G{x 3 } = 54,46 < 59,297 G{x 24 } = 57,736 < 59,297 G{x 30 } = 57,26 < 59,297 G{x 6 } = 58, < 59,297 żadnej ze sraegii ze zbioru M{x 32 } nie dołączamy do zbioru LS, ani do zbioru LSB, czyli LS = {{x 64 }, {x 60 }, {{x 32 } }
12 298 Tadeusz Trzaskalik LSB = Do zbioru LSC dodajemy kolejne rozparywane sraegie ze zbioru M{x 32 }, sąd: LSC = { {x 6 }, {x 24 }, {x 28 }, {x 30 }, {x 3 }, {x 32 }, {x 48 }, {x 56 }, {x 60 }, {x 62 }, {x 63 }, {x 64 }, }, 0. Przechodzimy do kroku Ponieważ LSB =, przechodzimy do kroku.. Koniec procedury. Zakończenie W arykule zdefiniowano pojęcie sraegii prawie opymalnych dla dyskrenych, sochasycznych procesów wieloeapowych oraz zaproponowano algorym pozwalający na znalezienie sraegii opymalnych i prawie opymalnych. W rozparywanym przykładzie oprócz sraegii opymalnej znaleziono dwie sraegie prawie opymalne, różniące się od sraegii opymalnej nie więcej niż o,5%. Algorym poddawany jes obecnie esom kompuerowym. Czas porzebny na jego realizację zależny jes od liczby sraegii, dla kórych warość oczekiwana mieści się w zadanym przez decydena przedziale olerancji. Jeżeli przedział en obejmuje zby dużo sraegii, obliczenia mogą nie zosać przeprowadzone do końca. Dysponujemy wówczas jednak ymi sraegiami, kóre udało się wyznaczyć do momenu przerwania obliczeń. Zagadnienie wyznaczania sraegii opymalnych i prawie opymalnych znajduje zasosowanie w podejściu hierarchicznym wielokryerialnego programowania dynamicznego. Dalsze prace nad wykorzysaniem ej meody skierowane będą w ym kierunku. Zakres prakycznych zasosowań proponowanego algorymu obejmuje wszyskie e problemy, w kórych wysępuje sekwencja powiązanych ze sobą decyzji. Z syuacją aką mamy na przykład do czynienia w zarządzaniu porfelem projeków. Skład porfela podlega ciągłym zmianom. Zakończenie określonego przedsięwzięcia umożliwia wykorzysanie zwolnionych zasobów, przy czym realizowane projeky są częso powiązane. Algorym może być również przydany w problemach z zakresu zarządzania zdolnością produkcyjną. Usalając sraegię zwiększania możliwości wywórczych, firma kieruje się głównie finansową oceną inwesycji. Jednocześnie jednak bierze pod uwagę inne, rudno kwanyfikowalne czynniki. Sraegia opymalna pod względem finansowym może okazać się mniej korzysna ze względu na inne krye-
13 Sraegie opymalne i prawie opymalne 299 ria. Decydenci mogą zaem być zaineresowani poszukiwaniem akiego rozwiązania, kóre co prawda jes oceniane nieco gorzej z punku widzenia finansowego, o jednak jes zdecydowanie bardziej arakcyjne z punku widzenia innych ważnych celów organizacji. Lieraura. Bellman R. (957), Dynamic Programming, Princeon Universiy Press. 2. Bellman R., Dreyfus S. (967), Programowania dynamiczne. Zasosowania, PWE, Warszawa. 3. Elmaghraby S. E. (970), The Theory of Neworks and Managemen Science, Par Managemen Science, Vol Nowak M. (204), Wykorzysanie podejścia quasi-hierarchicznego w wielokryerialnym drzewie decyzyjnym, w: Analiza i wspomaganie decyzji, D. Kopańska-Bródka (red.), Sudia Ekonomiczne. Zeszyy Naukowe Wydziałowe, nr 208, Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach. 5. Nowak M., Trzaskalik T. (202), Ineracive procedure for a muliobjecive sochasic discree dynamic problem, Journal of Global Opimizaion, Vol. 57, No Seuer R. E. (2003), ADBASE: A Muliple Objecive Linear Programming Solver for All Efficien Exreme Poins and All Efficien Unbounded Edges, Terry College of Business, Universiy of Georgia, Ahens, Georgia. 7. Trzaskalik T. (998), Muliobjecive Analysis in Dynamic Environmnen, The Karol Adamiecki Universiy of Economics in Kaowice Press, Kaowice. 8. Trzaskalik T. (990), Wielokryerialne dyskrene programowanie dynamiczne. Teoria i zasosowania w prakyce gospodarczej, Akademia Ekonomiczna w Kaowicach, Kaowice. 9. Trzaskalik T. (986), Wybrane problemy programowania dynamicznego, Akademia Ekonomiczna w Kaowicach, Kaowicach. 0. Trzaskalik T., Do Thien Hoa (999), Wielokryerialne, wieloeapowe procesy decyzyjne w warunkach niepewności, w: Modelowanie preferencji a ryzyko 99, część 2, Trzaskalik T. (red.), Akademia Ekonomiczna im. K. Adamieckiego, Kaowice.. Trzaskalik T., Siarz S. (2007), Discree dynamic programming wih oucomes in random variable srucures, European Journal of Operaional Research, Vol. 77.
14 300 Tadeusz Trzaskalik Sreszczenie W pracy rozparujemy wieloeapowe, dyskrene, sochasyczne procesy decyzyjne. Dla decydena ineresujące może być nie ylko znalezienie sraegii opymalnej, ale również kolejnych sraegii, dla kórych warość oczekiwana jes bliska warości oczekiwanej sraegii opymalnej, z dokładnością określoną przez decydena. Celem arykułu jes zaproponowanie algorymu pozwalającego na znalezienie sraegii opymalnych i prawie opymalnych. Sraegie opymalne znajdujemy, wykorzysując zasadę opymalności Bellmana. Proponowana w niniejszej pracy meoda polega na znalezieniu zbioru sraegii opymalnych, a nasępnie rozszerzaniu ego zbioru o kolejne sraegie prawie opymalne, kóre mieszczą się w obszarze zaineresowań decydena. Nowe sraegie generujemy poprzez zmianę decyzji w jednym sanie dla sraegii zaakcepowanej wcześniej. Zaproponowany algorym ilusrowany jes prosym przykładem liczbowym, wyjaśniającym jego działanie. Słowa kluczowe programowanie dynamiczne, sraegia, modele sochasyczne Opimal and Near Opimal Sraegies in Discree Sochasic Dynamic Programming (Summary) In he paper mulisage, discree sochasic decision processes are considered. For he decision maker i may be ineresing no only o find he opimal sraegy, bu also anoher sraegies, for which heir expeced values are close o he expeced value of he opimal sraegy, wih he accuracy deermined by he decision maker. The aim of he paper is o propose he algorihm ha allows o find opimal and near opimal sraegies. We find he opimal sraegies using Bellman s principle of opimaliy. The mehod proposed in he paper relies on finding he se of opimal sraegies and expanding i o he nex near opimal sraegies ha are of ineres o he decision maker. New sraegies are generaed by changing decision in one sae only for he sraegies approved earlier. The proposed algorihm is illusraed wih a simple numerical example explaining of how i works. Keywords dynamic programming, sraegy, sochasic models
A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012)
A C T A U N I V E R S I T A T I S N I C O L A I C O P E R N I C I EKONOMIA XLIII nr 2 (2012) 211 220 Pierwsza wersja złożona 25 października 2011 ISSN Końcowa wersja zaakcepowana 3 grudnia 2012 2080-0339
Zarządzanie Projektami. Wykład 3 Techniki sieciowe (część 1)
Zarządzanie Projekami Wykład 3 Techniki sieciowe (część ) Przedsięwzięcie wieloczynnościowe Przedsięwzięcie wieloczynnościowe skończona liczba wzajemnie ze sobą powiązanych czynności (eapów). Powiązania
Analiza danych DRZEWA DECYZYJNE. Drzewa decyzyjne. Entropia. http://zajecia.jakubw.pl/ test 1 dopełnienie testu 1
Analiza danych Drzewa decyzyjne. Enropia. Jakub Wróblewski jakubw@pjwsk.edu.pl hp://zajecia.jakubw.pl/ DRZEWA DECYZYJNE Meoda reprezenacji wiedzy (modelowania ablic decyzyjnych). Pozwala na przejrzysy
DYNAMIKA KONSTRUKCJI
10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 1 10. 10. DYNAMIKA KONSTRUKCJI 10.1. Wprowadzenie Ogólne równanie dynamiki zapisujemy w posaci: M d C d Kd =P (10.1) Zapis powyższy oznacza, że równanie musi być spełnione w każdej
ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012
ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012 MAŁGORZATA WASILEWSKA PORÓWNANIE METODY NPV, DRZEW DECYZYJNYCH I METODY OPCJI REALNYCH W WYCENIE PROJEKTÓW
Matematyka ubezpieczeń majątkowych r. ma złożony rozkład Poissona. W tabeli poniżej podano rozkład prawdopodobieństwa ( )
Zadanie. Zmienna losowa: X = Y +... + Y N ma złożony rozkład Poissona. W abeli poniżej podano rozkład prawdopodobieńswa składnika sumy Y. W ejże abeli podano akże obliczone dla k = 0... 4 prawdopodobieńswa
Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD
Prognozowanie średniego miesięcznego kursu kupna USD Kaarzyna Halicka Poliechnika Białosocka, Wydział Zarządzania, Kaedra Informayki Gospodarczej i Logisyki, e-mail: k.halicka@pb.edu.pl Jusyna Godlewska
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Pior Fiszeder Uniwersye Mikołaja Kopernika
Pobieranie próby. Rozkład χ 2
Graficzne przedsawianie próby Hisogram Esymaory przykład Próby z rozkładów cząskowych Próby ze skończonej populacji Próby z rozkładu normalnego Rozkład χ Pobieranie próby. Rozkład χ Posać i własności Znaczenie
ROCZNIKI INŻYNIERII BUDOWLANEJ ZESZYT 7/2007 Komisja Inżynierii Budowlanej Oddział Polskiej Akademii Nauk w Katowicach
ROZNIKI INŻYNIERII BUDOWLANEJ ZESZYT 7/007 Komisja Inżynierii Budowlanej Oddział Polskiej Akademii Nauk w Kaowicach WYZNAZANIE PARAMETRÓW FUNKJI PEŁZANIA DREWNA W UJĘIU LOSOWYM * Kamil PAWLIK Poliechnika
PROGRAMOWY GENERATOR PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH LEVY EGO
POZNAN UNIVE RSITY OF TE CHNOLOGY ACADE MIC JOURNALS No 69 Elecrical Engineering 0 Janusz WALCZAK* Seweryn MAZURKIEWICZ* PROGRAMOWY GENERATOR PROCESÓW STOCHASTYCZNYCH LEVY EGO W arykule opisano meodę generacji
2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego. = f(x, t) dla x R, t > 0, (2.1)
Wykład 2 Sruna nieograniczona 2.1 Zagadnienie Cauchy ego dla równania jednorodnego Równanie gań sruny jednowymiarowej zapisać można w posaci 1 2 u c 2 2 u = f(x, ) dla x R, >, (2.1) 2 x2 gdzie u(x, ) oznacza
Harmonogram czyszczenia z osadów sieci wymienników ciepła w trakcie eksploatacji instalacji na przykładzie destylacji rurowo-wieżowej
Mariusz Markowski, Marian Trafczyński Poliechnika Warszawska Zakład Aparaury Przemysłowe ul. Jachowicza 2/4, 09-402 Płock Harmonogram czyszczenia z osadów sieci wymienników ciepła w rakcie eksploaaci insalaci
WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE
Wnioskowanie saysyczne w ekonomerycznej analizie procesu produkcyjnego / WNIOSKOWANIE STATYSTYCZNE W EKONOMETRYCZNEJ ANAIZIE PROCESU PRODUKCYJNEGO Maeriał pomocniczy: proszę przejrzeć srony www.cyf-kr.edu.pl/~eomazur/zadl4.hml
OCENA ATRAKCYJNOŚCI INWESTYCYJNEJ AKCJI NA PODSTAWIE CZASU PRZEBYWANIA W OBSZARACH OGRANICZONYCH KRZYWĄ WYKŁADNICZĄ
Tadeusz Czernik Daniel Iskra Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Kaedra Maemayki Sosowanej adeusz.czernik@ue.kaowice.pl daniel.iskra@ue.kaowice.pl OCEN TRKCYJNOŚCI INWESTYCYJNEJ KCJI N PODSTWIE CZSU PRZEBYWNI
OPTYMALIZACJA PORTFELA INWESTYCYJNEGO ZE WZGLĘDU NA MINIMALNY POZIOM TOLERANCJI DLA USTALONEGO VaR
Daniel Iskra Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach OPTYMALIZACJA PORTFELA IWESTYCYJEGO ZE WZGLĘDU A MIIMALY POZIOM TOLERACJI DLA USTALOEGO VaR Wprowadzenie W osanich laach bardzo popularną miarą ryzyka sała
WYKORZYSTANIE RACHUNKU WARIACYJNEGO DO ANALIZY WAHAŃ PRODUKCJI W PRZEDSIĘBIORSTWACH
STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 36, T. 1 Sefan Grzesiak * WYKORZYSTANIE RACHUNKU WARIACYJNEGO DO ANALIZY WAHAŃ PRODUKCJI W PRZEDSIĘBIORSTWACH STRESZCZENIE W arykule podjęo problem
Analiza i Zarządzanie Portfelem cz. 6 R = Ocena wyników zarządzania portfelem. Pomiar wyników zarządzania portfelem. Dr Katarzyna Kuziak
Ocena wyników zarządzania porelem Analiza i Zarządzanie Porelem cz. 6 Dr Kaarzyna Kuziak Eapy oceny wyników zarządzania porelem: - (porolio perormance measuremen) - Przypisanie wyników zarządzania porelem
Politechnika Częstochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informatyki. Sprawozdanie #2 z przedmiotu: Prognozowanie w systemach multimedialnych
Poliechnika Częsochowska Wydział Inżynierii Mechanicznej i Informayki Sprawozdanie #2 z przedmiou: Prognozowanie w sysemach mulimedialnych Andrzej Siwczyński Andrzej Rezler Informayka Rok V, Grupa IO II
Metody badania wpływu zmian kursu walutowego na wskaźnik inflacji
Agnieszka Przybylska-Mazur * Meody badania wpływu zmian kursu waluowego na wskaźnik inflacji Wsęp Do oceny łącznego efeku przenoszenia zmian czynników zewnęrznych, akich jak zmiany cen zewnęrznych (szoki
WYKORZYSTANIE TESTU OSTERBERGA DO STATYCZNYCH OBCIĄŻEŃ PRÓBNYCH PALI
Prof. dr hab.inż. Zygmun MEYER Poliechnika zczecińska, Kaedra Geoechniki Dr inż. Mariusz KOWALÓW, adres e-mail m.kowalow@gco-consul.com Geoechnical Consuling Office zczecin WYKORZYAIE EU OERERGA DO AYCZYCH
Ewa Dziawgo Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Analiza wrażliwości modelu wyceny opcji złożonych
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 7 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu
Równania różniczkowe. Lista nr 2. Literatura: N.M. Matwiejew, Metody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych.
Równania różniczkowe. Lisa nr 2. Lieraura: N.M. Mawiejew, Meody całkowania równań różniczkowych zwyczajnych. W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza Maemayczna w Zadaniach, część II 1. Znaleźć ogólną posać
LABORATORIUM PODSTAWY ELEKTRONIKI Badanie Bramki X-OR
LORTORIUM PODSTWY ELEKTRONIKI adanie ramki X-OR 1.1 Wsęp eoreyczny. ramka XOR ramka a realizuje funkcję logiczną zwaną po angielsku EXLUSIVE-OR (WYŁĄZNIE LU). Polska nazwa brzmi LO. Funkcję EX-OR zapisuje
Studia Ekonomiczne. Zeszyty Naukowe Uniwersytetu Ekonomicznego w Katowicach ISSN 2083-8611 Nr 219 2015
Sudia Ekonomiczne. Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicach ISSN 2083-86 Nr 29 205 Alicja Ganczarek-Gamro Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Wydział Informayki i Komunikacji Kaedra Demografii
C d u. Po podstawieniu prądu z pierwszego równania do równania drugiego i uporządkowaniu składników lewej strony uzyskuje się:
Zadanie. Obliczyć przebieg napięcia na pojemności C w sanie przejściowym przebiegającym przy nasępującej sekwencji działania łączników: ) łączniki Si S są oware dla < 0, ) łącznik S zamyka się w chwili
Eksploracja danych. KLASYFIKACJA I REGRESJA cz. 1. Wojciech Waloszek. Teresa Zawadzka.
Eksploracja danych KLASYFIKACJA I REGRESJA cz. 1 Wojciech Waloszek wowal@ei.pg.gda.pl Teresa Zawadzka egra@ei.pg.gda.pl Kaedra Inżyrii Oprogramowania Wydział Elekroniki, Telekomunikacji i Informayki Poliechnika
ψ przedstawia zależność
Ruch falowy 4-4 Ruch falowy Ruch falowy polega na rozchodzeniu się zaburzenia (odkszałcenia) w ośrodku sprężysym Wielkość zaburzenia jes, podobnie jak w przypadku drgań, funkcją czasu () Zaburzenie rozchodzi
EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE WPROWADZENIE
Paweł Kobus, Rober Pierzykowski Kaedra Ekonomerii i Informayki SGGW e-mail: pawel.kobus@saysyka.info EFEKT DŹWIGNI NA GPW W WARSZAWIE Sreszczenie: Do modelowania asymerycznego wpływu dobrych i złych informacji
ZASTOSOWANIE METODY OBLICZEŃ UPROSZCZONYCH DO WYZNACZANIA CZASU JAZDY POCIĄGU NA SZLAKU
PRACE NAUKOWE POLITECHNIKI WARSZAWSKIEJ z. 87 Transpor 01 Jarosław Poznański Danua Żebrak Poliechnika Warszawska, Wydział Transporu ZASTOSOWANIE METODY OBLICZEŃ UPROSZCZONYCH DO WYZNACZANIA CZASU JAZDY
Analiza metod oceny efektywności inwestycji rzeczowych**
Ekonomia Menedżerska 2009, nr 6, s. 119 128 Marek Łukasz Michalski* Analiza meod oceny efekywności inwesycji rzeczowych** 1. Wsęp Podsawowymi celami przedsiębiorswa w długim okresie jes rozwój i osiąganie
RACHUNEK EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI METODY ZŁOŻONE DYNAMICZNE
RACHUNEK EFEKTYWNOŚCI INWESTYCJI METODY ZŁOŻONE DYNAMICZNE PYTANIA KONTROLNE Czym charakeryzują się wskaźniki saycznej meody oceny projeku inwesycyjnego Dla kórego wskaźnika wyliczamy średnią księgową
4.2. Obliczanie przewodów grzejnych metodą dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego
4.. Obliczanie przewodów grzejnych meodą dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego Meodą częściej sosowaną w prakyce projekowej niż poprzednia, jes meoda dopuszczalnego obciążenia powierzchniowego. W
ZASTOSOWANIE TEORII MASOWEJ OBSŁUGI DO MODELOWANIA SYSTEMÓW TRANSPORTOWYCH
Pior KISIELEWSKI, Łukasz SOBOTA ZASTOSOWANIE TEORII MASOWEJ OBSŁUGI DO MODELOWANIA SYSTEMÓW TRANSPORTOWYCH W arykule przedsawiono zasosowanie eorii masowej obsługi do analizy i modelowania wybranych sysemów
ZASTOSOWANIE UCZENIA ZE WZMOCNIENIEM W UKŁADACH STEROWANIA RUCHEM STATKU
Andrzej Rak Akademia Morska w Gdyni ZASTOSOWANIE UCZENIA ZE WZMOCNIENIEM W UKŁADACH STEROWANIA RUCHEM STATKU W arykule przedsawiono ideę zasosowania algorymów uczenia ze wzmocnieniem do wyznaczania rajekorii
MIARA I ODWZOROWANIE RYZYKA FORWARD NA RYNKU SKOŃCZONYM
Sudia Ekonomiczne. Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicach ISSN 2083-8611 Nr 295 2016 Szkoła Główna Handlowa w Warszawie Kolegium Analiz Ekonomicznych Kaedra Maemayki i Ekonomii Maemaycznej
O pewnym algorytmie rozwiązującym problem optymalnej alokacji zasobów. Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE
O pewnym algorymie rozwiązującym problem opymalnej alokacji zasobów Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE W kierowaniu firmą Zarząd częso saje wobec problemu rozdysponowania (alokacji)
Magdalena Sokalska Szkoła Główna Handlowa. Modelowanie zmienności stóp zwrotu danych finansowych o wysokiej częstotliwości
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Szkoła Główna Handlowa Modelowanie zmienności
WYCENA OBLIGACJI KATASTROFICZNEJ WRAZ Z SYMULACJAMI NUMERYCZNYMI
Zeszyy Naukowe Wydziału Informaycznych Technik Zarządzania Wyższej Szkoły Informayki Sosowanej i Zarządzania Współczesne Problemy Zarządzania Nr 1/2010 WYCENA OBLIGACJI KATASTROFICZNEJ WRAZ Z SYULACJAI
Użyteczność bezpośredniej likwidacji szkód (BLS) dla klientów zakładów ubezpieczeń
Sanisław Garska 1 Ubezpieczeniowy Fundusz Gwarancyjny Użyeczność bezpośredniej likwidacji szkód (LS) dla klienów zakładów ubezpieczeń Sreszczenie Wprowadzeniu bezpośredniej likwidacji szkód jako produku
ANALIZA PORÓWNAWCZA ŚREDNIEGO ODSETKA CZASU PRZEBYWANIA W PIERWSZEJ I DRUGIEJ POŁOWIE DNIA BADANIA EMPIRYCZNE
Tadeusz Czernik Daniel Iskra Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Kaedra Maemayki Sosowanej adeusz.czernik@ue.kaowice.pl daniel.iskra@ue.kaowice.pl ANALIZA PORÓWNAWCZA ŚREDNIEGO ODSETKA CZASU PRZEBYWANIA
WIELOKRYTERIALNE PORZĄDKOWANIE METODĄ PROMETHEE ODPORNE NA ZMIANY WAG KRYTERIÓW
Uniwersytet Ekonomiczny we Wrocławiu WIELOKRYTERIALNE PORZĄDKOWANIE METODĄ PROMETHEE ODPORNE NA ZMIANY WAG KRYTERIÓW Wprowadzenie Wrażliwość wyników analizy wielokryterialnej na zmiany wag kryteriów, przy
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6 8 września 2005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Kaarzyna Kuziak Akademia Ekonomiczna
ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA / Ćwiczenia 1
ANALIZA, PROGNOZOWANIE I SYMULACJA / Ćwiczenia 1 mgr inż. Żanea Pruska Maeriał opracowany na podsawie lieraury przedmiou. Zadanie 1 Firma Alfa jes jednym z głównych dosawców firmy Bea. Ilość produku X,
MODELOWANIE PROCESU OBSŁUGI STATKÓW POWIETRZNYCH
LOGITRANS - VII KONFERENCJA NAUKOWO-TECHNICZNA LOGISTYKA, SYSTEMY TRANSPORTOWE, BEZPIECZEŃSTWO W TRANSPORCIE Arur KIERZKOWSKI 1 Saek powierzny, proces obsługi, modelownie procesów ransporowych MODELOWANIE
METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH
METODY STATYSTYCZNE W FINANSACH Krzyszof Jajuga Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu, Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Wprowadzenie W osanich kilkunasu laach na świecie obserwuje się dynamiczny
SZACOWANIE MODELU RYNKOWEGO CYKLU ŻYCIA PRODUKTU
B A D A N I A O P E R A C J N E I D E C Z J E Nr 2 2006 Bogusław GUZIK* SZACOWANIE MODELU RNKOWEGO CKLU ŻCIA PRODUKTU Przedsawiono zasadnicze podejścia do saysycznego szacowania modelu rynkowego cyklu
Ocena efektywności procedury Congruent Specyfication dla małych prób
243 Zeszyy Naukowe Wyższej Szkoły Bankowej we Wrocławiu Nr 20/2011 Wyższa Szkoła Bankowa w Toruniu Ocena efekywności procedury Congruen Specyficaion dla małych prób Sreszczenie. Procedura specyfikacji
Rozwiązanie uogólnionego problemu optymalnej alokacji zasobów. Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE
Rozwiązanie uogólnionego problemu opymalnej alokacji zasobów Cezary S. Zaremba*, Leszek S. Zaremba ** WPROWADZENIE Niniejszy arykuł rozwiązuje problem owary posawiony w [4], dzięki czemu będzie można znaleźć
PROGNOZOWANIE I SYMULACJE. mgr Żaneta Pruska. Ćwiczenia 2 Zadanie 1
PROGNOZOWANIE I SYMULACJE mgr Żanea Pruska Ćwiczenia 2 Zadanie 1 Firma Alfa jes jednym z głównych dosawców firmy Bea. Ilość produku X, wyrażona w ysiącach wyprodukowanych i dosarczonych szuk firmie Bea,
PROPOZYCJA NOWEJ METODY OKREŚLANIA ZUŻYCIA TECHNICZNEGO BUDYNKÓW
Udosępnione na prawach rękopisu, 8.04.014r. Publikacja: Knyziak P., "Propozycja nowej meody określania zuzycia echnicznego budynków" (Proposal Of New Mehod For Calculaing he echnical Deerioraion Of Buildings),
ĆWICZENIE NR 43 U R I (1)
ĆWCZENE N 43 POMY OPO METODĄ TECHNCZNĄ Cel ćwiczenia: wyznaczenie warości oporu oporników poprzez pomiary naężania prądu płynącego przez opornik oraz napięcia na oporniku Wsęp W celu wyznaczenia warości
Zeszyty Problemowe Maszyny Elektryczne Nr 72/
Zeszyy Problemowe Maszyny Elekryczne Nr 72/25 155 Arkadiusz Domoracki, Krzyszof Krykowski Poliechnika Śląska, Gliwice SILNIKI BLDC KLASYCZNE METODY STEROWANIA BLDC DRIVES THLASSICAONTROL STRATEGIES Absrac:
Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Str 1. Całka nieoznaczona
Całka nieoznaczona Andrzej Musielak Sr Całka nieoznaczona Całkowanie o operacja odwrona do liczenia pochodnych, zn.: f()d = F () F () = f() Z definicji oraz z abeli pochodnych funkcji elemenarnych od razu
ZASTOSOWANIE DRZEW KLASYFIKACYJNYCH DO BADANIA KONDYCJI FINANSOWEJ PRZEDSIĘBIORSTW SEKTORA ROLNO-SPOŻYWCZEGO
120 Krzyszof STOWARZYSZENIE Gajowniczek, Tomasz Ząbkowski, EKONOMISTÓW Michał Goskowski ROLNICTWA I AGROBIZNESU Roczniki Naukowe om XVI zeszy 6 Krzyszof Gajowniczek, Tomasz Ząbkowski, Michał Goskowski
KONCEPCJA WARTOŚCI ZAGROŻONEJ VaR (VALUE AT RISK)
KONCEPCJA WARTOŚCI ZAGROŻONEJ VaR (VALUE AT RISK) Kaarzyna Kuziak Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu, Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Wprowadzenie W 1994 roku insyucja finansowa JP Morgan opublikowała
FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS
FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS Folia Pomer. Univ. Technol. Sein., Oeconomica 2014, 313(76)3, 137 146 Maria Szmuksa-Zawadzka, Jan Zawadzki MODELE WYRÓWNYWANIA WYKŁADNICZEGO W PROGNOZOWANIU
Przemysław Klęsk. Słowa kluczowe: analiza składowych głównych, rozmaitości algebraiczne
Przemysław Klęsk O ALGORYTMIE PRINCIPAL MANIFOLDS OPARTYM NA PCA SŁUŻACYM DO ZNAJDOWANIA DZIEDZIN JAKO ROZMAITOŚCI ALGEBRAICZNYCH NA PODSTAWIE ZBIORU DANYCH, PROPOZYCJA MIAR JAKOŚCI ROZMAITOŚCI Sreszczenie
Kombinowanie prognoz. - dlaczego należy kombinować prognozy? - obejmowanie prognoz. - podstawowe metody kombinowania prognoz
Noaki do wykładu 005 Kombinowanie prognoz - dlaczego należy kombinować prognozy? - obejmowanie prognoz - podsawowe meody kombinowania prognoz - przykłady kombinowania prognoz gospodarki polskiej - zalecenia
Silniki cieplne i rekurencje
6 FOTO 33, Lao 6 Silniki cieplne i rekurencje Jakub Mielczarek Insyu Fizyki UJ Chciałbym Pańswu zaprezenować zagadnienie, kóre pozwala, rozważając emaykę sprawności układu silników cieplnych, zapoznać
1.1. Bezpośrednie transformowanie napięć przemiennych
Rozdział Wprowadzenie.. Bezpośrednie ransformowanie napięć przemiennych Bezpośrednie ransformowanie napięć przemiennych jes formą zmiany paramerów wielkości fizycznych charakeryzujących energię elekryczną
IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD
Pior Jankowski Akademia Morska w Gdyni IMPLEMENTACJA WYBRANYCH METOD ANALIZY STANÓW NIEUSTALONYCH W ŚRODOWISKU MATHCAD W arykule przedsawiono możliwości (oraz ograniczenia) środowiska Mahcad do analizy
Dynamiczne formy pełzania i relaksacji (odprężenia) górotworu
Henryk FILCEK Akademia Górniczo-Hunicza, Kraków Dynamiczne formy pełzania i relaksacji (odprężenia) góroworu Sreszczenie W pracy podano rozważania na ema możliwości wzbogacenia reologicznego równania konsyuywnego
Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Katedra Inwestycji Finansowych i Ubezpieczeń
Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna im. Oskara Langego we Wrocławiu Kaedra Inwesycji Finansowych i Ubezpieczeń Przegląd i porównanie meod oceny modeli VaR Wsęp - Miara VaR Warość zagrożona (warość narażona
Analiza efektywności kosztowej w oparciu o wskaźnik dynamicznego kosztu jednostkowego
TRANSFORM ADVICE PROGRAMME Invesmen in Environmenal Infrasrucure in Poland Analiza efekywności koszowej w oparciu o wskaźnik dynamicznego koszu jednoskowego dr Jana Rączkę Warszawa, 13.06.2002 2 Spis reści
Wskazówki projektowe do obliczania nośności i maksymalnego zanurzenia statku rybackiego na wstępnym etapie projektowania
CEPOWSKI omasz 1 Wskazówki projekowe do obliczania nośności i maksymalnego zanurzenia saku rybackiego na wsępnym eapie projekowania WSĘP Celem podjęych badań było opracowanie wskazówek projekowych do wyznaczania
WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LAB X - ELECTRE TRI
WSPOMAGANIE DECYZJI - MIŁOSZ KADZIŃSKI LAB X - ELECTRE TRI 1. Meoda ELECTRE TRI ELECTRE TRI (skró od ang. riage) meoda wspomagająca rozwiązywanie problemów wielokryerialnego sorowania - bardzo podobna
Stanisław Cichocki Natalia Nehrebecka. Wykład 4
Sanisław Cichocki Naalia Nehrebecka Wykład 4 1 1. Badanie sacjonarności: o o o Tes Dickey-Fullera (DF) Rozszerzony es Dickey-Fullera (ADF) Tes KPSS 2. Modele o rozłożonych opóźnieniach (DL) 3. Modele auoregresyjne
BEZRYZYKOWNE BONY I LOKATY BANKOWE ALTERNATYWĄ DLA PRZYSZŁYCH EMERYTÓW. W tym krótkim i matematycznie bardzo prostym artykule pragnę osiągnąc 3 cele:
1 BEZRYZYKOWNE BONY I LOKATY BANKOWE ALTERNATYWĄ DLA PRZYSZŁYCH EMERYTÓW Leszek S. Zaremba (Polish Open Universiy) W ym krókim i maemaycznie bardzo prosym arykule pragnę osiągnąc cele: (a) pokazac że kupowanie
hact , 4 haot technice świec japońskich. 4 Na podstawie strony internetowej:
Zasosowanie echniki Heikin Ashi na rynku kapiałowym Krzyszof Borowski Opublikowany w: Sudia i Prace Kolegium Zarządzania i Finansów, Zeszy Naukowy 66, Warszawa 26, sr. 9-99. Po raz pierwszy japońskie echniki
WYKORZYSTANIE MIERNIKÓW KREOWANIA WARTOŚCI W RACHUNKU ODPOWIEDZIALNOŚCI
ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 668 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 41 2011 BARTŁOMIEJ NITA Uniwersye Ekonomiczny we Wrocławiu WYKORZYSTANIE MIERNIKÓW KREOWANIA WARTOŚCI W RACHUNKU
ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012
ZESZYTY NAUKOWE UNIWERSYTETU SZCZECIŃSKIEGO NR 690 FINANSE, RYNKI FINANSOWE, UBEZPIECZENIA NR 51 2012 GRZEGORZ MICHALSKI POZIOM ZAANGAŻOWANIA KAPITAŁU W ZAPASACH W ORGANIZACJACH NON-PROFIT * Wprowadzenie
Europejska opcja kupna akcji calloption
Europejska opcja kupna akcji callopion Nabywca holder: prawo kupna long posiion jednej akcji w okresie epiraiondae po cenie wykonania eercise price K w zamian za opłaę C Wysawca underwrier: obowiązek liabiliy
hact , 4 haot technice świec japońskich. 4 Na podstawie strony internetowej:
Zasosowanie echniki Heikin Ashi na rynku kapiałowym Krzyszof Borowski Opublikowany w: Sudia i Prace Kolegium Zarządzania i Finansów, Zeszy Naukowy 66, Warszawa 26, sr. 9-99. Po raz pierwszy japońskie echniki
Zastosowanie sztucznych sieci neuronowych do prognozowania szeregów czasowych
dr Joanna Perzyńska adiunk w Kaedrze Zasosowań Maemayki w Ekonomii Wydział Ekonomiczny Zachodniopomorski Uniwersye Technologiczny w Szczecinie Zasosowanie szucznych sieci neuronowych do prognozowania szeregów
Teoria kolejek w zastosowaniu do opisu procesu transportowego
Jolana śak 1 Wydział Transporu Poliechniki Warszawskiej Teoria kolejek w zasosowaniu do opisu procesu ransporowego WPROWADZENIE Opisując rzeczywisy proces ransporowy rudno wyobrazić sobie sieć ransporową
specyfikacji i estymacji modelu regresji progowej (ang. threshold regression).
4. Modele regresji progowej W badaniach empirycznych coraz większym zaineresowaniem cieszą się akie modele szeregów czasowych, kóre pozwalają na objaśnianie nieliniowych zależności między poszczególnymi
Wyzwania praktyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH
Krzyszof Pionek Akademia Ekonomiczna we Wrocławiu Wyzwania prakyczne w modelowaniu wielowymiarowych procesów GARCH Wsęp Od zaproponowania przez Engla w 1982 roku jednowymiarowego modelu klasy ARCH, modele
POZYCJONOWANIE I NADĄŻANIE MINIROBOTA MOBILNEGO M.R.K
MODELOWANIE INŻYNIERSKIE ISSN 1896-771X 37, s. 97-104, Gliwice 2009 POZYCJONOWANIE I NADĄŻANIE MINIROBOTA MOBILNEGO M.R.K MARIUSZ GIERGIEL, PIOTR MAŁKA Kaedra Roboyki i Mecharoniki, Akademia Górniczo-Hunicza
Alicja Ganczarek Akademia Ekonomiczna w Katowicach. Analiza niezależności przekroczeń VaR na wybranym segmencie rynku energii
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE X Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 4 6 września 007 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Akademia Ekonomiczna w Kaowicach Analiza
ANALIZA ODPOWIEDZI UKŁADÓW KONSTRUKCYJNYCH NA WYMUSZENIE W POSTACI SIŁY O DOWOLNYM PRZEBIEGU CZASOWYM
Budownicwo Mariusz Poński ANALIZA ODPOWIEDZI UKŁADÓW KONSTRUKCYJNYCH NA WYMUSZENIE W POSTACI SIŁY O DOWOLNYM PRZEBIEGU CZASOWYM Wprowadzenie Coraz większe ograniczenia czasowe podczas wykonywania projeków
Analiza opłacalności inwestycji logistycznej Wyszczególnienie
inwesycji logisycznej Wyszczególnienie Laa Dane w ys. zł 2 3 4 5 6 7 8 Przedsięwzięcie I Program rozwoju łańcucha (kanału) dysrybucji przewiduje realizację inwesycji cenrum dysrybucyjnego. Do oceny przyjęo
ROZDZIAŁ 8 WIELOSTABILNOŚĆ W NIELINIOWYM MODELU CYKLU KONIUNKTURALNEGO Z OCZEKIWANIAMI
Rober Kruszewski ROZDZIAŁ 8 WIELOSTABILNOŚĆ W NIELINIOWM MODELU CKLU KONIUNKTURALNEGO Z OCZEKIWANIAMI Wprowadzenie Głównym celem opracowania jes zbadanie wpływu prosego mechanizmu oczekiwań na dynamikę
Rozdział 4 Instrukcje sekwencyjne
Rozdział 4 Insrukcje sekwencyjne Lisa insrukcji sekwencyjnych FBs-PLC przedsawionych w niniejszym rozdziale znajduje się w rozdziale 3.. Zasady kodowania przy zasosowaniu ych insrukcji opisane są w rozdziale
O PEWNYCH KRYTERIACH INWESTOWANIA W OPCJE NA AKCJE
MEODY ILOŚCIOWE W BADANIACH EKONOMICZNYCH om XIII/3, 01, sr 43 5 O EWNYCH KRYERIACH INWESOWANIA W OCJE NA AKCJE omasz Warowny Kaedra Meod Ilościowych w Zarządzaniu oliechnika Lubelska e-mail: warowny@pollubpl
UWARUNKOWANIA DIAGNOSTYCZNE STEROWANIA PROCESEM EKSPLOATACJI OKRĘTOWYCH SILNIKÓW GŁÓWNYCH
UWARUNKOWANIA DIAGNOSTYCZNE STEROWANIA PROCESEM EKSPLOATACJI OKRĘTOWYCH SILNIKÓW GŁÓWNYCH Jacek Rudnicki Poliechnika Gdańska ul. Naruowicza 11/12, 8-233 Gdańsk el.: +48 58 3472973 e-mail:jacekrud@pg.edu.pl
WPŁYW NIEPEWNOŚCI OSZACOWANIA ZMIENNOŚCI NA CENĘ INSTRUMENTÓW POCHODNYCH
Tadeusz Czernik Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach WPŁYW NIEPEWNOŚCI OZACOWANIA ZMIENNOŚCI NA CENĘ INTRUMENTÓW POCHODNYCH Wprowadzenie Jednym z filarów współczesnych finansów jes eoria wyceny insrumenów
Politechnika Gdańska Wydział Elektrotechniki i Automatyki Katedra Inżynierii Systemów Sterowania. Podstawy Automatyki
Poliechnika Gdańska Wydział Elekroechniki i Auomayki Kaedra Inżynierii Sysemów Serowania Podsawy Auomayki Repeyorium z Podsaw auomayki Zadania do ćwiczeń ermin T15 Opracowanie: Kazimierz Duzinkiewicz,
METODA WYBORU EFEKTYWNYCH PORTFELI PRZEDSIĘWZIĘĆ INWESTYCYJNYCH
B A D A N I A O P E R A C Y J N E I D E C Y Z J E Nr 3 2009 Bogdan RĘBIASZ* METODA YBORU EFEKTYNYCH PORTFELI PRZEDSIĘZIĘĆ INESTYCYJNYCH arykule przedsawiono nową meodę wyboru efekywnych porfeli przedsięwzięć
( ) ( ) ( τ) ( t) = 0
Obliczanie wraŝliwości w dziedzinie czasu... 1 OBLICZANIE WRAśLIWOŚCI W DZIEDZINIE CZASU Meoda układu dołączonego do obliczenia wraŝliwości układu dynamicznego w dziedzinie czasu. Wyznaczane będą zmiany
OPTYMALNE POSTÊPOWANIE W PROBLEMIE SEKWENCYJNEJ SELEKCJI: PRAKTYKA I TEORIA
DECYZJE nr 5 czerwiec 2006 OPTYMALE POSTÊPOWAIE W PROBLEMIE SEKWECYJEJ SELEKCJI: PRAKTYKA I TEORIA Krzyszof Szajowski * Poliechnika Wroc³awska Sreszczenie: Analizowana jes modyfikacja problemu sekwencyjnego
Ruch płaski. Bryła w ruchu płaskim. (płaszczyzna kierująca) Punkty bryły o jednakowych prędkościach i przyspieszeniach. Prof.
Ruch płaski Ruchem płaskim nazywamy ruch, podczas kórego wszyskie punky ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną kierującą. Punky bryły o jednakowych
1.2.1 Ogólny algorytm podejmowania decyzji... 18. 1.2.2 Algorytm postępowania diagnostycznego... 23. 1.2.3 Analiza decyzyjna... 27
3 Spis reści Spis reści... 3 Użye oznaczenia... 7 Wsęp i założenia pracy... 9 1. Akualny san wiedzy medycznej i echnicznej związanej zagadnieniami analizy decyzyjnej w chorobach górnego odcinka przewodu
Witold Orzeszko Uniwersytet Mikołaja Kopernika w Toruniu. Własności procesów STUR w świetle metod z teorii chaosu 1
DYNAMICZNE MODELE EKONOMETRYCZNE IX Ogólnopolskie Seminarium Naukowe, 6-8 września 2005 w Toruniu Kaedra Ekonomerii i Saysyki, Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu Uniwersye Mikołaja Kopernika w Toruniu
Zasada pędu i popędu, krętu i pokrętu, energii i pracy oraz d Alemberta bryły w ruchu postępowym, obrotowym i płaskim
Zasada pędu i popędu, kręu i pokręu, energii i pracy oraz d Alembera bryły w ruchu posępowym, obroowym i płaskim Ruch posępowy bryły Pęd ciała w ruchu posępowym obliczamy, jak dla punku maerialnego, skupiając
E k o n o m e t r i a S t r o n a 1. Nieliniowy model ekonometryczny
E k o n o m e r i a S r o n a Nieliniowy model ekonomeryczny Jednorównaniowy model ekonomeryczny ma posać = f( X, X,, X k, ε ) gdzie: zmienna objaśniana, X, X,, X k zmienne objaśniające, ε - składnik losowy,
FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS Folia Pomer. Univ. Technol. Stetin., Oeconomica 2015, 323(81)4,
FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS Folia Pomer. Univ. Technol. Sein., Oeconomica 205, 323(8)4, 25 32 Joanna PERZYŃSKA WYBRANE MIERNIKI TRAFNOŚCI PROGNOZ EX POST W WYZNACZANIU PROGNOZ
Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów. Etap szkolny 5 listopada 2013 Czas 90 minut
Wojewódzki Konkurs Maemayczny dla uczniów gimnazjów. Eap szkolny 5 lisopada 2013 Czas 90 minu ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie 1. (1 punk) Liczby A = 0, 99, B = 0, 99 2, C = 0, 99 3, D = 0, 99, E=0, 99 1 usawiono
OPTYMALNE REGUŁY WYDATKOWE W PROWADZENIU POLITYKI FISKALNEJ
Sudia Ekonomiczne. Zeszyy Naukowe Uniwersyeu Ekonomicznego w Kaowicach ISSN 2083-8611 Nr 331 2017 Uniwersye Ekonomiczny w Kaowicach Wydział Ekonomii Kaedra Meod Saysyczno-Maemaycznych w Ekonomii agnieszka.przybylska-mazur@ue.kaowice.pl
Rys.1. Podstawowa klasyfikacja sygnałów
Kaedra Podsaw Sysemów echnicznych - Podsawy merologii - Ćwiczenie 1. Podsawowe rodzaje i ocena sygnałów Srona: 1 1. CEL ĆWICZENIA Celem ćwiczenia jes zapoznanie się z podsawowymi rodzajami sygnałów, ich